ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι(ΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι(ΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι."

Μνήμη Ἀελλώ Παπαστεφάνου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι. ΡΙΖΟΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 9 ΘΕΜΑ.4 μονάδες) i)ταδιαγράμματαελευθέρουσώματοςφαίνονταιστοσχήμα.στοσώμα m ασκείταιτοβάροςτου B = m g,ηαντίδρασητουσώματος m τηνοποία συμβολίζουμεμε N,ητάσητουσχοινιούτηνοποίασυμβολίζουμεμε Tκαι g N T ητριβήτηνοποίασυμβολίζουμεμε f.στοσώμα m ασκείταιτοβάροςτου N T m f m B = m g,ηαντίδρασητουεπιπέδουτηνοποίασυμβολίζουμεμε N και f m ηαντίδρασητουσώματος m B µ ηοποίαισούταιμε N καιητριβή f. Στο N B σώμα m ασκείταιητάση T καιτοβάροςτου B = m g. Οιδιευθύνσεις B καιφορέςόλωντωνδυνάμεωνφαίνονταιστοσχήμα.ηφοράτηςτριβήςστο µ σώμα m γιαναέχουμεισορροπίαείναιαναγκαστικάόπωςστοσχήμα. Οι συνθήκες ισορροπίας του συστήματος, αναλύοντας τις δυνάμεις σε δύο κάθετους άξονες, τον ένα παράλληλο προςτηνεπιφάνειαγιατασώματα m, m είναι: m ) : m g sin θ + f T = ) N m g cos θ = ) m ) : m g sin θ f = ) N m g cos θ N = 4) m ) : T m g = 5) όπουητριβή fσυνδέεταιμετηνκάθετηδύναμηανάμεσαστιςεπιφάνειες m και m ηοποίαισούταιμε N ) Επιλύοντας το σύστημα)-5) παίρνουμε f µn 6) T = m g, f = m g sin θ, N = m g cos θ, N = m + m )g cos θ 7) Αντικαθιστώντας στην) παίρνουμε m + m )g sin θ m g = sin θ = Αντικαθιστώντας τη λύση5) στην6) μας δίνει επιπλέον m m + m 8) m g sinθ µ m g cos θ tan θ µ m m 9) Οισυνθήκεςισορροπίαςτωντριώνσωμάτωνείναιοι8)και9).Η8)προσδριορίζειτηγωνία θγιατηνοποία έχουμε ισορροπία, ενώ η9) προσδιορίζει για ποιες τιμές του συντελεστή τριβής µ είναι δυνατή η ισορροπία. ii)θεωρώνταςθετικήφοράεπιταχύνσεωνπροςταδεξιάκαι a i τηνεπιτάχυνσητουσώματος m i έχουμεστην περίπτωση m = m = m = m m ) : m g sin θ + f T = m a ) m ) : m g sin θ f = m a ) m ) : T m g = m a )

2 όπουλόγωτηςσύνδεσηςμετοσχοινί a = a.διακρίνουμεδύοπεριπτώσεις α)τασώματα m και m κινούνταιμαζίοπότε a = a = a = aκαικαταλήγουμεσεσύστηματριών εξισώσεωνμεαγνώστους f,a,t. εδώηστατικήτριβήδενείναιγνωστήαπλάυπάρχειπεριορισμόςπουθα εξετάσουμε παρακάτω). Επιλύοντας το σύστημα παίρνουμε Ησυνθήκηγιατηντριβήμαςδίνει a = sin θ) ) T = g m + sin θ) 4) f = g m + sin θ) 5) f µn = µ m g cos θ g m + sin θ) µ m g cos θ 6) β)τασώματα m και m δενκινούνταιμαζί,οπότευπάρχειαναμεσάτουςτριβήολισθήσεως f = µ N = µ m g cos θ. Σεαυτήντηνπερίπτωσηοιάγνωστοιείναιτα a, a και T. Επιλύονταςκαιπάλιτις)-5) βρίσκουμε a = g sin θ + µ cos θ ) 7) a = g sin θ µ cos θ) 8) T = m g + sin θ + µ cos θ) 9) ΘΕΜΑ.4μονάδες) i) Οι δυνάμεις που ασκούνται στο δακτυλίδι είναι η αντίδραση του στεφανιού Nκαιητριβή f = µ N,μεδιεύθυνσηκαιφοράόπωςστοσχήμα. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις του Νεύτωνα σε πολικές συντεταγμένεςα) με F r = N, F θ = µ Nκαι r = R ṙ = r = έχουμε B R N f µ A Απ οπου βρίσκουμε θ = µ θ d θ θ = µ dt θ m R θ = N ) m R θ = µ N ) v /R d θ t θ = µ dt θ θ v /R = µ t θ = R v + µ t θ = R/v + µ t dθ dt = θ t R/v + µ t dt dθ = R/v + µ t θt) = µ ln R/v + µ t) t θt) = µ ln R/v + µ t) R/v ) ) θt) = µ ln + µ v R t ) 4) ii) Χρησιμοποιώντας τις) και) βρίσκουμε N = m R R/v + µ t) 5)

3 iii) Από την4) βρίσκουμε t = R ) e µθ µ v 6) καιγια θ = π t = R µ v e µπ/ ) ΘΕΜΑ.4μονάδες) i) Παραγωγίζοντας την εξίσωση τροχιάς παίρνουμε r ) n ṙ θ = n b b 7) η οποία χρησιμοποιώντας τηνα47) δίνει Αντικαθιστώντας στηα5) παίρνουμε r ) n ṙ m r = n b b ṙ = bn m n r n+ 8) V r) = E m r b n m n r n+) Fr) = V r) = + b n n + ) m r m n r n+ 9) ii)η8)για n = δίνει ṙ = m b r dr r = m b dt r r dr r = t mb dt ln r ln r = m b t rt) = r e m b t ) Αντικαθιστώντας στηνα47) βρίσκουμε θ = θ mr e m b t dθ = mr t dte m b t θt) = b r ΘΕΜΑ 4.8μονάδες Α=.9 Β=.9) ) e m b t ) Α. Από τη διατήρηση της ενέργειας έχουμε m v + V r) = E v = E m + a m r όπου E < αφού πρόκειται για ελλειπτική τροχιά. Από την εξίσωση αυτή διαπιστώνουμε ότι η ταχύτητα είναι μέγιστη όταν το r είναι ελάχιστο και η ταχύτητα είναι ελάχιστη όταν το r είναι μέγιστο. Χρησιμοποιώντας τηνα55) βρίσκουμε ) r min = r + ǫ, r max = r ǫ Στις θέσεις αυτέςακρότατα) η ακτινική ταχύτητα μηδενίζεται και v = v θ = r θ = m r ) 4) όπου χρησιμοποιήσαμε τηνα5). Επομένως v min = = ǫ) m r max m r 5) v max = = + ǫ) m r min m r 6)

4 Διαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε v min = ǫ ) v max + ǫ ǫ = + ǫ)v min vmin ǫ + = v min ǫ = v max v min 7) v max v max v max v max + v min ΟιδιατηρούμενεςποσότητεςείναιηενέργειαE)καιηστροφορμή). Εχουμε r = αντικαθιστώντας στην5) v min = m M G Η ενέργεια δίνεται από τηνα6) m M G ǫ) = ǫ) = v min mα = m M G και m M G v max + v min 8) όπου όλες οι ποσότητες είναι γνωστές. Β. Βλέπε σημειώσεις. E = mα ǫ ) 9) 4

5 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις sinθ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ Α4) cosθ + φ) = cos θ cos φ sinθ sin φ Α4) sin = cos = ) 6) sin = cos 6) ) sin = cos = 4) 4) = sinθ) = sin θ cos θ Α4) Α4) Α44) Α45) cosθ) = cos θ sin θ Α46) cos θ = + tan θ Α47) Ολοκληρώματα dx = arctan x Α48) + x dx = arctanhx Α49) x ln x = x + x ln x Α5) Ανάπτυγματα σε σειρές cos x = x + 4 x Α5) sin x = x 6 x + x Α5) Πλάγια βολή y = x tan θ x g v cos θ Α5) Μικρές Ταλαντώσεις Στηνπεριοχήτουελάχιστου x τουδυναμικού V x) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Πολικές συντεταγμένες Ταχύτητα v = ṙ ê r + r θ ê θ Α56) Επιτάχυνση a = r r θ ) ê r + r θ + ṙ θ ) ê θ Α57) Δύναμη F = F r ê r + F θ ê θ Α58) ος νόμος του Νεύτωνα m r r θ ) = F r m r θ + ṙ θ ) Α59) = F θ Κεντρικό δυναμικό Εξισώσεις κίνησης m r θ = Α6) m ṙ + + V r) = E Α6) mr όπου ηστροφορμήκαι Eηενέργεια. Ειδικάγια V r) = GMm/r = α/rη τροχιά σώματος μάζας m δίνεται από με r = r = m α ǫ = r + ǫ cos θ + E m α Α6) Α6) Α64) Για ελλειπτική τροχιά ο μεγάλος ημιάξονας της έλλειψης δίνεται από a = r / ǫ ) Τρίτος νόμος του Kepler Α65) V ω = x ) m Α54) T = 4π GM a Α66) Συστήματα μεταβλητής μάζας dm v) dt = F + v dm dt Α55) 5

Σχετικά έγγραφα

) z ) r 3. sin cos θ,

) z ) r 3. sin cos θ, Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία