Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity
|
|
- Ζωτικός Κυπραίος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
2 Περιεχόμενα 1 Υπολογισιμότητα Ιστορία - Εισαγωγή Μαθηματικό Υπόβαθρο LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Κωδικοποίηση LOOP-υπολογίσιμες και πρωταρχικές αναδρομικές συναρτήσεις Σταθερά σημεία Προγράμματα WHILE και μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Μηχανές Turing και άλλα υπολογιστικά μοντέλα Σχήματα McCarthy. Στρατιγικές Υπολογισμού Θέση Church-Turing. Κανονική μορφή Kleene Μη επιλυσιμότητα. Θεωρία αναδρομικών συναρτήσεων Αναδρομικά και αναδρομικά αριθμήσιμα σύνολα Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329 Μαντεία. Σχετική Υπολογισιμότητα. Αριθμητικές Σχέσεις
3 Ιστορία - Εισαγωγή Το πρόγραμμα του Leibni(t)z O Leibniz πρότεινε το εξής πρόγραμμα: 1 Να δημιουργηθεί μια τυπική γλώσσα (formal language), με την οποία να μπορούμε να περιγράψουμε όλες τις μαθηματικές έννοιες και προτάσεις. 2 Να δημιουργηθεί μια μαθηματική θεωρία (δηλαδή ένα σύνολο από αξιώματα και συμπερασματικούς κανόνες συνεπαγωγής), με την οποία να μπορούμε να αποδεικνύουμε όλες τις ορθές μαθηματικες προτάσεις. 3 Να αποδειχθεί ότι αυτή η θεωρία είναι συνεπής (consistent), (δηλαδή ότι η πρόταση A και όχι Α (A ^ A) δεν είναι δυνατόν να αποδειχθεί σ αυτή τη θεωρία). Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
4 Ιστορία - Εισαγωγή Το πρόγραμμα του Leibni(t)z Gottfried Wilhelm Leibniz Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
5 Ιστορία - Εισαγωγή Υλοποίηση Γλώσσα George Boole Gottlob Frege Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
6 Ιστορία - Εισαγωγή Υλοποίηση Ενιαία θεωρία Georg Cantor Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
7 Ιστορία - Εισαγωγή Μη συνέπεια της αφελούς συνολοθεωρίας Bertrand Russel Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
8 Ιστορία - Εισαγωγή Πρόγραμμα Hilbert, Συνέπεια David Hilbert Kurt Gödel Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
9 Ιστορία - Εισαγωγή Θέση (thesis) Church-Turing Θέση (thesis) Church-Turing Όλα τα γνωστά και άγνωστα μοντέλα της έννοιας υπολογίσιμος είναι μηχανιστικά ισοδύναμα (effectively equivalent). Alonzo Church Alan Turing Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
10 Ιστορία - Εισαγωγή Άλλα υπολογιστικά μοντέλα Stephen Kleene Emil Post Andrei Andreevich Markov, jr. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
11 Ιστορία - Εισαγωγή Halting Problem Θεώρημα Το Halting Problem (HP) είναι μη αποκρίσιμο. Απόδειξη. 1 Έστω ότι π 0, π 1, π 2,... είναι μια μηχανιστική απαρίθμηση (effective enumeration) όλων των προγραμμάτων. 2 π : read(n); if π n (n) terminates then loop_forever else halt 3 Διαγωνιοποίηση. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
12 Ιστορία - Εισαγωγή Υπολογισιμότητα Ορισμός Ένα σύνολο S λέγεται αποκρίσιμο ή υπολογίσιμο ή επιλύσιμο (decidable, computable, solvable) αν και μόνο αν υπάρχει ένας αλγόριθμος που σταματάει ή μια υπολογιστική μηχανή που δίνει έξοδο ναι για κάθε είσοδο α P S και έξοδο όχι για κάθε είσοδο α R S. Ορισμός Ένα σύνολο S λέγεται καταγράψιμο (με μηχανιστική γεννήτρια) (listable, effectively generatable) αν και μόνο αν υπάρχει μια γεννήτρια διαδικασία ή μηχανή που καταγράφει όλα τα στοιχεία του S. Στην, πιθανώς άπειρη, λίστα εξόδου επιτρέπονται οι επαναλήψεις και δεν υπάρχει περιορισμός για την διάταξη των στοιχείων. Παρατήρηση Το HP δεν είναι decidable είναι όμως listable. Απόδειξη: Dovetailing. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
13 Ιστορία - Εισαγωγή Αυτοαναφορά Αυτή η πρόταση είναι ψευδής. Παράδοξο (αντινομία) του Russel: A = tx x R xu. Τότε A P A ή A R A? Τον κουρέα σε ένα χωριό που ξυρίζει όλους όσους δεν ξυρίζονται μόνοι τους, ποιός τον ξυρίζει; Μεταπαιχνίδι. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
14 Ιστορία - Εισαγωγή Διαγωνιοποίηση A : n ˆ n boolean πίνακας d i = A ii, για κάθε i, με 1 ď i ď n. D i = 1 d i, για κάθε i, με 1 ď i ď n. Το διάνυσμα D δεν εμφανίζεται ούτε ως γραμμή, ούτε ως στήλη στην πίνακα A. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
15 Ιστορία - Εισαγωγή Διαγωνιοποίηση και Halting Problem Μηχανιστική απαρίθμηση των προγραμμάτων με μία είσοδο: π 0, π 1, π 2,... Γράφουμε π x (y) Ó αν το x-οστό πρόγραμμα με είσοδο y P N τερματίζει. Διαφορετικά αν δεν τερματίζει γράφουμε π x (y) Ò. Έστω ότι υπάρχει πρόγραμμα halt(x, y) που λύνει το halting problem. π : read(n); if halt(n, n) then loop_forever else halt Di : π i = π π i (i) Óô π i (i) Ò Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
16 Ιστορία - Εισαγωγή Διαγωνιοποίηση και μη πληρότητα του Gödel Μηχανιστική απαρίθμηση των τύπων (στην αριθμητική Peano) με μία ελεύθερη μεταβλητή: ϕ 0, ϕ 1, ϕ 2,... Συνέπεια: Αν ϕ αποδείξιμος, τότε ϕ αληθής. Πληρότητα: Αν ϕ αληθής, τότε ϕ αποδείξιμος. ϕ(x) = δεν υπάρχει απόδειξη για ϕ x (x). Di : ϕ i = ϕ. ϕ i (i): δεν μπορεί να είναι ψευδής. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
17 Ιστορία - Εισαγωγή Διαγωνιοποίηση και μη πληρότητα του Gödel Θεώρημα (μη πληρότητας, Gödel) Κάθε συνεπής αξι ματικοποίηση της αριθμητικής Peano είναι μη π ήρης. Σημεί ση: Δεν ισχύει το παραπάνω για την αριθμητική Presburger (που δεν έχει την πράξη *). Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
18 Μαθηματικό Υπόβαθρο Μαθηματική Επαγωγή P(n): ιδιότητα του n P N. Για να δείξουμε ότι P(n) είναι αληθής για κάθε n P N αρκεί να δείξουμε: 1 Επαγωγική Βάση: η ιδιότητα ισχύει για n = 0. 2 Επαγωγικό Βήμα: η ιδιότητα κληρονομείται από το n στο n + 1 (αν είναι αληθής για n θα είναι και για n + 1). Ñ P(n + Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
19 Μαθηματικό Υπόβαθρο Συμβολοσειρές, αλφάβητα, γλώσσες Συμβολοσειρά (String) Μήκος συμβολοσειράς: w =# εμφανίσεων συμβόλων. Substring (υποσυμβολοσειρά) ε: κενή συμβολοσειρά, τ.ω. ε = 0. Πρόθεμα (prefix) Επίθεμα (suffix) *, παράθεση (concatenation) Αλφάβητο Σ Σ Γλώσσα L επί του Σ. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
20 Μαθηματικό Υπόβαθρο Σύνολα A = tx P(x)u x R A : (x P A) Σύμβολα λογικής:, ^, _, Ñ, D A Ď B P A Ñ x P B) A = B : A Ď B ^ B Ď A A B : (A = B) A Ă B (γνήσιο υποσύνολο) H (κενό σύνολο) Ένωση (union): A Y B = tx x P A _ x P Bu Τομή (intersection): A X B = tx x P A ^ x P Bu Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
21 Μαθηματικό Υπόβαθρο Σύνολα Διαφορά: AzB = tx x P A ^ x R Bu Συμμετρική Διαφορά: A B = (AzB) Y (BzA) Καρτεσιανό γινόμενο: A ˆ B = t(x, y) x P A ^ y P Bu Δυναμοσύνολο: Pow(A) = tb B Ď Au Σύνολο A B όλων των ολικών συναρτήσεων B Ñ A. A = πλήθος στοιχείων του A. Ιδιότητες (για πεπερασμένα σύνολα): A Y B ď A + B A ˆ B = A B Pow(A) = 2 A A B = A B Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
22 Μαθηματικό Υπόβαθρο Σύνολα - Αριθμησιμότητα Δύο (πιθανώς άπειρα) σύνολα A, B έχουν τον ίδιο πληθάριθμο ( A = B ) αν υπάρχει μια ένα-προς-ένα και επί απεικόνιση A Ñ B N, Z, Q, R Αριθμήσιμο σύνολο: υπάρχει μια ένα-προς-ένα και επί απεικόνιση από το N στο σύνολο αυτό. N = Z = Q N ˆ N = N (Cantor) Το R είναι μη αριθμήσιμο όπως και το διάστημα [0, 1) Pow(N) = R N Ñ N = N N = R N ˆ N Ñ N = N NˆN = N N = R N Ñ t0, 1u = Pow(N) = R Σ = N σύνολο όλων των γλωσσών L στο Σ = Pow(Σ ) = R Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
23 Μαθηματικό Υπόβαθρο Σχέσεις Ορισμός Μια διμελής σχέση R στο σύνολο A είναι ένα υποσύνολο του συνόλου A ˆ A: R Ď A ˆ A. Παρομοίως, για μία n-μελή σχέση: R Ď A ˆ... ˆ A. Για τις διμελείς σχέσεις, εισάγουμε τις παρακάτω έννοιες: R reflexive P A : (x R x) R irreflexive P A : ( (x R x)) R symmetric y P A : (x R y Ñ y R x) R asymmetric y P A : (x R y Ñ (y R x)), π.χ. ă R antisymmetric y P A : (x R y ^ y R x Ñ x = y), π.χ. ď R transitive y, z P A : (x R y ^ y R z Ñ x R z) Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
24 Μαθηματικό Υπόβαθρο Σχέσεις Ορισμός R equivalence (ισοδυναμία): reflexive, symmetric, transitive. π.χ. = R partial order (μερική διάταξη): reflexive, antisymmetric, transitive. π.χ. ď, Ď Αν μια σχέση ισοδυναμίας επί του A, ονομάζουμε το σύνολο των ισοδύναμων στοιχείων με το x κλάση ισοδυναμίας του x και το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναμίας συμβολίζεται με A/. Παράδειγμα Η ισοτιμία 5 είναι η σχέση ισοδυναμίας όπου x 5 y ô το 5 διαιρεί ακριβώς το x y. Οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι: t0, 5, 10,...u, t1, 6, 11,...u, t2, 7, 12,...u, t3, 8, 13,...u, t4, 9, 14,...u Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
25 Μαθηματικό Υπόβαθρο Σχέσεις R +, transitive closure (μεταβατικό κλείσιμο) της R: η μικρότερη σχέση R 1 που περιέχει την R και είναι μεταβατική: 1 x R y ñ x R + y 2 x R + y ^ y R + z ñ x R + z 3 τίποτα άλλο δεν ανήκει στην R + εκτός από ό,τι προκύπτει από 1, 2 R, reflexive and transitive closure (ανακλαστικό και μεταβατικό κλείσιμο): R := R + Y t(x, x) x P Au Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
26 Μαθηματικό Υπόβαθρο Συναρτήσεις και Ισομορφισμοί Ορισμός Μια ολική συνάρτηση f από το σύνολο A στο σύνολο B (f : A Ñ B) είναι μία σχέση R Ď A ˆ B τέτοια ώστε για κάθε x P A να υπάρχει ακριβώς ένα y P B τέτοιο ώστε x R y. Το μοναδικό αυτό στοιχείο y για κάθε x συμβολίζουμε συνήθως ως f(x) ή fx ή f x. Ορισμός Μια μερική συνάρτηση f από το σύνολο A στο σύνολο B (f : A Ñ B) είναι μία σχέση R Ď A ˆ B τέτοια ώστε για κάθε x P A να υπάρχει το πολύ ένα y P B τέτοιο ώστε x R y. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
27 Μαθηματικό Υπόβαθρο Συναρτήσεις και Ισομορφισμοί Ορισμός Μια συνάρτηση f : A Ñ B ονομάζεται injection (μονομορφισμός ή 1-1) 1, x 2 P A : (f(x 1 ) = f(x 2 ) ñ x 1 = x 2 ) Ορισμός Μια συνάρτηση f : A Ñ B ονομάζεται surjection (επιμορφισμός ή επί) P B : Dx P A : f(x) = y Ορισμός Μια ολική συνάρτηση ονομάζεται bijection (αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία) όταν είναι 1-1 και επί. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
28 Μαθηματικό Υπόβαθρο Συναρτήσεις και Ισομορφισμοί Ορισμός Αλγεβρική δομή: M = xm, g 1,..., g n y, όπου M μη κενό σύνολο και g i πράξεις ή σταθερές. π.χ. N = xn, 0, Sy, R = xr, 0, +y Ορισμός Μια συνάρτηση f : M Ñ N ονομάζεται ομομορφισμός (homomorphism) όταν είναι 1-1 και συμβατή με τις πράξεις. π.χ. R + = xr +, 1, y, R = xr, 0, +y ln : R + Ñ R, ln(1) = 0, ln(a b) = ln(a) + ln(b) Ορισμός Ένας ισομορφισμός (isomorphism) είναι μια ολική συνάρτηση με τις ιδιότητες: 1-1, επί, ομομορφισμός. Παράδειγμα xn, +, y είναι ισομορφικό με xn/ 5, +, y. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
29 Μαθηματικό Υπόβαθρο Γράφοι και δένδρα Ορισμός Ένας γράφος G = (V, E) αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο V κορυφών (ή κόμβων) και από ένα σύνολο E ακμών, δηλαδή ζευγών μεταξύ των παραπάνω κορυφών. π.χ. Για τον γράφο του σχήματος ισχύει: V = t1, 2, 3, 4, 5u, E = ttx, yu x + y = 4 _ x + y = 7u Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
30 Μαθηματικό Υπόβαθρο Γράφοι και δένδρα Ορισμός (Συνεκτικότητα) Ένας γράφος ονομάζεται συνεκτικός (connected) αν υπάρχει διαδρομή από οποιαδήποτε κορυφή του γράφου προς οποιαδήποτε άλλη κορυφή. Ο γράφος του προηγούμενου παραδείγματος δεν είναι συνεκτικός. Ορισμός Ένας κατευθυνόμενος γράφος (directed graph ή digraph) είναι ένας γράφος όπου οι ακμές δεν είναι απλά ζεύγη, αλλά διατετα μένα ζεύ η κορυφών. π.χ. { (a, b), (b, c), (c, b)}: a Ñ b Ô c Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
31 Μαθηματικό Υπόβαθρο Γράφοι και δένδρα I Ορισμός Ένας κύκλος (cycle) είναι μια κλειστή διαδρομή. Ορισμός (Ακυκλικότητα) Ένας γράφος ονομάζεται ακυκλικός (acyclic) αν δεν περιέχει κύκλους. Ορισμός Ένας γράφος ονομάζεται δένδρο (tree) αν είναι συνεκτικός και ακυκλικός. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
32 Μαθηματικό Υπόβαθρο Γράφοι και δένδρα II Ορισμός Δένδρο με ρίζα ονομάζεται ένα δένδρο το οποίο έχει ρίζα, δηλαδή έναν κόμβο που δεν έχει προηγούμενο. Επιπλέον έννοιες: πρόγονοι (predecessors), απόγονοι (successors), γονείς (parents), παιδιά (children), φύλλα (leaves), εσωτερικοί κόμβοι (internal nodes). Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
33 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Περιγραφή της LOOP Δε χρειάζονται δηλώσεις (declarations) Τέσσερα ήδη αναθέσεων (assignments) Παρατήρηση: 0. 1 = 0, (x + 1). 1 = x for loop: for i := 1 to y do end x := 0, x := y, x := y + 1, x := y. 1 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
34 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Παραδείγματα LOOP 1 Πρόγραμμα για x := y + z (δηλ. add(y, z)): x := y; for w := 1 to z do x := x + 1 end 2 x := y z (δηλ. mult(y, z)): x := 0; for w := 1 to z do x := add(x, y) end ( 3 x := y. z (δηλ. sub(y, z)): Παρατήρηση: y. z = x := y; for w := 1 to z do x := x. 1 end 4 if y = 0 then x := 0 else x := 1 (δηλ. ifnzero(y)): x := 0; z := 0; for w := 1 to y do x := z + 1 end 5 if y = 0 then x := 1 else x := 0 (δηλ. ifzero(y)): x := 0; x := x + 1; for w := 1 to y do x := 0 end # 0, y ă z y z, αλλιώς ) Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
35 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Συντακτικά Διαγράμματα της LOOP I Variable: Assignment: Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
36 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Συντακτικά Διαγράμματα της LOOP II Program: Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
37 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Επαγωγή και Αναδρομή Η επαγωγή είναι: Μέθοδος απόδειξης A(0): : A(n) Ñ A(n + 1): Επαγωγικό βήμα Τρόπος ορισμού επαγωγικού πεδίου Αρχικά στοιχεία (initial objects) Πράξεις για κ είσιμο (closure operations) Για κάθε επαγωγικό πεδίο μπορούμε να αποδεικνύουμε ιδιότητες των αντικειμένων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της επαγωγής. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
38 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Επαγωγή I Παραδείγματα: 1 N = το σύνολο των φυσικών αριθμών Αρχικό στοιχείο: 0 Πράξη για κλείσιμο: successor N = t0u Y tn + 1 n P Nu 2 Σ = το σύνολο όλων των strings του αλφάβητου Σ: αρχικά στοιχεία: ε, α για κάθε α P Σ πράξεις για κλείσιμο: concatenation 3 Σύνολο θεωρημάτων: αρχικά στοιχεία: αξιώματα πράξεις για κλείσιμο: συμπερασματικοί κανόνες (inference rules) 4 Σύνολο όρων σε μία μαθηματική θεωρία: αρχικά στοιχεία: σταθερές και μεταβλητές πράξεις για κλείσιμο: σύνθεση (composition) συναρτησιακών συμβόλων Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
39 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Επαγωγή II 5 Σύντακτικά ορθοί τύποι (καλώς, ορισμένοι, wff) σε μία θεωρία μόνο με το κατηγορηματικό σύμβολο = : αρχικά στοιχεία: τύποι της μορφής όρος 1 = όρος 2 πράξεις για κλείσιμο: της μορφής Φ, Φ ^ Ψ, Φ _ Ψ, Φ Ñ Ψ, Φ Ø Ψ, όπου Φ, Ψ είναι τύποι και x είναι μεταβλητή. 6 Σύνολο προγραμμάτων LOOP: αρχικά στοιχεία: της μορφής x := 0, x := y, x := y + 1, x := y. 1 και το κενό πρόγραμμα. πράξεις για κλείσιμο: ; (παράθεση), for (βρόχος) 7 S 1 = t0u Y tn + 2 n P S 1 u 8 S 2 = t3, 5u Y t2n + m m, n P S 2 ^ n ă mu 9 S 3 = t0u Y tn + 2 n P S 3 u Y tn + 5 n P S 3 u Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
40 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Αναδρομή I Ορισμός Αναδρομικό πεδίο = Επαγωγικό πεδίο + Unique parsing Παραδείγματα: 1 N 2 Το Σ με τον παραπάνω ορισμό δεν είναι αναδρομικό. abb = conc(ab, b) = conc(a, bb) Όμως το Σ δεν είναι ουσι δώς διφορούμενο (inherently ambiguous). Με τον παρακάτω ορισμό το Σ είναι αναδρομικό: Σ = tεu Y twα w P Σ ^ α P Σu 3 Το S 1 είναι αναδρομικό ενώ το S 3 δεν είναι. π.χ. 10 = = Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
41 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Αναδρομή II 4 A = ta, ab, bau. Το A είναι επαγωγικό πεδίο αλλά ουσιωδώς διφορούμενο (μη αναδρομικό). π.χ. aba = conc(a, ba) = conc(ab, a). Σε αναδρομικά πεδία μπορούμε να ορίζουμε μονοσήμαντα συναρτήσεις χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αναδρομής: " 1 0! = 1 Παραγοντικό: (n + 1)! = n! (n + 1) $ & f(0) = 1 2 Ακολουθία Fibonacci: f(1) = 1 % f(n + 2) = f(n) + f(n + 1) Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
42 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Αναδρομή III 3 Συνάρτηση παρόμοια με αυτή του Ackermann: 4 # x + 0 = x x + Sy = S(x + y) f(x, y, 0) = y + 1 f(x, y, 1) = x + y = x (y φορές) f(x, y, 2) = x y = x + x + x x (y φορές) f(x, y, 3) = x y = x x x... x (y φορές) x f(x, y, 4) = x xx ή... (y φορές) # add(x, 0) = x add(x, Sy) = S(add(x, y)) Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
43 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Αναδρομή IV # x 0 = 0 x Sy = x + x y # x. 0 = x x. Sy = P(x. y), όπου P(n) = n. 1 # sg(0) = 0 sg(sx) = 1 ή sg(x) = x. P(x) # sg(0) = 1 sg(sx) = 0 ή sg(x) = 1. x Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
44 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Πρωταρχική αναδρομή I Σχήμα πρωταρχικής αναδρομής (scheme of primitive recursion): " f(x, 0) = g(x) f(x, Sy) = h(x, y, f(x, y)) Ορισμός Η κλάση των primitive recursive functions (πρωταρχικά αναδρομικών συναρτήσεων) P είναι η μικρότερη κλάση συναρτήσεων που: περιέχει τις εξής αρχικές συναρτήσεις: S, P, Z, U n i (για όλα τα n, i : 1 ď i ď n) και είναι κλειστή ως προς τα σχήματα σύνθεσης και πρωταρχικής αναδρομής. Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
45 LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Πρωταρχική αναδρομή II Ορισμός Η κλάση των primitive recursive functions (πρωταρχικά αναδρομικών συναρτήσεων) P είναι η μικρότερη κλάση συναρτήσεων που: περιέχει τις εξής αρχικές συναρτήσεις: S, P, Z, U n i (για όλα τα n, i : 1 ď i ď n) και είναι κλειστή ως προς τα σχήματα σύνθεσης και πρωταρχικής αναδρομής. Διευκρινίσεις: S(x) = x + 1 (επόμενο) P(x) = x. 1 (προηγούμενο) Z(x) = 0 (μηδενική) U n i (x 1,..., x n ) = x i, 1 ď i ď n (προβολές) Σύνθεση: π.χ.: f(x, y) = g(h 1 (x, y), h 2 (x, y), h 3 (x, y)) Πρωταρχική αναδρομή: π.χ.: # f(0) = c f(sy) = h(y, f(y)) Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ. Φεβρουάριος / 329
Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity
και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ.
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity
και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ. & Πολυπλ.
Διαβάστε περισσότεραΠολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις.
Θέση Church-Turing I Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing: Όλες οι υπολογίσιμες συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Υπάρχουν υπολογίσιμες συναρτήσεις που δεν είναι πρωταρχικές αναδρομικές.
Υπολογισιμότητα Θεώρημα Υπάρχουν υπολογίσιμες συναρτήσεις που δεν είναι πρωταρχικές αναδρομικές. Απόδειξη: Διαγωνιοποίηση. Μηχανιστική απαρίθμηση πρωταρχικών αναδρομικών συναρτήσεων: φ 0, φ 1, φ 2, Ορίζουμε:
Διαβάστε περισσότεραΠολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις
Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Θέση Church-Turing I Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing:
Διαβάστε περισσότεραΜη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # =
Μη επιλυσιμότητα I Θεώρημα Το TOT (πρόβλημα ολικής συνάρτησης) είναι μη επιλύσιμο, δηλαδή η f δεν είναι αναδρομική όπου: 1, αν φ x είναι ολική f(x) = 0, αλλιώς Απόδειξη. Ορίζουμε h(x) = φ x (x) + 1, αν
Διαβάστε περισσότεραRecursive and Recursively Enumerable sets I
Recursive and Recursively Enumerable sets I Ορισμός Το σύνολο A είναι αναδρομικό ανν η χαρακτηριστική του συνάρτηση X A είναι αναδρομική. Το σύνολο A είναι αναδρομικά αριθμήσιμο (recursively enumerable)
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΜηχανές Turing (T.M) I
Μηχανές Turing (T.M) I Οι βασικές λειτουργίες μιας TM είναι: Διάβασε το περιεχόμενο του τρέχοντος κυττάρου Γράψε 1 ή 0 στο τρέχον κύτταρο Κάνε τρέχον το αμέσως αριστερότερο ή το αμέσως δεξιότερο κύτταρο
Διαβάστε περισσότεραΑπαρίθμηση ζευγών φυσικών αριθμών I. C(0, 0) = 0 C(2, 1) = 7 κωδικοποίηση κατά Cantor D 1 (7)=2, D 2 (7)=1 : αποκωδικοποίηση
Κωδικοποίηση Απαρίθμηση ζευγών φυσικών αριθμών I 0 0 1 2 3 4... 1 2 3 4...... C(0, 0) = 0 C(2, 1) = 7 κωδικοποίηση κατά Cantor D 1 (7)=2, D 2 (7)=1 : αποκωδικοποίηση C(m, n) = (n+m)(n+m+1) 2 + m, η C είναι
Διαβάστε περισσότεραΜη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση
Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αριθμήσιμα
Διαβάστε περισσότεραΣύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,
Διαβάστε περισσότεραΤο 10ο πρόβλημα του Hilbert I
Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I Το 1900 στο Παρίσι, ο David Hilbert έκανε μια ομιλία για τα 23 πιο σπουδαία μαθηματικά προβλήματα που κληρονομούσε ο 20ος αιώνας από τον 19ο. Το 10ο ήταν: Απόφανση περί επιλυσιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΣχήματα McCarthy I. Το σχήμα McCarthy είναι ένα γενικότερο προγραμματιστικό σχήμα:
Σχήματα McCarthy I Το σχήμα McCarthy είναι ένα γενικότερο προγραμματιστικό σχήμα: f(x, y) = if g(...) = 0 then h(...) else k(...) όπου g(...), h(...) και k(...) είναι όροι-συναρτήσεις που κατασκευάζονται
Διαβάστε περισσότεραΑυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation
Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab
Διαβάστε περισσότεραΥπολογίσιμες Συναρτήσεις
Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Σ Π Υ Ρ Ι Δ Ω Ν Τ Ζ Ι Μ Α Σ Δ Τ Ο Μ Ε Α Σ Τ Μ Η Μ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Σ Χ Ο Λ Η Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Ι Ω Α Ν Ν Ι Ν Ω Ν Υπολογίσιμες Συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραf(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης
Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................
Διαβάστε περισσότεραΠαραλλαγές και επεκτάσεις αυτομάτων I
Παραλλαγές, επεκτάσεις και εφαρμογές FA/REGEXP Παραλλαγές και επεκτάσεις αυτομάτων I Ορισμός Ένα two-way deterministic FA (2DFA) είναι μία πεντάδα M = (Q, Σ, δ, q 0, F), όπου τα Q, Σ, q 0 και F είναι όπως
Διαβάστε περισσότερα4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.
Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα
Κεφάλαιο 11 Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα 11.1 Ιστορία - Εισαγωγή Η Συλλογιστική του Αριστοτέλη αποτέλεσε την πρώτη προσπάθεια θεμελίωσης της λογικής και των μαθηματικών. Ο Leibni(t)z πρότεινε το εξής
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραi) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a
Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Άσκηση 1.9 (σελ. 17), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, B δεδομένα σύνολα. Θα χρησιμοποιήσουμε τα αξιώματα αλλά αναφερόμενοι, αποκλειστικά, είτε
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Σχέσεις Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διμελής Σχέση Διατεταγμένο ζεύγος (α, β):
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1
Διαβάστε περισσότεραιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι
Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β):
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομικές Συναρτήσεις και Σχέσεις I
Προγράμματα WHILE και μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Αναδρομικές Συναρτήσεις και Σχέσεις I Ορισμός Η ολική συνάρτηση h( x, y) είναι κανονική (regular): @ x Dy h( x, y) = 0 Παρατήρηση Η f( x) = µy[h( x,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (0.1) Σύνολα (0.2.1, 0.2.2) Συναρτήσεις & Σχέσεις (;;) (0.2.3) 1 Περιοχές που θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣHMΜY
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣHMΜY 2η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραΛογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα
Διαβάστε περισσότερα2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5: Τεχνικές απόδειξης & Κλειστότητα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιμελής Σχέση ιατεταγμένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείμενα
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση
Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα
Διαβάστε περισσότερα, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
Διαβάστε περισσότεραΑυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36
ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος 3
Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 1η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότερα771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων
771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 1 ο ιδάσκων: Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων του
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 3η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότερα771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων
771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 1 ο ιδάσκων: Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων του
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότεραΓνωριµία. ιακριτά Μαθηµατικά. Βιβλία Μαθήµατος. Επικοινωνία. ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης. Ωρες γραφείου (502, Γρ.
Γνωριµία ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr Ωρες γραφείου (502, Γρ.Λαµπράκη 26): ευτέρα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισµού Theory of Computation
1 ο µέρος Θεωρία Υπολογισµού Theory of Computation 1 Υπολογισιµότητα - Computability o Υπολογισιµότητα (Computability) n Τι µπορεί να υπολογιστεί και τι όχι; o Υπολογιστική πολυπλοκότητα (Computational
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ 2η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραΠ(n) : 1 + a + + a n = an+1 1 a 1. a 1. + a k+1 = ak+2 1
Διακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 5] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Νοέμβριος 2018 Επαγωγή και Αναδρομή [Rosen, κεφ. 5] Μαθηματική επαγωγή [Rosen 5.1] Μέθοδος απόδειξης μιας μαθηματικής
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Γλωσσών Προγραμματισμού Λεξική Ανάλυση Ι. Εαρινό Εξάμηνο Lec 05 & & 26 /02/2019 Διδάσκων: Γεώργιος Χρ.
Σχεδίαση Γλωσσών Προγραμματισμού Λεξική Ανάλυση Ι Εαρινό Εξάμηνο 2018-2019 Lec 05 & 06 25 & 26 /02/2019 Διδάσκων: Γεώργιος Χρ. Μακρής Φάσεις μεταγλώττισης Αρχικό Πρόγραμμα Λεκτική Ανάλυση λεκτικές μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 4: Ισοδυναμία, διάταξη, άπειρα σύνολα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότερα10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα
Κεφάλαιο 10 Υπολογισιμότητα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Μέχρι στιγμής έχουμε δει ουσιαστικά
Διαβάστε περισσότεραInfinite Combinatorics
Infinite Combinatorics Παναγιώτης Πατσιλινάκος ΕΜΕ 20 Ιουνίου 2017 Παναγιώτης Πατσιλινάκος (ΕΜΕ) Infinite Combinatorics 20 Ιουνίου 2017 1 / 42 1 Προαπαιτούμενα Διατακτικοί αριθμοί Πληθάριθμοι 2 Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας
Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας October 11, 2011 Στο μάθημα Αλγοριθμική και Δομές Δεδομένων θα ασχοληθούμε με ένα μέρος της διαδικασίας επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα θα δούμε τι
Διαβάστε περισσότεραBlum Complexity. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ. Παναγιώτης Γροντάς. Δεκέμβριος
Blum Complexity Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ Παναγιώτης Γροντάς µπλ Δεκέμβριος 2011 Ιστορικά Στοιχεία Manuel Blum (1938, Caracas Venezuela) Turing Award (1995) Foundations Of Computational Complexity
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ Τι θα κάνουμε σήμερα Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Ασυμφραστικές Γλώσσες (4.1.2) Το Πρόβλημα του Τερματισμού
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο
ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός
Διαβάστε περισσότεραΔώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων.
Εισαγωγή στη Λογική Α Τάξης Σ. Κοσμαδάκης Συντακτικό τύπων Α τάξης Α Θεωρούμε δεδομένο ένα λεξιλόγιο Λ, αποτελούμενο από (1) ένα σύνολο συμβόλων για σχέσεις, { R, S,... } (2) ένα σύνολο συμβόλων για συναρτήσεις,
Διαβάστε περισσότερα1 (6) 9 (6) 2 (3) 10 (9) 3 (6) 11 (6) 4 (8) 12 (6) 5 (6) 13 (8) 6 (5) 14 (6) 7 (6) 15 (11) 8 (8)
Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 311: Διακριτη Αναλυση και Δομες Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 Καθηγητής: Χριστόφορος Χατζηκωστής Τελική Εξέταση Τρίτη, 22 Δεκεμβρίου,
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. 1 Υπολογισιμότητα. Ιστορία - Εισαγωγή. Μαθηματικό Υπόβαθρο. LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού
Αυτόματα και Τυπικές Γλώσσες Περιεχόμενα 1 Υπολογισιμότητα Ιστορία - Εισαγωγή Μαθηματικό Υπόβαθρο LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού LOOP-υπολογίσιμες και πρωταρχικές αναδρομικές συναρτήσεις Σταθερά
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I
Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση
Διαβάστε περισσότεραΜεταγλωττιστές. Ενότητα 2: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Μεταγλωττιστές Ενότητα 2: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί
Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι
Διαβάστε περισσότεραβ) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1
Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα
Διαβάστε περισσότεραΠ(n) : 1 + a + + a n = αν+1 1
Διακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 5] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Νοέμβριος 2017 Επαγωγή και Αναδρομή [Rosen, κεφ. 5] Μαθηματική επαγωγή [Rosen 5.1] Μέθοδος απόδειξης μιας μαθηματικής
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΜεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 2 ο Αλφάβητα και Γλώσσες Αλφάβητο: Ένα μη κενό και πεπερασμένο σύνολο συμβόλων Γλώσσα: Ένα οποιοδήποτε υποσύνολο των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου (οι προτάσεις της γλώσσας, πχ.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9 Απριλίου 2009 1 / 0 Παραδείγµατα γράφων
Διαβάστε περισσότεραΠοιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί);
Μοντελοποίηση του Υπολογισµού Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές
Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού 1 /
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότερα6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι
36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται
Διαβάστε περισσότεραx (a 1 + a 2 ) mod 9, y (a 1 a 2 ) mod 9.
Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 311: Διακριτη Αναλυση και Δομες Χειμερινό Εξάμηνο 2017-2018 Καθηγητής: Χριστόφορος Χατζηκωστής Τελική Εξέταση Πέμπτη, 14 Δεκεμβρίου,
Διαβάστε περισσότεραψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1
Ασκήσεις στο μάθημα της Λογικής 15 Οκτωβρίου 2015 Άσκηση 1. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν τύποι μήκους 2,3,6 αλλά κάθε άλλο (θετικό ακέραιο) μήκος είναι δυνατό (άσκηση 2, σελίδα 39) Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος
Μορφές αποδείξεων Μαθηματικά Πληροφορικής ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση Ι
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018 Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα δομικής επαγωγής Ορισμός δομικής επαγωγής Συμβολοσειρές Γλώσσες Δυαδικά δένδρα Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Αρχικός συγγραφέας: Ηλίας
Μαθηματικά Πληροφορικής 3ο Μάθημα Αρχικός συγγραφέας: Ηλίας Κουτσουπιάς Τροποποιήσεις: Σταύρος Κολλιόπουλος Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Δομική επαγωγή Η ιδέα της μαθηματικής
Διαβάστε περισσότεραB = {x A : f(x) = 1}.
Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 016 017 Λύσεις 1. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του Περιστερώνα για τους φυσικούς αριθμούς, δείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A και για κάθε f : A A, αν η f είναι 1-1 τότε
Διαβάστε περισσότεραΤυχαιότητα (Randomness) I
I Χρησιμοποιώντας το μοντέλο δένδρων υπολογισμού, θα ορίσουμε κλάσεις πολυπλοκότητας που βασίζονται στις πιθανότητες, με βάση τυχαίες επιλογές. Αυτή η προσέγγιση είναι πολύ χρήσιμη από πρακτική άποψη,
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας
1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5 : Λογικά Επιχειρήματα, Αλφάβητα & Γλώσσες (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τμήμα Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΔώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας
Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ
Διαβάστε περισσότερα