Iznad svih oëekivanja
|
|
- θάνατος Χατζηιωάννου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Iznad svih oëekivanja 1
2 Nakladnik ZNACI VREMENA znaci-vremena.com Izvornik Beyond Imagination ISBN Urednik Mario ijan Prijevod Boæidar LaziÊ Lektura Marijan MalaπiÊ Korektura Brankica VukmaniÊ Tisak ZNACI VREMENA Zagreb
3 Iznad svih oëekivanja John T. Baldwin L. James Gibson Jerry D. Thomas 3
4 CIP zapis dostupan u raëunalnom katalogu Nacionalne i sveuëiliπne knjiænice u Zagrebu pod brojem ISBN
5 1 Neshvatljivo Iziappleite van u vedru noê i pogledajte nebeski svod! Koliko daleko moæete vidjeti? Koliko zvijezda moæete obuhvatiti pogledom? Jeste li veê nekada vidjeli MlijeËnu stazu? U jako mraënim noêima, ako ste dovoljno udaljeni od gradske rasvjete, moæete vidjeti veliko πarenilo svijetlih toëkica kako sjaje preko Ëitave πirine nebeskog svoda. To je pogled prema srediπtu naπe galaktike, MlijeËne staze, gdje zvijezde izgledaju tako blizu da oblikuju mlijeëno-bijelu putanju. BuduÊi da se naπ SunËev sustav okreêe oko jedne blijede zvijezde u jednom od spiralnih krakova naπe galaktike, mi smo daleko od srediπta galaktiëkih zbivanja. Nalazimo se na rubu naπe galaktike kao siêuπna toëka u prostranom moru od oko dvjesto 5
6 milijardi zvijezda. Dvjesto milijardi zvijezda, od kojih Ëak i u najmraënijoj noêi s najvedrijim nebom, naπe oëi mogu zapaziti samo oko tri tisuêe. Postoji manje od devet tisuêa zvijezda vidljivih golim okom sa Zemlje i to su one koje su nam blizu u naπoj MlijeËnoj stazi. Nekada su ljudi mislili da je Zemlja srediπte svemira i da se Sunce i sve zvijezde okreêu oko nje. Ali Ëim je izumljen teleskop, otkrili su da nisu bili u pravu. Kad god su izumili jaëi teleskop, saznali su da je svemir veêi nego πto su smatrali. Otkrili su da je toliko velik da ne samo πto je naπ planet u njemu mali, ili da je malo naπe slabaπno Sunce, veê da je Ëitava naπa galaktika MlijeËna staza u njemu samo jedna toëkica, slabi bljesak, svjetalce jedva vrijedno da bude primijeêeno. Koliki je svemir? Koliki je svemir? VeÊi nego πto pretpostavljamo. Mnogo veêi nego πto moæemo i zamisliti! Pogledajmo moæemo li primorati svoj um da se pozabavi nekim brojkama u toj golemoj stvarnosti. 6
7 Kolike ste udaljenosti proputovali u posljednjih godinu dana? Trideset tisuêa kilometara? Osamdeset tisuêa? Mnogi ljudi koji zbog svojeg posla redovno putuju avionom obiëno prevaljuju viπe od dvjesto tisuêa kilometara svake godine. Mi lako uoëavamo Mjesec kad gledamo u nebo on je od nas udaljen samo neπto viπe od Ëetiri stotine tisuêa kilometara. Takoappleer vidimo Sunce, iako ne bismo smjeli gledati ravno u njega. Izgleda kao da je otprilike iste veliëine kao i Mjesec, ali u stvarnosti je mnogo udaljenije stotinu Ëetrdeset Ëetiri i pol milijuna kilometara. To je tako daleko da je sunëevom svjetlu potrebno viπe od osam minuta da stigne na Zemlju! Koliko je veliko Sunce? Oko milijun planeta veliëine Zemlje moglo bi stati u prostor koji ono zauzima. Kad bi Zemlja bila veliëine kovanice, Sunce bi bilo veliko kao lopta za plaæu od skoro tri metra koja bi dopirala do visine koπarkaπkog obruëa. Ti su razmjeri preveliki da bi se mogli zamisliti! Sunce je onda sigurno najvaænija zvijezda u svemiru, zar ne? Ne, nipoπto. Jeste li ikada uoëili zvijeæapplee Oriona ili Lovca? Betelgeuse, jedna sjaj- 7
8 na zvijezda u predjelu gornjeg lijevog Orionovog kraka, toliko je velika da, kad bi umjesto naπeg Sunca ona bila zvijezda naπeg SunËevog sustava, ne bi mogla stati u veliki krug koji Zemlja opisuje svojim godiπnjim okretanjem na stotinu pedeset milijuna kilometara udaljenosti od Sunca. Ona ne bi mogla stati Ëak ni u orbitu Jupitera koji kruæi oko Sunca na udaljenosti od skoro sedamsto osamdeset milijuna kilometara! Meappleutim, tu nije kraj. NajveÊa nama poznata zvijezda zove se Veliki pas (Canis Majoris). To je tako velika zvijezda da bi njezina πirina, ako bi Zemlja bila veliëine novëiêa, a naπe Sunce veliëine lopte za plaæu od skoro tri metra, bila oko Ëetiri kilometra! Ako bi Zemlja bila veliëine novëiêa a Sunce veliëine skoro trometarske lopte, koliko bi onda u tom razmjeru Sunce bilo udaljeno od Zemlje?»itavu duæinu nogometnog igraliπta. Kad bi cijeli naπ SunËev sustav Sunce i svi planeti bio veliëine novëiêa, Sunce bi bilo vidljivo samo pod mikroskopom, a sljedeêa najbliæa zvijezda bila bi od njega udaljena oko tri stotine 8
9 metara. Ako bismo mogli putovati brzinom svjetlosti to je brzina od tristo tisuêa kilometara u sekundi ipak bi nam bilo potrebno Ëitavih sto tisuêa godina da prijeappleemo razdaljinu koju zaprema naπa galaktika! Ako bi cijela naπa galaktika bila veli- Ëine novëiêa sjetite se: to je dvije stotine milijardi zvijezda naπ SunËev sustav bio bi premali da bi se uopêe primijetio pod obiënim mikroskopom. Druge galaktike oko nas bile bi od nas udaljene od trideset centimetara do tristo metara. Toliko galaktika! Toliko mnogo zvijezda! Koliko drugih galaktika postoji u svemiru? U pokuπaju da prodru πto dublje u svemir, astronomi su usmjerili teleskop Hubble prema naizgled praznom dijelu noênog neba. Kaæemo praznom zato πto tamo nije bilo vidljivih zvijezda, galaktika ili bilo Ëega sliënog. Usmjerili su ga prema niëemu tijekom jedanaest dana, a zatim pozorno pregledali fotografije. Na ovom siêuπnom podruëju neba od samo oko 9
10 tri posto veliëine punog Mjeseca pronaappleeno je viπe od deset tisuêa galaktika, ne zvijezda, veê Ëitavih galaktika od kojih je svaka imala na milijarde zvijezda. Kada su tamo usmjerili teleskop Hubble sljedeêa dvadeset tri dana, otkrili su da vide joπ galaktika skoro dvostruko viπe. Na osnovi takvih dubinskih studija i istraæivanja, astronomi procjenjuju da postoji najmanje 175 milijardi galaktika koje je sadaπnjim tehniëkim sredstvima moguêe zapaziti sa Zemlje. Koliko bi to zvijezda onda iznosilo? Ako bismo kao prosjek uzeli naπu galaktiku s dvjesto milijardi zvijezda, to bi znaëilo da postoji 350 milijardi milijuna milijuna (to je brojka 35 iza koje stoje 22 nule: ) zvijezda. To vrijedi samo dok ne razvijemo tehnologiju kojom Êemo moêi vidjeti i prodrijeti joπ dublje i πire u svemir. 1 Razmislite o tome na ovaj naëin: sljedeêi put kad se naappleete na morskoj obali, uzmite u ruku πaku pijeska. Ako su naπe /10how-many-galaxies-are-there-in-the-universe-theredder-we-look-the-more-we-see/. 10
11 procjene ispravne, u svemiru ima viπe zvijezda nego πto ima zrnaca pijeska na svim plaæama na svijetu. Ono πto vidimo kad pogledamo prema zvjezdanom nebu to je samo πaëica pijeska. VeÊ znamo da Zemlja nije srediπte svemira. Meappleutim, dugi niz godina pitamo se je li naπ planet Zemlja jedinstven je li to jedini takav planet u cijelom svemiru. Nedavno smo saznali da veêina zvjezdanih sustava ima planete u svojem sastavu. Procjenjuje se da samo u naπoj galaktici ima viπe od milijardu planeta. 2 Koliko tih planeta nastanjuju neke æivotinjske ili biljne vrste? Joπ uvijek ne znamo odgovor na to pitanje. I moæe li biti inteligentnog æivota na nekom drugom planetu? To je veliko pitanje koje postavljaju svi astronomi.»uda svemira nadilaze moguênosti naπe maπte! A nismo ni spomenuli maglice, kvazare, crne rupe niti druge brojne zadivljujuêe objekte u naπem svemiru. Je li sve to doista nastalo sluëajno?
12 Put otkriêa To je pitanje mnogo veêe od jednostavnog pogleda u svemir kako objasniti nevjerojatno Ëudo æivota oko nas ovdje na Zemlji?»udo naπeg ljudskog tijela? U naπem mozgu postoji veêi broj neuronskih stanica od broja zvijezda u naπoj galaktici! U ovoj knjiæici istraæivat Êemo ne samo Ëuda æivota oko nas, veê i Ëudo naπeg vlastitog postojanja. Neki ljudi vjeruju da znanost nudi sve odgovore za kojima tragamo. Meappleutim, mnogi smatraju da znanstvena istraæivanja ostavljaju prazninu u ljudskim srcima. Od najranijih dana ljudske povijesti ljudi su se borili s velikim æivotnim pitanjima: Zaπto smo ovdje? Kamo idemo? to se dogaapplea s nama kad umremo? Zaπto ima toliko mnogo zla i patnje u svijetu? Znanost ne postavlja ova pitanja. Ne nudi odgovore na neke od najdubljih Ëeænji ljudskog srca. Ali to ne znaëi da je te odgovore nemoguêe pronaêi. Krenimo zajedno na put otkriêa, u istraæivanje Ëuda oko nas, saznajmo πto po- 12
13 vezuje sve ove nevjerojatne pojedinosti. Poappleimo i otkrijmo ne samo æivot koji nikada dosad nismo mogli ni zamisliti, veê i izuzetnu ljubav koja nadilazi ljudsku maπtu. 13
14 2 Dan u koji se svemir zauvijek promijenio Godine Galileu Galileju, koji je æivio u sveuëiliπnom gradu Padovi u Italiji, stigla je vijest da su izumitelji u Nizozemskoj stvorili napravu koja je Ëinila da predmeti Ëovjeku izgledaju bliæi nego u stvarnosti. Galileo je u poëetku bio sumnjiëav da je neπto takvo uopêe moguêe, ali je ubrzo saznao na koji naëin taj ureappleaj djeluje i napravio je bolju inaëicu te naprave. Galileov je teleskop Ëinio da stvari izgledaju devet puta bliæe i mogao se koristiti u vojne i mnoge druge svrhe. Galileo je nastavio poboljπavati svoj izum i ubrzo je imao teleskop sa snagom uveêanja od 14
15 dvadeset puta. Oko prvog prosinca iste godine Galileo je veê svoj usavrπeni teleskop usmjerio prema Mjesecu. Ono πto je vidio zauvijek je promijenilo razumijevanje svemira koji nas okruæuje. U to vrijeme veêina ljudi smatrala je da je Mjesec savrπeno okrugao i da ima glatku povrπinu. Drevni grëki filozof Aristotel uëio je da su nebesa savrπena, a da je Zemlja nesavrπena. Na svoje iznenaappleenje, Galileo je vidio da je povrπina Mjeseca neravna, s brdima i dolinama. Nesavrπena MjeseËeva povrπina navela je Galilea da preispita sve πto je dotad mislio da zna o svemiru. Nebesa, zakljuëio je on, moraju biti nesavrπena isto kao i Zemlja. Dok je prouëavao Mjesec, Galileo je bio iznenaappleen i svojim otkriêem neëeg drugog. Primijetio je da je nebo oko Mjeseca ispunjeno zvijezdama koje prije nitko nikada nije vidio. MlijeËna staza bila je dobro poznata, ali se smatralo da je to oblak plinova i Ëestica praπine. Naravno, Mlije- Ëna se staza u stvarnosti sastoji od velikog broja zvijezda koje su slabo vidljive a grupirane su zajedno, tako da se dotad golim okom nisu mogle jasno razaznati. Po prvi 15
16 put Galileo je mogao vidjeti da tamo postoji mnogo viπe od samo zvijezde, koliko su ih izbrojili stari Grci. Ovo je otkriêe pomoglo znanstvenicima da shvate da je svemir izvanredno velik. Nekoliko tjedana poslije, Galileo se ponovno iznenadio. Dok je kroz svoj teleskop gledao planet Jupiter, otkrio je zvjezdice koje kao da su uvijek stajale blizu Jupitera. IznenaappleujuÊe, ove su se zvjezdice prvi put pojavile na jednoj strani Jupitera, onda nestale, a zatim se pojavile na drugoj strani. Poslije su opet nestale i ponovno se pojavile na prvoj strani. Galileo je shvatio da one kruæe oko Jupitera kao πto naπ Mjesec kruæi oko Zemlje. U poëetku je vidio tri, a zatim i Ëetvrtu. Danas moæemo vidjeti ukupno jedanaest satelita koji kruæe oko Jupitera kao Mjesec oko Zemlje. To otkriêe da sateliti kruæe oko nekih drugih nebeskih tijela osim Zemlje potkrijepilo je zamisao koju je zastupao astronom Nikola Kopernik: da Zemlja nije srediπte svemira. Dogaappleala se znanstvena revolucija Ëiji tijek utjeëe i na nas danas. 16
17 Nova slika svemira Naπa slika svemira dramatiëno se promijenila od te presudne noêi Sada shvaêamo da ne samo πto je daleko od istine da je Zemlja srediπte svemira, veê smo mi na njoj mali dio nevelikog SunËevog sustava koji se nalazi u sporednom kraku jedne od mnogih galaktika. Vidimo da isti prirodni zakoni koji djeluju na Zemlji, djeluju i u svemiru, a i πire. Otkrili smo da je svemir nezamislivo velik, s mnogo razli- Ëitih vrsta zvijezda i mnogim drugim nebeskim tijelima o kojima znamo vrlo malo i da smo jedva na poëetku njihovog razumijevanja. Moæemo zapaziti da svemir sadræi goleme koliëine materije i energije. Usprkos nesavrπenim kraterima na Mjesecu, a i na drugim planetima, svemir je organiziran u vrlo specifiëne strukture sunëeve sustave, galaktike i jata galaktika. A otkrili smo i odreappleene dokaze da svemir nije vjeëan, da je imao svoj poëetak. Danas smo se veê navikli na misao da nova otkriêa mogu itekako promijeniti naπe zamisli nove tehnologije, novi lijekovi, novi naëini razmiπljanja. Ali u vrijeme Ga- 17
18 lilea to se nije tako lako prihvaêalo. Kada je Galileo okrenuo svoj teleskop prema Mjesecu te prosinaëke noêi 1609., nije mogao ni zamisliti koliko Êe njegova otkriêa promijeniti naπ naëin razmiπljanja. Nezamislivo velik svemir Kao πto smo vidjeli, svemir je mnogo veêi nego πto je to Galileo shvaêao. Naπa Zemlja je dio sustava od osam planeta i mnogo manjih objekata koji kruæe oko Sunca. Naπe Sunce jedna je od mnogih milijardi zvijezda u svemiru i vrlo je udaljena od bilo koje druge zvijezde. Zvijezda najbliæa nama, Proxima Centauri, udaljena je od nas oko dvadeset pet milijuna kilometara, ili oko 4,2 svjetlosne godine. U tom svemirskom prostoru razdaljine su toliko velike da za njihovo mjerenje ne koristimo kilometre. Koristimo svjetlosne godine, a to je udaljenost koju svjetlo prijeapplee za godinu dana putujuêi brzinom od tri stotine tisuêa kilometara u sekundi. Zapamtite, osam minuta je potrebno svjetlu da do nas doputuje od Sunca udaljenog sto pedeset milijuna kilometara. 18
19 Ako bismo pokuπali putovati na Proximu Centauri u raketi koja se kreêe brzinom od tri stotine tisuêa kilometara na sat, nikada ne bismo stigli do nje. Bilo bi nam potrebno Ëitavih godina da otputujemo tako daleko! Razmislite o tome i na ovaj naëin: ako ste, recimo, napravili kartu koja bi prikazivala udaljenost naπe Zemlje od Proxime Centauri i uzeli da to- Ëka na kraju ove reëenice prikazuje veli- Ëinu Zemlje, Proxima Centauri bila bi od nje udaljena oko stotinu πezdeset kilometara. I to nam je najbliæa zvijezda! VeÊina zvijezda mnogo je udaljenija, a da bismo stigli do bilo koje od njih s tehnoloπkim izumima koji su nam trenutaëno na raspolaganju, bila bi nam potrebna nezamislivo duga vremenska razdoblja. Svemir je mnogo, mnogo puta veêi nego πto je Galileo ili bilo tko prije njega ikada zamiπljao. Svemir prepun energije Svemir sadræi nezamislivo veliku koli- Ëinu materije i energije. Mislimo na svemir koji se sastoji od zvijezda, ali on isto tako sadræi i mnoge druge pojedinosti koje ne 19
20 moæemo vidjeti. Kao πto smo veê prije zakljuëili, mi ne znamo toëno koliko zvijezda ima u svemiru. Meappleutim, ako dvije stotine milijardi zvijezda u naπoj galaktici MlijeËnoj stazi uzmemo kao prosjek, a u svemiru ima najmanje 175 milijardi galaktika, onda mora postojati najmanje 350 milijardi milijuna milijuna zvijezda (brojka 35 s 22 nule). Vidljive zvijezde moæda uobliëavaju samo jednu desetinu od ukupne mase svemira. Ostatak je u obliku tamne tvari, koja obuhvaêa odviπe male ili odviπe tihe objekte da bismo ih otkrili. Taj ostatak takoappleer obuhvaêa i crne rupe, koje su toliko guste i masivne da Ëak ni svjetlo ne moæe izbjeêi njihovo gravitacijsko polje. Sva ova tvar sadræi golemu koliëinu energije. Svemirska energija izlazi izvan okvira naπe sposobnosti shvaêanja. Svaka zvijezda sjaji zato πto proizvodi veliku koliëinu topline koju isijavaju njezini atomi. Naπa zvijezda Sunce ima u jezgri temperaturu viπu od petnaest milijuna Celzijevih stupnjeva. Ova golema koliëina energije dovoljna je za zagrijavanje i osvjetljavanje naπeg planeta, πto opet omoguêuje biljkama da 20
21 rastu i proizvode hranu. I zapamtite, naπe Sunce nije neka velika ili vrlo topla zvijezda u odnosu na veêinu drugih. KoliËina energije u svemiru nadmaπuje naπu sposobnost mjerenja ili Ëak zamiπljanja. VeliËina svemira i golema koliëina energije koju on sadræi prirodno nas vodi k pitanju: Odakle je proiziπao svemir? PoËetak svemira Zamislite da u rukama dræite djeëji balon. Sada uzmite kemijsku olovku i na njegovoj povrπini obiljeæite dvije toëke u razmaku od dva centimetra. Kada zatim pribliæite balon usnama i ispunite ga zrakom, πto se dogaapplea s razmakom izmeappleu toëaka? Kako se stijenka balona izmeappleu toëaka πiri, tako se i ove toëke na njemu sve viπe udaljavaju jedna od druge. Znanstvenici su otkrili da se neπto sliëno dogaapplea i sa zvijezdama. Sve se one udaljavaju jedne od drugih. OËigledno je da se svemir πiri, kao πto se πiri balon dok se ispunjava zrakom. Ako se svemir πiri, to znaëi da je u proπlosti bio manji. to gledamo dalje unatrag, u proπlost, to je svemir bio manji. 21
22 Kad bismo se mogli osvrnuti dovoljno daleko, svemir bi bio toliko skupljen da bi bio odviπe mali da bi bio vidljiv i postojao bi samo kao nevidljiva toëkica. To bi bio poëetak svemira. Od tog nevidljivog trenutka, Ëitav svemir se πirio do svoje sadaπnje veliëine. Na temelju ovog naëina zakljuëivanja, znanstvenici su poëeli vjerovati da je svemir imao svoj poëetak. Suvremeni znanstvenici bili su u nedoumici da li da uopêe prihvate tu zamisao. Jedan astronom, Fred Hoyle, toliko se protivio toj zamisli da ju je podrugljivo nazvao Velikim praskom. Ovaj se naziv nekako zadræao, tako da joπ uvijek o toj teoriji govorimo kao o teoriji Velikog praska. Daljnja istraæivanja i otkriêa kao da su podupirala teoriju Velikog praska pa ju je prihvatila veêina suvremenih znanstvenika. Teorija Velikog praska postavlja i neka vrlo velika i vaæna pitanja: to je pokrenulo svemir da se pojavi iz male toëke, ni iz Ëega? Je li se to moglo dogoditi slu- Ëajno? Ima li neëega ili nekoga iza stvaranja svemira? 22
23 Dizajnirani svemir Neke tragove odgovora o podrijetlu svemira moæemo dobiti prouëavajuêi kako on izgleda danas. Uredno organizirane strukture i stalne osobine svemira, na primjer, vaæni su tragovi o njegovom podrijetlu. Materija nije nasumiëno razbacana u svemiru, veê je uglavnom grupirana u zvijezde, planete i druga svemirska tijela. Ni zvijezde nisu nasumiëno razbacane, veê su okupljene u galaktike. A galaktike su Ëesto grupirane u galaktiëka jata i superjata. Najnevjerojatnije je od svega πto svemir ima upravo onakve preduvjete kakvi su potrebni da bi u njemu postojao æivot. Kako objasniti takvo ureappleenje u svemiru? Izgleda da za ovo postoje tri moguêa odgovora: prirodni zakoni, sretni sluëaj i inteligentni dizajn. Pogledajmo svaki od ovih moguêih uzroka za red u svemiru. Prirodni zakoni Je li prirodno za svemir da ima takvu odreappleenu strukturu? Ne. Ne postoji nijedan zakon koji bi odredio da svemir mora 23
24 biti tako oblikovan da bi se materija u njemu rasporeappleivala u planete, zvijezde, galaktike i klastere. Ta ista materija mogla bi isto tako biti rasuta u oblake svemirske praπine. Znanstveno, drugi zakon termodinamike kaæe da se svako ureappleenje i red kvare tijekom vremena. To znaëi da je svemir bio ureappleeniji u proπlosti nego πto je sada. Pratiti ovu misao unatrag do poëetka svemira znaëilo bi potvrditi da je svemir morao biti stvoren s izuzetnim skladom. Dakle, ureappleeni svemir ne moæe biti rezultat nekih prirodnih zakona koji to zahtijevaju. To ostavlja pitanje je li red u svemiru rezultat neke sretne sluëajnosti ili je proizvod inteligentnog Stvoritelja. Sretna sluëajnost Da bi se u svemiru pojavio æivot, njegove su odrednice morale biti vrlo precizne vrlo odreappleene. Na primjer, ako bi se materija u svemiru πirila prebrzo, to prebrzo udaljavanje onemoguêilo bi uobli- Ëavanje galaktika, a ne bi bilo ni planeta. S druge strane, ako bi se svemir πirio pre- 24
25 sporo, sve bi se zbilo u jedan golemi Ëvor i opet ne bi bilo nikakvih planeta. U oba krajnja sluëaja æivot ne bi bio moguê. Stupanj πirenja svemira morao bi biti vrlo precizno podeπen jer bi razlika od jednog dijela u 10 na 55-tu (brojka 10 iza kojeg slijede 54 nule) veê spreëavala da bude moguê æivot. Vjerojatnost da se to slu- Ëajno dogodi manja je od vjerojatnosti da Êete dobiti glavni zgoditak na lutriji pet puta zaredom. Razmislite o tome. Kad bi netko pobijedio na lutriji pet puta zaredom, biste li povjerovali da se to dogodilo slu- Ëajno? Ne bi nitko na svijetu! Jasno, sretna sluëajnost nije dobro objaπnjenje za toëno odreappleene uvjete Velikog praska. Inteligentni dizajn Ureappleena struktura svemira viπe od bilo Ëega drugog tjera nas da zakljuëimo da je svemir bio inteligentno i svjesno planiran. Znanstvenici su u svojim istraæivanjima utvrdili da svemir ima osobine vrlo precizno podeπenog sustava i to posebno onih svojstava koja su potrebna za odræanje æivota. Na primjer, da bi postojao æivot, potreb- 25
26 ne su molekule za izgradnju tijela, prijenos energije i osiguravanje hranjivih tvari. Meappleutim, molekule ne bi mogle postojati kad ne bi postojala izuzetno precizna ravnoteæa izmeappleu mase razliëitih atomskih Ëestica i sila koje ih dræe zajedno. Brojni su se znanstvenici osvrnuli na ova precizno podeπena svojstva naπeg svemira i zaklju- Ëili da su ona rezultat inteligentnog planiranja. Ni prirodni zakon niti sretna sluëajnost ne pruæaju zadovoljavajuêe objaπnjenje za izuzetan sklad i ustroj svemira. Najbolje objaπnjenje koje odgovara onome πto vidimo u naπem svemiru jest da ga je svjesno stvorilo BiÊe s neograniëenom moêi i inteligencijom. ZakljuËak Naπa slika svemira dramatiëno se promijenila od Galileovog vremena. Mi sada znamo da je svemir mnogo veêi i sloæeniji nego πto je itko mogao zamisliti prije samo nekoliko stotina godina. Donedavno su mnogi znanstvenici smatrali da je svemir oduvijek postojao i da Êe zauvijek postojati, 26
27 bez ikakvih promjena na bilo kojem podruëju. Sada znamo da je imao svoj poëetak i da je vrlo precizno ureappleen i fino podeπen za opstanak æivota. Iako se naπe razumijevanje svemira stalno mijenja, postoji neπto πto ostaje isto. Ljudi su oduvijek bili fascinirani onim πto je daleko. I to ih je navodilo da postavljaju velika pitanja o vlastitom postojanju. Mi Êemo nastaviti istraæivati ovu zamisao dok se budemo usmjeravali prema ne- Ëemu malo bliæem naπem domu naπem vlastitom svijetu i nekim Ëudima meappleu æivim biêima oko nas. 27
28 3 Dizajn Zemlje Postoji samo nekoliko mjesta na svijetu s raznolikijim vrstama zadivljujuêeg æivota od Velikog koraljnog grebena u Australiji. Ovaj golemi kompleks koralja proteæe se uzduæ sjeveroistoëne obale ove zemlje na drugoj strani zemaljske kugle. Ako tamo ronite, moæete vidjeti divovske πkoljke Ëije se ovojnice na sunëevom svjetlu presijavaju u zelenoj boji od mnoπtva mikroskopskih algi. Jata πarenih riba pojavljuju se i nestaju meappleu koraljima. Koraljni greben je veê sam po sebi Ëudo, æivi organizam koji se proteæe kilometrima u raznolikim duginim bojama i beskrajnom nizu oblika i veliëina. U njegovim dubinama skrivene su kolonije predivnih æivotnih oblika i nevjerojatnih stvorenja. 28
29 ZadivljujuÊa stvorenja Joπ Ëudesnije su neke skrivene pojedinosti iz æivota ovih stvorenja. Divovska πkoljka, na primjer, njeguje vrlo zanimljivu, uzajamno korisnu zajednicu, koja se naziva simbioza, s malom jednostaniënom algom. koljka koja je pravi div duga je Ëetiri metra i teπka skoro Ëetvrt tone boravi na dnu oceana, sa svojim razdvojenim ljuskama i miπiênim omotaëem izloæenim sunëevom svjetlu. Algine stanice æive u stanicama πkoljkinog omotaëa, gdje proizvode hranu za fotosintezu. Jedna πkoljka moæe na sebi imati milijune ili Ëak milijarde algi isprepletenih s njezinim staniënim tkivima. Alge dobivaju hranjive tvari iz πkoljke, a πkoljka dobiva dio svojih hranjivih sastojaka iz hrane koju proizvode ove alge. To je vrsta suradniëkog odnosa u kojem svaki partner koristi onog drugog. Zajedno, divovska πkoljka i njezine alge mogu æivjeti i do stotinu godina. Suradnja je uobiëajen odnos meappleu æivim organizmima. Neki, poput divovske πkoljke i male alge, vrlo su odreappleeni. U velikoj slici svi æivi organizmi suraappleuju na na- 29
30 Ëin koji je obostrano koristan. Biljke uzimaju energiju sunëevog svjetla i koriste je za pretvaranje vode i ugljikovog dioksida u hranu. U tom procesu kao nusproizvod oslobaapplea se kisik. Æivotinje preraappleuju ovaj kisik i hranu koju su uzele da bi oslobodile energiju za svoj rast i kretanje. U ovom procesu proizvodi se ugljikov dioksid koji biljke koriste za proizvodnju hrane. Ciklus se nastavlja, a uzajamno korisna interakcija izmeappleu biljaka i æivotinja omoguêuje opstanak bogate raznolikosti æivih biêa, uklju- ËujuÊi ljude. Palolo crv joπ je jedno zanimljivo stvorenje koje æivi na Velikom koraljnom grebenu i na mnogim drugim mjestima u Juænom Pacifiku. Ovi crvi, koji izgledaju kao malo spljoπtene gliste, rastu do oko centimetar u duæinu, a æive u tunelima koraljnih tvorbi gdje se hrane algama. Palolo crv najpoznatiji je na otoku Samoi, gdje je vaæan dio lokalne kulture. Svake godine u odreappleeno vrijeme Samoanci izlaze Ëamcima na more i sakupljaju jajaπca palolo crva. Ovaj dogaappleaj je toliko predvidljiv i tako znaëajan za mjesno stanovniπtvo da se ova pojava koristi u izradi lokalnog kalendara. 30
31 Znanstvenici su otkrili neke nevjerojatne Ëinjenice o ovim samoanskim crvima. Tijekom sezone razmnoæavanja, palolo crvima raste rep koji se ispunjava jajaπcima ili spermijima. Za vrijeme mrijesta rep se otkida i odnosi jajaπca na povrπinu mora, gdje se ona oploappleuju. Gotovo svi crvi iz tog podruëja oslobaappleaju zajedno svoja jajaπca. Posebno je dojmljivo toëno odreappleeno vrijeme ovog ponaπanja. Mrijeπtenje po- Ëinje samo sedam dana nakon uπtapa koji se javlja izmeappleu 8. listopada i 23. studenoga. Katkad se moæe ponoviti nakon dvatri dana. Vrhunac mrijeπtenja traje tridesetak minuta tijekom visoke plime, toëno iza ponoêi. Crvi na neki naëin osjete kada je pravo vrijeme, pa svi proizvode i otpuπtaju jajaπca u isto vrijeme. Proizvodi se tako velika koliëina da ih Samoanci sakupljaju i koriste kao hranu. Crvi koji æive u drugim podruëjima mogu se mrijestiti u nekom drugom mjesecu, ali se mrijeste uvijek vremenski to- Ëno odreappleeno i usklaappleeno. Ovi crvi na neki naëin koordiniraju svoj mrijest. Njihova vrsta uspijeva preæivjeti zato πto svi reagiraju na isti signal u svojem okruæenju. 31
32 Ptica veliëine vrane, poznata pod latinskim imenom puffinus, drugo je stvorenje koje se moæe uoëiti na podruëju Velikog koraljnog grebena u odreappleenim razdobljima u godini. Puffinus provodi cijeli æivot na moru, osim u vrijeme parenja. Dok izvodi svoje ptiêe, gnijezdi se u skloniπtima koja kopa na kopnu. Ova ptica je izvanredan navigator. Slobodno leti preko oceana i nikada ne skrene s putanje. Moæe napustiti svoje gnijezdo u iskopanom skloniπtu prije svitanja i vratiti se poπto je veê pao mrak, πto znaëi da mora biti u stanju pronaêi toënu lokaciju ne samo svojeg otoka, veê i svojeg malog gnijezda u skloniπtu na otoku u potpunom mraku. Znanstvenici ni danas ne znaju toëno kako to ove ptice mogu izvesti! Tijekom dana ova ptica leti iznad oceana hraneêi se malim ribama i sipama koje plivaju blizu morske povrπine. Njihova nevjerojatna sposobnost za navigaciju eksperimentalno je istraæena u Velikoj Britaniji preko jedne od veêih podvrsta ove ptice. Znanstvenici su zrakoplovom odnijeli jednu skupinu ptica iz Velike Britanije u 32
33 Boston, a drugu skupinu u Veneciju. Obje skupine ptica vratile su se u svoja iskopana gnijezda u Velikoj Britaniji u roku od dva tjedna. Puffinus u svojem æivotu obiëno nikada ne leti iznad kopna, tako da je bilo joπ neobiënije πto su se svi primjerci ove ptice i u ovim okolnostima vratili i pronaπli put do kuêe. Druga sliëna vrsta, garavi zovoj (lat. Puffinus griseus), seli se iz antarktiëkih voda Ëak do Kalifornije, Aljaske i Japana i vraêa se natrag, kreêuêi na putovanje od πezdeset tri tisuêe kilometara. Ove ptice su jedno od velikih Ëuda meappleu æivim bi- Êima. Mnoga druga stvorenja imaju sposobnost da putuju stotinama ili Ëak tisuêama kilometara i vrate se toëno na polazno mjesto. Lososi iz Tihog oceana poznati su po svojoj sposobnosti da se vrate na mjesto na kojem su odrasli. Morske kornjaëe mogu putovati tisuêama kilometara izmeappleu Karipskog mora i otokâ u Atlantskom oceanu. Milijuni ptica pjevica i selica lete svake godine izmeappleu Europe i Afrike, ili izmeappleu Sjeverne i Juæne Amerike. Njihov nagon za selidbom i sposobnost da pronaappleu 33
34 toëno mjesto na tako velikim udaljenostima spadaju meappleu nezamisliva Ëuda kod æivih biêa. Naπ Ëudesni svijet Osim ovih divnih stvorenja, postoje i brojni drugi primjeri nevjerojatnog æivota koji zadivljuju kako svizac proizvodi svjetlo, kako elektriëni som proizvodi elektricitet, kako se πiπmiπ orijentira u mraku pomoêu ultrazvuka, kako se gusjenica pretvara u prelijepog leptira i joπ mnogo toga. Meappleutim, Ëesto ne razmiπljamo o tome kakav je svijet bio potreban da bi se æivot mogao razvijati. Dok znanstvenici istraæuju naπ svijet, postaju sve svjesniji koliko je on jedinstven i dobro osmiπljen. Sve viπe uviappleaju koliko su bili potrebni precizni, to- Ëni i posebni uvjeti da bi æivot mogao opstati. Izgleda da je sam naπ planet pomno dizajniran za opstanak æivota koji se odvija na njemu. Æivi organizmi moraju imati toëno odreappleenu kombinaciju ekoloπkih uvjeta. To podrazumijeva odgovarajuêi izvor energije (kao πto je sunëevo svjetlo), sirovine za 34
35 izgradnju njihovih stanica i tkiva (hranjive tvari), odgovarajuêu sredinu u kojoj se moæe javiti kemija æivota (voda) i odgovarajuêu temperaturu za nuæne kemijske reakcije. Koliko znamo, ne postoji drugo mjesto u svemiru koje ima pravu kombinaciju tih osobina za postojanje æivih organizama (mada su neke moguênosti nedavno otkrivene πto bi moglo biti vrlo zanimljivo!). Kao πto svi znamo, sunëevo svjetlo daje energiju æivim organizmima. Nekoliko vrsta bakterija dobiva energiju iz kemijskih reakcija duboko u moru, ali to su izuzetci. SunËevo svjetlo je tako uobiëajena, sasvim obiëna osobina naπeg svakidaπnjeg æivota da je lako zaboraviti koliko je izuzetno. Svjetlo je oblik energije poznat kao elektromagnetno zraëenje. Snaga ove vrste energije varira. Neke vrste zraëenja, kao πto su gama-zrake, toliko su moêne da je njima lako uniπtiti æivot. Druge vrste, kao πto su radiovalovi, tako su slabe da ne mogu osigurati potrebnu energiju za æivot. Svjetlo koje vidimo ima umjerenu koliëinu energije. Ono je dovoljno jako da izazove neke kemijske reakcije, ali nedovoljno snaæno da 35
36 razori molekule od kojih se sastoje æivi organizmi.»injenica da naπe Sunce proizvodi ovu vrstu svjetla jedan je od najvaænijih razloga zbog kojih æivimo. VeÊina zvijezda u naπem svemiru ne pruæa pravu koliëinu energije potrebnu da odræi æivot kakav poznajemo. Zemlja i naπe Sunce sasvim su posebni! Sunce ne samo πto stvara svjetlo koje osigurava energiju potrebnu æivim biêima, veê proizvodi i pravu koliëinu topline za opstanak æivota na Zemlji. Temperaturu Zemlje odreappleuje toplinsko zraëenje Sunca, udaljenost izmeappleu Sunca i Zemlje i sposobnost Zemlje da zadræi toplinu. Kad bi Zemlja bila samo malo udaljenija od Sunca, bilo bi prehladno. Kad bi bila bliæe Suncu, bilo bi pretoplo. Ugljikov dioksid i vodena para koji isparavaju u naπu atmosferu pomaæu da se zadræi sunëeva toplina i odræi odgovarajuêa temperatura. Kad bi u naπoj atmosferi bilo previπe ovih plinova, naπ bi svijet bio previπe vruê. Ali kad naπa atmosfera ne bi sadræavala bilo koji od ovih plinova, naπ bi svijet bio zastraπuju- Êe hladan. Povoljna temperatura na naπem planetu odræava se i zahvaljujuêi brzini ko- 36
37 jom se Zemlja okreêe oko svoje osi i rasporedu kontinenata i oceana na njezinoj povrπini. Opstanak æivota na naπem planetu ovisi o pravilnoj interakciji izmeappleu Zemlje, njezine atmosfere, prispjele SunËeve energije i udaljenosti izmeappleu Zemlje i Sunca. Kad bi se bilo koji od ovih Ëimbenika dramatiëno promijenio, æivot na naπem svijetu brzo bi nestao. Æivot isto tako zahtijeva izvor sirovina i neki naëin na koji Êe te tvari stupati u kemijske reakcije. Zemlja ih daje u pravim kombinacijama. Voda je jedna od najvaænijih sirovina za æivot, a naπa Zemlja ima mnogo vode. Izgleda da neki planeti i sateliti u naπem SunËevom sustavu imaju malo vode, ali ne i stabilna tijela tekuêe vode kao πto ih ima naπa Zemlja. Voda je klju- Ëna za æivot, tako da znanstvenici koji tragaju za æivotom na drugim planetima prvo tragaju za vodom. Ako negdje nema vode, nema ni puno razloga da se traæi æivot. Voda je vrlo vaæna za æivot. Ona osigurava sredinu u kojoj se odvijaju mnoge kemijske reakcije. Ona rastvara mnoge tvari i prenosi ih u æivotnu sredinu kao i u tijela 37
38 æivih organizama. Bez vode se ne bi mogle odvijati mnoge kemijske reakcije koje su nuæne za æivot. Voda isto tako prenosi toplinu pomaæuêi u odræavanju umjerene temperature na povrπini Zemlje. Velike koliëine vode pomaæu u ublaæavanju klime tako da priobalna podruëja imaju obiëno blaæu klimu od podruëja udaljenih od mora. Voda takoappleer pomaæe æivim organizmima da odræe povoljnu tjelesnu temperaturu. Ona pomaæe u odvoappleenju topline iz naπeg tijela isparavajuêi s koæe. Kad naπ svijet ne bi imao toliko vode, na njemu bi bilo manje æivota. Voda ima mnoge druge osobine koje pridonose oëuvanju æivota.»injenica da led pluta na vodenim povrπinama omoguêuje ribama da preæive u jezerima i kada se povrπina zaledi. Kad bi led u jezerima tonuo, na kraju bi se sva voda zamrznula od vrha do dna pa bi veêina stvorenja u jezeru uginula. Voda apsorbira kisik koji je potreban ribama i drugim vodenim organizmima. Molekule vode imaju svojstvo da se dræe zajedno, πto je vaæan Ëimbenik koji omoguêuje da se voda kreêe naviπe prema vr- 38
39 hovima visokih stabala. TekuÊa voda teëe, zbog Ëega se slobodno kreêe uzduæ ili preko povrπine tla tako da je biljke mogu upijati, ili osigurava vlagu za crve i druge organizme u tlu. Zemlja je jedino mjesto koje nam je poznato na kojem je voda toliko Ëesta i lako dostupna za opstanak æivota. Za æivot su potrebne mnogobrojne tvari i elementi koje naπ svijet ima u svojim zalihama. Ugljik je posebno vaæan, jer se moæe kemijski vezati na mnogo razliëitih na- Ëina. Poznato je da ugljik ima neke izuzetne osobine zbog kojih bi se lako mogao iscrpsti, ali naπ svijet ima dovoljno ugljika za opstanak golemog broja æivih organizama. Za æivot je potreban i vodik, kisik, duπik, fosfor, sumpor i male koliëine mnogih drugih elemenata. SreÊom, sve ove tvari dostupne su na naπem planetu. Mnoge su tvari opasne po æivot, ali su one, na sreêu, u naπem svijetu rijetke. Dostupnost potrebnih i mala koliëina opasnih tvari nuæni su preduvjeti za opstanak æivota i jedan od Ëimbenika koji Ëine naπ svijet posebnim. 39
40 ZakljuËak Mi æivimo u dobro uobliëenom svijetu, s toëno odreappleenim i optimalnim uvjetima za æivot. Okruæeni smo æivim biêima s nevjerojatnim sposobnostima i meappleuovisnim odnosima. Ova stvorenja pokazuju zapanjujuêu raznovrsnost oblika, boja, ponaπanja i staniπta na kojima æive. Sve ove pojedinosti ukazuju na to da mora postojati Stvoritelj koji je naëinio svijet kao zanimljivo i lijepo mjesto. Poslije Êemo vidjeti i razloge zaπto postoje neke ruæne pojedinosti na svijetu. Ali ne zaboravimo kako je on Ëudesan i lijep. U sljedeêem Êemo poglavlju razmotriti neke Ëudesne sposobnosti Ëovjeka koje na naπe iznenaappleenje nemaju nikakve veze s opstankom. 40
41 4 Jedinstvenost Ëovjeka Gdje ste bili u veëernjim satima 20. srpnja 1969.? Jeste li stajali vani i gledali u nebo u smjeru Mjeseca? Cijeli jedan naraπtaj ljudi procjenjuje se da ih je bilo oko pet stotina milijuna promatralo je televizijski prijenos dok su Neil Armstrong, Michael Collins i Buzz Aldrin spuπtali svoj lunarni modul Eagle u dolinu MjeseËevog Mora mira. Dok se odvijao ovaj povijesni dogaappleaj i prvi ljudi stajali na povrπini Mjeseca, nesumnjivo se dogaapplealo neπto dramatiëno i povijesno vaæno. Plan za slanje ljudi na Mjesec i njihov siguran povratak na Zemlju najavio je ameriëki predsjednik John Kennedy u svibnju Ponovio je taj cilj u svojem govoru 41
42 u rujnu Taj govor postao je poznat pod naslovom OdluËili smo otiêi na Mjesec, koji je nadahnuo milijune ljudi da stvaraju velike planove. Slanje ljudi na Mjesec i njihov povratak bila je velika zamisao koja je ukljuëivala i velike rizike. Nije bilo nikakvog jamstva za siguran zavrπetak cijelog pothvata. Na olakπanje svih, astronauti su na kraju buênuli u Tihi ocean 24. srpnja i vratili se pobjedonosno kuêi. Odmah su postali poznati poπto su riskirali sve i uspjeli u neëemu πto nikada prije nije uëinjeno. Kao πto se oëekivalo od tako dobro pripremljenih i struënih ljudi, astronauti su vrlo brzo odali priznanje za svoj uspjeh usklaappleenom naporu tisuêa znanstvenika i tehniëara. Njihov uspjeπan let na Mjesec nije se mogao ostvariti naporom jednog ili nekolicine pojedinaca. Pothvat je zahtijevao godine rada i tisuêe vrlo obrazovanih struënjaka. Jedinstvenost ljudi Uspjeh misije Apolla 11 bio je spektakularan ljudski uspjeh. Stvaranje velikih 42
43 planova u viπegodiπnjim projektima kao πto je bio Apollo nisu neuobiëajena pojava u ljudskim zajednicama, ali su izuzetna i jedinstvena ljudska osobina. Nijedna druga vrsta ne radi neπto takvo. Nema drugih stvorenja koja ostvaruju projekte za koje je potreban viπegodiπnji usklaappleen rad mnogih pojedinaca. Zaπto i drugdje ne postoji neπto takvo? Zaπto to i druge vrste ne bi mogle? Mnoga druga stvorenja imaju daleko veêu populaciju, a neka od njih imaju i nevjerojatne sposobnosti koje ljudi nemaju. Ljudi ne mogu letjeti kao ptice, plivati kao ribe ili se penjati kao majmuni. Ali ljudi mogu putovati zrakom ili po vodi i popeti se do bilo koje toëke na stablu zbog svojih drugih posebnih sposobnosti. Ljudi mogu ostvariti pothvate po kojima se razlikuju od æivotinja. Oni mogu ostvariti predivne pojedinosti koje nijedna druga vrsta æivih biêa ne moæe. Ljudi smiπljaju nove ideje, prave planove, pripremaju se unaprijed za svladavanje teπkoêa i ostvaruju planove do kraja. Sposobnost planiranja, zamiπljanja i ostvarivanja novih zamisli projekata koji 43
44 nikada prije nisu raappleeni jedinstvena je ljudska osobina. Govor je joπ jedna jedinstvena ljudska osobina koja je bila nuæna za uspjeh leta na Mjesec. Mnoge æivotinjske vrste mogu komunicirati, neke od njih na iznenaappleuju- Êe naëine. Ali nijedna nema sposobnost da govori kao ljudi. Slobodna komunikacija putem govora nuæan je preduvjet za ostvarivanje sloæenih planova koji se usuglaπavaju i zavrπavaju. Govor i jezik omoguêuju da se zamisli prenose drugima, da se o njima razgovara i da se ocjenjuju. Da ljudi nisu bili sposobni govoriti, projekt Apollo nikada ne bi ni zapoëeo, a kamoli uspjeπno zavrπio. Joπ jedna pojedinost vaæna za ljude jest jedinstvena kombinacija samosvijesti i slobodne volje. Imamo sposobnost prepoznati sebe kao zasebna biêa i donositi odluke o tome kako Êemo se ponaπati. Ova kombinacija Ëini nas odgovornima za odluke koje donosimo. Ona nam daje osjeêaj moralnosti. Ovaj osjeêaj moralnosti potiëe mnoge ljude da se ponaπaju odgovorno i pouzdano, πto nam omoguêuje da suraappleujemo na daleko viπoj razini od ostalih æivotinja. Ti- 44
45 suêe tehniëara mogli su vjerovati jedni drugima i suraappleivati za dobrobit projekta Apollo, Ëak i kada im to osobno nije bilo najpogodnije. Æivotinje ne mogu postizati takve ciljeve dijelom i zbog toga πto nemaju kombinaciju samosvijesti i slobodne volje potrebne za osjeêaj moralnosti i odgovornosti. Vjera je joπ jedna pojava jedinstvena za ljude. Nijedna druga vrsta ne moæe posjedovati vjerske navike jer nema ono πto je prijeko potrebno za moral slobodnu volju i samosvijest. Koliko god Ëudno zvu- Ëalo, mogli bismo ustvrditi da je krπêanstvo doprinijelo uspjehu misije Apolla. Kako? KrπÊanstvo je osiguralo filozofsku pretpostavku razmiπljanje potrebnu za razvoj znanosti. Znanost se ne moæe razvijati u kulturi koja smatra da prirodom upravljaju udaljeni bogovi koji se stalno bore jedni s drugima i s ljudima, kao πto su to Ëinili grëki i rimski bogovi. Nitko nije u tim druπtvima mogao predvidjeti πto Êe se dogoditi u prirodi kao πto nije mogao predvidjeti raspoloæenje bogova. KrπÊanstvo nauëava da je Bog uvijek bio pouzdan i dosljedan u upravljanju sve- 45
46 mirom. Tako je bio logiëan i pokuπaj da se otkriju zakoni kojima ga je On pokrenuo. KrπÊanstvo je doprinijelo uspjehu znanosti, ukljuëujuêi i misiju Apollo, pruæajuêi kulturu u kojoj se znanost moæe nesmetano razvijati. Naravno, oni koji odbacuju ideju o aktivnom Bogu u svemiru ne slaæu se s ovim, ali to je neπto πto zasluæuje duæu raspravu. 3 Zaπto su ljudi jedinstveni? Jasno je da su ljudi jedinstveni meappleu svim æivim biêima na Zemlji. Ali zaπto je tako? Ljudi su po mnogim svojim osobinama sliëni drugim sisavcima imaju sli- Ëne unutarnje organe, imaju ruke i noge, razmnoæavaju se na sliëan naëin. Sigurno ima sliënosti i u njihovim genima. Pa zaπto su onda ljudi i æivotinje toliko razliëi- 3 Mnogi znanstvenici istiëu vaænost krπêanske vjere u mudrog i dosljednog Boga kao preduvjet za razvoj znanosti. Primjerice: S. L. Jaki, Science and Creation, Scottish Academic Press, 1974.; Loren Eiseley, Darwin s Century, Anchor Doubleday, 1961.; Dan Graves, Scientists of Faith, Kregel Resources,
47 ti? Na ovo pitanje obiëno se daju dva vrlo razliëita odgovora: evolucija i stvaranje. Teorija evolucije tvrdi da su ljudi jednostavno napredni majmuni koji su razvili superiorni mozak. Naπ jezik i govor, naπa samosvijest i naπe mehaniëke sposobnosti smatraju se jednostavnim poboljπanjem onoga πto imaju i druge vrste. Mnogi evolucionisti Ëak tvrde da ljudi u stvarnosti nemaju slobodnu volju i moral koji se javlja s njom, iako se Ëini da ih ipak imamo. Postoji velik broj problema s ovim glediπtem. Jedan od zabrinjavajuêih problema jest πto evolutivni procesi koji bi trebali postojati samo da bi osigurali opstanak ne objaπnjavaju zaπto ljudi imaju sposobnosti koje daleko nadmaπuju sposobnosti potrebne za preæivljavanje. Zaπto bi ljudi cijenili umjetnost, glazbu i ljepotu? Koja se evolutivna prednost stjeëe sposobnoπ- Êu da se naslika slika, sklada pjesma ili da se uæiva u cvijeêu? Postoji mnogo sliënih prigovora. Prema miπljenju mnogih, oni pokazuju da teorija evolucije nije dobro objaπnjenje za izvanredne sposobnosti ljudi. to ako je ljude stvorilo BiÊe sa sposobnostima koje nadilaze naπe razumijevanje? 47
48 Kako objasniti zaπto imamo ovakve sposobnosti? Odvojimo malo vremena kako bismo istraæili krπêanski izvjeπtaj o stvaranju i donijeli svoje zakljuëke. Biblijska Knjiga Postanka opisuje stvaranje ljudi na ovaj naëin: 1. Ljudi su naëinjeni od zemaljskih elemenata to jest od istih graappleevnih blokova na bazi ugljika kao i svi drugi oblici æivota na Zemlji. 2. NaËinjeni su u dva oblika muπkom i æenskom; s komplementarnim dijelovima i organima, stvoreni su s moguênoπêu razmnoæavanja, stvaranja novih ljudi u obliku beba. 3. NaËinjeni su na Boæju sliku, πto na neki naëin znaëi da su njihove sposobnosti odraz Boæjih sposobnosti. Nema sumnje da su prva dva dijela biblijskog izvjeπtaja o stvaranju toëni. Ljudi su æivotni oblici na bazi ugljika, baπ kao πto je i sav æivot na Zemlji na bazi ugljika. I ljudi se mogu reproducirati, ponovno stvoriti ljudske bebe u svakoj novoj generaciji. Ali ako bi treêi dio izvjeπtaja o stvaranju bio toëan, πto bi to znaëilo? 48
49 Boæja slika Ako su ljudi bili jedinstveno stvoreni na sliku Boæju, onda je vrlo logiëno πto imamo sposobnosti koje æivotinje nemaju. Kako se naπe jedinstvene sposobnosti slaæu s onim πto nam Biblija govori o Bogu? to je s odnosima? Ako je Bog stvorio ljude muπkog i æenskog roda, onda je prirodno πto se Boæja slika najbolje vidi u odnosima izmeappleu njih dvoje. Biblija opisuje Boga kao BiÊe odnosa, nekoga tko æeli biti u vezi s ljudima. Poput Boga, i mi smo biêa odnosa. Mi æivimo u obitelji, u zajednici, u narodu, i sve πto radimo usredoto- Ëeno je na to kako Êemo se odnositi prema drugima. Sposobnost ljudi da imaju bliske odnose s drugima moæe biti odraz jednog dijela Boæje slike. Kao πto smo veê otkrili prije, ljudska kreativnost daleko nadmaπuje ono πto nam je potrebno da bismo preæivjeli. Ova kreativnost omoguêuje ljudima da rjeπavaju mnoge sloæene probleme, kao πto je slanje Ëovjeka na Mjesec. Mogli bismo navesti i mnoge druge veliëanstvene primjere 49
50 ljudske kreativnosti u rjeπavanju problema, ali ima joπ vrijednih stvari koje treba reêi. Mi moæemo naêi rjeπenja za teπke probleme, ali s naπom kreativnoπêu moæemo isto tako istraæivati i pojedinosti koje nisu nuæne za preæivljavanje na primjer ljepotu. Ako je Bog stvorio naπ svijet, onda On takoappleer cijeni ljepotu. Ljudi su naslikali izvanredne slike, isklesali skulpture, podigli veliëanstvene zgrade i mostove, skladali najraznovrsnija glazbena djela. Ali sve to samo blijedo oponaπa ljepotu zalaska sunca i cvijeêa, prirodnih krajolika i pjev ptica i drugih æivih biêa. Moæe li biti da ljudi vole ljepotu zato πto su stvoreni na sliku Boga koji voli ljepotu? Ako je ljude stvorio Bog, to onda objaπnjava zaπto imamo sposobnost stvaralaëkog razmiπljanja, planiranja i smisao za lijepo. To objaπnjava zaπto ljudi imaju svijest o sebi i slobodnu volju. To objaπnjava zaπto govorimo i razumijemo jezik. To objaπnjava zaπto su nam veze toliko znaëajne. 50
51 Ljudska odgovornost Izvjeπtaj o stvaranju govori da je Bog ljudima dao zadaêu. Njima je dodijeljena uloga upravitelja nad prirodnim bogatstvima Zemlje. Bog stvara Zemlju i predaje je ljudima da se brinu o njoj (o tome moæemo Ëitati u Postanku 1,28). Prvo, ljudima je dana odgovornost da se mnoæe, da raappleaju djecu i poveêavaju broj stanovnika. To znaëi stvaranje obitelji i πirih zajednica. Obitelj je osnovni graappleevni blok druπtva. Ako je Bog BiÊe odnosa, onda odraæavanje Njegove slike znaëi izgradnju snaæne obitelji. Zatim, kad napune Zemlju stanovnicima, od ljudi se traæi da upravljaju prirodnim bogatstvima planeta. Ako se u njima ogleda Boæja slika, oni Êe se s dobrotom odnositi prema svim stvorenjima na Zemlji i Ëuvati æivotnu sredinu koju sva stvorenja dijele. Nitko ne moæe tvrditi da ljudi pravilno upravljaju prirodnim zemaljskim bogatstvima dok god se zapaæa ovakvo oneëiπêenje neba i vode zbog pretjeranog iskoriπtavanja ugljena i nafte. Ne moæe to tvrditi ako 51
52 znamo na koji smo naëin lovili pojedine æivotinjske vrste do istrebljenja i dopustili da neke druge budu zbrisane s lica zemlje uniπtavanjem njihovih staniπta. PreËesto ljudima upravlja profit i pohlepa umjesto odgovorno planiranje za buduênost. Meappleutim, mogli smo i joπ uvijek moæemo drugaëije. Imamo sposobnosti za upravljanje Zemljom i te su sposobnosti zakljuëivanje od uzroka do posljedice, planiranje i stvaralaëki rad u suradnji s drugima daleko iznad onoga πto nam je potrebno za goli opstanak. Briga za sve stvoreno zahtijeva baπ one sposobnosti koje su jedinstvene za ljude sposobnosti po kojima se vidi da su stvoreni na sliku Boæju. ZakljuËak Ljudi su jedinstveni! A biblijski izvjeπtaj objaπnjava i zaπto. On ima odgovor na pitanje zbog Ëega ljudi imaju sposobnosti koje nadmaπuju puku potrebu za opstankom. On govori i koja je svrha ovih posebnih sposobnosti. Odraæavaju li naπe posebne sposobnosti sliku Boæju? Je li naπa sposobnost da nje- 52
53 gujemo odnose i naπa kreativnost samo rezultat sluëajnosti? Je li naπa ljubav prema ljepoti, sloæene jeziëne sposobnosti, apstraktno razmiπljanje i slobodna volja neπto πto se pojavilo u naπem ljudskom svijetu bez razloga? Izgleda nezamislivo da su baπ one osobine koje nas Ëine ljudima samo rezultat sluëajnog osmijeha sreêe. Pozivam vas da nastavimo putovanje otkriêa i usredotoëimo se na pitanja na koja znanost nema odgovora: Zaπto smo ovdje i kamo idemo? 53
54 5 Dar ravnoteæe»uda svemira odviπe su nevjerojatna da bi bila sluëajnost. Stvorenja na naπem planetu odviπe su posebna da bi se pojavila sluëajno. Naπe sposobnosti toliko su razvijene da ih evolucija ne moæe objasniti. Sve to ukazuje na Stvoritelja koji je ljudima dao posebne sposobnosti i odgovornosti. StvaralaËki proces u izvjeπtaju o postanku ukazuje da je Bog dao ljudima odgovornost da se brinu o Zemlji i æivotu na njoj. On nas je postavio kao upravitelje nad ostatkom stvorenog svijeta. A buduêi da smo trebali ovisiti o Njemu i jedni o drugima, stvorio je biêa koja moraju æivjeti u uzajamnim odnosima s drugima. Osim posebnih sposobnosti danih ljudima koji su naëinjeni na sliku Boæju, u izvjeπtaju u Postanku nalazimo da je ljudi- 54
55 ma pri stvaranju dan joπ jedan dar. Tamo stoji: I sedmoga dana Bog dovrπi svoje djelo koje uëini. I poëinu u sedmi dan od svega djela koje uëini. (Postanak 2,2) Teπko je zamisliti da bi Bog koji je stvorio golemi svemir bio umoran nakon stvaranja naπeg malog planeta. Iako ne moæemo ni zamisliti πto znaëi stvoriti, to ne izgleda kao posao od kojeg bi nekome izbio znoj na Ëelu ili da mu je potreban predah. Odmor Zaπto se, onda, Bog odmarao? I zaπto je bilo vaæno da se ova najava odmora ukljuëi u izvjeπtaj? Je li moguêe da se ovaj sedmi dan odmora ne nalazi u izvjeπtaju zbog Boga, nego zbog ljudi? OponaπajuÊi ovaj Boæji obrazac, koji je πest dana radio a sedmi dan posvetio odnosima, mi moæda izraæavamo vaæan aspekt Boæje slike u sebi. Je li moguêe da kad pratimo taj boæanski primjer, moæemo izbjeêi zamku da budemo usmjereni samo na goli opstanak ili kako stvari sagledavamo danas na zaraappleivanje za æivot? 55
56 Razmislite o tome. Kakav bi to tada bio predivan dar! Je li Bog znao, na primjer, da Êe nas: u u u Naπa sposobnost rjeπavanja problema navoditi da radimo previπe kada se rjeπenje ne bude pojavljivalo tako lako? Naπa kreativnost gurati da ostajemo do kasnih sati na poslu i ne dobijemo dovoljno odmora? Naπa svijest navoditi da Ëesto preispitujemo svoje odluke, stvarajuêi tako u nama visoku razinu stresa? Moæda je Bog znao da Êe nam biti potreban predah svakog tjedna da bismo se oporavili od stresa svakidaπnjeg æivota. Moæda je znao da Êe naπi odnosi trpjeti ako ne budemo imali razlog da se zaustavimo i da im posvetimo vrijeme. Ako odvajamo jedan dan svakog tjedna za odmor i odnose, mi poboljπavamo svoj æivot na tri razliëita naëina: Prvo, imamo vremena za izgradnju zajedniπtva sa svojim Stvoriteljem. ZadivljujuÊe je da je BiÊe, toliko nezamislivo mo- Êno i kreativno kao πto je On, i dalje usmje- 56
57 reno na odnose ukljuëujuêi i odnose s ljudima poput nas. Drugo, naπi tjedni trenutci predaha odreappleeni su za izgradnju druπtvenih odnosa veza s ljudima oko nas. abat, odmor, subota naëinjena je radi Ëovjeka, objasnio je Isus, a to subotnje vrijeme obuhvaêa trenutke za obitelj i za crkvu. Na kraju, subota je predivno vrijeme i za vezu s ostatkom stvorenog svijeta. Provoappleenje vremena na otvorenom daje nam priliku da se odmorimo i oporavimo od zauzetosti i buke naπeg svakidaπnjeg æivota. Kakvu to Ëini razliku? Izvjeπtaj o stvaranju kaæe da je Bog po- Ëinuo u sedmi dan. Meappleutim, je li bitno u koji se dan odmaramo? Kakva razlika moæe postojati izmeappleu dana? Najbitnije je da odvajamo vrijeme za odræavanje veza i oboæavanje. Pokuπajmo na to pitanje odgovoriti tako πto Êemo prouëiti dogaappleaj iz biblijske Druge knjige o kraljevima. Naaman je bio vojskovoapplea u drevnoj Arameji (zemlji koja se joπ 57
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
ARIEL NOLTZE SKALPEL I KRIŽ DVA SJEČIVA ZA NOVI POČETAK
1 ARIEL NOLTZE SKALPEL I KRIŽ DVA SJEČIVA ZA NOVI POČETAK 2 OPERACIJA»OVJEK Nakladnik ZNACI VREMENA www.znaci-vremena.com Izvornik Operation Mensch ISBN: 978-3-900160-63-0 Ÿ Top Life-Wegwieser, A-2014
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Nakladnik ZNACI VREMENA znaci-vremena.com. Urednik Mario ijan. Prijevod s engleskog Boæidar LaziÊ. Lektura Marijan MalaπiÊ
BU ENJE 1 Nakladnik ZNACI VREMENA znaci-vremena.com Urednik Mario ijan Prijevod s engleskog Boæidar LaziÊ Lektura Marijan MalaπiÊ Korektura Brankica VukmaniÊ Naslovnica Theodore KuburiÊ Tisak ZNACI VREMENA
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog