Uvod u anorgansku kemiju Poglavlje
|
|
- Περσεφόνη Ρόκας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Poglavlje Ključni pojmovi esencijalni elementi homeostaza polumjer atoma energija ionizacije afinitet prema elektronu relativni koeficijent elektronegativnosti 1 Ciljevi Uvod u anorgansku kemiju Definirati esencijalne elemente Uočiti ulogu elemenata u izgradnji organizma i njegovu održavanju Objasniti pojam homeostaze Upozoriti na sličnost svojstava elemenata iste skupine Objasniti periodičnost svojstava elemenata
2 1. Uvod u anorgansku kemiju Tablica 1 Biološki važni elementi. Crvenom bojom označeni su elementi esencijalni za život, tzv. esencijalni elementi, a plavom bojom označeni su elementi neophodni samo u tragovima. PRIMJENA U MEDICINI Kemijski elementi neophodni organizmima za život zajedno s ugljikom, vodikom, kisikom i dušikom (koji čine organske spojeve) su: K: primarni elektrolit Cl: održavanje kiselo-bazne ravnoteže, pravilan rad bubrega, čuvar kalija u organizmu Na: primarni elektrolit Ca: potreban za zdravlje mišića, srca, probavnog sustava, gradi kosti, podržava sintezu i funkciju krvnih stanica P: ulazi u sastav kostiju i stanica Mg: neophodan za metabolizam, kontrakciju mišića i prijenos živčanih signala 1.1. Biološka važnost elemenata Iako pod kemijom živih bića najčešće podrazumijevamo organsku kemiju i ugljikove spojeve, mnogi drugi elementi i njihovi spojevi imaju veliku važnost za živa bića. U tablici 1 koja predstavlja elemente periodnog sustava crvenom bojom označeni su najzastupljeniji elementi neophodni za život. Njih nazivamo esencijalni elementi. Plavom bojom označeni su elementi potrebni samo u tragovima. To su takozvani mikroelementi koji su organizmu potrebni samo u jako malim količinama. Esencijalne elemente dijelimo na mikroelemente i makroelemente. Za razliku od mikroelemenata koji su potrebni samo u tragovima naš organizam treba makroelemente u znatnim količinama. Manjak esencijalnih elemenata, pa čak i onih potrebnih samo u tragovima, u organizmu izaziva oštećenja. Isto tako i njihov prekomjereni unos može imati negativan učinak na organizam. Zato je od izrazite važnosti pravilnom prehranom unositi dostatne količine esencijalnih elemenata. Više od 97 % mase većine organizama tvori samo šest elemenata: kisik, ugljik, vodik, dušik, fosfor i sumpor. Maseni udio kemijskih elemenata u ljudskom tijelu sa pripadajućim postocima prikazan je na slici 1-1. Voda pak je najčešći spoj u živim organizmima. Na nju otpada oko 70 % mase. U raznim živim organizmima pronađena su još 23 različita elementa. Neki od njih su organizmu potrebni u obliku iona, kao što su Ca 2+, Cl, Mg 2+, K + i Na +. Svi ti ioni imaju vitalnu ulogu u metaboličkim procesima u organizmu. Slika 1-1 Maseni udio kemijskih elemenata u ljudskom tijelu. Osim najzastupljenijh elemenata, kisika, ugljika i vodika, u ljudskom tijelu su prisutni dušik (3 %), kalcij (1,6 %) I fosfor (1,2 %) 8 Uvod u anorgansku kemiju
3 PRIMJENA U MEDICINI Vitamini su spojevi organskog podrijetla koji su nužni za pravilno funkcioniranje organizma. S obzirom na topivost dijele se u dvije osnovne skupine: topivi u mastima (A, D, E i K vitamini) topivi u vodi (B-kompleks i C-vitamin) Natrij i kalij izrazito su važni mikroelementi za ljude. Mehanizam koji održava stalnu ravnotežu između natrijevih i kalijevih kationa te prenosi natrijeve katione iz stanice, a kalijeve katione u stanicu naziva se natrij/kalij crpka. Taj je mehanizam odgovoran za održavanje staničnog membranskog potencijala i o njemu ćete više učiti na satima biologije. Cink je sastavni dio enzima koji, primjerice, u probavnom sustavu sudjeluju u razgradnji bjelančevina, u gušterači pomaže kod skladištenja inzulina. Nedostatak cinka izaziva razne poremećaje u organizmu kao što su upalni procesi na koži, teško zarastanje rana, smanjena otpornost organizma na infekcije. Nedostatak cinka može se relativno lako uočiti: na noktima se javljaju bijele pjege i linije. Od elemenata potrebnih samo u tragovima spomenuti ćemo primjerice bakar i jod. Bakar je potrebno unositi u organizam jer je važan kao pomoć kod sinteze hemoglobina, za pravilno funkcioniranje organa i metaboličke procese. Jod je ljudima potreban za sintezu hormona štitnjače. Njegov manjak izaziva bolest gušavost. Za pravilno funkcioniranje organizma potrebno je, dakle, unositi dovoljne količine esencijalnih elemenata. Pritom treba pripaziti na preporučene vrijednosti. Dok pri unosu vitamina postoji relativno širok raspon vrijednosti koje još uvijek nisu štetne za organizam, minerali mogu biti otrovni ako se unese samo malo veća količina od preporučene. To se pogotovo odnosi na elemente potrebne samo u tragovima, kao što su željezo i bakar. Slučajno uzimanje dodataka prehrani koji sadrže željezo može izazvati smrtne posljedice kod male djece. Isto tako treba paziti na unos više vrsta minerala zajedno. Tako dodatni unos željeza može poremetiti apsorpciju cinka, dok pak cink može smetati kod apsorpcije bakra. S druge strane, važan je i izvor minerala ako je iz hrane. Tako se općenito bolje apsorbiraju minerali životinjskog podrijetla od onih biljnog podrijetla. U svakom je slučaju potrebno posvetiti izrazitu pozornost hrani koju unosimo u organizam. Ljudski je organizam vrlo osjetljiv i složen. Za njegovo je pravilno funkcioniranje značajna homeostaza. Pod pojmom homeostaza podrazumijeva se održavanje stabilnih uvjeta u organizmu. Odnosno, mogli bismo reći homeostaza je autonomni proces pomoću kojeg sustav zadržava ravnotežu prilagođavajući optimalne uvjete za preživljavanje. Na taj se način postiže stabilnost sustava, odnosno organizma. Organizam je u stanju dinamičke ravnoteže. Kad dođe do poremećaja, bilo zbog unutarnjeg ili vanjskog čimbenika, uključuje se sustav koji uspostavlja novu ravnotežu. Taj je proces nužan za preživljavanje i za održavanje ljudske vrste. Slika 1-2 Piramida pravilne prehrane 9
4 1.2. Periodičnost svojstava U prvom razredu naučili smo kako su atomi svrstani u periodni sustav elemenata i što uzrokuje sličnost u kemijskim svojstvima elemenata unutar pojedinih skupina te kako je struktura atoma povezana s njegovim položajem u periodnom sustavu elemenata (vidi Kemija 1, 3. poglavlje). Sada ćemo detaljnije proučiti kako se unutar periodnog sustava elemenata mijenjaju pojedina svojstva kao što su: polumjer atoma, energija ionizacije, polumjer iona, afinitet prema elektronu i relativni koeficjent elektronegativnosti. Polumjer atoma Često o atomima razmišljamo kao o kuglicama čvrsto definiranih granica. Prema kvantno mehaničkom modelu atoma govorimo o gustoći elektronskog oblaka koji se proteže daleko od jezgre. Prema tome atom nema čvrsto definiranu granicu. Ipak, kad govorimo o veličini atoma mislimo na područje koje obuhvaća oko 90 % gustoće elektronskog oblaka. No mnoga fizikalna svojstva atoma, kao gustoća, talište i vrelište, vezana su uz veličinu atoma. Stoga je veličina atoma važan podatak. Veličinu atoma izraziti ćemo preko njegovog polumjera. Pod pojmom polumjer atoma podrazumijevamo polovicu razmaka između jezgri susjednih atoma. Za elemente koji su spojeni u trodimenzionalnoj rešetki, što je slučaj kod metala, za polumjer atoma uzima se polovica razmaka između susjednih atoma kao što prikazuje slika 1-3. Kod elemenata koji se u elementarnom stanju javljaju kao dvoatomne molekule polumjer atoma jednak je polovici razmaka između središta dvaju atoma u molekuli, što je prikazano na slici 1-4. Takav polumjer nazivamo kovalentnim polumjerom. Sad kad smo definirali polumjer atoma, zanima nas kako se mijenja polumjer atoma kad proučavamo elemente unutar periodnog sustava. Da se podsjetimo, elementi su u periodnom sustavu poredani po rastućem atomskom broju, odnosno broju protona. Svaki sljedeći element ima jedan proton, ali i jedan elektron više od svog prethodnika. Također se povećava i broj neutrona. Za očekivati bi bilo da se povećava i polumjer atoma s porastom atomskog broja, odnosno kako se pomičemo s lijeva na desno unutar periodnog sustava, ali to nije tako. S obzirom na to da se povećava broj protona i broj elektrona, raste i privlačna sila između pozitivno nabijene jezgre i negativno nabijenog elektronskog omotača te se stoga smanjuje polumjer atoma. Slika 1-3 Polumjer atoma jednak je polovici razmaka između dva susjedna atoma u rešetki (primjerice berilija) Slika 1-4 Kod elemenata koji u elementarnom stanju dolaze kao dvoatomne molekule polumjer atoma jednak je polovici razmaka između središta atoma, govorimo o kovalentnom polumjeru atoma (primjerice klor) Polumjer atoma povećava se unutar periode s desna na lijevo. Kako se mijenja polumjer atoma unutar skupine periodnog sustava? Svaka sljedeća perioda ima jednu ljusku više od prethodne pa je razumljivo da se i polumjer atoma povećava unutar pojedine skupine. Polumjer atoma raste unutar skupine odozgo prema dolje. 10 Uvod u anorgansku kemiju
5 povećanje polumjera atoma povećanje polumjera atoma Slika 1-5 Promjena atomskih polumjera reprezentativnih elemenata s obzirom na njihov položaj u periodnom sustavu elemenata Napomena anion X kation Y + Polumjer iona Dosad smo između ostalog naučili da su atomi neutralne čestice. Imaju jednak broj protona i elektrona. U određenim situacijama atomi mogu otpuštati ili primati elektrone. Na taj način nastaju nove čestice koje nazivamo ioni. Ioni više nisu neutralne čestice. Otpuštanjem ili primanjem elektrona poremetila se ravnoteža između pozitvnih i negativnih naboja. Čestica koja se na taj način dobije jest za razliku od neutralnih atoma električki nabijena. Ioni su električki nabijene čestice. Gubitkom elektrona atom postaje pozitivno nabijeni ion kation, a primanjem elektrona negativno nabijeni ion anion. Y Y + + e X + e X 11
6 polumjer / pm a) polumjer / pm b) 1 Slika 1-6 Usporedba atomskih i ionskih polumjera za: a) alkalijske metale b) halogene elemente Vidjeli smo kako se mijenja polumjer atoma unutar perioda i skupina u periodnom sustavu elemenata. Sad nas zanima kako će se mijenjati polumjer iona. Isto kao i kod atoma, veličina polumjera iona ovisi o naboju jezgre, ukupnom broju elektrona i o elektronskoj konfiguraciji. Za očekivati je da će doći do nekakve promjene u veličini atoma kad on postane nabijena čestica. Atomu koji otpusti jedan elektron ili više njih smanjuje se polumjer. Pozitivno nabijena jezgra jače privlači preostale elektrone pa je polumjer nastalog kationa manji od polumjera atoma od kojeg je taj kation nastao. To je prikazano na slici 1-6 a za alkalijske metale. S druge strane atomu se kod primanja elektrona povećava polumjer. Naboj jezgre ostaje isti, ali sad dolazi do izražaja veća odbojna sila između većeg broja elektrona te je polumjer aniona veći od polumjera atoma od kojeg je taj anion nastao (slika 1-6 b). Polumjer kationa manji je od polumjera atoma. Polumjer aniona veći je od polumjera atoma. Slika 1-7 Relativna veličina nekih iona Promotrimo sljedeći niz iona: O 2, F, Na +, Mg 2+ i Al 3+ na slici 1-7. Svi nabrojeni ioni imaju jednak broj elektrona, deset. S porastom nabojnog broja iona (od negativnijeg prema pozitivnijem) smanjuje se polumjer iona jer broj elektrona ostaje isti pa više do izražaja dolazi privlačna sila jezgre. Pa tako ion kisika koji ima najmanji atomski broj ima najveći polumjer, a ion aluminija čiji je atomski broj u tom nizu najveći ima najmanji polumjer. 12 Uvod u anorgansku kemiju
7 Primjer 1 Poredaj sljedeće atome prema porastu prve energije ionizacije: natrij, sumpor, kalij, fluor. Rješenje: Prva energija ionizacije povezana je s polumjerom atoma. Što je polumjer atoma manji, energija ionizacije je veća. Polumjeri atoma su redom od najmanjeg prema većem: fluor, sumpor, natrij i kalij. Stoga za energije ionizacije vrijedi: E i,1 (K) < E i,1 (Na) < E i,1 (S) < E i,1 (F). Energija ionizacije Kemijska svojstva svakog atoma uvelike su određena njegovom valentnom ljuskom. Njezina stabilnost, odnosno popunjenost utječe na to hoće li neki atom ili ion i kako stupiti u određenu kemijsku reakciju. Kod kemijskih reakcija, odnosno promjena, dolazi do promjene energije. Minimalnu energiju potrebnu za odvajanje elektrona od atoma ili iona u plinovitom stanju nazivamo energijim ionizacije i označavamo E i. Energija ionizacije je energija potrebna da se atomu ili ionu u plinovitom stanju oduzme elektron. Energiju koju moramo uložiti da bi oduzeli elektron atomu u plinovitom stanju nazivamo prva energija ionizacije i označavamo E i,1, te pišemo: E i,1 M(g) M + (g) + e. Ako želimo tom, novonastalom ionu M + oduzeti još jedan elektron, moramo opet uložiti energiju. Tu energiju nazivamo druga energija ionizacije, E i,2 : E i,2 M + (g) M 2+ (g) + e. Slično definiramo treću energiju ionizacije, E i3 i sve sljedeće: E i,3 M 2+ (g) M 3+ (g) + e. prve energije ionizacije / KJ/mol Kad atomu oduzmemo elektron smanji se odbojna sila između preostalih elektrona. S obzirom da naboj jezgre ostaje isti jer se nije promijenio broj protona, svaki je sljedeći elektron sve teže odvojiti. Zato je svaka sljedeća energija ionizacije veća od one prethodne: E i,1 < E i,2 < E i,3 <... Graf na slici 1-7 prikazuje ovisnost prve energije ionizacije o atomskom broju Z za neke elemente. Iz grafa možemo očitati neke zanimljive podatke. 1 Slika 1-8 Ovosnost prve energije ionizacije o atomskom broju atomski broj 13
8 Tablica 2 Energije ionizacije za elemente treće periode element Vidimo da se prva energija ionizacije unutar periode povećava s atomskim brojem (znači unutar periodnog sustava s lijeva na desno). Primjerice, prva je energija ionizacije neona veća od one za litij. Razlog tome je što s povećanjem atomskog broja Z raste i naboj jezgre, pa jezgra jače privlači valentne elektrone. Potrebno je više energije da bi atomu oduzeli elektrone. Isto tako možemo vidjeti da najviše energije ionizacije imaju atomi plemenitih plinova i to redom: E i,1 (He) > E i,1 (Ne) > E i,1 (Ar)... Objašnjenje tako visokih energija ionizacije opet se krije u elektronskoj konfiguraciji. Plemeniti plinovi imaju potpuno popunjenu vanjsku ljusku što predstavlja stanje maksimalne stabilnosti. Zato helij sa samo jednom ljuskom elektronske konfiguracije 1s 2 ima najvišu energiju ionizacije od svih elemenata. Ako na grafu potražimo elemente s najnižom energijom ionizacije, vidimo da su to elementi iz 1. skupine (s iznimkom vodika). Svi oni imaju konfiguraciju valentne ljuske ns 1, odnosno jedan valentni elektron. Energetski gledano, lako je atomu oduzeti taj jedan elektron iz valentne ljuske. Također možemo zapaziti da se s povećanjem atomskog broja unutar skupine (odozgo prema dolje) smanjuje prva energija ionizacije. Razlog je u tome što je svaki sljedeći atom unutar određene skupine sve veći i elektroni su sve udaljeniji te se smanjuje energija ionizacije. Energije ionizacije / kj mol 1 E i,1 E i,2 E i,3 E i,4 E i,5 E i,6 E i,7 Na Mg Al Si P S Cl Ar U tablici 2 navedene su energije ionizacije za elemente treće periode. Kod svih elemenata možemo zapaziti nagli skok između dviju energija ionizacije. Kod natrija je to između prve i druge energije ionizacije, dok je kod magnezija između druge i treće. Razlog tome je što natrij i svi drugi alkalijski metali oduzimanjem jednog elektrona postižu elektronsku konfiguraciju prethodnog plemenitog plina. Za nju smo već rekli da predstavlja stanje maksimalne stabilnosti. 14 Uvod u anorgansku kemiju
9 Napomena Egzotermni procesi: energija se oslobađa Endotermni procesi: energija se veže (apsorbira) Stoga je teško oduzeti još jedan elektron i zato postoji nagli skok između prve i druge energije ionizacije. Na sličan način možemo objasniti skok između druge i treće energije ionizacije kod magnezija i drugih zemnoalkalijskih metala. Za oduzimanje trećeg elektrona, iz zadnje, popunjene ljuske, potrebno je uložiti mnogo veću energiju. Kad god želimo oduzeti elektron iz popunjene ljuske potrebna je jako visoka energija ionizacije kao što je to i bio slučaj kod atoma plemenitih plinova. Iz ovih saznanja možemo doći do zaključka koji će metali biti reaktivniji. Što metal ima nižu prvu energiju ionizacije, to će lakše stupiti u kemijsku reakciju, bit će reaktivniji. Znači, najnižu prvu energiju ionizacije imaju atomi alkalijskih metala pa za njih kažemo da lako stupaju u kemijske reakcije, reaktivni su. Što je s nemetalima o tom pitanju, znat ćemo kad upoznamo još jedno bitno svojstvo afinitet prema elektronu. Afinitet prema elektronu Prva energija ionizacije je promjena energija povezana s oduzimanjem elektrona atomu, pri čemu nastaju pozitivno nabijeni ioni. Ta je energija pozitivna, što znači da moramo uložiti energiju da bi atomu oduzeli elektron. Međutim, znamo da postoje atomi koji primaju elektrone i pri tom nastaju negativno nabijeni ioni. Promjenu energije koja se događa kad atomu u plinovitom stanju dodamo elektron nazivamo afinitet prema elektronu. Kod većine se nemetala energija oslobađa dodavanjem elektrona. Afinitet prema elektronu je promjena energije koja se događa kad atomu u plinovitom stanju dodamo elektron. Pogledajmo to na primjeru klora: Cl(g) + e Cl ΔE = 349 kj mol -1 [Ne]3s 2 3p 5 [Ne]3s 2 3p 6 Negativan predznak energije govori nam da se radi o egzotermnom procesu, energija se oslobodila tijekom tog procesa. Dok je energija ionizacije uvijek endotermni proces (potrebno je uložiti energiju za oduzimanje elektrona), primanje elektrona može biti i egzoterman i endoterman proces. Da bismo to pojasnili, moramo se opet prisjetiti elektronske konfiguracije. Nemetali imaju gotovo popunjenu vanjsku ljusku. Vidimo na primjeru klora da do popunjene vanjske ljuske nedostaje samo jedan elektron. Znači da je klor primanjem elektrona postigao stanje potpune stabilnosti. Ako želimo anionu klora dodati još jedan elektron, moramo uložiti energiju. Takav je proces endoterman. 1 15
10 porast relativnog koeficijenta elektronegativnosti 1 Napomena Prvu je ljestvicu elektronegativnosti, na temelju podataka, napravio američki kemičar Linus Pauling. Prema toj je ljestvici atomu fluora dodijeljena najveća elektronegativnost 4,0, a atomu cezija najmanja 0,7. Tablica 3 Relativni koeficijenti elektronegativnosti Napomena Ako je razlika elektronegativnosti između dva atoma veća ili jednaka 2,0 veza je pretežno ionskog karaktera. 16 Uvod u anorgansku kemiju Relativni koeficijent elektronegativnosti Sposobnost atoma da privuče prema sebi elektrone u kemijskoj vezi s drugim atomima još je jedno svojstvo atoma koje utječe na fizikalna i kemijska svojstva tvari. To svojstvo, odnosno sposobnost atoma, nazivamo elektronegativnost. Što je veća elektronegativnost, to će jače atom privući elektrone prema sebi. Elektronegativnost atoma povezana je s energijom ionizacije i afinitetom prema elektronu koji su svojstva karakteristična za izolirane atome. Relativni koeficijent elektronegativnosti dobiven je iz vrijednosti energija ionizacije i afiniteta prema elektronu. Ako proučimo tablicu 3, možemo uočiti da relativni koeficijent elektronegativnosti raste unutar periode s lijeva na desno. Porastom atomskog broja unutar periode smanjuje se metalni karakter elemenata i koeficijent elektronegativnosti raste. Povećanjem metalnog karaktera unutar skupine smanjuje se relativan koeficijent elektronegativnosti. porast relativnog koeficijenta elektronegativnosti Prijelazni metali pokazuju odstupanje od rasta elektronegativnosti. Ako je razlika u elektronegativnosti između dva atoma velika, tada je veza između tih atoma polarnija. Atomi se povezuju ionskom vezom. To je slučaj između atoma metala i nemetala koji općenito imaju veliku razliku u elektronegativnosti. Elektroni prelaze s atoma koji ima manji relativni koeficijent elektronegativnosti na atom koji ima veći relativni koeficijent elektronegativnosti. Između atoma nemetala općenito je mala razlika u elektronegativnosti, zbog čega ne dolazi do prijelaza elektrona s jednog atoma na drugi. Atomi nemetala međusobno se povezuju kovalentnom vezom. No i ta veza može biti djelomično polarnog karaktera. To je slučaj kod fluorovodika, HF. Razlika elektronegativnosti u tom spoju je velika i iznosi 4,0 2,1 = 1,9.
11 SAŽETAK POLUMJER ATOMA POLUMJER IONA ENERGIJA IONIZACIJE AFINITET PREMA ELEKTRONU RELATIVNI KOEFICIJENT ELEKTRONEGATIVNOSTI povećava se unutar periode s desna na lijevo raste unutar skupine odozgo prema dolje polumjer kationa manji je od polumjera atoma polumjer aniona veći je od polumjera atoma energija potrebna da se atomu ili ionu u plinovitom stanju oduzme elektron promjena energije koja se događa kad atomu u plinovitom stanju dodamo elektron raste unutar periode s lijeva na desno i unutar skupine odozdo prema gore 17
12 Pitanja i zadatci za ponavljanje 1. Nabroji neke esencijalne elemente. 2. Poredaj sljedeće atome od najmanjeg prema najvećem: natrij, sumpor, kisik, berilij i magnezij. 3. Objasni zašto je polumjer kationa manji od polumjera atoma. 4. Za svaki par atoma odredite koji od njih ima veći polumjer. a) fosfor ili klor b) fosfor ili dušik c) dušik ili fluor d) fluor ili klor 5. Navedene atome poredajte u ovisnosti o polumjeru, od najmanjeg prema najvećem: natrij, magnezij, berilij, kalij i bor. 6. Za svaki par atom - ion odredite koji od njih ima veći polumjer. a) F ili F b) O ili O 2 c) Li + ili Li d) Mg 2+ ili Mg 7. Navedene ione poredajte u ovisnosti o polumjeru, od najmanjeg prema najvećem: Na +, Al 3+, F, O 2 i Mg Što je energija ionizacije? 9. Odredite koji od navedenih elemenata ima višu energiju ionizacije. a) natrij ili neon b) kalcij ili brom c) neon ili klor 10. Zašto je treća energija ionizacije za magnezij znatno veća od druge energije ionizacije? 11. Poredaj sljedeće atome prema porastu prve energije ionizacije: klor, kisik, kalcij i kalij. 12. Objasnite relativni koeficijent elektronegativnosti. 13. Može li postojati ionski spoj u kojem bi ion natrija imao nabojni broj +2? Objasnite odgovor. 14. Koji će od sljedećih spojeva imati više ionska obilježja? a) AlCl 3 ili AlBr 3 b) BeF 2 ili BeBr Kakvom bi se kemijskom vezom mogla povezati dva elementa ako su njihovi relativni koeficijenti elektronegativnosti: a) 3,0 i 3,5 b) 0,8 i 3,0? 18 Uvod u anorgansku kemiju
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραVodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju
Vodik Najzastupljeniji element u svemiru (maseni udio iznosi 90 %) i sastavni dio Zvijezda. Na Zemlji je po masenom udjelu deseti element po zastupljenosti. Zemljina gravitacija premalena je da zadrži
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραOsnove kemije i fizike
1 Osnove kemije i fizike 10 Tvar, masa i sila 10 Rad i energija 11 Atomi i elementarne čestice 13 Elektricitet 14 Kemijske veze 17 Mol i koncentracija 17 Difuzija 19 Kemijske reakcije 21 Voda 25 Kiseline,
Διαβάστε περισσότεραKEMIJA SKRIPTA ZA DRŽAVNU MATURU. Kristina Kučanda. ožujak 2015.
KEMIJA SKRIPTA ZA DRŽAVNU MATURU Kristina Kučanda ožujak 2015. Autor: Kristina Kučanda streberica.gimnazijalka@yahoo.com prema: Ispitni katalog za državnu maturu u šk. god. 2013/2014., Kemija, NCVVO www.ncvvo.hr
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραKERAMIKA, BETON I DRVO
VJEŽBE: četvrtak, 12:15-14:00 KERAMIKA, BETON I DRVO Vježba 1. Ionske i kovalentne strukture Prof.dr.sc. Lidija Ćurković STRUKTURA ČVRSTIH (krutih) TVARI ovisi o: 1. VRSTI VEZA IZMEĐU STRUKTURNIH JEDINICA
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραHeterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραMEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE
MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραPT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότεραAtomi i jezgre 1.1. Atomi i kvanti 1.2. Atomska jezgra λ = h p E = hf, E niži
tomi i jezgre.. tomi i kvanti.. tomska jezgra Kvant je najmanji mogući iznos neke veličine. Foton, čestica svjetlosti, je kvant energije: gdje je f frekvencija fotona, a h Planckova konstanta. E = hf,
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραTo je ujedno 1/12 mase atoma ugljika koja je određena eksperimentom i koja iznosi kg. Dakle mase nukleona:
Nuklearna fizika_intro Osnovne sile u prirodi, građa atomske jezgre, nukleoni i izotopi, energija vezanja jezgre, radioaktivnost, osnovne vrste radioaktivnog zračenja i njihova svojstva, zakon radioaktivnog
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραA B C D. v v k k. k k
Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα