Σιδηρές Κατασκευές ΙΙ Διάλεξη 1 Πλευρικός λυγισμός. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών

Transcript

1 ιδηρές ατασκευές Διάλεξη Πλευρικός λυγισμός χολή Πολιτικών ηχανικών ργαστήριο εταλλικών ατασκευών

2 Άδεια Χρήσης ο παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. ια εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 Φαινόμενο πλευρικού λυγισμού..π. γκάρσια Πλευρικός λυγισμός είναι η μορφή αστάθειας ενός καμπτόμενου μέλους, κατά την οποία οι διατομές υπόκεινται, μετά το λυγισμό, σε στροφή περί το κέντρο διάτμησης και σε ταυτόχρονη πλευρική φόρτιση μετατόπιση. Δ ΔΞ Π 3

4 Φαινόμενο πλευρικού λυγισμού..π. γκάρσια φόρτιση έλος υπό απλή κάμψη Δ ΔΞ Π

5 ..Π. Δ ΔΞ Π 5 Φαινόμενο πλευρικού λυγισμού Πλευρικός λυγισμός προβόλου με συγκεντρωμένο φορτίο στο άκρο

6 ..Π. Δ ΔΞ Π 6 Φαινόμενο πλευρικού λυγισμού Δοκός διατομής I υπό ομοιόμορφη ροπή

7 Φαινόμενο πλευρικού λυγισμού..π. Δ Πλευρικός λυγισμός δοκού διατομής I υπό ομοιόμορφη ροπή (φαίνεται μόνον η μισή δοκός) ΔΞ Π 7

8 Ποιοτική ερμηνεία πλευρικού λυγισμού..π. το άνω πέλμα δοκού διατομής I αναπτύσσονται λόγω κάμψης διαμήκεις ορθές θλιπτικές τάσεις ο άνω πέλμα λειτουργώντας ως θλιβόμενη πλάκα έχει την τάση να λυγίσει Δ ΔΞ Π 8

9 ..Π. Ποιοτική ερμηνεία πλευρικού λυγισμού κορμός παρεμποδίζει τον λυγισμό του θλιβόμενου άνω πέλματος περί τον ασθενή του άξονα ια αρκετά υψηλότερες τιμές του φορτίου, το άνω πέλμα λυγίζει περί τον ισχυρό του άξονα, δηλαδή εκτρέπεται πλευρικά Δ ΔΞ Π 9

10 ..Π. Ποιοτική ερμηνεία πλευρικού λυγισμού ο εφελκυόμενο κάτω πέλμα δεν έχει την τάση να λυγίσει, συνδέεται όμως μέσω του κορμού με το θλιβόμενο άνω πέλμα, το οποίο εκτρέπεται πλευρικά διατομή στρέφεται περί τον διαμήκη άξονα Δ ΔΞ Π

11 ..Π. Δ ΔΞ Π έννοια του πλευρικού λυγισμού εσαία διατομή αμφίπακτης δοκού

12 ..Π. Δ ΔΞ Π έννοια του πλευρικού λυγισμού Προοπτικές εικόνες αμφίπακτης δοκού

13 ..Π. Δ ΔΞ Π 3 έννοια του πλευρικού λυγισμού Άνω πέλμα αμφίπακτης δοκού

14 ..Π. Δ ΔΞ Π έννοια του πλευρικού λυγισμού άτω πέλμα αμφίπακτης δοκού

15 ..Π. Δ τρεπτοκαμπτικός λυγισμός ν το μέλος υπόκειται όχι μόνον σε εγκάρσια φορτία αλλά και σε αξονική θλίψη, το θλιβόμενο τμήμα της διατομής επεκτείνεται, και η ένταση των θλιπτικών τάσεων αυξάνεται κίνδυνος πλευρικού λυγισμού είναι μεγαλύτερος την περίπτωση αυτή ο λυγισμός λέγεται στρεπτοκαμπτικός λυγισμός (lateral- torsional buckling) ΔΞ Π 5

16 Διατομές μη ευπαθείς σε πλευρικό και στρεπτοκαμπτικό λυγισμό..π. οίλες κυκλικές και κοίλες ορθογωνικές διατομές, που διαθέτουν μεγάλη στρεπτική δυσκαμψία Δ ΔΞ Π 6

17 Διατομές ευπαθείς σε πλευρικό και στρεπτοκαμπτικό λυγισμό..π. Δ νοικτές διατομές διπλού ταυ ή U, που διαθέτουν μικρή στρεπτική δυσκαμψία και είναι ευαίσθητες σε στρέβλωση ΔΞ Π 7

18 ..Π. Διατομές ευπαθείς σε πλευρικό και στρεπτοκαμπτικό λυγισμό Περισσότερο ευαίσθητες σε πλευρικό λυγισμό είναι οι διατομές με μεγαλύτερο λόγο I y /I z Δ λιγότερο ευαίσθητες περισσότερο ευαίσθητες ΔΞ Π 8

19 ..Π. Δ ΔΞ Π 9 Διαφορική εξίσωση ισορροπίας πειδή η δοκός φορτίζεται μόνο στο επίπεδο zx αναπτύσσεται αρχικά ροπή κάμψης y

20 Διαφορική εξίσωση ισορροπίας..π. πρόβλημα λυγισμού διαφορική εξίσωση κάμψης περί τον άξονα y εξισώσεις ισορροπίας στην παραμορφωμένη κατάσταση dv EI =M cosφ M dx y y y () διαφορική εξίσωση κάμψης περί τον άξονα z du E I z =M y sinφ M y φ dx () διαφορική εξίσωση στρέψης περί τον άξονα x Δ dφ d φ du G It -E I w =-M 3 y dx dx dx 3 (3) ΔΞ Π

21 ..Π. Διαφορική εξίσωση ισορροπίας Παραγωγίζοντας την (3) ως προς x προκύπτει: d φ d φ du GIt -EI w =-M y dx dx dx και από τις () και (): d φ d φ M E Iw -GI t - φ dx dx E I που είναι η διαφορική εξίσωση πλευρικού λυγισμού ΔΞ Δ Π y z ()

22 ..Π. ια απλή στρεπτική στήριξη ή διχαλωτή στήριξη d φ φ=, = dx υνοριακές συνθήκες ια πλήρη πάκτωση ια ελεύθερο άκρο Δ dφ φ=, = dx 3 d φ dφ d φ =, G I t -E I w = 3 dx dx dx ΔΞ Π

23 ..Π. λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού ια δοκό με διατομή συμμετρικού διπλού ταυ με απλές στρεπτικές στηρίξεις στα άκρα υπό ομοιόμορφη ροπή Δ M π z w cr Iz I L G I L π E I t z ΔΞ Π 3

24 λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού..π. Παράγοντες που την επηρεάζουν: ι συνοριακές συνθήκες ο είδος και η θέση των φορτίων, τα οποία επηρεάζουν την κατανομή της ροπής κατά μήκος της δοκού (δηλαδή τη μορφή του διαγράμματος καμπτικών ροπών) ο σημείο εφαρμογής των φορτίων καθ ύψος της διατομής (κέντρο βάρους, άνω πέλμα, κάτω πέλμα) Δ ΔΞ Π

25 ..Π. Δ ΔΞ Π 5 λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού πίδραση του σημείου εφαρμογής των φορτίων καθ ύψος της διατομής (κέντρο βάρους, άνω πέλμα, κάτω πέλμα)

26 λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού..π. M M = M cr cr,box Διατομές ίσου εμβαδού Δ ΔΞ Π 6

27 ..Π. λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού ια δοκό σταθερής διατομής, συμμετρική ως προς τον ασθενή άξονα αδρανείας και υποκείμενη σε κάμψη περί τον ισχυρό άξονα αδρανείας, η κρίσιμη ελαστική ροπή πλευρικού λυγισμού δίνεται από το γενικό τύπο.5 π Ζ k I kl GI w t M = C + + C z - C z - C z - C z (kl) k w Iz πζ cr g 3 j g 3 j Δ ΔΞ Π 7

28 ..Π. Δ λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού ια δοκό σταθερής διατομής, συμμετρική ως προς τον ασθενή άξονα αδρανείας και υποκείμενη σε κάμψη περί τον ισχυρό άξονα αδρανείας y, η κρίσιμη ελαστική ροπή πλευρικού λυγισμού δίνεται από το γενικό τύπο.5 π Ζ k I kl GI w t M = C + + C z - C z - C z - C z (kl) k w Iz πζ cr g 3 j g 3 j L I t I w I z το μήκος της δοκού μεταξύ σημείων πλευρικά εξασφαλισμένων σταθερά στρέψης σταθερά στρέβλωσης ροπή αδράνειας περί ασθενή άξονα ΔΞ Π 8

29 ..Π. Δ λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού.5 π Ζ k I kl GI w t M = C + + C z - C z - C z - C z (kl) k w Iz πζ cr g 3 j g 3 j G μέτρο ελαστικότητας μέτρο διάτμησης C,C,C 3 συντελεστές εξαρτώμενοι από τις συνθήκες φόρτισης και στρεπτικής στήριξης k, k w συντελεστές εξαρτώμενοι από το είδος των στηρίξεων ως προς την ελευθερία στροφής και στέβλωσης των άκρων του εξεταζόμενου πλευρικά μη προστατευόμενου τμήματος ΔΞ Π 9

30 λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού..π. ι συντελεστές k και k w : Δ για πλήρη πάκτωση λαμβάνουν τιμή.5 για απλές στηρίξεις λαμβάνουν τιμή. για περιπτώσεις που έχουμε το ένα άκρο απλά στηριζόμενο και το άλλο πακτωμένο λαμβάνουν τιμή.7. συντελεστής k αφορά τη στροφή του άκρου στο εγκάρσιο προς τη φόρτιση επίπεδο και είναι ανάλογος του συντελεστή ισοδύναμου μήκους λυγισμού θλιβόμενου στοιχείου. συντελεστής k w αφορά τη στρέβλωση του άκρου και λαμβάνεται ίσος προς. εκτός και εάν έχουμε λάβει ειδικά μέτρα πάκτωσης έναντι στρέβλωσης. ΔΞ Π 3

31 ..Π. λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού.5 π Ζ k I kl GI w t M = C + + C z - C z - C z - C z (kl) k w Iz πζ cr g 3 j g 3 j z g =z a -z s z a z s απόσταση του κέντρου διάτμησης από το σημείο εφαρμογής του φορτίου τεταγμένη του σημείου εφαρμογής του φορτίου ως προς τον κεντροβαρικό άξονα y τεταγμένη του κέντρου διάτμησης ως προς τον κεντροβαρικό άξονα y Δ ι τεταγμένες μετρώνται με αφετηρία το κέντρο βάρους της διατομής και είναι προσημασμένες με θετική φορά προς το θλιβόμενο πέλμα της διατομής ΔΞ Π 3

32 λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού..π. Δ ΔΞ Π 3

33 ..Π. λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού.5 π Ζ k I kl GI w t M = C + + C z - C z - C z - C z (kl) k w Iz πζ cr g 3 j g 3 j z = z - j s.5 z y + z da I y Δ για διατομές διπλής συμμετρίας z j = ΔΞ Π 33

34 ..Π. Δ ΔΞ Π 3 λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού για k w =

35 ..Π. λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού Φόρτιση μόνον με ακραίες ροπές, για k w = για k= C = ψ -.5ψ.7 Δ ΔΞ Π 35

36 λαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού..π. για διατομές διπλής συμμετρίας z j =, οπότε π EI z k I kl GI w t M = C + + C z - C z kl kw Iz π EIz cr g g Δ ΔΞ Π 36

37 ..Π. οπή αντοχής ροπή αντοχής σε λυγισμό μιας πλευρικά μη προστατευμένης δοκού πρέπει να λαμβάνεται ως: M = b,rd χ W f LT y y γ M Δ ΔΞ Π 37

38 ..Π. M = b,rd χ W f LT y y οπή αντοχής χ LT ο μειωτικός συντελεστής για πλευρικό λυγισμό που υπολογίζεται για ανηγμένη λυγηρότητα : γ M λ LT = W y M cr f y Δ ΔΞ Π 38

39 ..Π. M = b,rd χ W f LT y y οπή αντοχής χ LT ο μειωτικός συντελεστής για πλευρικό λυγισμό που υπολογίζεται για ανηγμένη λυγηρότητα : λ LT = ΔΞ Δ Π γ W χ LT = αλλά χ LT, Φ + Φ - λ LT LT LT y M M Φ LT =,5 +α LT LT λ -, +λ cr f y LT 39

40 ..Π. οπή αντοχής υνιστώμενες τιμές των συντελεστών ατελειών για καμπύλες πλευρικού λυγισμού ύσταση για την επιλογή καμπύλης πλευρικού λυγισμού Δ ΔΞ Π

41 πιρροή ύψους πλευρικής εξασφάλισης..π. Δ ΔΞ Π

42 πιρροή ύψους πλευρικής εξασφάλισης..π. ύψος πλευρικής εξασφάλισης σε σχέση με το Β της διατομής KB πλευρική εξασφάλιση με κύλιση Δ ΔΞ Π

43 πιρροή ύψους πλευρικής εξασφάλισης..π. Π ΞΦ Δ... λ κάτω πέλμα άνω πέλμα ύλιση η ιδιομορφή η ιδιομορφή z (m) Δ ΔΞ Π 3

44 πιρροή δυσκαμψίας πλευρικής εξασφάλισης..π. ύψος πλευρικής εξασφάλισης σε σχέση με το Β της διατομής KB k πλευρική εξασφάλιση με ελαστική στήριξη Δ ΔΞ Π

45 πιρροή δυσκαμψίας πλευρικής εξασφάλισης..π. λ κάτω Π ΞΦ Δ Ξ k= k= k=5 k= k=5 k= k=3 k= k=5 k=8 η ιδιομορφή η ιδιομορφή z (m) Δ ΔΞ Π άνω πέλμα 5

46 Χρηματοδότηση ο παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. ο έργο «νοικτά καδημαϊκά αθήματα..π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. ο έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του πιχειρησιακού Προγράμματος «κπαίδευση και Δια Βίου άθηση» και συγχρηματοδοτείται από την υρωπαϊκή Ένωση (υρωπαϊκό οινωνικό αμείο) και από εθνικούς πόρους.