- pomaže nam da izračunamo veličine koje nismo izmjerili (jer ih nismo u mogućnosti mjeriti) na temelju veličina za koje imamo mjerene vrijednosti
|
|
|
- Σήθος Αναστασιάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TERMODINAMIKA
2 OSNOVE TERMODINAMIKE TERMODINAMIKA je teorija koja s pomoću matematičkih relacija opisuje međusobnu povezanost ravnotežnih svojstava makroskopskih sustava te opisuje prijenos energije ili pretvorbu energije iz jednog oblika u drugi koju izaziva neki proces. - pomaže nam da izračunamo veličine koje nismo izmjerili (jer ih nismo u mogućnosti mjeriti) na temelju veličina za koje imamo mjerene vrijednosti - za neravnotežne procese koristi se neravnotežna termodinamika
3 OSNOVE TERMODINAMIKE - energija može biti pohranjena u raznim oblicima, u (bio)kemijskom sustavu najčešće je u obliku kemijskih veza (kovalentnih i nekovalentnih interakcija) - termodinamika je najuspješnija za sustave u ravnoteži (organizam to nije), postoji i termodinamika neravnotežnih procesa - ustaljeno stanje organizma održava se stalnim dotokom energije - MEĐUTIM, pokazalo se da se termodinamički principi mogu uspješno primijeniti i na sustave udaljene od ravnoteže te otvorene sustave ako su stabilni, odnosno ako postoji dotok materije i energije koji ih održava stabilnim
4 MAKROSKOPSKA I MIKROSKOPSKA SVOJSTVA - OPREZ: TERMODINAMIČKI PRINCIPI IZVEDENI SU ZA MAKROSKOPSKI SUSTAV (SASTAVLJEN ZA VELIK BROJ ČESTICA, 1 mol = 6.022*10 23 ) I NE OVISE O DETALJIMA MOLEKULARNOG PONAŠANJA (MIKROSKOPSKIM SVOJSTVIMA) drugim riječima termodinamički zakoni su statistički i nije im cilj dati molekularna objašnjenja
5 MAKROSKOPSKA I MIKROSKOPSKA SVOJSTVA
6 OSNOVE TERMODINAMIKE TERMODINAMIKA JE OSOBITO KORISNA ZA PROCJENU KVANTITATIVNOSTI: - spontanosti reakcije - dometa reakcije - iskorištenja reakcije na temelju: - niza parcijalnih reakcija - izmjerenih veličina koje su u povezane s dosegom ili iskorištenjem - kombinacijom prethodnih mogućnosti -OMOGUĆAVA NAM RAZUMIJEVANJE PROCESA (spontanost, smjer, ulogu entalpije i entropije,...) I IZUČAVANJE MOLEKULA (njihovih interakcija, molekulske mase, ) BEZ DA ZNAMO NJIHOVU 3D STRUKTURU - znamo li pokretačku silu reakcije (kemijski potencijal μi) pri standardnim uvjetima, sve ostale termodinamičke veličine ovise o temperaturi -u tu svrhu jako je važno definirati sustav, te definirati stanje sustava (svojstva) - najviše nas zanimaju otopine S d / H dt ( Td / dt)
7 DEFINIRANJE TEMELJNIH POJMOVA TERMODINAMIKE SUSTAV (SISTEM) prostorno ograničeni dio Svemira koji je predmetom našeg izučavanja. može biti: - otvoren ili zatvoren (s obzirom na prijenos materije) - neizoliran ili izoliran (npr. adijabatski) STANJE SUSTAVA - određeno je vrstom materije od koje je sustav izgrađen (vrsta i masa (brojnost) kemijskih tvari) te varijablama: temperaturom, pritiskom i volumenom (dvije od tri su neovisne). Definirati sanje sustava znači omogućiti reprodukciju sustava i svih njegovih svojstava kada to zatreba. Stanje sustava je potpuno termodinamički određeno samo kada je sustav u ravnoteži. Faza fizički (npr. tekućina, plin, ) ili kemijski (npr. ako imamo više specija) dio sustava u kojem su sva svojstva jednaka ili se mijenjaju kontinuirano
8 DEFINIRANJE TEMELJNIH POJMOVA TERMODINAMIKE SVOJSTVA SUSTAVA: EKSTEZIVNA (aditivna): ovise o količini tvari odnosno o veličini sustava te je za njihov opis potrebno definirati stanje sustava uključujući i KOLIČINE svih tvati (npr. volumen, masa, energija, količina tvari, ) INTEZIVNA (neaditivna): ne ovise o veličini sustava i dovoljno je znati relativne količine tvari prisutnih u sustavu (npr. gustoća, viskozitet, temperatura, koncentracija, ). -često se dijeljenjem dva ekstezivna svojstva dobije intezivno svojstvo (ρ = m/v) - APSOLUTNE VELIČINE - RELATIVNE VELIČINE
9 DEFINIRANJE TEMELJNIH POJMOVA TERMODINAMIKE TERMODINAMIČKA PROMJENA promjena između dva stanja sustava, može biti reverzibilna ili ireverzibilna. reverzibilna promjena koja se zbiva u neposrednoj blizini ravnotežnog stanja tako da infinitezimalna promjena u okolini može vratiti sustav u početno stanje, odnosno između konačnog i početnog stanja postoji niz sukcesivnih ravnotežnih stanja. objasni ireverzibilna nije reverzibilna - termalna ravnoteža - mehanička ravnoteža - fazna ravnoteže - kemijska ravnoteža
10 DEFINIRANJE TEMELJNIH POJMOVA TERMODINAMIKE TOPLINA NAJČEŠĆI OBLIK PRIJENOSA ENERGIJE IZMEĐU SUSTAVA I OKOLINE - (USLIJED RAZLIKE U TEMPERATURI) - (KOJI SE OČITUJE U PROMIJENI TEMPERATURNE RAZLIKE) RAD BILO KOJA IZMJENA ENERGIJE IZMEĐU SUSTAVA I OKOLINE KOJA NIJE TOPLINA (npr. pomjena volumena, električni rad ) mehanički rad: W = F s ekspanzija plina (PV rad): električni rad: W = Ψ z i KONVENCIJA: W > 0 RAD NA SUSTAVU W < 0 RAD NA OKOLINI Ψ električni potencijal (volt) z i naboj (amper)
11 DEFINIRANJE TEMELJNIH POJMOVA TERMODINAMIKE UNUTARNJA ENERGIJA (U) energija pohranjena u sustavu, može se modificirati kemijskim i/ili biofizičkim procesima, uključuje translacijsku, vibracijsku i rotacijsku energiju molekule, energiju kemijske veze, intra i intermolekulsku energiju neveznih interakcija, (energija interakcija između jezgara i elektrona nije uključena!). - ekstenzivno svojstvo, funkcija stanja sustava (objasni-izvod)
12 DEFINIRANJE TEMELJNIH POJMOVA TERMODINAMIKE ENTALPIJA (H) ekstenzivno svojstvo koje je funkcija stanja sustava i označava toplinski sadržaj. H = U + PV U i H su relativne, a ne apsolutne veličine! (ne mjere se direktno već se može mjeriti samo njihova promjena!!) - obje su funkcija stanja sistema (ovise o P, T, V ) te ovise samo o početnom i konačnom stanju sustava
13 PRVI ZAKON TERMODINAMIKE UNUTARNJA ENERGIJA IZOLIRANOG TERMODINAMIČKOG SUSTAVA JE KONSTANTNA! - zakon o očuvanju energije, energija ne može nestati niti nastati u izoliranom sustavu, može se samo transformirati iz jednog oblika u drugi. U = q + w du = U2 U1 = dq + dw = 0 za izolirani zatvoreni sustav d promijene ovisne o putu - za izolirani sustav zbroj q+w je stalan i ne ovisi o putu kojim smo išli iz stanja 1 u stanje 2, iako veličine q i w svaka za sebe ovise o putu!
14 U = q + w W = -P V CH 3 (CH 2 ) 12 COOH(s) + 23O 2 (g) 16CO 2 (g) + 16H 2 0(l) V = KONST. W = O du = dq + dw = dq - 0 U = q = q a = kj/mol
15 P = KONST. U mora biti isti kao za prethodni slide jer je ista reakcija: U = kj/mol prvi stavak termodinamike: U = q - w CH 3 (CH 2 ) 12 COOH(s) + 23O 2 (g) 16CO 2 (g) + 16H 2 0(l) q-izmjereno = -9958,7 kj/mol, - oslobodilo se više topline!? W = -P V PV = nrt P V = - nrt, R=8,314 J/Kmol, n = -7, P = 105, T=298K W= 17,3 kj/mol U = q + w = -9958,7 kj/mol + 17,3 kj/mol = kj/mol q = U - w = kj/mol - 17,3 kj/mol = -9958,7 kj/mol
16 H, U su mjerljive veličine! ENTALPIJA TOPLINA KOJA SE IZMJENI S OKOLINOM PRI KONSTANTNOM TLAKU. H = ( q) P dh/dt = C p UNUTARNJA ENERGIJA - TOPLINA KOJA SE IZMJENI S OKOLINOM PRI KONSTANTNOM VOLUMENU U = ( q) V du/dt = C V H = U + PV dh = du + PdV + VdP du = dq + dw = dq -PdV - IZVOD : dh = dq PdV + PdV + VdP dh = dq PdV + PdV + VdP dh = dq + VdP - kod biokemijskih procesa H U! (u otopini su promijene volumena najčešće zanemarivo male)
17
18 MOLEKULARNA INTERPRETACIJA TERMODINAMIČKIH VELIČINA - ako sustavu dovedemo energiju, kako se ona raspodjeli? - translacija, rotacija, promijena inter i intramolekulskih interakcija - koja je raspodjela energije najvjerojatnija? - STATISTIKA! primjer: - 6 čestica koje se međusobno ne razlikuju, ukupna energija sustava 10 e, svako stanje jednako vjerojatno
19 MOLEKULARNA INTERPRETACIJA TERMODINAMIČKIH VELIČINA W = N! / n 1!n 2!n 3!...n j! -najvjerojatnija je ona raspodjela koja obuhvača najveći broj mogućih raspodjela čestica po energetskim nivoima! - maksimum W?
20 MOLEKULARNA INTERPRETACIJA TERMODINAMIČKIH VELIČINA -uz konstantni broj čestica N, matematičko riješenje je: - BOLTZMANOVA RASPODJELA! kb = 1,38*10-23 J/K, R = kb*na za dva energetska nivoa (n j i n 1 ) s degeneracijom g i i g 1 objasni na primjeru orbitala i ALA u α-heliksu - u slučaju iste degeneriranosti, energetski najniža stanja bit će zastupljenija - za T=0 sve će čestice biti u najnižem energetskom nivou
21 MOLEKULARNA INTERPRETACIJA TERMODINAMIČKIH VELIČINA - za ukupan broj čestica N: - PARTICIJSKA FUNKCIJA! daje udio molekula s energijom ε i, jako korisna za računanje prosječnih veličina - statističke zakonitosti vrijede za VELIK broj molekula u ravnoteži ili blizu ravnoteže te daju NAJVJEROJATNIJU raspodijelu
22 DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE - zašto dolazi do dijalize kad je stanje manje koncentracije ujedno i stanje veće energije s obzirom na energiju interakcije saharoza-voda? - nakon dijalize NASUMIČNOST sustava je veća, odnosno veći je broj načina (W) na koji se čestice raspoređuju
23 DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE ENTROPIJA ekstenzivno svojstvo sustava, funkcija stanja sustava, mjera nasumičnosti odnosno neuređenosti sustava (mjera spontanosti (ireverzibilnih) procesa u izoliranom sustavu definicija prof. Cvitaš). S = k b lnw - ako želimo izračunati promijenu entropije za reverzibilni proces, moramo izmjeriti ili izračunati toplinu koja se pri tom procesu apsorbira ili oslobodi - Boltzmanova raspodjela nam daje relaciju između izraza za entropiju definiranog preko statističke termodinamike i klasične termodinamike
24 DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE S = k b lnw W broj mogućnosti (načina) na koji se čestice nekog sustava mogu rasporediti W = N! / n1!n2!n3!...nj! lnw = ln(n!) ln(n1!) ln(n2!) - ln(nj!) Sterlingova aproksimacija: ln(n!) nln(n) n n i = N lnw = NlnN - n i ln(n i ) S = k b NlnN k b n i ln(ni)
25 S = k b NlnN k b n i ln(ni) DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE - infinitezimalna promijena entropije (dakle kod ravnotežnih procesa): ds = -k b n i *d(ln(n i )) - k b ln(ni)*dni dn i = d n i = dn = 0 - ukupni broj čestica je konstantan pa je gornji izraz nula BOLTZMANOVA RASPODJEA uz pretpostavku da je nema degeneracije nivoa: n i = n 1 *e Ei/kbT ln(n i ) = ln(n 1 ) - E i /k b T - izvod na papiru ds = - ( E i dni) /T = dq rev /T S = k b ln(w 2 /W 1 ) = q rev /T
26 DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE - izolirani sustav nije jednostavno postići - nas zanimaju sustavi koji s okolinom izmjenjuju energiju - za opis takvih sustava osim entropijskog, treba uvesti i entalpijski dio kod opisa termodinamičkog potencija G GIBBSOVA ENERGIJA (slobodna energija) termodinamički potencijal kod izotermno izobarnog sustava -IZVOD ZA GIBBSOVU ENERGIJU PUTEM ENTROPIJE SVEMIRA!
27 TERMODINAMIČKI POTENCIJALI - pri P,T konstantni, dg je 0 što znači da u ravnoteži pri tim uvjetima, funkicja G se nalazi u ekstremu (minimumu), odnosno pri P,T konst, svi procesi će se spontano odvijati ukoliko dovode do smanjenja G p,t konst G V,T A Q (S), P H Q (S),V - U -IZVODI!
28 DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE G je ekstezivno svojstvo, funkcija stanja izvod za term. pot. na drugi način
29 ODREĐIVANJE TERMODINAMIČKIH VELIČINA - IZVOD za relaciju G=-RTlnK (preko Boltzmanove raspodjele, za primjer DENATURACIJE PROTEINA) objasni na primjeru kompleksiranja LIGAND + PROTEIN ( G= H-T S)!
30 ODREĐIVANJE TERMODINAMIČKIH VELIČINA - MIKROKALORIMETRIJA (V 100 µl) - DSC (Differential Scanning Calorimetry), ITC (Isothermal Titration Calorimetry)
31 DSC (Differential Scanning Calorimetry) - primjer denaturacije proteina - dvije ćelije, jedna je referentna ćelija s otapalom, druga je ćelija s uzorkom - mjeri se temp obje ćelije te toplina potrebna da se održi ista temp u obje ćelije H 2( T 2) H1( T1) dh T 2 T1 CpdT
32 DSC (Differential Scanning Calorimetry) H 2( T 2) H1( T1) dh T 2 T1 CpdT - kod ove tehnike uzimamo u obzir da je entalpija funkcija temp Tm je temp kod koje je 50% proteina denaturirano, a 50% u nativnoj konformaciji. Entropiju taljenja možemo odrediti iz: Sm = Hm/Tm NEDOSTATAK: - relacije na kojima se temelji metoda su apsolutno točne samo ako imamo dvije specije u ravnoteži
33 ITC (Isothermal Titration Calorimetry) - češće se koristi od DSC jer je brža, novija, direktnija... - titriramo otopinu proteina s otopinom liganda koji dodajemo u pravilnim vremenskim razmacima - mjerimo promijenu topline kao funkciju vremena - za odrediti entalpiju moramo znati stehiometriju i konst. ravnoteže (može se automatizirati)
34 ITC (Isothermal Titration Calorimetry) - na temelju mjerenja topline odredimo entalpiju - na temelju titracije odredimo konstantu ravnoteže te iz relacije G=-RTlnK odredimo Gibbsovu energiju - iz relacije G= H - T S odredimo entropiju NEDOSTATAK: - ne može se primijeniti za sustav kod koga je Ka>10 9 M (Kd<10-9 M), ALI TO SE RIJEŠI KOMPETICIJSKIM EKSPERIMENTOM (PRINCIP KOMPETICIJSKOG EKSPERIMENTA ISTI JE ZA SVE BIOFIZIČKE METODE I OSIM KOD KALORIMETRIJE KORISTIMO GA I KOD UV,VIS, FLUORIMETRIJE, )
35 KOMPETICIJSKI EKSPERIMENT
36 PARCIJALNE MOLARNE VELIČINE (TERMODINAMIKA OTOPINA) - koristimo parcijalne molarne veličine i parcijalne specifične veličine (definirane preko mase) za opis ekstezivnih svojstava g i - masa - u biokemiji se često koriste parcijalne specifične veličine jer često ne znamo molekulsku masu makromolekule pa shodno tome ni množinu Ukupna ekstezivna veličina nekog svojstva jednaka je sumi parcijalnih molarnih veličina uz broj molova odgovarajuće komponente. ZA PRAVE OTOPINE
37 TERMODINAMIKA OTOPINA - Gibbsova energija je funkcija stanja te njen totalni diferencijal izgleda: - kemijski potencijal parcijalna molarna derivacija Gibbsove energije - pri konstatnom P i T promijena kemijskom potencijala je kriterij za spontanost procesa u otvorenom sustavu - Gibbs-Duhemova jednadžba:
38 TERMODINAMIKA OTOPINA iz GIBBS DUHEMOVE relacije proizlazi da promijene sustava nisu neovisne jedna o drugima te kemijski potencijal jedne komponente možemo izraziti preko kemijskih potencijala ostalih komponenata. - kemijski potencijal KVANTITATIVNO iskazuje promijenu energije koja prati infinitezimalnu promijenu količine pojedine komponete u sustavu
39 IDEALNE OTOPINE - tekuća smjesa - otopina -idealna otopina u kojoj se komponente ponašaju po Raoultovom zakonu (parcijalni tlak para svake komponente je proporcionalan njenom molnom udjelu u smjesi) -idealna otopina interakcije A-A = B-B = A-B H m = 0 - izvod za entropiju miješanja - izvod za Gibbsovu energiju miješanja kod idealne otopine - izvod za kemijski potencijal komponenata idealne otopine
40 TERMODINAMIKA MAKROMOLEKULARNIH OTOPINA
41 MAKROMOLEKULARNE OTOPINE - u početku su smatrane koloidnim otopinama - zbog velike mase čestica otopljenih tvari koligativna svojstva su slabije izražena (slabije izraženo sniženje ledišta i povećanje vrelišta ) - zadovoljvaju osnovni kriterije za termodinamički opis otopina dovoljno velik broj čestica (makromolekula) da u promatranom uzorku nema makroskopskih fluktuacija
42 TERMODINAMIKA (MAKROMOLEKULARNIH) OTOPINA Otopina je jednofazni sistem koji sadži više od jedne komponente. Komponenta je neovisno varijabilna kemijska tvar. broj komponenata broj molekularnih vrsta - stanje sustava određeno s 3 neovisno varirajuće komponente: T, P, količina tvari - to vrijedi za RAVNOTEŽNI sustav
43 MAKROMOLEKULARNE OTOPINE - neidealnost makromolekularnih otopina određuju: veličina makromolekula, površinski naboj makromolekula, mogućnost interakcija makromolekula (međusobno te s molekulama otapala) po obliku makromolekule dijelimo na: 1. statističko klupko 2. štapićaste 3. globularne
44 1. nasumično klupko MAKROMOLEKULARNE OTOPINE
45
46 22.0 A 16.2 A 19.7 A 18.7 A 6.6 A 5.9 A apo HpNikR HpNikR s 4 NI
47
48
49 2. štapičaste MAKROMOLEKULARNE OTOPINE
50 3. globularne MAKROMOLEKULARNE OTOPINE
51 IDEALNE OTOPINE - tekuća smjesa - otopina -idealna otopina u kojoj se komponente ponašaju po Raoultovom zakonu (parcijalni tlak para svakekomponente je proporcionalan njenom molnom udjelu u smjesi) -idealna otopina interakcije A-A = B-B = A-B H m = 0 - model pčelinjeg saća
52 IDEALNE OTOPINE
53 NEIDEALNOST OTOPINA - kako realne otopine nisu idealne, kod definiranja kemijskog potencijala otopljene tvari koristimo aktivitet odnosno koeficijent korekcije koncentracije (γ) za neidealnost, a kod otapala koeficjent korekcije molarnog udijela (f) - za otapalo vrijedi da je njegov množinski udio (χ 1 ) puno veći od onog za otopljenu tvar - u dvokomponentnoj otopini (otapalo+otopljena tvar) mozemo pisati da je množinski udio otapala χ 1 = 1 χ 2, uvrštavanjem u gornju jednadžbu i matematičkom aproksimacijom za ln(1-x) (IZVOD)
54 MAKROMOLEKULARNE OTOPINE B > 0 povoljne interakcije makromoekule i otapala ( Hm<0) B < 0 jake interakcije makromolekule s makromolekulom ( Hm>0) B << 0 DOLAZI DO ODVAJANJA FAZA
55 - može poslužiti za izoelektričnu percipitaciju pri pročišćavanju proteina
56 MAKROMOLEKULARNE OTOPINE - glavni uzrok neidealnosti makromolekularnih otopina je veličina čestica - posljedica je da nam naš model kojim smo opisali idealnu otopinu ne valja (model pčelinjeg saća) - moramo uzeti u obzir isključeni (ekskludirani) volumen čestica koji utječe na drugi virijalni koeficjent B
57
58 MAKROMOLEKULARNE OTOPINE - korekcija izraza zbog neidealnosti - kod sferičnih molekula je obično mali, ali kod štapićastih može poprimiti značajnu vrijednost kao i kod nasumičnog klupka - za molekule nasumičnog klupka postoji temperatura (Θ) kod koje je B=0 - to je uzrokovano entropijskim ili entalpijskim efektom - tada se otopina ponaša kao idealna što pretstavlja veliku važnost za fizikalno istraživanje takvih otopina
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE
PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE TERMODINAMIČKI SUSTAVI - do sada smo proučavali prijenos energije kroz mehanički rad i kroz prijenos topline - uvijek govorimo o prijenosu energije u ili iz specifičnog
Termodinamički zakoni
Termodinamički zakoni Stanje sistema Opisano je preko varijabli stanja tlak volumen temperatura unutrašnja energija Makroskopsko stanje izoliranog sistema može se specificirati jedino ako je sistem u unutrašnjoj
13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena
13. TERMODINAMIKA - dio fizike koji proučava vezu izmeñu topline i drugih oblika energije (mehanički rad) - toplinski strojevi: parni stroj, hladnjak, motori s unutrašnjim izgaranjem - makroskopske veličine:
U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA
HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi
Drugi zakon termodinamike
Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Statistička interpretacija entropije Funkcije stanja
Statistička interpretacija entropije Funkcije stanja Entalpija - pogledajmo izobarni proces iz stanja 1 u stanje 2 - rad koji je obavio sustav dan je W = P dv = P dv = P V 2 V 1 - iz prvog zakona termodinamike
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
TEHNIČKA TERMODINAMIKA
UVOD TEHNIČKA TERMODINAMIKA dr. sc. Dražen Horvat, dipl.ing. Zagreb, ožujak 2006. TERMODINAMIKA = znanost o energiji ENERGIJA = sposobnost da se izvrši rad ili mogućnost da se uzrokuju promjene PRINCIP
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Uvod u termodinamiku
Uvod u termodinamiku «Uvod u statističku fiziku» Ivo Batistić ivo@phy.hr Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2006/2007 Pregled predavanja Osnovni pojmovi Termodinamičko stanje Termodinamički
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Kemijska termodinamika
Kemijska termodinamika 1. Entalpija reakcije NH 3 (aq) + HCl(aq) NH 4 Cl(aq) odreñena je u reakcijskom kalorimetru. U kalorimetrijskoj posudi nalazilo se 20 cm 3 otopine NH 3 koncentracije 0,1 mol dm 3.
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Postupak rješavanja bilanci energije
Postupak rješavanja bilanci energije 1. Postaviti procesnu shemu 2. Riješiti bilancu tvari 3. Napisati potreban oblik jednadžbe za bilancu energije (zatvoreni otvoreni sustav) 4. Odabrati referentno stanje
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
4. Termodinamika suhoga zraka
4. Termodinamika suhoga zraka 4.1 Prvi stavak termodinamike Promatramo čest suhoga zraka mase m. Dodamo li česti malu količinu topline đq brzinom đq / dt, gdje je dt diferencijal vremena, možemo primijeniti
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
A B C D. v v k k. k k
Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Količina topline T 2 > T 1 T 2 T 1
Izvršeni rad ermodinamički sustav može vršiti rad na račun unutrašnje energije. Smatramo da je rad pozitivan ako sustav vrši rad, odnosno da je negativan ako se rad vrši nad sustavom djelovanjem vanjskih
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom
Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Prikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU METALURŠKI FAKULTET
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU METALURŠKI FAKULTET FIZIKALNA KEMIJA - predavanja doc. dr. sc. Anita Begić Hadžipašić Sisak, 016. Naslov: Fizikalna kemija Autor: doc. dr. sc. Anita Begić Hadžipašić Recenzenti: prof.
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Reverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA
BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA Akademik, prof. dr Jovan P. Šetrajčić jovan.setrajcic@df.uns.ac.rs Univerzitet u Novom Sadu Departman za fiziku PMF Powered byl A T E X 2ε! p. / p. 2/ Termika FENOMENOLOŠKA TEORIJA
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
ZBIRKA ZADATAKA IZ FIZIKALNE KEMIJE
Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za fizikalnu kemiju ZBIRKA ZADATAKA IZ FIZIKALNE KEMIJE (interna zbirka odabranih poglavlja iz Fizikalne kemije za studente Fakulteta
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Termohemija. C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5 kj
Termohemija Termodinamika proučava energiju i njene promene Termohemija grana termodinamike odnosi izmeñu hemijske reakcije i energetskih promena koje se pri tom dešavaju C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)