مسائل. 2 = (20)2 (1.96) 2 (5) 2 = 61.5 بنابراین اندازه ی نمونه الزم باید حداقل 62=n باشد.

Transcript

1 ) مسائل مدیریت کارخانه پوشاک تصمیم دارد مطالعه ای به منظور تعیین میانگین پیشرفت کارگران کارخانه انجام دهد. اگر او در این مطالعه دقت برآورد را 5 نمره در نظر بگیرد و فرض کند مقدار انحراف معیار پیشرفت کاری کارگران 0 نمره باشد. اندازه نمونه الزم در سطح معنی داری 5 درصد را تعیین کنید. ( صفحه 0 مثال /( حل : با توجه به اطالعات مسئله ویژگی مورد نظر کمی است و = 5 0 σ = 0 e و = 0.05 α هستند و چون اشاره ای به تعداد عنصر های جامعه ی آماری نشده است فرض می شود که نمونه گیری از جامعه ای نامحدود )بزرگ( انجام شده که در این صورت می توان گفت S = σ است. بنابراین چه در حالت با جاگذاری و چه در حالت بدون جاگذاری اندازه ی نمونه با توجه به فرمول های محاسباتی شکل.5 به صورت زیر قابل محاسبه است. = σ z α/ = (0) (.96) e 0 (5) = 6.5 بنابراین اندازه ی نمونه الزم باید حداقل 6= باشد. در مسئله فرض کنید مدیریت کارخانه تصمیم دارد مطالعه خود را تنها به بخش تولید شلوار جین معطوف کند که در آن 0 کارگر مشغول کار هستند. او از طریق یک نمونه مقدماتی مقدار میانگین و انحراف معیار نمره های پیشرفت کارگران در این بخش را به ترتیب 5 و 0 برآورد کرده است. اندازه نمونه را محاسبه کنید.)صفحه 0- مثال /( )0 حل : از آنجا که اندازه ی جامعه متناهی در نظر گرفته شده و صحبتی از با جای گذاری نشده در چنین مسایلی فرض بر این است که روش انتخاب نمونه بدون جایگذاری نشده در چنین مسایلی فرض بر این که روش انتخاب نمونه بدون جای گذاری توجه به فرمول های محاسباتی شکل.5 اندازه ی نمونه برابر است با : با است. پس = z α s e 0 + N z α = (.96) () s 5+ بنابراین = () (.96) 00 حداقل اندازه نمونه باید 0= باشد. 0( در یک پژوهش مدیریت تمایل دارد نسبت کارمندانی را برآورد کند که از میزان درآمد خود اظهار رضایت می کنند برای این کار پژوهشگر مایل است با 99 درصد اطمینان خطای برآورد /0 باشد. اگر این تصویر وجود داشته باشد که نسبت مذکور تقریبا /03 است چند کارمند باید انتخاب نمود.)صفحه -0 مثال )0/ حل : با توجه به اطالعات مسئله ویژگی مورد نظر کیفی است و = P = 0.34 e و = 0.0 α هستند. اندازه ی جامعه مشخص نشده بنابراین جامعه را نامحدود در نظر می گیریم. پس چه در حالت با جاگذاری و چه در حالت بدون جاگذاری اندازه ی نمونه با توجه به فرمول های محاسباتی شکل.5 به صورت زیر قابل محاسبه است. = zα pq e 0 = (.57) (0.34)(0.66) (0.03) =

2 در مسئله 0 اگر پژوهشگر تصمیم داشته باشد که نسبت مورد نظر را تنها برای یک شرکت صنعتی که دارای 3 کارمند است با حداکثر خطای /0 برآورد کند. آنگاه بایستی چند کارمند را به عنوان نمونه انتخاب کند.)صفحه -0 مثال )0/ حل : چون در این جا اندازه جامعه متناهی در نظر گرفته شده و صحبتی از با جای گذاری و یا بدون جای گذاری نشده روش انتخاب را بدون جای گذاری در نظر می گیریم. پس با توجه به فرمول های محاسباتی شکل.5 اندازه ی نمونه برابر است با : )3 = zα pq e 0 + N [z α pq e 0 ] = (.57) (0.34)(0.66) (0.3) + = [(.57) (0.34)(0.66) (0.3) ] 5( می خواهیم از استانی که دارای سه شهر کوچک با جمعیت های 30 و 00 و 00 است نمونه ای تصادفی به اندازه 3 بگیریم. اندازه نمونه ای که باید از هر سه شهر بطور جداگانه گرفته شود را محاسبه کنید. )صفحه 00- مثال 3/( حل : برای بدست آوردن اندازه نمونه های هر طبقه باید از نمونه گیری طبقه بندی به روش متناسب استفاده کنیم که انتخاب آن مطابق شکل.5 صورت می گیرد. h = W h = ( N ) = 400 (40000 N ) = 78 = ( N ) = 400 (0000 N ) = 89 3 = ( N 3 ) = 400 (30000 N ) = 33

3 به روش 5 باشد. از این جامعه یک نمونه تصادفی به اندازه 00 کنید اندازه یک جامعه آماری 6( فرض سیستماتیک انتخاب کنید. براساس یک نمونه تصادفی Var(X) = σ و واریانس E(X) = μ برای یک متغیر تصادفی با میانگین 7( X, X, X 3 از این متغیر سه برآوردگر برای به صورت زیر کاندیدا هستند بهترین برآورد را تعیین کنید. μ = 3 X + 3 X + 3 X 3 μ = X + 3 X + 6 X 3 μ 3 = X + 3 X + 4 X 3 8( وزن کمپوت های گالبی تولید شده در کارگاهی دارای توزیع نرمال معیار /5 گرم است. یک نمونه تصادفی 05 تایی از این کمپوت را انتخاب کرده و مشاهده شده که میانگین وزن آنها 5 گرم است. یک فاصله اطمینان 95 درصدی را برای میانگین جامعه کمپوت های موجود در این کارخانه تعیین کنید. 9( مسئله 8 را با این فرض حل کنید که انحراف معیار جامعه در دست نیست و عدد /5 برآورد آن است. ( مسئله 9 را با این فرض حل کنید که حجم نمونه می باشد. ( مدیر کارخانه تولید کننده یک نوع المپ روشنایی اعالم کرده است که المپ های این کارخانه به طور متوسط 0 ساعت با واریانس 3 ساعت دوام دارند. فاصله اطمینان 95 درصد را برای واریانس جامعه عمر المپ های این کارخانه تعیین کنید و بر این اساس بگویید که آیا ادعای مدیر کارخانه را در مورد واریانس طول عمرالمپ ها می توان پذیرفت 0(05 دختر و 6 پسر را به طور تصادفی از بین دانشجویان دانشکده ای انتخاب کرده و مورد آزمون هوش قرار داده ایم. انحراف معیار نمره های هوش دختران 0 و انحراف معیار هوش پسران بدست می آید. یک فاصله اطمینان 95 درصدی برای نسبت واریانس های دختران و پسران تعیین کنید. )0 در یک نمونه تصادفی 63 تایی از کارکنان یک شرکت دولتی 0 نفر زندگی در شهرستان را برای زندگی در تهران ترجیح می دهند. فاصله اطمینان 99 درصدی را برای نسبت افراد عالقه مند به زندگی در شهرستان در جامعه کارکنان این شرکت تعیین کنید. 3(3 دختر و 6 پسر را به طور تصادفی از بین دانشجویان دانشکده ای انتخاب کرده و مورد آزمون هوش قرار داده ایم. میانگین و انحراف معیار نمرات هوش در مورد دختران به ترتیب 5 و 5 و در مورد پسران به ترتیب 0 و 0 بدست آمده است. یک فاصله اطمینان 95 درصدی برای میانگین های نمرات هوش دختران و نمرات هوش پسران بسازید. 5( مسئله شماره 3 را با این فرض حل کنید که 0 دختر و پسر را که بطور تصادفی انتخاب شده بودند مورد آزمون قرار داده ایم و همان داده ها مشاهده شده اند ( فرض کنید واریانس های دو جامعه نامعلوم اما برابر هستند( 6 (می دانیم که 0 درصد مردان 3 الی 5 ساله دچار عارضه پیر چشمی هستند. از این جامعه یک نمونه تصادفی تایی انتخاب می کنیم. احتمال این که حداقل 05 درصد افراد این جامعه دچار پیر چشمی باشند را محاسبه کنید. یک فاصله اطمینان 9 درصد برای درصد واقعی مردان مبتال به پیر چشمی بنویسید. 3

4 میزان بهره وری کارمندان شیالت دارای توزیع نرمال با میانگین 0 و انحراف معیار 0 نمره است.مدیر اداره با بررسی کارمندان حدس زده که متوسط بهره وری کارکنان برای رسیدگی به پرونده های ارباب رجوع ها تغییر کرده و کمتر از حالت عادی است. برای بررسی درستی و یا نادرستی این حدس وی نمونه ای به اندازه بطور تصادفی انتخاب نموده که دارای میانگین بهره وری 5 بوده است. در سطح معنی داری 5 درصد این بررسی را انجام دهید.)صفحه 79 مثال /0( )7 حل : گام اول : تعیین نوع هدف و روش تحلیل داده های مسئله از آنجا که هیچ یک از عامل های قابل کنترل ورودی سامانه ی تصادفی ( سامانه تصادفی : داشتن انحراف معیار غیر صفر که نشان دهنده ی نوسان در متغیر خروجی تحت شرایط یکسان ورودی است و یا صرف داشتن توزیع احتمال که از نوسان ها در متغیر خروجی است.( مورد بررسی دست کاری نشده) یعنی همه ی آنها در سطح های مشخصی ثابت بوده( و تنها یک متغیر)میزان بهره وری( در خروجی آن اندازه گیری شده است مسئله از نوع مطالعه ی مشاهده ای یک متغیری است. هم چنین از آن جا که با نمونه ای تصادفی از جامعه ی مورد مطالعه سروکارداریم مسئله استنباطی بوده و چون قضاوت در مسئله مطرح است ( یعنی چون می خواهیم صحت و سقم یک ادعا را مشخص نماییم( استنباط از نوع آزمون فرض های آماری است در این جا می خواهیم میانگین جامعه ی مورد بررسی را از طریق یک متغیر فاصله ای به نام بهره وری بر حسب نمره با یک مقدار معلوم )0( مقایسه نماییم. بنابراین با توجه به نرمال بودن داده ها و معلوم بودن واریانس جامعه ی ( σ( مورد مطالعه روش مناسب تحلیل داده های مسئله روش آزمون Z یک نمونه ای است. H : μ < 300 H 0 = μ 300 گام دوم : تعیین فرض مقابل گام سوم : تعیین فرض صفر گام چهارم : تعیین آماره ی آزمون تحت صحیح بودن فرض صفر آماره آزمون مناسب عبارت است از : (0,)N~ گام پنجم : تعیین ناحیه بحرانی آزمون Z 0 = X μ 0 σ از آن جا که ماهیت آماره ی آزمون ارائه شده در فوق هیچ ناحیه ی بحرانی ویژه ای را برای آزمون تعیین نمی کند فرض مقابل ( ) H را مالک قرار می دهیم. در اینجا فرض مقابل یک طرفه بودن ناحیه ی بحرانی و در سمت چپ بودن آن را در توزیع نمونه گیری آزمون دیکته می کند. بنابراین داریم : H 0 رد می شود اگر = Z 0 < z α = z باشد. Z 0 = (50 300) 0 0 گام ششم : محاسبه آماره آزمون 3.7 = گام هفتم : تصمیم گیری از آنجا که.645 = 0.95 Z 0 = 3.7 < z است فرض صفر رد می شود. 4

5 )8 مدیر عامل کارخانه داروسازی ادعا دارد که متوسط سن کارمندان اداری بیش از سن کارایی مثبت است و باعث شده است که افراد متخصص کم سن و کارا کم باشند. برای این منظور نمونه ای تصادفی به اندازه 5 نفر از افراد اداری نمونه گیری شده که دارای سن با میانگین 5 و انحراف معیار سال بوده است. چنانچه استاندارد سن با کارایی مثبت داشتن حداکثر میانگین 3 سال و توزیع سن نرمال باشد. این ادعا را در سطح 5 درصد تحلیل کنید.)صفحه 8 مثال )0/0 حل : گام اول :تعیین نوع هدف و روش تحلیل داده های مسئله از آن جا که هیچ یک از عامل های قابل کنترل ورودی سامانه ی تصادفی مورد بررسی دست کاری نشده و تنها یک متغیر )سن( در خروجی آن اندازه گیری شده است مسئله از نوع مطالعه ی مشاهده ای یک متغیری است. هم چنین از آن جا که با نمونه ای تصادفی از جامعه ی مورد مطالعه سروکار داریم مسئله استنباطی بوده و چون قضاوت در مسئله مطرح است استنباط از نوع آزمون فرض های آماری است. در این جا می خواهیم میانگین جامعه ی مورد بررسی را از طریق یک متغیر نسبتی به نام سن با یک مقدار استاندارد مقایسه نماییم. بنابراین با توجه به نرمال بودن داده ها معلوم نبودن واریانس جامعه ( σ( مورد مطالعه و کوچک بودن اندازه ی نمونه ( 5 = ( روش مناسب تحلیل داده های مسئله آزمون Tی یک نمونه ای است. گام دوم : تعیین فرض مقابل > 40 μ H : گام سوم : تعیین فرض صفر 40 μ H 0 : گام چهارم : تعیین آماره آزمون گام پنجم : تعیین ناحیه بحرانی آزمون T 0 = X μ 0 S ~t = t 5 = t 4 از آن جا که ماهیت آماره ی آزمون ارائه شده در فوق هیچ ناحیه ی بحرانی ویژه ای را برای آزمون تعیین نمی کند فرض مقابل را مالک قرار می دهیم. در اینجا فرض مقابل یک طرفه بودن ناحیه ی بحرانی و در سمت راست بودن آن را در توزیع نمونه گیری آزمون دیکته می کند. بنابراین داریم : رد می شود اگر =.3,0.95 T 0 > t, α = t 4 باشد. H 0 T 0 = = = 0 گام ششم : محاسبه آماره آزمون = گام هفتم : تصمیم گیری از آنجا که =.3 4,0.95 T 0 =.3 > t است فرض صفر رد می شود. 5

6 حل : 9 (مدیریت اداری یک شرکت در گزارش سالیانه متوسط میزان بهره وری کارکنان را 6 اعالم کرده است. مدیر تولید مدعی است که این عدد نباید صحیح باشد و برای تعیین صحت و سقم این موضوع یک نمونه تصادفی به اندازه 0 نفر از کارکنان انتخاب می کند که دارای میانگین امتیاز 8 و انحراف معیار بوده است. داده ها را در سطح درصد تحلیل کنید گام اول :تعیین نوع )صفحه 80 مثال )0/0 هدف و روش تحلیل داده های مسئله از آن جا که هیچ یک از عامل های قابل کنترل ورودی سامانه ی تصادفی مورد بررسی دست کاری نشده و تنها یک متغیر )میزان بهره وری( در خروجی آن اندازه گیری شده است مسئله از نوع مطالعه ی مشاهده ای یک متغیری است. هم چنین از آن جا که با نمونه ای تصادفی از جامعه ی مورد مطالعه سروکار داریم مسئله استنباطی بوده و چون قضاوت در مسئله مطرح است استنباط از نوع آزمون فرض های آماری است. در این جا می خواهیم میانگین جامعه ی مورد مطالعه را از طریق یک متغیر فاصله ای به نام بهره وری با یک مقدار معمولی مقایسه نماییم. بنابراین با توجه به اینکه واریانس جامعه نامعلوم بوده و اندازه نمونه بزرگ می باشد ( 30 = ( روش مناسب تحلیل داده های مسئله آزمون Z یک نمونه ای است. گام دوم : تعیین فرض مقابل 60 μ H : گام سوم : تعیین فرض صفر = 60 μ H 0 : گام چهارم : تعیین آماره آزمون Z 0 = X μ 0 S ~(0,) تحت صحیح بودن فرض صفر آماره آزمون مناسب عبارت است از : گام پنجم : تعیین ناحیه بحرانی آزمون از آن جا که ماهیت آماره ی آزمون ارائه شده در فوق هیچ ناحیه ی بحرانی ویژه ای را برای آزمون تعیین نمی کند فرض مقابل را مالک قرار می دهیم. در اینجا فرض مقابل دو طرفه بودن ناحیه ی بحرانی و در نتیجه در هر دو سمت بودن آن را در توزیع نمونه گیری آزمون دیکته می کند. بنابراین داریم : Z 0 > z α = z 0.0 = z =.575 رد می شود اگر باشد. H 0 Z 0 = X μ 0 S = گام ششم : محاسبه آماره آزمون = 0.95 گام هفتم : تصمیم گیری از آنجا که = Z 0 = 0.95 > z است فرض صفر رد می شود. 6

7 0 (با توجه به داده های مسائل یک فاصله اطمینان 9 و 95 درصدی برای میانگین جامعه بسازید.)صفحه 86 مثال )3/0 حل : در مثال از آنجا که واریانس جامعه معلوم است بازه ی اطمینان 0 و.0 درصدی به صورت زیر برآورد می شوند : % 00( α) = % 90 α = 0.90 α = 0.0 μϵ (x ± z α σ ) μϵ (50 ± z ) μϵ (50 ± (.645) [ 0 ]) μϵ(39.6, 60.4) 0 % 00( α) = % 95 α = 0.95 α = 0.05 μϵ (x ± z α σ ) μϵ (50 ± z ) μϵ (50 ± (.96) [ 0 ]) μϵ(37.6, 6.4) 0 در مثال واریانس جامعه نامعلوم و اندازه ی نمونه کوچک است) 30 < 5 = (. پس بازه های اطمینان مورد نظر از رابطه ی % 00( α) = % 90 α = 0.90 α = 0.0 μϵ (x ± t, α s ) μϵ (50 ± t 0 4, ) μϵ (50 ± (.3) [ 0 ]) μϵ(40.47, 59.53) 5 زیر به دست می آیند : % 00( α) = % 95 α = 0.95 α = 0.05 μϵ (x ± t, α s ) μϵ (50 ± t 0 4, ) μϵ (50 ± (.776) [ 0 ]) μϵ(37.58, 6.4) 5 در مثال 9 واریانس جامعه نامعلوم و به قدر کافی بزرگ است )30=( بنابراین این بازه های اطمینان به صورت زیر محاسبه می % 00( α) = % 90 α = 0.90 α = 0.0 شوند : 7

8 μϵ (x ± z α s ) μϵ (80 ± z ) μϵ (80 ± (.645) [ 0 ]) μϵ(76.997, 83.58) 30 % 00( α) = % 95 α = 0.95 α = 0.05 μϵ (x ± z α s ) μϵ (80 ± z ) μϵ (80 ± (.96) [ 0 ]) μϵ(76.4,83.58) 30 0 (یکی از کارشناسان بازار بورس ادعاکرده است که مخاطره ( انحراف معیار ) بازار سهام بورس شرکت های خدماتی عرضه شده در بازار بورس مربوط بیش از تومان است. به منظور بررسی درستی این ادعا او 05 شرکت را به تصادف انتخاب می کند که دارای میانگین و انحراف معیار بازده سهام به ترتیب 0 و تومان با فرض نرمال بودن توزیع داده ها ی بازده ی سهام این ادعا را در سطح معنی داری 5 درصد بررسی کنید.) صفحه حل : گام اول :تعیین نوع هدف و روش تحلیل داده های مسئله 9 مثال )5/0 از آن جا که هیچ یک از عامل های قابل کنترل ورودی سامانه ی تصادفی مورد بررسی دست کاری نشده و تنها یک متغیر )بازده سهام( در خروجی آن اندازه گیری شده است مسئله از نوع مطالعه ی مشاهده ای یک متغیری است. هم چنین از آن جا که با نمونه ای تصادفی از جامعه ی مورد مطالعه سروکار داریم مسئله استنباطی بوده و چون قضاوت در مسئله مطرح است استنباط از نوع آزمون فرض های آماری است. در این جا می خواهیم واریانس یک جامعه ی نرمال را از طریق یک متغیر نسبتی به نام بازده سهام با یک مقدار معلوم مقایسه نماییم. بنابراین روش مناسب تحلیل داده های مسئله روش آزمون خی دو برای آزمون واریانس یک جامعه نرمال است. گام دوم : تعیین فرض مقابل = 00 > 0 H : σ گام سوم : تعیین فرض صفر = 00 0 H 0 : σ گام چهارم : تعیین آماره آزمون تحت صحیح بودن فرض صفر آماره آزمون مناسب χ 0 = ( ) σ ~χ = χ 4 0 = 4 درجه آزادی است. گام پنجم : تعیین ناحیه بحرانی آزمون بوده که دارای توزیع خی دو با از آن جا که ماهیت آماره ی آزمون ارائه شده در فوق هیچ ناحیه ی بحرانی ویژه ای را برای آزمون تعیین نمی کند فرض مقابل را مالک قرار می دهیم. در اینجا فرض مقابل یک طرفه بودن ناحیه ی بحرانی و در نتیجه در سمت راست بودن آن را در توزیع نمونه گیری آزمون دیکته می کند. بنابراین داریم : χ 0 > χ, α = χ 5, 0.05 = χ 4,0.95 رد می شود اگر = 36/45 H 0 باشد. χ 0 = (5 )() 00 گام ششم : محاسبه آماره آزمون =

9 گام هفتم : تصمیم گیری χ از آنجا که 36/45 = 0.95, χ = 0 برقرار است یعنی از آنجا که مقدار آماره ی آزمون = χ در ناحیه بحرانی )رد ) H 0 قرار نمی گیرد فرض ( 0 ) H رد نمی شود و در نتیجه ادعای کارشناس براساس این داده ها تایید نمی شود. )00 حل : در مسئله 0 چنانچه ادعا به این صورت بیان شود که مخاطره ( انحراف معیار ) بازار سهام بورس شرکت های خدماتی عرضه شده در بازار بورس مربوط دیگر تومان نیست این ادعا را در سطح معنی داری 5 درصد بررسی کنید.)صفحه 90- مثال 6/0( گام اول :تعیین نوع هدف و روش تحلیل داده های مسئله از آن جا که هیچ یک از عامل های قابل کنترل ورودی سامانه ی تصادفی مورد بررسی دست کاری نشده و تنها یک متغیر در خروجی آن اندازه گیری شده است مسئله از نوع مطالعه ی مشاهده ای تک متغیری است. هم چنین از آن جا که با نمونه ای تصادفی از جامعه ی مورد مطالعه سروکار داریم مسئله استنباطی بوده و چون قضاوت در مسئله مطرح است استنباط از نوع آزمون فرض های آماری است. در این جا می خواهیم واریانس یک جامعه ی نرمال را از طریق یک متغیر نسبتی به نام بازده سهام با یک مقدار معلوم مقایسه نماییم. بنابراین روش مناسب تحلیل داده های مسئله روش آزمون خی دو برای آزمون واریانس یک جامعه نرمال است. گام دوم : تعیین فرض مقابل از آنجا که ادعا مبتنی بر انحراف معیار بازده مخالف تومان بوده است از این رو داریم : 00 = 0 H : σ گام سوم : تعیین فرض صفر = 00 = 0 H 0 : σ گام چهارم : تعیین آماره آزمون χ 0 = ( )S σ ~χ = χ 4 0 تحت صحیح بودن فرض صفر آماره ی آزمون مناسب بوده که دارای توزیع خی دو با = 4 درجه آزادی است. گام پنجم : تعیین ناحیه بحرانی آزمون از آن جا که ماهیت آماره ی آزمون ارائه شده در فوق هیچ ناحیه ی بحرانی ویژه ای را برای آزمون تعیین نمی کند فرض مقابل را مالک قرار می دهیم. در اینجا فرض مقابل دو طرفه بودن ناحیه ی بحرانی و در نتیجه در هر دو سمت بودن آن را در توزیع نمونه گیری آزمون دیکته می کند. بنابراین داریم : χ 0 < χ α, χ 0 > χ α, = χ , = χ , = χ 4,0.05 =.40 = χ 4,0.975 =

10 χ 0 = (5 )() 00 گام ششم : محاسبه آماره آزمون = 9.04 ) پس فرض رد نمی شود و در نتیجه ادعای گام هفتم : تصمیم گیری از آنجا که مقدار به دست آمده برای آماره ی آزمون به هیچ یک از ناحیه های بحرانی تعلق ندارد χ 4,0.05 =.40 < χ 0 = 9.04 < χ 4,0.975 = ) کارشناس بر اساس این داده ها تایید نمی شود. σ با فرض نامعلوم بودن واریانس ( سهام بسازید. ) جامعه ی مسئله 00 فاصله اطمینان 9 و 95 درصدی برای مخاطره بازار )صفحه 93- مثال 7/0( حل : با جاگذاری داده های مربوط در فرمول بازه ی اطمینان واریانس یک جامعه ی نرمال یعنی σ ( )s μ (, χ α, ( )s ) χ α, )00 σ (5 )() μ (, χ 0. 5, (5 )() ) χ 0. 5, بازه های اطمینان 0 و.0 درصدی به ترتیب به صورت زیر براورد می شوند : الف- برای بازه ی اطمینان 9 درصدی داریم : σ μ ( (4)(), (4)() ) = ( 904 χ 4,0.95 χ 4, , ) σ ε(79.747, ) ب- برای بازده اطمینان 95 درصدی داریم : σ (5 )() μ (, χ , (5 )() ) χ , σ μ ( (4)(), (4)() ) = ( 904 χ 4,0.975 χ 4, , ) σ ε(73.773, 34.75)

11 03( برای بررسی تفاوت میزان مصرف بنزین در دو منطقه از تهران از منطقه A یک نمونه 7 تایی و از منطقه B یک نمونه 9 تایی بطور تصادفی انتخاب شده و نتایج انتخاب شده و نتایج در جدول زیر داده شده است : منطقه B منطقه A Y = 5 X = 5 S S = = الف- برای تعیین یک فاصله اطمینان %9 برای اختالف میانگین های مصرف بنزین در این دو منطقه چه فرض هایی الزم است آنها را بنویسید ب- برای نوشتن این فاصله اطمینان در مورد واریانس های بنزین مصرفی در دو منطقه چه تصمیمی دارید این تصمیم را در سطح معنی دار =.0 0 α و اطالعات داده شده بررسی کنید. ج- یک فاصله اطمینان % 95 برای اختالف میانگین های مصرف بنزین در این دو منطقه را محاسبه کنید. 05( منظور مقایسه دو روش مدیریتی )A ) B در یک سازمان اطالعات زیر نتیجه یک آزمایش تصادفی است که در این باره انجام گرفته شده است : 9 روش B Y i = 90 i= 9 Y i = 930 i= 8 روش A X i = 0 i= 8 X i = 88 i= آ- برای تعیین یک فاصله اطمینان برای اختالف میانگین های روش های مدیریتی در این سازمان چه فرض هایی الزم است آنها را بنویسید. ب- برای نوشتن این فاصله اطمینان در مورد واریانس های روش های مدیریت این تصمیم را بررسی کنید. در این سازمان چه تصمیمی دارید ج- یک فاصله اطمینان برای اختالف میانگین های روش های مدیریتی در این سازمان را محاسبه کنید.

12 )06 به منظور مقایسه دو برنامه آموزشی مدیران 0 مدیر در آموزش شرکت داده می شود. نفر بطور تصادفی در روش آموزش اول و بقیه در روش آموزشی دوم آموزش می بینند. بعد از اتمام دوره های آموزشی مدیران در معرض یک آزمون قرار می گیرند. نمره هایی که هر مدیر در این آزمون کسب می کنددر جدول زیر آورده شده است : با فرض این که توزیع نمره ها در هر دسته نرمال باشد.آیا از این داده ها می توان نتیجه گرفت که میانگین نمره ها بعد از آموزش اول به طور معنی داری از میانگین نمره های کسب شده بعد از آموزش با روش دوم کمتر است با فرض تساوی واریانس ها در دو جامعه این ادعا را در سطح 5 درصد بررسی کنید.)صفحه - مثال )8/0 5 روش اول روش دوم حل : گام اول :تعیین نوع هدف و روش تحلیل داده های مسئله از آن جا که هیچ یک از عامل های قابل کنترل ورودی سامانه ی تصادفی)وجود نوسان هادر داده های حاصل از هر یک از روش های آموزش( مورد بررسی به جز یک عامل مورد مطالعه )روش آزموش (دست کاری نشده)یعنی عامل ورودی روش آموزش در بیش از یک سطح مدنظر قرار گرفته است( و تنها یک متغیر در خروجی آن)نمره آزمون( اندازه گیری شده است مسئله از نوع مطالعه ی آزمایشی یک متغیری است. هم چنین از آن جا که با دو نمونه ی تصادفی از دو جامعه ی مستقل)روش آزمون اول و دوم( مورد مطالعه سروکار داریم مسئله استنباطی بوده و چون قضاوت در مسئله مطرح است استنباط از نوع آزمون فرض های آماری است. در این جا می خواهیم میانگین های دو جامعه ی مستقل مورد مطالعه را از طریق یک متغیر خروجی مشترک فاصله ای به نام نمره آزمون با یکدیگر مقایسه نماییم. بنابراین با توجه به نامعلوم بودن واریانس های برابر دو جامعه ی مستقل نرمال مورد مطالعه و کوچک بودن اندازه های نمونه های تصادفی روش مناسب تحلیل داده های مسئله نمونه های تصادفی روش آزمون T ی دو نمونه ای است. گام دوم : تعیین فرض مقابل < 0 H : μ < μ μ μ گام سوم : تعیین فرض صفر 0 H 0 : μ μ μ μ گام چهارم : تعیین آماره آزمون از آنجا که واریانس های نامعلوم دو جامعه ی مستقل مورد مطالعه برابر فرض شده اند داریم T 0 = (X X ) μ 0 S p + ~t + = t 0+0 = t 8 که در آن گام پنجم : تعیین ناحیه بحرانی آزمون S p = ( )S + ( )S + از آن جا که ماهیت آماره ی آزمون ارائه شده در فوق هیچ ناحیه ی بحرانی ویژه ای را برای آزمون تعیین نمی کند فرض مقابل را مالک قرار می دهیم. در اینجا فرض مقابل یک طرفه بودن ناحیه ی بحرانی و در نتیجه درسمت چپ بودن آن را در توزیع نمونه گیری آزمون دیکته می کند. بنابراین داریم : فرض H 0 رد می شود اگر.734 =,0.95 T 0 = t +, α = t 8 باشد.

13 گام ششم : محاسبه آماره آزمون با توجه به داده های مسئله داریم : x i = j= x j, s i = (x ij x i ) j= s = 3. x = 9. s = 30.9 x = 3.3 s p = ( )S + ( )S + (9. 3.3) 0 T 0 = (5.0) (0 )(3.) + (0 )(30.9) = گام هفتم : تصمیم گیری از آنجا که.734 =,0.95 T 0 =.8 < t 8 است. فرض H 0 رد می شود )07 در مسئله 06 )صفحه 0- مثال 9/0( حل : گام اول :تعیین اگر فرض شود که واریانس های نامعلوم دو جامعه برابر نیستند مسئله را چگونه تحلیل می کنید نوع هدف و روش تحلیل داده های مسئله از آن جا که هیچ یک از عامل های قابل کنترل ورودی سامانه ی تصادفی)وجود نوسان ها در داده های حاصل از هر یک از روش های آموزش( مورد بررسی به جز یک عامل مورد مطالعه )روش آموزش (دست کاری نشده)یعنی عامل ورودی روش آموزش در بیش از یک سطح مدنظر قرار گرفته است( و تنها یک متغیر در خروجی آن)نمره آزمون( اندازه گیری شده است مسئله از نوع مطالعه ی آزمایشی یک عاملی یک متغیری است. هم چنین از آن جا که با دو نمونه ی تصادفی از دو جامعه ی مستقل)روش آزمون اول و دوم( مورد مطالعه سروکار داریم مسئله استنباطی بوده و چون قضاوت در مسئله مطرح است استنباط از نوع آزمون فرض های آماری است. در این جا می خواهیم میانگین های دو جامعه ی مستقل مورد مطالعه را از طریق یک متغیر خروجی مشترک فاصله ای به نام نمره آزمون با یکدیگر مقایسه نماییم. بنابراین با توجه به نامعلوم بودن واریانس های برابر دو جامعه ی مستقل نرمال مورد مطالعه و کوچک بودن اندازه های نمونه های تصادفی روش مناسب تحلیل داده های مسئله نمونه های تصادفی روش آزمون T ی دو نمونه ای است. گام دوم : تعیین فرض مقابل < 0 H : μ < μ μ μ گام سوم : تعیین فرض صفر 0 H 0 : μ μ μ μ گام چهارم : تعیین آماره آزمون از آنجا که واریانس های نامعلوم دو جامعه ی مستقل مورد مطالعه برابر نیستند داریم : که در آن T 0 = (X X ) μ 0 ~t v = t 8 S + S 3

14 گام پنجم : تعیین ناحیه بحرانی آزمون ( S + S v = ) + ( )S ( 3. (S ) + (S = ) ) (3. 0) (30.9 0) از آن جا که ماهیت آماره ی آزمون ارائه شده در فوق هیچ ناحیه ی بحرانی ویژه ای را برای آزمون تعیین نمی کند فرض مقابل را مالک قرار می دهیم. در اینجا فرض مقابل یک طرفه بودن ناحیه ی بحرانی و در نتیجه درسمت چپ بودن آن را در توزیع نمونه گیری آزمون دیکته می کند. بنابراین داریم : H 0 فرض رد می شود اگر.734 =,0.95 T 0 < t v, α =.8 = t 8 باشد. گام ششم : محاسبه آماره آزمون گام هفتم : تصمیم گیری از آنجا که.734 =,0.95 T 0 =.8 < t 8 است. فرض T 0 = (X X ) μ 0 (9. 3.3) 0 = S + S رد می شود H 0 )08 در مسئله 06 اگر اندازه های نمونه ها 5 باشند و میانگین ها و انحراف معیار های نمونه ها به ترتیب برابر = 0 X Y = 30 و = 0 S و = 6 S باشند مسئله را چگونه تحلیل می کنید )صفحه -0 مثال )/0 حل : گام اول :تعیین نوع هدف و روش تحلیل داده های مسئله از آن جا که هیچ یک از عامل های قابل کنترل ورودی سامانه ی تصادفی)وجود نوسان هادر داده های حاصل از هر یک از روش های آموزش( مورد بررسی به جز یک عامل مورد مطالعه )روش آزموش (دست کاری نشده)یعنی عامل ورودی روش آموزش در بیش از یک سطح مدنظر قرار گرفته است( و تنها یک متغیر در خروجی آن)نمره آزمون( اندازه گیری شده است مسئله از نوع مطالعه ی آزمایشی یک متغیری است. هم چنین از آن جا که با دو نمونه ی تصادفی از دو جامعه ی مستقل)روش آزمون اول و دوم( مورد مطالعه سروکار داریم مسئله استنباطی بوده و چون قضاوت در مسئله مطرح است استنباط از نوع آزمون فرض های آماری است. در این جا می خواهیم میانگین های دو جامعه ی مستقل مورد مطالعه را از طریق یک متغیر خروجی مشترک فاصله ای به نام نمره آزمون با یکدیگر مقایسه نماییم. بنابراین با توجه به نامعلوم بودن واریانس های نابرابر دو جامعه ی مستقل مورد مطالعه و بزرگ بودن اندازه های نمونه های تصادفی روش مناسب تحلیل داده های مسئله نمونه های تصادفی روش آزمون Z دو نمونه ای است. گام دوم : تعیین فرض مقابل < 0 H : μ < μ μ μ گام سوم : تعیین فرض صفر 0 H 0 : μ μ μ μ 4

15 گام چهارم : تعیین آماره آزمون تحت صحیح بودن فرض صفر آماره ی آزمون مناسب عبارت است از : گام پنجم : تعیین ناحیه بحرانی آزمون Z 0 = (X X ) μ 0 ~N(0,) S + S از آن جا که ماهیت آماره ی آزمون ارائه شده در فوق هیچ ناحیه ی بحرانی ویژه ای را برای آزمون تعیین نمی کند فرض مقابل را مالک قرار می دهیم. در اینجا فرض مقابل یک طرفه بودن ناحیه ی بحرانی و در نتیجه درسمت چپ بودن آن را در توزیع نمونه گیری آزمون دیکته می کند. بنابراین داریم : فرض H 0 رد می شود اگر.645 = 0.95 Z 0 < z α = z باشد. گام ششم : محاسبه آماره آزمون گام هفتم : تصمیم گیری از آنجا که.645 = 0.95 Z 0 = 9.05 < z است. فرض Z 0 = (X X ) μ 0 (0 30) 0 = S + S رد می شود H 0 )09 حل : در مسئله 06 می کنید )صفحه 3 مثال /0( گام اول :تعیین نوع اگر واریانس های دوجامعه مورد مطالعه به ترتیب برابر 05 و 06 باشند مسئله را چگونه تحلیل هدف و روش تحلیل داده های مسئله از آن جا که هیچ یک از عامل های قابل کنترل ورودی سامانه ی تصادفی)وجود نوسان هادر داده های حاصل از هر یک از روش های آموزش( مورد بررسی به جز یک عامل مورد مطالعه )روش آزموش (دست کاری نشده)یعنی عامل ورودی روش آموزش در بیش از یک سطح مدنظر قرار گرفته است( و تنها یک متغیر در خروجی آن)نمره آزمون( اندازه گیری شده است مسئله از نوع مطالعه ی آزمایشی یک عاملی یک متغیری است. هم چنین از آن جا که با دو نمونه ی تصادفی از دو جامعه ی مستقل)روش آزمون اول و دوم( مورد مطالعه سروکار داریم مسئله استنباطی بوده و چون قضاوت در مسئله مطرح است استنباط از نوع آزمون فرض های آماری است. در این جا می خواهیم میانگین های دو جامعه ی مستقل مورد مطالعه نرمال را از طریق یک متغیر خروجی مشترک فاصله ای به نام نمره آزمون با یکدیگر مقایسه نماییم. بنابراین با توجه به معلوم بودن واریانس های دو جامعه ی مستقل نرمال مورد مطالعه های روش مناسب تحلیل داده های مسئله نمونه ه یا گام دوم : تعیین فرض مقابل < 0 H : μ < μ μ μ گام سوم : تعیین فرض صفر 0 H 0 : μ μ μ μ تصادفی روش آزمون Z دو نمونه ای است. 5

16 گام چهارم : تعیین آماره آزمون Z 0 = (X X ) μ 0 ~N(0,) σ + σ گام پنجم : تعیین ناحیه بحرانی آزمون از آن جا که ماهیت آماره ی آزمون ارائه شده در فوق هیچ ناحیه ی بحرانی ویژه ای را برای آزمون تعیین نمی کند فرض مقابل را مالک قرار می دهیم. در اینجا فرض مقابل یک طرفه بودن ناحیه ی بحرانی و در نتیجه درسمت چپ بودن آن را در توزیع نمونه گیری آزمون دیکته می کند. بنابراین داریم : H 0 فرض رد می شود اگر.654 = 0.95 Zباشد. 0 < z α = z گام ششم : محاسبه آماره آزمون گام هفتم : تصمیم گیری Z 0 = (X X ) μ 0 (9. 3.3) 0 = σ + σ = =.7 از آنجا که.654 = 0.95 Z 0 =.7 < z است. فرض H رد می شود )0 با توجه به داده های موجود در مسئله 06 یک فاصله اطمینان 95 درصد برای تفاضل میانگین های دو جامعه مستقل مورد مطالعه بنویسید. )صفحه مثال )0/0 حل : با توجه به مثال.0 یک بازه اطمینان.0 درصدی برای تفاضل میانگین های دو جامعه ی مستقل در حالتی که نمونه کوچک هستند و واریانس های جامعه نامعلوم اما برابر می باشند به دست آوریم در این حالت داریم: μ μ ((x x ) ± t +, α s p + ) s = 3. x = 9. s = 30.9 x = 3.3 6

17 S p = ( )S + ( )S + (0 )(3.) + (0 )(30.9) = μ μ ((9. 3.3) (.734)(5.0) 0 + 0, (9. 3.3) + (.734)(5/0) ) = ( 8.4, 0.8) 0( با توجه به داده های موجود در مسئله 07 و با این فرض که واریانس های نامعلوم دو جامعه برابر نیستند یک فاصله اطمینان 95 درصد برای تفاضل میانگین های دو جامعه مستقل مورد مطالعه بنویسید. )صفحه 0 مثال )0/0 حل : در این حالت واریانس های دو جامعه نابرابر هستند در نتیجه داریم : μ μ ((x x ) ± t α v, S + S ) که در آن T = (x x ) (μ μ ) S + S ( S + S ~t v V = ) (S ) + (S ) = 3.8~3 با توجه به داده های موجود در مسئله 08 یک فاصله اطمینان 95 درصد برای تفاضل میانگین های دو جامعه مستقل مورد مطالعه بنویسید. )صفحه 0 مثال 3/0( حل : با توجه به بزرگ بودن اندازه های نمونه ها و داده های مثال 0 )میانگین ها انحراف معیارهای نمونه ها به ترتیب برابر )00 ( 0 = x و = 30 x و = 5 s و = 6 )s داریم : μ μ ((x x ) ± z α S + S ) = [(0 30) , (0 30) ] = ( 4.07, 5.93) 7

18 )00 با توجه به داده های موجود در مسئله 09 یک فاصله اطمینان 95 درصد برای تفاضل میانگین های دو جامعه مستقل مورد مطالعه بنویسید. )صفحه 0 مثال )5/0 μ μ ((x x ) ± z α σ + σ ) = [(9. 3.3) , (9. 3.3) ] = ( 8.7, 0.5) H σ σ H 0 σ = σ با توجه به داده های موجود در مسئله 06 فرضیه را در مقابل را )03 در سطح 5 درصد تحلیل کنید. )صفحه 3 مثال )6/0 حل : گام اول :تعیین نوع هدف و روش تحلیل داده های مسئله از آن جا که هیچ یک از عامل های قابل کنترل ورودی سامانه ی تصادفی مورد بررسی به جز یک عامل مورد مطالعه )روش آموزش( دست کاری نشده و تنها یک متغیر در خروجی آن )نمره آزمون( اندازه گیری شده است مسئله از نوع مطالعه ی آزمایشی یک عاملی یک متغیری است. هم چنین از آن جا که با دو نمونه تصادفی از دو جامعه ی مستقل مورد مطالعه سروکار داریم مسئله استنباطی بوده و چون قضاوت در مسئله مطرح است استنباط از نوع آزمون فرض های آماری است. در این جا می خواهیم واریانس دو جامعه ی مستقل را از طریق یک متغیرفاصله ای نرمال با یکدیگر مقایسه نماییم. بنابراین روش مناسب تحلیل داده های مسئله آزمون فیشر برای برابری واریانس های دوجامعه است. H : σ گام دوم : تعیین فرض مقابل σ H 0 : σ گام سوم : تعیین فرض صفر = σ گام چهارم : تعیین آماره آزمون F 0 = S S تحت صحیح بودن فرض صفر آماره ی آزمون مناسب F~, = F 9,9 بوده که دارای توزیع F گام پنجم : تعیین ناحیه با = 9 و = 9 بحرانی آزمون درجه آزادی است. از آن جا که ماهیت آماره ی آزمون ارائه شده در فوق هیچ ناحیه ی بحرانی ویژه ای را برای آزمون تعیین نمی کند فرض مقابل را مالک قرار می دهیم. در اینجا فرض مقابل دو طرفه بودن ناحیه ی بحرانی و در نتیجه در هر دو سمت بودن آن را در توزیع نمونه گیری آزمون دیکته می کند. بنابراین داریم : فرض صفر رد می شود اگر = 3.8 9,9,0.95 = F F 0 > F,, α 8

19 یا F 0 > F,, α = F 9,9,0.95 = = F 9,9, باشد. گام ششم : محاسبه آماره آزمون F 0 = S S = = 0.75 گام هفتم : تصمیم گیری / آنجا از که = ,9,0.05 F 0 = 0.75 F و = 3.8 9,9,0.95 F 0 = 0.75 F داری معنی درسطح است σ فرض تساوی واریانس ها رد نمی شود یعنی داریم: = σ است. )05 حل : مدیر اداری سازمانی ادعا کرده است که متوسط نتایج آموزش کارمندان اداری در دوره آموزش ضمن خدمت بهتر از کارمندان مالی است. برای تعیین درستی این ادعا نمونه های تصادفی به اندازه های 8 و 3 به ترتیب از کارکنان اداری و مالی انتخاب و سپس در پایان دوره آموزش نتایج را از طریق یک مقیاس -0 به صورت عددی ارزیابی کرده است که در آن متوسط نمره های اداری و مالی به ترتیب 5 و 7 با انحراف معیار های به ترتیب 0 و 0 بوده است. با فرض نرمال بودن هر دو نمره داده ها را در سطح 5 درصدی تحلیل کنید. گام اول :تعیین نوع هدف و روش تحلیل داده های مسئله )صفحه 5 مثال )7/0 از آن جا که هیچ یک از عامل های قابل کنترل ورودی سامانه ی تصادفی مورد بررسی به جز یک عامل مورد مطالعه )کارمندان( دست کاری نشده و تنها یک متغیر)نمره آزمون( در خروجی آن اندازه گیری شده است مسئله از نوع مطالعه ی آزمایشی یک عاملی یک متغیری است. هم چنین از آن جا که با نمونه هایی تصادفی از دو جامعه ی مستقل مورد مطالعه) کارمندان مالی و اداری( سروکار داریم مسئله استنباطی بوده و چون قضاوت در مسئله مطرح است استنباط از نوع آزمون فرض های آماری است. در این جا می خواهیم میانگین های جامعه های مستقل را از طریق یک متغیر مشترک فاصله ای نرمال به نام نمره با یکدیگر مقایسه کنیم. از آن جا که واریانس های جامعه ها نامعلوم و اندازه ی نمونه ها کوچک است روش مناسب تحلیل داده های مسئله می تواند یکی از آزمون های T دو نمونه ای باشد. H : μ > μ μ μ > 0 H : μ μ μ μ 0 گام دوم : تعیین فرض مقابل گام سوم : تعیین فرض صفر گام چهارم : تعیین آماره آزمون از آنجا که واریانس های جامعه مهلوم نبوده و نمونه های کوچک هستند نخست باید برابری یا برابری یا عدم برابری واریانس های نامعلوم دو جامعه را از طریق آزمون فیشر مشخص نمود. بنابراین داریم : 9

20 H 0 : σ = σ H : σ σ F 0 = S S ~F, = F 7,3 H 0 رد می شود اگر F 0 > F,, α = F 7,3,0.975 = 4.6 { F 0 < F,, α = F 7,3,0.05 = = F 7,3, = 0.7 باشد. از آن جا که رابطه های F و = 9 = 0 F برقراراست 4 0 = 9 =.5 F 4 7,3,0.975 = 4.6 صفر رد نمی شود یعنی σ = σ است. بنابراین آماره ی آزمون مناسب برای مقایسه ی میانگین های عبارت است از : فرض پس T 0 = (X X ) μ 0 S p + ~t + = t 8+4 = t 0 S p = ( )S + ( )S + گام پنجم : تعیین ناحیه بحرانی از آن جا که ماهیت آماره ی آزمون ارائه شده در فوق هیچ ناحیه ی بحرانی ویژه ای را برای آزمون تعیین نمی کند فرض مقابل را مالک قرار می دهیم. در اینجا فرض مقابل یک طرفه بودن ناحیه ی بحرانی و در نتیجه در سمت راست نمونه گیری آزمون دیکته می کند. بنابراین داریم : رد می شود اگر.8 = 0,0.95 T 0 > t +, α = t باشد. بودن آن را در توزیع T 0 = (X X ) μ 0 (5 7) 0 8 S p + = S p 8 + = (.73) = H 0 گام ششم : محاسبه آماره آزمون s p = (7)9 + (3) = 7.5 S p = 7.5 =.73

21 گام هفتم : تصمیم گیری H 0 از آنجا که.8 =,0.95 T 0 = 4.8 > t + است. رد می شود. با توجه به داده های موجود در مسئله 06 یک فاصله اطمینان 95 درصد برای نسبت واریانس های دو جامعه مستقل مورد مطالعه برآورد کنید. )صفحه 8 مثال 8/0( )06 σ F,, α σ ε (S S., S S. F,, α ) σ σ σ σ ε ( , 3. F 9,9, F 9,9,0.975) ε ( , ) σ ε(0.875, 3.05) σ