HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA JEDNADŽBA KONTINUITETA. s1 =

Transcript

1 HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA Hidrodinamika proučava fluide (tekućine i plinove) u gibanju. Gibanje fluida naziva se strujanjem. Ovdje ćemo razmatrati strujanje tekućina. Strujanje tekućina može nastati zbog djelovanja sile teže (kada postoji visinska razlika, rijeke, npr.) i zbog razlike u tlakovima (s mjesta većeg na mjesto manjeg tlaka). Putanje duž kojih se čestice tekućine gibaju nazivaju se strujnicama. Ako sve čestice, prolaskom kroz neku točku, imaju istu brzinu u toj točki, onda takvo strujanje nazivamo stacionarnim. Kod stacionarnog strujanja, slika strujnica se ne mijenja tijekom vremena. kod turbulentnog strujanja, slika strujnica se stalno mijenja. Pri malim brzinama strujanje je stacionarno, iznad neke kritične brzine strujanje je turbulentno. stacionarno strujanje turbulentno strujanje Smjer brzine u svakoj se točki podudara sa smjerom strujnice kroz tu točku. Iznos brzine prikazuje se gustoćom strujnica; ondje gdje je brzina tekućine veća, veća je gustoća strujnica. rjeđe strujnice manja brzina čestica JEDNADŽBA KONTINUITETA gušće strujnice veća brzina čestica U našem proučavanju strujanja tekućina smatrat ćemo da su tekućine nestlačive (gustoća im je stalna). Dalje, smatrat ćemo da prilikom strujanja fluida ne postoji unutarnje trenje (čestice međusobno ne djeluju silama - idealni fluid). Na gornjoj slici strujnicama je prikazano strujanje tekućine kroz dva različita presjeka jedne cijevi. Većom gustoćom strujnica prikazana je veća brzina u užem dijelu cijevi. Izvedimo sada izraz koji pokazuje način strujanja idealne tekućine kroz cijev koja ima različite površine presjeka; veći, A i manji, A. Neka brzina čestica kroz presjek A iznosi v, a kroz presjek A iznosi v. Nakon vremena Δt, čestice koje su se nalazile na presjecima cijevi A i A, sada će se nalaziti na presjecima A' i A'. Zbog nestlačivosti tekućina, u vremenskom intervalu Δt kroz oba (sve) presjeka cijevi prođe jednaka masa tekućine: m = m () Kako su, prema definiciji gustoće, m = ρ V i m = ρ V, a iz geometrije znamo da su: V = A s = A v Δt, odn. V = A s = A v Δt, jednadžba () postaje: ρ A v Δt = ρ A v Δt /: ρ Δt A v = A v () Jednadžba () naziva se jednadžbom kontinuiteta. Za svaki presjek nepravilne cijevi, umnožak površine presjeka cijevi i brzine tekućine kroz taj presjek je konstantan. Koliko je puta površina presjeka šireg dijela cijevi veća od površine njezina užeg dijela, toliko je puta brzina strujanja tekućine kroz uži dio cijevi veća od one kroz širi dio cijevi. s = s s = v Δt - put jednolikog gibanja = visina cilindra volumena V

2 BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA Uzroci gibanja fluida je njegova težina i razlika tlakova. Na gibanje fluida kroz horizontalnu cijev, težina nema utjecaja. Na gibanje tekućine kroz horizontalnu cijev utječe samo razlika tlakova. Promatrajmo gibanje fluida između dvaju presjeka horizontalne cijevi površina A i A. Na promatrani fluid djeluje okolni fluid, i to silom F na površinu A i silom F na površinu A. Sila F veća je od sile F, zbog čega se fluid giba s lijeva na desno. Nakon vremena Δt promatrani dio fluida nalazit će se između površina A' i A'. U tom vremenu dio fluida u širem dijelu cijevi prijeći će put Δs, a u užem put Δs. Za to vrijeme sila F obavi rad: W = F Δs = p A Δs = p ΔV a sila F obavi rad: W = -F Δs = -p A Δs = -p ΔV. Zbog nestlačivosti fluida, volumeni ΔV = A Δs i ΔV = A Δs jednaki su pa smo ih označili s ΔV. Rad sile F pozitivan je jer sila djeluje u smjeru gibanja. Kao sila F djeluje suprotno od smjera gibanja, rad te sile negativan je. Ukupan rad što ga obave obje sile (W = W + W ) jednak je promjeni kinetičke energije promatranog dijela fluida: W = ΔE k (zakon očuvanja energije promatranog dijela fluida) W + W = ΔE k (3) Kako se promatrani dio fluida u širem dijelu cijevi gibao brzinom v, a u užem brzinom v, promjena kinetičke energije iznosi: ΔE k = mv mv Uvrštavanjem izraza za W, W i ΔE k u izraz (3) dobije se: p ΔV p ΔV = mv mv /: ΔV p p = mv ΔV mv ΔV Kako je m = ρ gornja jednadžba, nakon prebacivanja sortiranja članova po indeksima i, postaje: ΔV p + ρv = p + ρv Posljednja jednadžba poznata je kao Bernoullijeva jednadžba ili Bernoullijev zakon. Članovi p i p, koji su posljedica kaotičnog gibanja čestica fluida nazivaju se statički tlakovi, a ρv i ρv, koji potječu od usmjerenog gibanja čestica fluida, nazivaju se dinamički tlakovi. Zbroj statičkog i dinamičkog tlaka naziva se hidrodinamički tlak i prema Bernoullijevoj jednadžbi ima konstantnu vrijednost za svaki presjek horizontalne cijevi. (4)

3 Bernoullijeva jednadžba nazvana je po švicarskom matematičaru, fizičaru, botaničaru, oceanografu i anatomu Danielu Bernoulliju ( ), utemeljitelju hidrodinamike. Jednadžba koju je izveo za tekućine, približno vrijedi i za plinove, pa se kaže da Bernoullijeva jednadžba opisuje strujanje fluida. Bernoullijeva jednadžba objašnjava mnoge pojave i ima veliku primjenu u tehnici. Tako, npr., objašnjava let zrakoplova, koji je puno teži od zraka pa ga uzgon ne bi mogao držati u zraku. Oblik i položaj krila takvi su da, pri gibanju zrakoplova, zrak koji struji uz gornju stranu krila mora prijeći veći put (tj. većom brzinom) nego zrak koji struji uz donju stranu krila. Zbog veće brzine strujanja čestica zraka uz gornju stranu krila, veći je dinamički tlak, a prema Bernoullijevoj jednadžbi, manji je statički tlak iznad krila. Zbog manje brzine strujanja zraka, a to znači većeg statičkog tlaka s donje strane krila, rezultantna sila na zrakoplov usmjerena je prema gore. Kod jakog vjetra, brzina strujanja zraka iznad krova ima veliku vrijednost (v ), a ispod krova zrak gotovo miruje (v 0). Zato je, prema Bernoullijevoj jednadžbi, tlak (statički) s unutarnje strane krova puno veći od tlaka s vanjske strane. Kod kritične brzine v, razlika tlakova je dovoljno velika da digne krov. Raspršivač Objasni donju sliku! Suženje u kojem dolazi do povećanja brzine i smanjenja tlaka, zbog čega dolazi do podizanja parfema u horizontalnu cijev i njegovog raspršenja. p a p a

4 PITANJA I ZADATCI. Jednadžba kontinuiteta i Bernoullijeva jednadžba: a) vrijede za stlačive fluide b) vrijede za fluide u kojima postoji unutarnje trenje c) vrijede za sve fluide d) ne vrijede za sve fluide. Pustimo li slab mlaz vode iz slavine, opažamo da se on prema dolje stanjuje. Zašto? 3. Promjer strujne cijevi na mjestu A iznosi 3 cm, a na mjestu B 6 cm. Ako brzina strujanja tekućine na mjestu A iznosi 4 cm/s, koliki je njen iznos na mjestu B? d A = 3 cm, d B = 6 cm, v A = 4 cm/s, v B =? Prema jednadžbi kontinuiteta, veza površine nekog presjeka i brzine čestica kroz taj presjek dana je izrazom: A A v A = A B v B Uvrštavanjem izraza za površinu kružnog presjeka na mjestima A i B dobije se: π d A π 4 v A = d B 4 v B / 4 π v B = v A da d B = 4 cm s 3 cm 6 cm = 4 cm s 9 36 = cm s. v B = cm s. 4. Stacionarni tok vode prolazi presjekom cijevi od 50 cm brzinom 75 cm/s. Kolikom brzinom prolazi tok vode presjekom 0 cm? A = 50 cm, v = 75 cm/s, A = 0 cm, v =? A v = A v - jednadžba kontinuiteta v = v A A = 75 cm s 50cm 0cm = 375 cm s = 3,75 m s. v = 3, 75 m s 5. Koliki je unutarnji promjer cijevi kroz koju svake minute proteče 40 litara vode brzinom m/s? t = min = 0 s, V = 40 l = 40 dm 3 = m 3 = m 3, v = m/s, d =? Umnožak površine presjeka (A) cijevi i puta (s) kojeg voda prijeđe jest volumen vode: V = A s Dijeljenjem ove jednadžbe s vremenom t u kojem voda prijeđe put s dobije se: V/t = A s/t pri čemu je s/t zapravo brzina strujanja vode v. Zato možemo pisati: V/t = A v () V/t naziva se protok vode q (ili fluida općenito), a A v nazivamo jakost struje (I) vode (fluida). Dakle, protok vode V/t (volumen koji kroz presjek cijevi prođe u sekundi) jednak je jakosti struje fluida. Površinu presjeka A = d π/4 uvrstimo u izraz (): V t = d π v d = 4 V 4 π v t = ,4 0 =, 0 4 m d =, 0 4 m =,46 0 m =,46 cm. d =,46 cm.

5 6. Površina presjeka šireg dijela horizontalne strujne cijevi iznosi cm. Izmjereno je da presjekom užeg dijela cijevi protječe svake sekunde 0, l vode. Kolika je brzina strujanja vode u širem dijelu cijevi? A = cm = 0-4 m, t = s, V = 0, l = 0, dm 3 = 0, 0-3 m 3, v =? Za uži presjek cijevi možemo pisati: A v = V/t = 0-4 m 3 /s = 0-4 m 3 /s Za širi i uži presjek cijevi, jednadžba kontinuiteta glasi: A v = A v => v = v A /A = v A = V/t = 0-4 m 3 s - / 0-4 m = m/s. v = m/s. 7. Statički tlak idealnog fluida koji stacionarno protječe kroz horizontalnu cijev: a) veći je tamo gdje je brzina strujanja fluida veća b) veći je tamo gdje je brzina strujanja fluida manja c) ne ovisi o brzini strujanja fluida 8. Širim dijelom horizontalne cijevi struji voda brzinom 5 ms -. Kolika je brzina strujanja u užem dijelu cijevi ako razlika statičkih tlakova u širem i užem dijelu cijevi iznosi 0 kpa? v = 5 ms -, p p = 0 kpa = 0 4 Pa, v =? Bernoullijeva jednadžba za dva presjeka cijevi glasi: p + ρv = p + ρv ρv = ρv + p p v = v + ρ (p p ) v = = = 45 v = ξ45 = 6,7 m s. v = 6, 7 m s 9. U širokom dijelu horizontalne cijevi voda teče brzinom 8 cm/s pri statičkom tlaku 47 kpa. U uskom dijelu te cijevi statički tlak je 33 kpa. Koliko je puta površina presjeka šireg dijela cijevi veća od površine presjeka užeg dijela cijevi? v = 8 cms - = 0,08 ms -, p = 47 kpa, p = 33 kpa, A /A =? p + ρv = p + ρv v = ඨv + ρ (p p ) = ඨ0, (47 33) 03 = 5, 9 m/s Za dva presjeka cijevi vrijedi jednadžba kontinuiteta: A v = A v Traženi omjer površina presjeka jednak je: A / A = v /v = 5,9 ms - /0,08 ms - = 66 A / A = Širim dijelom horizontalno položene cijevi struji voda brzinom 4 m/s. Razlika tlakova šireg i suženog dijela iznosi Pa. Kolika je brzina protjecanja u užem dijelu cijevi? (R: v = 5,66 m/s)