PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

Transcript

1 Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih brojeva rešiti po x nejednačinu x + x x < 1 3 U skupu realnih brojeva rešiti po x jednačinu sin x + 5 sin x + cos x) + 1 = 0 U skupu realnih brojeva rešiti po x i y sistem jednačina log x + ) 3 + log 3 y + 1) = 6 log x + ) + log 9 1 y+1 = 5 U skupu realnih brojeva rešiti po x jednačinu x+1 x + 7 = 0 6 Odrediti preseke sa y-osom onih tangenti elipse E : x 1 + y delom x-ose zaklapaju orijentisani ugao π = 1 koje sa pozitivnim 7 Izračunati površinu trapeza čije su kraća osnovica i kraci dužine, a duža osnovica sa kracima zaklapa puta manji ugao od ugla izmedu kraće osnovice i kraka 8 Naći zapreminu tela koje nastaje rotacijom pravouglog trougla čije su katete a = i b = 3 oko ose koja sadrži teme kod pravog ugla i paralelna je sa hipotenuzom 9 Neka je T težište centar opisanog kruga) pravilnog šestougla ABCDEF, i neka je O proizvoljna tačka u prostoru a) Dokazati da je OT = 1 6 OA + OB + OC + OD + OE + OF ) b) Ako je O koordinatni početak, a ako je A 1, 3, ) i B 3, 1, ), izračunati ugao izmedu vektora OA i OB 10 Dokazati da je broj 3 n n 1 deljiv sa 9 za svaki prirodan broj n 11 Koliko se četvorocifrenih brojeva može napisati koristeći cifre 1, 3, 5, 7, 9, takvih da se medu ciframa bar jednom pojavljuje cifra 1 1 Izračunati graničnu vrednost niza a n = n 1 n+3 n 1 n+1, n N Data je funkcija f x) = e x+3 x a) Izračunati prvi izvod funkcije f b) Izračunati tačku minimuma funkcije f na intervalu [, 0]

2 REŠENJA: p + 1) ± p + 1) + 8p 1 Koreni polinoma f x) su x 1, = = p 1 ± p + 10p + 1, te su x 1 i x jednaki, pozitivni realni brojevi ako i samo ako su zadovoljeni uslovi 1) p + 10p + 1 = 0 i ) x 1 = x = p 1 > 0 Analizom ovih uslova dobijamo: 1) p + 10p + 1 = 0 p 1, = 10 ± 100 ) p 1 > 0 p + 1 < 0 p < 1 = 5 ± 6; - Kako je očigledno p 1 = 5 6 < 1, sledi da 5 6 jeste rešenje zadatka, - kako je 6 > =, to je 6 >, te je p = > 1, tako da nije rešenje zadatka Dakle, skup rešenja postavljenog problema je R = { 5 6 } Domen rešavanja jednačine je D = R \ {, }, i za x D je x + x x < 1 x + x x + 1 < 0 x + x 6 x < 0 * Funkcija f x) = x + x 6 je konveksna, a koreni su joj x 1, = 1± 1+8 = {, 3 } * Funkcija g x) = x je konveksna, a koreni su joj x 1, = ± Sledi: 3 f x) g x) + + fx) gx) Prema tome, skup rešenja ) nejednačine je 3 S =, 3 Koristeći jednakosti cos x) = cos x sin x i cos s x = 1 sin x dobijamo sin x + 5 sin x + cos x) + 1 = sin x + 5 sin x + cos x sin x ) + 1 = = 3 sin x + 5 sin x + cos x + 1 = 3 sin x + 5 sin x + 1 sin x ) + 1 = sin x + 5 sin x + Dakle, sin x + 5 sin x + cos x) + 1 = 0 sin x + 5 sin x + = 0 t = sin x t + 5t + = 0 ) ) t = sin x t 1, = 5± 5 16 t = sin x t = t = 1 )) sin x = sin x = 1 ) Jednačina sin x = nema rešenja, a jednakost sin x = 1 važi za x = π 6 + kπ i x = 5π 6 + kπ Dakle, skup rešenja jednačine je R = { π 6 + kπ } { k Z 5π 6 + kπ } k Z S obzirom na to da je logaritamska funkcija definisana na skupu pozitivnih realnih brojeva, sistem jednačina je definisan za one x, y za koje je ) x + ) 3 > 0 y + 1) > 0 x + ) > 0 1 y+1 > 0 x + > 0 y x + 0 y + 1 > 0) x > y 1 x y > 1), te je domen rešavanja sistema jednačina skup D = {x, y) x > y > 1} Kako je

3 log x + ) 3 = 3 log x + ), log 3 y + 1) = log 3 y + 1), log x + ) = log x + ) = 1 log x + ) = log x + ), log 9 1 y+1 = log 3 y + 1) 1 = 1 log 3 y + 1), polazni sistem je ekvivalentan sa 3 log x + ) + log 3 y + 1) = 6 log x + ) 1 log 3 y + 1) = te uvodenjem smene p = log x + ) i q = log 3 y + 1) dobijamo 3p + q = 6 p 1 q = Vraćanjem smene sledi log x + ) = log 3 y + 1) = 0 11p = p 1 q = p = q = 0 x + = = y + 1 = 3 0 = 1 x = y = 0 Kako je, 0) D, sistem ima jedno rešenje, tj skup rešenja je R = {, 0)} 5 x+1 x + 7 = 0 x x ) = 0 x = t t t = 0 / t 0 ) za t = 0, jednačina x = 0 nema rešenja) x = t t + 7t = 0 ) x = t t 1, = 7± 9+3 = {, 1 } ) x = x = 1 ) Vrednost eksponencijalne funkcije je uvek pozitivna, te jednačina x = nema rešenja, a rešenje jednačine x = 1 = 1 je x = 1 Dakle, skup rešenja je R = { 1} 6 Tangenta t koja sa pozitivnim delom x-ose zaklapa ugao od 5 ima jednačinu t : y = tg 5 )x + n = x + n Presek tangente t sa y-osom je tačka 0, n), tako da je zadatak odrediti n R za koje prava t : y = x + n dodiruje elipsu, tj ima tačno jednu zajedničku tačku sa elipsom, odnosno treba odrediti n R za koje sistem jednačina x [e] 1 + y = 1 [t] y = x + n ima tačno jedno rešenje po x, y) Uvrštavanjem [t] u [e] dobijamo, y t 1 t x x 1 + x+n) = 1 x + x + n) = 5x + nx + n ) = 0 Poslednja kvadratna jednačina ima tačno jedno rešenje akko joj je diskriminanta jednaka nuli, tj akko je n 0 n ) = 0 n + 0 = 0 n = ± 5 Dakle, dve tangente na elipsu su t 1 : y = x 5 i t : y = x 5, i njihovi preseci sa y-osom su { 0, 5 ), 0, 5 )} 7 Neka je a = kraća osnovica, b duža osnovica, neka su c = kraci, i neka je α oštar, a β tup ugao trapeza Neka je h visina trapeza, i l = b 1 vidi sliku) Iz β = α α + β = 180 sledi α = 60 a Iz sin α = h tj sledi sin 60 = 3 = h sledi h = β β 3 Dalje dobijamo l = c c c h = 1 i b = a + l = Konačno, površina trapeza je P = a+b h = 3 h h α l l 3 α b

4 8 Rotacijom posmatranog trougla nastaje valjak V iz koga su izvadene kupe V 1 i V vidi sliku), tako da ćemo zapreminu posmatranog tela dobiti tako što ćemo od zapremine valjka oduzeti zapremine kupa V 1 i V Visina valjka V je hipotenuza posmatranog pravouglog trougla: H = a + b = Neka je r visina posmatranog trougla koja odgovara stranici H tj temenu kod pravog ugla Iz površine trugla P = ab = Hr sledi 3 = r, odnosno r = 6 Sada dobijamo zapreminu valjka: V = r πh = 36 π Označimo sa x i y odsečke na H koje gradi visina r Duži x i y su redom visine valjaka V 1 i V Njihove dužine su x = b r = 9, y = H x = Zapremine kupa V 1 i V su V 1 = 1 3 r πx = 108 π, V = 1 3 r πy = 8 π, te je zapremina obrtnog tela V V 1 V = π 9 a) Sabiranjem očiglednih jednakosti OA = OT + T A OC = OT + T C OB = OT + T B OD = OT + T D dobijamo OA + ) OB + OC + OD + OE + OF = 6OT + T A + T D + = 6 OT = 6 OT, y H x OE = OT + T E OF = OT + T F a r b V V 1 ) ) T B + T E + T C + T F = te deljenjem zadnje jednakosti sa 6 sledi tvrdenje b) OA = A 1, 3, ), OB = B 3, 1, ) S jedne strane je ) OA OB = =, a s druge )) OA OB = OA OB cos OA, OB = = ) ) )) cos OA, OB = 8 cos OA, OB )) )) )) Iz = 8 cos OA, OB sledi cos OA, OB = 1, odakle sledi da je ) OA, OB = π 3 10 Matematičkom indukcijom dokazujemo da za sve n N važi F n) : 9 3 n n 1 ), tj da je 3 n n 1 = 9m n za neko m n Z Za n = 1 je = 5 = 9 5; pretpostavimo da je tačno [ ]F k), tj da je 3 k k 1 = 9m k ; za n = k + 1 je 3 k+1) k+1) 1 = 1 k k 1 = 3 k k 1 +9 k k 1 [ ] = 9m k +9 k k 1 = 9 m k + k k 1), gde je m k + k k 1 = m k+1 očigledno ceo broj 11 Traženi broj n možemo dobiti tako što ćemo od ukupnog broja -cifrenih brojeva napisanih pomoću cifara 1, 3, 5, 7, 9 oduzeti broj -cifrenih brojeva napisanih pomoću cifara 3, 5, 7, 9 tj bez ijedne cifre 1) Tako dobijamo n = 5 = = 369

5 n ) 1 lim a 1 n = lim n n n + 3 n 1 n 1 ) n + 1) n + 3) n 1 ) = lim = n + 1 n n + 3)n + 1) n 3 5n + = lim n n + n + 3 = lim n 3 5n + n n + n + 3 : n n = lim n 5 + n n 1 + n + 3 = = n Data je funkcija f x) = e x+3 x a) f x) = e x = e x+3 1 b) Najpre izračunavamo stacionarne tačke: f x) = e x+3 1 = 0 e x+3 = 1 = e 0 x + 3 = 0 x = 3 [, 0] Kako je f x) = e x = e x+3 i f 3) = 1 > 0, sledi da je x 0 = 3 tačka lokalnog minimuma funkcije f x) na intervalu [, 0], i funkcija f u njoj dostiže vrednost f 3) = e 3+3 3) = Pri tome na krajevima intervala važi f ) = e +3 ) = 1 e + > i f 0) = e3 0 > 3 = 8 >, te je tačka x 0 = 3 tačka u kojoj funkcija f dostiže apsolutni minimum na intervalu [, 0]