ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

Transcript

1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα) Δίνονται: E = 2 0 kn I = 00000cm k = 6000kN m m ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α E = 2 0 kn m 8 2, I = 00000cm = 0 m, k = 6000kN m, f = k = ( 6000) m kn EI = 2 0 kn m 0 m = 2 0 knm Μέθοδος των Δυνάμεων: Οι εξισώσεις ισορροπίας ικανοποιούνται Απαίτηση ικανοποίησης και της εξισώσεως συμβιβαστού ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

2 Α ΤΡΟΠΟΣ: Επιλέγω ως άγνωστο υπερστατικό μέγεθος την αντίδραση του γραμμικού ελατηρίου. (Στατική Αοριστία = ) Φορέας Α + Φορέας Β X ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 2

3 Στατική Επίλυση Φορέα Α N = V3 8= 0 V3 = 27.50k F y = 0 V + V = 0 V = 260 V 3 V = 32.50kN Στατική Επίλυση Φορέα Β = 0 3+ V3 8= 0 V3 38 = kn F y = 0 V + V 3 + = 0 V = ( 3 8) V = 58 kn Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Θεμελιώδης Φορέας) [Μ L ] [ ] Εξίσωση Συμβιβαστού: ( s) 0 =Δ =Δ + F X, όπου L L 3 L Δ + = dx S f S EI ομόρροπα L ( ) Για ml = 3 m = 3 8 και nl = 3 n =5 8 από το αντίστοιχο διάγραμμα λαμβάνουμε: dx ( ) EI EI = EI + = 64 L = = =0 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 3

4 Επομένως, L 3 3 Δ + = L Δ = Επίσης, F = dx+ S ( f EI S ) 2, όπου 5 dx 5 = 8 = EI EI S ( f S ) = ( ) ( ) = Επομένως, F = F = Τελικά, ( s) L =Δ =Δ + F X 0 = X X = 49.7kN = V3 8 = 0 V3 = F = V V = 0 V = V V = 0.77kN y 3 3 kn ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 4

5 Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Υπερστατικός Φορέας) [] [Q] Παρατήρηση : Στον κόμβο #2 έχουμε πήδημα στο διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων λόγω της ύπαρξης συγκεντρωμένης φόρτισης ίσο με = 29.7kN Παρατήρηση 2: Το διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων [N] είναι μηδενικό. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 5

6 Β ΤΡΟΠΟΣ: Επιλέγω ως άγνωστο υπερστατικό μέγεθος την αντίδραση στη στήριξη #3. (Στατική Αοριστία =) Φορέας Α + Φορέας Β X ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 6

7 Στατική Επίλυση Φορέα Α N = 0 V = 0 V2 = 340k F y = 0 V + V = 0 V = 260 V 3 V = 80kN Στατική Επίλυση Φορέα Β = 0 8+ V2 3= 0 V3 83 = kn F y = 0 V + V 2 + = 0 V = ( 8 3) V = 53 kn Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Θεμελιώδης Φορέας) [Μ L ] Εξίσωση Συμβιβαστού [ ] ( s) L L L L 0.0 =Δ =Δ + F X, όπου Δ = dx + S ( f S ) EI L dx = 3 5 ( 2 ( 53.75) 375) 5 5 ( 2 ( 93.75) 375) EI EI = = [ ] = EI 8 S ( f S ) = ( 340) = L L Επομένως, Δ = Δ = Επίσης, F = dx+ S ( f S ), όπου EI dx = 8 5 = και S f S = =.85 0 EI EI Επομένως, F = F = ( ) ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 7

8 Τελικά, ( s) L =Δ =Δ + F X 0.0 = X X = 06.26kN = V2 3 = 0 V2 = F y = 0 V + V = 0 V = V 2 V = 97.0 kn kn Παρατήρηση: Τα αποτελέσματα της μεθόδου β παρουσιάζουν μικρές διαφορές με εκείνα της μεθόδου α λόγω δεκαδικών ψηφίων. Δεν υπάρχουν σημαντικά αξιόλογες διαφορές. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 8

9 Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών (Υπερστατικός Φορέας) [Μ] [Q] Παρατήρηση : Στον κόμβο #2 έχουμε πήδημα στο διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων λόγω της ύπαρξης συγκεντρωμένης φόρτισης ίσο με = 36.64kN Παρατήρηση 2: Το διάγραμμα αξονικών δυνάμεων είναι μηδενικό. Ερώτημα β Προκειμένου να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23), τοποθετούμε μία συγκεντρωμένη μοναδιαία φόρτιση στο σημείο αυτό, αναφερόμενοι σε οποιοδήποτε θεμελιώδη ισοστατικό φορέα.. Εδώ θα χρησιμοποιηθεί ο θεμελιώδης φορέας του πρώτου τρόπου επίλυσης, που είδαμε παραπάνω. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 9

10 Εξισώσεις ισορροπίας = 0 V = 0 V3 = F y = 0 V + V 3 = 0 V = V 3 V = kn kn Διάγραμμα Ροπών Κάμψεως [ ] Θεώρημα Μοναδιαίου Φορτίου (Εξίσωση Ελαστικότητας): δ = dx 00 EI dx = ( ) EI EI = [ ] = + = 6EI Άρα, δ δ = 3 3 =.23cm ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 0

11 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ 2 Στο φορέα του σχήματος ζητείται: (2.5 μονάδες) α) η ποιοτική χάραξη των διαγραμμάτων, Q, N χωρίς κανένα υπολογισμό β) να καθοριστεί η φορά της οριζόντιας μετατόπισης του κόμβου 2 ΕΠΙΛΥΣΗ: Κινηματική Αοριστία Φορέα = 2, {δ, φ} Χάραξη ελαστικής γραμμής για φ και δ ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

12 Δίνουμε μία επιπλέον παραμόρφωση στην ελαστική γραμμή στο τμήμα που περιέχει το φορτίο. Από τις ελαστικές γραμμές των φ και δ προκύπτει συνολικά: = 0, < 0 < 0, > < 0, = Q > 0, Q < 0, Q > Q 2 2 Q > 0, Q < 0, Q > Q Q < 0, Q < 0, Q = Q Διάγραμμα Ροπών Κάμψης [Μ] Πρέπει: 24 = Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων [Q] ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 2

13 Διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων [N] Αξονικές Δυνάμεις: N = N = Q > 0 23 N = N = Q Q < 0 N = N = 0 (κύλιση στον #4) Η φορά της οριζόντιας μετατόπισης του κόμβου #2 είναι προς τα δεξιά, δεδομένου ότι παντού EI = σταθ. και το μήκος του τμήματος (24) είναι μεγαλύτερο από εκείνο του τμήματος (2). ΘΕΜΑ 3 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα, Q, Ν (3 μονάδες) Δίνονται: E = 2 0 kn m, I = 00000cm, k = 6000kN m ΕΠΙΛΥΣΗ: E = 2 0 kn m 8 2 l23 = l24 = m, I = 00000cm = m 4, EI = 2 0 kn m 0 m = 2 0 knm Κινηματική Αοριστία: 2, ( δ, φ ) 2 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 3

14 Μέθοδος των Μετατοπίσεων: Οι εξισώσεις συμβιβαστού ικανοποιούνται Απαίτησης ικανοποίησης και των εξισώσεων ισορροπίας + δ + ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 4

15 φ 2 Ροπές Κάμψεως 3EI 3EI 2 = 0 2 = 240 δ 2 φ EI 23 = φ2 32 = 0 4EI 2EI 24 = φ2 42 = φ2 Τέμνουσες Δυνάμεις + 2 Q 2 = 90 + Q = ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 5

16 23 32 Q 23 = Q = Q = Q42 = Εξισώσεις Ισορροπίας = EI 3EI 3EI 4EI 240 δ φ = φ + φ δ 75000φ = φ φ δ = 240 (Α) 2 Kδ = Q2 = δ 9375φ2 6000δ = δ 9375φ δ+ 9375φ 2 = 60 (Β) Η λύση του συστήματος εξισώσεων (Α) και (Β) είναι: φ = δ = rad m ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 6

17 Επομένως, 3EI 3EI 2 = 0 2 = 240 δ 2 φ2 = = 282.6kNm 8 8 3EI 23 = φ2 = 2.2kNm 32 = 0 4EI 2EI 24 = φ2 = 6.49kNm 42 = φ2 = 80.74kNm Q 2 2 = 90 + = = 54.67kN 8 Q 2 2 = 50 + = = 85.33kN 8 23 Q 23 = = 42.82kN Q32 = Q23 = kn Q24 = = = 85.64kN Q42 = Q24 = 85.64kN Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών [Μ] Έλεγχος: 2.2kNm kNm = knm ισχύει ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 7

18 [Q] o F = cos 45 + N cos 45 + N cos 45 = 85.64cos 45 x N23 + N24 = (Γ) F y o o o o = sin sin 45 + N cos 45 = N sin 45 N23 N24 = (Δ) o o o Η λύση του συστήματος εξισώσεων (Γ) και (Δ) είναι: N N = 26.69kN = 73.87kN ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 8

19 [N] Έλεγχος: o o o o F x = cos sin 45 = 85.64cos sin = ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ 4 Στο φορέα του σχήματος και για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου από έως 4 ζητείται η χάραξη των γραμμών επιρροής ( μονάδα): α) της τέμνουσας δύναμης στη θέση α β) της ροπής κάμψεως στο μέσο m του τμήματος (23) ΕΠΙΛΥΣΗ: Μέθοδος üller Breslau: Κατά την κίνηση φορτίου P=, τα εντατικά μεγέθη, Q, N και τα παραμορφωσιακά μεγέθη δ, φ μεταβάλλονται. Σε κάθε σημείο θα υπάρχει διαφορετική μεταβολή στα διαγράμματα εντατικών μεγεθών. Η μεταβολή αυτή απεικονίζεται μέσω των γραμμών επιρροής. Για την εύρεση της Γ.Ε. κάποιου εντατικού μεγέθους, κατασκευάζουμε έναν βοηθητικό φορέα καταργώντας το αντίστοιχο εντατικό μέγεθος.στο φορέα αυτό, ο οποίος είναι ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 9

20 μία φορά λιγότερο υπερστατικός, επιβάλλουμε το εντατικό μέγεθος που βγάλαμε με τέτοιο τρόπο, ώστε: (α) να είναι αρνητικό (β) να προκαλεί αντίστοιχο παραμορφωσιακό μέγεθος ίσο με μονάδα Γραμμή Επιρροής Τέμνουσας Δύναμης στη θέση α Γ.Ε. V α Γραμμή Επιρροής Ροπής Κάμψεως στο μέσο m του τμήματος (23) Γ.Ε. Μ m ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ 20