MATERIJALI I.
|
|
- θάνατος Λιάπης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MATERIJALI I Predmetni nastavnici: Prof. dr. sc. Lidija Ćurković Prof. dr. sc. Zdravko Schauperl Doc. dr. sc. Alar Željko 2. PREDAVANJE IZ MATERIJALA I ODRŽAT ĆE SE U SUBOTU OD 12:15 DO 14:00 SATI U DVORANI A (UMJESTO ČETVRTKA ). 03/10/2015 Copyright: Prof. dr. sc. Lidija Ćurković MATERIJALI I (SATNICA: 2+1) PREDAVANJA (2 školska sata): utorak, 10:15-11:00; 11:15-12:00 POČETAK VJEŽBI: četvrtak, 12:15-13:00; 13:15-14:00 U TJEDNU OD PREMA RASPOREDU KOJI ĆE BITI NA OGLASNIM PLOČAMA I WEB STRANICI FAKULTETA. Vježbe se mogu pohađati isključivo u predviđenim terminima za dodijeljenu grupu. Samo u iznimnim slučajevima (bolest ili slično) nadoknadu s nekom drugom grupom može odobriti asistentica dr.sc. Tamara Aleksandrov, utorkom i četvrtkom od 10 do 11 sati u sobi B3-207/4 (sjeverna zgrada). Podloge za vježbe su obvezne. Studenti ih mogu skinuti s web stranice Zavoda za materijale ili kupiti u skriptarnici FSB-a. web stranica Zavoda za materijale: Referent Zavoda za materijale (Ivana Lučića 1, I kat): gđa. Danica Rožman 1
2 Materijali I obuhvaćaju tri dijela: I. Uvod u strukturu materijala II. Dijagrami stanja materijala III. Mehanička svojstva materijala Predviđeni termini za kolokvije: grupe studenata koji imaju predavanja: utorkom četvrtkom 1. kolokvij: kolokvij: kolokvij: MATERIJALI I Literatura: 1. V. Ivušić, M. Franz, Đ. Španiček, L. Ćurković, Materijali I, FSB, Zagreb, F. Kovačiček, Đ. Španiček, MATERIJALI osnovne znanosti o materijalima, FSB, Zagreb, V. Ivušić, DIJAGRAMI STANJA METALA I LEGURA, FSB, Zagreb, M. Franz, MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA, FSB, Zagreb, M. Stupnišek, F. Cajner, OSNOVE TOPLINSKE OBRADBE METALA, FSB, Zagreb, I. UVOD U STRUKTURU MATERIJALA MATERIJALI su čvrste TVARI od kojih je nešto izrađeno ili sastavljeno. TVARI ili SUPSTANCIJE su bilo koji sređeni oblik postojanja MATERIJE. MATERIJA je sve što zauzima neki prostor i posjeduje masu. Materijali su samo one tvari ko je se pogodnim postupcima mogu oblikovati u predmete točno određenog oblika, veličine i uporabne vrijednosti. TEHNIČKI MATERIJALI su oni MATERIJALI od kojih se izrađuju tehnički proizvodi, a posjeduju kombinaciju povoljnih fizikalno-kemijskih svojstava koja nazivamo tehničkim svojstvima. TVAR koja posjeduje tehnička svojstva mora ispuniti još dva preduvjeta da postane TEHNIČKI MATERIJAL: - mora se moći PRERAĐIVAT - mora bit pristupačna CIJENOM. 2
3 Današnji život i proizvodnju sažeto obilježava izreka: BEZ MATERIJALA NIŠTA NE POSTOJI, BEZ ENERGIJE SE NIŠTA NE ZBIVA I BEZ INFORMACIJA NIŠTA NEMA SMISLA. Broj materijala od god. do danas ekponencijalno raste. Procjene govore da danas raspolažemo s oko različitih vrsta materijala. Broj osnovnih vrsta materijala je znatno manji, raznovrsnost se postiže variranjem SASTAVA i STRUKTURE. OSNOVNE GRUPE TEHNIČKIH MATERIJALA 1. METALI I LEGURE (kovine i slitine) Neka svojstva metala i legura: dobri su vodiči topline i elektriciteta, duktilni, kovki, čvrsti. 2. POLIMERI Neka svojstva polimera: mala gustoća, loši vodiči, tale se i razlažu pri razmjerno nižoj temperaturi. 3. KERAMIKA I STAKLA Neka svojstva keramike i stakla: tvrdi i krhki, izolatori, otporni pri povišenenim temperaturama. 4. KOMPOZITI Kompoziti su složeni materijali sastavljeni od najmanje dviju komponenti iz prethodne tri grupe. MATERIJALI u svakoj grupi imaju RAZLIČITU STRUKTURU I SVOJSTVA. STRUKTURA SVOJSTVA PRIKAZ RAZINE GRAĐE MATERIJALA Struktura materijala može se istraživati i opisati na četiri različite razine: 1. makrostruktura 2. mikrostruktura 3. nanostruktura 4. struktura na razini atoma. 3
4 STRUKTURA ČVRSTIH TVARI ovisi o: 1. VRSTI VEZA IZMEĐU STRUKTURNIH JEDINICA - strukturne jedinice: atomi, ioni, molekule, makromolekule. 2. SLAGANJU STRUKTURNIH JEDINICA: - kristalna struktura (pravilan raspored strukturnih jedinica dugog dosega), npr. metali, legure, keramika. - amorfna struktura (pravilan raspored strukturnih jedinica kratkog dosega), npr. staklo. - kombinacija kristalne i amorfne strukture, npr. polimeri, keramika. GRAĐA ATOMA ATOM ATOMSKA JEZGRA ELEKTRONSKI OMOTAČ PROTONI (p + ) NEUTRONI (n) ELEKTRONI (e - ) SHEMATSKI PRIKAZ GRAĐE ATOMA ATOMSKA JEZGRA ELEKTRONSKI OMOTAČ (elektronski oblak) Elektroni u atomu se dijele na: - valentne elektrone koji služe za vezanje atoma. - unutarnje elektrone koji ne sudjeluju u kemijskoj vezi, tj. koji zadržavaju svoju konfiguraciju u svim spojevima dotičnog elementa. Vanjsku ljusku nazivamo i valentnom ljuskom, a elektrone u valentnoj ljusci valentni elektroni. 4
5 SVAKA JE VRSTA ATOMA ODREĐENA ATOMSKIM ILI REDNIM BROJEM (Z) I MASENIM BROJEM (A). MASENI BROJ = BROJ PROTONA + BROJ NEUTRONA A = N (p + ) + N (n) ATOMSKI ILI REDNI BROJ = BROJ PROTONA = BROJ ELEKTRONA Z = N (p + ) = N (e - ) KEMIJSKI ELEMENT JE SKUP SVIH ATOMA S ISTIM ATOMSKIM ILI REDNIM BROJEM (Z). IZOTOPI su atomi određenog elementa, što znači istog atomskog broja (Z), a različitog masenog broja (A), zbog različitog broja neutrona u jezgri. Npr. Izotopi vodika (H): H, H, H 1 1 protij deuterij tricij
6 broj skupine broj periode atomski broj (Z) broj elektrona ,01 C 6 2s 2 2p 2 A r - relativna atomska masa simbol elementa ma m ( C)/12 Ar 12 a elektronska konfiguracija vanjske ljuske STRUKTURA ČVRSTIH TVARI ovisi o: 1. VRSTI VEZA IZMEĐU STRUKTURNIH JEDINICA - strukturne jedinice: atomi, ioni, molekule, makromolekule. 2. SLAGANJU STRUKTURNIH JEDINICA: - kristalna struktura (pravilan raspored strukturnih jedinica dugog dosega), - amorfna struktura (pravilan raspored strukturnih jedinica kratkog dosega), - kombinacija kristalne i amorfne strukture, npr. polimeri, keramika. ATOMI SE MEĐUSOBNO SPAJAJU ZATO ŠTO ČINE ENERGIJSKI STABILNIJI SUSTAV. VALENCIJA je svojstvo atoma nekog elementa da se spaja s određenim brojem atoma drugog elementa. ATOMI se mogu spajat međusobnim djelovanjem svojih VALENTNIH ELEKTRONA. Elektronegativnost je svojstvo atoma da privuče na svoju stranu elektronski oblak nastao stvaranjem kemijske veze. 6
7 VEZE IZMEĐU ATOMA (PRIMARNE ili KEMIJSKE VEZE): 1. IONSKA VEZA 2. KOVALENTNA VEZA 3. METALNA VEZA VEZE IZMEĐU MOLEKULA (SEKUNDARNE ili FIZIKALNE): 1. STALNI (PERMANENTNI) DIPOLI 2. PROMJENJIVI DIPOLI IONSKA VEZA - nastaje spajanjem ATOMA METALA s ATOMIMA NEMETALA. Kako nastaju ioni? neutralni atom kation (+) anion (-) IONSKA VEZA valentni elektron Na + 2s 2 2p 6 Cl - 3s 2 3p 6 IONSKA VEZA je veza koju uzrokuje elektrostatsko privlačenje suprotno nabijenih iona. 7
8 IONSKA VEZA IONSKA VEZA KOVALENTNA VEZA NASTAJE PRI SPAJANJU ATOMA NEMETALA (diobom valentnih elektrone između atoma, stvaranjem zajedničkog elektronskog para ili više). JEDNOSTRUKA KOVALENTNA VEZA: DVOSTRUKA KOVALENTNA VEZA: + TROSTRUKA KOVALENTNA VEZA: 8
9 METALNA VEZA ELEKTRONSKI PLIN (slobodni valentni elektroni) POZITIVNI METALNI IONI (jezgra + unutarnji elektroni) VEZE IZMEĐU MOLEKULA (SEKUNDARNE ili FIZIKALNE): - nastaju uslijed POLARIZACIJE molekule. POLARNOST je posljedica razlike u ELEKTRONEGATIVNOSTI elemenata koji su povezani, ali i OBLIKA (GRAĐE) molekule. Elektronegativnost je svojstvo atoma da privuče na svoju stranu elektronski oblak nastao stvaranjem kemijske veze. - mjera za POLARNOST MOLEKULE je DIPOLNI MOMENT ( ). = q a (umnožak električnog naboja i udaljenosti razmaka između pozitivnog i negativnog naboja) a -q +q 9
10 VEZE IZMEĐU MOLEKULA (SEKUNDARNE ili FIZIKALNE): A) STALNI (permanentni) DIPOLI Van der Waalsova veza: H - Cl... H - Cl Vodikova veza: H 2 O... H 2 O H F... H - F VODIKOVA VEZA B) PROMJENJIVI DIPOLI: 3. Inducirane dipolne veze: Fe O 2 4. Disperzne (Londonove) veze: F F... F F ; Ar... Ar SLAGANJE STRUKTURNIH JEDINICA ČVRSTE TVARI KRISTALNE STRUKTURE AMORFNE ili NEKRISTALNE STRUKTURE MONOKRISTALNI MATERIJALI (pojedinačni kristal) POLIKRISTALNI MATERIJALI 10
11 KRISTALNE STRUKTURE MONOKRISTALNI MATERIJALI POLIKRISTALNI MATERIJALI GRANICE ZRNA monokristal Si (silicij) turbinske lopatice ZRNA AGREGATNA STANJA TVARI: ČVRSTO (kruto) (s); KAPLJEVITO (tekuće) (l) i PLINOVITO (g) tekuće (kapljevito) (l) čvrsto (kruto) (s) KRISTALIZACIJA metala postupak skrućivanja metala iz taljevine. Monokristali Polikristali Granice zrna NUKLEACIJU I RAST. KLICE ILI NUKLEUSI KRISTALIZACIJE. BRZINA NUKLEACIJE BRZINA RASTA 11
12 Tijek kristalizacije: a) pojava prvih klica, b) i c) rast zrna i stvaranje novih klica, d) kristalizirana čvrsta tvar Kristalna struktura neke tvari jest cjelokupni poredak strukturnih jedinica (atoma, iona, molekula) u tzv. prostornoj rešetki. Jedinična ili elementarna ćelija. Jedinična Ponavljanje Ponavljanje duž osi y Ponavljanje duž osi x ćelija duž osi z KRISTALNI SUSTAV a z c b y Prema odnosu veličina parametara a, b, c i kutovima, i sve kristalne strukture mogu se prikazati u 14 vrsta jediničnih ćelija razvrstanih u 7 osnovnih kristalnih sustava. x Kristalni sustav se opisuje: - kristalnim osima: x, y, z - parametrima po kristalnim osima: a, b, c - kutovima između kristalnih osi:,,. 12
13 KRISTALNI SUSTAVI: 1. KUBIČNI ili TESERALNI (3 jedinične ćelije) 2. TETRAGONSKI (2 jedinične ćelije) 3. ROMPSKI ili ORTOROMPSKI (4 jedinične ćelije) 4. TRIGONSKI ili ROMBOEDARSKI (1 jedinična ćelija) 5. MONOKLINSKI (2 jedinične ćelije) 6. TRIKLINSKI (1 jedinična ćelija) 7. HEKSAGONSKI (1 jedinična ćelija) Kristalni sustavi i pripadajuće jedinične ćelije Kristalni sustav Jedinične ćelije 1. KUBIČNI ili TESERALNI 2. TETRAGONSKI 3. ROMPSKI ili ORTOROMPSKI 4. TRIGONSKI ili ROMBOEDARSKI Kristalni sustav Jedinične ćelije 5. MONOKLINSKI 6. TRIKLINSKI 7. HEKSAGONSKI 13
14 STRUKTURA METALA (kovina) Većina metala kristalizira u KUBIČNOM i HEKSAGONSKOM SUSTAVU. Slaganje atoma može se prikazati jediničnim ćelijama tri kristalne rešetke u kojima kristalizira oko 90 % metala, a to su: 1. PROSTORNO CENTRIRANOJ KUBIČNOJ (BCC) (BCC - eng. body centered cubic) 2. PLOŠNO CENTRIRANOJ KUBIČNOJ (FCC) (FCC eng. face centered cubic) 3. GUSTO SLAGANOJ HEKSAGONSKOJ (HCP) (HCP eng. hexagonal close packed). Pokazatelji za opisivanje jedinične ćelije: - Kristalne osi: x, y, z (poklapaju se sa stranicama jedinične ćelije). - Parametri po kristalnim osima: a, b, c (najmanja međusobna udaljenost atoma). - Kutovi među kristalnim osima:,,. - PRIPADNI BROJ ATOMA (PBA) je broj atoma koji pripada jednoj jediničnoj ćeliji. - KOORDINACIJSKI BROJ (KB) - je broj atoma koji «dodiruju» pojedini atomi, ili broj najbližih susjednih atoma. - FAKTOR GUSTOĆE SLAGANJA ATOMA (FGSA) - pokazuju kako je iskorišten prostor kojim atomi raspolažu u dotičnom kristalnom sustavu. KUBIČNI KRISTALNI SUSTAV z a Tri jedinične ćelije: jednostavna (SC) prostorno centrirana (BCC) plošno centrirana (FCC). a a y x Karakteristike: Kristalografske osi: x, y i z Kutovi: = = = 90 o. Parametri po kristalografskim osima: a = b = c 14
15 PROSTORNO CENTRIRANA KUBIČNA (BCC - eng. body-centered cubic) jedinična ćelija. Primjeri: Cr, Mo, W, - Fe, Nb, V, Na, K Model prostorno centrirane kubične jedinične ćelije: stvarni položaj atoma u prostornoj rešetki. BCC PBA = 2 4 R a KB = 8 3 FGSA = 68 % Volumen slobodnog prostora: 100 %- 68 % = 32 % PLOŠNO CENTRIRANA KUBIČNA (FCC eng. face-centered cubic) jedinična ćelija Primjeri: Al, Cu, Ag, Au, -Fe, Pb, Ni, Pt Model plošno centrirane kubične jedinične ćelije: stvarni položaj atoma u prostornoj rešetki. 15
16 4 R a 2 PBA = 4 KB = 12 FGSA = 74 % Volumen slobodnog prostora: 100 %- 74 % =26 % Ravnina najveće zaposjednutosti atomima u FCC strukturi: (111) HEKSAGONSKI KRISTALNI SUSTAV z Karakteristike: kristalografske osi: x 1, x 2, x 3 i z Kutovi: = = 90 o, = 120 o Parametri po kristalografskim osima: a 1 = a 2 = a 3 c x 3 c a a a 90 x x 1 16
17 HEKSAGONSKI KRISTALNI SUSTAV JEDINIČNA ĆELIJA GUSTO SLAGANE HEKSAGONSKE KRISTALNE REŠETKE (HCP eng. hexagonal close packed). Primjeri: Cd, Mg, Zn, Ti, Co JEDINIČNA ĆELIJA GUSTO SLAGANE HEKSAGONSKE KRISTALNE REŠETKE (HCP eng. hexagonal close packed). PBA = 6 KB = 12 FGSA = 74 % Volumen slobodnog prostora: 100 %- 74 % = 26 % a = 2 R c = 1,633 a KARAKTERISTIČNE VELIČINE BCC, FCC I HCP JEDINIČNE ĆELIJE Veličina BCC FCC HCP PBA KB FGSA 68 % 74 % 74 % Parametar a izražen polumjerom atoma R a 4R 3 2 4R a a = 2 R c = 1,633 a 17
18 OKTAEDARSKA PRAZNINA U FCC JEDINIČNOJ ĆELIJI TETRAEDARSKA PRAZNINA U BCC JEDINIČNOJ ĆELIJI z y x 1. IONSKI KRISTALI 2. KOVALENTNI KRISTALI STRUKTURA KERAMIKE JAKOST VEZE JAKE SLABE KOVALENTNA IONSKA METALNA FIZIKALNE VEZE UDIO IONSKOG KARAKTERA VEZE % (ionskog karaktera) = 1-exp -0,25(X A -X B ) X A = elektronegativnost elementa A X B = elektronegativnost elementa B IONSKI KRISTALI IONSKI KRISTALI nastaju tako da manji kationi popunjavaju praznine između većih aniona. 18
19 IONSKI KRISTALI IONSKI KRISTALI nastaju tako da manji kationi popunjavaju praznine između većih aniona. Koordinacijski broj i vrsta praznine (koordinacijski poliedar) koji kationi popunjavaju ovisi o omjeru r kationa /r aniona. r K /r A < 0,155 KB = 2 (linearni raspored) 0,155 < r K /r A < 0,225 KB = 3 (trigonalne praznine) 0,225 < r K /r A < 0,414 KB = 4 (tetraedarske praznine) 0,414 < r K /r A < 0,732 KB = 6 (oktaedararske praznine) IONSKI KRISTALI 0,732 < r K /r A < 1,000 KB = 8 (kubična praznia) r K /r A >1,000 KB = 12 (kuboktaedarska praznia) r K /r A r K /r A r K /r A nestabilno stabilno stabilno ZA STABILNU KORDINACIJU KATIONI I ANIONI MORAJU BITI U KONTAKTU! IONSKI KRISTALI Kristalna rešetka tipa NaCl (radi se o dvije isprepletene plošno centrirane kubične rešetke (FCC) r kationa = r Na+ = 0,102 nm r aniona = r Cl- = 0,181 nm r kationa /r aniona = 0,56 KB = 6 prvih susjeda (iona druge vrste) Ci - : FCC jedinična ćelija Na + : u oktaedarskim prazninama Istu kristalnu strukturu imaju: LiCl, MgO, CaO, MnO, FeO, CoO, NiO, itd. 19
20 KOVALENTNI KRISTALI Npr. ZnS -kovalentna veza dominira. r kationa = r (Zn 2+ ) = 0,06 nm r aniona = r (S 2- ) = 0,184 nm r kationa /r aniona = 0,33 KB = 4 S 2- : FCC jedinična ćelija Zn 2+ u tetraedarskim prazninama elektronegativnost (Zn) = 1,6 elektronegativnost (S) = 2,5 % (ionskog karaktera ZnS) = 1-exp -0,25(X A -X B ) = 18 % X A = elektronegativnost elementa A; X B = elektronegativnost elementa B KOVALENTNI KRISTALI: Struktura kristala u kojoj su atomi povezani kovalentnom vezom određena je brojem kovalentnih veza svakog pojedinog atoma i usmjerenošću tih veza. Koordinacijski broj određuje se relacijom: 8-N, gdje je N broj valentnih elektrona. Istu kristalnu strukturu ima npr. SiC, dijamant, Si, Ge,... KOVALENTNI KRISTALI SILIKATNA STRUKTURA - osnova 4 SiO 4 O Si O O 4-20
21 KOVALENTNI KRISTALI KRISTALNA STRUKTURA KRISTOBALITA SiO 2 može imati KRISTALNU STRUKTURU (npr. kvarc, kristobalit) ili AMORFNU STRUKTURU (npr. staklo) AMORFNA STRUKTURA struktura stakla POLIMERI POLIMERI - tvari građene od MAKROMOLEKULA. Naziv polimer dolazi od grčkih riječi: poli = mnogo i meros = čestica. Polimeri su kondenzirani sustavi makromolekula. Polimeri nastaju reakcijom polimerizacije najčešće nezasićenih spojeva s dvostrukom i trostrukom kovalentnom vezom koje su energijski bogatije i reaktivnije, npr. nastajanje PE (polietilen) n CH 2 = CH 2 - CH 2 - CH 2 - CH 2 - CH 2 - CH 2 - CH CH 2 - CH 2 - n eten ponavljana jedinica polietilen (PE) monomer mer polimer 21
22 POLIMERI Monomer jetvar koja reakcijom s molekulama iste ili različite konstitucije daje polimer. Mer je ponavljana strukturna jedinica od koje je građena makromolekula. n - stupanj polimerizacije - broj mera u polimernoj molekuli (makromolekuli). POLIMOLEKULARNOST ili POLIDISPERZNOST je pojava da se makromolekularni sustavi sastoje od smjese molekula različitih veličina i masa. Polimere dijelimo (prema porijeklu) u dvije skupine: prirodne i sintetkse polimere. Primjeri prirodnih polimera: kaučuk (poliizopren), celuloza (polisaharid), proteini, nukleinske kiseline,... PODJELA TEHNIČKIH POLIMERA: A) Prema porijeklu: - prirodni oplemenjeni(kaučuk, celuloza) - sintetski B) Prema reakcijskom mehanizmu nastajanja (reakciji polimerizacije): - adicijski (lančani) - kondenzacijski (stupnjeviti) C) Prema vrsti veza između makromolekula i ponašanju pri zagrijavanju: - plastomeri (termoplasti) - duromeri (duroplasti) - elastomeri. D) Prema vrsti ponavljanih jedinica: - homopolimeri (jedna vrsta ponavljanih jedinica) - kopolimeri (dvije ili više vrste ponavljanih jedinica) KOPOLIMERIZACIJA: isovremena polimerizacija dva ili više bifunkcionalna sustava od kojih je svaki za sebe sposoban za polimerizaciju n CH 2 =CH-CH=CH 2 (-CH 2 -CH=CH-CH 2 -) n butadien polibutadien n CH 2 =CH (-CH 2 -CH - ) n stiren polistiren Npr. kopolimer butadien : stiren = 75 : 25 predstavlja osnovu za današnju industrijsku auto gumu-sintetski kaučuk BUNA S. 22
23 B) Prema reakcijskom mehanizmu nastajanja (reakciji polimerizacije): - adicijski (lančani) - kondenzacijski (stupnjeviti) Karakteristike adicijske (lanačane) polimerizacije: - najčešće samo jedna vrsta monomera - svojstva dobivenog polimera jako ovisna o stupnju polimerizacije. Karakteristike kondenzacijske (stupnjevite) polimerizacije: - uvijek reagiraju dva različita monomera - uz polimer nastaje niskomolekulni nusprodukt (voda, CO 2 ) - umrežena struktura nastaje u nekoliko potpuno odvojenih faza (oblikovanje u fazi dobivanja). STRUKTURA POLIMERA OVISIT ĆE O: 1. VRSTI VEZA IZMEĐU MAKROMOLEKULA 2. SLAGANJU MAKROMOLEKULA Podjela polimera prema vrsti veza između makromolekula i ponašanju pri zagrijavanju: 1. PLASTOMERI (termolasti) FIZIKALNE VEZE IZMEĐU MAKROMOLEKULA LINEARNA STRUKTURA ZAGRIJAVANJEM MEKŠAJU I TALE SE Npr. - polietilen, PE; - polipropilen, PP; - polistiren, PS; - poli(tetrafluoretilen), PTFE (teflon); - polioksimetilen, POM; - poli(metil-metakrilat), PMMA (organsko staklo, Pleksiglas); - polikarbonati, PC; - poli(etilen-tereftalat), PET. 23
24 2. ELASTOMERI FIZIKALNE I KEMIJSKE VEZE IZMEĐU MAKROMOLEKULA RAHLO UMREŽENA STRUKTURA ZAGRIJAVANJEM MEKŠAJU I NE TALE SE Npr. gume 3. DUROMERI KEMIJSKE VEZE IZMEĐU MAKROMOLEKULA POTPUNO UMREŽENA STRUKTURA ZAGRIJAVANJEM NE MEKŠAJU I NE TALE SE Npr. - fenolformaldehidna smola, PF; - epoksidna smola, ES; - melamin-formaldehhidne smole, MF. SLAGANJE STRUKTURNIH JEDINICA (makromolekula) Stupanj kristaliničnosti: 5 % - 96 % PE (polietilen) područje sa kristalnom strukturom područje sa amorfnom strukturom POLIMORFIJA ili ALOTROPIJA POLIMORFIJA ili ALOTRPIJA je pojava da se neka tvar javlja u DVA ili VIŠE STRUKTURNIH OBLIKA pri promjeni vanjskih uvjeta (tlak, temperatura). Pojam ALOTROPIJA se rabi za elemente, dok se pojam POLIMORFIJA rabi za spojeve. ALOTROPSKE modifikacije Fe: do 911 o C BCC ( -Fe) o C FCC ( -Fe) 1394 o C iz FCC u BCC ( -Fe) POLIMORFNE modifikacije SiO 2 : KREMEN, KVARC 870 o C TRIDIMIT 1470 o C KRISTOBALIT 24
25 ALOTROPSKE modifikacije C DIJAMANT GRAFIT FULEREN, C 60, Buckminsterfulleren KLIZNI SUSTAV Deformacija metala ostvaruje se u pravilu na ravninama najgušće zaposjednutim atomima u smjeru pravaca najgušćeg slaganja atoma. Ravnine na kojima se ostvaruje deformiranje nazivamo KLIZNIM RAVNINAMA, a pravce KLIZNIM PRAVCIMA. KLIZNE RAVNINE i njima pripadajući KLIZNI PRAVCI čine KLIZNI SUSTAV. Ravnine najveće zaposjednutosti atomima u FCC strukturi su {111}, najgušće slagani pravce su kilzne ravnine x 3 klizna pravca = 12 kliznih sustava 25
26 BCC struktura nema ravnine najveće zaposjednutosti atomima poput FCC strukture. Relativno najgušće slagane ravnine u BCC strukturi su {110}. BCC struktura ima najgušće slagane pravce kilznih ravnina x 2 klizna pravca = 12 kliznih sustava Ravnina najveće zaposjednutosti atomima u HCP strukturi je (0001). 1 kilzna ravnina x 3 klizna pravca = 3 klizna sustava z x 3 x 2 x 1 Općenito, metali koji imaju veći broj kliznih sustava su duktilniji od metala koji imaju manji broj kliznih sustava. Zbog toga su metali sa FCC i BCC rešetkom općenito duktilni dok su metali sa HCP rešetkom manje duktilni. Što je veću plastičnu deformaciju materijal sposoban podnijeti bez loma to je duktilniji. Deformabilnost ovisi o vrsti kristalne rešetke: - FCC jednostavno za plastično deformiranje - BCC nešto slabije za plastično deformiranje od FCC - HCP teško za plastično deformiranje osim u slučaju tople obrade. 26
27 Nesavršenosti kristalne građe Difuzija Legure, kristali legura Mikrostruktura: struktura + nesavršenost (nepravilnost, pogreška) Nesavršenosti (nepravilnosti, pogreške) kristalne građe: - Nuldimenzijske ili točkaste - Jednodimenzijske ili linijske - Dvodimenzijske ili površinske - Trodimenzijske ili prostorne (volumne) Nuldimenzijske ili točkaste nesavršenosti: - praznine (vakancije) - supstitucijski (zamjenski) atom - intersticijski (uključinski) atom Praznina ili vakancija Veći supstitucijski (zamjenski) strani atom Intersticijski (uključinski) strani atom 27
28 Shematski prikaz točkastih nesavršenosti (Strelice pokazuju lokalne napetosti na mjestima gdje su točkaste nesavršenosti): 1 praznina (vakancija) 2 samo-intersticijski atom (samodifuzija kod čistih metala) 3 intersticijski atom 4 manji supstitucijski strani atom 5 veći supstitucijski strani atom Jednodimenzijske ili linijske nesavršenosti: - bridna dislokacija - vijčana dislokacija Jednodimenzijske nesavršenosti: BRIDNA DISLOKACIJA Veličina i smjer sklizanja koji proizlazi iz kretanja pojedinačne dislokacije određeni su BURGERSOVIM VEKTOROM, b. b oznaka bridne dislokacije U kristalnoj strukturi postoji jedna dodatna (umetnuta) ravnina koja se ne proteže kroz cijeli kristal nego završava negdje u unutrašnjosti. 28
29 Jednodimenzijske nesavršenosti: BRIDNA DISLOKACIJA - postoji jedna dodatna ravnina koja se NE proteže kroz cijeli kristal nego završava negdje u unutrašnjosti. Oznaka za bridnu dislokaciju: Veličina i smjer sklizanja koji proizlazi iz kretanja pojedinačne dislokacije određeni su BURGERSOVIM VEKTOROM, b. Gibanje dislokacija. Dislokacije utječu na plastičnost kristala (neelastična deformacija). Plastična deformacija rezultat je gibanja dislokacija. Klizna ravnina 29
30 Jednodimenzijske nesavršenosti: VIJČANA DISLOKACIJA Oznaka za vijčanu dislokaciju: - u dijelu kristala ravnine su pomaknute jedna u odnosu na drugu. Nema dodatne kristalne ravnine. Dislokacije u niklu (Ni) (crne linije i petlje), slika je dobivena transmisijskim elektronskim mikroskopom. Dislokacije, slika je dobivena transmisijskim elektronskim mikroskopom (povećanje je od do x) Vijčani dio dislokacije Bridni dio dislokacije Kristal prije pomaka Kristal nakon određenog pomaka Cijeli pomak kroz dio kristala Cijeli pomak kroz čitav kristal Osnovne dislokacije se mogu kombinirati i tvoriti složene linijske nesavršenosti. Realni kristali imaju miješane dislokacije (kombinacija bridne i vijčane). Dvodimenzijske nesavršenosti: - Malokutne granice kristalnog zrna - Velikokutne granice kristalnog zrna - Granice dvojnika - Fazne granice 30
31 Granice dvojnika Velikokutne granice zrna Granica zrna Kristalno zrno Malokutne granice zrna Trodimenzijske nesavršenosti: - to nisu nesavršenosti kristala već su pogreške materijala: pore, uključine... DIFUZIJA: Mehanizam kojima se tvari premještaju kroz tvari u plinovitom, tekućem i čvrstom (krutom) stanju. Difuzija je toplinski aktivirani proces, najviše ovisi o tepmeraturi i vremenu. Difuzija kod metala i legura je pojava kretanja atoma u kristalnoj rešetci. To je toplinski aktiviran proces ovisan o vremenu. U čvrstom (krutom) stanju mehanizmi kretanja atoma mogu biti: 1. Supstitucijski (zamjenski) mehanizam 2. Intersticijski (uključinski) mehanizam 31
32 1. Supstitucijski mehanizam (izmjena mjesta atoma i praznina ) 2. Intersticijski mehanizam Na intenzitet difuzije utječe: - Temperatura - Kristalna struktura - Koncentracija tvari koja difundira - Nesavršenosti kristala - Vrijeme Intenzitet difuzije označavamo s J (broj atoma, grama ili molova tvari koje prolaze kroz ravninu jedinične površine u jedinici vremena) I. Fickov zakon: kg mol brojatoma J = -D dc/dx, J ili ili m s m s m s Gdje je : D - difuznost ili koeficjent difuzije, dc/dx - gradijent koncentracije, D difuznost ili koeficijent difuzije (je mjera pokretljivosti difundirajućeg atoma) je definirana sljedećim izrazom: Gdje su: D = D o e Qd/RT, m 2 /s D o konstanta difuzije materijala (m 2 /s), Qd - energija aktivacije difuzije (J/mol), R - plinska konstanta (8,31 J/mol K), T - apsolutna temperatura (K). 32
33 STRUKTURA LEGURA ili slitina Legura je tvar koju čine dva ili više kemijskih elemenata, od kojih je barem jedan kemijski elemenat METAL, a drugi mogu biti METAL(I) i / ili NEMETAL (I). 1. KRISTALI MJEŠANCI: - supstitucijski ili zamjenski - uključinski ili intersticijski KRISTALI LEGURA: - kombinacija supstitucijsko - intersticijski odnosno zamjensko - uključinski 2. KRISTALI INTERMETALNOG SPOJA 3. KRISTALI KEMIJSKOG SPOJA 4. KRISTALE SMJESE 1. KRISTALI MJEŠANCI (primarne ČVRSTE OTOPINE) Elementi tvore zajedničku kristalnu rešetku (sačuvana je rešetka jednog od njih). Uvjeti za nastajanje kristala mješanaca: - faktor veličine atoma, - faktor elektronegativnosti, - faktor valencije, - kristalna struktura. 1. KRISTALI MJEŠANCI (primarne ČVRSTE OTOPINE) supstitucijski ili zamjenski Primjeri: - Cu-Ni legure; - Cu-Zn legure (mjedi): Zn ima topljivost u Cu do 30 % Zn; - Cr u Fe Cu-Ni legure: atomi topitelja (Fe) atomi otopljenog elementa (Cr) Cu: FCC rešetka, R (Cu) = 128 pm Ni: FCC rešetka, R (Ni) = 125 pm 33
34 1. KRISTALI MJEŠANCI (primarne ČVRSTE OTOPINE) uključinski ili intersticijski Primjer - čelici: C u Fe atomi topitelja (Fe) atomi otopljenog elementa (C) 1. KRISTALI MJEŠANCI (primarne ČVRSTE OTOPINE) kombinacija supstitucijsko - intersticijski odnosno zamjensko - uključinski (primjer: Cr, C i Ni u Fe) atomi topitelja (Fe) atomi otopljenog elementa (Cr) atomi otopljenog elementa (C) atomi otopljenog elementa (Ni) 2. KRISTALI INTERMETALNOG SPOJA (sekundarne čvrste otopine) Elementni tvore novu zajedničku rešetku. Nastaju kada koncentracija legirajućeg elementa prijeđe granicu topljivosti u osnovnom metalu. Kristali intermetalnog spoja - obje komponente metali, npr. legure Cu i Zn (mjedi s udjelom Zn preko 30 %): β CuZn, γ Cu 5 Zn 8, ε CuZn KRISTALI KEMIJSKOG SPOJA jedna komponenta je nemetal, npr. MnS (javlja se kod čelika). S je nemetal, Mn je metal; razlika u elektronegativnosti je prevelika. 34
35 4. KRISTALE SMJESE dvije komponente potpuno netopljive jedna u drugoj. Primjer: legure Cu i Pb (oba metala imaju FCC rešetku, ali je prevelika razlika u veličini atoma da bi tvorili kristale mješance). Ista kristalna struktura, razlika u elektronegativnosti nije prevelika, ali je prevelika R, %. R (Pb) - R (Cu) 0,175-0,1278 ΔR (Pb - Cu) ,93% R (Cu) 0,
KERAMIKA, BETON I DRVO
VJEŽBE: četvrtak, 12:15-14:00 KERAMIKA, BETON I DRVO Vježba 1. Ionske i kovalentne strukture Prof.dr.sc. Lidija Ćurković STRUKTURA ČVRSTIH (krutih) TVARI ovisi o: 1. VRSTI VEZA IZMEĐU STRUKTURNIH JEDINICA
Διαβάστε περισσότεραMATERIJALI I. web stranici e-kolegija: Prof. dr. sc. Lidija Ćurković
MATERIJALI I Prof. dr. sc. Lidija Ćurković 16/10/2017 Copyright: Prof. dr. sc. Lidija Ćurković MATERIJALI I (SATNICA: 2+1) PREDAVANJA (2 školska sata): ponedjeljak, 16:15-18:00 (A dvorana); utorak, 8-10
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραDoc. dr Milena Đukanović
Doc. dr Milena Đukanović milenadj@ac.me ČVRSTO AGREGATNO STANJE: Materijale u čvrstom agregatnom stanju možemo podijeliti na: Monokristalne Polikristalne Polimerne Amorfne. Riječ kristal se do kraja srednjeg
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραMašinski fakultet Sarajevo Univerzitet u Sarajevu MATERIJALI 1. prezentacija predavanja za šk.god. 2009/2010
Mašinski fakultet Sarajevo Univerzitet u Sarajevu MATERIJALI 1 prezentacija predavanja za šk.god. 2009/2010 predavanja pripremio viši asistent Ismar HAJRO mr. dipl.ing.maš. KRATAK PREGLED KURSA MATERIJALI
Διαβάστε περισσότερα1. PODELA MATERIJALA
1. PODELA MATERIJALA metali keramika polimeri VRSTE MATERIJALA kompoziti Metalni materijali Keramički materijali Polimeri Kompozitni materijali metal + keramika polimeri + keramika metal + polimeri Slika
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMaterijali I POLIMERI. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić
Materijali I POLIMERI Prof. dr. sc. Ivica Kladarić Osnove polimera Osnove polimera Područja primjene polimernih materijala Osnove polimera Riječ polimer je složenica koja potječe od grčkih riječi: πολυ
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραMATERIJALI I. Igor Gabrić. Slaven Šitić. SVEUČILIŠTE U SPLITU SVEUČILIŠNI ODJEL ZA STRUČNE STUDIJE Studij: Konstrukcijsko strojarstvo
SVEUČILIŠTE U SPLITU SVEUČILIŠNI ODJEL ZA STRUČNE STUDIJE Studij: Konstrukcijsko strojarstvo MATERIJALI I Igor Gabrić Slaven Šitić Split, rujan 2012. 2 SADRŽAJ 1 GRADA MATERIJALA 15 1.1 Atom 15 1.2 Vezivanje
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότερα1. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer STRUKTURA MOLEKULA HEMIJSKA VEZA
EMIJSKE VEZE 1 razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer STRUKTURA MLEKULA Molekul je najsitnija čestica koja se sastoji od dva ili više istih atoma, a to su molekuli elemenata: Cl 2, 2, N 2,
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPri međusobnom spajanju atoma nastaje energetski stabilniji sistem. To se postiže:
HEMIJSKE VEZE Pri međusobnom spajanju atoma nastaje energetski stabilniji sistem. To se postiže: - prelaskom atoma u pozitivno i negativno naelektrisane jone koji se međusobno privlače, jonska veza - sparivanjem
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραKristalna struktura. Kruta (čvrsta) tijela:
Kruta (čvrsta) tijela: Kristalna struktura Kristalna tijela metali (bakar, željezo,... ) šečer (kristalni), kuhinjska sol dijamanti i drago kamenje razni kristali i minerali kristalno staklo, pahulje snijega,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραKERAMIKA BETON I DRVO Podloge za vježbe
FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Zavod za materijale KERAMIKA BETON I DRVO Podloge za vježbe prof. dr. sc. Lidija Ćurković izv. prof. dr. sc. Vera Rede Marijana Majić Renjo, mag.
Διαβάστε περισσότεραDvoatomna linearna rešetka
Dvoatomna linearna rešetka Promatramo linearnu rešetku s dva različita atom u elementarnoj ćeliji. Konstanta rešetke je a. Udaljenost između susjednih različih atoma je a/2 Mase atoma su M 1 i M 2. (Neka
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραZNANOST O METALIMA Zbirka riješenih zadataka
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU METALURŠKI FAKULTET T. Matković, P.Matković, Lj.Slokar ZNANOST O METALIMA Zbirka riješenih zadataka Sisak, 010. SADRŽAJ: 1. KRISTALNE STRUKTURE METALA... 1.1. Praznine (šupljine)
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA
OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ
Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραHeterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραEstimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design
Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH
Διαβάστε περισσότεραOpća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραDINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)
Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραOsnove kemije i fizike
1 Osnove kemije i fizike 10 Tvar, masa i sila 10 Rad i energija 11 Atomi i elementarne čestice 13 Elektricitet 14 Kemijske veze 17 Mol i koncentracija 17 Difuzija 19 Kemijske reakcije 21 Voda 25 Kiseline,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραdr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju
Kovalentna veza Za razliku od ionske veze gdje se veza ostvaruje prijenosom elektrona, kod kovalentne veze ona se ostvaruje tako da u toj vezi atomi dijele jedan ili više zajedničkih elektronskih parova.
Διαβάστε περισσότεραMEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE
MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA
Διαβάστε περισσότεραVodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju
Vodik Najzastupljeniji element u svemiru (maseni udio iznosi 90 %) i sastavni dio Zvijezda. Na Zemlji je po masenom udjelu deseti element po zastupljenosti. Zemljina gravitacija premalena je da zadrži
Διαβάστε περισσότεραFizikalni sustavi i njihovo modeliranje - 2. dio
Fizikalni sustavi i njihovo modeliranje - 2. dio «Napredna kvantna fizika» Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2010 Pregled predavanja Kondov i Andersonov model Modeli čvrste
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραMetastabilni Fe-C dijagram stanja
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku STROJARSKI FAKULTET U SLAVONSKOM BRODU Metastabilni Fe-C dijagram stanja Prof. dr. sc. Ivica Kladarić Plan predavanja 1. Uvod - Općenito o kemijskim elementima Fe
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραelektronskog para samo jednog od atoma u vezi
KOMPLEKSNI SPOJEVI Spojevi u kojima se nalaze skupine atoma koji su povezani u više ili manje stabilne jedinice u krutom, tekućem, otopljenom i plinovitom stanju. Koordinacijski spojevi jer imaju koordinacijsku
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραdr Radica Prokić Cvetković, dipl. inž. met., redovni profesor dr Olivera Popović, dipl. inž. maš., vanredni profesor
Univerzitet u Beogradu Mašinski fakultet dr Radica Prokić Cvetković, dipl. inž. met., redovni profesor dr Olivera Popović, dipl. inž. maš., vanredni profesor MAŠINSKI MATERIJALI 1 I izdanje RECENZENTI:
Διαβάστε περισσότεραUvod u anorgansku kemiju Poglavlje
Poglavlje Ključni pojmovi esencijalni elementi homeostaza polumjer atoma energija ionizacije afinitet prema elektronu relativni koeficijent elektronegativnosti 1 Ciljevi Uvod u anorgansku kemiju Definirati
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότεραDeformacije. Tenzor deformacija tenzor drugog reda. Simetrinost tenzora deformacija. 1. Duljinska deformacija ε. 1. Duljinska (normalna) deformacija ε
Deformae. Duljinska (normalna) deformaa. Kutna (posmina) deformaa. Obujamska deformaa Θ Tenor deformaa tenor drugog reda 9 podatakamjerna jedinia Simetrinost tenora deformaa 6 podataka 4. Duljinska deformaa
Διαβάστε περισσότεραPripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA
Pripremila i uredila: Doc. dr. sc. Blaženka Foretić OSNOVE KEMIJSKOG RAČUNANJA Relativna skala masa elemenata: atomska jedinica mase 1/12 mase atoma ugljika C-12. Unificirana jedinica atomske mase (u)
Διαβάστε περισσότεραKEMIJA SKRIPTA ZA DRŽAVNU MATURU. Kristina Kučanda. ožujak 2015.
KEMIJA SKRIPTA ZA DRŽAVNU MATURU Kristina Kučanda ožujak 2015. Autor: Kristina Kučanda streberica.gimnazijalka@yahoo.com prema: Ispitni katalog za državnu maturu u šk. god. 2013/2014., Kemija, NCVVO www.ncvvo.hr
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραMetal u oscilirajućem električnom polju
Metal u oscilirajućem električnom polju Raspršivanje elektrona na preprekama može se tretirati kao vrst sile trenja. Jednadžba gibanja elektrona: m u = e F 0 e iωt }{{} sila el. polja γ }{{ m u }, trenje
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότερα1. PODELA MATERIJALA
1. PODELA MATERIJALA Sve što nas okružuje je materija, a deo nje pripada materijalima. Šta su materijali? Postoji više definicija materijala, a jedna od njih je da je to materija koju ljudska bića upotrebljavaju
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραFakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα