ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΕ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΑΠΟ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 2 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (28), σελ 97-6 ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΕ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΑΠΟ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Βλάχος Ιωάννης, Κουγιουμτζής Δημήτρης Γενικό Τμήμα, Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ ivlaxos@gen.auth.gr, dkugiu@gen.auth.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Πολλές πραγματικές χρονοσειρές προέρχονται από δυναμικά συστήματα ταλαντώσεων και χαρακτηρίζονται από ανοδικές τάσεις που ακολουθούνται από καθοδικές τάσεις χωρίς απαραίτητα να εμφανίζουν περιοδικότητα, όπως π.χ. οι καταγραφές ηλεκτροεγκεφαλογραφημάτων, το φαινόμενο El Nino και οι ηλιακές κηλίδες. Απλά χαρακτηριστικά ταλαντώσεων της χρονοσειράς, όπως τα τοπικά ακρότατα και η χρονική διάρκεια των καθοδικών ή ανοδικών τάσεων συγκεντρώνουν πληροφορία για τη δυναμική του υπό μελέτη συστήματος που ενδεχομένως να επιτρέπει την ικανοποιητική διάκριση μεταξύ διαφορετικών δυναμικών καταστάσεων. Μελετάμε τη διακριτική ικανότητα μέτρων που υπολογίζονται σε χρονοσειρές χαρακτηριστικών ταλάντωσης. Στη μελέτη συμπεριλαμβάνουμε απλά στατιστικά μέτρα όπως η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση καθώς και μέτρα καλής προσαρμογής γραμμικών και μηγραμμικών μοντέλων δυναμικής παλινδρόμησης (πρόβλεψη ενός χαρακτηριστικού ταλάντωσης από χαρακτηριστικά προηγούμενων ταλαντώσεων). Monte Carlo προσομοιώσεις σε γνωστά τεχνητά συστήματα αρμονικών αλλά και χαοτικών ταλαντώσεων σε συνδυασμό με ανάλυση με καμπύλες ROC κατέδειξαν την ικανότητα των χρονοσειρών χαρακτηριστικών να διακρίνουν καταστάσεις του συστήματος. Επίσης ήταν δυνατή σε κάποιο βαθμό η διάκριση προεπιληπτικών καταστάσεων σε καταγραφές ηλεκτροεγκεφαλογραφημάτων.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Διάκριση καταστάσεων Κάθε φυσικό σύστημα που εξελίσσεται στο χρόνο μπορεί να μεταβεί από μία κατάσταση σε άλλη με αποτέλεσμα την αλλαγή της «συμπεριφοράς» του. Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα προσδιορίζεται από κάποιες εξισώσεις και παραμέτρους και είναι σταθερό με την έννοια ότι η παρατηρούμενη χρονοσειρά από αυτό είναι στάσιμη. Υποθέτουμε επίσης ότι το σύστημα αλλάζει κατάσταση με την αλλαγή κάποιας (ή κάποιων) από τις παραμέτρους του [Basseville and Nikiforov 993]. Η συμπεριφορά του συστήματος για διαφορετικές παραμέτρους μπορεί να είναι εντελώς διαφορετική (π.χ. αλλάζει από περιοδικό σε χαοτικό ή εκφυλίζεται σε σταθερό σημείο) ή να υπάρχει μια μικρή διαφοροποίηση ανάμεσα στις δύο καταστάσεις (αλλαγή περιό

2 δου ή βάθος μνήμης του συστήματος). Το πρόβλημα που μελετάμε είναι η διάκριση δύο τέτοιων καταστάσεων και ο εντοπισμός της περιόδου μετάβασης από τη μία στην άλλη όταν δεν είμαστε σε θέση να παρατηρήσουμε τις παραμέτρους του συστήματος, αλλά μόνο μία χρονοσειρά που παράγεται από αυτό..2 Χρονοσειρές ταλαντώσεων Περιορίζουμε τη μελέτη μας σε μία ειδική κλάση χρονοσειρών, τις χρονοσειρές ταλαντώσεων, δηλαδή χρονοσειρές με διαδοχικές ανοδικές και καθοδικές τάσεις αλλά χωρίς σταθερή περίοδο. Σε αυτού του τύπου τις χρονοσειρές δεν μπορούν να προσαρμοστούν εποχικά μοντέλα και οι ισχυρές συσχετίσεις μεταξύ των τιμών τους οδηγούν σε χρησιμοποίηση μοντέλων μεγάλης τάξης. Αποτέλεσμα αυτού είναι η αύξηση της διασποράς του σφάλματος προσαρμογής και συνεπώς η ανεπαρκή μοντελοποίηση ή πρόβλεψη ακροτάτων και ταλαντώσεων. Γι αυτό προτείνουμε αντί να μελετήσουμε την αρχική χρονοσειρά, να εξάγουμε από αυτήν και να μελετήσουμε χρονοσειρές που αντιστοιχούν σε χαρακτηριστικά ταλαντώσεων [Kugiumtzis et al 26]. Παραφραστικά θα ονομάζουμε αυτές τις σειρές ως χρονοσειρές, παρότι οι παρατηρήσεις δεν αντιστοιχούν σε χρονικά βήματα, αλλά σε ταλαντώσεις. Έστω μία χρονοσειρά xn μήκους Νs. Αρχικά εντοπίζονται τα τοπικά μέγιστα xmax,t και ελάχιστα xmin,t με τη βοήθεια κινούμενου παραθύρου σταθερού μήκους. Αν υποθέσουμε ότι το μήκος του παραθύρου είναι 2q+, τότε ένα σημείο της χρονοσειράς είναι τοπικό μέγιστο (ελάχιστο) αν έχει τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή συγκρινόμενο με τα q προηγούμενα και q μεταγενέστερα του. Έχοντας τα τοπικά ακρότατα ορίζουμε το χρόνο ανοδικής τάσης ymax,t και καθοδικής τάσης ymin,t ως τη διαφορά των χρονικών στιγμών που εντοπίζονται τα ακρότατα. Με προσαρμογή ευθείας στα ενδιάμεσα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών ακροτάτων υπολογίζουμε τις τοπικές ανοδικές κλίσεις zmax,t και καθοδικές κλίσεις zmin,t. Τέλος υπολογίζουμε τη χρονοσειρά εύρους ταλάντωσης ως τη διαφορά της τιμής ενός ελαχίστου από το επόμενο μέγιστο (δxt = xmax,t - xmin,t) και τη χρονοσειρά περιόδου ταλάντωσης ως το άθροισμα διαδοχικών χρόνων ανοδικής και καθοδικής τάσης (ayt = ymax,t + ymin,t). Εξάγουμε έτσι 8 χρονοσειρές μήκους Τ, ίσο με το πλήθος των ταλαντώσεων στην αρχική χρονοσειρά μας. Συνοπτικά η όλη διαδικασία φαίνεται στο Σχήμα. Σχήμα. Χαρακτηριστικά ταλάντωσης. Ταλάντωση t- x max,t- Ταλάντωση t xmax,t z max,t- z min,t- y min,t y max,t x min,t- x min,t

3 2. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η ανάλυση χωρίζετε σε δύο μέρη: α) στον υπολογισμό μέτρων στις χρονοσειρές χαρακτηριστικών και β) στην αξιολόγηση της διακριτικής ικανότητας αυτών. Έστω ότι έχουμε μία πραγματοποίηση (χρονοσειρά) μήκους NΒ. Η πραγματοποίηση χωρίζεται σε ισομήκη τμήματα μήκους Ns<< NΒ, εξάγονται οι 8 χρονοσειρές χαρακτηριστικών για κάθε τμήμα και υπολογίζονται τα μέτρα. Για κάθε μέτρο έχουμε τελικά μία χρονοσειρά μήκους Nm= NΒ/ Ns. 2. Υπολογισμός μέτρων Υπολογίζουμε κάποια απλά στατιστικά μέτρα καθώς και κάποια μέτρα που απαιτούν προσαρμογή μοντέλων στις χρονοσειρές χαρακτηριστικών. Τα απλά στατιστικά μέτρα είναι η μέση τιμή μ(x), η διάμεσος m(x), η τυπική απόκλιση σ(x), το ενδοτεταρτομοριακό πλάτος IQRx και οι αυτοσυσχετίσεις τάξης k rk(x), όπου x είναι ένα από τα xmax,t, xmin,t, ymax,t, ymin,t, zmax,t, zmin,t, δxt,αyt. Για τα μέτρα προσαρμογής σε μοντέλα, θεωρούμε ως μεταβλητές του μοντέλου κάποια από τα χαρακτηριστικά της ταλάντωσης. Για διαφορετικές δυναμικές καταστάσεις του συστήματος μπορεί να υπάρχουν διαφορετικά κατάλληλα μοντέλα (γραμμικό/μη-γραμμικό, μικρής/μεγάλης τάξης). Στη μελέτη αυτή εφαρμόσαμε το διανυσματικό αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο (γραμμικό) και το τοπικό μοντέλο μέσου όρου (μη-γραμμικό) για ένα πλήθος τάξεων. Θεωρούμε ότι σε κάθε ταλάντωση αντιστοιχεί το διάνυσμα wt =(xmax,t, xmin,t, αyt, ymin,t). Η πρόβλεψη για ένα βήμα μπροστά με το διανυσματικό αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο τάξης P (Vector Autoregressive - VAR(P)) [Wei 25] δίνεται από τον τύπο w ˆ a A t B w t, όπου a διάνυσμα σταθερών όρων και A(B) πολυώνυμο πινάκων τάξης P ως προς τον τελεστή υστέρησης Β. Η εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου γίνεται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Για το τοπικό μοντέλο, επεκτείνουμε το τοπικό μοντέλο μέσου όρου τάξης P (Local Average Mapping - LAM(P)) για μονοδιάστατες χρονοσειρές [Kantz and Schreiber 997] σε πολυδιάστατες χρονοσειρές. Αρχικά δημιουργούμε τα διανύσματα W w, w,..., w t t t tp για t=p,,n-. Για κάθε t βρίσκουμε τα K στο πλήθος διανύσματα με τη μικρότερη απόσταση από το Wt (κοντινότεροι γείτονες) {t, t2, t3,, tk}. Η πρόβλεψη για το ένα βήμα μπροστά με το LAM(P) μοντέλο δίνεται από τον τύπο K wˆ t wt i K i Προσαρμόζουμε τα γραμμικά (l) και μη-γραμμικά (nl) μοντέλα στα δεδομένα και e p,mod p,mod,mod,mod,mod,, p 2,, p 3,, p t e t e t e t e 4, t υπολογίζουμε τα σφάλματα προσαρμογής, p=,2,,p και mod=l ή nl, όπου οι δείκτες,..,4 αντιστοιχούν στα τέσσερα χαρακτη

4 ριστικά ταλάντωσης. Θέτοντας ως Σp,mod τον πίνακα διασπορών-συνδιασπορών των σφαλμάτων και Dp,mod την ορίζουσα αυτού, υπολογίζουμε τα μέτρα σχετικής προσαρμογής pl, pnl, pnl, pl,,, R D pnl D pnll, R, R p, l p, nl p, l D D D D Σχήμα 2. Τρεις χαρακτηριστικές περιπτώσεις καμπύλων ROC. εν υπάρχει ταξινομητής Κακός διαχωρισμός Καλός διαχωρισμός A B A B AUC~ AUC~.7 AUC~ TP.6 TP.6 TP FP FP FP τα οποία εκτιμούν τη διαφοροποίηση της προσαρμογής μεταξύ γραμμικών ή μηγραμμικών μοντέλων όταν μεγαλώνει η τάξη τους (R p,l και R p,nl αντίστοιχα) καθώς και τη διαφοροποίηση της προσαρμογής μεταξύ γραμμικών και μη-γραμμικών μοντέλων ίδιας τάξης (R p,nll ). 2.2 Αξιολόγηση μέτρων Για την αξιολόγηση της διακριτικής ικανότητας των μέτρων χρησιμοποιούμε τις καμπύλες ROC (Receiver Operating Characteristic) [Fawcett 23]. Οι καμπύλες ROC χρησιμοποιούνται για να ελέγξουμε αν δύο πληθυσμοί διαφέρουν βάσει της τιμής μιας παρατηρούμενης σε αυτούς ποσότητας. Θεωρώντας ως πληθυσμούς τις διαφορετικές καταστάσεις του συστήματος και έχοντας ως παρατηρούμενη ποσότητα το κάθε μέτρο προσπαθούμε να εντοπίσουμε την αλλαγή κατάστασης από την τιμή της επιφάνειας κάτω από την καμπύλη ROC (AUC). Χωρίζουμε τη χρονοσειρά του μέτρου,έστω Sn, σε δύο τμήματα Α=[,a], Β=[a+, Nm] (όπου a είναι ο διαχωριστής). Αν στα δύο αυτά τμήματα οι τιμές του μέτρου διαφέρουν θα υπάρχει μία τιμή δ (ταξινομητής) τέτοια ώστε να τις διαχωρίζει σε μεγαλύτερες και μικρότερες αυτής. Σαρώνοντας τις δυνατές τιμές του ταξινομητή (εύρος τιμών του μέτρου) υπολογίζουμε τα ποσοστά: πλήθος τιμών του Α που ταξινομούνται στο Α # Si, i a TP= πλήθος τιμών στο Α a- πλήθος τιμών του Β που ταξινομούνται στο Α # Si, i a FP= πλήθος τιμών στο Β N a m - -

5 Για να μπορεί ένα μέτρο να διακρίνει καταστάσεις πρέπει να υπάρχει διαχωρισμός με ταξινομητή που δίνει μεγάλο TP και μικρό FP. Το εμβαδόν της επιφάνειας κάτω από το γράφημα TP(δ) ως προς FP(δ) για όλα τα δ (AUC) ποσοτικοποιεί τη διακριτική ικανότητα του μέτρου σε τιμές στο [, ] ( καθόλου διαχωρισμός, πλήρης διαχωρισμός). Έχουμε αλλαγή κατάστασης όταν υπάρχει διαχωρισμός για κάποιο a που δίνει μεγάλη τιμή του AUC. Τρία παραδείγματα για πιθανές περιπτώσεις προφίλ μέτρων και διαχωρισμών, καθώς και των αντίστοιχων καμπύλων ROC και τιμών AUC δίνονται στο Σχήμα MONTE CARLO ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Έστω ότι η πραγματοποίηση μας μήκους NΒ= αποτελείται από τρεις φάσεις: α) φάση πρώτης σταθερής κατάστασης μήκους Ν=4, β) φάση ομαλής μετάβασης μήκους Ν/2 και γ) φάση δεύτερης σταθερής κατάστασης μήκους Ν. Ως ομαλή μετάβαση ορίζουμε τη σταδιακή αλλαγή μιας ή περισσοτέρων παραμέτρων από μία τιμή π.χ. ω σε μία άλλη ω2 λαμβάνοντας όλες (στην διακριτή περίπτωση) ή κάποιες (στη συνεχή) από τις ενδιάμεσες τιμές. Υπολογίζουμε τα μέτρα σε τμήματα των Ns=4 σημείων και έχουμε τελικά Nm=25 τιμές του μέτρου ( κατάσταση, 5 μετάβαση, κατάσταση 2). 3. Συστήματα προσομοιώσεων i. Αρμονικός ταλαντωτής με αλλαγή παραμέτρων ω =.2 ->.3 (μία μετάβαση) και Α = ->.5 xt A cos( tc) t t : N(,.2 x). ii. Συζευγμένος ταλαντωτής με αλλαγή παραμέτρων (ω, ω 2 ) = (.2,.3) -> (.2,.π) -> (.e,.5π), A =A 2 = (δύο μεταβάσεις) (Σχήμα 3) A cos( ) A cos( ) N(,.2 ). xt tc 2 2tc2 t t : x iii. Mackey-Glass χαοτικό σύστημα με Δ = 7, 3,, 2, 3 (τέσσερεις μεταβάσεις) [Mackey and Glass (977)] (Σχήμα 4) dxt dt.2xt x t.x Σχήμα 3. Οι τρεις καταστάσεις του συζευγμένου ταλαντωτή. t Συζευγμένος ταλαντωτής () Συζευγμένος ταλαντωτής (2) Συζευγμένος ταλαντωτής (3) - -

6 Σχήμα 4. Τρεις καταστάσεις του Mackey-Glass (Δ=3, και 2) =3 = = μ(y max,t ) Σχήμα 5. Αποτελέσματα για τον αρμονικό ταλαντωτή μ(x max,t ) Μέτρο AUC χρόνος μ(y max,t ) 8 μ(z min,t ) 3 μ(x max,t ) 2 m(x max,t ) Αποτελέσματα Αρμονικός ταλαντωτής. Τα απλά στατιστικά μέτρα των χρονοσειρών ταλάντωσης (μέσες τιμές και διάμεσοι) διακρίνουν πλήρως τις δύο καταστάσεις σε αυτήν την περίπτωση. Αυτοσυσχετίσεις και μέτρα βασισμένα σε μοντέλα δεν αποδίδουν γιατί δεν υπάρχει αλλαγή στα μεγέθη που μετράνε. Ενδεικτικά αποτελέσματα δίνονται στο Σχήμα 5. Μεταξύ των διακεκομμένων γραμμών είναι η φάση μετάβασης. Στον ένθετο πίνακα δίνεται η τιμή του AUC και ο αντίστοιχος χρόνος εντοπισμού μετάβασης, που εδώ είναι μέσα στα χρονικά όρια [, 5]. Συζευγμένος ταλαντωτής. Για την πρώτη σύγκριση (καταστάσεις -2) τα απλά στατιστικά μέτρα αποδίδουν πάλι πολύ καλά. Στη δεύτερη σύγκριση (2-3) τα απλά στατιστικά δε μπορούν να εντοπίσουν την αλλαγή κατάστασης, ενώ πιο πολύπλοκα μέτρα όπως οι αυτοσυσχετίσεις και τα μέτρα βασισμένα σε μοντέλα το καταφέρνουν (Σχήμα 6). Mackey-Glass. Για την πρώτη σύγκριση (καταστάσεις -2) όλα τα απλά στατιστικά, καθώς και ορισμένα μέτρα βασισμένα σε μοντέλα διακρίνουν τέλεια τις καταστάσεις. Για τη δεύτερη σύγκριση (2-3) έχουμε τα ίδια αποτελέσματα με τα μέτρα βασισμένα σε μοντέλα να υπερτερούν. Στην τρίτη σύγκριση τα απλά στατιστικά δε μπορούν να διακρίνουν τις καταστάσεις ενώ κάποια μέτρα αυτοσυσχέτισης και μοντελοποίησης το καταφέρνουν. Τέλος στην τέταρτη σύγκριση κανένα μέτρο δε μπορεί να εντοπίσει την αλλαγή κατάστασης. Οι τιμές του AUC είναι αρκετά μικρές και οι χρόνοι που εντοπίζεται η αλλαγή είναι λανθασμένοι. Στο Σχήμα 7 δίνονται ενδεικτικά προφίλ μέτρων που διαχωρίζουν καλύτερα τις 4 καταστάσεις, τα επιμέρους AUC ανά σύγκριση και συγκεντρωτικές μέσες τιμές AUC για τις 4 συγκρίσεις συνολικά

7 Σχήμα 6. Αποτελέσματα για τον συζευγμένο ταλαντωτή. r 2 (x min,t ) Σχήμα 7. Αποτελέσματα για το Mackey-Glass σύστημα. R 2,l R,l.3 r 3 (x min,t ) ησύγκριση(-2) Μέτρο AUC χρόνος σ(x max,t ) 3 m(x max,t ) r 2 (x min,t ) ησύγκριση(2-3) Μέτρο AUC χρόνος r 2 (x min,t ) 4 r 3 (y min,t ) R,l R 3,nll μ(x max,t ) ησύγκριση( =7-3) 2ησύγκριση( =3-) Μέτρο AUC χρόνος Μέτρο AUC χ ρόνος μ(x max,t ) R 2,nl 7 R,l 7 r (x min,t ) 7 3ησύγκριση( =-2) 4ησύγκριση( =2-3) Μέτρο AUC χρόνος Μέτρο AUC χ ρόνος r 3 (x min,t ).99 7 r (x min,t ) R 2,l R 3,nll Συγκεντρωτικά Μέτρο Μέσο AUC R 2,l.89 r 3 (x min,t ).88 R 3,nll.87 μ(x max,t ) ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Κάναμε την ίδια ανάλυση σε έξω-κρανιακή καταγραφή EEG 4 ωρών πριν από ε- πιληπτική κρίση σε κεντρικό κανάλι με χρόνο δειγματοληψίας Hz, δηλαδή σε 44 δεδομένα που έδωσαν συνολικά N m = 48 τιμές για το κάθε μέτρο. Τα R,l και r (x min,t ) εντοπίζουν την αλλαγή κατάστασης πολύ σύντομα (περισσότερο απ ότι θα περιμέναμε). Τα προφίλ των μέτρων αυτών δείχνουν μία συνεχή αλλαγή των τι

8 μών τους. Οι μέσες τιμές και οι διάμεσοι των μεγίστων εντοπίζουν την αλλαγή σε πιο αναμενόμενο χρόνο, αλλά με μικρότερη διακριτική ικανότητα (Σχήμα 8) Σχήμα 8. Αποτελέσματα σε EEG. R,l μ(x max,t ) Μέτρο AUC χρόνος R,l r (x min,t ).93 6 μ(x max,t ).8 39 m(x max,t ) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι χρονοσειρές χαρακτηριστικών ταλάντωσης μπορούν να διακρίνουν διαφορετικές δυναμικές καταστάσεις μιας χρονοσειράς ταλάντωσης και να χρησιμοποιηθούν για τον εντοπισμό του σημείου αλλαγής κατάστασης. Σε περιπτώσεις δεδομένων χαμηλής πολυπλοκότητας ακόμα και απλά στατιστικά μέτρα όπως οι μέσες τιμές χαρακτηριστικών αποδίδουν πολύ καλά. Σε περιπτώσεις μεγάλης πολυπλοκότητας των δεδομένων είναι απαραίτητη η χρήση πιο πολύπλοκων μέτρων που λαμβάνουν υπόψη την χρονική εξέλιξη των χαρακτηριστικών καθώς και μέτρων εκτιμώμενων από περισσότερες από μία χρονοσειρές χαρακτηριστικών. Το έργο αυτό (ΠΕΝΕΔ) συγχρηματοδοτείται κατά 9% κοινά από την Ε.Ε. Ε.Κ.Τ. (75%) και από το ΥΠ.ΑΝ. Γ.Γ.Ε.Τ. (25%) και % από το Rikshospitalet, Νορβηγίας στο πλαίσιο του Μέτρου 8.3 του Ε.Π. Ανταγωνιστικότητα Γ Κ.Π.Σ.. ABSTRACT Many real life time series are generated by oscillatory dynamical systems and are characterized by upward trends followed by downward trends without exhibiting evident periodicity, e.g. electroencephalographs, the El Nino phenomenon and sunspots. Simple oscillation features, such as the local extrema and the duration of the upward and downward trends, contain information for the dynamics of the underlying system and may allow for the discrimination of different dynamic regimes of the system. We study the discriminating efficiency of measures computed on time series of oscillation features. In our study we include simple statistical measures, such as the mean value and the standard deviation, as well as goodness-of-fit measures on linear and nonlinear dynamic regression models (prediction of one oscillation feature from features of previous oscillations). Monte Carlo simulations on well known artificial systems of harmonic and chaotic oscillators in conjunction with ROC analysis showed the capability of feature time series on state discrimination. We also applied our method on EEG recordings for pre-epileptic state discrimination

9 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Basseville Μ. and Nikiforov I.V (993). Detection of Abrupt Changes: Theory and Application. Prentice-Hall, Inc. Fawcett Τ. (23). ROC Graphs: Notes and Practical Considerations for Researchers. HP Labs Tech Report HPL Kantz H. and Schreiber T. (997). Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University Press 24. Kugiumtzis D., Papana A., Tsimpiris A., Vlachos I. and Larsson P.G. (26). Time Series Feature Evaluation in Discriminating Preictal EEG States. Lecture Notes in Computer Science, Vol Mackey D. and Glass L. (977). Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems. Science 97, Wei W. (25). Time Series Analysis: Univariate and multivariate methods. Second Edition. Addison Wesley Publications

10