1 ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

Transcript

1 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ. Η Τάση Για να εισάγουµε την έννοια της τάσης θα θεωρήσουµε το παράδειγµα µιας εφελκυόµενης ευθύγραµµης ράβδου (ΑΒ), που έχει σταθερή διατοµή καθέτως προς τον άξονά της, εµβαδού A. Στα άκρα της ράβδου αυτής ασκούνται δύο αντίθετες δυνάµεις, έντασης F, οι οποίες δρουν κατά µήκος του άξονά της, δηλαδή της ευθείας ( AB ) που ενώνει τα κέντρα βάρους των ορθών διατοµών της. Μία τέτοια φόρτιση λέγεται κεντρική φόρτιση. Η κεντρική φόρτιση της ράβδου προκαλεί την ανάπτυξη µόνον εσωτερικών αξονικών δυνάµεων Nx = N, οι οποίες για λόγους ισορροπίας εµφανίζονται να δρουν πάνω σε διατοµές, που προκύπτουν από ιδεατές τοµές (Τ-Τ) σε τυχαία θέση x, καθέτως προς τον άξονα της ράβδου. Με άλλα λόγια µε την κεντρική φόρτιση της ράβδου αποφεύγουµε την ανάπτυξη ροπών κάµψης. Από το αντίστοιχο διάγραµµα ελεύθερου σώµατος, ισορροπία σε κάθε τοµή στη θέση x, δίδει Σ Fx = 0: N = F + (.) Στα πλαίσια της Στατικής η φόρτιση θεωρείται ότι λαµβάνει χώρα «αργά» και την ονοµάζουµε ως µια «οιονεί στατική φόρτιση». Σε µία τέτοια θεώρηση ο χρόνος υπεισέρχεται στη διατύπωση του προβλήµατος µόνον έµµεσα, π.χ. θεωρώντας ότι το επιβαλλόµενο φορτίο είναι συνάρτηση του χρόνου, F = F( t). Στην περίπτωση αυτή θεωρούµε ότι οι οποιεσδήποτε χρονικές µεταβολές του φορτίου είναι αρκετά «αργές», έτσι ώστε οι συνεπακόλουθες επιταχύνσεις των υλικών σηµείων του σώµατος να είναι αµελητέες και ως εκ τούτου ανά πάσα στιγµή να ισχύει στο ελεύθερο σώµα ο νόµος ισορροπίας των δυνάµεων, Εξ. (.). Αγγλ. stress Ορθή διατοµή καλείται η διατοµή που εµφανίζεται µε µία τοµή κάθετα προς τον άξονα της ράβδου.

2 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Με τη βοήθεια της ιδεατής ορθής τοµής Τ-Τ στη θέση x εµφανίζονται δύο ορθές διατοµές του φορέα, στα δεξιά και στα αριστερά της + τοµής. Θεωρούµε ένα τυχαίο σηµείο P ( yz, ) πάνω στη διατοµή στα αριστερά της τοµής καθώς και το κατοπτρικό του σηµείο P ( yz, ) πάνω στη διατοµή στα δεξιά της τοµής. Στο σηµείο P + και πάνω σε µία στοιχειώδη επιφάνεια εµβαδού da µε κέντρο το σηµείο P +, θεωρούµε ότι ασκείται η στοιχειώδης ορθή δύναµη dn +. Στο κατοπτρικό του σηµείο θεωρούµε ότι ασκείται αντιστοίχως η στοιχειώδης ορθή δύναµη dn. Υποθέτουµε τώρα ότι οι στοιχειώδεις αυτές εσωτερικές δυνάµεις υπακούουν στον 3 ο Νόµο του Νεύτωνα + dn = dn ( ράση=αντίδραση) (.) Άρα µπορούµε να θέσουµε ότι + dn = dn = dn (.3) και να ορίσουµε µονοσήµαντα µία «πυκνότητα» δύναµης στο τυχόν σηµείο της εκάστοτε θεωρούµενης ορθής διατοµής dn σ = (.4) da Η ποσότητα σ που ορίζεται µέσω της σχέσης (.4) καλείται τάση. Επειδή η αξονική δύναµη dn είναι εν προκειµένω κάθετη προς τη θεωρούµενη διατοµή, η αντίστοιχη τάση σ λέγεται ορθή τάση 3. Παρατηρούµε ότι µε την παραπάνω διαδικασία η τάση µπορεί να ορισθεί κάθε σηµείο της ράβδου. Η τάση είναι δηλαδή µία συνάρτηση της θέσης της διατοµής, των συντεταγµένων του σηµείου πάνω στη διατοµή και φυσικά του χρόνου (αν τα φορτία µεταβάλλονται),. σ = σ ( x, yzt,, ) (.5) Η συνολική αξονική δύναµη που ασκείται πάνω στην εκάστοτε θεωρούµενη ορθή διατοµή προκύπτει από την ολοκλήρωση των στοιχειωδών δυνάµεων dn, 3 Αγγλ. normal stress

3 3 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 (.6) N = dn = σ da ( A) ( A) Σε έναν ευθύγραµµο, οµογενή ραβδωτό φορέα, σταθερής διατοµής κάτω από κεντρική φόρτιση οι τάσεις σ θεωρούνται ότι είναι σταθερές πάνω στη διατοµή, οπότε N N = σ da= σa σ = (.7) A ( A) Με την Eξ. (.7) σιωπηρώς δεχόµαστε ότι η αξονική δύναµη είναι σχετικά µικρή και ως εκ τούτου η οποιαδήποτε εγκάρσια παραµόρφωση της ράβδου που µεταφράζεται σε αλλαγή του εµβαδού της διατοµής να δύναται να θεωρηθεί αµελητέα. Από τις Εξ. (.) και (.7) έπεται ότι στην περίπτωση αυτή, F σ = = σταθ. (.8) A Παρατηρήσεις Για την εξαγωγή της παραπάνω σχέσης (.7) δεχθήκαµε ότι η τάση είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη πάνω στη διατοµή. Παρατηρούµε στο σηµείο αυτό ότι αν η τάση δεν είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη, τότε οι ροπές των στοιχειωδών δυνάµεων ως προς τους άξονες z κα y δεν είναι κατ ανάγκη µηδέν. Στην περίπτωση αυτή οι συνολικές ροπές της στοιχειωδών δυνάµεων, dn = σ da ως προς τους άξονες της διατοµής δεν είναι κατ ανάγκη µηδέν, δηλαδή έχουµε ότι είτε, είτε Μ z = y σ da 0 (.9) ( A) My = zσda 0 (.0) (A) Όπως θα δούµε και στο Κεφ. 6, στην περίπτωση που ισχύουν οι σχέσεις (.9), (.0), πάνω στη διατοµή πέραν της αξονικής δύναµης N = Nx εµφανίζονται και ροπές κάµψης M z και M y κατά τους άξονες z και y. Θα πρέπει όµως να παρατηρήσουµε ότι για να εξασφαλισθεί γενικά η οµοιόµορφη κατανοµή της τάσης πάνω στη διατοµή, πρέπει να ισχύουν οι εξής συνθήκες:

4 4 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 n n y σ da= 0 και z σ da= 0, n=,, (.) ( A) ( A) Σύµβαση πρόσηµου: Όταν η αξονική δύναµη είναι εφελκυστική, τότε η αντίστοιχη ορθή τάση θα θεωρείται ότι είναι θετική, N > 0 σ > 0 (.) Αντιστρόφως, όταν η αξονική δύναµη είναι θλιπτική, τότε η αντίστοιχη ορθή τάση είναι αρνητική, N < 0 σ < 0 (.3) Στο σηµείο αυτό θα παρατηρήσουµε ότι γεωυλικά όπως τα εδάφη έχουν αµελητέα αντοχή σε εφελκυσµό και ουσιαστικά δύνανται να παραλαµβάνουν µόνο θλιπτικές ορθές τάσεις. Οπότε για λόγους οικονοµίας καθιερώθηκε στη Γεωτεχνική Μηχανική η αντίθετη σύµβαση πρόσηµου από εκείνη της Τεχνικής Μηχανικής, Εξ. (.) και (.3), δηλαδή µέσα στα πλαίσια της Γεωτεχνικής Μηχανικής συνήθως οι θλιπτικές τάσεις θα θεωρούνται θετικές. ιαστάσεις τάσης Συµφώνως προς τον ορισµό της τάσης,εξ. (.4), η τάση έχει διαστάσεις δύναµης ανά µονάδα επιφάνειας. Η αντίστοιχη διαστασιολογική εξίσωση έχει ως εξής, [ σ ] = FL (.4) Στην Τεχνική Μηχανική η τάση δίδεται συνήθως σε 3 3 όπως kpa = 0 Pa, MPa = 0 kpa κ.λπ.. Pa Nm = ή πολλαπλάσια του, Παράδειγµα Εφελκυστικό φορτίο ενός «τόνου», που αντιστοιχεί σε δύναµη F = 0kN, δρα αξονικά σε µία οµογενή ράβδο, σταθερής διατοµής A = cm. Με τα δεδοµένα αυτά, βάσει της Εξ. (.8) υπολογίζουµε ότι πάνω στη τυχούσα ορθή διατοµή της ράβδου αναπτύσσεται εφελκυστική τάση, σ = F 0 kn 0 kn 0 kn 5 kn 0 A = 4 cm = = 0 m = m ( 0 m) 5 = 0 kpa = 00MPa = 0.GPa

5 5 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007. Ορθή και ιατµητική Τάση Στη συνέχεια θα θεωρήσουµε πάλι την οµογενή ράβδο σταθερής διατοµής υπό κεντρική φόρτιση αλλά τώρα θα αναζητήσουµε τις τάσεις που αναπτύσσονται πάνω σε µία τυχαία πλάγια διατοµή (τη τοµή Τ Τ του σχήµατος). Η προκύπτουσα πλάγια διατοµή χαρακτηρίζεται από το κάθετο µοναδιαίο εξωτερικό προς αυτή διάνυσµα n, που σχηµατίζει γωνία ϕ µε τον θετικό άξονα x. Το εµβαδόν A n της πλάγιας διατοµής υπολογίζεται από τη σχέση, A An = (.5) cosϕ όπου Α το εµβαδό της ορθής διατοµής ( ϕ = 0 ). Το διάνυσµα της τάσης 4 tn = tnxex (.6) που αναπτύσσεται πάνω στη πλάγια διατοµή, έχει φορά παράλληλη προς τον άξονα x, και εξισορροπεί το αξονικό φορτίο N = Nx, Οπότε tnx An = N, tny = 0 (.7) N N tnx = = = σ cosϕ (.8) An A/cosϕ Τώρα µε τη σειρά του το διάνυσµα της τάσης t n αναλύεται σε µία ορθή τάση σ n, που δρα κάθετα στη λοξή διατοµή και σε µία τάση τ n, που δρα εφαπτοµενικά στη θεωρούµενη διατοµή. Η εφαπτοµενική αυτή συνιστώσα του διανύσµατος της τάσης καλείται διατµητική τάση 5. 4 Το διάνυσµα τάσης που δρα πάνω σε µια επιφάνεια το ονοµάσαµε «ελκυστή» των τάσεων. Ο όρος αυτός συνιστά νεολογισµό και προτείνεται ως απόδοση του αγγλικού όρου traction vector. 5 Αγγλ. shear stress.

6 6 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Εισάγουµε τώρα ένα σύστηµα συντεταγµένων µε άξονες ξ και η, το οποίο προκύπτει από το αρχικό καρτεσιανό σύστηµα ( x, y ) κατόπιν στροφής αυτού κατά γωνία ϕ. Η ισορροπία δυνάµεων στο ελεύθερο σώµα, εκφραζόµενη στο σύστηµα αυτό δίνει: Σ Fξ = 0: σ nan = tnxancosϕ Σ Fη = 0: τnan = tnxansinϕ (.9) Από τις Εξ. (.9) και την Εξ. Error! Reference source not found. λαµβάνουµε τελικά τις παρακάτω σχέσεις, n = cos σ σ ϕ τn = σ sinϕcosϕ (.0) Παρατήρηση Θα πρέπει στο σηµείο αυτό να τονίσουµε ότι στη Μηχανική µε τους όρους «επιφάνεια τοµής» ή «διατοµή» εννοούµε στην ουσία ένα διανυσµατικό µέγεθος που έχει µέτρο, κατεύθυνση και φορά. Το µέτρο της εν λόγω «προσανατολισµένης επιφάνειας» ισούται µε το εµβαδόν της ενώ η κατεύθυνσή της καθορίζεται από το µοναδιαίο κάθετο σ αυτή διάνυσµα n ={ nx, ny, n z} Τ. Ειδικότερα ο όρος «ορθή διατοµή» καθορίζει, ότι το διάνυσµα n είναι παράλληλο προς το άξονα του γραµµωτού φορέα. Στο θεωρούµενο παράδειγµα της αξονικά εφελκυόµενης ράβδου βλέπουµε ότι σε µία ορθή διατοµή ( ϕ = 0) ασκούνται µόνο οι ορθές τάσεις σ, ενώ πάνω σε µία λοξή διατοµή, θα ασκούνται γενικώς τόσο ορθές τάσεις σ n όσο και διατµητικές τάσεις τ n. Από την Εξ. (.0) βλέπουµε ότι το διάνυσµα της τάσης που ασκείται πάνω σε µία διατοµή δεν ακολουθεί ένα απλό νόµο µετασχηµατισµού. Πράγµατι σε καρτεσιανό σύστηµα αξόνων ( x, y ) η ορθή και η διατµητική συνιστώσα του διανύσµατος των τάσεων πάνω σε µία ορθή διατοµή ( nx =, ny = 0 ) είναι, tnx = σ, tny = 0 (.) ενώ πάνω σε µία λοξή διατοµή ( nx = cos ϕ, ny = sinϕ ) είναι tnξ = σ cos ϕ, tnη = σ sinϕcosϕ (.)

7 7 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Οι παραπάνω σχέσεις, Εξ. (.0) µπορούν να ερµηνευθούν ως ένας νόµος µετασχηµατισµού του διανύσµατος των τάσεων που δρα πάνω σε µία διατοµή για µεταβολές της γωνίας κλίσης ϕ του µοναδιαίου εξωτερικού διανύσµατος πάνω στη διατοµή αυτή. Αναλυτικότερα θα ασχοληθούµε µε το θέµα αυτό στο Κεφ.. Στο σηµείο αυτό θα περιορισθούµε στο να παρατηρήσουµε ότι οι Εξ. (.0) µπορούν να γραφούν και ως εξής, σ σ σn = + cos ϕ σ τn = sin ϕ (.3) Οπότε σε ένα διάγραµµα ορθών και διατµητικών τάσεων ο γεωµετρικός τόπος των «σηµείων» ( σ n, τ n) µε παράµετρο τη γωνία ϕ είναι ένας κύκλος, ( cos sin ) σ σ σn + τn = ϕ+ ϕ σ σ σn + τn = (.4) Όπως θα δούµε στο Κεφ., οι παραπάνω Eξ.(.3) προκύπτουν από ένα γενικότερο νόµο µετασχηµατισµού ο οποίος µε τη σειρά του αφορά σε νέες φυσικές ποσότητες, τους καλούµενους «τανυστές ης τάξης»., ο δε προαναφερθείς κύκλος θα ονοµασθεί κύκλος του Mohr των τάσεων. Πρόβληµα Θεωρούµε το παράδειγµα του µονοαξονικού εφελκυσµού µίας οµογενούς ράβδου σταθερής διατοµής, η οποία φορτίζεται κεντρικά. Ζητείται να βρεθεί η διατοµή (ή οι διατοµές) πάνω στην οποία ασκείται: α) η µέγιστη ορθή τάση, β) η µέγιστη διατµητική τάση. Λύση: α) Από την Εξ. (.0) και τη συνθήκη, dσn 0 dϕ =

8 8 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 παίρνουµε δύο λύσεις, ϕ = 0 σ cosϕsinϕ = 0 ϕ = π ϕ = Πράγµατι για, και για d σ 0( 0): 0:, 0, n < σ > = = n = n = = dϕ > 0( σ > 0): ϕ ϕ σ σ τ σ π d σ 0( 0): : 0, 0, n > σ > = = n = n = =+ dϕ < 0( σ < 0): ϕ ϕ σ τ σ τοπικο µεγιστο τοπικο ελαχιστο τοπικο ελαχιστο τοπικο µεγιστο Παρατηρούµε στο σηµείο αυτό ότι στις διατοµές που ασκούνται τοπικά ακρότατες ορθές τάσεις δεν ασκούνται διατµητικές τάσεις. Π.χ. στο συγκεκριµένο παράδειγµα αυτό συµβαίνει για ϕ = 0& ϕ = π, όπου έχουµε σn = σ, τn = 0 καθώς και για ϕ = π /& ϕ = 3 π / ( σn = 0, τn = 0). β) Από την Εξ. (.0) και τη συνθήκη, dτ n 0 dϕ = παίρνουµε πάλι δύο λύσεις, ( ϕ3 cos sin ) = 0 cos = 0 = σ ϕ ϕ ϕ ϕ Οπότε έχουµε τις εξής λύσεις: = 3 = /4: n = /, n = / ϕ ϕ π σ σ τ σ =+ π /4 ϕ3 = π /4 d τn d ϕ < 0( σ > 0): τοπικο ελαχιστο = σ > 0( σ > 0): τοπικο µεγιστο και

9 9 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 = 4 = /4: n = /, n = / ϕ ϕ π σ σ τ σ d τn d ϕ < 0( σ > 0): τοπικο µεγιστο = σ > 0( σ > 0): τοπικο ελαχιστο Παρατηρούµε ότι κατά την εφελκυστική καταπόνηση µιας ράβδου η απολύτως µέγιστη διατµητική τάση ασκείται σε διατοµές που είναι κεκλιµένες κατά γωνία 45 ως προς τον άξονα της ράβδου. Οι διατµητικές τάσεις που ασκούνται στα επίπεδα αυτά είναι αντίρροπες. Στις διατοµές αυτές ασκούνται επίσης και ορθές τάσεις, ίσης έντασης. Παρατήρηση Τα παραπάνω συµπεράσµατα είναι ιδιαίτερα σηµαντικά στη µελέτη της αστοχίας των υλικών. Ένας φορέας από «ψαθυρό» υλικό (π.χ. από άοπλο σκυρόδεµα) που αστοχεί σε εφελκυσµό, θραύεται σε επιφάνειες που είναι κάθετες προς τον άξονά του, γεγονός που ερµηνεύεται ότι η επιβαλλόµενη µέγιστη εφελκυστική τάση έχει υπερβεί κατά τη θραύση µια οριακή τιµή, χαρακτηριστική για το υλικό, που καλείται «εφελκυστική αντοχή» του υλικού. Από κινηµατική σκοπιά, η εφελκυστική θραύση θα αποδοθεί σε µία διαδικασία που εγκάρσια προς την τελική περιοχή θραύσης τα τµήµατα του υλικού αποµακρύνονται µεταξύ τους τόσο ώστε τελικά να προκύψουν δύο ξεχωριστές, αφόρτιστες επιφάνειες. Ο συγκεκριµένος τύπος αστοχίας καλείται Τύπος Ι 6. Αντίθετα ένας φορέας από «όλκιµο» υλικό (π.χ. από χάλυβα) που αστοχεί σε εφελκυσµό, αστοχεί πάνω σε επιφάνειες µε κlίση 45 ως προς τον άξονά του, γεγονός που µε τη σειρά του ερµηνεύεται ως ότι η επιβαλλόµενη µέγιστη διατµητική τάση έχει υπερβεί µια οριακή τιµή, χαρακτηριστική για το υλικό, που καλείται «διατµητική αντοχή» του υλικού. Από κινηµατική σκοπιά η διατµητική αστοχία θα αποδοθεί στη σχετική ενδοτικότητα του υλικού σε σχετική ολίσθηση µεταξύ των τµηµάτων του φορέα και κατά µήκος µιας κεκλιµένης επιφάνειας (Τύπος ΙΙ 7 ). 6 Αγγλ. Mode I 7 Αγγλ. Mode IΙ.

10 0 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., Η Τροπή 8 Το ως άνω παράδειγµα µιας εφελκυόµενης ευθύγραµµης ράβδου (ΑΒ), θα χρησιµοποιηθεί επίσης για την επεξήγηση της έννοιας της παραµόρφωσης ενός φορέα. Θεωρούµε ότι η ράβδος (AB) έχει αρχικό µήκος και ότι κάτω από την επιβολή «φορτίων» αλλάζει µήκος της. Έστω = + το µήκος της ράβδου µετά την παραµόρφωση. Η ορθή τροπή 9 ορίζεται ως η σχετική αλλαγή του µήκους ως εξής, ε = (.5) Όπως προκύπτει από τον ορισµό της, η τροπή ως λόγος µηκών είναι αδιάστατο µέγεθος, [ ε ] = (.6) Σύµβαση προσήµου: Όταν η ράβδος υφίσταται επιµήκυνση, δηλαδή όταν το µήκος της αυξάνει ( > 0 ), τότε η ορθή τροπή είναι θετική. Όταν η ράβδος βραχύνεται ( < 0 ), τότε η τροπή είναι αρνητική 0. Παράδειγµα: Έστω ότι το αρχικό µήκος µιας ράβδου ήταν = m και έστω ότι η ράβδος επιµηκύνεται συνολικά κατά = 0.5mm, τότε η αντίστοιχη (απειροστική) τροπή είναι, ε 0.5mm 0.5mm 3 = = = = m 3 0 mm Σηµειωτέον ότι στην αγγλοσαξονική βιβλιογραφία θα συναντήσουµε την ψευδοµονάδα milistrain, mstrain = Νεολογισµός, εισαχθείς από τον Καθηγητή Κ. Μυλωνά. Σε παλαιότερα διδακτικά συγγράµµατα θα συναντήσουµε τον όρο, ανηγµένη παραµόρφωση. Αγγλ. strain 9 Αγγλ. normal strain 0 Όπως αναφέραµε και πιο πάνω σχετικά µε τη σύµβαση προσήµου για τις ορθές τάσεις, έτσι και για τις (ορθές) τροπές στη Γεωτεχνική Μηχανική ισχύει συνήθως η αντίθετη σύµβαση, τ.ε. η βράχυνση θεωρείται θετική.

11 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 οπότε η τροπή στο παραπάνω παράδειγµα θα δίδονταν ως Παρατήρηση ε = 0.5mstrain. Ο ορισµός της τροπής, εξ. (.5), αφορά τη λεγόµενη «απειροστική τροπή», γεγονός που σηµαίνει ότι στις αντίστοιχες αναλύσεις και υπολογισµούς θα δεχθούµε σιωπηρώς ότι η τροπή είναι ποσότητα κατ απόλυτη τιµή πάντοτε κατά «πολύ» µικρότερη της µονάδας, ε <<. Η αντίστοιχη θεωρία καλείται θεωρία «µικρών παραµορφώσεων». Αντιθέτως όταν οι παραµορφώσεις είναι «µεγάλες», τότε αντί της απειροστικής τροπής συχνά θα χρησιµοποιήσουµε την λεγόµενη «λογαριθµική» τροπή, λ = ln = ln + Παρατηρούµε ότι για απειροστικές παραµορφώσεις, η απειροστική και η λογαριθµική τροπή συµπίπτουν, ( ) O ( ) λ = ln + ε = ε + ε Είναι τέλος φανερό ότι η αλλαγή του µήκους της ράβδου είναι πάντοτε περιορισµένη, < <, δηλαδή σε καµιά περίπτωση η ράβδος δεν µπορεί να βραχυνθεί ή να µηκυνθεί απεριόριστα..4 Σχέση Tροπής και Mετατόπισης Θεωρούµε την οµογενή ράβδο (ΑΒ) και δύο ορθές διατοµές αυτής σε «διπλανές» θέσεις µε συντεταγµένες x και x = x+ dx, αντιστοίχως. Υποθέτουµε ότι µετά την παραµόρφωση οι εν λόγω διατοµές θα έχουν µετατοπισθεί σε νέες θέσεις µε συντεταγµένες, x + u και x + u, όπου οι ποσότητες u και u αντιστοιχούν σε ένα µονοσήµαντο πεδίο µετατόπισης των διατοµών. Το πεδίο των µετατοπίσεων είναι µια συνεχής συνάρτηση της θέσης της διατοµής, u = u( x), u = u( x) (.7) οπότε µετά την παραµόρφωση η θέση της διατοµής που αρχικά βρίσκονταν στη θέση x x dx = +, είναι, Αγγλ. infinitesimal strain Αγγλ. displacement field

12 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 du x = x+ dx+ u( x) + dx dx x (.8) Με τη βοήθεια των παραπάνω εκφράσεων µπορούµε να υπολογίσουµε την τροπή στο τυχαίο σηµείο x της ράβδου, συγκρίνοντας την αρχική µε την τελική µεταξύ τους απόσταση των δύο παρακείµενων διατοµών, αρχική απόσταση: d = ( x+ dx) x= dx τελική απόσταση: du du d = x + dx + u( x) + dx ( x + u( x) ) = dx + dx dx x dx x µεταβολή: du d = d d = dx dx x οπότε η ορθή τροπή στην εν λόγω θέση x υπολογίζεται κατ αναλογία µε τον ορισµό, Εξ. (.5), ως, ε d du = = d dx x (.9) Όταν η τροπή είναι σταθερή κατά µήκος µίας ράβδου, τότε λέµε ότι η ράβδος παραµορφώνεται οµοιόµορφα. Στην περίπτωση αυτή η τροπή λαµβάνει την αυτή τιµή σε κάθε θέση x, δηλαδή du = ε = σταθ. u = u(0) + ε x (.30) dx Η παραπάνω εξίσωση δηλώνει µία γραµµική κατανοµή της µετατόπισης κατά µήκος της ράβδου. Άρα σηµειώνουµε ότι γραµµική µεταβολή του πεδίου των µετατοπίσεων συνεπάγεται σταθερή τροπή. Αν δεχθούµε ότι το άκρο Α της ράβδου είναι πακτωµένο, τότε η διατοµή στη θέση αυτή δεν µετατοπίζεται, u (0) = 0 (.3) και το πεδίο των µετατοπίσεων των ορθών διατοµών της δοκού δίνεται από τη σχέση, u = εx = u() = ε ε = (.3)

13 3 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Αστοχία µεγαλιθικής τοιχοποιίας λόγω εφελκυστικής τεκτονικής παραµόρφωσης του εδάφους θεµελιώσεως. Παρατηρούµε την προοδευτική από τα αριστερά προς στα δεξιά µεταβολή των µετατοπίσεων των λίθων στο αντίστοιχο άνοιγµα των κατακόρυφων αρµών (Machu Picchu, Peru, φωτ. Ι. Βαρδουλάκης 006). Η τροπή όπως αρχικά ορίσθηκε ως µέτρο σύγκρισης της αλλαγής µήκους ενός πεπερασµένου στοιχείου, Εξ. (.5), µπορεί να ονοµασθεί «τεχνική τροπή 3». Αντιθέτως η τροπή βάσει του ορισµού Εξ. (.9) καλείται «τοπική» τροπή, και παριστά το µέτρο σύγκρισης της αλλαγής του µήκους του απειροστικού στοιχείου d στη θέση x, που χαρακτηρίζει την απόσταση δύο απειροστικά παρακείµενων ορθών διατοµών. Οι δύο ορισµοί δίδουν τότε και µόνο ίδιο αποτέλεσµα, όταν η παραµόρφωση της ράβδου είναι οµοιόµορφη. Για το λόγο αυτό πειραµατικά συχνά θα προσπαθήσουµε να υλοποιήσουµε κατά το καλύτερο δυνατό την οµοιόµορφή παραµόρφωση ενός «δοκιµίου», έτσι ώστε από καθολικές µετρήσεις αλλαγής του µήκους του να συνάγουµε την τοπική τιµή της τροπής. 3 Αγγλ. engineering strain

14 4 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., Απλές Καταστατικές Σχέσεις Τάσεων-Τροπών.5. Ο νόµος του Hooke Πειράµατα απλού εφελκυσµού και θλίψης πάνω σε δοκίµια από µάρµαρο ιονύσου 4.. Όπως αναφέραµε πιο πάνω σε ένα οµογενή φορέα, σταθερής διατοµής, κάτω από κεντρική εφελκυστική ή θλιπτική φόρτιση, οι ορθές τάσεις πάνω σε κάθε ορθή διατοµή θα είναι σταθερές. Μέσα στα πλαίσια της ανάλυσης µηχανικών καταπονήσεων θα δεχθούµε ότι ένα οµοιόµορφο πεδίο ορθών τάσεων σ θα προκαλέσει ένα οµοιόµορφο πεδίο ορθών τροπών 5 ε. Συνήθως θα δεχθούµε ότι η τάση είναι συνάρτηση της τροπής, σ = σε ( ) (.33) Θα παρατηρήσουµε όµως ότι η εξάρτηση των τάσεων από τις τροπές είναι ιδιότητα του εκάστοτε εξεταζόµενου υλικού η οποία και προσδιορίζεται πειραµατικά. Γι αυτό και µία τέτοια σχέση όπως η Εξ. (.33), ονοµάζεται και καταστατική εξίσωση 6. Όπως φαίνεται και στο παραπάνω διάγραµµα τάσεων-τροπών, η σχέση τάσεων-τροπών γενικώς θα είναι µη-γραµµική. Αν περιορισθούµε όµως σε µία περιοχή σχετικά µικρών τροπών, τότε συνήθως είναι δυνατό να προσεγγίσουµε ικανοποιητικά τη σχέση τάσεωντροπών µε µία γραµµική εξίσωση της µορφής 4 Ι. Βαρδουλάκης, Σ. Κουρκουλής, Γ. Εξαδάκτυλος και Α. Ροζάκης (00). Μηχανικές ιδιότητες και συµβατότητα φυσικών δοµικών λίθων στα αρχαία µνηµία: Το ιονυσιακό µάρµαρο. ιεπιστηµονική Ηµερίδα, «Ο οµικός Λίθος στα Μνηµία» (Μ. Βάρτη-Ματαράγκα & Γ. Κατσίκης, εκδ.) Εκδ. ΙΓΜΕ, σελ Στην περίπτωση αυτή θα µιλάµε για υλικό το οποίο είναι οµογενές και ισότροπο. 6 Αγγλ. constitutive equation

15 5 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 dσ = E d ε + (.34) ε = 0 σ ε ε Η παραπάνω γραµµική σχέση τάσεων-τροπών, είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως ο νόµος του Hooke 7. Στην Eξ. (.34) η σταθερά E που αποδίδει την αρχική κλίση της καµπύλης τάσεων-τροπών καλείται µέτρο ελαστικότητας Young. Επειδή η τροπή είναι αδιάστατο µέγεθος, οι διαστάσεις του µέτρου ελαστικότητας είναι ταυτόσηµες µε εκείνες της τάσης, [ E] = FL (.35) Συνήθως το µέτρο ελαστικότητας θα δοθεί σε kn / mm, παρατηρούµε δε ότι, kn kn 0 6 kn 0 6 = = = kpa = GPa (.36) mm m 3 ( 0 m) Π.χ. από το παραπάνω διάγραµµα παίρνουµε ότι το µάρµαρο ιονύσου έχει περίπου το αυτό µέτρο Young σε θλίψη και σε εφελκυσµό και ίσο προς 75GPa. Παρατηρήσεις Η αναφορά του µέτρου ελαστικότητας E, ως µέτρου Young, είναι βασικά λανθασµένη. Σε σύγχρονους όρους ο Thomas Young (807) χρησιµοποιούσε το λεγόµενο «βάρος του µέτρου» ή «στιβαρότητα» ( EA ), όπου A είναι το εµβαδόν της ορθής διατοµής, καθώς και το «ύψος του µέτρου» ή «ελαστικό µήκος» E / ρ, όπου ρ είναι πυκνότητα του υλικού 8. Θα παρατηρήσουµε πως η αρχική επιλογή του Young να χρησιµοποιήσει το ύψος του µέτρου είναι από πειραµατική σκοπιά σωστή, αφού έτσι λαµβάνει κανείς υπ όψη τη «φθορά» του υλικού, όταν αυτή συνεπάγεται την ανάπτυξη πόρων ή µικρορωγµών. 7 Η πρώτη διατύπωση του νόµου ελαστικής συµπεριφοράς αποδίδεται στον Robert Hooke ( ) : ut tensio sic vis. 8 J.F. Bell, 973, The Experimental Foundations of olid Mechanics, pringer, ect. 3.7, p. 86.

16 6 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Ο χάλυβας είναι ένα κοινό δοµικό υλικό. Από το πειραµατικό διάγραµµα τάσεωντροπών για έναν τυπικό χάλυβα θα σηµειώσουµε διάφορες χαρακτηριστικές τιµές της τάσης, όπως φαίνεται στο σχήµα. Από την αρχή της φόρτισης µέχρι το «όριο αναλογίας» σ A, που βρίσκεται λίγο χαµηλότερα από την «τάση διαρροής» σ Y, ισχύει πρακτικά ο γραµµικός νόµος του Hooke, σ = Ε ε (ελαστική περιοχή). Η «επιτρεπόµενη τάση» σ επ είναι ένα συµβατικό κλάσµα του ορίου αναλογίας που καθορίζεται από τους εκάστοτε κανονισµούς. Παρατηρούµε ότι η στατική επίλυση ενός φορέα στη βάση µιας ελαστικής ανάλυσης θα περιλαµβάνει συνήθως τον έλεγχο αν οι τάσεις που αναπτύσσονται στον φορέα κάτω από µια συγκεκριµένη φόρτιση είναι ή όχι µικρότερες των αντιστοίχως επιτρεπόµενων. Στην περιοχή µετά το όριο διαρροής σ Y θεωρούµε ότι το υλικό «διαρρέει» ή µετασχηµατίζεται κάτω από σταθερή τάση (πλαστική περιοχή). Μετά από παρατεταµένη διαρροή το υλικό επανακτά πάλι την ικανότητα να αναλαµβάνει τάσεις. Στην περίπτωση αυτή θα πούµε ότι το υλικό «κρατύνεται 9». Τέλος το υλικό αστοχεί, όταν ή τάση φτάσει την «τάση αστοχίας» σ F. Μετά το όριο αστοχίας η ικανότητα του υλικού ή του φορέα να παραλάβει τάσεις φθίνει. Για κάποια ακραία τιµή της ονοµαστικής τροπής ( / ) = ε F, ο φορέας θα θραυσθεί, δηλαδή µε απλά λόγια θα κοπεί στα δύο. 9 ισχυροποιείται, αγγλ. hardening

17 7 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Όπως αναφέραµε, ορθές τάσεις (σε ένα οµογενές και ισότροπο υλικό) συνεπάγονται την ανάπτυξη ορθών τροπών, που έχουν ως αποτέλεσµα την αλλαγή του µήκος το φορέα κατά το άξονα της φόρτισης. Θα παρατηρήσουµε στο σηµείο αυτό ότι η δράση των διατµητικών τάσεων σε ένα φορέα συνίσταται γενικώς σε αλλαγή σχήµατος (δηλ. σε αλλαγή γωνιών). Πράγµατι, αν θεωρήσουµε ένα ορθογώνιο φορέα (ΑΒΓ ) κάτω από την επίδραση οµοιόµορφων διατµητικών τάσεων, τότε το τελικό του σχήµα, µετά την παραµόρφωση θα είναι το παραλληλόγραµµο (Α Β Γ ), του οποίου οι πλευρές έχουν κατά προσέγγιση το ίδιο µήκος µε το αρχικό τους µήκος (γιατί;). Μέτρο αυτής της στρέβλωσης είναι η γωνία «διάτµησης» γ που µετράται σε ακτίνια και που στα πλαίσια µιας ελαστικής θεωρίας συνδέεται µε τη διατµητική τάση και πάλι µέσω µιας γραµµικής σχέσης που όµως µπορεί να ελεγχθεί πειραµατικά, τ = Gγ (0 < γ << ) (.37) Στην παραπάνω σχέση η σταθερά G καλείται µέτρο διάτµησης 0 του υλικού µε διαστάσεις δύναµης ανα µονάδα επιφανείας, όπως και το µέτρο Young, [ G] = FL (.38) Όπως θα δούµε στο Κεφ. 4, το µέτρο διάτµησης σχετίζεται µε το µέτρο ελαστικότητας. Π.χ. για µέταλλα έχουµε κατά προσέγγιση ότι G 0.4E (.39).5. Η θερµο-ελαστική εξίσωση Πέραν µιας καθαρά µηχανικής καταπόνησης θα αντιµετωπίσουµε συχνά σε κατασκευές και «θερµικά φορτία». Πράγµατι, αλλαγές µηκών σε ραβδωτούς φορείς θα παρατηρηθούν όχι µόνο λόγω της επιβολής µηχανικών φορτίων αλλά επίσης και λόγω αλλαγής της θερµοκρασίας του υλικού. Το φαινόµενο είναι γνωστό από τη Φυσική ως το φαινόµενο θερµικής διαστολής ή συστολής ενός υλικού. Ο νόµος που διέπει θερµικές συστολο-διαστολές υλικών εκφράζει τη σχέση µεταξύ ορθής τροπής και αλλαγής της θερµοκρασίας. Στην απλούστερη περίπτωση ο νόµος αυτός είναι επίσης γραµµικός, εθ = α T (.40) Στην (καταστατική) εξίσωση (.40) ο συντελεστής α καλείται συντελεστής θερµικής διαστολής και µε T συµβολίζουµε την αλλαγή της θερµοκρασίας. Για α> 0, αύξηση της θερµοκρασίας θα προκαλέσει διαστολή ( ε > 0 ). Επειδή τόσο ο νόµος του Hooke (.34) όσο και ο νόµος (.40) για τις θερµικές συστολο-διαστολές είναι γραµµικοί νόµοι, η δράση των µηχανικών και των θερµικών φορτίων µπορεί να προστεθεί. Εποµένως στο πλαίσιο της γραµµικής και ισότροπης θεωρίας της θερµο-ελαστικότητας, 0 Αγγλ. shear modulus

18 8 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 η συνολική τροπή αποτελείται από τη µηχανική τροπή ε µ (λόγω των τάσεων) και από τη θερµική τροπή ε θ (λόγω αλλαγής της θερµοκρασίας) σ ε = εµ + εθ = + α T σ = E( ε α T) (.4) E Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει τυπικές τιµές για το µέτρο ελαστικότητας Young και το συντελεστή θερµικής διαστολής ορισµένων χαρακτηριστικών δοµικών υλικών. χάλυβας µάρµαρο γυαλί σκυρόδεµα ξύλο Ε kn mm α 0 o C 3 ως 9 3 ως 9 Στην περίπτωση που µία ράβδος είναι ισοατατικά στηριγµένη, τότε η θερµική τροπή δεν µπορεί να προκαλέσει αντιδράσεις και εσωτερικές τάσεις, σ = 0 ε α T = 0 (.4) οπότε λέµε ότι η θερµική τροπή ε θ είναι «άεργη». Στην περίπτωση όµως που ο φορέας είναι υπερστατικός, τότε γενικώς αλλαγή της θερµοκρασίας θα επιδράσει στην εντατική του κατάσταση. Για την επεξήγηση αυτού θεωρούµε το εξής παράδειγµα. Παράδειγµα Θεωρούµε µία οµογενή αµφίπακτη δοκό (ΑΒ), δηλαδή µία δοκό της οποίας τα άκρα συνδέονται µε ακλόνητα στηρίγµατα που δεν επιτρέπουν την αλλαγή του µήκους της δοκού. Ο εν λόγω φορέας είναι υπερ-στατικός (γιατί;). Άρα για οποιαδήποτε µηχανική ή θερµική καταπόνηση, οι ορθές τροπές κατά µήκος της δοκού θα είναι µηδενικές, Αγγλ. workless thermal strain

19 9 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 = σταθ. ε = 0 Θεωρούµε ότι κατά την διαδικασία πάκτωσης ο φορέας δεν υπέστη καµία µηχανική καταπόνηση και ως εκ τούτου αρχικά οι αντιδράσεις στις πακτώσεις είναι µηδενικές και το µήκος αυτού αµετάβλητο ( = ( ΑΒ) ). Μετέπειτα θεωρούµε ότι ο φορέας υπόκειται µόνο σε θερµική καταπόνηση, που εκφράζεται µε µία αλλαγή της θερµοκρασίας του κατά Τ. Στην προκείµενη περίπτωση η θερµο-ελαστική Εξ. (.4) δίνει, σ 0 = + α T σ = E α T E Άρα αύξηση της θερµοκρασίας κατά Τ> 0 προκαλεί την ανάπτυξη θλιπτικών τάσεων στον φορέα ( σ < 0 ), ενώ µείωση της θερµοκρασίας ( Τ< 0 ) προκαλεί την ανάπτυξη εφελκυστικών τάσεων ( σ> 0 ). Π.χ. για µια χαλύβδινη ράβδο, µε µέτρο ελαστικότητας 6 Ε= 0. kn / mm και συντελεστή θερµικής διαστολής α o. 0 C =, έχουµε ότι σ kn 6 6 kn MPa = 0 0 T = 30 0 T =.3 T o 3 o o mm C (0 m) C C Αν η «επιτρεπόµενη τάση» του χάλυβα είναι σ t, επ = 0MPa, τότε από την παραπάνω εκτίµηση για την αναπτυσσόµενη τάση και την απαίτηση όπως σε κάθε περίπτωση, σ<σ επ, παίρνουµε ότι κατά την λειτουργία του φορέα το θερµικό φορτίο δεν πρέπει να υπερβεί µια τιµή ( Τ< Τ max,επ ) που υπολογίζεται ως εξής, MPa 0MPa o σ=.3 T <σ 0MPa o επ = Τ max, επ = = 95. C o C.3MPa/ C Παρατηρήσεις Η παραπάνω διάταξη χρησιµοποιήθηκε από τους L.F. Coffin (979) &.. Mason (960) 3 στη µελέτη «κόπωσης» των µετάλλων, δηλαδή της αστοχίας του υλικού, όχι λόγω µιας µονότονης υπέρβασης µιας κάποιας επιτρεπόµενης τάσης αλλά λόγω ενός µεγάλου αριθµού αυξο-µείωσης της τάσης, που στη συγκεκριµένη διάταξη επιτυγχάνεται µε αυξο-µείωση της θερµοκρασίας. Γενικώς θα παρατηρήσουµε ότι Η επιτρεπόµενη τάση» είναι συνήθως ένα κλάσµα της µονοαξονικής «αντοχής» ενός υλικού. Ο χάλυβας έχει πρακτικά την ίδια αντοχή σε θλίψη και σε εφελκυσµό, γεγονός που αντανακλάται και στις αντίστοιχες επιτρεπόµενες τάσεις. Γενικώς θα παρατηρήσουµε δε ότι η τιµή της επιτρεπόµενης τάσης θα εξαρτηθεί από το υλικό, τη σπουδαιότητα του έργου, το είδος και το τρόπο της φόρτισης, τις διαστάσεις της ελεγχόµενης διατοµής, του τρόπου κατασκευής του φορέα και της νοµικής θεώρησης σχετικά µε την απαιτούµενη ασφάλεια του έργου. 3.. Manson, Interpretive report on cumulative fatigue damage in the low cycle range. Weld. J. Res. uppl. 43 (964), pp

20 0 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 θερµικά φορτία δηµιουργούν ένταση µόνο σε υπερ-στατικούς φορείς. Αντίθετα θερµικά φορτία δεν δηµιουργούν ένταση σε ισοστατικούς φορείς και πολλούς µηχανισµούς. Για την επεξήγηση της παρατήρησης αυτής θεωρούµε τους δυο φορείς, όπως στα παραπλεύρως σχήµατα (α) και (β) και θέλουµε να χαρακτηρισθούν οι φορείς αυτοί ως προς την ισοστατικότητά τους, δηλαδή αν είναι υπερστατικοί, ισοστατικοί ή κινηµατικοί. Και τούτο διότι θέλουµε να αποφασίσουµε αν σε κάθε ένα από του φορείς αυτούς αυξηθεί η θερµοκρασία κατά T > 0, θα αναπτυχθούν ή όχι θερµικές τάσεις. Συναφής µε τα παραπάνω παραδείγµατα είναι επέκταση του γνωστού και ανεπιτήδευτου «κανόνα του Maxwell» για τον έλεγχο της ισοστατικότητας ραβδωτών φορέων (δικτυωµάτων) από τον C.R. Calladine (978) 4. Υπενθυµίζουµε ότι ο κλασικός κανόνας του Maxwell είναι, 3κ=ρ+ n, όπου κ είναι ο αριθµός κόµβων, ρ ο αριθµός ράβδων και n ο αριθµός αντιδράσεων 5. Ο κανόνας αυτός επεκτείνεται στον κανόνα του Calladine, 3κ =ρ+ n+ s m, όπου s είναι ο αριθµός των αυτοεντατικών καταστάσεων και m είναι ο ολικός αριθµός πεπερασµένων και απειροστικών µηχανισµών. 4 C.R. Calladine, Buckminster Fuller s Tensegritty structures and Clerk Maxwell s rules for the construction of stiff frames, Int. J. olids tructures, 4 (978), pp Πρβλ. Ι. Βαρδουλάκης και Α. Γιαννακόπουλος, Τεχνική Μηχανική Ι, Κεφ. 3, Εκδ. Συµµετρία, 004.

21 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., Μηχανική και Θερµική Καταπόνηση Ραβδωτού Φορέα Συνοψίζοντας τα παραπάνω θεωρούµε ένα οµογενή ραβδωτό φορέα µήκους, ο οποίος καταπονείται αξονικά από φορτίο 6. Η ράβδος έχει σταθερή διατοµή, εµβαδού A και έχει κατασκευασθεί από ελαστικό υλικό, µέτρου ελαστικότητας E. Η ορθή τάση που αναπτύσσεται στη τυχούσα ορθή διατοµή της ράβδου υπολογίζεται ως, σ = (.43) A Η µηχανική αυτή καταπόνηση προκαλεί αλλαγή του αρχικού µήκους της ράβδου κατά και η τροπή σε κάθε θέση κατά µήκος του άξονα της ράβδου είναι σταθερή, ε = (.44) Λαµβανοµένου υπ όψη το νόµου του Hooke, σ = Eε (.45) από τις παραπάνω εξισώσεις παίρνουµε τελικά µια σχέση που συνδέει γραµµικά την αλλαγή µήκους της ράβδου µε το αξονικό φορτίο που αυτή καλείται να παραλάβει, = ( EA) (.46) Η ποσότητα ( EA ) στην παραπάνω σχέση καλείται στιβαρότητα 7 της ράβδου. Στην περίπτωση τώρα που ασκείται και «θερµικό φορτίο» η Eξ. (.45) αντικαθίσταται από την εξής, σ ε = + α T (.47) E οπότε αντί της Eξ. (.46) έχουµε την παρακάτω σχέση, = ( EA) α T (.48) 6 Το αξονικό φορτίο, λέγεται και «τάση» της ράβδου, δεν πρέπει όµως να συγχέεται µε τη τάση σ. 7 Ο όρος αυτός συνιστά νεολογισµό, που προτείνεται να αποδώσει τον αγγλικό όρο stiffness.

22 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., Παραµόρφωση Απλών ικτυωµάτων.6. Απλό ισοστατικό δικτύωµα Για το απλό δικτύωµα του σχήµατος ζητείται να υπολογισθεί η κατακόρυφη µετατόπιση του κόµβου Γ. Παρατηρούµε ότι ο φορέας είναι ισοστατικός (γιατί;). Οπότε, τόσο οι αντιδράσεις R A, R Β όσο και οι εσωτερικές δυνάµεις 8 των ράβδων και υπολογίζονται από τις εξισώσεις ισορροπίας και µόνο. Επίσης λόγω συµµετρίας έχουµε, = = (.49) Από την ισορροπία του κόµβου Γ παίρνουµε cosα F = 0 F = cosα (.50) Κάτω από την ένταση αυτή κάθε µια ράβδος µηκύνεται συµφώνως προς την Εξ. (.46) κατά, = (.5) EA Άρα το σηµείο Γ µετατίθεται κατακόρυφα στο σηµείο Γ, που βρίσκεται στην τοµή των τόξων κύκλων µε κέντρα τα σηµεία Α και Β και ακτίνα +, αντιστοίχως. Από το σχήµα το παίρνουµε ότι το συµβιβαστό των παραµορφώσεων των ράβδων οδηγεί στη ζητούµενη έκφραση για τη κατακόρυφη µετατόπιση του κόµβου Γ : δγ = ( ΓΓ ) cosα F = cos α EA (.5) 8 Στην ελληνική βιβλιογραφία, στην περίπτωση ραβδωτών φορέων, οι εσωτερικές δυνάµεις αναφέρονται ενίοτε και ως οι «τάσεις» των ράβδων. έον όµως να αποφεύγεται η χρήση του όρου εµπροκειµένω προς αποφυγή παρανοήσεων, αφού η έννοια της τάσης έχει κατοχυρωθεί παραπάνω ως αποδίδουσα τον αγγλικό όρο stress. Πρβλ., Εξ. (.43).

23 3 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Από την παραπάνω θεώρηση έχουµε τις εξής σχέσεις: σ = και A F = cosα εχόµενοι ότι η τάση λειτουργίας του φορέα δεν µπορεί να υπερβεί την επιτρεπόµενη τιµή για το συγκεκριµένο υλικό (χάλυβας), σ σ επ προκύπτει ότι η απαιτούµενη διατοµή είναι: Α απ σ επ o Αριθµητική εφαρµογή: = 3m, α= 30, F= 30kN, Στην περίπτωση αυτή έχουµε ότι: E 0 kn/ mm 30kN Ααπ = m = 0.787cm o cos30 3 kn 0 0 m σ επ =. =, 0MPa 4 Αν π.χ. οι ράβδοι έχουν πλήρη κυκλική διατοµή, διαµέτρου D, τότε 4 D Dαπ = Aαπ = 0.000m= 0.0mm π Έστω ότι επιλέγουµε ράβδους διαµέτρου D =.5mm, οπότε D A = π = π ( 0.05m) =.7 0 m =.7cm Η τάση λειτουργίας κάθε µιας των ράβδων του απλού δικτυώµατος που διαστασιολογούµε είναι: F 30kN σ = = = = 440.kPa=4.MPa o A cosα A cos m Άρα για την επιλεγείσα διατοµή η τάση λειτουργία είναι µικρότερη της επιτρεπόµενης, σ = 4.MPa<0MPa Αντιστοίχως οι µήκυνση κάθε µιας των ράβδων είναι

24 4 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 σ 440.kPa ε = = = A kn m mm kn 440. = m = =5.5 0 kn m 3 ( 0 m) Άρα ορθώς δεχθήκαµε ότι οι τροπές είναι απειροστικές ( ε << ). Τέλος κατακόρυφη µετατόπιση του κόµβου Γ υπολογίζεται ως εξής: F 30kN 3m δγ = = = 0.003m=.3mm o cos α EA cos 30 kn 0.7mm mm Έστω το ύψος του δικτυώµατος o h= cosα = cos 30 =.598m Η βύθιση του σηµείου εφαρµογής του φορτίου σε σχέση µε το αρχικό ύψος του είναι, -3 δ Γ = = h.6m.3mm %.6. Το χαµηλό τριαρθρωτό τόξο Ένα τριαρθρωτό τόξο (ΑΓΒ) λέγεται «χαµηλό» όταν το ύψος του (ΟΓ) είναι µικρό σε σχέση µε τις άλλες του διαστάσεις. Στην περίπτωση αυτή η γωνία ( OAΓ ) = ( ΟΒΓ ) = θ είναι «µικρή». Θεωρούµε τώρα την περίπτωση που ο φορέας φορτίζεται µε κατακόρυφο φορτίο F που εφαρµόζεται στην άρθρωση Γ. Για την επίλυση του προβλήµατος προσφεύγουµε στη λεγόµενη θεωρία µεγάλων παραµορφώσεων. Πράγµατι θεωρούµε ότι κάτω από την επίδραση του φορτίου F το σηµείο Γ µετατοπίζεται κατακόρυφα στη θέση Γ, οπότε εισάγουµε τη γωνία * ( OAΓ ) = ( ΟΒΓ ) = θ, την οποία θεωρούµε επίσης µικρή. Έστω δ η αδιάστατη κατακόρυφη µετατόπιση δ Γ = ( ΓΓ ) του σηµείου Γ. Για µικρές τιµές των γωνιών θ και θ έχουµε,

25 5 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 δ * Γ δ = = cosθ( tanθ tanθ ) θ θ θ 3 + θ θ θ (.53) Εν προκειµένω η µεταβολή του µήκους των ράβδων υπολογίζεται από τρίγωνο (ΑΓΓ ) ως, ( ) π Γ = + = + δ δ θ (.54) ( A ) Γ Γcos Από τη σχέση αυτή υπολογίζουµε την τροπή στις ράβδους ως συνάρτηση των γωνιών θ και θ ε = = δ sinθ + δ θ θ ( ) * * (.55) εχόµαστε την ισχύ του γραµµικού νόµου του Hooke 9, οπότε η τάση των ράβδων δίδεται από τη γνωστή σχέση, = ( EA) (.56) Εισάγοντας την αδιάστατη τάση ράβδου, * = (.57) ( EA) ο νόµος του Hooke (µε τη χρήση αδιάστατων µεγεθών) γράφεται απλά ως εξής, * = ε (.58) Η εξίσωση ισορροπίας του κόµβου στη θέση Γ, στην παραµορφωµένη κατάσταση του φορέα, δίδει µία έκφραση για την τάση των ράβδων, η οποία τυπικά µοιάζει µε εκείνη της γραµµικής θεωρίας, F F = + sinθ 6 θ θ (.59) Η διαφορά µεταξύ των δύο εκφράσεων για την τάση των ράβδων έγκειται στο γεγονός ότι η γωνία α = π / θ στην Εξ. (.50) αφορά στη γεωµετρία του φορέα πριν την εφαρµογή του φορτίου (δηλ. αφορά στη γεωµετρική απεικόνιση του φορέα πριν την παραµόρφωση ), ενώ η γωνία θ στην Εξ. (.59) αφορά στη γεωµετρική απεικόνιση του φορέα µετά την εφαρµογή του φορτίου (δηλ. αφορά στη «γεωµετρία» του παραµορφωµένου φορέα). Άρα η εξίσωση ισορροπίας (.50) είναι προσεγγιστική, ενώ 9 Μια τέτοια θεώρηση συνιστά µια γραµµική θεωρία συµπεριφοράς του υλικού.

26 6 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 η εξίσωση ισορροπίας (.59) είναι ακριβής. Παρατηρούµε επίσης ότι οι παραπάνω δύο σχέσεις, Εξ. (.55) και (.59) είναι µη-γραµµικές ως προς την παραµορφωσιακή παράµετρο 30 θ. Εισάγοντας την αδιάστατη παράµετρο φόρτισης, F λ = (.60) ( EA) η Εξ. (.59) γράφεται ως εξής, λ λ = θ + θ sinθ 6 * (.6) Οι Εξ. (.58), (.55) και (.6) δίδουν τελικώς µια απλή, µη-γραµµική σχέση µεταξύ της γωνίας θ και του αδιάστατου φορτίου, λ ( θ θ ) θ (.6) Η Εξ. (.6), µεταξύ της αδιάστατης παραµέτρου φόρτισης και γωνίας που σχηµατίζουν τα σκέλη του τριαρθρωτού τόξου µε την οριζόντια κατεύθυνση, ερµηνεύεται µε τη βοήθεια του παραπάνω σχήµατος: Στη θέση (0), θεωρούµε τον φορέα αφόρτιστο, θ = θ : λ = 0 (.63) Στη συνέχεια µια αύξηση του φορτίου επιφέρει την παραµόρφωση του φορέα, που αντανακλάται σε µείωση της γωνίας θ. Όπως φαίνεται στο σχετικό διάγραµµα, η µη γραµµική συνάρτηση, Εξ. (.6), εµφανίζει στη θέση () ένα τοπικό µέγιστο για την παράµετρο φόρτισης, 30 Μια τέτοια θεώρηση συνιστά µια γεωµετρικά µη-γραµµική θεωρία.

27 7 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 θ θ λ λ θ = : = max = (.64) Αν από το σηµείο () συνεχίζαµε να παραµορφώνουµε τον φορέα, ελέγχοντας τη βύθιση του κόµβου Γ, τότε µετά τη θέση () και συµφώνως προς την Εξ. (.6) το φορτίο αρχικά θα έφθινε και στη συνέχεια θα αύξανε πάλι, ακολουθώντας την καµπύλη (-- ) του διαγράµµατος. Αν τώρα θεωρήσουµε ότι αντί της µετατόπισης ελέγχουµε το φορτίο, το οποίο ξεκινώντας από την τιµή λ = 0 στην αφόρτιστη κατάσταση αυξάνουµε διαδοχικά, τότε η παραπάνω µετάβαση (-- ), πάνω στο λεγόµενο «φθιτό 3» κλάδο απόκρισης του φορέα, είναι αδύνατη. Στην πραγµατικότητα, κάτω από «συντηρητικά φορτία 3» η µετάβαση από το θλιβόµενο (σηµείο ) στο εφελκυόµενο δικτύωµα (σηµείο ) θα γίνει δυναµικά, όπως υποδηλώνεται στο αντίστοιχο διάγραµµα µε την ευθεία γραµµή (- ). Η απότοµη αυτή µετάβαση (- ) ισοδυναµεί µε µία αστάθεια, που θα µπορούσε να ονοµασθεί «αναδίπλωση 33» του δικτυώµατος. Στη φάση αυτή η ανάλυση του συστήµατος παύει να είναι απλή και πρέπει να γίνει στα πλαίσια µιας στατικής 34 ή µιας δυναµικής 35 θεωρίας ευστάθειας..6.3 Απλός απειροστικός µηχανισµός Ο φορέας του προηγούµενου παραδείγµατος από ισοστατικός εκφυλίζεται σε απειροστικό µηχανισµό στην περίπτωση που οι δύο ράβδοι (ΑΓ) και (ΒΓ) είναι συγγραµµικές στην αφόρτιστη κατάσταση ( θ = 0 ). Ο µηχανισµός αυτός φορτιζόµενος στην άρθρωση Γ µε κατακόρυφο φορτίο F, οδηγεί, συµφώνως προς την Εξ. (.50) (για α π /) σε απειρισµό της κατακόρυφης µετατόπισης του κόµβου Γ καθώς σε απειρισµό των τάσεων των ράβδων. Η ιδιοµορφία αυτή της κλασικής λύσης αίρεται, αν προσφύγει κανείς στη θεωρία «µεγάλων» παραµορφώσεων, πυ παρουσιάσαµε πιο πάνω. Πράγµατι, για 0 θ = από τις Εξ.(.53) και (.6) παίρνουµε, λ θ δ 3 *3 ή * 3 δ λ (.65) 3 Νεολογισµός, εισαχθείς από τον Καθηγητή Θ. Τάσιο για να αποδοθεί ο αγγλικός όρος softening branch. 3 Συντηρητικά φορτία είναι εκείνα τα φορτία τα οποία διατηρούν την ένταση και φορά τους. Τυπική περίπτωση συντηρητικών φορτίων είναι τα λεγόµενα και «νεκρά» φορτία λόγω ιδίου βάρους. 33 Νεολογισµός, Αγγλ. snap-through. Γερµ. Durchschlagen. Το φαινόµενο αυτό µελετήθηκε πρώτη φορά από τον Richard von Mises. 34 von Mises R. (93). Über die tabilitätsprobleme der Elastiyitätatheorie, ZAMM, 3, von Mises R. und Ratzerdorfer, J. (95). Die Knicksicherheit von Fachwerken, ZAMM,5, Huang, N. C. (97) Dynamic buckling of a some elastic shallow structure subjected to periodic loading with high frequency, International Journal of olids and tructures, 8,

28 8 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Από την Εξ. (.6) παίρνουµε την έκφραση για την αδιάστατη τάση των ράβδων, δ (.66) * * Οι παραπάνω µαθηµατικοί υπολογισµοί δίδουν ότι στο θεωρούµενο απειροστικό µηχανισµό η µεν κατακόρυφη υποχώρηση του σηµείου Γ, εφαρµογής το φορτίου, είναι κατά προσέγγιση συνάρτηση της κυβικής ρίζας του φορτίου, /3 F δ Γ (.67) ( EA) οι δε τάσεις των ράβδων δίδονται από την εξής έκφραση F ( EA) ( EA ) /3 (.68) Το γενικό συµπέρασµα που βγαίνει από το παραπάνω παράδειγµα είναι ότι για τον υπολογισµό της µετατόπισης και των εσωτερικών δυνάµεων, που αναπόδραστα αναπτύσσονται σε απειροστικούς µηχανισµούς όταν αυτοί φορτίζονται κατάλληλα, πρέπει να προσφύγουµε σε µη-γραµµικές θεωρίες όπως π.χ. µια γραµµικής ελαστικότητας αλλά µεγάλων παραµορφώσεων..6.4 Το απλό υπερστατικό δικτύωµα Ζητείται να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στους κόµβους στήριξης του φορέα του σχήµατος, λαµβανοµένου υπ' όψιν ότι η κατακόρυφη ράβδος ΟΑ είναι λίγο µεγαλύτερη από τις άλλες ράβδους ΟΒ και ΟΓ: (0 δ = + δ < << ) (.69) Η τάση της ράβδου () είναι εφελκυστική ( > 0) ενώ οι τάσεις των ράβδων () και (3) είναι θλιπτικές και λόγω συµµετρίας ίσες ( = 3 = - <0). Από την ισορροπία του κόµβου Ο προκύπτει: o F cos 60 = 0 F = 0 (.70)

29 9 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Η µήκυνση της ράβδου () και οι βραχύνσεις των ράβδων () και (3) είναι αντιστοίχως: ( OO ') = > 0 ( OO ) = ( OO ) = < 0 (.7) Η απαίτηση του να συντρέχουν και τρεις ράβδοι στο ίδιο σηµείο και µετά την παραµόρφωση του φορέα καλείται και αίτηµα περί του «συµβιβαστού των παραµορφώσεων». Οπότε από το συµβιβαστό των παραµορφώσεων των τριών ράβδων προκύπτει η σχέση: = cos 60o = (.7) Παρατηρούµε ότι ο φορέας είναι υπερστατικός (γιατί;), οπότε οι στατικές εξισώσεις ισορροπίας και οι γεωµετρικές εξισώσεις συµβιβασµού των παραµορφώσεων δεν επαρκούν για την επίλυση του προβλήµατος. Το πρόβληµα επιλύεται µε την προσφυγή στις «καταστατικές» εξισώσεις της ελαστικής συµπεριφοράς των ράβδων, Εξ. (.46): =, = (.73) EA EA Οπότε, από τη σχέση συµβιβαστού, Εξ. (.7) προκύπτει ότι: = (.74) και στη συνέχεια, από την εξίσωση ισορροπίας, ότι: F = = F + + (.75)

30 30 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 εχόµενοι ότι το δικτύωµα εµφανίζει µία ατέλεια σε σχέση µε την ακριβή κατασκευή των ράβδων: δ δ = + (0< << ) (.76) παίρνουµε από την Εξ. (.75) ότι αυτή η ατέλεια µεταβιβάζεται κατ' ευθείαν στις δυνάµεις των ράβδων: δ F 3 3 F δ (.77) Με το παράδειγµα αυτό επιβεβαιώνεται η γενική παρατήρηση, ότι η ελαστική στατική επίλυση ενός υπερστατικού φορέα είναι ευαίσθητη σε ατέλειες που συνήθως δεν είναι γνωστές. Αντίθετα, γεωµετρικές ατέλειες δεν δηµιουργούν εντάσεις σε ισοστατικούς φορείς (γιατί;). Ερώτηση Αν υποθέσουµε ότι θερµαίνουµε τη ράβδο () προτού την τοποθετήσουµε έτσι ώστε το µήκος της να είναι ακριβώς ίσο προς και µετά την συναρµολόγηση αφήσουµε το σύστηµα να κρυώσει. Θα αναπτυχθούν δυνάµεις στις ράβδους ή όχι;.7 Ασκήσεις ) ίδονται δύο ράβδοι (ΑΒ) και (CD), οι οποίες αρχικώς δε βρίσκονται σε επαφή, 3 αφού το µήκος της πρώτης υστερεί εκείνου της δευτέρας κατά δ << L. Για δ / L = 0 να υπολογισθεί η ένταση σε κάθε µια από τις ράβδους στην περίπτωση που η ράβδος () θερµαίνεται και εποµένως οι ράβδοι έρχονται σε επαφή και αυτοεντείνονται. 5 ίδεται ο θερµικός συντελεστής διαστολής του υλικού των ράβδων, α = 0 / o C.

31 3 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Λύση: Πριν την επαφή, δηλαδή για T T0, οι αξονικές τάσεις είναι µηδέν. Για τη ράβδο () µε ( AB) = L έχουµε ότι η επαφή θα συµβεί όταν: δ ε0 = = α T0 L δ T0 = = = 00 C L α C Μετά την επαφή η διαστολή της ράβδου () εµποδίζεται και ως εκ τούτου αναπτύσσεται θλιπτική αξονική δύναµη N < 0, ενώ η ράβδος () εφελκύεται και ως εκ τούτου αναπτύσσεται εφελκυστική αξονική δύναµη N > 0. Η ισορροπία του κοινού σηµείου επαφής επιτάσσει όπως, N = N = N Οπότε αν συνεχίσουµε τη θέρµανση της ράβδου (), T = T0 + T οι τροπές στις ράβδους είναι d N ράβδος (): ε = = L EA δ + d N d N ράβδος (): ε = = ε0 + α T = + α T L EA L EA Άρα,

32 3 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 NL NL d = = + T N = EA T EA EA α α Οι τάσεις των ράβδων () και () είναι σ σ N = = Eα T (ελκυόµενη ράβδος) A N = = Eα T (θλιβόµενη ράβδος) A Υποθέτουµε ότι το υλικό των ράβδων είναι ένα τυπικό κεραµικό υλικό που έχει αντοχή σε εφελκυσµό σ και σε θλίψη σ 0σ και σε κρίσιµη θλιπτική τροπή σ θλ / Ε 0 3 εφ θλ εφ. Η αστοχία του συστήµατος θα συµβεί προφανώς λόγω θραύσης της ράβδου () σε εφελκυσµό 36. Θραύση της ράβδου () θα συµβεί δε όταν σ = σεφ. Άρα, σ σ θλ 3 E T,, θλ εφ = α C θρ Τ θρ = 0 Ε α = C = Άρα το σύστηµα αστοχεί όταν η θερµοκρασία της ράβδου () ανέλθει στους T = T0 + T = = 0. ) Στον υπερστατικό φορέα το σχήµατος οι ράβδοι (ΓΚ) και ( Λ) θερµαίνονται κατά T. Να υπολογισθούν οι αξονικές δυνάµεις που αναπτύσσονται στις εν ράβδους και στη δοκό (ΑΒ). σ 36 Η εφελκυστική θραύση κεραµικού υλικού καλείται και ψαθυρή θραύση. Η ψαθυρή θραύση είναι πρακτικά ακαριαία γι αυτό το παραπάνω σύστηµα χρησιµεύει ως θερµική ασφάλεια.

33 33 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Λύση : Το µήκος και η κλίση των ράβδων είναι: = a + b a cosϕ = Ισορροπία στη θέση περί τη διατοµή (Γ ): + F y = 0: ( )sin ϕ + ( )sin ϕ) = 0 = = (.78) + F x = 0: N+ ( N) ( )cos ϕ ( )cosϕ = 0 cos ϕ = ( N N) (.79) Οι τροπές δίδονται από τον τύπο της θερµο-ελαστικότητας, : σ ε = + α T E Ράβδοι: = + αρ T ( EA) ρ a N Τµήµα ΑΓ της δοκού : = a ( EA) δ c N Τµήµα ΒΓ της δοκού : = c ( EA) δ

34 34 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Συµβιβαστό των παραµορφώσεων: Α) Το συνολικό µήκος της δοκού ΑΒ παραµένει σταθερό: Συµβιβαστό των µετατοπίσεων: c+ c+ a+ a= c+ a c= a Οπότε από το νόµο του Hooke παίρνουµε, N N c a ( EA) = δ ( EA) a N = N (.80) δ c Εξ. (.79) δίνει: a cos ϕ = ( N N) = ( + ) N N = cosϕ (.8) c + a/ c Β) Η κατασκευή διατηρεί την συνέχειά της στη διατοµή (Γ ): N acosϕ = + αρ T (.8) ( EA) δ ( EA) ρ

35 35 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Οι εξ. (.8) και (.8) δίνουν, ή ( EA) cos ϕ = δ + ( EA) δαρ T + a/ c ( EA) ρ cos ( EA) δαρ T = 3 ( EA) cos ϕ + δ + a/ c ( EA) ρ Με δεδοµένη τη τιµή της από την παραπάνω εξίσωση, οι αξονικές δυνάµεις που αναπτύσσονται στη δοκό υπολογίζονται από τις εξ. (.8) και (.80). 3) ίδεται συµµετρικό δικτύωµα αποτελούµενο από τρεις ράβδους, µε στιβαρότητες ( EA) = ( EA) 3 = ( EA), ( EA) = ( EA). Ζητείται να υπολογισθούν οι τάσεις των ράβδων καθώς και η κατακόρυφη βύθιση του κόµβου Α. ϕ 4) Αβαρής, άκαµπτη δοκός (ΑΒ) αναρτάται από τρεις ισοµήκεις ράβδους, στιβαρότητας (ΕΑ). Η δοκός φορτίζεται στο µέσο του φατνώµατος ΑΓ µε κατακόρυφο φορτίο F. Να υπολογισθούν οι τάσεις και µηκύνσεις των ράβδων.

36 36 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 5) Για τους παραπάνω δύο φορείς (το υπερστατικό δικτύωµα και την αναρτηµένη αβαρή δοκό) όταν αυτοί είναι αφόρτιστοι (F = 0), να υπολογισθεί η αυτοένταση των ράβδων που προκαλείται για αλλαγή της θερµοκρασίας της µεσαίας ράβδου () κατά Τ C. ίνονται οι συντελεστές θερµικής διαστολής αντίστοιχα. 6) Μία οριζόντια, αβαρής και απαραµόρφωτη δοκός αναρτάται από τρεις µεταλλικές ράβδους ΑΑ, ΒΒ και ΓΓ όπως στο σχήµα. Η ράβδος ΑΑ δέχεται µία µεταβολή της θερµοκρασίας της κατά Τ = 30 C. Να βρεθούν οι τάσεις των ράβδων και η νέα θέση των σηµείων Α, Β, Γ, αντιστοίχως. ίδονται: Μέτρο ελαστικότητας, Ε = 70 GPa, συντελεστής θερµικής διαστολής α = / o C και η διατοµή των ράβδων Α = 3 cm. 7) οκός τετραγωνικής διατοµής A c από σκυρόδεµα, περιέχει κεντρική χαλύβδινη ράβδο (τένοντα) διατοµής A s. Στην κατάσταση ισορροπίας η χαλύβδινη ράβδος δέχεται εφελκυστικό φορτίο έντασης Ρ ενώ µέσω των άκαµπτων πλακών (Π Α ) και (Π Β ) ασκούνται στο σκυρόδεµα θλιπτικές τάσεις. Να υπολογισθούν: α) Η θλιπτική τάση σ c του σκυροδέµατος και η εφελκυστική τάση σ s του χάλυβα. β) Οι νέες τάσεις σ c του σκυροδέµατος και σs του χάλυβα, αν η θερµοκρασία του συστήµατος (σκυρόδεµαχάλυβας) αυξηθεί κατά Τ. ίδονται το µέτρο ελαστικότητας του σκυροδέµατος, E c = 5 GPa και του χάλυβα, E t = 00 GPa. Το εµβαδόν της διατοµής του σκυροδέµατος, A c = 400cm και του χάλυβα, A t = 4 cm. Ο συντελεστής θερµική ς διαστολής του σκυροδέµατος a c = / o C και του χάλυβα α t =. 0-6 / o C. Το φορτίο προέντασης, Ρ = 00kN, και η διαφορά θερµοκρασίας, Τ = 0 C.

37 37 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Λύση: Σε κάθε κατάσταση του συστήµατος η ισορροπία επιβάλλει όπως η δύναµη Z που παραλαµβάνει η χαλύβδινη ράβδος () s και η συνολική θλιπτική δύναµη D που δέχεται η ορθή διατοµή της δοκού () c είναι ίσες: Z = D Έστω L 0 το κοινό αρχικό µήκος της ράβδου και της δοκού, Lc0 = Ls0 = L0 υπό προένταση Z = P = 00kN P 00. kn Αρχική τάση στη ράβδο () s : σ t0 = = = 50MPa A t 4. (0 m) P 00. kn Αρχική τάση στη δοκό () c : σc0 = = =.5MPa A c 400. (0 m) Έστω Z και D οι δυνάµεις που παραλαµβάνει ο χάλυβας και το σκυρόδεµα όταν αυξηθεί τη θερµοκρασία του συστήµατος κατά T = 0 C. Ισορροπία επιτάσσει την ισότητα όπου Οπότε Z = D = P P = P+ P

38 38 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., 007 Η µήκυνση της ράβδου () s : ε t P/ A = t + αt T Et Η µήκυνση της δοκού () c : ε P/ Ac c = + αc T Ec Το σύστηµα όµως διατηρεί τη συνoχή του και µετά την αλλαγή της θερµοκρασίας, οπότε Άρα: L c= Lt = L0 ( + ε ) εst = εc = ε ( ) ε P/ At P/ Ac t T c T E α t E α αt αc T = + = + P = c + Et At Ec Ac P Τελική τάση στη ράβδο () s : σ t = = 49.6 Ast MPa P Τελική τάση στη δοκό () c : σc = = 4.9 Ac MPa 8) ίδεται αβαρής και άκαµπτη δοκός (ΟΓ), όπως στο σχήµα. Η δοκός στηρίζεται στο άκρο της Ο µε άρθρωση και στα σηµεία Α, Β και Γ αναρτάται από αβαρή σχοινιά µήκους =, =, 3 = 3. Τα σηµεία αναρτήσεως Α, Β κα Γ απέχουν από το άκρο Ο κατά a, a και 3a, αντιστοίχως. Σε τυχόν σηµείο Ρ µε συντεταγµένη, xf = b ασκείται κατακόρυφη δύναµη, έντασης F. ίδονται: το µέτρο ελαστικότητας του υλικού των σχοινιών, 5 E = Et =. 0 N / mm, το εµβαδόν της διατοµής των σχοινιών, A =.mm, το φορτίο, F =.5kN και τα γεωµετρικά στοιχεία της κατασκευής, a =.5m και = 0.5m. Ζητούνται: ) Η θέση του φορτίου που αντιστοιχεί στη µέγιστη και στην ελάχιστη υποχώρηση του άκρου Γ. ) Η υποχώρηση το σηµείου Β, όταν το φορτίο δρα στο σηµείο αυτό ( b= a).

39 39 Ι. Βαρδουλάκης:Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ., Οιονεί Γραµµωτοί Φορείς Στα πλαίσια της Τεχνικής Μηχανικής µπορούµε να επεκτείνουµε τις παραπάνω θεωρήσεις που ίσχυαν για φορείς µε σταθερή διατοµή και σε φορείς µε ελαφρώς µεταβαλλόµενη διατοµή. Έτσι, στην περίπτωση αυτή δεχόµαστε ότι και η ορθή τάση σε διατοµή κάθετη προς τον άξονα του φορέα είναι µεν σταθερή πάνω στη διατοµή αλλά και ότι µεταβάλλεται γενικώς κατά µήκος του άξονα, σ = σ ( x)..8. Ισοστατικός Πυλώνας µεταβλητής διατοµής Για παράδειγµα θεωρούµε ένα κατακόρυφο πυλώνα ΑΑ', µεταβλητής καθ ύψος διατοµής που αποτελείται από οµοιόµορφο υλικό συνολικού βάρους Β. Ο πυλώνας εδράζεται στο έδαφος στο σηµείο Α και δέχεται κατακόρυφο κεντρικό φορτίο στο σηµείο Α'. Ισορροπία δυνάµεων στο στοιχείο στη τυχαία θέση x από τη βάση του πυλώνα δίνει N + dn db N = 0 dn = db (.83) Έστω γ του ειδικό βάρος γ του υλικού 37 και A( x ) το εµβαδόν της διατοµής του πυλώνα στη θέση x. Ορίζουµε το λεγόµενο γραµµικό ειδικό βάρος ως = A( x), [ ] = FL (.84) β γ β Το στοιχειώδες βάρος db δίνεται από την εξής σχέση, db = β ( x) dx (.85) οπότε η παραπάνω σχέση ισορροπίας, Εξ. (.83), παίρνει τη µορφή διαφορικής εξίσωσης για την αξονική δύναµη: dn dx = β ( x) (.86) Από τις Εξ. (.84) και (.86) προκύπτει η διαφορική εξίσωση ισορροπίας µεταξύ της εσωτερικής δύναµης N( x ) και της εξωτερικής δύναµης β = γ A( x) που δρουν στο στοιχείο του φορέα στη θέση x : 37 Π.χ. για το σκυρόδεµα ή για ένα πέτρωµα µία τυπική τιµή του ειδικού βάρους είναι, γ = 3 5 kn / m