Slina kao ogledalo sistemnog zdravlja
|
|
- ÏΚάϊν Αξιώτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Slina kao ogledalo sistemnog zdravlja Slina je tjelesna tekućina složenog sastava koja obavlja raznolike funkcije. Razlikujemo slinu iz slinovnica i ukupnu slinu. Slina iz slinovnica je lučevina velikih i malih žlijezda slinovnica čijim lučenjem upravlja autonomni živčani sustav. Proizvodnja počinje u acinusima, gdje se izlučuju anorganski (elektroliti) i organski (glikoproteini mucini, proteini) sastojci. U acinusima joj je elektrolitski sastav identičan onom u krvnoj plazmi, a protjecanjem kroz izvodne kanaliće se mijenja: Na + i Cl - se reapsorbiraju pa se njihova koncentracija smanjuje, a K + i HCO3 - se aktivno secerniraju (ili antiport sustavom zamjenjuju za Na + i Cl - ), pa se njihova koncentracija povećava. Udio mucina razlikuje se između pojedinih žlijezda naj- veći je u slini malih žlijezda, manji je kod sublingvalnih i submandibularnih, a u slini iz parotide ga gotovo ni nema. Sekrecija sline iz slinovnica mijenja se tijekom dana, a razlikuje se bazalna i stimulirana sekrecija. Bazalna prije svega ovisi o stanju hidratacije organizma, a stimulirana o različitim mirisnim, okusnim, mehaničkim i psihološkim podražajima (1). Ukupna slina nastaje miješanjem sline iz slinovnica s ostalim tekućinama i materijalima koji dospiju u usnu šupljinu, a to su (2): sulkusna tekućina sekreti iz dišnih putova koji cilijarnim transportom ili iskašljavanjem stižu u usta bakterije i njihovi metaboliti, virusi, gljivice odljuštene epitelne stanice sastojci krvi koji u usnu šupljinu ulaze kroz ozljede sluznice ostaci hrane Ukupna slina složena je tekućina sastavljena od mnoštva organskih i anorganskih sastojaka. Funkcija sastojaka ukupne sline pregledno je prikazana na slici 1, a udjeli pojedinih sastojaka ukupne sline na slici 2. Vidljivo je da slina iz slinovnica zajedno sa sulkusnom tekućinom čini 98% ukupno izlučene ukupne sline. Slina iz slinovnica je proizvod specijaliziranih sekretornih stanica i u svom sastavu pretežno sadrži vodu, elektrolite, enzime i glikoproteine. Uz to može sadržavati i različite druge tvari prisutne u plazmi, koje mogu biti endogenog (npr. hormoni) ili egzogenog porijekla (npr. lijekovi). Nasuprot slini iz slinovnica, koju proizvode specijalizirane stanice i koja uz to prolazi dodatnu obradu u izvodnim kanalićima, sulkusna tekućina je svojim sastavom puno sličnija krvnoj plazmi. Ona je transudat koji nastaje ultrafiltracijom iz kapilarnog pleksusa u području sulkusa, ili eksudat u slučaju jače upale i posljedične povećane permeabilnosti kapilara. Zbog stalno prisutne mikrobiološke flore u području sulkusa, uvijek postoji određeni stupanj fiziološke upale, tako da je propusnost kapilara trajno povećana. Ovisno o intenzitetu upalne reakcije, sulkusna tekućina će sadržavati više ili manje proteina krvne plazme (3). Pritom treba napomenuti da intenzitet upalne reakcije puno više ovisi o individualnim svojstvima organizma domaćina nego o kvaliteti i kvantiteti mikrobiološke flore (4). Dakle, slina iz slinovnica, kao i sulkusna tekućina su derivati krvne plazme. Zbog 42 P R O S I N A C S O N D A
2 svojeg porijekla, obje tekućine u većoj ili manjoj mjeri sadržavaju komponente krvne plazme elektrolite, hormone, proteine plazme, imunoglobuline, citokine te različite ksenobiotike lijekove i droge. Najveći dio komponenata plazme u slinu dospije putem sulkusne tekućine, jer su kapilare u sulkusu za njih puno propusnije nego stanice acinusa. Međutim, neki sastojci plazme se mogu lučiti i putem slinovnica. Mogući mehanizmi kojima sastojci plazme ulaze kroz stanice acinusa u slinu prikazani su na slici 3. Zbog svog sastava, ukupna slina je pogodna tekućina za cijeli niz dijagnostičkih postupaka. Činjenica da se u slini nalaze komponente plazme omogućuje njihovu detekciju i kvantifikaciju iz uzoraka sline. Istovremeno, na izljuštenim stanicama sluznice usta i dišnog sustava moguće je uočiti eventualne promjene, npr. displaziju ili malignu alteraciju. Nadalje, uzorci sline se mogu prilično jednostavno i atraumatski prikupiti, prikupljanje je jeftinije od uzimanja uzorka krvi te nije potrebno posebno educirano osoblje i oprema. Zato je u posljednjih dvadesetak godina izuzetno poraslo zanimanje za uporabu sline kao dijagnostičke tekućine. Nove spoznaje i metode s područja molekularne biologije omogućile su primjenu sline u dijagnostičke svrhe. Neke od njih se već koriste, zasebno ili kao nadopuna krvnim pretragama, a velik broj je u fazi istraživanja koja bi trebala procijeniti njihovu kliničku vrijednost i upotrjebljivost u praktičnom radu. U ovom tekstu će ukratko biti prikazane široke mogućnosti primjene sline u dijagnostici različitih bolesti i stanja. Za identifikaciju i detekciju markera pojedinih bolesti koriste se različite metode molekularne biologije i imunologije. Budući da njihovi detalji nadilaze opseg ovog sažetog pregleda, one ovdje neće biti posebno opisane, a eventualno nadobudnog čitatelja se upućuje u prikladnu literaturu (5). Detekcija tumorskih markera u slini može doprinijeti ranoj dijagnostici različitih zloćudnih tumora. Primjerice, p53 je važan tumor-supresorski gen, čiji pro- tein funkcionira kao negativni regulator ( kočnica ) staničnog ciklusa i tako onemogućava dijeljenje stanice s nestabilnim genomom. Mutacije p53 pronađene su u mnogim zloćudnim tumorima. Kao produkt mutiranog gena p53 nastaje defektni protein koji ne može obavljati svoju funkciju, a budući da se on ponaša kao strani protein, protiv njega se usmjerava imunosna reakcija i proizvode anti-p53 antitijela (6). Ta antitijela je moguće detektirati u serumu i slini, što ih čini pogodnim markerom za različite maligne bolesti. Antip53 antitijela nađena su kod pacijenata s različitim karcinomima pluća, gušterače, mokraćnog mjehura, dojke, štitnjače i prostate (7). Testovi koji dokazuju antip53 imaju prilično skromnu osjetljivost (u najboljem slučaju 25%), a i ne omogućuju razlikovanje pojedinih tumora. U slini je moguće detektirati i mutirani p53 u jednoj studiji (8) pronađena je mutacija p53 u 71% pacijenata oboljelih od planocelularnog karcinoma (PCC) u usnoj šupljini. Mutacija je tumor-specifična i može poslužiti kao marker za PCC usne šupljine i vrata. Onkogen erb je pozitivni regulator staničnog ciklusa i njegova prekomjerna aktivacija uzrokuje nekontroliranu proliferaciju stanica. Njegov proteinski produkt pronađen je u povišenoj koncentraciji u slini bolesnica s karcinomom dojke (9). Također je zabilježena povišena razina CA15-3 (koji je membranski receptor za EGF). Stoga bi ova dva proteina mogla poslužiti kao markeri za karcinom dojke, posebice za postoperativno praćenje pacijentica i ocjenu uspješnosti operacije. EGF (Epidermal Growth Factor) je povišen kod primarnog karcinoma dojke, kao i kod rekurentnih oblika koji se javljaju nakon operacije. Najviše razine se prisutne upravo kod ponovne pojave karcinoma, pa bi EGF mogao biti koristan marker za postoperativno praćenje (10). CA 125 je marker za karcinom jajnika koji se koristi za ranu dijagnostiku i uobičajeno se dokazuje u serumu. Može ga se dokazati i u uzorku sline, pri čemu je osjetljivost testa manja nego pri dokazivanju iz seruma (81% u slini, 94% u serumu), ali je zato specifičnost veća (88% u slini, 60% u serumu) (11). Defenzini su mali peptidi koje proizvode neutrofili i epitelne stanice, a djeluju antimikrobno i citotoksično. U slini imaju ulogu u nespecifičnoj imunosti, a razina im je povišena kod bolesnika s oralnim PCC (12), pa bi mogli služiti kao marker za taj karcinom. Infekcija s Helicobacter pylori povezuje se s povećanim rizikom za kronični gastritis, peptički ulkus i adenokarcinom želuca, iako njegova uloga u patogenezi nije posve razjašnjena. Pomoću PCR-a je moguće u slini detektirati DNA H. pylori i tako dokazati njegovu prisutnost u probavnom sustavu (13). Druga, novija metoda detektira IgG antitijela na H. pylori i pokazuje visoku osjetljivost (97%) i specifičnost (94%). Kod šigeloze su u slini povišena antitijela protiv Shiga toksina i endotoksina lipopolisaharida. Postoje salivarni testovi kojima se mjeri titar tih antitijela, ali oni imaju veću važnosti za istraživanje imunosnih mehanizama nego praktičnu primjenu u dijagnostici (14). Ugrizom krpelja može se prenijeti krpeljni meningoencefalitis i lajmska borelioza. Pri ugrizu se razvijaju antitijela protiv određenih antigena krpelja koja se mogu dokazati u slini. Takvi testovi bi mogli biti korisni za skrining populacije u područjima nastanjenim krpeljima koja ima povećani rizik obolijevanja od navedenih bolesti (15). Kod pneumokokne pneumonije u slini se pojavljuje polisaharid C koji je dio S O N D A P R O S I N A C
3 bent assay (ELISA) se koristi za skrining, a konačna dijagnoza se postavlja western blotom. Ovi testovi se mogu izvesti na uzorku seruma, sline ili urina (18). Za dijagnostiku se od svih navedenih najboljim pokazao upravo uzorak sline, s osjetljivošću i specifičnošću većom od 95% (19). Stoga će slina u budućnosti vjerojatno u potpunosti zamijeniti upotrebu seruma za dijagnostiku HIV-infekcije. Danas već postoje komercijalno dostupni testovi za kućnu uporabu (npr. Orasure) kojima se sakuplja sulkusna tekućina, a zatim se u njoj se dokazuju anti-hiv IgG antitijela. Imaju veliku dijagnostičku vrijednost, jednostavni su za izvođenje i očitavanje, a rezultate daju već nakon 20-ak minuta. Iz uzorka sline (kao alternativa serumu) se također može izmjeriti i razina β- 2 mikroglobulina i topljivog receptora za TNF-α. Ta dva proteina služe kao markeri aktivacije imunosnog sustava, a koriste se u praćenju aktivnosti HIV infekcije i kroničnih upalnih bolesti (20). Umjesto seruma, slina se može prilično pouzdano koristiti i za dijagnostiku virusnog hepatitisa uzrokovanog virusima HAV, HBV i HCV (21). Testovi za HBV i HCV hepatitis su visoko osjetljivi i specifični, pa su proizvedeni komercijalni brzi testovi za kućnu uporabu, s navodnom osjetljivošću i specifičnošću većom od 99%. Slina može poslužiti i za kontrolu imunizacije protiv dječjih virusnih bolesti ospica, zaušnjaka i rubeole. Kod necijepljene djece, isti testovi mogu pomoći u postavljanju dijagnoze (iako najčešće nisu potrebni zbog jasne kliničke slike). Testovima se dokazuje prisutnost antitijela protiv uzročnika ovih bolesti, a specifičnost i osjetljivost im se kreće između 94% i 98% (21). Limfotropni herpes virusi (Epstein-Barr virus, citomegalovirus, humani herpes virusi 6, 7, 8) se pojavljuju u slini i sekretu nosne sluznice i odavde se njihove DNA mogu dokazati pomoću PCR-a (22). Sličnim testom se može dokazati i prisutnost HSV-1 u slini bolesnika s reaktiviranom infekcijom. U jednoj studiji je taj test korišten za ranu detekciju reaktivacije HSV-1 u pacijenata s Bellovom paralizom (23). Razvijen je i test koji dokazuje antitijela na antigene kapside EBV. Takav test bi mogao biti koristan u epidemiološkim istraživastanične stjenke pneumokoka. Test kojim se on detektira u slini ima relativno slabu osjetljivost (55%), ali prilično veliku specifičnost (97%) (16). Bolest uzgajivača golubova je bolest plućnog intersticija uzrokovana imunom reakcijom na antigene porijeklom od golubova. U slini se pojavljuje IgG protiv tih antigena, što može biti od koristi u dijagnostici ove bolesti (17). HIV infekcija se uobičajeno dijagnosticira detekcijom anti-hiv antitijela pomoću dva testa: enzyme-linked immunosor- njima infektivne mononukleoze (24). Dengue je akutna virusna bolest koju prenose komarci, a ograničena je uglavnom na tropsko podneblje. Primarna infekcija se najčešće manifestira kao samoograničavajuća febrilna bolest, dok sekundarna infekcija može imati ozbiljne i smrtonosne komplikacije (hemoragična groznica). Mjerenjem razine IgG i IgM antitijela u slini, moguće je postaviti dijagnozu bolesti, a uz to još i razlikovati primarnu od sekundarne infekcije (25). Iz uzorka sline je moguće prilično pouzdano izmjeriti razine nekih hormona. To se posebice odnosi na steroidne hormone koji zbog dobre topljivosti u lipidima lako prolaze kroz staničnu membranu acinarnih stanica. Zato njihove koncentracije u slini vrlo točno odražavaju plazmatsku koncentraciju hormona. Za razliku od serumskih testova kojima se mjeri ukupna koncentracija hormona (vezanog za proteine plazme i nevezanog), salivarni testovi omogućavaju mjerenje samo nevezanog dijela hormona. Budući da je samo nevezani dio hormona funkcionalno aktivan, određivanje razine hormona iz sline nam daje bolji uvid u aktivnost hormona nego kada se za testove koristi serum. Steroidni hormoni čija se razina može precizno odrediti iz uzorka sline su: kortizol, testosteron i njegov prekursor dehidroepiandrosteron, estradiol, estriol i progesteron (26). U slini se mogu detektirati i peptidni hormoni, ali njihova koncentracija nije pouzdano mjerilo plazmatske koncentracije. Oni u slinu dospijevaju kroz sulkusnu tekućinu ili ozljede oralne sluznice, jer nisu topljivi u lipidima pa ne difundiraju kroz membrane acinarnih stanica. Zato njihova koncentracija u slini više ovisi o protoku i sastavu sulkusne tekućine nego o stvarnoj koncentraciji u plazmi (27). Mnogi lijekovi se pojavljuju u mjerljivim količinama u slini, a da pritom njihova koncentracija odražava koncentraciju lijeka u plazmi. Prisutnost lijeka u slini ovisi o cijelom nizu fizikalno-kemijskih faktora (liposolubilnost, molekularna masa, električni naboj, stupanj vezanja na proteine 44 P R O S I N A C S O N D A
4 Cistična fibroza je autosomno-recesivna bolest koju karakterizira poremećeni promet elektrolita u epitelnim stanicama. Klinički se manifestira kao generalizirana egzokrinopatija. Slina pacijenata oboljelih od cistične fibroze pokazuje promijenjen sastav: nalazimo povišene koncentracije natrija, klorida, kalcija, fosfata, uree, lipida i prostaglandina E2 te promijenjen, biološki slabo aktivan epidermalni faktor rasta (EGF) (2). Ovi nalazi su dugo poznaplazme, ph sline, biotransformacija), pa molekula lijeka mora zadovoljiti određene uvjete da bi se mogla pojaviti u slini. Male, dobro topljive u lipidima i neionizirane molekule ulaze u slinu jednostavnom difuzijom i njihova koncentracija u slini dobro korelira s koncentracijom u plazmi. Takvim lijekovima se može iz poznate koncentracije u slini odrediti plazmatska koncentracija. Određivanje koncentracije lijeka iz sline moglo bi naći primjenu u nadzoru suradnje (compliance) psihijatrijskih bolesnika testovima bi se lako moglo provjeriti uzimaju li pacijenti svoje lijekove. Neki od lijekova pogodnih za ovakva testiranja su: litij, karbamazepin, fenobarbital, fenitoin, metadon, benzodiazepini. Ostali lijekovi kojima se koncentracija može odrediti iz sline su: digoksin, cisplatin, ciklosporin, paracetamol, teofilin, metoprolol, oksprenolol i drugi (2). Uporaba različitih sredstava ovisnosti može se dokazati salivarnim testovima. Kao i kod lijekova, molekula takvog sredstva mora imati određena fizikalno-kemijska svojstva da bi se mogla naći u slini (vidi prije). Međutim, za razliku od lijekova, testovi za droge ne moraju biti kvantitativno precizni dovoljno je da dokazuju prisutnost ili odsutnost određene supstance. Droge koje mogu biti identificirane u slini, bez potrebe za mjerenjem točne koncentracije su: amfetamini, barbiturati, benzodiazepini, fenciklidin, kokain, opioidi i marihuana (28). Poseban slučaj predstavlja etilni alkohol. Zbog njegovih svojstava (liposolubilan je, neioniziran, nevezan za proteine plazme i ima malu molekularnu masu), etilni alkohol difundira u slinu toliko brzo da mu se koncentracija u plazmi i slini odnose gotovo u omjeru 1:1. Zato bi mjerenje alkohola u slini moglo poslužiti za procjenu koncentracije alkohola u krvi, kao alternativa mjerenju u ekspiriranom zraku (29). Nadalje, mjerenje kotinina (metabolita nikotina) u slini može poslužiti kao indikator pušenja. Moglo bi se iskoristiti za procjenu rizika od različitih bolesti povezanih s pušenjem kod ljudi koji su aktivni pušači ili su izloženi pasivnom pušenju na radnom mjestu (30). Iako nema puno podataka o potencijalnim salivarnim markerima za pojedine bubrežne bolesti, pokazalo se da bi određivanje kreatinina moglo pomoći u procjeni funkcije bubrega. Kreatinin je metabolit kreatin-fosfata, energijom bogatog spoja iz skeletnih mišića. Izlučuje se glomerularnom filtracijom (zanemarivo malo i tubularnom sekrecijom), ne reapsorbira se u tubulima i služi kao indikator funkcije bubrega. Povišena razina u plazmi (a time i u slini) upućuje na smanjenu funkciju bubrega (31). Razvijeni su testovi kojima se kvalitativno i kvantitativno određuje mikrobiološki sastav plaka. Prije svega su usmjereni na dokazivanje glavnih patogena odgovornih za razvoj karijesa (S. mutans, L. acidophilus) te parodontne bolesti (P. gingivalis), ali i na mnoge druge. Takvi testovi nisu dijagnostički osobito značajni, jer patogeneza ovih bolesti ovisi o mnogim drugim faktorima, a učestalost i težina bolesti ne pokazuje jednostavnu korelaciju s brojem i vrstom patogena prisutnih u plaku. Zato oni nisu pravi dijagnostički testovi, već služe samo za procjenu rizika od karijesa i parodontne bolesti (32). Neka novija istraživanja povezuju rizik od razvoja karijesa s razlikama u sastavu salivarnih oligosaharida koji ulaze u sastav pelikule. Pritom jedna skupina oligosaharida olakšava adheziju i agregaciju bakterija na površinu zuba i povezana je s povećanim rizikom od karijesa, dok ih druga skupina aglutinira i djeluje opsonizacijski te tako smanjuje rizik od karijesa (33). ti ali se ne koriste za dijagnostiku cistične fibroze. Ipak, mogli bi biti korisni za identifikaciju asimptomatskih heterozigota. To bi pomoglo u planiranju obitelji izbjegavanjem brakova između nositelja smanjila bi se incidencija cistične fibroze. Celijakija (netropska sprue) je nasljedni poremećaj u kojem nastaju antitijela na glijadin (sastojak glutena iz hrane). Ta antitijela zbog križne reaktivnosti oštećuju stjenku tankog crijeva pa nastaje malapsorpcija i proljevi. Anti-glijadinska antitijela mogu se dokazati u slini, što se može iskoristiti za skrining celijakije kao i za kontrolu pridržavanja potrebne dijete bez glutena. Slina je prepoznata kao korisna i potencijalno široko upotrebljiva dijagnostička tekućina. Dostupnost sline, jednostavno i atraumatsko prikupljanje kao i smanjeni rizik od infekcije daju joj prednost pred serumom, a nove metode molekularne biologije omogućile su detekciju različitih sastojaka sline koji su identificirani kao markeri pojedinih bolesti. Raznolikost stanja i bolesti koje se mogu dijagnosticirati testovima iz sline dalo je poticaj razvoju salivarne dijagnostike. Salivarnim se testovima može detektirati mnoštvo markera, kako oralnih tako i sistemskih bolesti. Ti testovi imaju različitu dijagnostičku vrijednost (npr. odnos osjetljivost specifičnost te pozitivna negativna prediktivna vrijednost) što im određuje primjenjivost u praksi neki su prilično pouzdani za postavljanje dijagnoze (npr. HIV-testovi), neki se mogu koristiti u kombinaciji sa serumskim testovima, a neki pak kao jeftina i praktična metoda skrininga. Većina testova je u eksperimentalnoj fazi i još nisu našli široku primjenu u svakodnevnom radu. Ipak, neki se zbog svojih karakteristika već rutinski koriste, a možda će i u potpunosti zamijeniti serumske testove. Najbolji primjer su HIV-testovi koji su jednako dijagnostički vrijedni kao i serumski testovi, a po nekim istraživanjima čak i vrjedniji. Testovi za steroidne hormone, virusni hepatitis i neke maligne bolesti također su prilično pouzdani, ali još se ne koriste rutinski kao HIV-testovi. Razvoj salivarne dijagnostike puno obećava i za očekivati je da će u skorijoj bu- S O N D A P R O S I N A C
5 dućnosti biti dostupni jednostavni, jeftini i praktični, a istovremeno dovoljno pouzdani testovi koji će zasigurno naći svoju primjenu u kliničkoj praksi. LITERATURA 46 P R O S I N A C S O N D A
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραImplementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM
Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM Dr.sc. Ljiljana Mayer, spec.med.biokemije Zagreb, 18. ožujka 2017. Klinika za tumore Centar za maligne bolesti, KBCSM
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραImunofluorescencija. vizualizacija molekula protutijela obilježenih fluorokromom vezanih za antigene na stanicama ili tkivnim preparatima
Imunofluorescencija 1944. - Robert Coons protutijela se mogu označiti molekulama koje imaju sposobnost fluorescencije fluorokromi - apsorbiraju svjetlost jedna valne duljine (ekscitacija), a emitiraju
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραPT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραHeterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότερα100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραVježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom
Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje
Διαβάστε περισσότεραPočela biostatistike, Poslijediplomski interdisciplinarni doktorski studij Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti
Analiza brojčanih podataka Nora Nikolac Klinički zavod za kemiju KB Sestre milosrdnice Kolegij: Počela biostatistike Statistička hipoteza postupak testiranja 1. postavljanje hipoteze: H 0, H 1 2. odabir
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραReverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Διαβάστε περισσότερα