KVANTNO-MEHANIČKI MODEL ATOMA
|
|
- Δάφνη Βυζάντιος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 KVANTNO-MEHANIČKI MODEL ATOMA
2 Those who are not shocked when they first come across quantum theory cannot possibly have understood it. (Niels Bohr on Quantum Physics)
3 Kvantna mehanika Njutnova mehanika- opisuje kretanje tijela pod uticajem sila i dobra je u makrosvijetu Kvantna mehanika opisuje mikrosvijet Njutnova mehanika- aproksimacija QM za makroskopski svijet U kvantoj mehanici elektron je predstavljen kao 3D talas koji okružuje jezgro Ne možemo više govoriti o tačno definisanim elektronskim orbitama već o vjerovatnostima nalaženja elektrona na nekom mjestu oko atoma
4 Modeli prije QM Modeli prije kvantno-mehaničkog (QM) modela atoma nisu imali puno uspjeha u potpunom tumačenju spektara zračenja Bor- objašnjava samo spektar H i uvodi kvatnizaciju, postulira da se elektron kreće po tačno definisanim kružnim orbitama oko jezgra Wilson-Sommerfeldova pravila poopštavaju kvantizaciju na sve periodične sisteme Objašnjavaju tzv finu strukturu vodika Uvode eliptične umjesto kružnih putanja elektrona Ipak nema objašnjenja za atome sa više elektrona
5 QM model atoma Luis de Broglie (elektron ima valna svojstva) Werner Heisenberg (Princip neodreñenosti) Erwin Schrdinger (matematički aparat za opisivanje QM sistema koristeći valnu funkciju)
6 Talasni vid materijalnih čestica. De Broglievi talasi godine Luis de Broglie postavlja hipotezu o valnim osobinama materijalnih čestica Analogija sa čestičnim svojstvima valova Ranije je uvedeno za foton: Energija fotona E=hν=ћω Impuls fotona p=hν/c=h/λ Luis de Broglie godine Nobelova nagrada Prema tome je valna dužina fotona λ=h/p
7 Talasni vid materijalnih čestica. De Broglievi talasi Da li se dualnost može uvesti na sve čestice, one sa nultom masom mirovanja kao što je foton i one sa konačnom masom mirovanja? Za nerelativističke, slobodne čestice, talasna dužina λ materijalne čestice koja ima količinu kretanja p=m 0 v, gdje je m 0 masa mirovanja čestice, a v brzina čestice, prem de Broglieu je: h λ = = p Za relativističke čestice: h m v 0 h λ = = p De Broglieva relacija h mv m = m 0 v 1 c 2 2 Eksperimentalni dokaz? Postoji
8 Talasni vid materijalnih čestica. De Broglievi talasi Primjer. Proračunati de Broglievu valnu dužinu za: a) lopticu mase 0.2 kg koja se kreće brzinom 15 m/s. b) elektron koji je ubrzan potencijalnom razlikom 100 V a) b) m/s
9 Talasni vid materijalnih čestica. De Broglievi talasi Kako ispitati talasna svojstva? Eksperimenti interferencije i difrakcije Valne dužine dobijene u prethodnom primjeru: a) 2,2*10-34 m- premala valna dužina b) 1,23*10-10 m - odgovara redu veličine atoma i udaljenosti atoma u kristalnoj rešetki Dakle, kristalna rešetka bi nam mogla poslužiti kao difraciona mrežica za elektrone. Ako su elektroni valovi oni će da pokazuju valna svojstva (interferencija i difrakcija)
10 Da se podsjetimo... Braggov zakon
11 Davisson-Germer-ov eksperiment Eksperimentalni dokaz za valna svojstva elektrona De Broglie-va relacija DD ϕ Braggov zakon refleksije prvi put upotrebljen za valove materije
12 Eksperimentalna relacija sa prethodne slike detaljnije = Dsin 2 = Dsin λ α ϕ ϕ- ugao izmeñu upadnog i raspršenog snopa elektrona D- poznato iz difrakcije X-zraka na niklu
13 Davisson-Germer-ov eksperiment Opis eksperimenta: 1. Užarena katoda emituje elektrone koji se ubrzavaju i rasijavaju na kristalu nikla 2. Tamo gdje je zadovoljen Braggov uslov difrakcije opaža se maksimum (na 50º) 3. Valna dužina koja se dobije odgovara valnoj dužini koja se dobije iz de Broglieve relacije 4. Ovim je potvrñeno da elektroni imaju valna svojstva 5. Nobelova nagrada za fiziku godine [1] C. J. Davisson and L. H. Germer, Nature (London) 119, 558 (1927). [2] G. P. Thomson and A. Reid, Nature (London) 119, 890 (1927). C. Davisson and L. H. Germer Phys. Rev. 30, 705 (issue of December 1927)
14 Kakva korist od valova elektrona? Rezolucija- mogućnost razdvajanja sitnih detalja koja odreñuje kvalitet slike Rezolucija naših očiju je oko mm. Svaki instrument koji nam može otkriti detalje finije od 0.1 mm možemo zvati mikroskopom Ograničenja mikroskopa koji koristi vidljivu svjetlost zbog difrakcije na kružnim otvorima mikroskopa Što je manja valna dužina to je veći broj detalja vidljin na slici- bolja rezolucija Koristiti elektrone? Zašto da ne- elektronski mikroskop
15 Slike pojedinačnih atoma na STM-u Dodatno obojeni izgled atoma joda koji su adsorbovani na površini kristala platine. Ovdje žuti spot pri dnu slike predstavlja mjesto gdje nedostaje atom
16 Krug prečnika 14 nm kojeg čine atomi željeza na bakarnoj površini: slika sa STM-a (Scanning Tunneling Microscope)
17 Valovi materije- valovi vjerovatnosti Danas je poznato da elektroni nisu jedine čestice za koje je dokazano da imaju talasna svojstva. To su još i neutroni,a tomi pa čak i molekule Šta su ustvari de Broglievi talasi materije? U slučaju valova vode, zvuka ili svjetla znamo koje veličine se mijenjaju. (animacija) Šta se to mijenja u slučaju valova materije? Veličina koja se mijenja u slučaju valova materije je valna funkcija (amplituda talasa materije) čije je simbol Ψ. Vrijednost valne funkcije koja se pripisuje tijelu na odreñenom mjestu x,y i z i u odreñenom vremenu je vezana za vjerovatnost nalaženja tijela na tom mjestu u tom trenutku.
18 Valovi materije- valovi vjerovatnosti Ova veličina nema fizikalni smisao i ne može se eksperimentalno odrediti. Vjerovatnost da je nešto na odreñenom mjestu u odreñeno vrijeme se mijenja izmeñu 0 (objekat nije tamo) i 1 (objekat je tamo). Veličina Ψ tj. amlituda svakog vala može biti i negativna i pozitivna tako da ne može biti opservabilna Ono što ima fizikalni smisao je veličina l Ψ l 2, tj. kvadrat apsolutne vrijednosti valne funkcije koja predstavlja gustoću vjerovatnosti. Veliko l Ψ l 2 znači da je vjerovatnost nalaženja objekta velika Sve dok god l Ψ l 2 nije jednako nuli postoji šansa tj. vjerovatnost da se objekat može naći na tom mjestu
19 2 * ρ = Ψ = ψψ Gustoća vjerovatnosti (da česticu nađemo na nekom mjestu) ψ * : kompleksno konjugovana (tj., z = x + iy and z * = x - iy) V ρ dv + 2 = Ψ dv = 1 Normiranje Ψ = k i( kr ωt) Ae 2π k = λ 2π h h λ = = = k p mv jednačina ravnog vala u tri dimenzije- kompleksna veličina (pažnja-može se napisati i preko funkcije sin ili cos) Valni vektor Valni broj Valna dužina (posljednja jednakost vrijedi samo za čestice sa m različito od nule.
20 Heisenbergove relacije neodreñenosti (nepouzdanost mjerenja kompelemnarnih veličina) The more precisely the position is determined, the less precisely the momentum is known in this instant, and vice versa. --Heisenberg, uncertainty paper, 1927
21 Heisenbergove relacije neodreñenosti (nepouzdanost mjerenja kompelemnarnih veličina) Dualizam val-čestica- simetrija prirode Niels Bohr (princip komplemnatrnosti)-valna i čestična slika su komplementarne Werner Heisenberg godine- relacije neodreñenosti Govore o nepouzdanosti istovremenog mjerenja tzv. komplementarnih veličina Komplementarne veličine: Položaj (x) Impuls( p x ) Energija (E) Vrijeme (t) Ugao (ϕ) Ugaona količina kretanja (L) Rezultat su interakcije mjernog ureñaja i objekta u procesu mjerenja
22 Heisenbergove relacije neodreñenosti x p E t ħ 2 ħ 2 Pošto je vrijednost h jako mala, ovaj fenomen se manifestuje na nivou atoma
23 Heisenbergove relacije neodreñenosti
24 Čestični pristup objašnjenja Heisenbergovih relacija Da bismo vidjeli elektron, moramo ga osvijetliti Svjetlošću koja se sastoji od fotona implusa h/ λ. Sudarom fotona i elektrona, impuls elektrona se mijenja. Promjena je reda veličine h/ λ Minimalna nesigurnost mjerenja ograničena je valnom dužinom fotona tj. x λ Kombinujući ove relacije p x h što je konzistentno sa Heisenbergovim relacijama x p ħ 2 Sam talasni karakter materije je uzrok ove neodreñenosti o čemu će više biti govora u kvantnoj mehanici
25 Primjer 1 Pobuñeni atom emituje foton odreñene frekvencije. Vrijeme koje proñe izmeñu pobuñenja atoma i emitovanja fotona je 10-8 s. Naći neodreñenost frekvencije emitovanog fotona. ħ E t 2 34 ħ 1, Js E = = 5, t 2 10 s E 6 ν = 8 10 Hz h 27 J
26 Talasna funkcija i kvatnizacije energije Klasična mehanika (opisuje talase na žici, akustičke talase), Maxwellove jednačine (opisuju EM valove) Opisivanje kretanja elektrona u atomu- valna jednačina- valna mehanika (kvantna) Da se podsjetimo... Ψ- valna funkcija (amplituda vala koji je povezan sa česticom)- nema fizikalno značenje 2 * Kvadrat amplitude Ψ = ΨΨ predstavlja vjerovatnost da se čestica nañe na nekom mjestu
27 Talasna funkcija i kvatnizacije energije Razmotrićemo kretanje elektrona mase m izmeñu dva neprobojna zida razmaknuta za L (slika a) Kretanje elektrona je opisano valnom funkcijom Ψ Analogni problemi u Njutnovoj mehanici (zategnuta žica uklještena na krajevima, slika b) i u Maxwellovoj elektrodinamici (EM zračenje izmeñu dva ogledala, slika c) L x
28 Talasna funkcija i kvatnizacije energije Rješenje ovog problema dobijamo iz valne jednačine (ovo je za 1D slučaj): 2 2 y 1 y = x v t f v f F = µ 1 2 v f - fazna brzina, F- sila zatezanja u žici, µ- masa po jedinici dužine
29 2π y( x = 0, t) = ym sinωt = ym sin t T x t = v ' x y( x, t) = ym sin ω( t t) = ym sinω ± t v x t y( x, t) = ym sin 2π ± λ T y( x, t) = y sin( kx ± ωt) m k = 2π λ Razdvajanem gornje jednačine na dva vala koji se kreću na desno i na lijevo dobijamo dva rješenja. Princip superpozicije kaže da je njihova kombinacija rješenje valne jednačine (, ) m sin ( ω ) m sin ( ω ) 2y sin kx cosωt y ( x) y ( t) y x t = y kx t + y kx + t = = m = Jednačina stojećeg talasa
30 Kod stojećih talasa čvorovi ne osciluju- u tim tačkama vrijedi uslov: kx=π, 2π, 3π,... x=λ/2, λ, 3λ/2, 2 λ,... Žica može oscilovati samo sa diskretnim vrijednostima valnih dužina (frekvencija): λ=2l/n n=1,2,3,..., kvantizacija frekvencije ν=v/ λ=n v/2l Napišimo izraz za amplitudu i uvrstimo λ: y x y ( ) = sin max n=1,2,3,... n nπ x L
31 Analogno dobivamo za amplitudu električnog polja za stojeće EM valove n=1,2,3,... Za valnu funkciju elektrona Kvantizacija energije: E n ( ) = sin max E x E Ψ n ( x) = Ψ sin max nπ x n=1,2,3,... n L nπ x L p h h = = = n 2m 2m λ 8mL 2
32 Vremenski nezavisna Schrödingerova jednačina.. Je uvedena 1926.g. kako bi se uveo elektron kao de Broglie-v talas : Do nje se može doći polazeći od klasične valne jednačine i de Broglieve relacije da elektron ima valna svojstva Krećemo od klasične 1D valne jednačine 2 2 y 1 = x v t y f
33 Vremenski nezavisna Schrödingerova jednačina U valnoj mehanici Schrödingera y je valna funkcija Ψ(x,t) Uzmimo nerelativistički sistem energije E koja je konstantna ν=e/h Rastavimo valnu funkciju na dva nezavisna dijela: prostorni (1D) i vremenski: Ψ(x,t)=ψ(x)ϕ(t) Pošto nam je frekvencija konstantna (precizno odreñena) uzmimo da se vremenski dio mijenja periodično sa vremenom: ϕ(t)=cosωt=cos2 πνt
34 2 2 Ψ x, t 1 Ψ x, t = x v t Izvedeno na tabli ( ) ( ) f ħ 2 2m d ψ 2 dx ( x) ( E V ) ψ ( x) + = 0 2 1D, vremenski nezavisna, nerelativistička Schrödingerova jednačina Ukoliko znamo potencijalnu energiju kao funkciju položaja čestice možemo lako izračunati dozvoljene valne funkcije i energije sistema
35 Vremenski nezavisna (stacionarna)schrödinger-ova jednačina E : vlastita vrijednost energije ψ : talasna funkcija ψ 2 = ψ * ψ Vjerovatnost nalaženja čestice ψ * : kompleksno konjugovana (tj., z = x + iy and z * = x - iy) de Broglie-ev val operator ψ 2 = 1: normiranje
36 Nerelativistička Schrödingerova jednačina Hˆ Ψ = Eˆ Ψ 2 2 ˆ ˆ ˆ ħ H = T + V = + V 2 2m x Eˆ = iħ t 2 2 ħ Ψ Ψ + V Ψ = iħ 2 2m x t Hˆ Ψ = EΨ 2m E ħ 2m E ħ 2 Ψ ( V ) Ψ = x Ψ Ψ = 0, k Ψ = x 0 Ψ x Za slobodnu česticu V=0
37 Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger ( ) Nobelova nagrada (1933)
38 Talasna funkcija i vjerovatnoća Valna funkcija- nema fizikalno značenje 1925 Max Born je doprinio razvoju kvantne mehanike jer je pokazao da se Schrödingerova valna funkcija može interpretirati kao statističko predviñanje varijabli- ψ 2 = ψ * ψ je mjera vjerovatnosti da se čestica nalazi na tom mjestu Max Born ( ) Nobelova nagrada (1954)
39 Talasna funkcija i vjerovatnoća Ψ n ( x) = Ψ sin max nπ x L Gdje možemo naći elektron 0<x<L? Vjerovatnost nalaženja elektrona izmeñu dvije ravni koje su na položajima x i x+dx je jednaka: ( ) sin nπ x dp = Ψ n x dx = Ψmax dx L Vjerovatnost nalaženja elektrona izmeñu 0 i L jednaka je: L L P = dp = Ψ x dx = n ( ) Napomena: kad imamo razmatranje u 3D tada govorimo o vjerovatnosti po jedinici zapremine
40 Talasna funkcija i vjerovatnoća Predstavimo grafički funkciju n=1,2,3,... Ψ ( x) 2 2 sin 2 n = Ψ max nπ x L Klasična teorija predviña svuda istu vjerovatnost (horizontalna linija na Slici) Za n=1 vidimo veću vjerovatnost Nalaženja elektrona u sredini nego na krajevima Za veće n=15 vidimo da se kvantna teorija približava klasičnoj- u skladu sa Borovim principom korespondecije
41 Elektron koji se kreće oko jezgra Razmotrimo sad isti problem za elektron koji se kreće oko jezgra po osnovnoj putanji Borove teorije: Energija tog elektrona je izvedena prije i iznosi: E = m e 8ε 4 e h Valna funkcija osnovnog stanja (n=1) atoma hidrogena je iz kvantne mehanike (ovo će se detaljno obrañivati i izvoditi na kursu Kvantne mehanike): 1 ( r) e r1 Ψ = π r 3 1 r r 1 =0,53 A- Borov radijus
42 Ovdje r 1 ne znači isto što i u Borovoj teoriji, jer kvantna mehanika ne poznaje orbite kao takve. Ovde je r 1 dogovorena jedinica mjere, kao 1m u svakodnevnom svijetu, r 1 je jedinica dužine u svijetu atoma Vjerovatnost po jedinici zapremine da će se elektron naći unutar zapremine dv koja je na udaljenosti r od jezgra atoma je po analogiji sa ranijim razmatranjem jednaka: 2 Ψ r = 1 ( ) r1 π r 3 1 e r 2 Radijalna gustoća P(r)dr je vjerovatnost da će se elektron nalaziti izmeñu sfernih ljuski radijusa r i r+dr Zapremina tankog omotača ljuske je dv=4πr 2 dr
43 P(r) A ( ) = Ψ ( ) = 4π Ψ ( ) P r dr r dv r r dr 4 P r r r r e r r r1 ( ) = 4π Ψ ( ) = Nacrtajmo grafik funkcije P(r) (ja sam koristila program Mathematica) r/r 1 Uočimo da je najvjerovatnija radijalna komponenta (P(r)=1) ona koja odgovara Borovom radijusu prve orbite (r=r 1 )- to je po kvantnoj mehanici mjesto gdje elektron može biti prije nego na bilo kojem drugom mjestu
44 Kvantno-mehanički model atoma Po ovom modelu atoma elektroni ne postoje u jasno definiranim kružnim orbitama kao u Bohr-ovom modelu. Radi svoje valne prirode elektron predstavlja oblak negativnog naboja. Veličina i oblik elektronskog oblaka može da se izračuna za dato stanje atoma. Za osnovno stanje atoma vodonika elektronski oblak je sferno simetričan. Elektronski oblak ugrubo odreñuje veličinu atoma; ali baš kao što oblak nema preciznu granicu, tako ni atomi nemaju jasnu granicu niti dobro definiranu veličinu. Meñutim, nemaju svi elektronski oblaci sferni oblik. Elektronski oblak
45 Kvantno-mehanički model atoma Prema kvantno-mehaničkom pristupu, u atomu položaj elektrona se ne može potpuno sigurno odrediti, već se može govoriti samo o većoj ili manjoj vjerovatnoći nalaženja elektrona u nekom delu prostora oko jezgra. a 0 Položaj elektrona se uobičajeno predstavlja oblakom vjerovatnoće, čija se gustina mijenja postepeno od tačke do tačke.
46 Elektronski oblak Elektronski oblak može da se interpretira bilo kao čestica ili kao talas. Čestica je nešto što mislimo da je lokalizovano u prostoru ima tačno definirani položaj u svakom momentu. Nasuprot tome, talas je nešto što se širi negdje u prostoru i elektronski oblak može tako da se interpretira. Meñutim, elektronski oblak može da se interpretira i kao raspodjela vjerovatnih položaja čestice. Ako bismo napravili 500 različitih mjerenja položaja elektrona posmatrajući ga kao česticu, većina rezultata bi pala u tačke velike vjerovatnosti (oblast veće gustine tačaka). Ovdje ne možemo odrediti putanju po kojoj bi se elektron kretao. Samo možemo odrediti vjerovatnost njegovog nalaženja u raznim tačkama. Matematička vrijednost ove vjerovatnosti leži izmeñu 0 i 1. Ovdje 0 znači nikad, a 1 znači uvijek. Na primjer ako je vjerovatnost nalaženja elektrona u okviru nekog radijusa 0,4, to znači 40% mogućnosti da se elektron nañe u tom prostoru.
47 Kvantno-mehanički model atoma Pojedinačni elektron može u raznim trenucima biti detektovan bilo gdje u ovom oblaku vjerovatnosti; on čak ima i izvjesnu, mada veoma malu, vjerovatnost da se nañe unutar jezgra. Meñutim, najčešće se kroz proračun vjerovatnosti njegovog nalaženja na nekom mjestu, detektuje na mjestima koja su nagomilana oko udaljenosti od jezgra koja odgovara prvom Bohrovom radijusu i tu je elektronski oblak vodikovog atoma u osnovnom stanju najgušći. Elektronski oblak
48 Kvantno-mehanički model atoma Ova teorija se uspješno bavila spektrima koje emituju složeni atomi čak i u sitnim detaljima. Ona objašnjava i relatvni intenzitet spektralnih linija kao i to kako atomi formiraju molekule. Toliko je bila uspješna u svim mogućim objašnjenjima do tada neobjašnjivih fenomena da je postala opće prihvaćena fundamentalna teorija koja leži u osnovi svakog fizikalnog procesa.
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραUVOD U KVANTNU TEORIJU
UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU 1.) FOTOELEKTRIČKI EFEKT 2.) LINIJSKI SPEKTRI ATOMA 3.) BOHROV MODEL ATOMA 4.) CRNO TIJELO 5.) ČESTICE I VALOVI Elektromagnetsko zračenje UVOD U KVANTNU TEORIJU
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραPP-talasi sa torzijom
PP-talasi sa torzijom u metrički-afinoj gravitaciji Vedad Pašić i Dmitri Vassiliev V.Pasic@bath.ac.uk D.Vassiliev@bath.ac.uk Department of Mathematics University of Bath PP-talasi sa torzijom p. 1/1 Matematički
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραDISPERZIVNI I NEDISPERZIVNI TALASI
DISPERZIVNI I NEDISPERZIVNI TALASI Najpoznatiji primer nedisperzionog talasa je eketromagnetni talas u vakuumu. Nedisperzivni talasi imaju disperzivnu realciju o obliku, gde je c konstanta, tako da je
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραUsavršavanje Borovog modela
Usavršavanje Borovog modela Vilson-Sommerfeldova pravila kvantovanja Odakle dolaze: Bohr ovo pravilo kvantizacije momenta impulsa elektrona? mvr=nh/π Planck ovo pravilo kvantizacije energije elektromagnetnog
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραAtomi i jezgre 1.1. Atomi i kvanti 1.2. Atomska jezgra λ = h p E = hf, E niži
tomi i jezgre.. tomi i kvanti.. tomska jezgra Kvant je najmanji mogući iznos neke veličine. Foton, čestica svjetlosti, je kvant energije: gdje je f frekvencija fotona, a h Planckova konstanta. E = hf,
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραKvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραSTRUKTURA ATOMA. Dalton (1803) Tomson (1904) Raderford (1911) Bor (1913) Šredinger (1926)
Dalton (1803) Tomson (1904) Raderford (1911) Bor (1913) Šredinger (1926) TALASNO MEHANIČKI MODEL ATOMA Hipoteza de Brolja Elektroni i fotoni imaju dvojnu prirodu: talasnu i korpuskularnu. E = hν E = mc
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραRelativistička kvantna mehanika
Relativistička kvantna mehanika zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 8. jul 2016. 1. Pokazati da generatori Lorencove grupe S µν = i 4 [γµ, γ ν ] zadovoljavaju Lorencovu algebru:
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραSPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA
Spektroskopija je proučavanje interakcija elektromagnetnog zraka (EMZ) sa materijom. Elektromagnetno zračenje Proces koji se odigrava Talasna dužina (m) Energija (J) Frekvencija (Hz) γ-zračenje Nuklearni
Διαβάστε περισσότερα7. MEHANIČKI VALOVI I ZVUK
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA FIZIKA I 7. MEHANIČKI VALOVI I ZVUK 7.1 Prostiranje valova u elastičnoj sredini Ako se na jednom mjestu elastične sredine (čvrste, tečne ili plinovite) izazovu
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα