SUŠENJE. Koliko vode u jedinici vremena ishlapi s površine tvari ovisi uglavnom:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SUŠENJE. Koliko vode u jedinici vremena ishlapi s površine tvari ovisi uglavnom:"

Transcript

1 SUŠENJE Sušenje je tehnološka operacija kojom se dio vode iz krute tvari uklanja ishlapljivanjem Voda s površine tvari ishlapljuje, čime se smanjuje vlažnost površine tvari i radi nastale razlike koncentracije, voda difundira iz unutrašnjosti prema površini tvari Koliko vode u jedinici vremena ishlapi s površine tvari ovisi uglavnom: o stanju i brzini strujanja zraka nad površinom te o obliku veze između tvari i vode Za difuziju je vode prema površini tvari odlučna je: struktura tvari, te kapilarne pojave i brzina difuzije pare Budući da je voda u krutoj tvari vezana kapilarnim silama, tlak je vodene pare iznad krute tvari MANJI nego tlak vodene pare nad površinom vode kod iste temp. Vodu u krutoj tvari dijelimo na: Slobodnu i Vezanu vlagu Pod pojmom slobodne vlage je voda koja ima beznačajno mali tlak vodene pare u odnosu na tlak pare nad površinom vode kod iste temp. Pod pojmom vezane vlage je voda koja ima mali tlak vodene pare u odnosu na tlak pare nad površinom vode kod iste temp. Tako da se teško može povući oštra linija granice između slobodne i vezane vlage Kod sušenja prvo ishlapi voda iz krupnijih,a zatim iz sitnijih kapilara Sušenje se često prekida u trenutku početka ishlapljivanja vezane vode Strujanje vode iz unutrašnjosti prema površini tvari nastaje na tri načina: Uslijed kapilarnog efekta Difuzijom vodene pare kroz šire kapilare i kapilarnom kondenzacijom Kapilarna se kondenzacija sastoji u tome da voda u nekom mjestu u tvari ishlapi, zatim kroz kapilaru difundira da bi ponovo kondenzirala u nekom užem dijelu kapilare ili na mjestu niže temp. 1

2 Nejednolika temperatura u tvari kao i složenost procesa sušenja kod nestručnog rada uzrokuje deformacije i pucanje proizvoda To dolazi radi visoke temperature ili male vlažnosti zraka sušenja koja brzo opada, pa voda iz unutrašnjosti ne dospijeva u dovoljnoj količini na površinu tvari U tom se slučaju na površini tvari često stvara pokorica koja otežava difuziju ADIJABATSKO SUŠENJE Pod adijabatskim se sušenjem podrazumijeva sušenje kod koga je entalpija i 1 zraka na ulazu u sušaru jednaka entalpiji i 2 zraka na izlasku iz sušare Sušenje se općenito provodi tako da se nad vlažnu tvar u sušari određenom brzinom puše nezasićeni topli zrak koji je prethodno zagrijan Kod toga vodu koja ishlapljuje iz tvari preuzima zrak Istovremeno se u sušaru uvodi G (kg z /s) zraka stanja 1, a iz sušare izlazi zrak stanja 2. Količina vode W koja ishlapi iz tvari: W= G (x 2 x 1 ) (kg v /s) Količina topline Q koju je u jedinici vremena potrebno dovesti u kalorifer: Q= G (i 2 i 1 ) (W) Specifični utrošak topline q tj. količina topline koja se troši za ishlapljivanje 1 kg vode je: i i 2 1 q = [ J / kg v] x x 2 1 Bez obzira da li je poznato kako se mijenja stanje zraka, dovoljno je znati stanje 1 zraka na ulazu u sušaru i stanje 2 zraka na izlazu iz sušare odredi se specifični utrošak zraka Iz jednadžbe za izračun količine vode uz poznatu vlažnost zraka na ulazu u sušaru i specifično opterećenje zraka može odrediti vlažnost zraka na izlazu iz sušare: W kgv x2 = + x1 G kgz STEPENASTO SUŠENJE Ako tvar koja se suši ne podnosi visoku temperaturu, sušenje se obavlja tako da se zrak u sušari dogrijava više puta Dok u tvari koja se suši ima slobodne vlage, temperatura površine tvari teži temperaturi granice hlađenja zraka u sušari Dijelovi površine tvari iz kojih je ishlapila slobodna vlaga teže temperaturi zraka pa može nastati zagorijevanje tvari 2

3 Princip stepenastog sušenja sastoji se u dogrijavanju zraka u sušari u više kalorifera koji su smješteni u sušari Tako se može regulirati temperatura zraka u svakoj fazi sušenja Utrošak topline kod ovog načina sušenja je manji nego kod jednokratnog grijanja zraka OPTOČNO SUŠENJE Kod većine prehrambenih proizvoda osjetljivost na povišenje temperature se javlja u drugoj fazi sušenja Dinamiku ishlapljivanja s površine tvari treba u tom slučaju uskladiti s dinamikom prispjeća vode iz unutrašnjosti prema površini tvari U protivnom dolazi do nastajanje pokorice koja otežava difuziju vode iz unutrašnjosti prema površini tvari Da bi se u sušaru uvodio zrak uvijek istog stanja preporučljivo je dio zraka koji izlazi iz sušare uvoditi u sušaru Na taj način se može izbjeći loš utjecaj promjene stanja svježeg zraka FAZE SUŠENJA Kod sušenja se razlikuje: Predsušenje Sušenje (I faza sušenja) Dosušivanje (II faza sušenja) U fazi predsušenja koja inače traje kratko vrijeme tvar se grije do temperature granice hlađenja (temp. mokrog termometra) U fazi sušenja iz tvari ishlapljuje slobodna vlaga dok je temp. tvari jednaka temp. granice hlađenja U fazi dosušivanja iz tvari ishlapljuje vezana vlaga Temp. tvari pri dosušivanju počinje rasti jer raste tlak pare vezane vlage Tvar u ovoj fazi poprima temp. higroskopne granice hlađenja koja je veća nego temp. granice hlađenja kod ishlapljivanja slobodne vlage jer ima manji tlak pare Do pucanja i deformacije tvari može doći i u fazi dosušivanja i hlađenja nakon sušenja Radi toga brzinu sušenja u fazi dosušivanja treba pažljivo regulirati: Stanje i Brzinu strujanja zraka Brzinu hlađenja tvari RAVNOTEŽA KOD SUŠENJA Između vlažnosti zraka bilo kog stanja i vlažnosti tvari postoji određena ovisnost Ova se ovisnost pregledno može prikazati na ρ, y dijagramu gdje je ρ relativna vlažnost, a y kg vode na 1 kg suhe tvari u nekoj tvari Vlažnost se tvari y 1 kod relativne vlažnosti ρ 1 zove higroskopna vlažnost 3

4 Krivulja (izoterme) ravnoteže kod sušenja BRZINA SUŠENJA Mjernje se mase tvari za vrijeme sušenja u određenim vremenskim razmacima može dobiti linija ovisnosti vlažnosti y tvari o vremenu sušenja Na y, Θ dijagramu se mogu jasno uočiti I i II faza sušenja U I fazi sušenja linija ovisnosti vlažnosti y tvari o vremenu Θ sušenja u y, Θ dijagramu pravac Nakon što se vlažnost tvari smanji na kritičnu vrijednost y k, vlažnost tvari se počinje sporije smanjivati i postepeno se približava ravnotežnoj vlažnosti x Između vlažnosti zraka bilo kog stanja i vlažnosti tvari postoji određena ovisnost Brzina se sušenja kad je vrijednost koeficijenta difuzije D mala može povećati samo povećanjem temp. tvari ( i temp. zraka) Tada se povećava i koeficijent difuzije D Sama brzina dufuzije D se ne može znatnije povećati povećanjem protoka zraka jer osnovni otpor čini kruta faza Promjena vlažnosti tvari kod sušenja i brzina sušenja u različitim fazama PROMJENA PARAMETARA ZRAKA I TVARI KOD ADIJABATSKOG SUŠENJA Bilanca vode dijela sušare kod prolaza kroz sušaru u jedinici vremena m t (kg t /s) suhe tvari i G (kg z /s) je: m t (y-y 1 ) = G (x-x 1 ) (kg v /s) Promjena temp. t i vlažnosti x zraka u sušari pri adijabatskom sušenju može odrediti iz temp. t 1 na ulazu u sušaru i vlažnosti x 1 zraka na ulazu u sušaru Kod protustrujnog sušenja zrak temp. t 1 i vlažnosti x 1 ulazi nad tvar koja se nalazi u II fazi sušenja, a zatim nastrujava nad tvar koja se nalazi u I fazi sušenja Iz jednadžbe pogonske linije se može odrediti vlažnost zraka x 0 na izlazu iz sušare za potrebnu konačnu vlažnost tvari y 2 Razlika je u tome što se kod istosmjernog sušenja svježi zrak uvodi u sušaru nad vlažnu tvar, a izvodi iz sušare na mjestu gdje se nalazi osušena tvar 4

5 SUŠENJE SUBLIMACIJOM Sušenje tvari u zaleđenom stanju kod čega voda iz stanja leda direktno prelazi u paru naziva se sušenje sublimacijom Prelaz pare u kruto stanje naziva se desublimacija, a pseudosublimacija je isparavanje tekućine s prelazom pare u kruto stanje Pod pojmom sublimacije se podrazumijeva i isparavanje krute tvari uz prelaz pare u kruto stanje Kod sublimacije se parna faza sastoji iz hlapive komponente iz krute tvari i vrlo male količine plinske komponente Kod provedbe sublimacije pod vakuumom je tlak pare krute faze manji od atmosferskog Točkom sublimacije tvari se naziva temperatura kod koje je tlak para krute tvari faze jednak ukupnom tlaku plinske faze Sublimacija se koristi i kao fizikalna metoda razdvajanja smjese na sastavne dijelove Sušenje sublimacijom je specifična metoda sublimacije kada voda koja se nalazi u krutom stanju direktno prelazi u paru Ako je tlak zasićenja pare nad krutom tvari (ledom) znatno manji od atmosferskog, sušenje se onda provodi kod znatnog podtlaka Voda se u krutoj tvari čitavo vrijeme nalazi obično u obliku otopine ili je u vezanom stanju Za održavanje vode u obliku leda treba je hladiti i od C do C Sušenje sublimacijom se koristi kada drugi oblici sušenja nisu svrsishodni jer je ova metoda sušenja skupa Kod ovog sušenja se zamrznuta tvar ne skuplja već je porozna To je razlog brze rehidratacije u vodi, a kod niske temp. se sačuvaju prirodni miris i okus Smanjuju se kemijske promjene u tvari, gubitak hlapivih komponenti i stupanj koagulacije i povećanje kiselosti tvari Ako je kontakt između tvari koja se suši dobar, sušenje se provodi kondukcijom, a kod lošeg kontakta zračenjem Maksimalna temperatura ogrijevnog medija ne smije biti veća od temperature taljenja leda Obično se ukloni i do 95% vode za 80% vremna, dok se u preostalih 20% vremena ukloni ostalih 5% vode Ovom metodom se mogu sušiti tvari osjetljive na visoke temperature Kod dubokog vakuuma nastaje hlađenje tvari radi intenzivnog isparavanja vode Ako iz tvari koja se suši odlazi više topline nego što dolazi, tvar se zamrzava Zato treba tvar prethodno zamrznuti u posebnim uređajima ili vakuum komori Vakuum komore se grade od stakla ili metala unutar kojeg je izveden poseban način hlađenja u obliku zmijače Svi dijelovi trebaju dobro brtviti da se izbjegne svaki oblik ulaska zraka u komoru 5

6 Uređaj za sušenje sublimacijom SUŠENJE FLUIDIZACIJOM kod sušenja fluidizacijom se tvar uslijed intenzivnog miješanja sa zrakon ravnomjerno suši kod čega je učin sušenja u jedinici vremena po jedinici površine velik Tvar se u sušaru uvodi kroz usipni lijevak dozatorom Zrak se u sušaru tlači ventilatorom kroz kalorifer i perforiranu rešetku na kojoj se nalazi tvar za sušenje U ovom tipu sušare se ravnoteža vlažnosti zraka i osušene tvari postiže na izlazu Za bilo koju se vlažnost zraka x u sušari može odrediti ravnotežna vlažnost tvari y u x,y dijagramu Tada dobijemo ravnotežnu krivulju (krivulja adijabate) Točka 2 presjeka pogonskog pravca i ravnotežne krivulje odgovara konačnom stanju sušenja (zraka i tvari) Sušenje tvari fluidizacijom TIPOVI SUŠARA Do sada nije usvojena opća podjela sušara, jer se sušare međusobno razlikuju po više karakterističnim osobinama: Načinu dovođenja topline (konvektivne i kontaktne) Vrsti ogrijevnog medija (zrak, plin, paru) Veličini tlaka (atmoferske i vakuum) Provedbi sušenja (kontinuirane i diskontinuirane) Uzajamnom smjeru strujanja zraka i tvari (istosmjerne, protusmjerne i unakrsne) KONVEKTIVNE u kojima se tvar ne giba za vrijeme sušenja ili se giba pomoću posebnih uređaja u kojima se tvar u struji zraka KONTAKTNE 6

7 Konvektivne sušare u kojima se tvar ne giba za vrijeme sušenja ili se giba pomoću posebnih uređaja KOMORNA SUŠARA Može biti zidana ili izgrađena od metalnih ploča u kojima je tvar koja se suši poredana u lijese Lijese su postavljene na vagonete Sušenje se obavlja zrakom kojega u sušaru tlači jedan, a iz sušare odsisava drugi ventilator Zrak se prethodno grije u kaloriferu, a zatim se ventilatorom tlači između donje trećine lijesa Nedostatak je ovih sušara u tome: što sušenje traje relativno dugo (jer tvar miruje za vrijeme sušenja) Imaju mali učin Tvar se nejednoliko suši Utrošak radne snage je velik (jer se tvar na lijese stavlja ručno) Ovisno o tvari, sušenje traje oko 4 ili više sati Komorne sušare Komorna sušara TUNELSKA SUŠARA Za razliku od komorne ova sušara je znatno dulja Pravokutnog je presjeka, isto može biti izrađena od metala ili zidana Tvar je poredana na lijese, koja se kreću kroz sušaru po pomićnim šinama i tako tvar ulazi i izlazi iz sušare Zrak se prije uvođenja u sušaru kondicionira, prolazi kroz lijese, ponovo dogrijava u slijedećem kaloriferu i tako sve do kraja Dio zraka se ispušta u okolinu, a dio se vraća i dodaje svježem zraku na ulazu zakretanjem preklopki Nedostaci slični komornoj, jedino je veći učinak Tunelska sušara 7

8 TRAKASTA SUŠARA Napravljena je od metalnih ploča zavarenih na posebnu konstrukciju Unutar komore se nalaze više beskrajnih traka za gibanje tvari S gornje trake, tvar pada na slijedeću doljnju traku i tako do izlaska iz sušare Zrak se grije kaloriferom i tlači ventilatorom I ovdje se dio zraka naizlazu iz sušare vraća i dodaje svježem zraku na ulazu Nedostaci isti kao i kod prethodnih sušara, jedino se tvar ravnomjernije suši, jer se prilikom prebacivanja sa trake na traku tvar okreće Trakasta sušara SUŠARA S ROTIRAJUĆIM VALJKOM Glavni dio je rotirajući valjak, koji transportira tvar koja se suši Valjak ima pregrade za rashlađivanje tvari Tvar se uvodi kroz usipni ljevak Zrak se kao i prije kondicionira i propuhuje ventilatorom kroz sušaru Najčešće se koristi u sušenju žitarica i sjemenki iz kojih se ekstrahira ulje Trakaste sušare Sušara sa rotirajućim valjkom Rotirajuće sušare 8

9 Presjek unutrašnjosti rotirajućih sušara Sušara sa rotirajućim valjkom SUŠARA S PREKRETNIM LJESAMA Zidana komora, u kojoj se na na određenoj visini nalazi prekretna lijesa Služi za sušenje zelenog slada (proizvodnja piva) Zeleni slad se rasprostire u sloj do visine od 1 m Sušenje jedne šarže traje 20 sati Zrak se kondicionira kao i prije, tlači i dio ispušta, a dio vraća ponovo u proces Stanje zraka na ulazu i izlazu iz sušare se mijenja, što se danas automatski regulira Nakon što se slad osuši ljesa se posebnim hidrauličkim uređajem okreće i osušeni slad pada u spremnik Sušara s prekretnim ljesama Konvektivne sušare u kojima se tvar giba u struji zraka U ovu skupinu sušara ubrajaju se: Sušare u kojima se tvar kod sušenja fluidizira Sušare u kojima se tvar (tekućine) kod sušenja raspršava u sitne kapljice Sušare u kojima se tvar kod sušenja pneumatski transportira Zajednička im je osobina da se sušenje obavlja za kratko vrijeme, jer je relativno velika površina kontakta između tvari i zagrijanog zraka PROTOČNA SUŠARA Koristi se za sušenje žitarica i sjemeni uljarica Tvar se dovodi kroz usipni ljevak, prolazi kroz sušaru, okreće prevrtačima i izlazi na dnu Sušara je uvijek ispunjena s tvari Pravokutnog je oblika, a visina joj ovisi o vlažnosti tvari Sušara je podijeljena na zonu: grijanja, sušenja i hlađenja i dosušivanja u ciklonu se izdvajaju primjese Postoje izvedbe bez zone grijanja, tako da se to onda rješava konvekcijom 9

10 Protočna sušara SUŠARE S FLUIDIZIRANOM TVARI Izvedba ovog tipa sušara je veoma različita i ovisi uglavnom o tvari koja se suši (zrnate, pastaste tvari) Najviše se koriste jednokomorne sušare Tvar se uvodi u usipni ljevak, a potom se dozatorom dovodi u komoru za sušenje, gdje se nad rešetkom fluidizira u struji toplog zraka određene brzine Osim jednokomornih postoje i višekomorne, te stepenasto-protočne sušare u fluidiziranom sloju Sušara za fluidizaciju Jednokomorna sušara za fluidizaciju Razni tipovi sušara za fluidizaciju SUŠARA RASPRŠIVAČ U ovoj se sušari tekuća tvar (mlijeko, krv, detergenti, dječja hrana i sl.) suši u struji toplog zraka u obliku sitnih kapljica Budući da su kapljice veoma sitne, površina kontakta je veoma velika pa se sušenje obavi za 15 do 30 sek. I bez obzira kojom se temperaturom zraka suši, temp. tvari ne prelazi granicu hlađenja Na taj način se dobije veoma topiv praškasti proizvod (instant) 10

11 Tvar se u komori raspršiva pomoću sapnica Rotirajući su diskovi pogodni za raspršivanje suspenzija i viskoznih tekućina Međutim utrošak energije za ovakvo rotirajuće raspršivanje je veće nego kod mehaničkih sapnica (mogućnost začepljenja) Kod pneumatskih sapnica je opet nedostatak veliki utrošak energije i nejednolikost raspršivanja U komori se zrak i tvar može gibati: Istosmjerno i Protusmjerno Kod istosmernog nema opasnosti od zagorjevanja Protusmjerno sušenje se koristi kod sušenja tvari veće gustoće Nedostaci ovih sušara : Mali učin Zapremaju mnogo mjesta Sušenje je vrlo skupo Sušara raspršivač Sušara raspršivač Glava raspršivača sušare PNEUMATSKE SUŠARE Koriste za sušenje zrnatih tvari Princip se sastoji u pneumatskom transportiranju tvari strujom toplog zraka u vertikalnoj cijevi visine 20 m (ovisno o % vode koju treba oduzeti) Brzina strujanja zraka treba biti veća od brzine lebdenja i iznosi 10 do 30 m/s Uklanja se uglavnom slobodna vlaga Dimenzije čestica su od 8 do 10 mm Tvar se u pneumatsku cijev ubacuje preko usipnog ljevka preko dozatora 11

12 Zrak se opet grije preko kalorifera i tlači putem ventilatora Struja toplog zraka odnosi tvar kroz I pneumatsku cijev do I ciklona Iz I ciklona tvar ulazi u II pneumatsku cijev i zatim ulazi u II ciklon U II ciklonu se izdvaja osušena tvar od zraka Pneumatske sušare Pneumatske sušare Kontaktne sušare Ovdje se sušenje vrši u struji zrak Tvar se direktno grije u kontaktu sa ogrijevnom stijenkom pri čemu dolazi do ishlapljivanja vode KOMORNE VAKUUM SUŠARE Komora je ovakve sušare cilindričnog oblika Tvar koja se suši stavlja se u plitke tave, a one su postavljene na grijalice u obliku pravokutnih komorica U grijalice se uvodi para ili topla voda Za vrijeme sušenja je komora spojena na uređaj za stvaranje vakuuma (vakuum pumpa) preko cijevnog priključka Količina isparene vode je mala: 0,5 do 3,5 kg vode /m 2 h Unošenje i iznošenje tvari izvodi se ručno Komorna vakuum sušara 12

13 VALJKASTA VAKUUM SUŠARA S MJEŠALICOM Za razliku kod komornih, kod valjkastih vakuum sušara tvar za vrijeme sušenja ne miruje, već se miješa mješalicom Ovdje ishlapi veća količina vode 6 do 8 kg vode /m 2 h ogrijevne površine sušare Sastoji se od valjka na kojem je privaren parni plašt U valjak je ugrađena mješalica s kojom se tvar za vrijeme sušenja okreće Mješalica se inače 5-8 min. okreće na jednu, a potom na drugu stranu Na taj način se sprečava nagomilavanje tvari na jedan kraj sušare Kada se radi diskontinuirano, utrošak je radne snage na posluživanju, manji nego kod komornih vakuum sušara Valjkasta vakuum sušara s mješalicom VALJKASTE SUŠARE Koriste se za sušenje tekućih i pastastih tvari Sušara se sastoji od dva valjka, koji se okreću na šupljim osovinama kroz koju se uvodi ogrijevna para Tvar za sušenje se odvodi u međuprostor između valjaka i pri tom se na valjcima nahvata tanki sloj tekućine koja se osuši za vrijeme jednog nepotpunog okretaja valjka Osušena se tvar sa valjka skida posebnim noževima strugačima, a zatim se pužnim transporterima odvodi iz sušare S površine m 2 valjka za 1 sat ishlapi 13 do 15 kg vode Ovdje je utrošak energije znatno manji nego kod sušenja raspršivanjem Zato je topljivost dobivenih proizvoda manja nego kod sušenja sa raspršivanjem Ove sušare mogu raditi i u vakuumu Tada su valjci smješteni u posebno kučište gdje se održava vakuum Valjkaste sušare 13

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za biofiziku i radiologiju. Medicinski fakultet Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. Vlaga zraka

Katedra za biofiziku i radiologiju. Medicinski fakultet Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. Vlaga zraka Katedra za biofiziku i radiologiju Medicinski fakultet Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Vlaga zraka Vlagu zraka čini vodena para koja se, uz ostale plinove, nalazi u zraku. Masa vodene pare

Διαβάστε περισσότερα

odvodi u okoliš? Rješenje 1. zadatka Zadano: q m =0,5 kg/s p 1 =1 bar =10 5 Pa zrak w 1 = 15 m/s z = z 2 -z 1 =100 m p 2 =7 bar = Pa

odvodi u okoliš? Rješenje 1. zadatka Zadano: q m =0,5 kg/s p 1 =1 bar =10 5 Pa zrak w 1 = 15 m/s z = z 2 -z 1 =100 m p 2 =7 bar = Pa .vježba iz Terodiaike rješeja zadataka 1. Zadatak Kopresor usisava 0,5 kg/s zraka tlaka 1 bar i 0 o C, tlači ga i istiskuje u eizolirai tlači cjevovod. Na ulazo presjeku usise cijevi brzia je 15 /s. Izlazi

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA JEDNADŽBA KONTINUITETA. s1 =

HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA JEDNADŽBA KONTINUITETA. s1 = HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA Hidrodinamika proučava fluide (tekućine i plinove) u gibanju. Gibanje fluida naziva se strujanjem. Ovdje ćemo razmatrati strujanje tekućina.

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika 1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE

Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE Glodanje je postupak obrade odvajanjem čestica (rezanjem) obradnih površina proizvoljnih oblika. Izvodi se na alatnim strojevima, glodalicama, pri čemu je glavno (rezno) gibanje kružno kontinuirano i pridruženo

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

TOPLINSKA BILANCA, GUBICI, ISKORISTIVOST I POTROŠNJA GORIVA U GENERATORU PARE

TOPLINSKA BILANCA, GUBICI, ISKORISTIVOST I POTROŠNJA GORIVA U GENERATORU PARE (Generatori are) List: TOPLINSKA BILANCA, GUBICI, ISKORISTIVOST I POTROŠNJA GORIVA U GENERATORU PARE Generator are je energetski uređaj u kojemu se u sklou Clausius-Rankineova kružnog rocesa redaje tolina

Διαβάστε περισσότερα

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα