Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B."

Transcript

1

2 Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od f: pr 1 f druga projekcija od f: pr 2 f y (x, y) definišu se na sledeći način: pr 1 f def = {x A (x, y) f za neki y B} pr 2 f def = {y B (x, y) f za neki x A} x pr 1 f A Matematička logika 2 Funkcije - I deo

3 Korespondencije i relacije Primetimo da je korespondencija nije ništa drugo do relacija izmed u elemenata iz različitih skupova. Relacija na skupu A se može tretirati kao korespondencija iz skupa A u sebe samog. B f A B (A B) 2 B B Obratno, i korespondencija se može tretirati kao relacija na skupu (A B), pa se mnogi pojmovi koje smo definisali za relacije mogu preneti i na korespondencije. A A A A B A B Matematička logika 3 Funkcije - I deo

4 Grafičko predstavljanje korespondencija Korespondencija je zapravo ono što se u terminima teorije grafova naziva bipartitan digraf. Radi se o takvom grafu kod koga je skup čvorova podeljen u dve klase A i B, pri čemu svaka grana počinje u klasi A a završava se u klasi B. To je grafički prikazano na sledećoj slici: Matematička logika 4 Funkcije - I deo

5 Primeri korespondencije Primer 1.1. a) Neka je A = {a, b, c, d} i B = { 1, 0, 1}. Korespondencija iz A u B je, na primer, f = {(a, 1), (a, 1), (c, 0), (d, 1)}. Ona je grafički prikazana na sledećoj slici: A B a 1 Ovde je b 0 pr 1 f = {a, c, d} c 1 pr 2 f = { 1, 0, 1}. d Matematička logika 5 Funkcije - I deo

6 Primeri korespondencije b) Neka je g A P(A), gde je A = {a, b, c, d} i g = {(a, {a, b}), (b, {b, c, d}), (c, {c}), (d, {b, c, d})}. Tada je g korespondencija koja svakom elementu pridružuje neki podskup koji ga sadrži. Lako je odrediti projekcije. c) Svaka relacija ρ A 2 je korespondencija iz A u A. Matematička logika 6 Funkcije - I deo

7 Kompozicija korespondencija Neka su A, B i C neprazni skupovi i neka su date korespondencije f A B i g B C. Kompozicija ili proizvod korespondencija f i g je korespondencija f g A C definisana sa f g = {(x, z) A C ( y B)((x, y) f (y, z) g)}. A f y B g C x z f g Matematička logika 7 Funkcije - I deo

8 Primer kompozicije Primer 1.2. Neka je A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} i C = {u, v, w}, i neka su korespondencije f A B i g B C date sa f = {(a, 1), (a, 3), (c, 2), (d, 3)}, g = {(3, u), (3, w), (1, v)}. Tada je f g = {(a, u), (a, v), (a, w), (d, u), (d, w)}. 1 B A a b c d f 2 3 g C u v w A a b c d f g C u v w Matematička logika 8 Funkcije - I deo

9 Funkcije (preslikavanja) Neka su A i B neprazni skupovi. Za korespondenciju f A B kažemo da je preslikavanje ili funkcija iz A u B ako uspunjava sledeće uslove: (i) pr 1 f = A; (ii) ako je (x, y 1 ) f i (x, y 2 ) f, onda mora biti y 1 = y 2. Uslov (i) često formulišemo i sa: f je definisana na celom skupu A, ili oblast definisanosti za f je celi skup A. Uslov (ii) nazivamo uslov jednoznačnosti. Oba uslova se mogu zajedno formulisati na sledeći način: ( ) za svaki x A postoji tačno jedan y B takav da je (x, y) f. Matematička logika 9 Funkcije - I deo

10 Jednoznačnost Dakle, jednoznačnost znači da nije dozvoljena situacija prikazana na sledećoj slici: A B x y 1 y 2 Dakle, da bi korespondencija bila jednoznačna, onda niti iz jedne tačke skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B. Matematička logika 10 Funkcije - I deo

11 Jednoznačnost Dakle, jednoznačnost znači da nije dozvoljena situacija prikazana na sledećoj slici: A B x y 1 y 2 Dakle, da bi korespondencija bila jednoznačna, onda niti iz jedne tačke skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B. Matematička logika 10 Funkcije - I deo

12 Korespondencije koje nisu funkcije Korespondencija prikazana na sledećoj slici (iz Primera 1.1.(a) ) ne zadovoljava nijedan od uslova (i) i (ii), pa nije funkcija. A a 1 B b c 0 d 1 Dakle, f nije definisana za b i ne zadovoljava uslov jednoznačnosti jer je element a u korespondenciji sa dva različita elementa. Matematička logika 11 Funkcije - I deo

13 Korespondencije koje nisu funkcije Korespondencija prikazana na sledećoj slici nije definisana na celom skupu A (nije definisana za b), ali zadovoljava uslov jednoznačnosti: A a 1 B b c 0 d 1 Prema tome, f nije funkcija iz A u B. Med utim, kako zadovoljava uslov jednoznačnosti, f je funkcija iz skupa {a, c, d} u skup B. Matematička logika 12 Funkcije - I deo

14 Parcijalna funkcija (preslikavanje) Korespondenciju f A B koja zadovoljava uslov jednoznačnosti nazivamo parcijalno preslikavanje ili parcijalna funkcija iz A u B. Primetimo da parcijalna funkcija f iz skupa A u skup B jeste funkcija iz skupa pr 1 f u skup B. Korespondencija iz prethodnog primera, prikazana na slici dole, je primer parcijalne funkcije: A a 1 B b c 0 d 1 Matematička logika 13 Funkcije - I deo

15 Primer funkcije (preslikavanja) Korespondencija prikazana na sledećoj slici zadovoljava oba uslova (i) i (ii) iz definicije funkcije, pa je funkcija iz A u B. A a b c d B Prema uslovu ( ), da bi f bila funkcija iz A u B, za svaki x A mora da postoji tačno jedan y B takav da je (x, y) f. Med utim, to ne znači da za svaki y B mora da postoji tačno jedan x A takav da je (x, y) f. Matematička logika 14 Funkcije - I deo

16 Primer funkcije (preslikavanja) Na primer, za element 1 ne postoji nijedan element iz A sa takvim svojstvom, dok za 1 i 0 postoje po dva elementa iz A sa takvim svojstvom (a moguće je da ih bude i više). A a 1 B b c 0 d 1 Matematička logika 15 Funkcije - I deo

17 Primer funkcije (preslikavanja) Primer 1.3. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja od sledećih korespondencija u A B je funkcija? (a) f 1 = {(p, r), (r, p), (s, t)} (b) f 2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)} (c) f 3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} (d) f 4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} Rešenje: (a) Kod f 1 se element t ne javlja kao prva koordinata u paru, tj. pr 1 f 1 = {p, r, s} A, pa f 1 nije funkcija. Može se uočiti da je f 1 jednoznačna korespondencija, pa je parcijalna funkcija, tj. funkcija iz skupa {p, r, s} u B. Matematička logika 16 Funkcije - I deo

18 Primer funkcije (preslikavanja) (b) Kod f 2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A pojavljuje kao prva koordinata u nekom paru, tj. pr 1 f 2 = A. Med utim, p se pojavljuje dvaput kao prva koordinata, pa f 2 nije jednoznačna korespondencija. Prema tome, ni f 2 nije funkcija. (c) Kod f 3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A pojavljuje tačno jednom kao prva koordinata, što znači da je pr 1 f 3 = A i da je f 3 jednoznačna korespondencija. Dakle, f 3 je funkcija. (d) Kod f 4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} se element p nijednom ne pojavljuje kao prva koordinata u nekom paru, dok se element s pojavljuje dvaput. To znači da f 4 ne zadovoljava nijedan od uslova iz definicije funkcije. Dakle, ni f 4 nije funkcija. Matematička logika 17 Funkcije - I deo

19 Funkcije označavanje Neka je f funkcija iz skupa A u skup B. Ako je (x, y) f, onda se to beleži sa f(x) = y. Kažemo da se x slika u y, i x se naziva original, a y njegova slika. Skup A se zove domen ili oblast definisanosti funkcije f, dok se B naziva kodomen. A f(a) B Skup f(a) def = {y B y = f(x), za neki x A} je podskup kodomena koji nazivamo skup slika ili slika skupa A. Matematička logika 18 Funkcije - I deo

20 Funkcije označavanje U primeru na slici je f(a) = {1, 0}. A a b c d B Ako je f funkcija iz A u B, to beležimo sa f : A B, a koristi se i oznaka f : x f(x) (za elemente). Matematička logika 19 Funkcije - I deo

21 Zadavanje funkcija Neka su A i B konačni skupovi, pri čemu je A = {a 1, a 2,..., a n }, i neka je f funkcija iz A u B. Tada se funkcija f može predstaviti na sledeći način: ( ) a1 a 2... a n f = f(a 1 ) f(a 2 )... f(a n ) Najčešće uzimamo da je A = {1, 2,..., n}, i u tom slučaju umesto ( ) n f = f(1) f(2)... f(n) ponekad pišemo samo f = ( f(1) f(2)... f(n) ) Matematička logika 20 Funkcije - I deo

22 Jednakost funkcija Funkciju odred uju domen, kodomen i skup ured enih parova, pa se ona može smatrati ured enom trojkom (A, B, f) gde je f korespondencija iz A u B za koju važe uslovi (i) i (ii) iz definicije funkcije. To znači da su dve funkcije jednake ako imaju (1) iste domene, (2) iste kodomene, i (3) iste parove koji su u korespondenciji. Drugim rečima, funkcije f A B i g C D su jednake ako je A = C, B = D i f = g. Matematička logika 21 Funkcije - I deo

23 Još primera funkcija Primer 1.4. a) Ured eni parovi realnih brojeva i njihovih kvadrata obrazuju preslikavanje f : R R + {0} iz skupa svih realnih brojeva u skup svih nenegativnih realnih brojeva, koje se zadaje formulom f(x) = x 2 ili f : x x 2. Tako je y 4 f f( 2) = 2, f(0) = 0, f( 2) = 4, f(2) = 4, itd x Matematička logika 22 Funkcije - I deo

24 Još primera funkcija b) Neka je A = { 1, 1}. Ako se svakom racionalnom broju pridruži 1, a iracionalnom 1, onda se dobija funkcija iz R u A. c) Neka je A proizvoljan skup i B = {0, 1}. Ako je H A, onda se karakteristična funkcija podskupa H, u oznaci χ H, koja slika A u B definiše sa: χ H (x) def = { 1 ako x H 0 ako x H. Svakom podskupu H skupa A odgovara jedna karakteristična funkcija i obratno. Matematička logika 23 Funkcije - I deo

25 Restrikcija funkcije Ako je f : A B i X je neprazan podskup skupa A, onda definišemo novo preslikavanje f X : X B na sledeći način: za svaki x X je f X (x) def = f(x). Preslikavanje f X nazivamo restrikcija preslikavanja f na X. A f X f X B f(a) Matematička logika 24 Funkcije - I deo

26 Proširenje funkcije Obratno, neka je f : A B i neka je A X. Za preslikavanje F : X B kažemo da je proširenje ili ekstenzija preslikavanja f na skup X ako za svaki x A važi F(x) = f(x). Drugim rečima, F je proširenje od f na X ako se vrednosti preslikavanja F i f poklapaju na A. Takod e, F je proširenje od f na X ako i samo ako je f restrikcija od F na A. Matematička logika 25 Funkcije - I deo

27 Kompozicija funkcija Neka su dati skupovi A, B i C, i preslikavanja f : A B i g : B C. Kako je skup B istovremeno domen preslikavanja g i kodomen preslikavanja f, to se preslikavanje g može nadovezati na preslikavanje f. Drugim rečima, može se definisati kompozicija ili proizvod preslikavanja f i g, u oznaci f g, kao preslikavanje iz A u C, definisano sa f g(x) def = g(f(x)). A x f f(x) f g B g g(f(x)) C Primetimo da je kompozicija preslikavanja poseban slučaj kompozicije korespondencija, a time i kompozicije relacija. Matematička logika 26 Funkcije - I deo

28 Primer kompozicije funkcija Primer 1.5. Neka je f : Z N funkcija definisana sa f(x) = x 2, a g : N Q je funkcija definisana sa g(x) = x 2. Tada je f g : Z Q funkcija zadata sa (f g)(x) = x2 2. Naime, prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je (f g)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = x2 2. Matematička logika 27 Funkcije - I deo

29 Primer kompozicije funkcija Primer 1.6. Neka su date funkcije f(x) = 3x + 4, g(x) = 3x 2. Kojim od sledećih izraza je predstavljena funkcija (f g)(x). (a) 9x 3 + 4x 2 (b) 27x x + 48 (c) 9x (d) 3x 2 + 3x + 4 (e) nijednim od njih Rešenje: Matematička logika 28 Funkcije - I deo

30 Primer kompozicije funkcija Primer 1.6. Neka su date funkcije f(x) = 3x + 4, g(x) = 3x 2. Kojim od sledećih izraza je predstavljena funkcija (f g)(x). (a) 9x 3 + 4x 2 (b) 27x x + 48 (c) 9x (d) 3x 2 + 3x + 4 (e) nijednim od njih Rešenje: Dokazaćemo da je tačno (b). Matematička logika 28 Funkcije - I deo

31 Primer kompozicije funkcija Prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je (f g)(x) = g(f(x)) = g(3x + 4) = 3 (3x + 4) 2 = 3 (9x x + 16) = 27x x + 48 Dakle, (f g)(x) = 27x x + 48, tj. tačno je (b). Matematička logika 29 Funkcije - I deo

32 Primer kompozicije funkcija Primer 1.7. Odrediti kompoziciju funkcija f i g zadatih sa: f = g = Matematička logika 30 Funkcije - I deo

33 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

34 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Biramo argument 1 u tabeli funkcije f g Matematička logika 31 Funkcije - I deo

35 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Prelazimo na taj isti argument u tabeli funkcije f Matematička logika 31 Funkcije - I deo

36 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Nalazimo vrednost f(1) u tabeli funkcije f Matematička logika 31 Funkcije - I deo

37 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Nalazimo vrednost f(1) med u argumentima u tabeli funkcije g Matematička logika 31 Funkcije - I deo

38 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Nalazimo vrednost g(f(1)) u tabeli funkcije g Matematička logika 31 Funkcije - I deo

39 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Vrednost g(f(1)) zapisujemo na odgovarajuće mesto u tabeli funkcije f g Matematička logika 31 Funkcije - I deo

40 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Ponavljamo isti postupak za argument 2 u tabeli funkcije f g... Matematička logika 31 Funkcije - I deo

41 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

42 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

43 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

44 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

45 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

46 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

47 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

48 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

49 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

50 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

51 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

52 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

53 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

54 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

55 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

56 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

57 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

58 Primer kompozicije funkcija Rešenje: Postupak odred ivanja kompozicije f g prikazan je sledećom animacijom: f = f g = g = Matematička logika 31 Funkcije - I deo

59 Komutativni dijagram Ako je f : A B, g : B C i h : A C, onda se to predstavlja dijagramom kao na slici. f A B h C g Ako je pri tome h = f g, kaže se da dijagram komutira. Matematička logika 32 Funkcije - I deo

60 Asocijativnost kompozicije funkcija Kompozicija funkcija može se tretirati kao poseban slučaj kompozicije korespondencija, a ova se dalje može posmatrati kao poseban slučaj kompozicije relacija. Kako je kompozicija relacija asocijativna operacija, to zaključujemo da su takve i kompozicije korespondencija i funkcija. Med utim, daćemo i direktan dokaz za to. Matematička logika 33 Funkcije - I deo

61 Asocijativnost kompozicije funkcija Tvrd enje 1: Neka je f : A B, g : B C i h : C D. Tada je f (g h) = (f g) h. Dokaz: Domen obe funkcije, f (g h) i (f g) h, je skup A, a kodomen je D. Dalje, za proizvoljan x A je f (g h)(x) = g h(f(x)) = h(g(f(x))), (f g) h(x) = h(f g(x)) = h(g(f(x))), pa je jednakost dokazana. Matematička logika 34 Funkcije - I deo

62 Asocijativnost kompozicije funkcija Asocijativnost kompozicije funkcija može se objasniti i sledećim dijagramom: A f B (f g) h = f (g h) g h f g g D h C Matematička logika 35 Funkcije - I deo

63 Identička funkcija Identičko preslikavanje ili identička funkciju na skupu A je preslikavanje I A : A A definisano sa: I A (x) def = x, za svaki x A. Tvrd enje 2: Neka je f : A B. Tada je I A f = f I B = f. Dokaz: Domen funkcije I A f je očito A, a kodomen B. Dalje je I A f(x) = f(i A (x)) = f(x), tj. I A f = f. Dokaz druge jednakosti je sličan. Matematička logika 36 Funkcije - I deo

64 Levo i desno označavanje Funkcije se u praksi označavanju na dva načina: postoji levo označavanje i desno označavanje. Kod levog označavanja, znak funkcije se piše levo od argumenta, na primer f(x), kako smo to i do sada činili. Ukoliko funkcije označimo grčkim slovima ϕ, ψ itd, a argumente na koje one deluju latiničnim slovima x, y, z,..., a, b, c,..., tada ne moramo uvek pisati zagrade: umesto ϕ(x) možemo pisati samo ϕx. Kod desnog označavanja, znak preslikavanja se piše desno od argumenta, na primer xϕ. Takvo označavanje se ponegde zove još i Poljska notacija, jer ju je uveo Poljski matematičar - logičar Lukašijevič. Matematička logika 37 Funkcije - I deo

65 Levo i desno označavanje U slučaju levog označavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja ϕ : A B i ψ : B C je preslikavanje ϕ ψ : A C definisano sa (ϕ ψ)x def = ψ(ϕx). U slučaju desnog označavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja ϕ : A B i ψ : B C je preslikavanje ϕ ψ : A C definisano sa x(ϕ ψ) def = (xϕ)ψ. Dakle, ovde nema izvrtanja simbola ϕ i ψ. Leva notacija kod nas preovladava samo iz navike, uglavnom u matematičkoj analizi. Prednost je, inače, na strani desne notacije, i ona se u algebri, na primer, koristi više nego leva notacija. Matematička logika 38 Funkcije - I deo

66 Injektivne ("1-1") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je injektivno, 1 1 (to čitamo jedan-jedan ), ili da je injekcija, ako za sve x 1, x 2 A važi što je ekvivalentno sa x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Drugim rečima, nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici: A x 1 x 2 f y B Matematička logika 39 Funkcije - I deo

67 Injektivne ("1-1") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je injektivno, 1 1 (to čitamo jedan-jedan ), ili da je injekcija, ako za sve x 1, x 2 A važi što je ekvivalentno sa x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Drugim rečima, nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici: A x 1 x 2 f y B Matematička logika 39 Funkcije - I deo

68 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Matematička logika 40 Funkcije - I deo

69 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B Matematička logika 40 Funkcije - I deo

70 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B za svaki y B Matematička logika 40 Funkcije - I deo

71 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B y za svaki y B Matematička logika 40 Funkcije - I deo

72 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B postoji x A y za svaki y B Matematička logika 40 Funkcije - I deo

73 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B postoji x A x y za svaki y B Matematička logika 40 Funkcije - I deo

74 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B postoji x A x y za svaki y B tako da je f(x) = y Matematička logika 40 Funkcije - I deo

75 Sirjektivne ("na") funkcije Za preslikavanje f : A B kažemo da je sirjektivno, na (tj. da slika A na B), ili da je sirjekcija ako važi za svaki y B postoji x A tako da je f(x) = y, tj. ako je f(a) = B. Ova definicija može se vizualizovati na sledeći način: A B postoji x A f x y za svaki y B tako da je f(x) = y Matematička logika 40 Funkcije - I deo

76 Sirjektivne ("na") funkcije Drugim rečima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici: A f B f(a) Matematička logika 41 Funkcije - I deo

77 Sirjektivne ("na") funkcije Drugim rečima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguća situacija prikazana na sledećoj slici: A f B f(a) Matematička logika 41 Funkcije - I deo

78 Primeri "1-1" i "na" funkcija Matematička logika 42 Funkcije - I deo

79 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B Matematička logika 42 Funkcije - I deo

80 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B Primer 1-1 funkcije Matematička logika 42 Funkcije - I deo

81 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Matematička logika 42 Funkcije - I deo

82 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 Matematička logika 42 Funkcije - I deo

83 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 Matematička logika 42 Funkcije - I deo

84 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B A Primer 1-1 funkcije f B Primer funkcije koja nije 1-1 Matematička logika 42 Funkcije - I deo

85 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B A Primer 1-1 funkcije f B Primer funkcije koja nije 1-1 Primer na funkcije Matematička logika 42 Funkcije - I deo

86 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 A f B A f B Primer na funkcije Matematička logika 42 Funkcije - I deo

87 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 A f B A f B Primer na funkcije Primer funkcije koja nije na Matematička logika 42 Funkcije - I deo

88 Primeri "1-1" i "na" funkcija A f B A f B Primer 1-1 funkcije Primer funkcije koja nije 1-1 A f B A f B Primer na funkcije Primer funkcije koja nije na Matematička logika 42 Funkcije - I deo

89 Bijektivne funkcije Za preslikavanje koje je istovremeno i injektivno i bijektivno kažemo da je bijektivno ili da je bijekcija iz A u (na) B. Identička funkcija I A na proizvoljnom skupu A je bijekcija iz A u A. Ako skup A ima bar dva elementa, onda sigurno ima i drugih bijekcija iz A u A. Bijekcija iz skupa A u sebe samog naziva se permutacija tog skupa. A f B Primer permutacije Matematička logika 43 Funkcije - I deo

90 Primeri injekcije, sirjekcije, bijekcije Primer 4: a) Funkcija f : R R, definisana sa f(x) = 2 x, je injektivna, jer iz x 1 x 2 sledi 2 x1 2 x 2, ali nije sirjektivna, jer negativni brojevi, kao ni nula, ne mogu biti stepeni sa pozitivnom osnovom. Ako se kodomen R zameni sa R +, onda je ova funkcija takod e i sirjektivna, tj. bijekcija je. b) Funkcija f : R R + {0}, definisana sa f(x) = x 2, je sirjektivna, jer svaki nenegativan realan broj a jeste kvadrat realnog broja a. Budući da se u a preslikava i a, ova funkcija nije injektivna. Matematička logika 44 Funkcije - I deo

91 Primeri injekcije, sirjekcije, bijekcije Primer 1.8. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja od sledećih korespondencija u A B je funkcija koja nije ni injektivna ni sirjektivna? (a) {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)} (b) {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} (c) {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} (d) nijedna od njih Rešenje: Dokazaćemo da je tačno (b). Matematička logika 45 Funkcije - I deo

92 Primeri injekcije, sirjekcije, bijekcije (a) Korespondencija {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}, ispunjava oba uslova iz definicije funkcije: svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata, nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata. Ta funkcija nije sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javlja element q. Med utim, funkcija je injektivna, jer se u drugoj vrsti nijedan element ne javlja dvaput. Prema tome, ova korespondencija ne ispunjava tražene uslove. Matematička logika 46 Funkcije - I deo

93 Primeri injekcije, sirjekcije, bijekcije (b) Korespondencija {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} ispunjava oba uslova iz definicije funkcije: svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata, nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata. Ova funkcija nije injektivna, jer se s javlja dvaput kao druga koordinata. Takod e, ova funkcija nije ni sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javljaju elementi q i r. Dakle, ova funkcija ima tražena svojstva. (c) Korespondencija {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} nije funkcija, jer kao prva koordinata se ne javlja p, pa nije definisana na celom A, element s se javlja dvaput kao prva koordinata, pa nije jednoznačna. Matematička logika 47 Funkcije - I deo

94 Permutacije Neka je funkcija f : A B, gde je A = {1, 2,..., n}, zadata sa ( ) n f = f(1) f(2)... f(n) Kod ovakvog predstavljanja se na jednostavan način može uočiti da li je f injektivna ili sirjektivna funkcija. Naime: f je injektivna funkcija ako i samo ako su sve vrednosti u drugoj vrsti ove matrice med usobno različite. f je sirjektivna funkcija ako i samo ako se u drugoj vrsti gornje matrice pojavljuju svi elementi iz kodomena B. Matematička logika 48 Funkcije - I deo

95 Permutacije Zadatak 1.1. Neka je A konačan skup i f : A A. Dokazati da su sledeći uslovi ekvivalentni: (i) f je bijekcija; (ii) f je injekcija; (iii) f je sirjekcija. Rešenje: Dovoljno je dokazati ekvivalentnost uslova (ii) i (iii). Neka je A = {1, 2,..., n}. Posmatrajmo niz vrednosti f(1), f(2),..., f(n) Ako je f injekcija, tada su svi članovi ovog niza med usobno različiti, pa kako niz ima n članova, to su u njemu zastupljeni svi elementi iz A, što znači da je f sirjekcija. Obratno, ako je f sirjekcija, onda su u gornjem nizu zastupljeni svi elementi iz A, i kako niz ima isto onoliko članova koliko i skup A, to znači da su svi njegovi članovi različiti, odakle sledi da je f injekcija. Matematička logika 49 Funkcije - I deo

96 Svojstva injekcija i sirjekcija Tvrd enje 3: Neka je f : A B i g : B C. (a) Ako su f i g injekcije, onda je i f g injekcija. (b) Ako su f i g sirjekcije, onda je i f g sirjekcija. Dokaz: (a) Neka su f i g injekcije i x 1, x 2 A. Tada f g(x 1 ) = f g(x 2 ) g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) (definicija kompozicije) f(x 1 ) = f(x 2 ) (injektivnost za g) x 1 = x 2 što znači da je i f g injekcija. (injektivnost za f), Matematička logika 50 Funkcije - I deo

97 Svojstva injekcija i sirjekcija (b) Neka su f i g sirjekcije i neka je z C. Tada, zbog sirjektivnosti za g, postoji y B tako da je z = g(y), a zbog sirjektivnosti za f, postoji x A tako da je y = f(x). Odatle je z = g(y) = g(f(x)), tj. z = f g(x), pa je i f g sirjekcija. Posledica: Kompozicija bijekcija je takod e bijekcija. Matematička logika 51 Funkcije - I deo

98 Svojstva injekcija i sirjekcija Tvrd enje 4: Neka je f : A B i g : B C. (a) Ako je f g injekcija, onda je i f injekcija. (b) Ako je f g sirjekcija, onda je i g sirjekcija. Dokaz: (a) Neka je f g injekcija neka su x 1, x 2 A elementi takvi da je f(x 1 ) = f(x 2 ). Tada je g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )), zbog jednoznačnosti za g, tj. f g(x 1 ) = f g(x 2 ), odakle je x 1 = x 2, zbog injektivnosti za f g. Ovim smo dokazali injektivnost za f. Matematička logika 52 Funkcije - I deo

99 Svojstva injekcija i sirjekcija (b) Neka je f g sirjekcija i z C. Tada postoji x A, tako da je f g(x) = z, odnosno g(f(x)) = z. S obzirom da je f(x) = y B, to sledi da za z C postoji y B, tako da bude z = g(y), pa je g sirjekcija. Matematička logika 53 Funkcije - I deo

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan.

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Iskazna algebra Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Da bi se pravila za odred ivanje istinitosti precizno formalizovala, uvodi se sledeća matematička struktura.

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

DELJIVOST CELIH BROJEVA

DELJIVOST CELIH BROJEVA DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Prokić FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 1. Prvo predavanje - funkcije i prirodni brojevi Cilj predavanja u prvoj sedmici je podsećanje na skupove brojeva koji su se koristili u prethodnom školovanju,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Prsteni neprekidnih funkcija

Prsteni neprekidnih funkcija 0 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prsteni neprekidnih funkcija Master rad Student: Damjan Kocić Mentor: Prof. dr Vladimir Pavlović Niš, Oktobar 2013. Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα