ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ EXCEL

Transcript

1 Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ EXCEL ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης στη Στατιστική (part-time) Όνομα: Δήμητρα Σταυρούλα Επίθετο: Μπερτσάτου Α.Μ Επιβλέπων Καθηγητής : Επαμεινώνδας Κυριακίδης Αθήνα, Νοέμβριος

2 2

3 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Επαμεινώνδα Κυριακίδη για την υποστήριξή & την κατανόηση του, όχι μόνο στην πραγματοποίηση αυτής της εργασίας, αλλά και σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. 3

4 Περίληψη Προσομοίωση Νοέμβριος 2017 Ο σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η παρουσίαση της τεχνικής της προσομοίωσης και η χρήση της στην επιχειρησιακή έρευνα. Αναλύουμε τις γενικές κατηγορίες της προσομοίωσης και κάνουμε αναφορά σε εφαρμογές της σε καθημερινά προβλήματα που αντιμετωπίζουν ιδιωτικοί και δημόσιοι οργανισμοί. Στη συνέχεια, απαριθμούμε τα βήματα πραγματοποίησης μίας μελέτης προσομοίωσης και επιλύουμε παραδείγματα με τη χρήση υπολογιστικών φύλλων. Ακόμη, αναλύουμε τεχνικές μείωσης διακύμανσης και κλείνουμε παρουσιάζοντας και μία καινοτόμο προσέγγιση στατιστικής ανάλυσης, την αναγεννητικής μέθοδο. 4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή στην προσομοίωση Η ουσία της προσομοίωσης & ο ρόλος της στην Επιχειρησιακή Έρευνα Προσομοίωση διακριτών συμβάντων και συνεχής προσομοίωση Παραδείγματα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Κατηγορίες εφαρμογής της προσομοίωσης Περιγραφή βημάτων μίας μελέτης προσομοίωσης Προσομοίωση σε υπολογιστικά φύλλα (Spreadsheets) Διαχείριση αποθεμάτων - Freddie το πρόβλημα ενός εφημεριδοπώλη Βελτίωση PERT - Επανεξέταση του Αξιόπιστου Κατασκευαστικού Προβλήματος Ανάλυση Χρηματοοικονομικών Κινδύνων - Το Think-Big Development Co. Πρόβλημα Τεχνικές Μείωσης Διακύμανσης Διαστρωμένη δειγματοληψία Μέθοδος Συμπληρωματικών Τυχαίων Αριθμών Αναγεννητική Μέθοδος Στατιστικής Ανάλυσης Παραδοσιακοί μέθοδοι και τα μειονεκτήματά τους Η προσέγγιση της αναγεννητικής μεθόδου Συμπεράσματα Βιβλιογραφία

6 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Εικόνα 1.1: Προσομοίωση παιχνιδιού ρίψης νομίσματος 13 Εικόνα 1.2: Προσομοίωση παιχνιδιού ρίψης νομίσματος 15 Εικόνα 2: Το υπολογιστικό για το πρόβλημα «Φρέντι, το πρόβλημα του εφημεριδοπώλη». 35 Εικόνα 3: Οθόνη αποτελεσμάτων μίας προσομοίωσης για 15 αντίτυπα. 36 Εικόνα 4: Συνοπτική παρουσίαση αποτελεσμάτων για κάθε διαφορετική περίπτωση αριθμού αντιτύπων. 37 Εικόνα 5: Το δίκτυο έργου για την αξιόπιστη κατασκευαστική του εργοστασίου. 39 Εικόνα 6: Τριγωνική κατανομή για τη διάρκεια μιας δραστηριότητας, όπου το ελάχιστο είναι στην αισιόδοξη εκτίμηση o, η πιο πιθανή τιμή βρίσκεται στο σημείο m, και το μέγιστο βρίσκεται στην απαισιόδοξη εκτίμηση p. Εικόνα 7: Το μοντέλο υπολογιστικού φύλλου για προσομοίωση του Αξιόπιστου Κατασκευαστικού Προβλήματος. Εικόνα 8: Οι διάφορες έξοδοι που παρήχθησαν από τρέχοντας το Αξιόπιστο Κατασκευαστικό Πρόβλημα για επαναλήψεις. Εικόνα 9: Εκτιμώμενη ταμειακή ροή ανά μετοχή για το ξενοδοχείο και το εμπορικό κέντρο Εικόνα 10: Το υπολογιστικό φύλλο που χρησιμοποιείται στην προσομοίωση για την ανάλυση κινδύνου για την προτεινόμενη επενδύσεις σε ακίνητα. Εικόνα 11: Η έξοδος της ανάλυσης κινδύνου που παράγεται από για επαναλήψεις. Εικόνα 12: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων, που χρησιμοποιείται σε τεχνικές μείωσης της διακύμανσης, όπου ο στόχος είναι να εκτιμηθεί το μέσο αυτής της κατανομής Εικόνα 13: Εφαρμογή crude Monte Carlo 50 Εικόνα 14: Εφαρμογή διαστρωμένης δειγματοληψίας 52 Εικόνα 15: Εφαρμογή της μεθόδου συμπληρωματικών τυχαίων αριθμών. 53 Εικόνα 16: Αποτέλεσμα προσομοίωσης που τρέχει για το σύστημα ουράς. 60 6

7 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1: Fixed-time incrementing 19 Πίνακας 2: Next-event incrementing 22 Πίνακας 3: Οι διαδρομές και τα μήκη διαδρομών μέσω του δικτύου έργου. 40 Πίνακας 4: Αναμενόμενη τιμή και διακύμανση της διάρκειας κάθε δραστηριότητας για το έργο 42 Πίνακας 5: Προσέγγισης της διαστρωμένη δειγματοληψίας 52 Πίνακας 6: Συσχετισμός τυχαίων αριθμών και παρατηρήσεων για το παράδειγμα συστήματος ουράς 39 Πίνακας 7: Εκτέλεση προσομοίωσης για το παράδειγμα συστήματος ουράς 41 7

8 1. Εισαγωγή στην προσομοίωση Η προσομοίωση αποτελεί μία τεχνική που χρησιμοποιείται ευρύτατα στην επιστήμη της επιχειρησιακής έρευνας. Αποτελεί ένα ισχυρό, ευέλικτο και διαισθητικό εργαλείο για την αναπαράσταση ( προσομοίωση ) των λειτουργιών ή της συμπεριφοράς ενός συστήματος ή μίας διεργασίας. Η συγκεκριμένη τεχνική έχει πολύ συχνές εφαρμογές σε θέματα ανάλυσης κινδύνου στις χρηματοοικονομικές διαδικασίες, μέσα από την επαναλαμβανόμενη προσομοίωση των συναλλαγών για την παραγωγή πολλών πιθανών αποτελεσμάτων. Ακόμη, συχνά χρησιμοποιείται για την ανάλυση στοχαστικών συστημάτων που λειτουργούν επ αόριστόν. Οι μηχανές προσομοίωσης παράγουν τυχαία και καταγράφουν συμβάντα/γεγονότα ακριβώς με τον ίδιο τρόπο που θα λειτουργούσε το συγκεκριμένο σύστημα που μιμούνται και λόγω της μεγάλης ταχύτητας που έχουν, μπορούν να προσομοιώσουν τη λειτουργία ενός τέτοιου συστήματος σε βάθος πολλών ετών μέσα σε μόνο λίγα δευτερόλεπτα. Μέσα από την προσομοίωση του συστήματος γίνεται δυνατή η σύγκριση και η δοκιμή πολλών εναλλακτικών σχεδίων για ένα σύστημα, πιθανών μεταβολών ή πολλών διαφορετικών διαδικασιών μέσω του υπολογιστικού μοντέλου, ώστε ο χρήστης να πειραματιστεί και να επιλέξει τη βέλτιστη εναλλακτική μέσα από την μελέτη διάφορων σεναρίων χωρίς να έρχεται στην ουσία σε επαφή με το σύστημα Η ουσία της προσομοίωσης & ο ρόλος της στην Επιχειρησιακή Έρευνα. Η προσομοίωση αποτελεί ένα εξαιρετικά σημαντικό εργαλείο για διάφορους κλάδους. Ένα πολύ συχνό παράδειγμα αποτελεί η πρακτική της προσομοίωσης πτήσεων αεροπλάνων σε ειδικά σχεδιασμένες αεροδυναμικές σήραγγες για το σχεδιασμό του αεροσκάφους. Αντί της προσομοίωσης θεωρητικά θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν οι νόμοι της φυσικής για να αποκτήσουν οι σχεδιαστές γνώση σχετικά με τις αλλαγές στις επιδόσεις των αεροπλάνων καθώς μεταβάλλονται οι παράμετροι του σχεδιασμού, όμως στην πράξη οι ανάλυση των νόμων της φυσικής είναι πολύ περίπλοκη διαδικασία. Η προσομοίωση επίσης αποτελεί πιο οικονομική & ασφαλή λύση συγκριτικά με την εναλλακτική της κατασκευής πολλών διαφορετικών αεροπλάνων με διαφορετικά σχέδια, ώστε να ελεγχτεί η απόδοση του κάθε σχεδίου ξεχωριστά και να επιλεχθεί το τελικό σχέδιο κατασκευής. Λόγω των παραπάνω η ανάπτυξη ενός σχεδίου έπειτα από μία προκαταρκτική θεωρητική ανάλυση και η προσομοίωση της απόδοσης των αεροπλάνων σε αεροδυναμικές σήραγγες αποτελεί ένα εργαλείο πειραματισμού ιδιαίτερα σημαντικό, καθώς μιμείται την πραγματική απόδοση σε ελεγχόμενο περιβάλλον δίνοντας τη δυνατότητα της 8

9 εκτίμησης των πραγματικών αποδόσεων πριν την ανάπτυξη του τελικού σχεδίου και τον έλεγχο του σε πραγματική πτήση. Στην επιχειρησιακή έρευνα η προσομοίωση χρησιμοποιείται για να μιμηθεί τη λειτουργία διαδικασιών που σχεδιάζονται για στοχαστικά συστήματα, δηλαδή συστήματα εξελίσσονται πιθανολογικά με την πάροδο του χρόνου ( παραδείγματα τέτοιων συστημάτων αποτελούν οι μαρκοβιανές αλυσίδες & τα συστήματα αναμονής). Για να ελεγχθεί λοιπόν η πραγματική απόδοση των συστημάτων αυτών χρησιμοποιούνται κατανομές πιθανοτήτων για να δημιουργήσουν διάφορα τυχαία γεγονότα που μπορεί να συμβούν στο σύστημα, με τον ίδιο τρόπο που χρησιμοποιούταν η σήραγγα στην περίπτωση του αεροπλάνου. Αρχικά λοιπόν, ένα μοντέλο προσομοίωσης συνθέτει το σύστημα, κατασκευάζοντας κάθε συνιστώσα και κάθε γεγονός. Έπειτα το μοντέλο τρέχει και μέσα από αυτό παράγονται στατιστικές παρατηρήσεις της απόδοσης του συστήματος, ως αποτέλεσμα των τυχαίων γεγονότων που δημιουργούνται κατά τη διάρκεια που τρέχει το μοντέλο. Η προσομοίωση απαιτεί την παραγωγή και επεξεργασίας τεράστιου όγκου δεδομένων, αυτά τα στατιστικά πειράματα & οι αναλύσεις πραγματοποιούνται με τη βοήθεια υπολογιστών. Όπως είδαμε και στο παράδειγμα της εφαρμογής τεχνικών προσομοίωσης σε αεροπλάνα έτσι και στις εφαρμογές στην επιχειρησιακή έρευνα προηγείται μία αρχική ανάλυση ( ίσως προσεγγιστικών μαθηματικών μοντέλων) για να αναπτυχθεί ένα γενικό σχέδιο του συστήματος ( συμπεριλαμβανομένων και των λειτουργικών διαδικασιών που αυτό περιλαμβάνει). Έπειτα η προσομοίωση πειραματίζεται με διάφορους σχεδιασμούς ώστε να εκτιμήσει την απόδοση της λειτουργίας του κάθε ενός και με αυτόν τον τρόπο να επιλεχθεί και αναπτυχθεί ο τελικός σχεδιασμός για να δοκιμαστεί στη πραγματικότητα και να γίνουν οι τελευταίες προσαρμογές του. Για να προετοιμαστεί η διαδικασία της προσομοίωσης ενός πολύπλοκου συστήματος, το λεπτομερές μοντέλο προσομοίωσης πρέπει να έχει κατασκευαστεί με τρόπο τέτοιο που να περιγράφει τη λειτουργία του συστήματος και τον τρόπο προσομοίωσης του. Τα βασικά δομικά στοιχεία του μοντέλου είναι: 1. Ο ορισμός της κατάστασης του συστήματος (π.χ., ο αριθμός των πελατών σε ένα σύστημα αναμονής). 2. Προσδιορισμός των πιθανών καταστάσεων του συστήματος που μπορεί να συμβούν. 3. Προσδιορισμός των πιθανών γεγονότων (π.χ., αφίξεις και εξυπηρετήσεις σε ένα σύστημα αναμονής) που μπορεί να αλλάξουν την κατάσταση του συστήματος. 9

10 4. Μηχανισμός ελέγχου ροής του χρόνου (ρολόι προσομοίωσης), που συμπεριλαμβάνεται στο πρόγραμμα προσομοίωσης, και θα καταγράψει τη ροή του προσομοιωμένου χρόνου. 5. Μία μέθοδος για την παραγωγή τυχαίων γεγονότων διαφόρων ειδών. 6. Μία φόρμουλα για τον προσδιορισμό των αλλαγών των καταστάσεων που δημιουργούνται από τα διάφορων ειδών γεγονότων. Στις μέρες μας οι υπολογιστές είναι πολύ εξελιγμένοι και μπορούν να ενσωματώσουν τα μοντέλα προσομοίωσης, απαιτείται όμως περαιτέρω ανάπτυξη και αποσφαλμάτωση του μοντέλου, μετά την ενσωμάτωση του σε υπολογιστή, ειδικά όταν πρόκειται για περίπλοκο σύστημα. Έπειτα απαιτείται να τρέξει πολλές φορές η διαδικασία και να αναλυθούν τα αποτελέσματα της ιδιαίτερα προσεκτικά πριν ληφθεί οποιαδήποτε απόφαση. Έτσι, η ολοκληρωμένη διαδικασία χρειάζεται αρκετό χρόνο και προσπάθεια. Επομένως, αν υπάρχει η δυνατότητα χρήσης κάποιας λιγότερο ακριβής και χρονοβόρας διαδικασίας θα έπρεπε να προτιμάται. Η προσομοίωση αποτελεί μία πρακτική προσέγγιση που χρησιμοποιείται σε πολύ περίπλοκα στοχαστικά συστήματα, τα οποία δεν είναι δυνατόν να αναλυθούν μέσα από μαθηματικά μοντέλα ( π.χ. μοντέλα αναμονής), καθώς η κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου για την επίλυση κάποιου προβλήματος είναι συνήθως ανώτερη της τεχνικής προσομοίωσης Προσομοίωση διακριτών συμβάντων και συνεχής προσομοίωση Η προσομοίωση διακριτών συμβάντων και η συνεχής προσομοίωση αποτελούν τις δύο γενικές κατηγορίες προσομοίωσης Μια προσομοίωση διακριτών συμβάντων είναι εκείνη όπου συμβαίνουν στιγμιαίες αλλαγές στην κατάσταση του συστήματος σε τυχαία σημεία στο χρόνο, ως αποτέλεσμα της εμφάνισης διακριτών γεγονότων. Για παράδειγμα, σε ένα σύστημα αναμονής όπου η κατάσταση του συστήματος είναι ο αριθμός των πελατών στο σύστημα, τα διακριτά γεγονότα που αλλάζουν αυτή την κατάσταση είναι η άφιξη ενός πελάτη και η αναχώρηση ενός πελάτη λόγω της ολοκλήρωσης της εξυπηρέτησης του. Οι περισσότερες εφαρμογές της προσομοίωσης στην πράξη είναι προσομοιώσεις διακριτών γεγονότων. Μια συνεχής προσομοίωση είναι εκείνη όπου συμβαίνουν οι αλλαγές στην κατάσταση του συστήματος συνεχώς στην πάροδο του χρόνου. Για παράδειγμα, αν το σύστημα που μας ενδιαφέρει 10

11 είναι ένα αεροπλάνο κατά τη διάρκεια της πτήσης και η κατάσταση του ορίζεται ως η τρέχουσα θέση του αεροπλάνου, τότε η κατάσταση αλλάζει συνεχώς την πάροδο του χρόνου. Ορισμένες εφαρμογές συνεχούς προσομοιώσεων αποτελούν οι μελέτες σχεδιασμού τέτοιων συστημάτων. Η ανάλυση τείνει να είναι σχετικά πολύπλοκή καθώς, οι συνεχείς προσομοιώσεις συνήθως απαιτούν τη χρήση διαφορικών εξισώσεων για την περιγραφή του ρυθμού μεταβολής των μεταβλητών της κατάστασης. Για να απλοποιηθεί η ανάλυση συχνά είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί μια προσομοίωση διακριτών γεγονότων για την προσέγγιση της συμπεριφοράς ενός συνεχούς συστήματος για να προσεγγιστούν οι συνεχείς αλλαγές στην κατάσταση του συστήματος με περιστασιακές διακριτές μεταβολές. Στη παρούσα εργασία θα επικεντρωθούμε στις προσομοιώσεις διακριτών συμβάντων και στο εξής κάθε αναφορά σε προσομοίωση θα αφορά αυτή την κατηγορία Παραδείγματα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Παιχνίδι Ρίψεως Νομίσματος Προκειμένου να εξετάσουμε ένα απλό παράδειγμα των τεχνικών προσομοίωσης θα αναφερθούμε σε ένα υποθετικό παιχνίδι ρίψης ενός νομίσματος. Ας υποθέσουμε ότι οι κανόνες του παιχνιδιού είναι οι εξής: Κάθε παιχνίδι περιλαμβάνει τη ρίψη ενός αμερόληπτου νομίσματος μέχρι η διαφορά ανάμεσα στο αριθμό των φορών που εμφανίστηκε κορώνα ως αποτέλεσμα και των αριθμών των φορών που εμφανίστηκε γράμματα να είναι 3. Κάθε φορά που ρίχνουμε το νόμισμα πρέπει να πληρώσουμε 2. Μόλις τελειώσει το παιχνίδι ( φτάσουμε τον αριθμό 3 δηλαδή) κερδίζουμε 16. Μπορούμε λοιπόν εύκολα να καταλάβουμε ότι για να είμαστε κερδισμένοι από αυτό το παιχνίδι πρέπει να ρίξουμε το νόμισμα λιγότερο από 8 φορές, αλλιώς χάνουμε χρήματα εφόσον κάθε φορά που ρίχνουμε πληρώνουμε 2 και το ποσό που μπορούμε να κερδίσουμε είναι 16. Αν θεωρήσουμε ότι το «Κ» συμβολίζει την «κορώνα» και το «Γ» τα «γράμματα», πιο κάτω μπορούμε να δούμε μερικά παραδείγματα του παιχνιδιού 11

12 Αποτέλεσμα Αριθμός ρίψεων Κέρδος ΓΓΓ 3 10 ΓΓΚΓΓ 4 8 ΚΓΚΓΚΓΓΚΚΚΚ 11-6 ΓΓΚΚΓΓΓ 7 2 Για να αποφασίσετε αν σας συμφέρει να παίξετε το παραπάνω παιχνίδι θα μπορούσατε να ρίχνεται ένα νόμισμα συνεχόμενα για αρκετές ώρες μόνοι σας, χωρίς τον παράγοντα των χρημάτων, προκειμένου να αξιολογήσετε το τελικό αποτέλεσμα και να δείτε αν σας συμφέρει, βασιζόμενοι στο πόσες φορές τελικά βγήκατε κερδισμένοι ( ρίξατε λιγότερο από 8 φορές ) και πόσες χάσατε. Το παραπάνω αποτελεί μία μορφή προσομοίωσης, την οποία μπορείτε να πραγματοποιήσετε και στο πρόγραμμα excel, παράγοντας τυχαία αποτελέσματα ( παρατηρήσεις) των ρίψεων του νομίσματος, γλυτώνοντας έτσι πολύ χρόνο συγκριτικά με το να πραγματοποιούσατε στην πραγματικότητα τις ρίψεις. Θα προχωρήσουμε στην παραπάνω προσομοίωση με τη χρήση του excel. Παίρνουμε ως δεδομένο ότι η πιθανότητα να έρθει κορώνα είναι P=1/2 και η πιθανότητα να έρθει γράμματα είναι επίσης P=1/2. Ακόμη, το ενδεχόμενο γράμματα θα συμβολίζεται με τον αριθμό 0, και το ενδεχόμενο κορώνα με τον αριθμό 1. Χρησιμοποιώντας τη λειτουργία RAND() του excel θα παράγουμε τυχαία αποτελέσματα των ρίψεων του νομίσματος. Όπως μπορούμε να δούμε στην εικόνα 1.1 συγκεκριμένη εντολή έχει προστεθεί στο κελί C10 και έχει αντιγραφεί στα κελιά C11:C59. Με αυτό το τρόπο τα κελιά C10:C59 παράγουν τυχαίους αριθμούς ( τα κελιά 24 με 58 δε φαίνονται με τη χρήση της εντολής hide για να εξοικονόμηση χώρου). 12

13 Εικόνα 1.1: Προσομοίωση παιχνιδιού ρίψης νομίσματος 13

14 Για να αντιστοιχίσουμε την πιθανότητα να έρθει κορώνα και την πιθανότητα να έρθει γράμματα στο excel θα χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω φόρμουλα: = IF(RAND()_0.5, 1, 0), Η αντιστοιχία που εκφράζει η συγκεκριμένη φόρμουλα είναι η εξής: Από ως αντιστοιχεί σε κορώνες Από ως αντιστοιχεί σε γράμματα Ακόμη όπως αναφέρουμε πιο πάνω το ενδεχόμενο κορώνα εκφράζεται με τον αριθμό 1 και το ενδεχόμενο γράμματα με τον αριθμό 0, στη στήλη D της εικόνας Συνεπώς οι 3 πρώτοι αριθμοί που παράγονται στη στήλη C δίνουν την εξής ακολουθία: ΚΚΚ, Στο σημείο αυτό το παιχνίδι σταματά καθώς ο αριθμός των κορωνών (3) ξεπερνούν τον αριθμό των γραμμάτων (0) κατά 3. Τα κελιά D4 και D5 καταγράφουν τις συνολικές φορές που έγινε ρίψη του νομίσματος και το κέρδος του παιχνιδιού που είναι 10 [16 - (2 x3 φορές)]. Οι εξισώσεις που μπορούμε να δούμε στο κάτω μέρος της εικόνας 1.1. είναι οι φόρμουλες των κελιών. Χρησιμοποιώντας αυτές τις εξισώσεις, το λογιστικό φύλλο, στη συνέχεια, καταγράφει την προσομοίωση ενός πλήρους παιχνιδιού. Για να εξασφαλίσουμε ότι το παιχνίδι θα ολοκληρωθεί έχουν ορίσει την προσομοίωση 50 ρίψεων. Στις στήλες E και F καταγράφουμε τον αριθμό των κορωνών και των γραμμάτων σε κάθε ρίψη. Τα κελιά στη στήλη G μένουν κενά μέχρι η διαφορά των κορωνών και των γραμμάτων να είναι 3. Μόλις η διαφορά γίνει 3 εμφανίζεται το «Τέλος Παιχνιδιού» και από εκεί και πέρα εμφανίζεται «ΝΑ», που συμβολίζει τον αγγλικό όρο Not Applicable. Στα κελιά D4 και D5 καταγράφεται το τελικό αποτέλεσμα του προσομοιωμένου παιχνιδιού. Τις προσομοιώσεις των παιχνιδιών μπορούμε να τις πραγματοποιήσουμε όσες φορές επιθυμούμε στο συγκεκριμένο λογιστικό φύλλο, το οποίο κάθε φορά θα παράγει νέους τυχαίους αριθμούς και καινούργιες ακολουθίες κορωνών και γραμμάτων. Προκειμένου να μπορέσουμε να έχουμε μία αξιόπιστη εκτίμηση ενός μέσου αποτελέσματος πρέπει να επαναλάβουμε την προσομοίωση αρκετές φορές. Γι αυτόν ακριβώς το λόγο φτιάξαμε τον πίνακα που μπορούμε να δούμε στην εικόνα 1.2. Στα κελιά J6 ΚΑΙ K6 έχουν αντιγραφεί τα αποτελέσματα του παιχνιδιού από τα κελιά D4 και D5. Φτιάξαμε ένα πίνακα από που αποτελείται από τα κελιά I6:K23 και επιλέξαμε ως κελί 14

15 εισαγωγής (Input cell) ένα τυχαίο κενό κελί. Με αυτό το τρόπο το excel υπολογίζει τα αποτελέσματα για 17 φορές που επαναλάβαμε το παιχνίδι. Έπειτα με την εξίσωση =AVERAGE(J7:J23) στο κελί J25 και =AVERAGE(K7:K23) στο κελί Κ25 υπολογίσαμε τους μέσους όρους των αριθμών ρίψεων και του κέρδους για τις 17 επαναλήψεις. Η εικόνα 1.2 μας δείχνει λοιπόν ότι το κελί J25 μας δείχνει ότι σε αυτό το δείγμα 17 παιχνιδιών κατά μέσο όρο κάνεις 13 ρίψεις. Και με αυτές τις 13 ρίψεις το κέρδος σου κατά μέσο όρο είναι - 10 (ζημία) για κάθε φορά που παίζεις το παιχνίδι. Επομένως, δε θα έπρεπε να επιλέξουμε να παίξουμε αυτό το παιχνίδι. Για να είναι πιο αξιόπιστα τα αποτελέσματα θα τρέξουμε 1000 επαναλήψεις του πειράματος. Στον πίνακα 1.3 βλέπουμε το αποτέλεσμα 1000 επαναλήψεων ( έχουμε κρύψει τις γραμμές 17 ως 1000 ). Το κελί J1008 μας δείχνει ότι ο μέσος όρος ρίψεων είναι 8.83 και το μέσο κέρδος είναι ( ζημία και πάλι). Εικόνα 1.2: Προσομοίωση παιχνιδιού ρίψης νομίσματος 15

16 Αν και για το συγκεκριμένο παράδειγμα δεν ήταν απαραίτητη κατασκευή ενός ολοκληρωμένο μοντέλο προσομοίωσης για να εκτελέσει αυτήν την απλή προσομοίωση, το κάνουμε για επεξηγηματικούς σκοπούς. Το στοχαστικό σύστημα που προσομοιώνεται είναι οι διαδοχικές ρίψεις του νομίσματος για μία επανάληψη του παιχνιδιού. Το ρολόι προσομοίωσης καταγράφει τον αριθμό των (προσομοιωμένων) ρίψεων t που έχουν πραγματοποιηθεί μέχρι στιγμής. Οι πληροφορίες σχετικά με το σύστημα που καθορίζουν την παρούσα κατάσταση είναι δηλαδή την κατάσταση του συστήματος είναι N(t) = ο αριθμός κορωνών μείον τον αριθμό των γραμμάτων μετά από t ρίψεις Τα συμβάντα που μετατρέπουν την κατάσταση του συστήματος είναι οι ρίψεις κορωνών ή οι ρίψεις γραμμάτων. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται για την παραγωγή τυχαίων συμβάντων είναι η γεννήτρια τυχαίων αριθμών στο διάστημα [0,1] όπου: Από ως αντιστοιχεί σε κορώνα και Από ως αντιστοιχεί σε γράμματα Ο τύπος της αλλαγής της κατάσταση είναι ο εξής: Θέσε αν η ρίψη t φέρει κορώνα αν η ρίψη t φέρει γράμματα Το παιχνίδι της προσομοίωσης ολοκληρώνεται την πρώτη φορά που από την τιμή της t προκύπτει και το αποτέλεσμα της δειγματικής παρατήρησης είναι 16 2t (είτε αρνητικό, είτε θετικό) για το συγκεκριμένο γύρο του παιχνιδιού. Το επόμενο παράδειγμα θα καταδείξει αυτά τα δομικά στοιχεία ενός μοντέλου προσομοίωσης για ένα εξέχον στοχαστικό σύστημα από τη θεωρία αναμονής. 16

17 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Ένα σύστημα ουρών αναμονής M/M/1 Θα εξετάσουμε το μοντέλο της θεωρίας ουρών αναμονής M/M/1. Στο μοντέλο αυτό θεωρούμε ότι έχουμε είσοδος που ακολουθεί την κατανομή Poisson, εκθετικός χρόνος εξυπηρέτησης και ένας μοναδικός server εξυπηρέτησης (single server). Θα μελετήσουμε το μοντέλο χρησιμοποιώντας προσομοίωση. Έστω, ότι λ ο ρυθμός άφιξης και μ ο ρυθμός εξυπηρέτησης τα οποία είναι: λ = 4 ανά ώρα, μ = 6 ανά ώρα. Για να συνοψίσουμε τη φυσική λειτουργία του συστήματος, οι πελάτες που φθάνουν εισέρχονται στην ουρά, εξυπηρετούνται και στη συνέχεια φεύγουν. Επομένως, είναι απαραίτητο για το μοντέλο προσομοίωσης να περιγράψουμε και να συγχρονίσουμε την άφιξη και την εξυπηρέτηση των πελατών. Ξεκινώντας τη χρονική στιγμή 0, το ρολόι προσομοίωσης καταγράφει τον προσομοιωμένο χρόνου t που έχει περάσει από τη στιγμή που ξεκίνησε η διαδικασίας της προσομοίωσης, δηλαδή αντιπροσωπεύει την διάρκεια της προσομοίωσης. Έτσι, οι πληροφορίες σχετικά με το σύστημα αναμονής που ορίζουν την τρέχουσα κατάσταση του, έτσι, είναι Ν(t) = αριθμός πελατών στο σύστημα την ώρα t. Τα γεγονότα που αλλάζουν την κατάσταση του συστήματος είναι η άφιξη ενός πελάτη ή η ολοκλήρωση της εξυπηρέτησής του πελάτη που εξυπηρετήται αυτή τη στιγμή (εφόσον υπάρχει). Ο τύπος της μεταβατικής κατάστασης είναι Reset N(t) = { N(t) + 1 N(t) 1 εάν κάποια άφιξη λαμβάνει χώρα την ώρα t εάν ολοκληρωθεί κάποια εξυπηρέτηση την ώρα t. Υπάρχουν δύο βασικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την προσομοίωσης του χρόνου και τη λειτουργία του συστήματος. Στη συνέχεια, θα περιγράψουμε αυτές τις δύο μεθόδους time advance, αύξησης σταθερού χρόνου (fixed time incrementing) και αύξηση χρόνου επόμενου γεγονότος (next-event incrementing). Fixed time incrementing 17

18 Η μέθοδος αυτή ακολουθεί μια διαδικασία δύο βημάτων που χρησιμοποιούνται επανειλημμένα. 1. Αύξησε τον χρόνο κατά ένα μικρό σταθερό ποσό. 2. Ενημερώστε το σύστημα, καθορίζοντας τι γεγονότα συνέβησαν κατά τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος που πέρασε και ποια είναι η κατάσταση που προκύπτει στο σύστημα. Επίσης, καταγράψτε τις επιθυμητές πληροφορίες σχετικά με την απόδοση του συστήματος. Για το υπό εξέταση μοντέλο της θεωρίας ουρών αναμονής, μόνο δύο τύποι συμβάντων μπορούν να συμβούν κατά τη διάρκεια αυτών των χρονικών διαστημάτων. Συγκεκριμένα, μία ή περισσότερες αφίξεις και μία ή περισσότερες ολοκληρώσεις υπηρεσιών. Επιπλέον, η πιθανότητα δύο ή περισσότερων αφίξεων ή δύο ή περισσότερων ολοκληρωμένων εξυπηρετήσεων κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος είναι αμελητέα για αυτό το μοντέλο, εάν τα χρονικά διάστημα είναι σχετικά μικρά. Έτσι, τα μόνα δυο πιθανά συμβάντα κατά τη διάρκεια ενός τέτοιου διαστήματος που πρέπει να εξεταστούν είναι η άφιξη ενός πελάτη και η ολοκλήρωση μίας εξυπηρέτησης ενός πελάτη. Κάθε ένα από αυτά τα γεγονότα έχει μια γνωστή πιθανότητα. Για να το δείξουμε αυτό, ας χρησιμοποιήσουμε 0,1 ώρα (6 λεπτά) σαν το μικρό σταθερό ποσό κατά το οποίο το ρολόι αυξάνεται κάθε φορά. Τόσο οι χρόνοι άφιξης όσο και οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν μια εκθετική κατανομή, η πιθανότητα P A ένα χρονικό διάστημα 0,1 ωρών να περιλαμβάνει μια άφιξη είναι: 4 10 P A = 1 e = 0,329 και η πιθανότητα P D που το χρονικό διάστημα 0,1 θα περιλαμβάνει μια αναχώρηση (ολοκλήρωση μίας εξυπηρέτησης), δεδομένου ότι ένας πελάτης εξυπηρετήθηκε στην αρχή του διαστήματος, είναι: 6 10 P D = 1 e = 0,451 Για την τυχαία δημιουργία κάθε είδους από τα γεγονότα σύμφωνα με αυτές τις πιθανότητες, ο υπολογιστής χρησιμοποιείται για να παράγει ομοιόμορφα τυχαίους αριθμούς στο διάστημα [0, 1], δηλαδή μια τυχαία παρατήρηση από την ομοιόμορφη κατανομή μεταξύ 0 και 1. Αν δηλώσουμε αυτόν τον ομοιόμορφο τυχαίο αριθμό με r A, r A < 0,329 συνέβει άφιξη, r A 0,329 δεν συνέβει άφιξη, Αντίστοιχα, χρησιμοποιώντας έναν άλλο ομοιόμορφο τυχαίο αριθμό r D, 18

19 r D < 0,451 συνέβει αναχώρηση, r D 0,451 δεν συνέβει αναχώρηση, δεδομένου ότι ένας πελάτης έχει εξυπηρετηθεί στην αρχή του χρονικού διαστήματος. Χωρίς κανένα πελάτη να εξυπηρετείτε (δηλαδή, χωρίς πελάτες στο σύστημα), θεωρείται ότι δεν πραγματοποιείται καμία αναχώρηση, ακόμη και αν συμβεί άφιξη. t, time (min) N(t) r A Arrival in Interval? r D Departure in Interval? ,529 No ,057 Yes 0,698 No ,507 No 0,139 Yes ,269 Yes 0,601 No ,735 No 0,860 No ,765 No 0,195 Yes ,368 Yes 0,991 No ,990 No 0,341 Yes ,226 Yes 0,916 No ,606 No 0,168 Yes Πίνακας 1: Fixed-time incrementing Ο παραπάνω πίνακας παρουσιάζει το αποτέλεσμα αυτής της προσέγγισης για 10 επαναλήψεις στη διαδικασία fixed time incrementing όταν το σύστημα ξεκινά χωρίς πελάτες, ενώ χρησιμοποιούνται ως μονάδα χρόνου τα λεπτά. Κατά το βήμα 2 της διαδικασίας, κατά την ενημέρωση του συστήματος, γίνεται καταγραφή των επιθυμητών μετρικών απόδοσης σχετικά με τη συνολική συμπεριφορά του συστήματος σε αυτό το χρονικό διάστημα. Για παράδειγμα, είναι δυνατόν να καταγράφει ο αριθμός των πελατών στο σύστημα αναμονής και ο χρόνος αναμονής κάθε πελάτη που μόλις ολοκλήρωσε την αναμονή του. Αρκεί να εκτιμηθεί μόνο η μέση πιθανότητα και όχι η κατανομή πιθανότητας καθεμιάς από αυτές τις τυχαίες μεταβλητές. Ο υπολογιστής απλά θα προσθέσει την τιμή (εάν υπάρχει) στο τέλος του τρέχοντος χρονικού διαστήματος σε ένα άθροισμα. Οι μέσοι όροι του δείγματος θα ληφθούν μετά την εκτέλεση της προσομοίωσης διαιρώντας τα ποσά αυτά με το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή 19

20 τον συνολικό αριθμό των χρονικών διαστημάτων και τον συνολικό αριθμό των πελατών, αντίστοιχα. Έτσι θα χρησιμοποιήσουμε την προσομοίωση του παραπάνω πίνακα για τον υπολογισμό του W, του αναμενόμενου χρόνου αναμονής ενός πελάτη στη διαδικασία fixed time incrementing (συμπεριλαμβανομένης της εξυπηρέτησής του). Τέσσερεις πελάτες έφτασαν κατά τη διάρκεια αυτής της προσομοίωσης, ένας κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρονικού διαστήματος, ο επόμενος κατά την διάρκεια του τέταρτου χρονικού διαστήματος, ο επόμενος κατά την διάρκεια του έβδομου χρονικού διαστήματος και ο τελευταίος κατά την διάρκεια του ογδόου χρονικού διαστήματος. Ο πρώτος παρέμεινε στο σύστημα για ένα χρονικό διάστημα, ο επόμενος για δύο χρονικά διαστήματα και οι δύο τελευταίοι πάλι για ένα χρονικό διάστημα,. Ως εκ τούτου, δεδομένου ότι η διάρκεια κάθε διαστήματος είναι 0,1 ώρα, η εκτίμηση του W είναι Est {W} = (0,1 ώρα) = 0,125 ώρες 4 Αυτό βέβαια αποτελεί, μόνο μια εξαιρετικά πρόχειρη εκτίμηση, βασισμένη μόνο σε ένα δείγμα μεγέθους τέσσερα. Η πραγματική τιμή του W δίνεται από τον τύπο W = 1 (μ λ) = 0.5. Για να είναι το αποτέλεσμα έγκυρο, θα έπρεπε να χρησιμοποιηθεί ένα πολύ, πολύ μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος. Από την άλλη το σύστημά μας ξεκίνησε τη διαδικασία της προσομοίωσης, χωρίς να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα. Αυτό μπορεί να μειώσει τους χρόνους αναμονής σε σχέση με τους αναμενόμενους, όταν το σύστημα βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση. Δεδομένου ότι ο στόχος είναι να εκτιμηθεί ο αναμενόμενος χρόνος αναμονής σε σταθερή κατάσταση, είναι σημαντικό να εκτελεστεί η προσομοίωση για κάποιο χρονικό διάστημα χωρίς να συλλεχτούν δεδομένα μέχρι να θεωρηθεί ότι το προσομοιωμένο σύστημα έχει ουσιαστικά φθάσει σε σταθερή κατάσταση. Αυτή η αρχική περίοδος αναμονής, όπου το σύστημα περιμένουμε να φθάσει σε μία σταθερή κατάστασης, πριν από τη συλλογή δεδομένων, καλείται περίοδος προθέρμανσης (warm-up period). Next event incrementing Η μέθοδος αυτή διαφέρει από την προηγούμενη, επειδή κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης, ο χρόνος αυξάνεται κατά ένα μεταβλητό ποσό και όχι με ένα σταθερό ποσό κάθε φορά. Αυτό το 20

21 μεταβλητό ποσό είναι ο χρόνος που μεσολαβεί από το γεγονός που μόλις συνέβη μέχρι το επόμενο οποιοδήποτε είδους συμβάν. Με άλλα λόγια, το ρολόι μεταπηδά από συμβάν σε συμβάν. Πιο αναλυτικά, τα δύο βήματα που χρησιμοποιούνται επαναλαμβάνονται και είναι: 1. Αύξηση το χρόνο μέχρι το επόμενο γεγονός οποιουδήποτε είδους. 2. Ενημερώστε το σύστημα καθορίζοντας μία νέα κατάσταση που προκύπτει από αυτό το συμβάν και από τον τυχαία παραγόμενο χρόνο μέχρι την εμφάνιση του επόμενου οποιουδήποτε τύπου συμβάντος που μπορεί να συμβεί από την τρέχουσα κατάσταση (εάν δεν δημιουργήθηκε προηγουμένως). Επίσης, καταγράψτε τις επιθυμητές πληροφορίες σχετικά με τις επιδόσεις του συστήματος. Για αυτό το παράδειγμα, ο υπολογιστής πρέπει να παρακολουθεί δύο μελλοντικά γεγονότα, δηλαδή την επόμενη άφιξη και την επόμενη εξυπηρέτηση (εάν ένας πελάτης εξυπηρετείται αυτή τη στιγμή). Αυτοί οι χρόνοι λαμβάνονται με τη λήψη μίας τυχαίας παρατήρησης από την κατανομή πιθανότητας των χρόνων αφίξεων και των χρόνων εξυπηρέτησης, αντίστοιχα. Όπως και πριν, ο υπολογιστής παίρνει ένα τέτοια τυχαία παρατήρηση με τη δημιουργία και τη χρήση ενός τυχαίου αριθμού. Έτσι, κάθε φορά που συμβαίνει μία άφιξη ή μία ολοκλήρωση υπηρεσίας, ο υπολογιστής καθορίζει μετά από πόσο διάστημα θα συμβεί αυτό το συμβάν πάλι και προσθέτει αυτό το διάστημα στην τρέχουσα χρονική στιγμή και στη συνέχεια αποθηκεύει αυτό το ποσό σε ένα αρχείο υπολογιστή. Εάν με την εξυπηρέτηση, δεν μένει κανένας πελάτης στο σύστημα, τότε ο επόμενη χρόνος εξυπηρέτησης αναβάλλεται μέχρι την επόμενη άφιξη. Για να προσδιοριστεί ποιο θα είναι το επόμενο συμβάν, ο υπολογιστής βρίσκει την ελάχιστη χρονική στιγμή που είναι αποθηκευμένη στο αρχείο. Για να υλοποιηθεί η σχετική προσομοίωση, οι γλώσσες προγραμματισμού προσομοίωσης παρέχουν μία «ρουτίνα χρονισμού» που καθορίζει τον χρόνο εμφάνισης και τον τύπο του επόμενου συμβάντος. Ο ακόλουθος πίνακας παρουσιάζει το αποτέλεσμα της μεθόδου αυτής, μέσω πέντε επαναλήψεων που ακολουθώντας τη διαδικασία next-event incrementing, ξεκινώντας το σύστημα, χωρίς να υπάρχουν πελάτες σε αυτό και χρησιμοποιώντας ως χρονικές μονάδες τα λεπτά. Χρησιμοποιούνται οι προηγούμενοι ομοιόμορφοι τυχαίοι αριθμοί r A και r D για τη δημιουργία των χρόνων άφιξης και των χρόνων εξυπηρέτησης, αντίστοιχα. Οι r A και r D είναι ίδιοι με αυτούς που χρησιμοποιήθηκαν στον προηγούμενο παράδειγμα ώστε να μπορούν να συγκριθούν τα αποτελέσματα των δύο μηχανισμών. 21

22 t, time (min) N(t) r A Next Interarrival Time r D Next Service Time Next Arrival Next Departure Next Event 0 0 0, ,057 3, ,415 - Arrival 3, ,507 14,846 0,698 12,475 18,261 15,89 Departure 15, ,261 - Arrival 18, ,269 26,689 0,139 24,593 44,95 39,145 Departure 39, ,95 - Arrival 44, Πίνακας 2: Next-event incrementing Έχουμε δημιουργήσει στο Excel μια αυτόματη ρουτίνα, που ονομάζεται Simulator Queuing, για την εφαρμογή της διαδικασίας αύξησης επόμενου συμβάντος σε διάφορα είδη συστημάτων αναμονής. Το σύστημα μπορεί να έχει είτε ένα μόνο εξυπηρετητή είτε πολλαπλούς. Προσφέρει αρκετές επιλογές κατανομών πιθανοτήτων για το χρόνο άφιξης και εξυπηρέτησης (εκθετική, Erlang, εκφυλισμένη, ομοιόμορφη ή μεταφρασμένη εκθετική). Το ακόλουθο σχήμα δείχνει την είσοδο και έξοδο (σε μονάδες ωρών) από την εφαρμογή του Simulator Queuing στο τρέχον παράδειγμα για ένα τρέξιμο προσομοίωσης με αφίξεις πελατών. Η στήλη F δίνει την εκτίμηση για κάθε ένα από αυτά τα μέτρα που παρέχονται από την πορεία προσομοίωσης. Για την προσομοίωση αυτή, χρησιμοποιούνται οι τύποι για ένα σύστημα αναμονής M/M/1. Τα διαστήματα εμπιστοσύνης είναι ευρύτερα απ 'ότι θα μπορούσαν να είναι μετά από μια τέτοια προσομοίωση. Σε γενικές γραμμές, προσομοιώσεις μεγάλου μεγέθους απαιτούνται για να ληφθούν σχετικά ακριβείς εκτιμήσεις (στενά διαστήματα εμπιστοσύνης) της απόδοσης σε ένα σύστημα αναμονής. Η διαδικασία next-event incrementing ταιριάζει καλύτερα σε αυτό το παράδειγμα σε σχέση με άλλα παρόμοια στοχαστικά συστήματα από τη διαδικασία fixed-time incrementing. Η διαδικασία next-event incrementing απαιτεί λιγότερες επαναλήψεις για να καλύψει την ίδια ποσότητα προσομοιωμένου χρόνου και παράγει ένα ακριβές χρονοδιάγραμμα για την εξέλιξη του συστήματος και όχι μια ομαλή προσέγγιση. 22

23 2. Κατηγορίες εφαρμογής της προσομοίωσης Η προσομοίωση αποτελεί μία ιδιαίτερα ευέλικτη τεχνική. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε διαφορετικούς βαθμούς δυσκολίας για να διερευνήσει σχεδόν κάθε είδος στοχαστικού συστήματος. Αυτή η ευελιξία έχει κάνει την προσομοίωση την πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη τεχνική στην επιχειρησιακή έρευνα, και η δημοτικότητα της συνεχώς αυξάνεται. Λόγω της τεράστια ποικιλία των εφαρμογών της, είναι αδύνατον να απαριθμήσουμε όλες τις συγκεκριμένες περιοχές στις οποίες έχει χρησιμοποιηθεί η προσομοίωση. Ωστόσο, θα περιγράψουμε εν συντομία εδώ μερικές ιδιαίτερα σημαντικές κατηγορίες εφαρμογών. Σχεδιασμός και Λειτουργία Συστημάτων Αναμονής Παρά το γεγονός ότι υπάρχει πληθώρα μαθηματικών μοντέλων διαθέσιμη για τη μελέτη και την ανάλυση σχετικά απλών συστημάτων αναμονής, όταν πρόκειται για πιο πολύπλοκα συστήματα τα μοντέλα αυτά μπορούν να παρέχουν μόνο πρόχειρη προσέγγιση. Σε αυτές τις περιπτώσεις η προσομοίωση είναι μία πολύ καλή λύση για να τις αντιμετωπίσουμε. Ένα βραβευμένο παράδειγμα την εφαρμογής της προσομοίωσης αποτελεί αυτό της AT&T για μία μελέτη που συνδύαζε την προσομοίωση με τη θεωρία ουρών αναμονής. Το 1994 η AT&T δημιούργησε κάποια μοντέλα για το τηλεπικοινωνιακό της δίκτυο & το κέντρο τηλεφωνικής εξυπηρέτησης της AT&T για τους τυπικούς εταιρικούς(επιχειρησιακούς) της πελάτες. Ο στόχος ήτανε να αναπτύξει μία εφαρμογή υπολογιστών φιλική προς το χρήστη,την οποία θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν οι εταιρικοί πελάτες, για να βοηθηθούν στο πώς θα σχεδιάσουν ή θα επανασχεδιάσουν το κέντρο τηλεφωνικής εξυπηρέτησης τους. Το σύστημα χρησιμοποιήθηκε περισσότερες από φορές, καθώς την εποχή εκείνη η ανάπτυξη των κέντρων τηλεφωνικής εξυπηρέτησης ήταν ραγδαία στην Αμερική. Το αποτέλεσμα ήταν περισσότερα από $750 εκατομμύρια ετήσια κέρδη για τους πελάτες που το χρησιμοποίησαν. Ένα δεύτερο βραβευμένο παράδειγμα αποτελεί αυτό της Νέας Υόρκης, η οποία ανέπτυξε ένα σύστημα για να προσομοιώσει τη διαδικασία από τη σύλληψη των κρατουμένων ως την απαγγελία κατηφοριών. Το σύστημα περιελάβανε δηλαδή τη διαδικασία από τη στιγμή της σύλληψης του ατόμου μέχρι την πρώτη εμφάνιση του στο δικαστήριο, όπου αποφασίζεται αν υπήρχε εύλογη αιτία για τη σύλληψη. Πριν τη μελέτη οι συλληφθέντες της πόλης ( ίδιοι με τους «πελάτες» σε ένα σύστημα αναμονής ) ήταν υπό κράτηση κατά μέσο όρο για 40 ώρες περιμένοντας να τους 23

24 απαγγελθούν κατηγορίες, και κάποιες φορές και παραπάνω από 70 ώρες. Αυτοί οι χρόνοι αναμονής θεωρήθηκαν υπερβολικοί, επειδή οι συλληφθέντες κρατούνταν σε συνθήκες συνωστισμού, θορύβου, κατάσταση που ήταν συναισθηματικά αγχωτική, ανθυγιεινή, και συχνά σωματικά επικίνδυνη. Έτσι, πραγματοποιήθηκε διετής έρευνα για την αναμόρφωση του συστήματος με τεχνικές προσομοίωσης σε συνδυασμό με τη θεωρία αναμονής. Αυτό οδήγησε σε σαρωτικές αλλαγές τόσο στον τρόπο λειτουργίας όσο και στις πολιτικές με αποτέλεσμα να μειωθεί ο μέσος χρόνος αναμονής μέχρι την απαγγελθούν οι κατηγορίες σε 24 ώρες ή και λιγότερο και παράλληλα να εξοικονομηθούν $9.5 εκατομμύρια. Διαχείριση Συστημάτων Αποθεμάτων Η προσομοίωση πολλές φορές παίζει ρόλο κλειδί στην ανάλυση & μελέτη τέτοιων συστημάτων. Ως παράδειγμα θα αναφέρουμε την εταιρία IBM, στην Ευρώπη, σε μία αναφορά του περιοδικού OR/MS Today το Η εταιρία αντιμετώπιζε αδιάκοπη πίεση από ευέλικτους και επιθετικούς ανταγωνιστές, και έπρεπε να βρει έναν τρόπο να βελτιώσει σημαντικά τις επιδόσεις της συμπληρώνοντας ταχύτερα τις παραγγελίες των πελατών. Η ομάδα επιχειρησιακής έρευνας της εταιρείας ανέλυσε πώς να επιτύχει το παραπάνω μέσω της προσομοίωσης διαφόρων ανασχηματισμών ολόκληρης της εφοδιαστικής αλυσίδας της εταιρείας (το δίκτυο των εγκαταστάσεων που κάλυπτε τις προμήθειες, την παραγωγή και τη διανομή, συμπεριλαμβανομένων όλων των αποθεμάτων που συσσωρευόντουσαν κατά τη διαδικασία). Αυτό οδήγησε σε σημαντικές αλλαγές στο σχεδιασμό και τη λειτουργία της εφοδιαστικής αλυσίδας (συμπεριλαμβανομένων των συστημάτων απογραφής) που βελτίωσε σημαντικά την ανταγωνιστική θέση της εταιρείας. Επίσης, επιτεύχθηκε άμεση εξοικονόμηση κόστους $ 40 εκατομμύρια ετησίως. Εκτίμηση της πιθανότητας ολοκλήρωσης ενός έργου εντός της προθεσμίας του. Μία από τις βασικές ανησυχίες των υπεύθυνων διαχείρισης έργων ( project management ) είναι το κατά πόσο θα είναι η ομάδα σε θέση να ολοκληρώσει το έργο πριν τη λήξη της προθεσμίας. Πολλές φορές η προσέγγιση PERT, χρησιμοποιείται για μία προσέγγιση της πιθανότητας ολοκλήρωσης εντός της προθεσμίας. Η παραπάνω διαδικασία συμπεριλαμβάνει τρεις υποθέσεις απλούστευσης για τον υπολογισμό της διάρκειας ενός έργου, τις υποθέσεις ότι η μέση κρίσιμη διαδρομή θα αποδειχθεί ότι είναι η μακρύτερη διαδρομή μέσω του δικτύου έργων, ότι οι διάρκειες 24

25 των δραστηριοτήτων στην μέση κρίσιμη διαδρομή είναι στατιστικά ανεξάρτητες & ότι η μορφή της κατανομής πιθανότητας της διάρκειας του έργου είναι μια κανονική κατανομή. Λόγω των παραπάνω υποθέσεων, η εκτιμήσεις είναι υπερβολικά αισιόδοξες και έτσι πολλές φορές χρησιμοποιείται προσομοίωση για μία καλύτερη εκτίμηση της πιθανότητας ολοκλήρωσης του έργου. Αυτό συνεπάγεται τη δημιουργία τυχαίων παρατηρήσεων από τις κατανομές της πιθανότητας της διάρκειας των διαφόρων δραστηριοτήτων στο πλαίσιο του έργου. Έτσι προσομοιώνουμε πότε ξεκινά και πότε ολοκληρώνεται κάθε δραστηριότητα, και επομένως πότε ολοκληρώνεται όλο το έργο. Η παραπάνω διαδικασία επαναλαμβάνεται χιλιάδες φορές και έχει ως αποτέλεσμα μία πολύ καλή προσέγγιση της πιθανότητας ολοκλήρωσης του έργου εντός της προθεσμίας. Σχεδιασμός και Λειτουργία Συστημάτων Διανομής Το συστήματα διανομής για τις κατασκευαστικές εταιρείες είναι απαραίτητα για τη διανομή των αγαθών από το εργοστάσιο, στις αποθήκες και έπειτα στους πελάτες. Η διαθεσιμότητα των οχημάτων για τη μεταφορά των αγαθών, η διάρκεια παράδοσης & οι απαιτήσεις του κάθε πελάτη αποτελούν προκλήσεις και αβεβαιότητες που χαρακτηρίζουν ένα σύστημα παραγωγής και διανομής. Με την παραγωγή τυχαίων παρατηρήσεων από τις σχετικές κατανομές πιθανοτήτων, η προσομοίωση είναι σε θέση να αντιμετωπίσει τις παραπάνω είδους αβεβαιότητες. Ακόμη, πολύ συχνά χρησιμοποιείται για τη βελτιστοποίηση του σχεδιασμού & των λειτουργιών αυτής της κατηγορίας συστημάτων. Ένα βραβευμένο παράδειγμα εφαρμογής σε τέτοιας μορφής συστημάτων είναι της εταιρείας Reynolds Metal Company, που δημοσιεύτηκε το 1991 στο Interfaces. Η διανομή της εταιρείας πραγματοποιείται μέσω φορτηγών, τρένων, πλοίων και αεροπλάνων σε ένα δίκτυο με περισσότερους από εκατό προορισμούς συμπεριλαμβανομένων των εγκαταστάσεων, των αποθηκών, και των προμηθευτών. Μέσα από τη χρήση τεχνικών προσομοίωσης & ακέραιου προγραμματισμού η εταιρεία σχεδίασε ένα νέο σύστημα διανομής των προϊόντων που βασιζόταν σε κεντρικές αποστολές. Με αυτό το νέο σύστημα όχι μόνο βελτίωσε το χρόνο παράδοσης των προϊόντων αλλά παράλληλα μείωσε τα ετήσια κόστη κατά 7 εκατομμύρια δολάρια ετησίως, τη στιγμή που το κόστος διανομής ήταν περισσότερα από 250 εκατομμύρια δολάρια ετησίως. 25

26 Σχεδιασμός και Λειτουργία Συστημάτων Παραγωγής Στο τομέα της παραγωγής η προσομοίωση μπορεί να βοηθήσει στην βελτιστοποίηση πολλών λειτουργιών. Πολλά συστήματα παραγωγής μπορούν να αντιμετωπιστούν ως συστήματα αναμονής, όπου οι μηχανές παίρνουν τη θέση των εξυπηρετητών και οι εργασίες τη θέση των πελατών, όμως υπάρχουν και επιπλοκές που υπερβαίνουν το πεδίο εφαρμογής των συνήθων μοντέλων αναμονής όπως καταστροφές μηχανών, ελαττωματικά αντικείμενα που χρειάζονται ανακατασκευή και πολλαπλές εργασίες κ.α.. Σε αυτές τις περιπτώσεις μπορούν να εφαρμοστούν τεχνικές προσομοίωσης. Ο αριθμός των μηχανών που χρειάζεται να έχει η επιχείρηση για κάθε τύπο παραγωγής, ο προσδιορισμός του χρόνου που χρειάζεται για την ολοκλήρωση της παραγωγικής διαδικασίας, η ροή της παραγωγής, οι προθεσμίες, η πρόβλεψη των «εμποδίων» που θα δημιουργηθούν ή του ρυθμού παραγωγής σε περίπτωση σχεδιασμού ενός νέου συστήματος παραγωγής αποτελούν μερικά παραδείγματα στα οποία μπορεί να βοηθήσει η χρήση της προσομοίωσης στον τομέα της παραγωγής. Ανάλυση χρηματοοικονομικού κινδύνου Η ανάλυση του χρηματοοικονομικού κινδύνου ήταν και συνεχίζει να είναι ένας από τους πρώτους τομείς εφαρμογής της προσομοίωσης. Η αξιολόγηση ενός προτεινόμενου κεφαλαίου επενδύσεων με αβέβαιες μελλοντικές ταμιακές ροές μπορεί να γίνει μέσα από τη δημιουργία τυχαίων παρατηρήσεων από κατανομές πιθανοτήτων για την ταμειακή ροή σε κάθε μία από τις αντίστοιχες χρονικές περιόδους (λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις μεταξύ χρονικών περιόδων). Μέσα από τη προσομοίωση μπορούμε να δημιουργήσουμε χιλιάδες σενάρια για την κατάληξη της επένδυσης. Αυτό παρέχει μια κατανομή πιθανότητας της απόδοσης (π.χ., καθαρή παρούσα αξία) από την επένδυση. Αυτή η κατανομή (μερικές φορές αποκαλείται προφίλ κινδύνου) επιτρέπει στη διοίκηση να εκτιμήσει τον κίνδυνο που συνεπάγεται η πραγματοποίηση της επένδυσης. Με παρόμοιο τρόπο η προσομοίωση χρησιμοποιείται για την ανάλυση κινδύνου σε δικαιωμάτων αγοράς, δικαιωμάτων πώλησης, δικαιωμάτων προαίρεσης κ.α.. 26

27 Υγειονομικές εφαρμογές Η εξέλιξη των ανθρώπινων ασθενειών αποτελεί ένα τομέα που χρησιμοποιείται η προσομοίωση. Επίσης, αποτελεί τεχνική σχεδιασμού και βελτιστοποίησης συστημάτων λειτουργιών των μονάδων ιατροφαρμακευτικής περίθαλψης. Μερικά παραδείγματα αποτελούν η χρήση των νοσοκομειακών πόρων, η προσομοίωση δαπανών υγείας με εναλλακτικά ασφαλιστικά προγράμματα, του κόστους και αποτελεσματικότητας της έγκαιρης διάγνωσης μίας νόσου, της χρήσης των χειρουργικών εγκαταστάσεων, του χρόνου και της θέσης των ασθενοφόρων, της αντιστοίχισης των οργάνων που έχουν δοθεί για δωρεά με συμβατούς παραλήπτες και η προσομοίωση των λειτουργιών στα επείγοντα περιστατικά. Εφαρμογές στον τομέα της παροχής υπηρεσιών Ακριβώς με τον ίδιο τρόπο που παρουσιάστηκε πώς βοηθά η προσομοίωση στον κλάδο της υγειονομικής περίθαλψης, αποτελεί χρήσιμο εργαλείο και σε άλλες κατηγορίες παροχής υπηρεσιών. Παραδείγματα αποτελούν οι κυβερνητικές υπηρεσίες, τράπεζες, ξενοδοχειακές μονάδες, εστιατόρια, εκπαιδευτικά ιδρύματα, στρατόπεδα, πάρκα ψυχαγωγίας και πολλά άλλα. 27

28 3. Περιγραφή βημάτων μίας μελέτης προσομοίωσης. Καθώς έχουμε δει διαφορετικές εφαρμογές και τεχνικές της προσομοίωσης θα προχωρήσουμε στην περιγραφή των βημάτων που απαιτούνται για την ολοκλήρωση μίας μελέτης επιχειρησιακής έρευνας που χρησιμοποιεί τεχνικές προσομοίωσης. Σε κάποιες εφαρμογές δεν απαιτείται να ακολουθηθούν όλα τα παρακάτω βήματα. Βήμα 1: Διαμόρφωση του προβλήματος και σχεδιασμός της μελέτης Η έρευνα απαιτεί την αρχική εμπλοκή της διοίκησης, η οποία πρέπει να δώσει απαντήσεις σε διάφορα σημεία που αφορούν τη μελέτη, όπως: 1. Ποιο είναι το ακριβές πρόβλημα που η διοίκηση θέλει να μελετήσει; 2. Ποιοι είναι οι γενικοί στόχοι της μελέτης; 3. Ποια συγκεκριμένα θέματα πρέπει να αντιμετωπιστούν; 4. Ποια εναλλακτικά συστήματα θα πρέπει να ληφθούν υπόψη κατά τη μελέτη; 5. Ποια μέτρα απόδοσης του συστήματος ενδιαφέρουν τη διοίκηση; 6. Ποιοι είναι οι χρονικοί περιορισμοί για την εκτέλεση της μελέτης; Ακόμη, απαιτείται η ομάδα που θα πραγματοποιήσει τη μελέτη να μελετήσει τον τρόπο με τον οποίο λειτουργεί το συγκεκριμένο σύστημα και μέσα από την παρατήρηση του να εντοπίσει τις συνιστώσες του και τους δεσμών μεταξύ τους ώστε κατανοήσει τη δομή του συστήματος και των κανόνων που ακολουθεί η λειτουργία του. Γι αυτό το λόγο χρειάζεται η εμπλοκή ανθρώπων που απασχολούνται στο μηχανικό και λειτουργικό κομμάτι του οργανισμού, οι οποίοι θα μπορούν να δώσουν χρήσιμες πληροφορίες για τα παραπάνω. Φυσικά, δεν πρέπει να ξεχνάμε την οργάνωση της ομάδας που θα πραγματοποιήσει τη μελέτη, αφού είναι βασικό ο υπεύθυνος του έργου να σχεδιάσει τον αριθμό των ατόμων που θα εμπλακούν, να προσδιορίσει τις ευθύνες τους, το χρονοδιάγραμμα και τον οικονομικό προϋπολογισμό της μελέτης. 28

29 Βήμα 2: Συλλογή δεδομένων και κατασκευή μοντέλου προσομοίωσης. Οι τύποι δεδομένων που απαιτούνται εξαρτώνται από τη φύση του συστήματος που πρόκειται να προσομοιωθεί. Για ένα σύστημα ουράς αναμονής, τα βασικά κομμάτια δεδομένων θα ήταν η κατανομή των χρόνων διεπαφής και η κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης. Για ένα σύστημα απογραφής προϊόντος, η ομάδα θα χρειαζόταν τη κατανομή της ζήτησης για το προϊόν και την κατανομή ή του χρόνου προμήθειας μεταξύ της τοποθέτησης μιας παραγγελίας για την αναπλήρωση του αποθέματος και την παραλαβή της παραγγελίας. Αν πρόκειται για μία προσέγγιση PERT όπου οι διάρκειες δραστηριότητας είναι αβέβαιες, απαιτούνται κατανομές της διάρκειας της κάθε δραστηριότητας. Προκειμένου να δημιουργηθούν αντιπροσωπευτικά σενάρια για το πώς θα λειτουργούσε ένα σύστημα, είναι απαραίτητο μια προσομοίωση να δημιουργεί τυχαίες παρατηρήσεις από αυτές τις κατανομές και όχι απλώς να χρησιμοποιεί μέσους όρους, επομένως σε όλα τα παραπάνω εννοούμε τις κατανομές πιθανοτήτων. Μέσα από την παρατήρηση της υπάρχουσας εκδοχής των συστημάτων ή παρόμοιων συστημάτων είναι δυνατό να εκτιμήσουμε αυτές κατανομές πιθανοτήτων. Αν μετά από την παρατήρηση δεν είναι σαφής η μορφή της κατανομής χρησιμοποιούμε στατιστικές τεχνικές για την εκτίμηση. Ο μέσος όρος του δείγματος και η διακύμανση του δείγματος των δεδομένων παρέχουν επίσης μια εκτίμηση του μέσου όρου και της διακύμανσης της κατανομής. Εάν δεν υπάρχουν σχετικά δεδομένα επειδή δεν υπάρχει παρόμοιο σύστημα, άλλες πιθανές πηγές πληροφοριών για την εκτίμηση της κατανομής αποτελούν άλλες μελέτες, μηχανολογικά αρχεία, εγχειρίδια λειτουργίας, οι προδιαγραφές των μηχανών και οι συνεντεύξεις με άτομα που έχουν εμπειρία με παρόμοιες λειτουργίες. Το μοντέλο προσομοίωσης συχνά διαμορφώνεται με βάση ένα διάγραμμα ροής που συνδέει μεταξύ τους τα διάφορα στοιχεία του συστήματος. Οι κανόνες λειτουργίας δίδονται για κάθε στοιχείο, συμπεριλαμβανομένων των κατανομών πιθανότητας που ελέγχουν πότε θα συμβεί ένα γεγονός σε κάθε σημείο. Βήμα 3: Έλεγχος την ακρίβειας του μοντέλου προσομοίωσης Σε αυτό το βήμα εμπλέκονται και πάλι οι άνθρωποι που γνωρίζουν τον τρόπο με τον οποίο θα λειτουργήσει το σύστημα. Η ομάδα της μελέτης, ακολουθεί τα βήματα του μοντέλου, παρουσιάζοντας τα σε όλους τους βασικούς ανθρώπους που γνωρίζουν το παραπάνω. Κατά τη διαδικασία αυτή εντοπίζονται και διορθώνονται λανθασμένες υποθέσεις του μοντέλου, προστίθενται νέες υποθέσεις και επιλύονται ζητήματα που αφορούν το βαθμό λεπτομέρειας που απαιτείται σε διάφορα μέρη του μοντέλου. Έτσι, όχι μόνο εξασφαλίζεται η ακρίβεια του μοντέλου 29

30 προσομοίωσης αλλά δημιουργείται και το αίσθημα συμβολής και «ιδιοκτησίας» του μοντέλου και στους υπόλοιπους εμπλεκόμενους εκτός από την ομάδα μελέτης. Βήμα 4: Επιλογή Λογισμικού και Κατασκευή του Προγράμματος σε Υπολογιστή Στις προσομοιώσεις υπολογιστών υπάρχουν 4 βασικές κατηγορίες λογισμικού που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. 1. Υπολογιστικά φύλλα. Με τη χρήση του Excel είναι δυνατόν να πραγματοποιήσουμε βασικές προσομοιώσεις. Μπορούμε να προσθέσουμε ακόμη και κάποια add-ins που είναι διαθέσιμα για τη βελτίωση αυτής της μορφής μοντελοποίησης με τη χρήση υπολογιστικών φύλλων, κάποια από τα οποία θα χρησιμοποιηθούν και στα παραδείγματα που θα παρουσιαστούν αργότερα στην παρούσα εργασία. 2. Γλώσσες προγραμματισμού γενικής χρήσης. Τέτοιες γλώσσες αποτελούν οι C, FORTRAN, PASCAL, BASIC κλπ.. Αυτές οι γλώσσες συχνά χρησιμοποιούνταν λόγω της μεγάλης ευελιξίας τους για προγραμματισμό οποιουδήποτε είδους προσομοίωσης. Ωστόσο, λόγω του μεγάλου απαιτούμενου χρόνου προγραμματισμού, η χρήση τους πλέον έχει περιοριστεί κατά πολύ. 3. Γλώσσες προσομοίωσης γενικής χρήσης. Αυτές οι γλώσσες παρέχουν πολλές από τις δυνατότητες που απαιτούνται για τον προγραμματισμό ενός μοντέλου προσομοίωσης και έτσι μειώνουν σημαντικά τον απαιτούμενο χρόνο προγραμματισμού. Παρόλο που είναι λιγότερο ευέλικτες από μια γλώσσα προγραμματισμού γενικής χρήσης, είναι σε θέση να προγραμματίζουν σχεδόν οποιοδήποτε μοντέλο προσομοίωσης. Ωστόσο, απαιτείται κάποιος βαθμός εξειδίκευσης στις συγκεκριμένες γλώσσες για να είναι δυνατή η χρήση τους. Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν οι γλώσσες GPSS, SIMSCRIPT, SLAM, και SIMAN. 4. Εφαρμογές προσομοιώσεων (Προσομοιωτές). Κάθε ένας από αυτούς τους προσομοιωτές έχει σχεδιαστεί για την προσομοίωση αρκετά συγκεκριμένων τύπων συστημάτων, όπως ορισμένοι τύποι συστημάτων κατασκευής, πληροφορικής και επικοινωνιών. Ορισμένοι είναι πολύ συγκεκριμένοι όπως οι προσομοιωτές για τη μηχανική παραγωγής πετρελαίου και φυσικού αερίου, την ανάλυση πυρηνικών σταθμών ή της καρδιαγγειακής φυσιολογίας. Στόχος τους είναι να είναι σε θέση να κατασκευάσουν ένα "πρόγραμμα" προσομοίωσης σε γραφικό περιβάλλον χρήσης, χωρίς να απαιτείται η χρήση προγραμματισμού. Είναι σχετικά εύκολο να μάθουν και να έχουν δομές μοντελοποίησης στενά συνδεδεμένες με το σύστημα που μελετάται. Το κύριο μειονέκτημα πολλών 30

31 προσομοιωτών είναι ότι περιορίζεται αφού μοντελοποιούν μόνο τις διατάξεις του συστήματος που μπορούν να υποστηρίξουν με τις βασικές λειτουργίες τους. Για τη βελτίωση αυτού του χαρακτηριστικού κάποιοι προσομοιωτές επιτρέπουν την παρέμβαση με τη χρήση γλώσσας προγραμματισμού. Συνήθως χρησιμοποιούνται για πολύ περίπλοκά συστήματα. Η χρήση γραφικών στη διαδικασία της προσομοίωσης προτείνεται καθώς όχι μόνο διευκολύνει την παρουσίαση του μοντέλου στη διοίκηση, αλλά βοηθά και στον εντοπισμό σφαλμάτων. Βήμα 6: Σχεδιασμός των προσομοιώσεων που πρέπει να εκτελεστούν Σε αυτό το σημείο, θα πρέπει να αρχίσετε να λαμβάνετε αποφάσεις σχετικά με τα μέρη των συστήματος που θα προσομοιώσετε. Πρέπει επίσης να ληφθούν αποφάσεις σχετικά με ορισμένα στατιστικά ζητήματα. Ένα τέτοιο ζήτημα είναι ο χρόνος που απαιτείται από το σύστημα για να φτάσει σε σταθερή- μόνιμη κατάσταση πριν αρχίσει να συλλέγει τα δεδομένα προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί η επίδραση των αρχικών (μεταβατικών) συνθηκών. Οι προκαταρκτικές δοκιμές προσομοίωσης χρησιμοποιούνται συχνά για την ανάλυση αυτού του ζητήματος. Επειδή τα συστήματα απαιτούν συχνά πολύ χρόνο για να φθάσουν ουσιαστικά σε μια σταθερή κατάσταση, είναι χρήσιμο οι συνθήκες εκκίνησης που επιλέγονται για ένα προσομοιωμένο σύστημα να είναι περίπου αντιπροσωπευτικές των συνθηκών σταθερής κατάστασης, προκειμένου να μειωθεί ο απαιτούμενος χρόνος. Ακόμη πρέπει να λαμβάνεται υπόψη τη διάρκεια τους κύκλου της προσομοίωσης. Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η προσομοίωση δεν παράγει ακριβείς τιμές για τα μέτρα απόδοσης ενός συστήματος και ότι κάθε κύκλος προσομοίωσης μπορεί να θεωρηθεί ως ένα στατιστικό πείραμα που δημιουργεί στατιστικές παρατηρήσεις της απόδοσης του προσομοιωμένου συστήματος. Αυτές οι παρατηρήσεις χρησιμοποιούνται για την παραγωγή στατιστικών εκτιμήσεων των μέτρων απόδοσης. Η αύξηση της διάρκειας του κύκλου αυξάνει την ακρίβεια αυτών των εκτιμήσεων. Σε αυτό το βήμα, η εμπλοκή κάποιου έμπειρου στατιστικού ή αναλυτή επιχειρησιακής έρευνας έχει ανεκτίμητη αξία για την πορεία της μελέτης. Βήμα 7: Διεξαγωγή της διαδικασίας προσομοίωσης και ανάλυση των αποτελεσμάτων Τα αποτελέσματα των δοκιμών των προσομοίωσης παρέχουν στατιστικές εκτιμήσεις των επιθυμητών μέτρων απόδοσης για κάθε διάταξη του συστήματος που μας ενδιαφέρει. Εκτός από μια εκτίμηση σημείων για κάθε μέτρο, πρέπει κανονικά να λαμβάνεται ένα διάστημα εμπιστοσύνης για να υποδεικνύεται το εύρος πιθανών τιμών του μέτρου. Αυτά τα αποτελέσματα ενδέχεται να 31

32 υποδηλώνουν αμέσως μία παράμετρος του συστήματος είναι σαφώς ανώτερη από τις άλλες. Συχνά, εντοπίζονται οι πιο ισχυρές εκδοχές και η ομάδα μελέτης επικεντρώνεται σε αυτές. Έπειτα, πραγματοποιούνται κάποιες προσομοιώσεις μεγαλύτερης διάρκειας για την καλύτερη σύγκριση των τελευταίων υποψηφίων. Μπορούν επίσης να πραγματοποιηθούν επιπλέον κύκλοι προσομοίωσης για την τελειοποίηση των λεπτομερειών. Βήμα 8: Παρουσίαση προτάσεων προς τη Διοίκηση Αφού ολοκληρωθεί η διαδικασία η ομάδα πρέπει να παρουσιάσει τις προτάσεις της στη διοίκηση μέσα μίας γραπτής αναφοράς και συνήθως μίας παρουσίασης προς τους προϊσταμένους που καλούνται να λάβουν αποφάσεις με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης. Η αναφορά θα πρέπει να περιγράφει τον τρόπο διεξαγωγής της μελέτης περιληπτικά. Μία γραφική επίδειξη ενός κύκλου προσομοίωσης μπορεί να συμπεριληφθεί για να μεταδώσει καλύτερα τη διαδικασία προσομοίωσης και να προσθέσει αξιοπιστία. Πρέπει να συμπεριληφθούν τα αριθμητικά αποτελέσματα που υποστηρίζουν τη λογική των προτάσεων/συστάσεων. 32

33 4. Προσομοίωση σε υπολογιστικά φύλλα (Spreadsheets) Στην πραγματικότητα, κατά τη μελέτη και εκτέλεση σχετικά απλών συστημάτων, είναι μερικές φορές δυνατή η εκτέλεση προσομοιώσεων γρήγορα και εύκολα σε υπολογιστικά φύλλα. Παρότι που τα μοντέλα υπολογιστικών φύλλων που χρησιμοποιούνται για την ανάλυση ενός προβλήματος, δεν λαμβάνουν υπόψη τους την αβεβαιότητα (εκτός από την ανάλυση ευαισθησίας), υπάρχουν διαθέσιμα εργαλεία που μπορούν να εξετάσουν το αποτέλεσμα αυτό. Το βασικό πακέτο του Excel έχει κάποιες βασικές δυνατότητες προσομοίωσης, συμπεριλαμβανομένης της ικανότητας παραγωγής ομοιόμορφων τυχαίων αριθμών και την παραγωγή τυχαίων αριθμών από ορισμένες κατανομές πιθανοτήτων. Επιπλέον, μερικά πρόσθετα εργαλεία που έχουν υλοποιηθεί για το Excel, βελτιώνουν σημαντικά την ικανότητα χρήσης της προσομοίωσης για την ανάλυση υπολογιστικών φύλλων. Δύο τέτοια εργαλεία με παρόμοιες δυνατότητες είναι που αναπτύχθηκε από την Palisade Corporation, και την Crystal Ball, που αναπτύχθηκε από το Decisioneering και το RiskSim, που αναπτύχθηκε από τον καθηγητή Michael Middleton. Εδώ θα χρησιμοποιηθεί το οποίο διατίθεται από την ιστοσελίδα Τα λογιστικά φύλλα εργασίας περιλαμβάνουν συνήθως ορισμένα στοιχεία εισόδου με βάση των οποίων, ύστερα από επεξεργασία εμφανίζουν κάποια δεδομένα. Όπως για παράδειγμα, τα διάφορα κόστη που συνδέονται με την παραγωγή ή την εμπορία ενός προϊόντος. Επίσης ένα ή περισσότερα κελία παρουσιάζουν μέτρα απόδοσης, όπως για παράδειγμα, το κέρδος από την παραγωγή ή την εμπορία ενός προϊόντος. Ο χρήστης του Excel υπολογίζει εξισώσεις για να συνδέσει τις εισόδους με τις εξόδους έτσι ώστε τα κελιά εξόδου να εμφανίζουν τιμές που αντιστοιχούν στις τιμές που εισάγονται στα κελιά εισόδου. Σε ορισμένες περιπτώσεις, υπάρχει αβεβαιότητα σχετικά με τις σωστές τιμές για το τα κελιά εισόδου. Η ανάλυση ευαισθησίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ελέγξει το πώς αλλάζουν τα αποτελέσματα των κελιών εξόδου, καθώς αλλάζουν οι τιμές για τα κελιά εισόδου. Ωστόσο, εάν ακόμα υπάρχει μια σημαντική αμφιβολία σχετικά με τις τιμές ορισμένων κελιών εισόδου, μια πιο συστηματική προσέγγιση στην ανάλυση του αποτελέσματος της αβεβαιότητας θα ήταν χρήσιμη. Σε αυτό το σημείο, η προσομοίωση πρόκειται να αποδειχθεί πολύ αποτελεσματική. Με την προσομοίωση, αντί να εισάγεται ένας μοναδικός αριθμός σε ένα κελί εισόδου, στο οποίο υπάρχει αβεβαιότητα, μπορεί να καταγράφεται μια κατανομή πιθανότητας που περιγράφει την αβεβαιότητα αυτή. Με τη παραγωγή μιας τυχαίας παρατήρησης από την πιθανότητα κατανομής για 33

34 κάθε μία τέτοια είσοδο, το υπολογιστικό φύλλο μπορεί να υπολογίσει τις τιμές εξόδου με το συνήθη τρόπο. Κάθε φορά που συμβαίνει αυτό γίνεται αναφέρεται σαν μία επανάληψη από Εκτελώντας τον αριθμό των ζητούμενων επαναλήψεων από τον χρήστη (συνήθως εκατοντάδες ή χιλιάδες), η προσομοίωση μπορεί να παράγει τον ίδιο αριθμό τυχαίων παρατηρήσεων στα κελιά εξόδου. Το καταγράφει όλες αυτές τις πληροφορίες και στη συνέχεια δίνει την επιλογή της εκτύπωσης λεπτομερών στατιστικών στοιχείων σε ένα πίνακα ή μέσω γραφήματος (ή και τα δύο) που δείχνουν κατά προσέγγιση την κατανομή πιθανότητας των τιμών εξόδου. Μια περίληψη των αποτελεσμάτων περιλαμβάνει επίσης εκτιμήσεις του μέσου όρου και τυπική απόκλιση αυτής της κατανομής. Στη συνέχεια, θα δούμε τρία παραδείγματα που απεικονίζουν αυτή τη διαδικασία Διαχείριση αποθεμάτων - Freddie το πρόβλημα ενός εφημεριδοπώλη Θα εξετάσουμε το ακόλουθο πρόβλημα που αντιμετωπίζει ένας εφημεριδοπώλης που ονομάζεται Freddie. Μία από τις καθημερινές εφημερίδες που πωλεί ο Freddie στο περίπτερό του είναι το Financial Journal. Πληρώνει $4 για κάθε αντίτυπο που του παραδίδεται στην αρχή της ημέρας και στη συνέχεια, το πουλάει στα $3 δολάρια. Τέλος παίρνει επιστροφή $0.50 για κάθε αντίτυπο που δεν έχει πουληθεί στο τέλος της ημέρας. Ο εφημεριδοπώλης μπορεί να παραγγείλει 15 αντίτυπα το 30% των ημερών, 16 αντίτυπα για το 50% των ημερών και 17 αντίτυπα για το υπόλοιπο 20% των ημερών. Η απόφαση που πρέπει να κάνει ο Freddie είναι πόσα αντίγραφα (15, 16, ή 17) ανά ημέρα να παραγγείλει από τον διανομέα. Ενδέχεται να αναγνωρίσετε αυτό το πρόβλημα ως παράδειγμα του προβλήματος του εφημεριδοπώλη. Για να λυθεί το πρόβλημα, αρκεί να χρησιμοποιηθεί το στοχαστικό μοντέλο απογραφής μίας περιόδου για ευπαθή προϊόντα (χωρίς αρχικό κόστος). Το μοντέλο αυτό θα περιγράφει στη συνέχεια. Πριν όμως, θα εξηγήσουμε πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί η προσομοίωση για την ανάλυση αυτού του απλού συστήματος με τον ίδιο τρόπο που αναλύονται πιο σύνθετα συστήματα απογραφής. Το επόμενο σχήμα δείχνει το υπολογιστικό για αυτό το πρόβλημα. Δεδομένου ότι η μόνη αβέβαιη είσοδος είναι η ποσότητα των αντιτύπων για αυτή την εφημερίδα, η κατανομή της πιθανότητας έχει καταχωρηθεί στα κελιά Ε4:F6. Επειδή πρόκειται για μια διακριτή κατανομή πιθανότητας, η συνάρτηση RISKDISCRETE έχει χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία τυχαίων παρατηρήσεων για αυτή την κατανομή. Αυτό περιλαμβάνει την εισαγωγή του τύπου 34

35 =RISKDISCRETE(Ε4:Ε6;F4:F6), στο κελί C12, το οποίο υποδηλώνει μια τυπική τυχαία παρατήρηση. Η προσομοίωση τελικά πρέπει να τρέξει τρείς φορές, μία φορά για κάθε μία από τις τρεις παραγγελθείσες ποσότητες αντιτύπων, οπότε ξεκινάμε μία από αυτές τις ποσότητες παραγγελίας (15) στο κελί C9. Οι συνήθεις λειτουργίες του Excel χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των προσομοιωμένων ποσοτήτων στα κύτταρα C14, C15 και C16. Έτσι είναι C14 = C4 * ΜΙΝ (C9, C12), C15 = C5 * C9 και C16 = C6 * MAX (C9 - C12, 0). Ομοίως, το κέρδος στο κελί C18, το κελί εξόδου, υπολογίζεται ως C18 = C14 - C15 + C16. Σε αυτό το υπολογιστικό φύλλο, χρησιμοποιείται για την εκτέλεση της προσομοίωσης. Καθώς το κέρδος είναι η μοναδική έξοδος ενδιαφέροντος, επιλέξαμε το κελί C18 και σαν κελί εξόδου. Στη συνέχεια, μέσω της επιλογής Sim Set ορίζουμε τον αριθμό των επαναλήψεων (επιλέξαμε 250) και τον αριθμό των προσομοιώσεων (1 για αυτή την ποσότητα της πρώτης παραγγελίας). Τέλος, με το κουμπί Simulation, ξεκινάμε την εκτέλεση της προσομοίωσης. Στη συνέχεια παραθέτουμε μία εικόνα του excel με όλα τα παραπάνω στοιχεία, για αριθμό αντιτύπων 15. Εικόνα 2: Το υπολογιστικό για το πρόβλημα «Φρέντι, το πρόβλημα του εφημεριδοπώλη». 35

36 Μόλις ολοκληρωθούν οι επαναλήψεις και για τις τρεις προσομοιώσεις, παράγει την ακόλουθη οθόνη. Η εικόνα αυτή αποτελεί ένα παράδειγμα για 15 αντίτυπα και αριθμό επαναλήψεων 250. Αντίστοιχες οθόνες παράγονται για κάθε διαφορετικό αριθμό αντιτύπων. Η οθόνη αυτή αποτελείται από μια νέα γραμμή μενού (menu bar), μια διευρυμένη γραμμή εργαλείων, ένα παράθυρο αποτελεσμάτων (Results window) και ένα παράθυρο με τα συνοπτικά στατιστικά στοιχεία (Summary Statistics window). Στο παράθυρο αποτελεσμάτων φαίνεται μια περίληψη των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης. Εικόνα 3: Οθόνη αποτελεσμάτων μίας προσομοίωσης για 15 αντίτυπα. Στην επόμενη εικόνα φαίνεται η περίληψη των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται για τις τρεις διαφορετικές προσομοιώσεις με τις αντίστοιχες ποσότητες παραγγελίας. Η εικόνα αυτή δείχνει ότι μια παραγγελία των 15 αντιτύπων δίνει το μεγαλύτερο μέσο κέρδος ανά ημέρα. Ενώ, μια παραγγελία των 17 αντιτύπων έδωσε το μεγαλύτερο μέγιστο κέρδος τις καλύτερες μέρες, αλλά έδωσε επίσης χαμηλότερο ελάχιστο και χαμηλότερο συνολικό μέσο. Επομένως, τα αποτελέσματα αυτά δείχνουν ότι μια ποσότητα παραγγελίας 15 αντιτύπων είναι η καλύτερη επιλογή για αυτό το πρόβλημα. 36

37 Εικόνα 4: Συνοπτική παρουσίαση αποτελεσμάτων για κάθε διαφορετική περίπτωση αριθμού αντιτύπων. Σε κάποιες περιπτώσεις, είναι δυνατόν να παραχθεί ένα ιστόγραμμα που απεικονίζει γραφικά τη συχνότητα με την οποία τα διάφορα καθημερινά κέρδη παράγονται σε κάθε προσομοίωση επιλέγοντας το κελί εξόδου στο παράθυρο αποτελεσμάτων και κάνοντας κλικ στο κουμπί «Γράφημα». Ένα τέτοιο ιστόγραμμα φαίνεται στο επόμενο παράδειγμα, καθώς εδώ υπάρχει μια εξαίρεση σχετικά με την παραγγελία των 15 αντιτύπων. Ο λόγος είναι δεν παράγει ιστόγραμμα εάν η τιμή εξόδου δεν αλλάζει ποτέ κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης. Αυτό συμβαίνει με τον αριθμό αντιτύπων 15, δεδομένου ότι αυτή η ποσότητα παραγγελίας δίνει πάντα στο Freddie ένα καθημερινό κέρδος $15 ανεξάρτητα από το αν η ζήτηση αποδεικνύεται ότι είναι 15, 16 ή 17. Επειδή ένα μοντέλο απογραφής εμπορευμάτων μπορεί να δώσει μια ακριβή αναλυτική λύση για το πρόβλημα του Freddie, η προσομοίωση δεν είναι ο μόνος εφικτός τρόπος μελέτης αυτού του προβλήματος. Ωστόσο, η προσομοίωση συχνά χρησιμοποιείται για να επιτευχθεί μια πολύ πιο ακριβής εκτίμηση αυτής της πιθανότητας. Η προσομοίωση-τελειοποίηση των αποτελεσμάτων αποτελεί μια προκαταρκτική ανάλυση που διεξάγεται με προσεγγιστικά μαθηματικά μοντέλα Βελτίωση του PERT - Επανεξέταση του Αξιόπιστου Κατασκευαστικού Προβλήματος Το παράδειγμα αυτό αναφέρεται σε μία Αξιόπιστη Κατασκευαστική Εταιρεία η οποία έχει αναλάβει την κατασκευή ενός νέου εργοστασίου. Η κατασκευή του εργοστασίου, θα πρέπει να έχει ολοκληρωθεί εντός μίας προθεσμίας 57 εβδομάδες, διαφορετικά, η κατασκευαστική εταιρία θα πρέπει να πληρώσει μία μεγάλη ποινή. Έτσι, αξιολογούνται εναλλακτικά σχέδια κατασκευής με στόχο να κρατηθεί η προθεσμία αυτή σε κάθε ένα από τα σχέδια αυτά. Υπάρχουν 14 σημαντικές δραστηριότητες για την υλοποίηση αυτού του κατασκευαστικού έργου, οι οποίες είναι οι ακόλουθες: 37

38 A. Εκσκαφή (Excavate) B. Θεμέλια (Foundation) C. Ρήξη μπετόν (Rough Wall) D. Κατασκευή στέγης (Roof) E. Εξωτερικές υδραυλικές εγκαταστάσεις (Exterior plumbing) F. Εσωτερικές υδραυλικές εγκαταστάσεις (Interior plumbing) G. Εξωτερική εμφάνιση (Exterior siding) H. Εξωτερικό βάψιμο (Exterior painting) I. Ηλεκτρικές εργασίες (Electrical work) J. Τοποθέτηση πλακιδίων (Wallboard) K. Παρκέ (Flooring) L. Εσωτερικό βάψιμο (Interior painting) M. Εξωτερικός φωτισμός (Exterior fixtures) N. Εσωτερικός φωτισμός (Interior fixtures) Το δίκτυο έργου σε αυτό το σχήμα απεικονίζει τις σχέσεις προτεραιότητας μεταξύ των δραστηριοτήτων. Υπάρχουν έξι διαφορετικές ακολουθίες δραστηριοτήτων (διαδρομές μέσω του δικτύου). Όλες οι δρααστηριότητες αυτές πρέπει να ολοκληρωθούν, για να ολοκληρωθεί το έργο. Αυτές οι έξι ακολουθίες παρατίθενται παρακάτω. Το σχεδιάγραμμα αυτών των εργασιών φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα. 38

39 Εικόνα 5: Το δίκτυο έργου για την αξιόπιστη κατασκευαστική του εργοστασίου. Οι έξι ακολουθίες δραστηριοτήτων που φαίνονται στην παραπάνω εικόνα είναι οι: Διαδρομή 1: START -> Α -> Β -> C -> D -> G -> Η -> Μ -> FINISH. Διαδρομή 2: START -> Α -> Β -> C -> Ε -> Η -> Μ -> FINISH. Διαδρομή 3: START -> Α -> Β -> C -> Ε -> F -> J -> Κ -> Ν -> FINISH. Διαδρομή 4: START -> Α -> Β -> C -> Ε -> F -> J -> L -> Ν -> FINISH. Διαδρομή 5: START -> Α -> Β -> C -> I -> J -> Κ -> Ν -> FINISH. Διαδρομή 6 START -> Α -> Β -> C -> I -> J -> L -> Ν -> FINISH. 39

40 Οι αριθμοί δίπλα στις δραστηριότητες στο δίκτυο έργου αντιπροσωπεύουν τις εκτιμήσεις του αριθμού των εβδομάδων που θα χρειαστούν οι δραστηριότητες εάν πραγματοποιηθούν κατά τον συνήθη τρόπο, συνηθισμένο μέγεθος εργατών κλπ. Προσθέτοντας αυτούς τους χρόνους, όπως φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα, βλέπουμε ότι το μονοπάτι 4 απαιτεί το μεγαλύτερο χρόνο, δηλαδή 50 εβδομάδες συνολικά. Δεδομένου ότι το έργο τελειώνει μόλις ολοκληρωθεί η μεγαλύτερη διαδρομή του, μπορούμε να πούμε ότι το έργο μπορεί να ολοκληρωθεί σε 50 εβδομάδες, 7 εβδομάδες πριν από την προθεσμία. Πίνακας 3: Οι διαδρομές και τα μήκη διαδρομών μέσω του δικτύου έργου. Διαδρομή 1: START -> Α -> Β -> C -> D -> G -> Η -> Μ -> FINISH. Διαδρομή 2: START -> Α -> Β -> C -> Ε -> Η -> Μ -> FINISH. Διαδρομή 3: START -> Α -> Β -> C -> Ε -> F -> J -> Κ -> Ν -> FINISH. Διαδρομή 4: START -> Α -> Β -> C -> Ε -> F -> J -> L -> Ν -> FINISH. Διαδρομή 5: START -> Α -> Β -> C -> I -> J -> Κ -> Ν -> FINISH. Διαδρομή 6 START -> Α -> Β -> C -> I -> J -> L -> Ν -> FINISH = 42 βδομάδες = 37 βδομάδες = 49 βδομάδες = 50 βδομάδες = 44 βδομάδες = 45 βδομάδες Οι χρόνοι για τις δραστηριότητες, που δόθηκαν στο παραπάνω σχήμα αποτελούν μόνο εκτιμήσεις. Στην πραγματικότητα, υπάρχει αβεβαιότητα σχετικά με την πραγματική διάρκεια της κάθε δραστηριότητας. Έτσι, η διάρκεια ολόκληρου του έργου θα μπορούσε να διαφέρει σημαντικά από την εκτίμηση των 50 εβδομάδων, οπότε υπάρχει η πιθανότητα να χαθεί η προθεσμία των 57 εβδομάδων. Ποια όμως είναι αυτή η πιθανότητα να χαθεί η προθεσμία; Για να εκτιμήσουμε αυτή την πιθανότητα, πρέπει να μάθουμε περισσότερα σχετικά με την κατανομή πιθανότητας της διάρκειας του έργου. Αυτός είναι ο λόγος, που χρησιμοποιείται η προσέγγιση τριών εκτιμήσεων PERT. Αυτή η προσέγγιση έχει σαν αποτέλεσμα τον υπολογισμό τριών εκτιμήσεων - μια πιο πιθανή εκτίμηση, μια αισιόδοξη εκτίμηση και μια απαισιόδοξη εκτίμηση για τη διάρκεια της κάθε δραστηριότητας. Αυτές οι τρεις ποσότητες αποσκοπούν στην εκτίμηση της πιο πιθανής διάρκειας, της ελάχιστης διάρκειας και της μέγιστης διάρκειας, αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας αυτές τις τρεις ποσότητες, η PERT υποθέτει (κάπως αυθαίρετα) ότι η μορφή της κατανομής πιθανότητας της διάρκειας μιας 40

41 δραστηριότητας είναι μια βήτα κατανομή. Κάνοντας αυτές τις τρεις απλές προσεγγίσεις, προκύπτει μια αναλυτική μέθοδος για την προσέγγιση της πιθανότητας επίτευξης της προθεσμία έργου. Ένα βασικό πλεονέκτημα της προσομοίωσης είναι ότι δεν χρειάζεται να γίνονται απλοποιημένες προσεγγίσεις που ενδέχεται να απαιτούνται από άλλες αναλυτικές μεθόδους. Επίσης, προσφέρει μεγάλη ευελιξία σχετικά με την κατανομή πιθανότητας που θα χρησιμοποιηθεί. Για τον υπολογισμό της διάρκειας μιας δραστηριότητας, οι προσομοιώσεις συνήθως χρησιμοποιούν μία τριγωνική κατανομή. Η τριγωνική κατανομή έχει το σχήμα που φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα, όπου o, m και p είναι οι ετικέτες για την αισιόδοξη εκτίμηση, την πιο πιθανή εκτίμηση και την απαισιόδοξη εκτίμηση, αντίστοιχα. Ο τύπος που χρησιμοποιεί γι 'αυτή την κατανομή είναι: RISKTRIANG (o, m, ρ). Εικόνα 6: Τριγωνική κατανομή για τη διάρκεια μιας δραστηριότητας, όπου το ελάχιστο είναι στην αισιόδοξη εκτίμηση o, η πιο πιθανή τιμή βρίσκεται στο σημείο m, και το μέγιστο βρίσκεται στην απαισιόδοξη εκτίμηση p. Η επόμενη εικόνα δείχνει το υπολογιστικό για την προσομοίωση της διάρκειας του έργου της κατασκευαστικής εταιρείας. Ο τύπος RISKTRIANG (o, m, p), χρησιμοποιείται σε κάθε κελί εισόδου που αντιπροσωπεύει τη διάρκεια μιας δραστηριότητας. Οι τιμές των o, m, και ρ λαμβάνονται από τον ακόλουθο πίνακα. Κάθε μήκος διαδρομής επιτυγχάνεται προσθέτοντας τις διάρκειες των δραστηριοτήτων (σε εβδομάδες) σε αυτή τη διαδρομή. Για κάθε επανάληψη της 41

42 προσομοίωσης, το μέγιστο από τα έξι μήκη διαδρομής δίνει τη διάρκεια του έργου (σε εβδομάδες). Ένα κελί εξόδου δίνει αυτή τη διάρκεια και το άλλο δείχνει εάν η διάρκεια αυτή πληροί την προθεσμία χωρίς να υπερβαίνει τις 57 εβδομάδες (όπου 1 υποδηλώνει ναι και 0 υποδηλώνει όχι). Πίνακας 4: Αναμενόμενη τιμή και διακύμανση της διάρκειας κάθε δραστηριότητας για το έργο Activity Optimistic Most Likely Pessimistic Estimate o Estimate m Estimate p A B C D E F G H I J K L M N Mean ο + 4m + p μ = Variance p o σ 2 = ( )2 Για να τρέξουμε αυτήν την προσομοίωση, επιλέξαμε επαναλήψεις και 1 προσομοίωση (αφού προσομοιώνεται μόνο ένα σχέδιο κατασκευής). Η πιο σημαντική πληροφορία εδώ είναι ο μέσος 42

43 όρος για το κελί εξόδου που δείχνει αν μπορεί να τηρηθεί η προθεσμία. Αυτός ο μέσος όρος δίνει το ποσοστό των επαναλήψεων στις οποίες τηρήθηκε η προθεσμία. Η εκτίμηση αυτή της προσομοίωσης παρέχει πολύ καλύτερη προσέγγιση στη διοίκηση για να αποφασίσει εάν το σχέδιο κατασκευής θα πρέπει να αλλάξει για να βελτιώσει τις πιθανότητες τήρησης της προθεσμίας. Έτσι μπορούμε να καταλάβουμε πόσο χρήσιμη, μπορεί να είναι η προσομοίωση. Εικόνα 7: Το μοντέλο υπολογιστικού φύλλου για προσομοίωση του Αξιόπιστου Κατασκευαστικού Προβλήματος. Εκτός από την πιθανότητα τήρησης της προθεσμίας, η διοίκηση ενδιαφέρεται επίσης για τη συνολική κατανομή πιθανότητας για τη διάρκεια του έργου. Η προσομοίωση έχει παράγει τυχαίες παρατηρήσεις για αυτή τη κατανομή, έτσι η συχνότητα κατανομή από αυτές τις τυχαίες παρατηρήσεις παρέχει μια αρκετά κοντινή προσέγγιση στην πραγματική κατανομή πιθανότητας. Μεταξύ άλλων πληροφοριών, το παράθυρο «Περίληψη Στατιστικών» δίνει τα διάφορα εκατοστημόρια της κατανομής συχνοτήτων. Το εκατοστημόριο για κάθε ποσοστό δίνει τη διάρκεια του έργου ώστε το ποσοστό των τυχαίων παρατηρήσεων να είναι μικρότερο από αυτή τη διάρκεια. Για παράδειγμα, η τιμή για το εκατοστημόριο 5% σημαίνει ότι η διάρκεια του έργου για το 5% των επαναλήψεων της προσομοίωσης ήταν μικρότερη από αυτή την τιμή (έτσι το 95% ήταν μεγαλύτερο). 43

44 Ένα ιστόγραμμα αυτής της κατανομής συχνοτήτων της διάρκειας του έργου μπορεί να ληφθεί εμφανίζοντας το παράθυρο «Αποτελέσματα», επισημαίνοντας το κελί διάρκειας του έργου και κάνοντας κλικ στο πλήκτρο γραφήματος στη γραμμή εργαλείων. Το παρακάτω σχήμα δείχνει την περίληψη των στατιστικών, των αποτελεσμάτων και το ιστόγραμμα αυτό. Εικόνα 8: Οι διάφορες έξοδοι που παρήχθησαν από τρέχοντας το Αξιόπιστο Κατασκευαστικό Πρόβλημα για επαναλήψεις Ανάλυση Χρηματοοικονομικών Κινδύνων - Το Think-Big Development Co. Πρόβλημα Το THINK-BIG DEVELOPMENT CO πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα επένδυσης σε αναπτυξιακά έργα εμπορικής ακίνητης περιουσίας. Εξετάζει το ενδεχόμενο αγοράς μεριδίου από τρία μεγάλα κατασκευαστικά έργα, ένα πολυώροφο κτίριο γραφείων, ένα ξενοδοχείο και ένα εμπορικό κέντρο. Σε κάθε περίπτωση, οι εταίροι του έργου θα δαπανήσουν τρία χρόνια στην κατασκευή του έργου, θα διατηρήσουν την ιδιοκτησία του για τα επόμενα τρία χρόνια ενώ παράλληλα, θα ξεκινήσουν τις δραστηριότητες για το ακίνητο, και στη συνέχεια θα πωλήσουν το ακίνητο κατά το έβδομο έτος. Χρησιμοποιώντας εκτιμήσεις των αναμενόμενων ταμειακών ροών, καθώς και των περιορισμών στο διαθέσιμο επενδυτικό κεφάλαιο τόσο τώρα όσο και για τα επόμενα τρία χρόνια, ο γραμμικός προγραμματισμός χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί το πόσες μετοχές του 1% πρέπει να λάβει η Think-Big για κάθε ένα από αυτά τα έργα. 44

45 Πρόταση Μην παίρνετε μερίδια για το έργο της πολυκατοικίας. Πάρτε 19,5 μετοχές για το έργου του ξενοδοχείου. Πάρτε 15 μετοχές για το έργου του εμπορικού κέντρου. Η παρούσα πρόταση εκτιμάται ότι θα επιστρέψει στην Think-Big καθαρά κέρδη (Net Present value (NPV)) ύψους 18,1 εκατομμυρίων δολαρίων Ωστόσο, η διοίκηση της Think-Big κατανοεί πολύ καλά ότι τέτοιες αποφάσεις δεν πρέπει να ληφθούν χωρίς να υπολογιστούν όλοι οι πιθανοί κίνδυνοι. Αυτά τα έργα έχουν πολλούς κινδύνους, καθώς είναι ασαφή πως θα ανταγωνιστούν την αγορά όταν τεθούν σε λειτουργία σε λίγα χρόνια. Αν και το κόστος κατασκευής κατά τα πρώτα τρία χρόνια μπορεί να εκτιμηθεί αρκετά σωστά, τα καθαρά έσοδα κατά τα επόμενα τρία έτη λειτουργίας δεν είναι βέβαια. Συνεπώς, υπάρχει ένα εξαιρετικά ευρύ φάσμα πιθανών τιμών πώλησης για το έβδομο έτος. Ως εκ τούτου, η διοίκηση θέλει να τρέξει ανάλυση κινδύνου (risk analysis) με προσομοίωση, για να υπολογίσει το προφίλ κινδύνου (risk profile) για το ποια μπορεί να είναι τα συνολικά καθαρά κέρδη ακολουθώντας αυτή την πρόταση. Για να υπολογιστεί η ανάλυση κινδύνου, το προσωπικό της Think-Big έχει αφιερώσει σημαντικό χρόνο για την εκτίμηση της ποσότητας αβεβαιότητας στις ταμειακές ροές για κάθε έργο κατά την επόμενα 7 χρόνια. Τα στοιχεία αυτά συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα (σε μονάδες χιλιάδων δολαρίων ανά μετοχή σε κάθε έργο). Στα έτη 1 έως 6 για κάθε έργο, η κατανομή πιθανότητας της ταμειακής ροής θεωρείται ότι ακολουθεί μία κανονική κατανομή, όπου ο πρώτος αριθμός δείχνει τον εκτιμώμενο μέσο όρο και ο δεύτερος αριθμός είναι η εκτιμώμενη τυπική απόκλιση της κατανομής. Στο έτος 7, τα έσοδα από την πώληση του ακινήτου θεωρούνται ότι ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή στο εύρος τιμών από τον πρώτο έως τον δεύτερο αριθμό. Έτσι προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας. 45

46 Εικόνα 9: Εκτιμώμενη ταμειακή ροή ανά μετοχή για το ξενοδοχείο και το εμπορικό κέντρο Για τον υπολογισμό των καθαρών κερδών, χρησιμοποιείται κόστος κεφαλαίου 12% ετησίως. Έτσι, η ταμειακή ροή του έτους n διαιρείται από 1,1 n πριν την προσθήκη αυτών των προεξοφλημένων ταμειακών ροών στα καθαρά κέρδη. Η ακόλουθη εικόνα δείχνει το υπολογιστικό που χρησιμοποιείται για την προσομοίωση για την εκτέλεση της ανάλυσης κινδύνου της πρότασης. Οι αριθμοί που υπάρχουν σήμερα στα κελιά J22 και G22:G29 αναμένονται να υπολογιστούν από Για κάθε επανάληψη της προσομοίωσης, χρησιμοποιεί τη συνάρτηση RISKNORMAL (μ, σ) και RISKUNIFORM (a, b), για τη δημιουργία μίας τυχαίας παρατήρησης για κάθε μία από τις κανονικές κατανομές και την ομοιόμορφη κατανομή που καθορίζονται από τον παραπάνω πίνακα. Αυτές οι εξομοιούμενες ταμειακές ροές χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για τον υπολογισμό του συνολικού καθαρού κέρδους και για τα δύο έργα στο κελί J22. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία για επαναλήψεις, θα λάβουμε τυχαίες παρατηρήσεις από την υποκείμενη κατανομή πιθανότητας του συνολικού καθαρού κέρδους. Αυτές οι παρατηρήσεις αποτελούν τη συχνότητα κατανομή του συνολικού καθαρού κέρδους που είναι ουσιαστικά όμοια με την υποκείμενη κατανομή πιθανότητας. 46

47 Εικόνα 10: Το υπολογιστικό φύλλο που χρησιμοποιείται στην προσομοίωση για την ανάλυση κινδύνου για την προτεινόμενη επενδύσεις σε ακίνητα. Το ακόλουθο σχήμα παρέχει πληροφορίες σχετικά με τη συχνότητα κατανομής σε διάφορες μορφές. Τα καθαρά κέρδη, ύστερα από επαναλήψεις, κυμαίνονταν από περίπου $5 εκατομμύρια μέχρι και λίγο πάνω από 161 εκατομμύρια δολάρια, με μέσο όρο τα $83,27 εκατομμυρίων δολαρίων. Στις επόμενες γραμμές των αποτελεσμάτων, φαίνονται και άλλα στατιστικά στοιχεία για τις ταμειακές ροές ανά μετοχή κάθε έτους για το κάθε έργο. Το ιστόγραμμα εμφανίζεται γραφικά την κατανομή συχνοτήτων. Το ιστόγραμμα αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αξιολόγηση του προφίλ κινδύνου σχετικά με την πρόταση αυτή. Με αυτές τις πληροφορίες, η διοίκηση πρέπει να λάβει απόφαση σχετικά με το αν δικαιολογείται η πιθανότητα μεγάλου κέρδους ή ο κίνδυνος απώλειας κερδών. Η προσομοίωση παρέχει πληροφορίες που απαιτούνται για τη λήψη σωστής απόφασης. 47

48 Εικόνα 1: Η έξοδος της ανάλυσης κινδύνου που παράγεται από για επαναλήψεις. 48

49 5. Τεχνικές Μείωσης Διακύμανσης Επειδή συνήθως απαιτείται μεγάλο χρονικό διάστημα για την εκτέλεση προσομοιώσεων, είναι σημαντικό να λαμβάνονται όσο το δυνατόν ακριβέστερες πληροφορίες από το μέγεθος της προσομοίωσης. Συνήθως, υπάρχει η τάση να εφαρμόζεται η προσομοίωση χωρίς κριτική σκέψη και χωρίς να δοθεί η δέουσα προσοχή στην αποτελεσματικότητα του πειραματικού σχεδίου. Αυτό συμβαίνει παρά το γεγονός ότι έχει σημειωθεί σημαντική πρόοδος στην ανάπτυξη ειδικών τεχνικών για την αύξηση της ακρίβειας και των εκτιμητών του δείγματος. Αυτές οι τεχνικές μείωσης της διακύμανσης καλούνται τεχνικές Monte Carlo και πρόκειται για στοχαστικές τεχνικές. Ωστόσο, οι τεχνικές αυτές προσφέρουν μεγάλη ακρίβεια αποτελεσμάτων. Ένα τέτοιο παράδειγμα θα παρουσιαστεί στη συνέχεια. Στην ακόλουθη εικόνα, φαίνεται η εκθετική κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) = e x, και παράμετρο 1. Η συσωρευτική κατανομή του, δίνεται από τη συνάρτηση είναι F(x) = 1 e x. Το μέσο αυτής της κατανομής είναι 1. Ωστόσο, ας υποθέσουμε ότι αυτός ο μέσος όρος δεν είναι γνωστός και ότι θέλουμε να υπολογίσουμε αυτό το μέσο όρο χρησιμοποιώντας προσομοίωση. Εικόνα 2: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων, που χρησιμοποιείται σε τεχνικές μείωσης της διακύμανσης, όπου ο στόχος είναι να εκτιμηθεί το μέσο αυτής της κατανομής. 49

50 Για να υπάρξει ένα μέτρο σύγκρισης των δύο τεχνικών μείωσης της διακύμανσης, εξετάζουμε πρώτα την απλή προσέγγιση προσομοίωσης, που ονομάζεται Monte Carlo. Αυτή η προσέγγιση παράγει κάποιες τυχαίες παρατηρήσεις από την παραπάνω εκθετική κατανομή και στη συνέχεια, χρησιμοποιεί το μέσο όρο αυτών των παρατηρήσεων για την εκτίμηση του μέσου όρου. Οι τυχαίες αυτές παρατηρήσεις είναι: x i = ln 1 r i, για i = 1, 2,..., n, όπου r 1, r 2,..., r n είναι ομοιόμορφοι τυχαίοι αριθμοί μεταξύ 0 και 1. Εικόνα 13: Εφαρμογή crude Monte Carlo Ο μέσος όρος που προκύπτει από τον παραπάνω δείγμα είναι 0,7813, σε αντίθεση με τον πραγματικό μέσο όρο που είναι Ωστόσο, η τυπική απόκλιση του μέσου δείγματος είναι 1/ n, ή 1/ 10 σε αυτή την περίπτωση. Ωστόσο, ένα τέτοιο σφάλμα μπορεί να συμβεί. Επιπλέον, επειδή η τυπική απόκλιση ενός μέσου δείγματος είναι πάντα αντιστρόφως ανάλογη προς το n, το μέγεθος του δείγματος θα πρέπει να τετραπλασιαστεί για να μειωθεί αυτή η τυπική απόκλιση κατά το ήμισυ. Αυτά τα κάπως απογοητευτικά αποτελέσματα, υποδηλώνουν την ανάγκη για άλλες τεχνικές που θα δίνουν εκτιμήσεις με μεγαλύτερη ακρίβεια. 50

51 5.1. Διαστρωμένη δειγματοληψία Η διαστρωμένη δειγματοληψία (stratified sampling) είναι μια σχετικά απλή τεχνική Monte Carlo για τη λήψη καλύτερων εκτιμήσεων. Η διαστρωμένη δειγματοληψία μπορεί να εξαλείψει δύο ελλείψεις της τεχνικής crude Monte Carlo. Από τη μία, ένα τυχαίο δείγμα μπορεί να μην παρέχει μία ομοιόμορφη κατανομή. Για παράδειγμα, για τους τυχαίους αριθμούς του προηγούμενου πίνακα, δεν υπάρχει καμία παρατήρηση μεταξύ 0,359 και 0,607, αν και η πιθανότητα ότι μια τυχαία παρατήρηση θα πέσει μέσα σε αυτό το διάστημα είναι μεγαλύτερη από ¼. Από την άλλη, ορισμένα τμήματα της κατανομής μπορεί να είναι πιο κρίσιμα από άλλα για την απόκτηση μιας ακριβής εκτίμησης, αλλά η τυχαία δειγματοληψία δεν δίνει ιδιαίτερη προτεραιότητα στη λήψη παρατηρήσεων από αυτά τα τμήματα. Για παράδειγμα, η ουρά μιας εκθετικής κατανομής είναι ιδιαίτερα κρίσιμη για τον καθορισμό του μέσου όρου της. Ωστόσο, το τυχαίο δείγμα, του προηγούμενου πίνακα, δεν περιλαμβάνει καμία παρατήρηση μεγαλύτερες από 1,793 παρότι υπάρχει τουλάχιστον μια μικρή πιθανότητα για πολλές μεγαλύτερες τιμές. Αυτοί είναι οι λόγοι, που ο συγκεκριμένος μέσος όρος είναι πολύ πιο κάτω από τον πραγματικό μέσο όρο. Η διαστρωμένη δειγματοληψία παρακάμπτει αυτές τις δυσκολίες διαιρώντας την κατανομή σε τμήματα που ονομάζονται στρώματα (strata), όπου κάθε στρώμα θα υποβληθεί σε ξεχωριστή δειγματοληψία με δυσανάλογα βαριά δειγματοληψία των πιο κρίσιμων στρωμάτων. Για να γίνει αυτό κατανοητό, ας υποθέσουμε ότι η κατανομή χωρίζεται σε τρία στρώματα, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Αυτά τα στρώματα επιλέχθηκαν για να αντιστοιχούν περίπου σε παρατηρήσεις από 0 έως 1, από 1 έως 3 και από 3 έως, αντίστοιχα. Για να εξασφαλίσουμε ότι κάθε τυχαία παρατήρηση παράγεται από το στρώμα στο οποίο ανήκει, οι ομοιόμορφοι τυχαίοι αριθμοί πρέπει να τοποθετηθούν στην εύρος περιοχών F(x), όπως φαίνεται στην τρίτη στήλη του πίνακα. Ο αριθμός των παρατηρήσεων που θα παραχθούν από κάθε στρώμα δίνεται στην τέταρτη στήλη. Στη συνέχεια, η πιο δεξιά στήλη δίνει το βάρος δειγματοληψίας για κάθε στρώμα, δηλαδή το κλάσμα του συνολικού δείγματος που θα ληφθεί από το συγκεκριμένο στρώμα. Με άλλα λόγια αντιπροσωπεύει την πιθανότητα μιας τυχαίας παρατήρησης που ανήκει σε αυτό το στρώμα). Αυτά τα βάρη δειγματοληψίας υποδηλώνουν τη σημασία των αντίστοιχων στρωμάτων. 51

52 Στρώμα Μερίδιο Κατανομής Νούμερο Τυχαίου Μέγεθος Στρώματος Δείγματος r i = 0 + 0,55r i F(x) 0,55 2 0,55 F(x) 0,90 3 0,90 F(x) 1 r i = 0,55 + 0,35r i 3 r i = 0,9 + 0,1r i 3 Πίνακας 5: Προσέγγισης της διαστρωμένη δειγματοληψίας Βάρος Δείγματος w i = 4/10 0,55 = 8 11 w i = 3/10 0,35 = 6 7 w i = 3/10 0,1 = 3 Λαμβάνοντας υπόψη την προσέγγιση διαστρωμάτωσης από τον παραπάνω πίνακα, και χρησιμοποιώντας τους τυχαίους αριθμούς του προηγούμενου πίνακα, προκύπτει η παρακάτω εικόνα. Ωστόσο, δεν είναι σωστό να χρησιμοποιηθεί ο μη σταθμισμένος μέσος όρος για την εκτίμηση του μέσου όρου, επειδή ορισμένα τμήματα της κατανομής έχουν δειγματοληπτηθεί περισσότερο από άλλες. Επομένως, προτού πάρουμε τον μέσο όρο, διαιρούμε τις παρατηρήσεις κάθε στρώματος με το βάρος δειγματοληψίας για το συγκεκριμένο στρώμα για να υπάρχει μία αναλόγια στα βάρη των διαφορετικών τμημάτων της κατανομής. Ο σταθμισμένος μέσος όρος που προκύπτει, 0,932 παρέχει την επιθυμητή εκτίμηση του μέσου όρου. Εικόνα 3: Εφαρμογή διαστρωμένης δειγματοληψίας 52

53 5.2. Μέθοδος Συμπληρωματικών Τυχαίων Αριθμών Η δεύτερη τεχνική μείωσης της διακύμανσης είναι η μέθοδος συμπληρωματικών τυχαίων αριθμών. Το κίνητρο για αυτή τη μέθοδο είναι ότι η «τύχη της κλήρωσης» (luck of the draw). Οι ομοιόμορφοι τυχαίοι αριθμοί που θα παραχθούν μπορεί να έχουν σαν αποτέλεσμα ένα μέσο όρο των τυχαίων αποτελεσμάτων, που να βρίσκεται από τη μία πλευρά του πραγματικού μέσου όρου. Από την άλλη, οι συμπληρωματικοί των ομοιόμορφων αυτών αριθμών (οι οποίοι είναι επίσης ομοιόμορφοι τυχαίοι αριθμοί) μπορεί να αποφέρουν ένα σχεδόν αντίθετο αποτέλεσμα. Έτσι, θα χρησιμοποιήσουμε τους αρχικά τυχαίους ομοιόμορφους αριθμούς, από τους οποίους θα προκύψουν τα συμπληρώματά τους. Στη συνέχεια, από τα συμπληρώματά τους, θα υπολογιστεί ο συνδυασμένος μέσος όρος του δείγματος που θα αποτελεί μία ακριβέστερη εκτιμητή του μέσου όρου. Αυτή η προσέγγιση φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα, όπου οι τρεις πρώτες στήλες προέρχονται από τους πίνακες που χρησιμοποιήθηκαν στις προηγούμενες τεχνικές. Ενώ, οι δύο δεξιά στήλες χρησιμοποιούν τους συμπληρωματικούς ομοιόμορφους τυχαίους αριθμούς, οι οποίοι οδηγούν σε μέσο όρο 0,996. Εικόνα 4: Εφαρμογή της μεθόδου συμπληρωματικών τυχαίων αριθμών. 53