ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,"

Transcript

1 Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για αρκούντως καλές συναρτήσεις f. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θα υποθέσουμε ότι t 0 = 0. Υποθέτουμε ότι η f ο- ρίζεται σε κάποιο διάστημα με κέντρο το x 0, δηλαδή x 0 b < x < x 0 + b. Αναζητούμε μία συνάρτηση x = x(t) ορισμένη σε κάποιο διάστημα ( a, a) που ικανοποιεί το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ (t) = f(x), x (0) = x 0. (2.1.1) Το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης για το πρόβλημα αρχικών τιμών (2.1.1) διατυπώνεται ως εξής. Θεώρημα Εστω ότι η f έχει συνεχή παράγωγο στο διάστημα (x 0 b, x 0 + b). Τότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση x(t), τέτοια ώστε να ικανοποιεί την (2.1.1) σε κάποιο διάστημα ( a, a). Παρατήρηση Το θεώρημα εξασφαλίζει την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων τοπικά γύρω από το 0, (local existence and uniqueness theorem). Μία συντηρητική εκτίμηση του μήκους του διαστήματος ( a, a), προκύπτει κατά την απόδειξη του θεωρήματος, βλ. π.χ. [8]. Συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι, a = min {b/m, 1/K}, όπου M = max x 41 f (x), K = max f (x). (2.1.2) x

2 42ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ Στις περισσότερες περιπτώσεις το διάστημα ύπαρξης της λύσης είναι μεγαλύτερο από το (2.1.2). Οπως θα δούμε στα επόμενα παραδείγματα, το διάστημα ύπαρξης των λύσεων συχνά μπορεί να επεκταθεί, αλλά εν γένει όχι για κάθε t. Παράδειγμα Εστω f(x) = 1 + x 2, x 0 = 0, τότε έχουμε f (x) = 2x, δηλαδή f (x) είναι συνεχής σε κάθε διάστημα με κέντρο το x 0 = 0. Επομένως το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = 1 + x 2, x (0) = 0 έχει μοναδική λύση σε κάποιο διάστημα ( a, a). Πράγματι, με χωρισμό μεταβλητών βρίσκουμε dx 1 + x 2 = t + C tan 1 x = t + C, και επειδή x = 0 όταν t = 0, προκύπτει ότι C = 0. Επομένως η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών είναι x (t) = tan t, t π 2, π. 2 Ανεξάρτητα λοιπόν από την χονδρική εκτίμηση (2.1.2), το μέγιστο διάστημα ύπαρξης λύσης στο πρόβλημα αρχικών τιμών είναι το ( π/2, π/2). Ας σημειωθεί ότι οι κλάδοι της συνάρτησης tan t στα διαστήματα... ( 3π/2, π/2), (π/2, 3π/2),... δεν αποτελούν μέρος της λύσης, διότι η τιμή t = 0 δεν ανήκει σ αυτά. Παράδειγμα Εστω f(x) = x 2, x 0 = 1, τότε έχουμε f (x) = 2x, δηλαδή f (x) είναι συνεχής σε κάθε διάστημα με κέντρο το x 0 = 1, π.χ. στο διάστημα (0, 2). Επομένως το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = x 2, x (0) = 1, (2.1.3) έχει μοναδική λύση σε κάποιο διάστημα ( a, a). Πράγματι, με χωρισμό μεταβλητών βρίσκουμε ότι η λύση είναι x (t) = 1 1 t. Επειδή lim t 1 x (t) = +, αυτή ορίζεται σε κάποιο διάστημα ( a, a), με a το πολύ 1. Προφανώς η λύση μπορεί να επεκταθεί προς τα αριστερά, αλλά όχι προς τα δεξιά, δηλαδή η λύση μπορεί να επεκταθεί στο διάστημα (, 1). Το διάστημα αυτό λέγεται μέγιστο διάστημα ύπαρξης της λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών. Ας σημειωθεί ότι ο κλάδος της συνάρτησης 1/ (1 t) στο διάστημα (1, + ) δεν αποτελεί μέρος της λύσης, διότι η τιμή t = 0 δεν ανήκει στο (1, + ), Σχήμα 2.1.

3 2.1. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ xt t Σχήμα 2.1: Η λύση του προβλήματος (2.1.3). Τα παραπάνω δύο παραδείγματα είναι χαρακτηριστικά της συμπεριφοράς των λύσεων μη γραμμικών ΔΕ. Σε αντιδιαστολή με τις γραμμικές ΔΕ, μία μη γραμμική ΔΕ ẋ = f (x), ακόμα και αν η f ορίζεται και είναι παραγωγίσιμη σε ολόκληρο το R, μπορεί να έχει λύση x(t) που γίνεται μη φραγμένη σε κάποια στιγμή t = b. Με άλλα λόγια, η λύση μπορεί να υπάρχει μόνο για t σε κάποιο διάστημα (a, b). Ας σημειωθεί ακόμα ότι το σημείο ανωμαλίας της λύσης, δηλαδή το σημείο όπου η λύση απειρίζεται, εξαρτάται από την αρχική συνθήκη. Στο πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = x 2, x (0) = 0.2, η λύση είναι μία καθ όλα καλά συμπεριφερόμενη συνάρτηση στην περιοχή του t = 1 (ελέγξετέ το!), απειρίζεται όμως όταν t 5. Επειδή το σημείο ιδιομορφίας των λύσεων μετακινείται όταν αλλάζουν οι αρχικές συνθήκες, λέμε ότι οι μη γραμμικές ΔΕ εμφανίζουν κινούμενες ιδιομορφίες (movable singularities). Σε αντιδιαστολή, οι λύσεις των γραμμικών ΔΕ εμφανίζουν ιδιομορφίες σε σταθερά σημεία, εκεί όπου οι συναρτήσεις p και q στην (1.4.5) έχουν πόλους. Εξετάστε αν το θεώρημα εφαρμόζεται στα παρακάτω προβλήματα ΑΤ: ẋ = x, x (0) = 0, ẏ = y, y (0) = 1. Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = x, x 0, x (0) = 0.

4 44ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ xt Τ t Σχήμα 2.2: Γράφημα μιάς από τις λύσεις x τ. Η ΔΕ ẋ = x είναι ουσιωδώς η ΔΕ που διέπει το άδειασμα μιας δεξαμενής (ασκ. 5, Παράγραφος 1.4.1). Μία λύση είναι η x (t) = 0, t. Επίσης, για κάθε τ 0, η οικογένεια των συναρτήσεων 1 4 x τ (t) = (t τ)2, t < τ 0, t τ αποτελεί λύση (Σχήμα 2.2). Επομένως οι λύσεις στο παραπάνω πρόβλημα ΑΤ είναι άπειρες. Πώς συμβιβάζεται το αποτέλεσμα με το Θεώρημα μοναδικότητας των λύσεων; Από πλευράς Φυσικής, το αποτέλεσμα είναι καταστροφικό: Αν η δεξαμενή έχει αδειάσει τη στιγμή t = 0, δεν ξέρουμε πότε ήταν γεμάτη. 2.2 Η έννοια του δυναμικού συστήματος Η έννοια της κατάστασης ενός φυσικού συστήματος εξαρτάται από τη φυσική θεωρία που περιγράφει το σύστημα. Ετσι, η κατάσταση μιας ποσότητας ιδανικού αερίου παρίσταται από την τριάδα (P, V, T ), όπου P είναι η πίεση, V είναι ο όγκος και T είναι η θερμοκρασία του αερίου. Επομένως η κατάσταση του αερίου παρίσταται από ένα διάνυσμα του R 3. Στην κλασσική μηχανική, η κατάσταση ενός σωματιδίου που κινείται σε μία διάσταση δίνεται από τη θέση και την ταχύτητα του σωματιδίου, επομένως η κατάστασή του παρίσταται από ένα διάνυσμα του R 2. Εστω ότι η κατάσταση ενός συστήματος παριστάνεται από το x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. Το σύνολο όλων των καταστάσεων λέγεται καταστατικός χώρος, ή χώρος των φάσεων (state space or phase space).

5 2.2. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 45 Επομένως ο χώρος των φάσεων είναι ο Ευκλείδιος χώρος R n, ή ένα ανοιχτό υποσύνολο του R n. Για παράδειγμα, η κατάσταση ενός σωματιδίου στην κλασσική μηχανική προσδιορίζεται από τις τρεις συντεταγμένες της θέσης του και τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας του, επομένως ο χώρος των φάσεων έχει διάσταση 6. Θα υποθέσουμε ότι η χρονική εξέλιξη του συστήματος περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση (ΔΕ) της μορφής ẋ = f (x). (2.2.1) Στην εξίσωση αυτή, f είναι ένα διανυσματικό πεδίο στον R n με συνιστώσες (f 1, f 2,..., f n ). Ακριβέστερα, θα υποθέτουμε ότι f ορίζεται σε ένα ανοιχτό υποσύνολο E του R n και είναι συνεχώς διαφορίσιμο. 1 Θα θεωρούμε ότι ένα συνεχές δυναμικό σύστημα περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση αυτού του τύπου. Σε συνιστώσες, η (2.2.1) γράφεται ως ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης ẋ 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n ), ẋ 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n ),. ẋ n = f n (x 1, x 2,..., x n ). Μία λύση της ΔΕ (2.2.1) είναι μία διαφορίσιμη απεικόνιση φ : I R n που ορίζεται σε κάποιο διάστημα I, τέτοια ώστε αν η φ(t) αντικαταστήσει το x στην (2.2.1) να προκύπτει ταυτότητα (που περιέχει το t) για κάθε t I. Γεωμετρικά η λύση φ είναι μία καμπύλη στον R n με εφαπτόμενο διάνυσμα φ (t) ίσο με f (φ (t)). Δηλαδή μπορούμε να θεωρούμε τη λύση ως την τροχιά ενός σωματιδίου που κινείται στον R n και σε κάθε στιγμή t, η ταχύτητά του είναι ίση με το διανυσματικό πεδίο f υπολογισμένο στην θέση του σωματιδίου. Για το λόγο αυτό οι όροι λύση και τροχιά χρησιμοποιούνται ως ίδια έννοια. Η διαφορική εξίσωση (2.2.1) λέγεται αυτόνομη εξίσωση, διότι η f δεν εξαρτάται ρητά από το χρόνο. Το δυναμικό σύστημα (2.2.1) λέγεται επίσης αυτόνομο δυναμικό σύστημα, διότι η εξέλιξή του εξαρτάται από το x μόνο. Το Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης γενικεύεται για προβλήματα ΑΤ στον R n, δηλαδή για σύστημα n διαφορικών εξισώσεων με αρχικές 1 Δηλαδή f : E R n είναι τουλάχιστον κλάσης C 1 στο E. Ισοδύναμα, οι συνιστώσες του f είναι συνεχείς και έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους ως προς τις μεταβλητές x i, βλ. Παράγραφο στο Παράρτημα.

6 46ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ συνθήκες της μορφής ẋ 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n ), x 1 (0) = x 01, ẋ 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n ), x 2 (0) = x 02,.. ẋ n = f n (x 1, x 2,..., x n ), x n (0) = x 0n. (2.2.2) Το σύστημα αυτό γράφεται και με τη μορφή ẋ = f (x), x (0) = x 0, (2.2.3) όπου φυσικά x = (x 1,..., x n ) R n, και f = (f 1,..., f n ) είναι ένα διανυσματικό πεδίο στον R n. Το παρακάτω θεώρημα γενικεύει στις n διαστάσεις το Θεώρημα Θεώρημα (Το θεμελιώδες θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας). Εστω E ένα ανοιχτό υποσύνολο του R n που περιέχει το x 0 και f : E R n ένα C 1 διανυσματικό πεδίο. Τότε το πρόβλημα αρχικών τιμών (2.2.3) έχει μοναδική λύση x (t) σε κάποιο διάστημα ( a, a). Το θεώρημα αυτό εξασφαλίζει την ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης και για ΔΕ ανώτερης τάξης. Για να αντιληφθούμε καλύτερα το συμπέρασμα αυτό, ας θεωρήσουμε μία ΔΕ δεύτερης τάξης ÿ = f (y, ẏ), (2.2.4) με αρχικές συνθήκες y(0) = y 0 και ẏ (0) = v 0. Θέτουμε y = x 1, ẏ = x 2, οπότε το πρόβλημα αρχικών τιμών γράφεται ως σύστημα δύο ΔΕ πρώτης τάξης ẋ 1 = x 2, x 1 (0) = y 0, ẋ 2 = f (x 1, x 2 ), x 2 (0) = v 0. (2.2.5) Δεδομένου ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (2.2.5) έχει μοναδική λύση, συνεπάγεται ότι και το πρόβλημα (2.2.4) έχει μοναδική λύση. Με ανάλογο τρόπο, μπορούμε να δείξουμε ότι κάθε ΔΕ ανώτερης τάξης π.χ. τάξης n, ανάγεται σε σύστημα n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Γράψτε την εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή ως ένα σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Για τη λύση του συστήματος βλέπε Παράδειγμα 5.0.5, καθώς και την Παρατήρηση

7 2.2. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 47 Στο παρακάτω παράδειγμα σκιαγραφείται η έννοια του δυναμικού συστήματος και τονίζεται η σημασία του Θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας στις ντετερμινιστικές διεργασίες. Παράδειγμα Θεωρούμε την κίνηση ενός σώματος, π.χ. ενός διαστημοπλοίου μέσα στο ηλιακό σύστημα. Επιλέγουμε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων, π.χ. με αρχή των αξόνων στο κέντρο του Ηλιου. Ολα τα σώματα ( Ηλιος, πλανήτες, διαστημόπλοιο), θεωρούνται ως υλικά σημεία. Το πρόβλημα αυτό της κλασσικής μηχανικής έγκειται στην επίλυση της εξίσωσης του Νεύτωνα, F = ma. Οπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή του πρώτου κεφαλαίου, για ένα υλικό σημείο μάζας m που κινείται υπό την επίδραση μιας δύναμης F = F 1 i + F 2 j + F 3 k που είναι συνάρτηση της θέσης του σωματιδίου r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, ο νόμος F = ma γράφεται ως m r = F (r), ή ισοδύναμα ẍ = f 1 (x, y, z), ÿ = f 2 (x, y, z), z = f 3 (x, y, z), όπου f i είναι οι συνιστώσες της δύναμης διαιρεμένες με τη μάζα του υλικού σημείου, δηλαδή, f i = F i /m. Πρόκειται για ένα σύστημα τριών ΔΕ δεύτερης τάξης. Θέτουμε x = x 1, y = x 2, z = x 3, ẋ = x 4, ẏ = x 5, ż = x 6, οπότε οι παραπάνω ΔΕ εξισώσεις γράφονται ως ένα δυναμικό σύστημα ẋ 1 = x 4, ẋ 2 = x 5, ẋ 3 = x 6, (2.2.6) ẋ 4 = f 1 (x 1, x 2, x 3 ), ẋ 5 = f 2 (x 1, x 2, x 3 ), ẋ 6 = f 3 (x 1, x 2, x 3 ). Η διατεταγμένη εξάδα x := (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ), ως συνάρτηση του χρόνου περιγράφει κάθε στιγμή πλήρως την κατάσταση του υλικού σημείου, δηλαδή τη θέση του και την ταχύτητα του. Αν γνωρίζουμε την αρχική κατάσταση του διαστημοπλοίου, (αρχική θέση και αρχική ταχύτητα), δηλαδή αν γνωρίζουμε την διατεταγμένη εξάδα x (0) = (x 1 (0),..., x 6 (0)), τότε το σύστημα (2.2.6) γράφεται ως ένα πρόβλημα αρχικών τιμών της μορφής (2.2.2), ή (2.2.3). Το Θεώρημα εξασφαλίζει ότι το

8 48ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ πρόβλημα αυτό έχει μοναδική λύση. Επομένως, αν γνωρίζουμε την αρχική κατάσταση του διαστημοπλοίου η μελλοντική του κατάσταση καθορίζεται μονοσήμαντα. Από το παραπάνω παράδειγμα προκύπτει ότι το Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας έχει μεγάλη σπουδαιότητα στις φυσικές εφαρμογές. Αποτελεί τη μαθηματική διατύπωση της αρχής της αιτιοκρατίας (determinism). Κατά τον Arnol d [4], μία διαδικασία λέγεται ντετερμινιστική, αν ολόκληρο το μέλλον της και ολόκληρο το παρελθόν της, προσδιορίζονται από την κατάστασή της την παρούσα στιγμή. 2.3 Συνεχής εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες Υπενθυμίζουμε (βλ. Παράγραφο στο Παράρτημα) ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής αν απεικονίζει κοντινούς αριθμούς σε κοντινούς αριθμούς δηλαδή, αν x είναι κοντά στο y, τότε και οι εικόνες τους f(x) και f(y) είναι κοντά. Διαισθητικά λοιπόν, η συνάρτηση f είναι συνεχής αν κοντινά πρότυπα α- πεικονίζονται μέσω της f σε κοντινές εικόνες. Οπως έχουμε δει, στην περίπτωση που η f είναι συνάρτηση μόνο του t, τότε το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = f (t), x (t 0 ) = x 0 έχει μοναδική λύση την x (t) = t t 0 f (τ) dτ + x 0. Η λύση αυτή θεωρούμενη ως συνάρτηση τριών μεταβλητών, x = x(t; x 0, t 0 ) είναι συνεχής συνάρτηση των t, x 0, t 0. Το παραπάνω αποτέλεσμα ισχύει και στην γενική περίπτωση. Αποδεικνύεται δηλαδή ότι, η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών ẋ = f (x), x (t 0 ) = x 0, είναι συνεχής συνάρτηση των αρχικών δεδομένων x 0, t 0, αρκεί το διανυσματικό πεδίο f να είναι π.χ. συνεχώς διαφορίσιμο. Σύμφωνα με τον ορισμό της συνέχειας που δόθηκε πιο πάνω, συμπεραίνουμε ότι κοντινά αρχικά δεδομένα παράγουν κοντινές λύσεις. Το συμπέρασμα αυτό είναι μεγάλης σημασίας για τις εφαρμογές των ΔΕ στις φυσικές επιστήμες όπως θα δούμε αμέσως τώρα.

9 2.4. ΣΥΝΕΧΗΣ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ49 Μία φυσική θεωρία πρέπει απαντά στο ακόλουθο ερώτημα: Δίνεται η κατάσταση ενός συστήματος τη στιγμή t = 0. Ποιά είναι η κατάσταση του συστήματος κάποια άλλη στιγμή t; Με άλλα λόγια, η φυσική θεωρία είναι επιτυχής αν μπορεί να προβλέψει την χρονική εξέλιξη του συστήματος. Η θεωρία ισχυροποιείται αν η προβλεπόμενη τελική κατάσταση δεν επηρρεάζεται από αμελητέες διαφοροποιήσεις της αρχικής κατάστασης, ακριβέστερα, αν μικρές μεταβολές στην αρχική κατάσταση επιφέρουν επίσης μικρές μεταβολές στην τελική κατάσταση. Ενα παράδειγμα επιτυχούς φυσικής θεωρίας αποτελεί η κλασσική μηχανική. Το πρόβλημα της κλασσικής μηχανικής έγκειται στην επίλυση της ε- ξίσωσης του Νεύτωνα F = ma, όπου F/m = (f 1,..., f n ) είναι γνωστή συνάρτηση των θέσεων και ταχυτήτων των υλικών σημείων του συστήματος, δηλαδή η κάθε συνιστώσα της f i θεωρείται ως συνάρτηση 2n μεταβλητών, f i = f i (x 1,..., x n, ẋ 1,..., ẋ n ). Κατά συνέπεια ο νόμος του Νεύτωνα γράφεται ως ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων της μορφής ẍ i = f i (x 1,..., x n, ẋ 1,..., ẋ n ), i = 1, 2,..., n. (2.3.1) Από τη θεωρία που αναπτύξαμε στην προηγούμενη παράγραφο γνωρίζουμε ότι δοθεισών αυθαίρετων αρχικών θέσεων x 1 (0),..., x n (0) και αρχικών ταχυτήτων ẋ 1 (0),..., ẋ n (0), υπάρχει μοναδική λύση της (2.3.1) σε κάποιο διάστημα t ( a, a). Δηλαδή, η κλασσική μηχανική διατυπώνεται ως ένα πρόβλημα αρχικών τιμών. Επιπλέον για κάθε t, οι λύσεις είναι συνεχείς συναρτήσεις των αρχικών δεδομένων. Η τελευταία ιδιότητα είναι πολύ σημαντική, διότι σε φυσικά προβλήματα η γνώση των αρχικών συνθηκών προκύπτει από μετρήσεις, άρα υπόκειται σε σφάλματα. Χάρη στη συνεχή εξάρτηση των λύσεων από τις αρχικές συνθήκες, μικρά σφάλματα στα αρχικά δεδομένα δεν παράγουν μεγάλα σφάλματα στη λύση. Μια θεωρία θα έχανε την προβλεπτική της ισχύ, αν μικρές αλλαγές στα αρχικά δεδομένα επέφεραν μεγάλες αλλαγές στη λύση. Τέτοια είναι η περίπτωση των χαοτικών συστημάτων, βλ. την Παράγραφο Συνεχής εξάρτηση της λύσης από τις παραμέτρους Θεωρούμε ένα δυναμικό σύστημα όπου το διανυσματικό πεδίο f εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους µ 1, µ 2,..., µ m, που για λόγους οικονομίας τις γράφουμε ως διάνυσμα του R m, µ = (µ 1, µ 2,..., µ m ). Είναι εύλογο να

10 50ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ υποθέσουμε ότι το διανυσματικό πεδίο εξαρτάται ομαλά από τις παραμέτρους π.χ. οι συνιστώσες του, (f 1,..., f n ) είναι τουλάχιστον συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις των µ 1,..., µ m. μορφής Το δυναμικό σύστημα λοιπόν είναι της ẋ = f (x, µ), όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσης τουλάχιστον C 1 σε ένα ανοιχτό υποσύνολο E του R n R m. Ας συμβολίσουμε με φ (t, x, µ) τη λύση που τη στιγμή t 0 περνά από το x. Είναι διαισθητικά προφανές ότι, κάθε τέτοια λύση του συστήματος είναι συνεχής συνάρτηση των παραμέτρων. Και πράγματι αυτό αποδεικνύεται με όμοιο τρόπο όπως το θεώρημα της συνεχούς εξάρτησης από τις αρχικές συνθήκες, βλ. [5]. Η σημασία του θεωρήματος της συνεχούς εξάρτησης από τις παραμέτρους είναι πολύ μεγάλη για τις εφαρμογές. Αν π.χ. ένα μηχανικό σύστημα μοντελοποιείται ως αρμονικός ταλαντωτής με χαρακτηριστικές παραμέτρους m 0 και k 0 που συμβολίζουν μάζα και σταθερή ελατηρίου, τότε η χαρακτηριστική συχνότητα του ταλαντωτή είναι ω 0 = k 0 /m 0. Σε μία πραγματική μηχανική κατασκευή του υποδείγματος αυτού ουδέποτε θα επιτευχθεί μάζα ίση ακριβώς με m 0, ή σταθερή επαναφοράς ίση ακριβώς με k 0. Οι παράμετροι m και k του μηχανικού συστήματος θα διαφέρουν, έστω κατ ελάχιστον από τις m 0 και k 0. Το θεώρημα της συνεχούς εξάρτησης από τις παραμέτρους εξασφαλίζει ότι η συμπεριφορά του μηχανικού συστήματος με συχνότητα ω = k/m θα είναι παραπλήσια της συμπεριφοράς του υποδείγματος με συχνότητα ω 0. Με άλλα λόγια, μικρές μεταβολές στις παραμέτρους του συστήματος επιφέρουν μικρές μεταβολές στη λύση του προβλήματος. 2.5 Περιγραφή της απόδειξης του θεμελιώδους θεωρήματος Η απόδειξη του θεωρήματος βασίζεται στη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων. Κατ αρχάς η διανυσματική συνάρτηση x : R R n είναι μία λύση του προβλήματος αρχικών τιμών ẋ = f (x), x (0) = x 0, αν και μόνο αν η x (t) ικανοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση x (t) = x 0 + t 0 f (x (τ)) dτ. (2.5.1)

11 2.5. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ51 Πράγματι, η ολοκληρωτική εξίσωση ικανοποιεί την αρχική συνθήκη x (0) = x 0. Επιπλέον, παραγωγίζοντας την ολοκληρωτική εξίσωση προκύπτει ẋ = f (x). Οι διαδοχικές προσεγγίσεις αυτής της εξίσωσης ορίζονται από την ακολουθία συναρτήσεων για k = 0, 1, 2,... u 0 (t) = x 0, u k+1 (t) = x 0 + t 0 f (u k (τ)) dτ, (2.5.2) Παράδειγμα Λύση του προβλήματος αρχικών τιμών ẋ = ax, x (0) = x 0, με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων. Θέτουμε και υπολογίζουμε u 1 (t) = x 0 + u 2 (t) = x 0 + u 3 (t) = x 0 + Επαγωγικά λοιπόν οπότε t 0 t 0 t 0 u 0 (t) = x 0, ax 0 dτ = x 0 (1 + at), ax 0 (1 + aτ) dτ = x at + a2 t 2 ax aτ + a2 τ 2 2, 2 dτ = x at + a2 t a3 t 3 3! u k (t) = x at + a2 t ak t k, k! lim u k (t) = x 0 e at. k Τα βήματα της απόδειξης του θεωρήματος έχουν ως εξής: 1ον Αποδεικνύεται ότι η ακολουθία των συναρτήσεων (2.5.2) συγκλίνει σε κάποια συνεχή u (t), t [ a, a]. 2ον Λόγω της (2.5.1), η u (t) είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί την u (t) = f (u (t)) με u (0) = x 0. 3ον Αποδεικνύεται ότι αν v (t) είναι μία λύση του προβλήματος αρχικών τιμών, τότε u (t) = v (t), t [ a, a]. Λύστε το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = x 2, x (0) = 1 με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων..

12 52ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.6 Μή αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις µ Σχήμα 2.3: Η λύση x(t) του προβλήματος αρχικών τιμών Μέχρι τώρα εξετάσαμε αυτόνομες ΔΕ της μορφής ẋ = f(x), δηλαδή θεωρήσαμε ότι η f δεν εξαρτάται από το χρόνο. Αντίστοιχο θεώρημα με το αποδεικνύεται και για μη αυτόνομες ΔΕ με γενικό πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = f(t, x), x = x 0, όταν t = t 0. Θεωρούμε το (t 0, x 0 ) ως ένα σημείο του R 2 και υποθέτουμε ότι η f(t, x) ορίζεται σε ένα ορθογώνιο Q με κέντρο το (t 0, x 0 ) δηλαδή t 0 a < t < t 0 + a, x 0 b < x < x 0 + b. Αναζητούμε μία συνάρτηση x = x(t) ορισμένη σε κάποιο υποδιάστημα I του (t 0 a, t 0 + a) που ικανοποιεί την ẋ (t) = f(t, x), x (t 0 ) = x 0. (2.6.1) Το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης για το πρόβλημα αρχικών τιμών (2.6.1) διατυπώνεται ως εξής. Θεώρημα Εστω f ορισμένη στο ορθογώνιο Q, συνεχής και με συνεχή παράγωγο ως προς x για κάθε (t, x) Q. Τότε υπάρχει διάστημα

13 2.6. ΜΗ ΑΥΤΟΝΟΜΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 53 I (t 0 a, t 0 + a) και υπάρχει μοναδική συνάρτηση x(t), t I, τέτοια ώστε να ικανοποιεί την (2.6.1). Το μήκος του διαστήματος, I = (t 0 h, t 0 + h) προσδιορίζεται από το θεώρημα και μάλιστα αποδεικνύεται ότι h = min {a, b/m}, όπου M = max f (t, x). (t,x) Q

14

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων:

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: ΜΑΘΗΜΑ 1: ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ένα σύστημα χημικών ουσιών που υπεισέρχονται σε μια χημική αντίδραση. Η στιγμιαία κατάσταση κάθε ουσίας χαρακτηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1.

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1. Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = f (x), x (0) = x 0, (4.1.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσεως C 1 σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 004 Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ

ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Κεφάλαιο 8 ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Θεωρούμε πάλι μία ΔΕ ẋ = f (x), όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσεως C 1 σε ένα ανοιχτό υποσύνολο E του R n και έστω φ η ροή της. 8.1 Βασικοί ορισμοί Το

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 11

Λογισμός 4 Ενότητα 11 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Θεώρημα αλλαγής μεταβλητών. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΕΚΑΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Χρησιμοποιούμε τα σύμβολα f και f() d για να συμβολίσουμε όλα μαζί τα αόριστα ολοκληρώματα της f σε ένα διάστημα I. Δηλαδή, γράφουμε f = f + c ή f() d =

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ. Φυσική Θετικού Προσανατολισμου Β' Λυκείου

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ. Φυσική Θετικού Προσανατολισμου Β' Λυκείου ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Εισαγωγή Πότε έχω οριζόντια βολή; Όταν από κάποιο μικρό ύψος (Η) εκτοξεύουμε με οριζόντια ταχύτητα (υ 0 ) ένα σώμα. Πρόκειται για μια μη ευθύγραμμη κίνηση, και ο πρώτος που είχε κάποια ιδέα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί όπου δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2 Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί που δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

APEIROSTIKOS LOGISMOS I

APEIROSTIKOS LOGISMOS I APEIROSTIKOS LOGISOS I ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου. Άσκηση : Αποδείξτε με τον ορισμό ότι:. lim ( ) = +,. lim =,. lim ln( + ) = ln, + 4. lim + =. Λύση:. Θεωρούμε αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

2. Η μέθοδος του Euler

2. Η μέθοδος του Euler 2. Η μέθοδος του Euler Ασκήσεις 2.5 Έστω a = t 0 < t 1 < < t N = b ένας διαμερισμός του [a, b]. Υποθέστε ότι ο διαμερισμός είναι ημιομοιόμορφος, ότι υπάρχει δηλαδή θετική σταθερά µ, ανεξάρτητη του N, τέτοια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Μπάμπης Στεργίου. Η Αρχική Συνάρτηση. Προτάσεις. Παραδείγματα. Ασκήσεις. *** Αφιερωμένο στους συναδέλφους που μοχθούν για μια καλύτερη παιδεία.

Μπάμπης Στεργίου. Η Αρχική Συνάρτηση. Προτάσεις. Παραδείγματα. Ασκήσεις. *** Αφιερωμένο στους συναδέλφους που μοχθούν για μια καλύτερη παιδεία. Μπάμπης Στεργίου Η Αρχική Συνάρτηση Προτάσεις Παραδείγματα Ασκήσεις 016 *** Αφιερωμένο στους συναδέλφους που μοχθούν για μια καλύτερη παιδεία. Σελίδα 1 από 8 Προτάσεις και ασκήσεις στην αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI Ιουνίου 202 Απαντήστε και στα 4 Θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Διατήρηση της Ενέργειας Εικόνα: Η μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική κατά την ολίσθηση ενός παιχνιδιού σε μια πλατφόρμα. Μπορούμε να αναλύσουμε τέτοιες καταστάσεις με τις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ. 6.1 Το Θεώρημα Hartman-Grobman

Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ. 6.1 Το Θεώρημα Hartman-Grobman Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι η συμπεριφορά των λύσεων ενός δυναμικού συστήματος ẋ = f (x) κοντά σε ένα σημείο ισορροπίας x 0, καθορίζεται από το γραμμικό τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω μια δυναμοσειρά a (x ξ) = a 0 + a (x ξ) + a 2 (x ξ) 2 + με ακτίνα σύγκλισης R και με ρ = lim a. Αν x = ξ, η δυναμοσειρά συγκλίνει και έχει άθροισμα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος - Κύλιση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής αντιμετωπίζαμε κάθε σώμα που μελετούσαμε την κίνηση του ως υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής

Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής Κεφάλαιο 9 ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής ẋ = f (x, µ), (9.0.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f εξαρτάται από μία παράμετρο µ και είναι αρκούντως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Ορμή. Απλούστερη περίπτωση: σύστημα δυο σωματίων, μάζας m 1 και m 2 σε αποστάσεις x 1 και x 2, αντίστοιχα, από την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων

Ορμή. Απλούστερη περίπτωση: σύστημα δυο σωματίων, μάζας m 1 και m 2 σε αποστάσεις x 1 και x 2, αντίστοιχα, από την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων Y Ορμή ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ή ταλαντεύεται κατά την κίνησή του, υπάρχει ένα σημείο του σώματος που λέγεται Κέντρο Μάζας, το οποίο κινείται με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο θα κινιόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε την παρακάτω δ.ε. με τη δοσμένη αρχική συνθήκη. Σχεδιάστε τις χαρακτηριστικές καθώς και το γράφημα της λύσης

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0.

(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0. 1. Προβλήματα αρχικών τιμών Στο μεγαλύτερο μέρος αυτού του βιβλίου θα ασχοληθούμε με μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (Σ.Δ.Ε.). Στο πρώτο κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα