Usavršavanje Borovog modela
|
|
- Χθόνια Γκόφας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Usavršavanje Borovog modela
2 Vilson-Sommerfeldova pravila kvantovanja Odakle dolaze: Bohr ovo pravilo kvantizacije momenta impulsa elektrona? mvr=nh/π Planck ovo pravilo kvantizacije energije elektromagnetnog zračenja? E=nhν Generalizacija za periodične sisteme: Wilson-Sommerfeld ova pravila kvantovanja: Za svaki fizikalni sistem u kojem su koordinate periodične funkcije vremena, postoji kvantni uslov za svaku od tih koordinata. Ti kvantni uslovi su slijedeći: q : p n q q : : : pq dq = Jedna od koordinata (generalisana koordinata) Generalisani impuls generalisane koordinate q Kvantni broj Integracija se vrši preko jednog perioda koord. n q h q
3 Generalisana koordinata i impuls Generalisane koordinate i impulsi predstavljaju koordinate tzv. faznog prostora. Generalisana brzina qɺ l = dq dt l Generalisani impuls p l E = qɺ K l
4 Vilson-Sommerfeldova pravila kvantovanja Pokazaćemo na primjerima da ova pravila vrijede za neke nama poznate periodične sisteme 1. Linearni harmonijski oscilator (LHO). Kružno kretanje u polju centralne sile- rotator (elektron koji se kreće oko jezgra)
5 Primjer 1: Jednodimenzionalni prosti harmonijski oscilator x = Asinωt dx = xɺ = Aω cosωt dt mv mxɺ EK = = p x E xɺ K = = mxɺ x je generalisana koordinata p dx x = n h x ω ω ω ω ω ω pxdx = ma cos t Acos tdt = m A cos tdt
6 Primjer 1: Jednodimenzionalni prosti harmonijski oscilator Ukupna energija LHO je (k=mω ): mxɺ kx m 1 E = EK + EP = + = ( Aω cosωt ) + ω m( Asinωt) = mω A mω A ka = ( cos ωt + sin ωt ) = = pxdx = E cos ωtdt ωt = θ π 1 π cos ωtdt = dθ = cos θ dθ = dt = ω ω 0 ω π E pxdx = = nxh = nh ω nhω E = = nhν π
7 Primjer 1: Jednodimenzionalni prosti harmonijski oscilator - geometrijska interpretacija dx( t) x( t) = A cos ωt = ω A sin ωt = v( t) dt Površina elipse je πab dv( t) a( t) = = ω A cosωt dt k F = a( t) m = kx( t) ω m = k ω = = πν m px kx p x x E = E K + E P = + + = 1 m me E / k p x x + = 1 za b = me, a = E / k Jednačina elipse b a p dx = π ab = π me E / k = π E / ω x = E / ν = n h = nh x E = nhν Fazni dijagram E = E( n + 1) E( n) = ( n + 1) hν nhν = hν h 0 E 0 kontinuirana energija
8 Primjer 1: Jednodimenzionalni prosti harmonijski oscilator E=nhν- ovo nam je poznata formula koju je Planck koristio pri izvoñenju zakona zračenja ACT kao i Einstein u foto-električnom efentu U njihovim proračunima je kao model služio harmonijski oscilator Dakle W-Z pravila rade
9 Primjer : Kvantizacija momenta impulsa za Bohr ov atom Elektron koji se kreće po kružnoj orbiti ima moment količine kretanja L=mvr koji je konstantan(pošto se radi o centralnoj Kulonovoj sili, moment sile je nula, odakle se dobije da je moment količine kretanja konstantan). Uzećemo za generalisanu koordinatu ugao ϑ koji se za jedan period promijeni od 0 do π. Generalisani impuls je: EK mv mr ω mr ɺ θ pθ = = = = = mr ɺ θ = mr ω = mrv = L ɺ ɺ ɺ ɺ π θ θ 0 θ θ θ θ Pravilo kvantizacije: p dθ = n h Ldθ = L dθ = π L nh π L = nh L = = nħ π nh L = mvr = pr = nħ = π h mvr = n π Poznati Borov uslov kvantiziranja momenta impulsa r m
10 De Broglievi stojeći talasi Fizikalnu interpretaciju Borovog pravila kvantizacije momenta impulsa dao je de Broglie 194. godine. On je pretpostavio da se i česticama može pridružiti talas odgovarajuće valne dužine. Ranije smo uveli foton čiji je impuls p=hν/c=h/λ Prema tome je valna dužina fotona λ=h/p De Broglie je predložio da je gornja jednačina opšta tj. da se može primijeniti i na čestice materije, u ovom slučaju elektrone u atomu h de Broglieva valna dužina λ = p = p h nh r = π r = nλ, n = 1,,3... λ π Prema ovome dozvoljene orbite su one čiji obim (πr) je jednak cijelom broju de Broglievih valnih dužina h λ
11 Ovo znači da ukoliko svjetlost ima dokazano čestičnu i valnu prirodu, mogli bismo očekivati da i druge čestice posjeduju tu dvostruku prirodu. To znači da bi kretanje elektrona u orbiti oko jezgra vodonikovog atoma moglo biti analogno vibracijama žice koja ima oblik kružnice. λ=h/p=h/mv Za elektron koji kruži oko jezgra iz jednakosti centripetalne i Kulonove sile dobija se brzina elektrona: v 1 e h 4πε 0r = λ = 4πε mr 0 e m Kada se r 1 =0,53 *10-10 m (1. Borova orbita) uvrsti u λ, dobije se λ=33*10-11 m Obim 1. Borove orbite je πr 1 =*3,14*0,53*10-10 m=33*10-11 m tj. π r = 1 λ, 1 Orbita elektrona u atomu vodika odgovara jednom kompletnom elektronskom talasu čiji su početak i kraj u jednoj tački, a koja je ustvari stojeći talas ravne žice čvrsto ukliještene u oba kraja
12 Kod idealno elastične kružne žice broj talasnih dužina po obimu kruga je jednak cijelom broju talasnih dužina koje se nadovezuju jedna na drugu. de Broglievi stojeći talasi Sad ima smisla i pretpostavka da elektron može kružiti oko jezgra bez zračenja energije. Ako elektronske orbite sadrže cijeli broj valnih dužina, znamo da kod stojećih valova izmeñu čvorova nema razmjene energije jer su čvorovi uvijek nepokretni, a energija je zarobljena izmeñu njih
13 Stabilne orbite π r n nλ = n-cijeli broj talasnih dužina na orbiti λ 1 = h 4πε 0rn e m 1 = h 4πε 0rn π rn n e m h ε 0 rn = n, n = 1,,3... π me Dobili smo identičan izraz za radijus orbita Borovog atoma vodika
14 Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Primjena Borovog modela na složenije atome nije moguća Potreba za dodatnim uslovima kvantovanja Iz Wilson-Sommerfildovih pravila kvantovanja slijedi da u fizikalnom sistemu u kojem su koordinate periodične funkcije vremena postoji onoliko kvantnih uslova koliko ima nezavisnih koordinata tj. stepeni slobode Kretanje po krugu- jedna koordinata (jedan kvantni uslov), kretanje po elipsi- dvije koordinate (dva kvantna uslova) Kružne orbite u Borovom modelu- specijalan slučaj opštijeg modela eliptičnih orbita kao kod planeta Za opisivanje ovog kretanja pogodan je polarni koordinatni sistem
15 Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Važna primjena W-S pravila kvantovanja je slučaj atoma vodika gdje se pretpostavlja da se elektron kreće po eliptičnim, a ne po kružnim orbitama Ovo je primijenio Sommerfeld u cilju objašnjenja tzv. fine strukture tj. cijepanja spektralnih linija koji je primijećen u atomima Te linije su jako blizu jedna drugoj što mora značiti da ono za šta smo mislili da je jedno energetsko stanje se sastoji od nekoliko stanja
16 Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Za opisivanje eliptičnog kretanja pogodan je polarni koordinatni sistem x = r cosϕ y = r sinϕ Element luka orbite ds u polarnom koordinatnom sistemu je: ds = dr + r dϕ Energija elektrona koji se kreće po eliptičnoj putanji u polju Kulonove sile je: mv Ze m ds Ze m ( ) Ze E = EK + EP = = = rɺ + r ɺ ϕ 4πε r dt 4πε r 4πε r 0 0 0
17 Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Generalisane koordinate su r i ϕ, a generalisani impulsi p r i p ϕ : p p r E rɺ E ɺ ϕ K = = K ϕ = = mrɺ mr ɺ ϕ Prema Wilson-Sommerfeldovim pravilima kvantovanja: p dr r = n h r radijani kvantni uslov p dϕ = ϕ n h ϕ azimutalni kvantni uslov n r i n ϕ su radijalni i azimutalni kvantni broj
18 Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Kad uvrstimo izraze za generalisane impulse, energija sistema je: E = p + 1 ϕ Ze pr m r 4πε 0 r Iz izraza za energiju se može dobiti radijalni generalisani impuls kao: p r Zme = me + 4πε 0r 1 p ϕ r
19 Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Nañimo prvo azimutalni kvantni uslov: p dϕ = n h ϕ pϕ = mr ϕ = const π ϕ p dϕ = π p = n h p = n ɺ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 0. Pošto se radi o centralnoj sili, kao i ranije moment sile je nula pa je moment impulsa konstantan Uvrštavajući izraz za p ϕ u radijalni generalisani impuls i primjenjujući radijalni kvantni uslov dobijamo: ħ 1 nϕħ Zme me + dr = n rh 4πε 0r r
20 Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Izračunavanjem gornjeg integrala (provjeriti!) dobija se: E = mz e 4 ( ) πε ħ ( n + n ) 4 0 ϕ r Ovaj izraz je identičan izrazu za energiju elektrona na n-toj kružnoj orbiti koji smo ranije dobili u Borovoj teoriji, osim što je umjesto broja n sad u izrazu broj n θ +n r.. Dakle vrijedi relacija: n= n ϕ +n r n=1,,3,...- glavni kvantni broj Vrijednosti brojeva n ϕ i n r se dobiju iz n ϕ =1,,3,...- azimutalni kvantni broj uslova kretanja po eliptičnoj putanji n r =0,1,,3,... - radijalni kvantni broj (pokazati na vježbama)
21 Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Za veliku i malu poluosu elipse se dobiju vrijednosti (pokazati na vježbama): a b = = r1 Z r 1 n n n ϕ Z r 1 je Borov radijus ε h 0 1 = π mee r
22 Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Ako je n=1, onda je n ϕ =1, a n r =0- kretanje po kružnici tj. dobiju se iste vrijednosti za malu i veliku poluosu elipse (a=b=r 1 ) Ako je n= onda može biti n ϕ =, n r =0 (a=4r 1, b=4r 1 ) ili n ϕ =1, n r =1 (a=4r 1, b=r 1 ) Ove dvije mogućnosti daju različite putanje elektrona Za n=3 postoje tri različite mogućnosti itd. Pošto energija zavisi samo od glavnog kvantnog broja n, vidimo da za istu energiju imamo više mogućih putanja elektrona (različito n ϕ )
23 Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Jednoj energiji odgovara više različitih orbita Stanja sa istom energijom, a različitim putanjama zovu se degenerisana stanja. Stanje n= je dvostruko degenerisano, stanje n=3 je trostruko degenerisano itd. Napomena: na slici je broj n ϕ označen kao n θ
24 Sommerfeld ov model Sommerfeld je otklonio degeneraciju tako što je problem tretirao relativistički. Za elektron u atomu hidrogena ako je orbita veoma eliptična brzina postaje relativistička Korekcija energije tada odgovara redu veličine cijepanja nivoa hidrogena v / c 10 E 4 ( v / c) 10 (ev) cijepanje nivoa E 4 µ Z e α Z 1 3 = [1 + ( )] (4 πε ) nħ n n 4n 0 1 e 1 α = 4πε ħc ϕ konstanta fine strukture Ukupna energija elektorna na orbiti gdje je µ- redukovana masa elektrona (kad se uzme u obzir i masa jezgra)
25 Selekciono pravilo: = ± 1 n ϕ Mogući prelazi Napomena: na slici je broj n ϕ označen kao n θ Prelazi označeni iscrtakim linijama nisu uočeni eksperimentalno
26 Prostorno kvantovanje Do sada smo posmatrali kretanje elektrona samo u jednoj ravni po kružnoj ili eliptičnoj putanji što je definisano glavnim kvantnim brojem n i azimutalnim kvantnim brojem n ϕ (koji kao što smo vidjeli odreñuje oblik orbita) Meñutim ako uzmemo da se elektron kreće u prostoru, moramo mu pridružiti i treću koordinatu. Drugim riječima orbitale imaju različite orijentacije u prostoru, što je takodje kvantizirano kretanje definisano novim kvantnim brojem, koji se naziva se magnetski kvantni broj- (proučavanjem uticaja magnetskog polja na atomske spektre došlo se do zaključka da ravni u kojima leže orbite elektrona ne mogu imati proizvoljne položaje u prostoru) Utvrñivanje dozvoljenih položaja u prostoru je izvršeno procesom tzv. prostornog kvantovanja prema Wilson-Sommerfeldovim uslovima
27 Prostorno kvantovanje Koordinatni sistem sferni odreñen sa tri koordinate r, θ ψ Neka je vertikalna Z osa orijentisana duž vanjskog magnetnog polja Položaj elektrona A u prostoru odreñuju tri koordinate: radijus vektor r, Polarni ugaoθ i Ekvatorijalni ugao ψ Ugao BJA je kao i ranije ϕ
28 Prostorno kvantovanje Intenzitet momenta količine kretanja p ψ predstavlja projekciju momenta količine kretanja p ϕ na vertikalnu tj. magnetnu osu Z pa vrijedi: p = p cos ψ ϕ α Uslovi kvantovanja: p dr r = n h r p dψ = ψ p dθ = θ n h ψ n h θ
29 Prostorno kvantovanje Kinetička energija elektrona u sfernim koordinatama je: m EK = r + r + r Ukupna energija elektrona je: ( ɺ θ sin θψ ) Ze E = EK + EP = pr + p p θ + ψ m r r sin θ 4πε r 0
30 Prostorno kvantovanje Moment centralne Kulonove sile je nula pa slijedi da je p ϕ =const. Tada je i generalisani impuls p ψ =const. jer je pψ = pϕ cosα Relacija povezuje ugaoni momenat p ϕ sa njegovom projekcijom na Z osu π p dψ = n h = p dψ = π p ψ ψ ψ ψ 0 h pψ = nψ = nψħ π h pϕ = nϕ = nϕħ π Ranije smo dobili cos α = n n ψ ϕ
31 Prostorno kvantovanje Znamo da je -1 cosα 1 -n ϕ n ψ n ϕ Pošto je n ϕ =1,,3,... onda su moguće vrijednosti n ψ =0, ±1,±, ±3,... ± n ϕ n ψ se zove magnetni kvantni broj i odreñuje moguće položaje elektronske orbite u prostoru Prostorno kvantovanje kao rezultat daje da su mogući samo oni položaji elektronske orbite u prostoru čije su projekcije p ψ vektora momenta količine kretanja na vertikalnoj magnetnoj osi Z jednake cjelobrojnom umnošku konstante ћ: p ψ = nħ ψ
32 Primjer Prostorno kvantovanje
33 Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Ova otkrića (Borov model atoma i pravila kvantovanja) vodila su do razvoja moderne kvantne mehanike Često se zovu i stara kvantna teorija koja je u suštini klasična teorija uz dodatak pravila kvantizacije i dualne prirode makroskopskih objekata Stara kvantna teorija je imala dosta uspjeha u objašnjenju raznih fenomena, a jedan od najvećih su kvantizirane vrijednosti energije koje su potvrñene eksperimentalno ili npr. toplotni kapacitet čvrstih tijela na niskim temperaturama Ipak, mnogi aspekti fizike, uglavnom za sisteme sa više elektrona ostali su neobjašnjeni
34 Kritika stare kvantne teorije (1) Wilson-Sommerfeld ova kvantizacija se koristi samo za periodični sistem () Može se koristiti za računanje dozvoljenih stanja, ali ne može da se koristi za računanje brzine prelaza. (3) Ona je uspješna samo za sisteme sa jednim elektronom, a sasvim neupotrebljiva za sisteme sa dva ili više elektrona. (4) Cijela teorija nije konzistenta 195. godine E. Schrdinger razvija kvantnu mehaniku Razlikuje se od stare kvantne teorije gdje se elektroni kreću po dobro definiranim orbitama Ipak stara kvantna teorija se još uvijek upotrebljava kao prva aproksimacija tačnije moderne kvantne mehanike jer daje dobre rezultate sa manje komplikovanim matematičkim aparatom Takoñe omogućava da se bolje vizualizira proces koji se teško može vizualizirati na jeziku kvantne mehanike koji je dosta apstraktan
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότερα, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραkvantovanim elektronskim orbitama. set matematičkih i konceptualnih alata je stvoren do godine
Dr Dejan Gvozdić Fizika : Elementi atomske i kvantne fizike 04 Dr Dejan Gvozdić.900. godina Rad Ma Planck-a na problemu zračenja crnog tela uvođenje kvanta energije.. 93. godina Niels Bohr predlog modela
Διαβάστε περισσότεραPP-talasi sa torzijom
PP-talasi sa torzijom u metrički-afinoj gravitaciji Vedad Pašić i Dmitri Vassiliev V.Pasic@bath.ac.uk D.Vassiliev@bath.ac.uk Department of Mathematics University of Bath PP-talasi sa torzijom p. 1/1 Matematički
Διαβάστε περισσότεραSTRUKTURA ATOMA. Dalton (1803) Tomson (1904) Raderford (1911) Bor (1913) Šredinger (1926)
Dalton (1803) Tomson (1904) Raderford (1911) Bor (1913) Šredinger (1926) TALASNO MEHANIČKI MODEL ATOMA Hipoteza de Brolja Elektroni i fotoni imaju dvojnu prirodu: talasnu i korpuskularnu. E = hν E = mc
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραUVOD U KVANTNU TEORIJU
UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU 1.) FOTOELEKTRIČKI EFEKT 2.) LINIJSKI SPEKTRI ATOMA 3.) BOHROV MODEL ATOMA 4.) CRNO TIJELO 5.) ČESTICE I VALOVI Elektromagnetsko zračenje UVOD U KVANTNU TEORIJU
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραSTRUKTURA ATOMA. Dalton (1803) Tomson (1904) Raderford (1911) Bor (1913) Šredinger (1926)
Dalton (803) Tomson (904) Raderford (9) Bor (93) Šredinger (96) OTKRIĆA OSNOVNIH SASTOJAKA ATOMA Do početka XX veka važila je Daltonova atomska teorija o nedeljivosti atoma. Karjem XIX i početkom XX veka
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραMoguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραKVANTNO-MEHANIČKI MODEL ATOMA
KVANTNO-MEHANIČKI MODEL ATOMA Those who are not shocked when they first come across quantum theory cannot possibly have understood it. (Niels Bohr on Quantum Physics) Kvantna mehanika Njutnova mehanika-
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραGravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότερα