Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost"

Transcript

1 Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo skup U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 +δ)\{x 0 }. Jasno je da x U δ x 0 ) ako i samo ako 0 < x x 0 < δ. Interval x 0 δ, x 0 ) x 0, x 0 + δ)) zvaćemo leva desna) δ okolina tačke x 0. Definicija 1. Cauchy) Neka je funkcija f definisana u nekoj probodenoj okolini Ux 0 ) tačke x 0. Broj A je granična vrednost funkcije f u tački x 0 ako za svako ɛ > 0 postoji δ > 0 tako da za svako x iz probodene δ okoline tačke x 0 važi fx) A ɛ, A + ɛ), tj. fx) A < ɛ: i pišemo ɛ > 0) δ > 0) x)0 < x x 0 < δ = fx) A < ɛ), 1) fx) = A. Iz definicije sledi da se za svaku ɛ okolinu tačke A, U ɛ A), može naći probodena δ okolina tačke x 0, U δ x 0 ), koja se sa f slika u U ɛ A) f U δ x 0 )) U ɛ A)). To znači da se vrednosti funkcije f sve više približavaju broju A ukoliko se promenljiva x približava broju x 0. Primer. Ako je fx) = x, dokazati da je x fx) = 4. Kako je fx) 4 = x 4 = x )x+) = x )x )+4) x x +4) za x < δ imamo Ako se uzme fx) 4 < δδ + 4). δδ + 4) = ɛ, ) 1

2 onda je δ = ɛ jer ono drugo rešenje koje se dobija iz jednačine ) je negativno, δ = 4 + ɛ, i ne dolazi u obzir) i za x < δ sledi fx) 4 < ɛ. Definicija 3. Heine) Neka je funkcija f definisana u nekoj probodenoj okolini Ux 0 ) tačke x 0. Broj A je granična vrednost funkcije f u tački x 0 ili kad x teži ka x 0 ), ako za svaki niz x n Ux 0 ), n N, koji konvergira ka x 0, x n = x 0, niz fx n )) n N konvergira ka A, fx n) = A, i tada n n pišemo fx) = A. Primer 4. Ako je fx) = x + 5x 6, da li funkcija f ima graničnu x vrednost u tački 1? Neka je x n ) n proizvoljan niz takav da x n = 1 i x n 1 za svako n n N. Tada x n + 5x n 6 = n x n x n) + 5 x n 6 n n x n n = 1 3 = 4 pritom smo uzeli da je x n za svako n N, jer za x = funkcija nije definisana). Dakle, postoji fx n) = 4 i kako ne zavisi od izbora niza n x n ) n koji konvergira ka 1, to potoji fx) = 4. x 1 Teorema 5. Definicije 1 i 3 granične vrednosti funkcije u datoj tački su ekvivalentne. Dokaz. Neka je fx) = A u smislu Definicije 3. f definisana u nekoj probodenoj okolini Tada je funkcija U δ0 x 0 ) tačke x 0 i za svaki niz x n U δ0 x 0 ), n = 1,,... koji konvergira ka x 0 važi n fx n) = A. Dokazujemo da važi 1). Prepostavimo suprotno, tj. da važi: ε 0 > 0) δ > 0) x δ )0 < x δ x 0 < δ fx δ ) A ɛ 0 ). 3) Iz 3) sledi da za δ = δ 0 n, n = 1,,... postoji x n tako da je i x n x 0 < δ 0 n, x n x 0, n = 1,,..., 4) fx n ) A ɛ 0, n = 1,,.... 5)

3 Na osnovu 4) sledi da x n U δ0 x 0 ) i x n = x 0, a na osnovu 5) da broj n A ne može biti granična vrednost niza fx n )) n, što protivureči Definiciji 3. Dobijena protivurečnost dokazuje da važi 1). Obrnuto, pretpostavimo da je fx) = A u smislu Definicije 1. Tada je funkcija f definisana u nekoj probodenoj okolini uslov 1). Neka je x n Ux 0 ), n N i Ux 0 ) tačke x 0 i važi x n = x 0. 6) n Pokažimo da funkcija f ispunjava uslove Definicije 3, tj. da važi fx n) = A. 7) n Za proizvoljno ɛ > 0, izaberimo δ > 0 koje zadovoljava uslov 1). Za to δ, na osnovu 6), postoji n 0 N tako da za svako n n 0 važi 0 < x n x 0 < δ. Iz uslova 1) sledi da za n n 0 važi fx n ) A < ɛ, što zbog proizvoljnosti ɛ > 0 implicira 7). Definicija 6. Neka je funkcija f definisana na intervalu a, x 0 ) x 0, b)). Broj A je leva desna) granična vrednost funkcije f u tački x 0 ako za svako ɛ > 0 postoji δ = δɛ) > 0 tako da za svako x koje ispunjava uslov x 0 δ < x < x 0 x 0 < x < x 0 + δ) važi fx) A ɛ, A + ɛ), tj. fx) A < ɛ, i pišemo 0 fx) = A ili A = fx 0 0) +0 fx) = A ili A = fx 0 + 0)). U slučaju x 0 = 0 umesto x x 0 0) pišemo jednostavno x +0 x 0). Analogno dokazu Teoreme 5, pokazuje se da je ova definicija ekvivalentna sledećoj: Definicija 7. Neka je funkcija f definisana na intervalu a, x 0 ) x 0, b)). Broj A nazivamo levom desnom) graničnom vrednošću funkcije f u tački x 0 ako za svaki niz x n ) n takav da x n = x 0, a < x n < x 0 x 0 < x n < b), n niz fx n )) n konvergira ka A, tj. fx n) = A. n Primer 8. Neka je fx) = sin 1. Pokazaćemo da ova funkcija nema ni desnu x ni levu graničnu vrednost u 0. 3

4 Neka je x n = 1 nπ, x n = 1 π 6 + nπ, z n = x n i z n = x n, n = 1,,.... Jasno, x n > 0, x n > 0, n x n = n x n = 0, fx n ) = 0, fx n) = 1. Zato fx n) = 0 i n n fx n) = 1 i stoga, na osnovu Definicije 7, fx) x +0 ne postoji. Slično, z n < 0, z n < 0, z n = n n z n = 0, fz n ) = 0, fz n) = 1. Sledi fz n) = 0 i n n fz n) = 1 i stoga fx) ne postoji. x 0 Na osnovu Definicije 3 zaključujemo da ne postoji ni fx). x 0 Primer 9. Neka je fx) = sgnx. Pokazaćemo da ova funkcija ima levu i desnu graničnu vrednost u 0, ali da se one razlikuju. Neka je x n > 0, x n < 0, n N i x n = n n x n = 0. Tada je sgnx n = 1 = 1, n n n sgnx n = 1) = 1, n i stoga je sgnx = 1 i x +0 Takod e sledi da x 0 sgnx ne postoji. sgnx = 1. x 0 Teorema 10. Funkcija f ima graničnu vrednost u tački x 0 ako i samo ako ona ima i levu i desnu graničnu vrednost u tački x 0 i ako su one jednake. Dokaz. Neka je x x0 fx) = A i ɛ > 0 proizvoljno. Tada postoji δ > 0 tako da za svako x koje zadovoljava uslove x x 0 < δ i x x 0 važi fx) A < ɛ. To znači da za x x 0 δ, x 0 ), kao i x x 0, x 0 + δ) važi fx) A < ɛ. Na osnovu Definicije 6 zaključujemo da funkcija f ima i levu i desnu graničnu vrednost u tački x 0 i ako su one jednake A. Obrnuto, pretpostavimo da važi fx) = fx) = A. 8) +0 0 Neka je ɛ > 0 proizvoljno. Na osnovu 8) postoji δ 1 > 0 tako da za svako x takvo da je x x 0 δ 1, x 0 ) važi fx) A < ɛ. Takod e postoji δ > 0 tako da za svako x takvo da je x x 0, x 0 + δ ) važi fx) A < ɛ. Neka je δ = min{δ 1, δ }. Tada za x x 0 δ, x 0 + δ) i x x 0 važi fx) A < ɛ. Prema tome, fx) = A. 4

5 Primer 11. Neka je x 3, x < 1 1 fx) =, x = 1 x, x > 1 Tada je i Zaključujemo da x 1 fx) ne postoji. fx) = x 3) =, x 1 0 x 1 0 fx) = x 1+0 x 1+0 x = 1. Definicija 1. Neka je funkcija f definisana u nekoj probodenoj okolini Ux 0 ) tačke x 0. Kažemo da je + granična vrednost funkcije f kad x teži ka x 0 i pišemo fx) = +, ako za svako ɛ > 0 postoji δ > 0 tako da za svako x x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } važi fx) > ɛ. Ova definicija je ekvivalentna sledećoj: Neka je funkcija f definisana u nekoj probodenoj okolini Ux 0 ) tačke x 0. Kažemo da je + granična vrednost funkcije f kad x teži ka x 0 ako za svaki niz takav da x n Ux 0 ), n N, i x n = x 0, važi fx n) = +. n n Slično se uvode sledeći pojmovi: 0 Primer 13. Dokazati fx) = +, 0 fx) =, +0 1 x +0 x = + i +0 fx) = +, fx) =, fx) =. 1 x 0 x =. Neka je ɛ > 0 proizvoljno. Za δ = 1 ɛ i x 0, δ), važi 1 x > 1 = ε. Na δ 1 1 osnovu Definicije 1 sledi = +. Slično se dokazuje da je x +0 x x 0 x =. 5

6 Definicija 14. Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini +, M, + ), M R. Kažemo da je A granična vrednost funkcije f kad x teži ka + i pišemo fx) = A, x + ako za svako ɛ > 0 postoji δ tako da za svako x > δ važi fx) A < ɛ. Ova definicija je ekvivalentna sledećoj: Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini +, M, + ), M R. Kažemo da je A granična vrednost funkcije f kad x teži ka + ako za svaki niz takav da x n > M, n N, i x n = +, važi fx n) = A. n n Na sličan način se uvodi pojam: fx) = A. x Primer 15. Da li postoji cos x? x + Neka je x n = nπ i x n = π 3 + nπ, n N. Kako je x n = n n x n = +, cos x n = 1 i cos n n x n = 1, sledi da cos x ne postoji. x + Osobine graničnih vrednosti U ovoj sekciji pod tačkom x 0 podrazumevamo kako realan broj, tako i + i. Pod probodenom δ okolinom + ) podrazumevamo interval δ, + ), δ)), δ > 0, u oznaci U δ + ) U δ )). Naredna tvrd enja su iskazana za slučaj dvostrane granične vrednosti, ali ona važe i u slučaju jednostranih graničnih vrednosti, s tim što bi u tom slučaju termin probodena okolina bio zamenjen terminom leva odnosno desna okolina. Teorema 16. Ako funkcija f ima konačnu graničnu vrednost u tački x 0, onda je ona ograničena u nekoj probodenoj okolini tačke x 0. Dokaz. Neka je x x0 fx) = A R. Na osnovu definicije granične vrednosti funkcije, za ɛ = 1 postoji probodena okolina Ux 0 ) tačke x 0 tako da za svako x Ux 0 ) važi fx) A < 1, tj. A 1 < fx) < A + 1. Ovo znači da je funkcija f ograničena u probodenoj okolini Ux 0 ) tačke x 0. Teorema 17. Ako funkcija f u tački x 0 ima konačnu graničnu vrednost različitu od 0, onda funkcija ima isti znak kao i ta granična vrednost u nekoj probodenoj okolini tačke x 0. 6

7 Dokaz. Neka je fx) = A R i A > 0. Tada za ɛ = A u slučaju A < 0 treba uzeti ɛ = A) postoji probodena okolina Ux 0 ) tačke x 0 tako da za svako x Ux 0 ) važi fx) A < A, tj. A A < fx) < A + A. Ovo znači da je fx) > 0 za x Ux 0 ). S obzirom da se pojam granične vrednosti funkcija svodi na graničnu vrednost niza, osobine graničnih vrednosti nizova se prenose i na granične vrednosti funkcija. Naredna tvrd enja se dokazuju korišćenjem odgovarajućih tvrd enja za nizove. Teorema 18. Ako je A fx) za svako x iz neke probodene okoline Ux 0 ) tačke x 0 i ako postoji konačna ili beskonačna) granična vrednost fx), tada je A fx). Teorema 19. Ako je gx) fx) za svako x iz neke probodene okoline Ux 0 ) tačke x 0 i ako postoje konačne ili beskonačne) grani v cne vrednosti gx) i fx), tada je gx) fx). Teorema 0. Ako je ϕx) fx) ψx) za svako x iz neke probodene okoline Ux 0 ) tačke x 0 i ako postoje konačne ili beskonačne) granične vrednosti ϕx) i ψx) koje su med usobno jednake, tada postoji i granična vrednost fx) i važi ϕx) = fx) = ψx). Dokaz. Neka je ϕx) = ψx) = A, x n Ux 0 ), n = 1,,... i x n = x 0. Tada je ϕx n) = ψx n) = A i n n n ϕx n ) fx n ) ψx n ). Na osnovu Teoreme o zatvoreniku izmed u dva policajca za nizove, sledi da je fx n) = A. Iz definicije granične vrednosti funkcija sledi da postoji n granična vrednost funkcije f u tački x 0 i da je fx) = A. 7

8 Primer 1. Da li postoji x cos 1? Iz x cos 1 x = x cos 1 x, x 0, x sledi x x cos 1 x x, x 0. Kako je x 0 x ) = x 0 x = 0, na osnovu Teoreme 0, zaključujemo da je x cos 1 = 0. Teorema. Ako postoje konačne granične vrednosti fx) i gx), onda postoje i konačne granične vrednosti fx)±gx)), fx)gx)), fx) a ako je gx) 0, onda i granična vrednost gx) i važi fx) ± gx)) = fx) ± gx), fx)gx)) = fx) gx), fx) fx) gx) = gx) Za funkciju f : S R, gde je S R, kažemo da je rastuća opadajuća) ako za proizvoljne x 1, x S takve da je x 1 < x važi fx 1 ) fx ) fx 1 ) fx )). Za f ćemo reći da je strogo rastuća opadajuća) ako za svako x 1, x S iz x 1 < x sledi fx 1 ) < fx ) fx 1 ) > fx )). Za funkciju koja ispunjava bilo koji od predhodna četiri uslova kažemo da je monotona. Ako je funkcija strogo rastuća ili strogo opadajuća, onda ćemo reći da je strogo monotona. Teorema 3. Granična vrednost monotonih funkcija) Neka je funkcija f rastuća na intervalu a, b), a, b R. Tada f ima levu graničnu vrednost u tački b i desnu graničnu vrednost u tački a i pritom je: fx) = x b 0 sup fx) i fx) = x a,b) x a+0 inf fx). x a,b) 8

9 Posledica 4. Ako je funkcija f monotona na intervalu a, b), a, b R i x 0 a, b), tada f ima konačne jednostrane granične vrednosti u tački x 0. Teorema 5. Košijev kriterijum egzistencije graničnih vrednosti funkcija) Neka je funkcija f definisana u nekoj probodenoj okolini tačke x 0. Funkcija f ima konačnu graničnu vrednost u tački x 0 ako i samo ako za svako ɛ > 0 postoji δ > 0 tako da za sve x, x U δ x 0 ) važi fx ) fx ) < ɛ. 3 Beskonačno male funkcije Definicija 6. Za funkciju α kažemo da je beskonačno mala funkcija kad x teži ka x 0 ovde x 0 može biti realan broj ili jedna od beskonačnosti) ako je αx) = 0. Beskonačno mala α često se naziva i infinitezimala. Sledeća teorema se dokazuje korišćenjem odgovarajućih osobina nula nizova. Teorema 7. i) Zbir i proizvod dve beskonačno male funkcije kad x x 0 je beskonačno mala funkcija kad x x 0. ii) Ako je α beskonačno mala kad x x 0, a g funkcija ograničena u nekoj probodenoj okolini tačke x 0, onda je gα beskonačno mala kad x x 0. Sledeća teorema pokazuje da se pojam granične vrednosti funkcija može svesti na pojam beskonačno male. Teorema 8. Funkcija f u tački x 0 R ima graničnu vrednost jednaku A R, fx) = A, ako i samo ako postoji beskonačno mala α kad x x 0 tako da je fx) = A + αx) za x iz neke probodene okoline tačke x 0. Dokaz. Neka je fx) = A. Sledi funkcija f je definisana u nekoj probodenoj okolini Ux 0 ) tačke x 0. Definišimo αx) = fx) A za x Ux 0 ). Tada na osnovu Teoreme sledi αx) = fx) A) = fx) A = A A = 0, 9

10 i očigledno je fx) = A + αx). Obrnuto, ako je fx) = A + αx) za x iz neke probodene okoline tačke x 0, i αx) = 0, tada je fx) = A + αx)) = A + αx) = A + 0 = A. 4 Neprekidnost funkcija Definicija 9. Za funkciju f definisanu u nekoj okolini Ux 0 ) tačke x 0 R kažemo da je neprekidna u tački x 0 ako je Uslov 9) je ekvivalentan uslovu fx) = fx 0 ). 9) fx) fx 0)) = 0. x x 0 0 Razlika x x 0 se zove priraštaj argumenta i označava sa x, a razlika fx) fx 0 ) priraštaj funkcije koji odgovara priraštaju argumenta x, i označava se sa y. Prema tome x = x x 0, x = x 0 + x, y = fx 0 + x) fx 0 ) i uslov 9) je ekvivalentan uslovu y = 0. x 0 Definicija 30. Ako je funkcija f neprekidna u svakoj tački skupa S, onda kažemo da je f neprekidna na S. Primer 31. Funkcija fx) = c, c R, je neprekidna na R. Zaista, za svako x 0 R, fx) = c = fx 0 ). Primer 3. Pokažimo da je funkcija fx) = x n, n N, neprekidna na R. Neka je x 0 R. Iz y = fx 0 + x) fx 0 ) = x 0 + x) n x n 0 = = nx n 1 0 x + nn 1) x n 0 x) + + x) n sledi y = 0. x 0 Prema tome, funkcija f je neprekidna za svako x 0 R. 10

11 Primer 33. Da li je funkcija fx) = sgn x neprekidna u 0? Kako je fx) = sgn x = 1 0 i f0) = sgn 0 = 0, sledi x 0 fx) f0) i funkcija f nije neprekidna u 0. Primer 34. Da li je funkcija neprekidna u 0? fx) = { x sin 1 x, x 0 0, x = 0 Slično kao u Primeru 1 možemo pokazati da je x sin 1 = 0. Stoga je fx) = f0) i funkcija f je neprekidna u 0. x 0 Definicija 35. Neka je funkcija f definisana na intervalu a, x 0 ]. Ako je fx) = fx 0), 0 onda kažemo da je funkcija f neprekidna sleva u tački x 0. Ako je funkcija f definisana na intervalu [x 0, b) i ako je fx) = fx 0), +0 onda kažemo da je funkcija f neprekidna zdesna u tački x 0. Primer 36. Za dato x R najveći ceo broj koji je manji ili jednak od x označava se sa [x]. Neka je fx) = [x], x R. Neka je x 0 ceo broj. Tada je fx) = [x] = x 0 = [x 0 ] = fx 0 ), što znači da je f neprekidna zdesna u x 0. Med utim f nije neprekidna sleva u tački x 0 jer: fx) = [x] = x 0 1 x 0 = [x 0 ] = fx 0 ). 0 0 Teorema 37. Ako su funkcije f i g neprekidne u tački x 0 R, tada su i funkcije f ± g, fg neprekidne u x 0, a ako je gx 0 ) 0, onda i funkcija f g neprekidna u x 0. 11

12 Dokaz. Tvrd enje sledi na osnovu definicije neprekidnosti i Teoreme. Pokazaćemo recimo da je funkcija f g neprekidna u x 0. Kako je fx) = fx 0 ) i gx) = gx 0 ) 0, na osnovu Teoreme sledi fx) fx) gx) = gx) = fx 0) gx 0 ), te je funkcija f g neprekidna u x 0. Teorema 38. Neka funkcija g u tački x 0 ima graničnu vrednost y 0 R i neka je funkcija f neprekidna u tački y 0. Tada složena funcija x fgx)) ima graničnu vrednost u tački x 0 i važi fgx)) = fy 0 ) = f gx)). Dokaz. Neka je ɛ > 0 proizvoljno. Iz činjenice da je funkcija f neprekidna u tački y 0, tj. iz fy) = fy 0 ) sledi da postoji ɛ 1 > 0 tako da za y y 0 y y 0 ɛ 1, y 0 + ɛ 1 ) važi fy) fy 0 ) < ɛ. Kako je gx) = y 0 sledi da postoji δ > 0 tako da za svako x x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } važi gx) y 0 ɛ 1, y 0 + ɛ 1 ). Zato za svako x x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } važi fgx)) fy 0 ) < ɛ. Prema tome, fgx)) = fy 0 ). Posledica 39. Ako je funkcija g neprekidna u tački x 0 R i funkcija f neprekidna u tački gx 0 ), tada je složena funcija x fgx)) neprekidna u tački x 0. Dokaz. Iz Teoreme 38 sledi fgx)) = fgx 0 )), te je funkcija x fgx)) neprekidna u x 0. 5 Neke osobine funkcija neprekidnih na segmentu Reći ćemo da da je funkcija f : [a, b] R neprekidna na segmentu [a, b] ako je neprekidna u svakoj tački intervala a, b), u tački a neprekidna zdesna, a u tački b neprekidna sleva. Sledeća teorema govori o tome da je svaka neprekidna funkcija na segmentu ograničena i da na njemu dostiže svoj supremum i infimum. 1

13 Teorema 40. Weierstrass) Neka je funkcija f : [a, b] R neprekidna na segmentu [a, b]. Tada je ona ograničena i postoje tačke x 0, x 0 [a, b] takve da je fx 0 ) = sup fx) i fx 0) = inf fx). a x b a x b Dokaz. Neka je M = sup fx). 10) a x b Jasno, M R. Pokazaćemo da je M < i da postoji x 0 [a, b] tako da je fx 0 ) = M. Neka je a n ) n niz realnih brojeva takav da je i a n = M 11) n a n < M, n = 1,,.... 1) Iz 10) i 1) sledi da za svako n N postoji x n [a, b] tako da je a n < fx n ) M, n = 1,, ) Kako je a x n b, n = 1,,..., sledi niz x n ) n je ograničen i na osnovu Bolcano-Vajerštrasove teoreme ima konvergentan podniz x nk ) k. Neka je x n k = x 0. 14) k Zbog a x nk b dobijamo a x 0 b, a na osnovu 13) a nk < fx nk ) M, k = 1,, ) Iz 11) sledi k a n k = M, što zajedno sa 15) implicira fx n k ) = M. 16) k Kako je f neprekidna na segmentu [a, b] i x 0 [a, b], f je neprekidna u x 0 i na osnovu 14) sledi fx n k ) = fx 0 ). 17) k Iz 16) i 17) sledi fx 0 ) = M. Kako je fx 0 ) R, sledi M <, tj. funkcija f je ograničena odozgo i dostiže svoj supremum u tački x 0. Analogno se dokazuje da je funkcija odozdo ograničena na segmentu [a, b] i da na njemu dostiže svoj infimum. 13

14 Primetimo da je pretpostavka da je funkcija definisana i neprekidna na zatvorenom i ograničenom intervalu bitna. Na primer, funkcija fx) = 1 x je neprekidna na intervalu 0, 1], ali nije ograničena na njemu. Funkcija fx) = x je neprekidna na skupu R =, + ), ali nije ograničena na njemu. Funkcija fx) = x je neprekidna i ograničena na intervalu 0, 1), ali ne dostiže ni svoj supremum, ni svoj infimum na ovom intervalu sup x 0,1) 1, inf fx) = 0). x 0,1) fx) = Teorema 41. Bolzano-Cauchy) Neka je funkcija f neprekidna na segmentu [a, b]. Tada za svaki broj C koji se nalazi izmad u brojeva fa) i fb) postoji bar jedna tačka ξ a, b) takva da je fξ) = C. Dokaz. Neka je fa) < C < fb). Podeo segment [a, b] tačkom x 0 na dva segmenta jednake dužine. Tada je ili fx 0 ) = C, pa je tražena tačka ξ = x 0, ili je fx 0 ) C, i tada na levom kraju jednog od ta dva segmenta funkcija ima manju vrednost od C, a na desnom veću od C. Označimo taj segment sa [a 1, b 1 ] i podeo ga na dva segmenta jednaka po dužini i td. Tim postupkom ćemo ili nakon konačno mnogo koraka doći do tačke ξ takve da je fξ) = C ili ćemo dobiti niz umetnutih odsečaka [a n, b n ], čija dužina teži 0 i takav da je fa n ) < C < fb n ). 18) Na osnovu Kantorovog principa o umetnutim segmentima postoji jedinstvena tačka ξ koja pripada svim segmentima [a n, b n ], n = 1,,.... Kako je ξ = a n = b n, n n zbog neprekidnosti funkcije f imamo Iz 18) sledi Iz 19) i 0) sledi fξ) = C. fξ) = n fa n) = n fb n). 19) fa n) C fb n). 0) n n Posledica 4. Ako je funkcija f neprekidna na segmentu [a, b] i na krajevima segmenta ima vrednosti različitog znaka, tada u intervalu a, b) postoji bar jedna tačka ξ takva da je fξ) = 0 14

15 Posledica 43. Neka je f neprekidna funkcija na segmentu [a, b], i neka je m = fx) i M = sup fx). Tada je f[a, b]) = [m, M]. inf a x b a x b Dokaz. Očigledno je f[a, b]) [m, M]. Dokažimo obrnutu inkluziju. Na osnovu Weierstrassove teoreme postoje tačke α, β [a, b], takve da je fα) = m i fβ) = M. Tvrd enje sada sledi iz Bolzano-Cauchyeve teoreme primenjene na segmet [α, β] ako je α < β, ili segment [β, α] ako je β < α. 6 Neprekidnost elementarnih funkcija U ovoj sekciji biće nam potrebne sledeće dve teoreme koje se odnose na neprekidne i strogo monotone funkcije i njihove inverzne funkcije. Teorema 44. Neka je funkcija f strogo rastuća opadajuća) i neprekidna na segmentu [a, b]. Tada je inverzna funkcija f 1 definisana, strogo rastuća opadajuća) i neprekidna na segmentu sa krajevima u tačkama fa) i fb). Teorema 45. Neka je funkcija f strogo rastuća opadajuća) i neprekidna na intervalu a, b) konačnom ili beskonačnom) i neka je c = fx), d = fx). x a+0 x b 0 Tada je inverzna funkcija f 1 definisana, strogo rastuća opadajuća) i neprekidna na intervalu konačnom ili beskonačnom) sa krajevima u tačkama c i d. Definišimo najpre osnovne elementarne funkcije. Definicija 46. Konstantne, stepene, eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije su osnovne elementarne funkcije. Definišimo sada pojam elementarne funkcije. Definicija Osnovne elementarne funcije su elementarne funkcije.. Ako su f i g elementarne funkcije, onda su i f + g, f g, fg, f g i g f elementarne funkcije pod uslovom da su definisane). 3. Sve elementarne funkcije se dobijaju primenom pravila 1. i. konačno mnogo puta. Na primer funkcija x = x je elementarna i takod e funkcija y = lnarccos x + x + 1)) 3. e arctgx +1) 15

16 Teorema 48. Eksponencijalna funkcija y = a x, a > 0, je neprekidna na skupu R. Dokaz. Ako je a = 1 onda je y = 1 x = 1 za svako x R i ovo je neprekidna funkcija na R. Neka je sada a 1. Dokažimo da je Neka je najpre a > 1 i neka je ɛ > 0. Kako je n 0 N tako da je x 0 a x = 1. 1) a 1 n 0 1 = a 1 n 0 1 < ɛ. n n a = 1, to postoji Neka je δ = funkcija sledi 1 n 0. Tada, za 0 < x < δ, iz činjenice da je y = a x rastuća Prema tome, Odavde sledi x 0 a x = a x 1 = a x 1 < a δ 1 = a 1 n 0 1 < ɛ. t +0 a t = x +0 a x = 1. ) t +0 1 a t = 1 = 1 = 1. 3) t +0 a t 1 Iz ) i 3) sledi da 1) važi za a > 1. Neka je sada 0 < a < 1. Tada je b = 1 a > 1 važi x 0 b x = 1, te je 1 x 0 a x = x 0 b x = 1 = 1 x 0 b x 1 = 1. Prema tome, 1) važi i za 0 < a < 1. Iz 1) sledi y = a x+ x a x) = x 0 x 0 x 0 ax a x 1 ) = 0, što znači da je funcija y = a x neprekudna za svako x R. Posledica 49. Funkcija y = log a x, a > 0, a 1 je neprekidna funkcija za svako x 0, + ). 16

17 Dokaz. Za a > 1 0 < a < 1) funkcija y = a x je strogo rastuća opadajuća) na intervalu, + ). Kako je za a > 1 dok za 0 < a < 1 važi x ax = 0 i x + ax = +, x ax = + i x + ax = 0, na osnovu Teoreme 45 i Teoreme 48 sledi da je inverzna funkcija y = log a x neprekidna na intervalu 0, + ). Posledica 50. Funkcija y = x α je neprekidna funkcija za svako x 0, + ). Dokaz. Kako je y = x α = e α ln x, tvrd enje sledi iz Teoreme 48, Posledice 49 i Posledice 39. Biće nam potrebno sledeće tvrd enje. Lema 51. Za svako x R važi nejednakost Dokaz. sin x x. 4) Za x = 0 očigledno važi 4). Neka je najpre 0 < x < π. Uočimo kružnicu poluprečnika R sa centrom u koordinatnom početku i poluprečnik OB neka obrazuje ugao od x radijana sa pozitivnim delom x ose, tj. sa poluprečniokom OA. Neka OB 1 poluprečnik simetričan poluprečniku OB u odnosu na x osu. Jasno duž BB 1 je upravna na duž OA i obeležimo sa C njihovu tačku preseka. Iz pravouglog trougla OBC sledi BC = R sin x, pa je BB 1 = R sin x. Dužina kružnog luka BAB 1 je Rx. Očigledno dužina duži BB 1 nije veća od dužine kružnog luka BAB 1, tj. R sin x Rx. Prema tome, sin x x. Ako je π < x < 0, tada je 0 < x < π, pa je na osnovu već dokazanog sin x) x. Kako je u ovom slučaju sin x = sin x = sin x) i x = x, dokazali smo da je sin x x. Ako je x π, tada je sin x 1 < π x. 17

18 Teorema 5. Funkcije y = sin x i y = cos x su neprekidne na skupu R. Dokaz. Za x R i x R važi sinx + x) sin x = sin x cosx + x) cos x = sin x x + x cos, x + x sin. 5) Kako je sin α 1 i cos α 1 za svako α R, i na osnovu 4) x sin x, to iz 5) sledi sinx + x) sin x = x sin x + x cos x = x, cosx + x) cos x = x sin x + x 6) sin x = x. Na osnovu 6) zaključujemo sinx + x) sin x) = 0 i cosx + x) cos x) = 0, x 0 x 0 što dokazuje da su funkcije y = sin x i y = cos x neprekidne u tački x.. Posledica 53. Funkcije y = tgx i y = ctgx su neprekidne u svakoj tački svog domena. Dokaz. Na osnovu Teoreme 5 i Teoreme 37 funkcija y = tgx = sin x cos x je neprekidna u skakoj tački x R za koju je cos x 0. Analogno i y = ctgx = cos x sin x je neprekidna funkcija u svakoj tački x R za koju je sin x 0. Posledica 54. Inverzne trigonometrijske funkcije y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx i y = arcctgx su neprekidne u svakoj tački svog domena. [ Dokaz. Funkcija y = sin x je strogo rastuća na segmentu π, π ], sin π ) = 1, sinπ ) = 1, i na osnovu Teoreme 44 sledi da je inverzna funkcija y = arcsin x neprekidna na segmetu [ 1, 1]. Funkcija y = cos x je strogo opadajuća na segmentu [0, π], cosπ) = 1, cos0) = 1, i na osnovu Teoreme 44 sledi da je inverzna funkcija y = arccos x neprekidna na segmetu [ 1, 1]. 18

19 Funkcija y = tgx je strogo rastuća na intervalu π, π ), tgx =, x π +0 tgx = +, x π 0 i na osnovu Teoreme 45 sledi da je inverzna funkcija y = arctgx neprekidna na intervalu, + ). Funkcija y = ctgx je strogo opadajuća na intervalu 0, π), ctgx = +, x +0 ctgx =, x π 0 i na osnovu Teoreme 45 sledi da je inverzna funkcija y = arcctgx neprekidna na intervalu, + ). Teorema 55. Svaka elementarna funkcija je neprekidna u svakoj tački svog domena. Dokaz. Dokazali smo da je svaka osnovna elementarna funkcija neprekidna u svakoj tački svog domena. Sada iz Definicije 47 i Teorema 37 i 39 sledi tvrd enje teoreme. Primetimo da funkcija y = sgnx nije elementarna, bez obzira na njen relativno jednostavan analitički izraz, jer nije neprekidna u 0. 7 Važne granične vrednosti Primer 56. Dokazati da je sin x = 1. 7) Dokaz. Uočimo kružnicu poluprečnika R sa centom u tački O. Neka poluprečnik OB sa poluprečnikom OA gradi ugao od x radijana, 0 < x < π. U tački A konstruišimo normalu na poluprečnik OA i neka ona seče poluprečnik OB u tački C. Površina trougla OAB je 1 R sin x, površina kružnog isečka OAB je 1 R x, dok je površina trougla OAC jednaka 1 R tgx. Kako je trougao OAB sadržan u kružnom isečku OAB, a ovaj pak sadrfžan u trouglu OAC, to dobijamo nejednakost: 1 R sin x < 1 R x < 1 R tgx, 19

20 i stoga je sin x < x < tgx. Deobom ove nejednakosti sa sin x > 0 jer 0 < x < π ) dobijamo: tj. 1 < x sin x < 1 cos x, cos x < sin x < 1. 8) x Ako x π ), 0, tada 0 < x < π i prema već dokazanom imamo da je cos x) < sin x) < 1, tj. cos x < sin x x x < 1. Prema tome, nejednakost 8) važi za svako x π, π ) \ {0}. Kako je funkcija y = cos x neprekidna u 0, to je cos x = cos 0 = 1, pa iz 8) na osnovu Teoreme 0 dobijamo x 0 ). 0

21 Primer 57. Dokazati da je x x) x = e i x x) x = e. 9) Dokaz. Dokažimo najpre da za svaki niz prirodnih brojeva n k ) k takav da važi Neka je ɛ > 0. Kako je n k = + 30) k ) nk = e. 31) k n k n = e, n n) postoji n 0 N tako da za svako n N, n n 0 = 1 + n) 1 n e < ɛ. 3) Iz 30) sledi da postoji k 0 N tako da za k k 0 važi n k > n 0, te zbog 3) dobijamo ) nk e n k < ɛ. Ovim smo dokazali jednakost 31). Neka je sada x k ) k proizvoljan niz realnih brojeva koji teži ka +. Ne umanjujući opštost dokaza možemo pretpostaviti da je x k 1 za svako k N. Da bi smo dokazali prvu jednakost u 9), na osnovu Heineove definicije granične vrednosti funkcija, dovoljno je dokazati da je ) xk = e. 33) x k k Neka je n k = [x k ], k N. Tada je n k N i Odavde 1 n k + 1 < 1 x k 1 n k i stoga n k x k < n k + 1, k N. 34) n k + 1 < x k n k. 35) Iz 34) i 35) sledi ) nk < ) xk ) < 1 + 1nk nk ) n k + 1 x k 1

22 Kako je i ) ) nk nk +1 n k +1 = k n k + 1 k n k +1 = e 1 = e ) 1 + 1nk nk +1 ) = 1 + 1nk nk ) 1 + 1nk = e 1 = e, k k iz nejednakosti 36) i Teoreme 0 dobijamo 33). Neka je sada x k ) k niz realnih brojeva koji teži ka. Možemo pretpostaviti da je x k 1 za svako k N. Da bi smo dokazali drugu jednakost u 9) dovoljno je dokazati da važi 33). Neka je y k = x k, k N. Tada je y k 1 i x k ) xk = = 1 1 y k ) yk = y k 1 Kako je na osnovu već dokazanog to je i Prema tome, važi 33). k + Primer 58. Dokazati da je y k = +, te je k + ) yk 1 yk ) yk yk = = y k y k 1 ) yk = ) yk y k 1 y k y k 1 ) yk 1 = e, ) yk ) = e. k + y k 1 y k 1 ). 1 + x) 1 x = e. 37) x 0 Dokaz. Iz prve jednakosti u 9) sledi 1 + x) 1 x = ) t = e, 38) x +0 t + t dok iz druge jednakosti u 9) sledi 1 + x) 1 x = ) t = e. 39) x 0 t t Na osnovu Teoreme 10, iz 38) i 39) sledi 37).

23 Primer 59. Dokazati da je log a 1 + x) = log a e = 1 ln a. 40) Dokaz. Zbog neprekidnosti funkcije y = log a x, iz 37) sledi log a 1 + x) ) = log a 1 + x) 1 x = loga 1 + x) 1 x = log a e. 0 Iz 40) sledi Primer 60. Dokazati da je ln1 + x) = log e e = 1. 41) a x 1 = ln a. 4) Dokaz. Uvedimo smenu a x 1 = t. Tada je x = log a 1 + t) i x 0 ako i samo ako t 0. Sada iz 40) sledi a x 1 = t 0 Prema tome, t log a 1 + t) = t 0 Primer 61. Dokazati da je Dokaz. Primetimo da je 1 log a 1+t) t = 1 t 0 log a 1+t) t = 1 1 ln a = ln a. e x 1 = ln e = 1. 43) 1 + x) α 1 = α, α R. 44) 1 + x) α 1 e α ln1+x) 1 = e α ln1+x) 1 α ln1 + x) = α ln1 + x) = e α ln1+x) 1 = x 0 α ln1 + x) x 0 α ln1 + x). x 45) Smenom t = α ln1 + x) x 0 t 0), iz 43) dobijamo e α ln1+x) 1 e t 1 = = 1, 46) x 0 α ln1 + x) t 0 t 3

24 sledi dok iz 41) Iz 45), 46) i 47) sledi 44). 8 Asimptotska oznaka o α ln1 + x) = α. 47) Definicija 6. Ako postoji probodena okolina tačke x 0 R, da je fx) = ɛx)gx) za svako x Ux 0 ), Ux 0 ), tako gde je ɛ beskonačno mala funkcija kad x x 0, tada kažemo da je funkcija f beskonačno mala u odnosu na g kad x x 0 i pišemo f = og) kad x x 0 48) čitamo: f je malo o od g kad x teži ka x 0 ). Osim toga, ako su funkcije f i g još i beskonačno male funkcije kad x x 0, onda kažemo da je f beskonačno mala višeg reda u odnosu na g kad x x 0 ili da f brže teži nuli nego funkcija g kad x x 0. Primetimo da sada uslov da je f beskonačno mala funkcija kad x x 0 možemo zapisati na sledeći način: f = o1) kad x x 0. Ako je gx) 0 za x Ux 0 ), onda je uslov 48) ekvivalentan uslovu Prema tome, ako je gx) 0 za x Ux 0 ), onda je fx) = 0. 49) gx) og) = 0. g Primer 63. Primetimo da je x = ox) kad x 0, jer x = x x i x 0 x = 0, x tj. = 0. Takod e je i x3 = ox) kad x 0, jer x 3 = x x i x = 0, x 0 x 3 odnosno = 0. Zaključujemo da je i xn = ox), x 0 za n. 4

25 Primetimo da ox) kad x 0, ne označava samo jednu funkciju, već sve funkcije koje su beskonačno male višeg reda u odnosu na x kad x 0 i zbog toga bi možda bilo pravilnije pisati x ox), x 0; x 3 ox), x 0;.... Med utim usvojeno je da se umesto znaka piše znak jednakosti i navedena nekorektnost u pisanju omogućuje jednostavnu primenu, a ne dovodi do zabune ako naglasimo da se jednakosti u kojima se javlja malo o čitaju samo sleva u desno; na primer, x 3 = ox), x 0, dok ox) = x 3, x 0, nema smisla. Primetimo još da nije x 3 = ox) kad x 1, jer x 3 = x x ali x ne teži nuli kad x 1. Ovaj primer ukazuje na to da je navod enje tačke ka kojoj teži promenljiva x nerazdvojni deo ove oznake. Dalje je x = ox ) kad x +, a takod e i kad x, jer x = 1 x x i 1 x ± x = 0. Kako je 1 x 4 = 1 x 1 x i 1 x ± x = 0, to je 1 x 4 = o 1 ) kad x ±. x Primetimo da ako je f = og) kad x x 0, to znači da naravno pod uslovom da je gx) 0 za x iz neke probodene okoline tačke x 0 ) količnik funkcija f i g teži nuli kad x x 0, dok nemamo nikakvu informaciju o ponašanju funkcija f i g pojedinačno kad x x 0. Može da se desi da funkcije f ili g i nemaju graničnu vrednost kad x x 0. Recimo ako je fx) = x sin 1 x i gx) = sin 1, x 0, tada je fx) = xgx) i x = 0, te je x x 0 f = og) kad x 0, fx) = 0, dok gx) ne postoji. Ako je fx) = 0 x sin x, a gx) = x sin x, nije teško proveriti da ne postoji fx), a x + takod e ni gx), dok iz fx) = 1 x + x gx) i 1 = 0 sledi f = og) x + x kad x +. ln1 + x) ln1 + x) x Budući da je = 1, sledi = 0, te je ln1 + x) x = ox), x 0, odnosno ln1 + x) = x + ox), x 0. a x 1 a x 1 x ln a Takod e, iz = ln a imamo = 0, i zato je a x 1 x ln a = ox), x 0, tj. a x = 1 + x ln a + ox), x x) α 1 Analogno, iz = α, α R sledi 1 + x) α = 1 + αx + ox), x 0, 5

26 sin x dok iz = 1 sledi sin x = x + ox), x 0. U sledećoj teoremi izlažemo neke osobine ove oznake. Teorema 64. Neka su funkcije f i g definisane u nekoj probodenoj okolini tačke x 0. Tada: i) ocg) = og), x x 0, gde je c R konstanta. ii) f og) = ofg), x x 0. iii) cog) = og), x x 0, gde je c R konstanta. iv) Ako je fx) 0 za svako x iz neke probodene okoline tačke x 0, onda je og) = o g f f ), x x 0. v) og) + og) = og), x x 0. vi) oog)) = og), x x 0. vii) og + og)) = og), x x 0. viii) Za n N, og)) n = og n ), x x 0. ix) Za n N, g + og)) n = g n + og n ), x x 0. x) Ako je f = g + og), x x 0, onda postoji probodena okolina Ux 0 ) tako da je za svako x Ux 0 ), sgnfx)) = sgngx)). Dokaz. i) Budući da jednakosti u kojima učestvuje malo o traba čitati sleva u desno, da bi dokazali da je ocg) = og), x x 0, treba da dokažemo da ako je neka funkcija h beskonačno mala u odnosu na cg kad x x 0, da je onda h beskonačno mala u odnosu na g kad x x 0. Iz h = ocg), x x 0, sledi da postoji probodena okolina tačke x 0 u kojoj važi jednakost hx) = ɛx)cgx)) = cɛx))gx), gde je ɛ beskonačno mala kad x x 0. Kako je onda i cɛ beskonačno mala kad x x 0, zaključujemo da je h = og), x x 0. ii) Treba dokazati da iz uslova da je funkcija h beskonačno mala u odnosu na g kad x x 0, sledi da je proizvod fh beskonačno mala u odnosu na fg kad x x 0. Iz h = og), x x 0 sledi da postoji probodena okolina tačke x 0, Ux 0 ), tako da za svako x Ux 0 ) važi hx) = ɛx)gx), gde je ɛ beskonačno mala kad x x 0. Tada je fx)hx) = ɛx)fx)gx)) za x Ux 0 ), i zato je fh = ofg) kad x x 0. 6

27 iii) Sledi iz i) i ii). iv) Na osnovu ii) imamo og) f = 1 f og) = o 1 f g) = o g f ), x x 0. v) Ako su h 1 i h dve beskonačno male u odnosu na g kad x x 0, dokažimo da je takav i njihov zbir. Iz h 1 = og) i h = og) kad x x 0 sledi da postoji probodena okolina Ux 0 ) tako da za svako x Ux 0 ) važi h 1 x) = ɛ 1 x)gx) i h x) = ɛ x)gx), gde su ɛ 1 i ɛ beskonačno male kad x x 0. Kako je zbir dve beskonačno male kad x x 0 opet beskonačno mala kad x x 0 Teorema 7 i)), i kako je h 1 x) + h x) = ɛ 1 x) + ɛ x))gx), x Ux 0 ), zaključujemo da je h 1 + h = og), x x 0. vi) Pretpostavimo da je h = oog)) kad x x 0. To znači da je h = oh 1 ), x x 0 za neku funkciju h 1 takvu da je h 1 = og), x x 0. Dakle postoji probodena okolina tačke x 0, Ux 0 ), tako da je za x Ux 0 ), hx) = αx)h 1 x) i h 1 x) = βx)gx), gde su α i β dve beskonačno male funkcije kad x x 0. Na osnovu Teoreme 7 i) sledi da je αβ beskonačno mala kad x x 0, i zato iz hx) = αx)βx))gx), x Ux 0 ), zaključujemo da je h = og) kad x x 0. vii) Neka je h = og +og)), x x 0. To znači da postoji funkcija h 1 takva da je h 1 = og), x x 0, i h = og + h 1 ), x x 0. Sledi postoji okolina Ux 0 ) tako da za svako x Ux 0 ) važi hx) = ɛ 1 x)gx) + ɛ x)gx)) = ɛ 1 x)1 + ɛ x))gx), gde su ɛ 1 i ɛ beskonačno male kad x x 0. Kako je ɛ 1 x)1 + ɛ x)) = ɛ 1 x)1 + ɛ x)) = ) = 0, sledi da je h = og) kad x x 0. viii) Neka je n N, i neka je h = og) kad x x 0. Dokažimo da je h n = og n ), x x 0. Iz h = og) kad x x 0 sledi da postoji okolina Ux 0 ) tako da za svako x Ux 0 ) važi jednakost hx) = ɛx)gx), gde je ɛ beskonačno mala kad x x 0. Tada je hx)) n = ɛx)) n gx)) n, x Ux 0 ), i ɛ n je beskonačno mala kad x x 0 Teorema 7 i)), odakle zaključujemo da je h n beskonačno mala u odnosu na g n kad x x 0. 7

28 ix) Neka je n N. Na osnovu binomne formule, viii), ii), iii) i v) imamo g + og)) n = g n + ) n 1 g n 1 og) + ) n g n og)) + n 3) g n 3 og)) n n 1) gog)) n 1 + og)) n = g n + og n ), x x 0. x) Neka je f = g + og), x x 0. Tada postoji probodena okolina U δ0 x 0 ) tačke x 0 tako da je fx) = gx) + ɛx)gx) = 1 + ɛx))gx), za x U δ0 x 0 ), 50) gde je ɛ beskonačno mala kad x x 0. Iz ɛx) = 0 sledi da postoji δ < δ 0 tako da je za svako x U δ x 0 ), ɛx) < 1, tj. 1 < ɛx) < 1. Prema tome, 1 < 1 + ɛx) za x U δ x 0 ), i na osnovu 50) zaključujemo da su fx) i gx) istog znaka za x U δ x 0 ). 8

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. Matematička analiza. Pregled teorije i zadaci. Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje. Beograd, 2001.

Milan Merkle. Matematička analiza. Pregled teorije i zadaci. Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje. Beograd, 2001. Milan Merkle Matematička analiza Pregled teorije i zadaci Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje Beograd, 2001. Sadržaj Obavezno pročitati................................................... xi 1 Uvod u analizu........................................................

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Skinuto sa

Skinuto sa Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo sa www.ef.ba Skinuo

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete pojmove slučajna promenljiva, raspored verovatnoća, očekivana vrednost i funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

KONTURNA INTEGRACIJA

KONTURNA INTEGRACIJA KONTURNA INTEGRACIJA Materijal sa sedme radne Ljaškijade - jun 14. Studentska asocijacija Eneter emineter.wordpress.com Ovo je materijal za rešavanje pet tipova integrala koristeći teoreme kompleksne analize

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

Projektivna geometrija Milivoje Luki

Projektivna geometrija Milivoje Luki odatna nastava u Matematiqkoj gimnaziji 04.02.2007. Projektivna geometrija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com 1. vorazmera. Harmonijska spregnutost. Perspektivitet. Projektivitet efinicija: Neka su

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET. Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET. Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA KOMPLETI ZADATAKA ZA PRIJEMNI ISPIT 011. Edicija: Pomoæni ud benici Marjan

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Tijana Šukilović Matematički fakultet, Univerzitet Beograd May 2, 2011, Beograd Sadržaj 1 Racionalne Bézier-ove krive Polinomijalne Bézier-ove krive Algoritam

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για κάθε κεφάλαιο των σημειώσεων,

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Definicija funkcije

1.1 Definicija funkcije . Definicija funkcije Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematičkoj analizi i centralni objekat svih njenih razmatranja. Definicija Neka je dat skup D R. Ako je svakom x D po nekom zakonu (pravilu)

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA Doktorska disertacija Kragujevac 2007 Sadr`aj Predgovor 2 1 Harmonijski grafovi 5 1.1 Definicija

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XX (1)(2014), 5-14 Osnove matematike JEDNA NOVA KLASA RELACIJA Daniel A. Romano 1 Sažak: U ovom tekstu, slijedeći koncepte izložene u radovima

Διαβάστε περισσότερα

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12 GRAFOVI Ljubo Nedović 21. februar 2013 Sadržaj 1 Osnovni pojmovi 2 2 Bipartitni grafovi 8 3 Stabla 9 4 Binarna stabla 11 5 Planarni grafovi 12 6 Zadaci 13 1 2 1 Osnovni pojmovi Iz Vikipedije, slobodne

Διαβάστε περισσότερα

KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG

KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG S R P S K K M I J N U K KLSIƒNI NUƒNI SPISI KNJIG III MTMTIƒKI INSTITUT KNJIG 3 GOMTRISK ISPITIVNJ IZ TORIJ PRLLNIH LINIJ O N. I. LOƒVSKOG Preveo RNISLV PTRONIJVI RUGO, PRO IRNO IZNJ O G R 1951 Na²ao sam

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 1 Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Έστω ότι έχουμε την συνάρτηση: f(x) = x + 3x 1 H γραφική της παράσταση είναι: Και την συνάρτηση f(x) = x + 3x + η οποία έχει προκύψει από την προηγούμενη αφού

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα