Vježba 16 1/17. Praktikum iz eksperimentalne nastave fizike 2. Fizika informatika
|
|
|
- Μνημοσύνη Γεωργιάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1/17 Praktikum iz eksperimentalne nastave fizike 2 Fizika informatika Vježba ŠIRENJE VALA IZMEðU DVA NEPOMIČNA KRAJA ODREðIVANJE BRZINE ŠIRENJA ZVUKA U STUPCU ZRAKA IZNAD POVRŠINE VODE ODREðIVANJE BRZINE ŠIRENJA ZVUKA U ZRAKU-KUNDTOVA CIJEV DEMONSTRACIJA AKUSTIČNE REZONANCIJE TITRANJE UŽETA DUŽINA VALA MELDEOV POKUS VALOVI NA VODI DEMONSTRIRAJTE POSTANAK KRUŽNOG VALA DEMONSTRIRAJTE INTERFERENCIJU DVA KRUŽNA VALA PROVJERITE HUYGENSOV PRINCIP DEMONSTRIRAJTE POJAVU DIFRAKCIJE VALOVA DEMONSTRIRAJTE REFLEKSIJU VALA DEMONSTRIRAJTE OVISNOST VALNE DULJINE O DUBINI VODE PROVJERITE ZAKON LOMA VALA Iz Zbirke zadataka iz fizike Priručnik za učenike srednjih škola autora Mikuličić-Varićak-Vernić riješite zadatke (barem 60 % zadataka). Literatura: 1. Vernić-Mikuličić, Vježbe iz fizike, Školska knjiga, Zagreb, Kartoteka pokusa za Praktikum iz eksperimentalne nastave fizike 3. Martinis-Vujnović-Paar, Fizika - Valovi i čestice, Svezak A i B, Školska knjiga, Zagreb, 1986.
2 2/ ŠIRENJE VALA IZMEðU DVA NEPOMIČNA KRAJA Ureñaj za demonstraciju stojnih valova na niti, izvor 12 V AC, funkcijski generator, motor (NTL komplet), dva stalka, 3 mufe, kuka, šipka, elastična nit, dinamometar, kolotura na držaču, mjerna vrpca. Zadatak: 1. Demonstrirajte promjene valne duljine titranja o napetosti niti uz stalnu frekvenciju titranja. 2. Demonstrirajte u tekstu zadana titranja pomoću NTL opreme te istražite matematički i grafički ovisnost brzine titranja niti o sili napetosti niti (5 mjerenja). Što će se dogoditi s valovima koji prolaze od jedne pregrade, šire se sredstvom do druge pregrade, odbijaju se i vraćaju na prvu pregradu, i tako mnogo puta? Kakav će niz valova nastati u području izmeñu dva nepomična kraja? Provedimo pokuse i saznajmo. Sastavite aparaturu kao na slici Pomoću nje možemo demonstrirati kako promjena valne duljine titranja ovisi o napetosti niti uz stalnu frekvenciju titranja. Izvor napajanja je 12 V AC. Ureñaj titra jer elektromagnet stalno privlači željezni jezičac na kojem je zavezana nerastezljiva nit. Drugim krajem, gore, nit je zavezana na vijak pomoću kojeg napinjete ili opuštate nit. Uz stalnu frekvenciju titranja demonstrirajte titranje niti s jednim, dva i tri trbuha (tj. titranje s λ/2, λ i 3λ/2). Slika Ako raspolažemo izvorom vibracija različitih frekvencija možemo izvesti i pokuse u kojima ćemo vidjeti ovisnost brzine titranja niti o sili napetosti niti. Stoga sastavimo aparaturu kao na slici Slika
3 3/17 Mijenjamo frekvenciju titranja motora počevši od najmanjih vrijednosti (množitelj) i najmanje amplitude funkcijskog generatora (output level). Oblik vala zapaža se samo kada frekvencija motora poprimi neke posebne vrijednosti. Tada nit pokazuje izobličenja jasnih oblika (Slika ). Analizirajmo pokus: - Označava li takvo titranje val koji napreduje? - Što je karakteristično za takvo titranje? - Kako razmak granica utječe na duljinu vala? - Kakav oblik ima nit u nekom odabranom trenutku? Slika Prvo svojstvo vala Pojava ima oblik vala, ali val se ne širi, već stoji. Nazovimo ga stojnim valom. Stojni val ima trbuhe i čvorove. Drugo svojstvo vala Nit ne može istodobno biti u položaju trbuha s obje strane ravnotežnog položaja. Pri titranju vidimo cijelu površinu, no nit se u jednom trenutku nalazi samo u jednom položaju. Stoga u pojedinim trenucima val zauzima različite položaje (Slika ). Ono što vidimo je dakle, amplituda stojnog vala, a zbog tromosti oka ne vidimo niz mnogobrojnih položaja niti izmeñu amplituda. Treće svojstvo stojnog vala U jednom trenutnom položaju nit pokazuje oblik vala. Ustanovimo kako se duljina tog vala odnosi prema razmaku pregrada. Najprije promatrajmo stojni val s najmanjim brojem trbuha, a onda s više njih: λ Stojni val s jednim trbuhom l = 2 λ Stojni val s dva trbuha l = 2 = λ 2 Stojni val s tri trbuha l = 3 λ 2 Izvedimo opće pravilo o odnosu izmeñu pregrada i duljine vala l = Razmislite: - Postoji li ureñaj kojim bismo mogli ustanoviti položaj niti u jednom kraćem vremenskom intervalu? - Koliki je razmak izmeñu dva susjedna čvora? - Kako to da val stoji iako je sasvim sigurno da se valovi izmeñu granica šire u oba smjera?
4 4/17 Eksperimentalni zadatak Sastavimo pokus prikazan na slici Nategnimo nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti. Metrom izmjerimo duljinu niti l, a dinamometrom napetost niti F. Frekvenciju mijenjate dok ne uspostavite titranje s 1 valnom duljinom. Izvršite 5 mjerenja frekvencije za različite napetosti niti. Izračunajmo brzinu širenja valova v od kojih nastaje stojni val. Podatke upisujmo u tablicu. Ustanovimo kako brzina vala v ovisi o napetosti niti F. Tu ovisnost prikažite grafički i matematički. Napravite graf na milimetarskom papiru. Nekoliko primjera stojnih valova Razmotrite kako izgleda stojni val u sredstvu s učvršćenim krajevima. Docrtajte novu sliku na slici tako da je l = 5 λ. 2 Može li se val odbiti i pojaviti stojni val na neki drugi način? Kako bi izgledao stojni val kada bi jedan kraj sredstva bio slobodan? Javlja li se na slobodnom kraju čvor ili trbuh? Razmotrite crtež stojnog vala (Slika ) i pokažite gdje se nalazi desni kraj ako je slobodan? Slika Možete li ustanoviti opće pravilo koje povezuje razmak l i valnu duljinu, ako je jedan kraj nepomičan, a drugi slobodan? l = Stojni se val pojavljuje i onda kada su oba kraja slobodna (Slika primjer c). Hoće li se tada na krajevima javiti čvorovi ili trbusi. Možete li u tom slučaju izvesti opće pravilo koje povezuje duljinu sredstva l i valnu duljinu? l = Stojni val na elastičnoj šipci. Val se širi jednom tankom elastičnom šipkom učvršćenom na različite načine (Slika ). Pri kojem od označenih učvršćenja a, b, c mogu nastati stojni valovi oblika prikazanih na sličicama A, B, C, D, E, F i G? Prepoznajte i povežite način titranja šipke s načinom učvršćenja. Slika
5 5/17 Riješimo ove probleme: U proučavanju stojnih valova ustanovili smo opće matematičko pravilo koje povezuje valnu duljinu i razmak meñu krajevima titrajućeg sredstva: a) kada je jedan kraj nepomičan a drugi slobodan b) kada su oba kraja slobodna c) Kada su oba kraja nepomična. Ako je osnovna frekvencija u tim sredstvima f 0, navedite umnoške koji odgovaraju njezinim harmonicima.
6 Zvučni val primjer longitudinalnog vala 6/17 Prolaskom longitudinalnog vala tvar se sabija i razrjeñuje: na svakom se mjestu s vremenom izmjenjuju zgušnjenja i razrjeñenja. U jednom trenutku u sredstvu su izmjenično rasporeñena zgušćenja i razrjeñenja (Slika 16.6.). Pomaci čestica u području izmeñu dva razrjeñenja prikazani su na Slici 16.7.a. Zamišljamo da su čestice u sredstvu u koje val još nije zašao rasporeñene u prosjeku jednoliko, na jednakim razmacima. Pri tome se na putu vala čestice pomiču na pravilan način. Svaki pomak odgovara jednoj elongaciji. Elongacije udesno ucrtajmo iznad osi (kao pozitivne), a one ulijevo ispod osi (kao negativne). Vrhove im spojimo krivuljom kako je započeto na Slici 16.7.b. Što mislite, koju matematičku funkciju prikazuje dobiveni graf? Slika Slika Izravna posljedica zvučnog vala je promjena lokalne gustoće sredstva. Ucrtajmo promjenu gustoće na slici Na slici uočavamo mjesta na kojima se gustoća nije promijenila te mjesta najveće promjene gustoće (porasta i smanjenja). Ucrtajmo ta mjesta na os apcise na slici c. Pri tom najvećoj gustoći dajmo pozitivnu vrijednost, a najmanjoj gustoći negativnu, pa te vrijednosti spojimo valovitom krivuljom. Promjena gustoće plina uzrokuje promjenu tlaka. Tlak se povećava s povećanjem gustoće. To ima bitne posljedice: zvučni val djeluje silom na predmete. Zato ga i čujemo; mijenjaju se pritisci na bubnjić u ritmu titranja zraka. Zbog prejakog zvuka mogu nas i zaboljeti uši. Jak zvuk oštećuje sluh, a može izazvati trajnu gluhoću i zdravstvene tegobe. Razmislimo 1. Gdje je najveće zgušćenje, a gdje najveće razrjeñenje sredstva? Kakve su elongacije čestica na tim mjestima? 2. Gdje se gustoća sredstva ne mijenja: a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera?
7 16.2. ODREðIVANJE BRZINE ŠIRENJA ZVUKA U STUPCU ZRAKA IZNAD POVRŠINE VODE 7/17 Šuplja cijev, posuda, stalak, 2 glazbene vilice, batić, čaša, gumeno crijevo, voda. Zadatak: 1. Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću glazbene viljuške u stupcu zraka iznad površine vode za 2 ponuñene viljuške. 2. Odgovorite na postavljena pitanja. Procijenimo brzinu širenja zvuka u stupcu zraka iznad vode. Upotrijebimo glazbenu viljušku poznate frekvencije. Frekvencija je zapisana na viljušci. Pokus izvedite prema slici Slika Slika Vilicu držite što bliže cijevi. Cijev postepeno izvlačimo iz vode dok prvi put ne čujemo pojačanje zvuka. Kako tada izgleda stojni val? Nacrtajte ga. Kolika mu je valna duljina? Kada ustanovimo valnu duljinu, odredimo i brzinu širenja zvuka u zraku. Ako je cijev dovoljno duga, pri daljnjem izvlačenju čut ćemo i drugi put pojačanje zvuka. Opet se pojavljuje stojni val. Nacrtajmo pretpostavljeni izgled stojnog vala. Odredimo mu valnu duljinu i izračunajmo brzinu širenja vala u sredstvu. Provjerite svoje znanje: 1. Koliko čvorova ima stojni val u zatvorenom prostoru kada se pojavi titranje osnovne frekvencije? Je li to najmanja ili najveća valna duljina stojnog vala koja se može pojaviti u zatvorenom prostoru.? 2. Izračunajmo: a) Ako je prostorija duga 5 m, koliko puta zvuk može prijeći njezinu dužinu za 0,1 s? b) Koliko kasnije do nas dopire zvuk ako se najprije odbije o zid dvorane udaljen od nas 45 m, a izvor zvuka je pored nas.
8 16.3. ODREðIVANJE BRZINE ŠIRENJA ZVUKA U ZRAKU-KUNDTOVA CIJEV 8/17 Generator zvučnih valova ili funkcijski generator, pojačalo, Kundtova cijev s zvučnikom, piljevina. Zadatak: Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 3 različite frekvencije (raspon od Hz). Slika Membrana zvučnika pobuñuje na titranje zrak zatvoren u staklenoj cijevi. Kada se klip, kao pomični zid, postavi u točno odreñeni položaj, prah na dnu cijevi raširi se u trbusima stojnih valova, a ostane nepomičan na čvorovima. Odredite duljinu valova mjereći mjernom vrpcom, a poznavajući frekvenciju izračunajte brzinu zvuka u zraku. Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku.
9 9/ DEMONSTRACIJA AKUSTIČNE REZONANCIJE Plastelin, uteg od 2 kg, batić, dvije glazbene vilice istih tonova na rezonantnoj kutiji. Zadatak: 1. Demonstrirajte akustičnu rezonanciju pomoću 2 glazbene viljuške. 2. Odgovorite na postavljena pitanja. Provedimo pokus s akustičnim viljuškama. Raspolažemo s dvije akustične viljuške jednakih vlastitih frekvencija. Jednu viljušku udarimo, ona zatitra. Zvučnim titrajima oglasi se i druga viljuška, makar je bila postavljena nekoliko metara podalje od prve. Kako bi se pobuñena viljuška bolje čula, prvu viljušku treba na vrijeme prigušiti. Razmislimo i izvedimo pokuse: Slika Što će se dogoditi ako na jednu akustičnu viljušku zalijepimo plastelin. Zašto? - Čemu služi drvena šuplja kutija ispod akustične viljuške? Kako se zove ta kutija? Što će se dogoditi s jakošću zvuka, ako kutiju zatvorimo rukom, a što ako pritisnemo utegom? Možete li ulogu te kutije usporediti s ulogom koju imaju zvučni ormarići u kojima su ugrañeni zvučnici? Gdje imamo još primjer takvih kutija (glazbena kultura)? - Je li vam poznato kako su neki pjevači mogli svojim glasom dovesti do titranja i prskanja staklenih predmeta (čaša za vino)? - Znate li kako postoji pravilo u svim vojskama kako se prilikom prelaska mostova, takoñer i u zgradama, ne stupa već ide običnim korakom? Što mislite zbog čega je uvedeno to pravilo?
10 10/ TITRANJE UŽETA Gumeno uže duljine nekoliko metara, duža elastična spiralna opruga, batić, stolna stega, mufa, šipka stativa, prsten, debelo uže i tanko uže. Zadatak: Demonstrirajte vježbe s titranjem užeta i opruge. Gumeno uže duljine 10 ili više metara (ili duža elastična spiralna opruga), učvrstimo za zid, a drugi kraj držimo rukom. Slika U blizini ruke štapom udarimo po gumenom užetu. Udarac neka bude brz i jak (Slika ). Ako je na učvršćeni kraj stigao brijeg vala, kako se odbio val? Kako to fizikalno nazivamo? Na užetu se pojavi uleknuće, koje putuje duž užeta sve do zida, tamo se odbije, dospijeva do ruke, gdje se ponovo odbija. To se ponavlja nekoliko puta. Gumeno uže nalik je na veliki broj meñusobno povezanih njihala. Zatitra li jedno od njih, energija se s tog njihala prenosi na drugo, pa s drugog na treće itd. sve do zida, odakle se energija prenosi u suprotnom smjeru. 2. Izvedimo udarac u sredini užeta! Energija se širi u obliku dvaju polovičnih uleknuća, od kojih jedno putuje prema zidu, drugo prema ruci. Tu se uleknuća odbijaju i putuju jedan prema drugome u susret. Promatrajmo susret odbijenih uleknuća u sredini užeta. 3. Na slobodnom kraju užeta izvedimo nekoliko kratkih i jakih trzaja gore i dole (Slika ). Na užetu se pojavljuju valovi koji putuju prema zidu. Gibanje tih valova, nalik je na gibanje zmije. Na prvi pogled čini se da putuje uže, no u stvari putuju uleknuća, koja sačinjavaju valove. Svaki se val sastoji od brijega i dola.
11 11/17 4. Na slobodnom kraju užeta izvodimo duže vremena kratke i jake trzaje (Slika ). Zbog trzaja nastaju valovi, koji se od zida odbijaju ali se na povratku susreću s valovima koji nadolaze. Dolazeći i odbijeni valovi udružuju se u valove, koji ne putuju nego stoje na mjestu, pa se zbog toga zovu stojni valovi. Demonstrirajte titranje titranje niti s jednim, dva i tri trbuha (tj. titranje s λ/2, λ i 3λ/2). 5. Kako se reflektira val na užetu ako je kraj slobodan (za izvoñenje pokusa trebat će vam stolna stega, mufa, šipka stativa i lagani prsten)? 6. Što se dogaña s valom koji nailazi s tanjeg na deblje uže (za izvoñenje pokusa trebat će vam stolna stega, mufa, šipka stativa, deblje i tanje uže)? 7. Uzmite elastičnu spiralnu oprugu i na podu demonstrirajte transverzalne stojne valove. Slika Uzmite elastičnu spiralnu oprugu i na podu demonstrirajte longitudinalne stojne valove tako da odreñeni broj zavoja zahvatite rukom (oko 1,5 m), povučete prema sebi i pustite. Slika Napomena: Frekvencija trzanja mora biti u odreñenom odnosu s dužinom užeta. Kako bi pokus u potpunosti uspio, treba mijenjati brzinu trzaja. Dobri se rezultati mogu postići i na taj način, da se trzaj izvede s obje strane užeta odjednom.
12 16.6. DUŽINA VALA MELDEOV POKUS 12/17 Vilica za infrazvuk, nit, batić, utezi, mjerna vrpca. Zadatak: Izvedite Meldeov pokus. Na nit dužine 1,2 m koju smo prebacili preko ruba stola, objesimo uteg (U) a slobodni kraj učvrstimo na krak villice za infrazvuk (V) kao što pokazuje slika. 1. Slobodnom rukom stisnemo krakove viljuške, pa ih zatim brzo pustimo! Kraci viljuške počinju titrati. Energija se s viljuške prenosi na nit na kojoj se pojavljuju valovi. Valovi se od ruba stola odbijaju i udružuju s valovima koji nadolaze. Tako nastaju stojni valovi. Produženjem ili skraćivanjem niti, može se postići čisto titranje, nakon čega valove možemo prebrojati. Slika Svaki val se sastoji od brda i doline. Prebrojimo li sva brda i sve doline i dobiveni broj podijelimo s brojem 2, naći ćemo broj valova. Iz dužine niti i broja valova možemo izračunati dužinu vala. Dužinu vala označujemo grčkim slovom λ (lambda). Primjer: Na niti dužine 98 cm, imali smo 7 brjegova odnosno dola vala. Kolika je dužina vala? Ukupni broj valova n = 7 : 2 = 3, 5 λ = 98 = 3,5 28 cm Dužina vala iznosi 28 cm. Kolika bi bila dužina vala, ako bi na dužini od 98 cm imali svega 5 brjegova odnosno dola? 2. Povećajmo uteg U dva puta i ponovo izmjerimo dužinu vala! Smanjivanjem ili povećavanjem utega U možemo utjecati na dužinu vala. 3. Podesimo težinu utega i dužinu niti tako, da na čitavoj dužini dobijemo svega jedan i po val. U tom valu postoje tri točke u kojima čestice uopće ne titraju. Slika Te su točke na gornjoj slici označene slovima Č 1, Č 2 i Č 3. Te se točke zovu čvorovi. Pored čvorova važni su i trbusi označeni na slici slovom T, odnosno T 1. Čestice koje se nalaze u tim točkama imaju najveću amplitudu. One kod titranja prevaljuju najduži put. Udaljenost Č 1, T, Č 2, zove se brijeg vala, a udaljenost Č 1, T 1, Č 2 dol vala. Č 1, Č 3 je dužina vala
13 VALOVI NA VODI 13/17 Valovi na vodi su vrlo pogodni za proučavanje valnog gibanja. To ćemo pokazati nizom pokusa u kojima će kao osnovni pribor poslužiti ureñaj WSP-220 s dijelovima za pobuñivanje i proučavanje valova na vodi. Ureñaj se priključuje na gradsku mrežu pomoću kabela. Na slici prikazan je takav jedan ureñaj s kadom za valove (1) i vibratorom (2). Kada za valove je okrugla aluminijska posuda promjera 22,5 cm koja ima tri vijka za horizontalno podešavanje. Za pravilno rukovanje ureñajem preporuča se slijedeći redoslijed montiranja: šipku stativa naviti na jedan od ležaja koji se nalaze oko kondenzira, a zatim postavimo objektiv sa zrcalom (5) koje nam služi za projiciranje slike u željenom pravcu. Vibrator (2) pričvrstimo na gornju ploču kućišta (kao na slici ). Kadu postavimo na kondenzor (velika leća na gornjoj ploči ureñaja) i u nju sipamo odreñenu količinu vode. U kadu stavljamo jednu od prepreka (reflektora) (slika ), a na vrh vibratora jedan od pobuñivača (slika ) ovisno o zadatku kojeg izvodimo. Slika linearna prepreka linearna prepreka s više pukotina Slika polukružna prepreka kružna prepreka s više pukotina Priključivanje na izvor električne energije se vrši na način da se vibrator spoji na gornje dvije priključnice na prednjem dijelu ureñaja (3). Ureñaj se uključuje tako da se podigne ručica (6) i pomakne u lijevo. Tada se upali svjetlo i vibrator počinje raditi. Da bi se bolje promatrale slike valova, vrši se stroboskopsko osvjetljavanje i dobre kontrastne slike se dobiju kada se dobije 50 svjetlosnih impulsa u sekundi. Pomicanjem ručice (6) u drugi položaj pali se stroboskop, a broj impulsa stroboskopa se regulira zakretanjem ručice (6), koja je ujedno i sinkrotonski potenciometar, na način da se prvo okrene sasvim ulijevo, a zatim se polako okreće u desno do trenutka kad se val potpuno umiri. Tada je frekvencija svjetlosnih impulsa stroboskopa jednaka frekvenciji gradske mreže. jednopolni pobuñivač dvopolni pobuñivač linearni pobuñivač linearni pobuñivač s više pukotina Slika
14 14/ DEMONSTRIRAJTE POSTANAK KRUŽNOG VALA Ureñaj WSP-220, jednopolni pobuñivač, voda. Zadatak: Demonstrirajte postanak kružnog vala na vodi. Jednopolni pobuñivač pričvrstimo na vibrator. Ručicu (6) stavimo u drugi položaj kako bismo imali stroboskopsko osvjetljenje. Ako jedan djelić materijalnog sredstva zatitra, što se postiže jednopolnim pobuñivačem uočit ćemo da se poremećaj prenosi na ostale dijelove materijalnog sredstva nastaje kružni val DEMONSTRIRAJTE INTERFERENCIJU DVA KRUŽNA VALA Ureñaj WSP-220, dvopolni pobuñivač, voda. Zadatak: Demonstrirajte interferenciju dva kružna vala na vodi. Dvopolni pobuñivač pričvrstimo na vibrator. Ručicu (6) stavimo u drugi položaj kako bismo imali stroboskopsko osvjetljenje. Dvopolnim pobuñivačem nastaju dva kružna vala istih frekvencija, bez fazne razlike. Nastaje interferencija valova, a rezultantni val ima oblik hiperbola PROVJERITE HUYGENSOV PRINCIP Ureñaj WSP-220, pobuñivač za linearne valove, dvije linearne prepreke (duljine 5 cm), višepolni pobuñivač, jednopolni pobuñivač, kružna prepreka s više pukotina, voda. Zadatak: Pomoću danih pokusa provjerite Huygensov princip. Pokus 1. Pobuñivač za linearne valove pričvrstimo na vibrator. Na nekoj udaljenosti od pobuñivača postavimo dvije linearne prepreke tako da tvore pukotinu promjera oko 4 mm. Ručicu (6) stavimo u drugi položaj kako bismo imali stroboskopsko osvjetljenje. Kad pobuñivač zatitra, što primjećujete iza pukotine? Usporedite sa slikom iz vježbe Pokus 2. Na vibrator pričvrstimo višepolni pobuñivač. Ručicu (6) stavimo u drugi položaj kako bismo imali stroboskopsko osvjetljenje. Kad pobuñivač zatitra, što primjećujete?
15 15/17 Pokus 3. U kadicu stavimo kružnu prepreku s više pukotina tako da otvoreni dijelovi strše uvis, a voda doseže tako da se valovi mogu širiti kroz pukotine. Na vibrator pričvrstimo jednopolni pobuñivač tako da njegov vrh bude u sredini kružne prepreke s više pukotina. Ručicu (6) stavimo u drugi položaj kako bismo imali stroboskopsko osvjetljenje. Kad pobuñivač zatitra, što primjećujete oko kružne prepreke s više pukotina? Kakve zaključke možete izvesti iz ova tri pokusa? Iskažite Huygensov princip DEMONSTRIRAJTE POJAVU DIFRAKCIJE VALOVA Ureñaj WSP-220, linearni pobuñivač, linearna prepreka (duljine 5 cm), voda. Zadatak: Demonstrirajte pojavu difrakcije valova na vodi. Pobuñivač za linearne valove pričvrstimo na vibrator. Vibrator otpojimo s priključnica (3) na prednjem dijelu ureñaja. Ručicu (6) stavimo u prvi položaj kako ne bismo imali stroboskopsko osvjetljenje. Valove proizvodimo u impulsima (rukom pritišćemo vibrator u proizvoljnim vremenskim intervalima). Što primjećujete? DEMONSTRIRAJTE REFLEKSIJU VALA Ureñaj WSP-220, linearni pobuñivač, linearna prepreka, jednopolni pobuñivač, polukružna prepreka, voda. Zadatak: Pomoću danih pokusa demonstrirajte refleksiju valova na vodi. Pokus 1. Linearni pobuñivač pričvrstimo na vibrator. U kadicu stavimo linearnu prepreku. Ručicu (6) stavimo u drugi položaj kako bismo imali stroboskopsko osvjetljenje. Linearnim pobuñivačem proizvodimo valove i to tako da mijenjamo smjer širenja valova. Neka se prvo val giba smjerom okomitim na prepreku, a zatim neka pada na prepreku pod nekim kutom. Što primjećujete? Kako se ravni val reflektira? Ako bismo i kvantitativno željeli dokazati zakon refleksije valova, na držač meñuslika (4) postavimo staklenu ploču sa kutomjerom. Tada možemo izmjeriti upadni i reflektirani kut.
16 16/17 Pokus 2. Jednopolni pobuñivač pričvrstimo na vibrator. U kadicu stavimo linearnu prepreku. Ručicu (6) stavimo u drugi položaj kako bismo imali stroboskopsko osvjetljenje. Što primjećujete? Kako se kružni val reflektira? Pokus 3. Linearni pobuñivač pričvrstimo na vibrator. U kadicu stavimo polukružnu prepreku. Ručicu (6) stavimo u drugi položaj kako bismo imali stroboskopsko osvjetljenje. Što primjećujete? Uočite žarište te ga označite na zastoru. Kako se ravni val reflektira od polukružne prepreke? Što se dogodi ako jednopolnim pobuñivačem proizvedemo kružni val u žarištu polukružne prepreke? DEMONSTRIRAJTE OVISNOST VALNE DULJINE O DUBINI VODE Ureñaj WSP-220, linearni pobuñivač, dvije staklene ploče polukružnog oblika, voda. Zadatak: Demonstrirajte ovisnost valne duljine o dubini vode. Linearni pobuñivač pričvrstimo na vibrator. Ručicu (6) stavimo u drugi položaj kako bismo imali stroboskopsko osvjetljenje. Ako se val proizvede u vodi čiju dubinu možemo mijenjati, uočit ćemo kako se i valna duljina mijenja. Smanjenjem dubine smanjuje se i valna daljina (što se još mijenja?). U kadu za valove stavimo staklenu ploču polukružnog oblika (slika ) i nasipajmo toliko vode da debljina vodenog sloja iznad ploče bude konstantna (svega par milimetara). Podesimo pobuñivač da stoji okomito na promjer polukruga staklene ploče u dubljoj vodi. Ako bismo i kvantitativno željeli dokazati da valna duljina ovisi o dubini vode, na držač meñuslika (4) postavimo staklenu ploču sa dvije paralelne crte. Usporedimo broj valova koji nastaje izmeñu tih crta bez ploče i kad stavimo staklenu ploču. Slika
17 17/ PROVJERITE ZAKON LOMA VALA Ureñaj WSP-220, linearni pobuñivač, staklena ploča polukružnog oblika, voda. Zadatak: Provjerite zakon loma vala. Linearni pobuñivač pričvrstimo na vibrator. Ručicu (6) stavimo u drugi položaj kako bismo imali stroboskopsko osvjetljenje, slično kao u prethodnom pokusu. Ako ravni val prijeñe iz duboke u plitku vodu, mijenja se valna duljina. Dubina vode djeluje na valove isto kao optička gustoća sredstva na svjetlosne valove. Ako valna fronta ne pogodi okomito graničnu liniju izmeñu plitke i duboke vode, može se uočiti lom vala. U kadu postavimo stakleno tijelo polukružnog oblika tako da nad pločom dobivamo pliću vodu, a pored ploče dublju. U dubljoj vodi proizvodimo ravni val i to pod izvjesnim kutom prema graničnoj površini. Ako bismo i kvantitativno željeli dokazati zakon loma valova, na držač meñuslika (4) postavimo staklenu ploču sa kutomjerom. Tada možemo izmjeriti upadni kut i kut loma valova.
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
MJERENJE KRATKIH VREMENSKIH INTERVALA STROBOSKOPOM. LITERATURA: Vernić - Mikuličić, Vježbe iz fizike, Školska knjiga, Zagreb, str. 39.
1 MJERENJE KRATKIH VREMENSKIH INTERVALA STROBOSKOPOM LITERATURA: Vernić - Mikuličić, Vježbe iz fizike, Školska knjiga, Zagreb, 1991. str. 39. PRIBOR: Ručni stroboskop s 12 pukotina, stolni ventilator,
Slika 2. Valna duljina i amplituda vala
Valovi i zvuk_intro Postanak i širenje vala u sredstvu, transverzalni i longitudinalni valovi, ovisnost brzine vala o svojstvima sredstva, faza točke vala i razlika u fazi dviju točaka vala, jednadžba
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val
Optika Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Transvezalan Boja ovisi o valnoj duljini idljiva svjetlost (od 400 nm do 700 nm) Ljubičasta ( 400 nm) ima kradu valnu duljinu od crvene (700 nm)
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):
Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)
šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Fizika 2. Fizikalna optika 2008/09
Fizika 2 Fizikalna optika 2008/09 Što je svjetlost; što je priroda svjetlosti? U geometrijskoj optici: Svjetlost je pravocrtna pojava određene brzine u nekom sredstvu (optičkom sredstvu). U fizikalnoj
7. Titranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje
7. itranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje IRANJE Općenito je titranje mijenjanje bilo koje mjerne veličine u nekom sustavu oko srednje vrijednosti. U tehnici titranje podrazumijeva takvo gibanje
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2
F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća: L 2 (-) Realna slika (S 1 ) postaje imaginarni predmet (P 2 ) L 1 (+) P 1 F 1 S 1 P 2 S 2 F 2 F a 1 b 1 d -a 2 slika je: realna uvećana obrnuta p uk = p 1 p 2 b 2 1.
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Masa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Rad, energija i snaga
Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Impuls i količina gibanja
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?
Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Fizika 2. Auditorne vježbe - 7. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Računarstvo. Elekromagnetski valovi. 15. travnja 2009.
Fakule elekoehnike, sojasva i bodogadnje Računasvo Fiika Audione vježbe - 7 lekomagneski valovi 15. avnja 9. Ivica Soić (Ivica.Soic@fesb.h) Mawellove jednadžbe inegalni i difeencijalni oblik 1.. 3. 4.
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Val je gibanje poremećaja nekog medija
Valovi Što je val? - Svijet je pun valova: valovi na vodi, zvučni valovi, valovi na žici, seizmički valovi, elektromagnetski valovi - svjetlost, rentgenske zrake, gama zrake, uljatraljubičasta svjetlost,
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Vježba Provjeravanje zakona očuvanja mehaničke energije pomoću kolica. 7.2 Provjeravanje zakona očuvanja mehaničke energije pomoću njihala
1/11 Praktikum iz eksperimentalne nastave fizike 1 Fizika informatika 2010/2011 Vježba 7 7.1 Provjeravanje zakona očuvanja mehaničke energije pomoću kolica 7.2 Provjeravanje zakona očuvanja mehaničke energije
V A L O V I. * pregled osnovnih pojmova *
V A L O V I * pregled osnovnih pojmova * Val predstavlja prijenos energije titranja kroz prostor. Izvor vala svojim oscilacijama emitira energiju u okolinu. U prirodi postoje dvije vrste valova, mehanički
1. Transverzalni valni impuls koji se širi užetom u trenutku t = 0 opisan je jednadžbom
Valovi 1. Transverzalni valni impuls koji se širi užetom u trenutku t = 0 opisan je jednadžbom y = a3 a 2 x 2, gdje je a = 1 m (x i y takoder su izraženi u metrima). Maksimum impulsa je u toči x = 0 m.
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Fizika 2. Dr. sc. Damir Lelas. Predavanje 2 Matematičko i fizikalno njihalo. Fazorski prikaz titranja i zbrajanje titranja. Uvod u mehaničke valove.
Školska godina 008./009. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Razlikovni studiji (90/90/930/940/950) Fizika Predavanje Matematičko i fizikalno njihalo. Fazorski prikaz titranja i zbrajanje
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Dužina luka i oskulatorna ravan
Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom
Valovi. Poglavlje 1. Zadatak 1.1 Uz koje uvjete za konstantu a, funkcija u(x, t) = x 2 + 4axt 4a 2 t 2 zadovoljava valnu jednadžbu: 2 u.
Poglavlje Valovi Zadatak. Uz koje uvjete za konstantu a, funkcija u(x, t) = x 2 + 4axt 4a 2 t 2 zadovoljava valnu jednadžbu: 2 u x 2 = 2 u v 2? (vidi sliku.) t2 2.8.6 t s.4.5 x m 2 4 6 u x,t.2.5 Slika.: