ΕΝΟΤΗΤΑ 9. Λόγοι Αναλογίες. Α Γυμνασίου

Transcript

1 ΕΝΟΤΗΤΑ 9 Λόγοι Αναλογίες Α Γυμνασίου

2 Λόγοι - Αναλογίες Εξερεύνηση Στον πιο κάτω πίνακα φαίνονται τα στοιχεία τριών ζωολογικών κήπων στην Ευρώπη. Ζωολογικός κήπος Λονδίνου Βερολίνου Πράγας Έκταση σε εκτάρια Αριθμός ζώων Είδη ζώων Να μελετήσετε τα στοιχεία του πίνακα και να συγκρίνετε τους ζωολογικούς κήπους ως προς την έκταση τους, τον αριθμό των ζώων και τα είδη των ζώων. Διερεύνηση (1) Η τροχαία θέλει να τοποθετήσει μια κάμερα για έλεγχο των τροχαίων παραβάσεων. Αποφάσισε να κάνει μια έρευνα στα πιο επικίνδυνα σημεία του οδικού δικτύου της πόλης. Κατέγραψαν για μια εβδομάδα τις παραβιάσεις του ορίου ταχύτητας στα διάφορα σημεία και παρουσίασαν στο διευθυντή τροχαίας τα πιο κάτω αποτελέσματα: Σε ποιο σημείο πιστεύετε ότι πρέπει να τοποθετηθεί η κάμερα, λαμβάνοντας υπόψη τις πιο πάνω πληροφορίες; 161

3 Διερεύνηση (2) Ο Ανδρέας αποφάσισε να βάψει το δωμάτιο του και έκανε μόνος του την ανάμειξη των χρωμάτων για να φτιάξει μια συγκεκριμένη απόχρωση του γαλάζιου. Ανάμιξε λίτρα μπλε μπογιά με λίτρα άσπρη μπογιά. Η μπογιά που έφτιαξε δεν ήταν αρκετή και έφτιαξε νέο μείγμα στο οποίο ανάμιξε λίτρα μπλε μπογιά με λίτρα άσπρη μπογιά. Να εξετάσετε αν ο Ανδρέας πέτυχε την δεύτερη φορά να φτιάξει την ίδια απόχρωση του γαλάζιου με την αρχική. Μαθαίνω Λόγος δύο ομοειδών μεγεθών και, που εκφράζονται με την ίδια μονάδα μέτρησης, είναι το πηλίκο των μέτρων τους. Ο λόγος του προς το μπορεί να γραφεί ως: προς ή ή. Ο λόγος δύο μεγεθών που εκφράζονται με διαφορετική μονάδα μέτρησης (λόγος μη ομοειδών μεγεθών), θα ονομάζεται ρυθμός μεταβολής ή πιο απλά ρυθμός του ενός μεγέθους ως προς το άλλο. Αναλογία ονομάζεται η ισότητα δύο λόγων, Οι,, και λέγονται όροι της αναλογίας. Οι και λέγονται άκροι όροι της αναλογίας. Οι και λέγονται μέσοι όροι της αναλογίας. Οι και λέγονται ηγούμενοι όροι της αναλογίας. Οι και λέγονται επόμενοι όροι της αναλογίας. 162

4 Παραδείγματα 1. Ο πύργος του Άιφελ κτίστηκε το 1889 και πήρε το όνομα του από τον μηχανικό που τον σχεδίασε, το Γουστάβο Άιφελ. Εκείνη τη χρονική περίοδο ήταν το ψηλότερο κτίριο στο κόσμο, με ύψος. Σήμερα παραμένει το ψηλότερο κτίριο στο Παρίσι. Στη συνέχεια κατασκευάστηκαν αντίγραφα του πύργου του Άιφελ σε άλλες περιοχές του κόσμου. Στο πιο κάτω σχήμα παρουσιάζονται διάφορες κατασκευές του πύργου, διαφορετικού μεγέθους. Να βρεθεί ο λόγος του ύψους του πύργου στο Παρίσι ως προς το ύψος κάθε ενός από τους υπόλοιπους. Λύση: Ύψος πύργου Παρισιού προς ύψος πύργου Μίσιγκαν: Άρα ο πύργος του Παρισιού είναι πενήντα φορές ψηλότερος από αυτόν του Μίσιγκαν. Ύψος πύργου Παρισιού προς ύψος πύργου Λας Βέγκας: Ύψος πύργου Παρισιού προς ύψος πύργου Τεννεσί: 2. Δύο σημεία στο χάρτη που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, απέχουν. Να υπολογίσετε την κλίμακα του χάρτη, αν η πραγματική απόσταση των δύο σημείων είναι. Λύση: Μετατρέπουμε τις αποστάσεις στην ίδια μονάδα μέτρησης: Η κλίμακα του χάρτη είναι 163

5 Δραστηριότητες 1. Δίνεται μια συνταγή για κέικ γεωγραφίας, να γράψετε: (α) το λόγο της ποσότητας του λαδιού προς τη ποσότητα του γάλακτος (β) το λόγο της ποσότητας της ζάχαρης προς την ποσότητα του αλευριού (γ) το λόγο της ποσότητας του λαδιού προς την ποσότητα της ζάχαρης. 2. Ένα ορθογώνιο έχει μήκος και πλάτος. Να βρείτε το λόγο του πλάτους προς το μήκος του ορθογωνίου. 3. Σε ένα καλαθοσφαιρικό αγώνα, ο καλαθοσφαιριστής ευστόχησε στις από τις ελεύθερες βολές που πραγματοποίησε, ενώ ο καλαθοσφαιριστής ευστόχησε στις από τις βολές. Να γράψετε το λόγο των εύστοχων βολών προς τον αριθμό των ελεύθερων βολών που έριξε ο κάθε καλαθοσφαιριστής. Ποιος καλαθοσφαιριστής είχε μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας; 4. Να συμπληρώσετε τα κενά στις πιο κάτω αναλογίες: (α) (β) (γ) (δ) 5. Να χρησιμοποιήσετε τους λόγους για να σχηματίσετε τέσσερεις αναλογίες. 164

6 6. Στη διπλανή φωτογραφία φαίνονται έξι διαφορετικά μοντέλα τρένων. Το καθένα έχει κατασκευαστεί με συγκεκριμένη κλίμακα όπως φαίνεται στον πιο κάτω πίνακα. Να βρείτε το λόγο που αντιστοιχεί στο μικρότερο τρένο της φωτογραφίας. Μοντέλο Κλίμακα 7. Ένα ζαχαροπλαστείο κατασκευάζει ένα συγκεκριμένο είδος τούρτας με βάση τετράγωνο, όπως φαίνεται πιο κάτω τούρτα Α τούρτα Β με πλευρά cm με πλευρά cm (α) Να βρείτε το λόγο της πλευράς της βάσης της τούρτας προς την πλευρά της βάσης της τούρτας. (β) Αν γύρω από κάθε τούρτα τοποθετείται διακοσμητική κορδέλα, ποιος είναι ο λόγος του μήκους της κορδέλας της τούρτας προς το μήκος της κορδέλας της τούρτας ; (γ) Να βρείτε το λόγο του εμβαδού της βάσης της τούρτας προς το εμβαδόν της βάσης της τούρτας. 165

7 ΑΝΑΛΟΓΙΑ Ιδιότητες Αναλογιών Διερεύνηση Ο Λουκάς θέλει να φτιάξει πορτοκαλάδα για το πάρτι που θα έχει το απόγευμα στην πισίνα του σπιτιού του. Σύμφωνα με τις οδηγίες της συσκευασίας, πρέπει να αναμίξει δόση συμπυκνωμένου χυμού πορτοκαλιού με δόσεις νερού. Να γράψετε στην πρώτη στήλη του πιο κάτω πίνακα τους κατάλληλους λόγους της ποσότητας του χυμού προς την ποσότητα του νερού, ώστε η πορτοκαλάδα να έχει πάντα την ίδια γεύση. Να συγκρίνετε το γινόμενο των άκρων όρων και το γινόμενο των μέσων όρων κάθε αναλογίας. Τι παρατηρείτε; Nα συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα, σύμφωνα με το παράδειγμα και να γράψετε τις παρατηρήσεις σας. Να γράψετε μια δική σας αναλογία και να εξετάσετε αν ισχύουν τα συμπεράσματά σας. Να αντιστρέψετε τους λόγους Να αλλάξετε θέσεις στους μέσους όρους Να αλλάξετε θέσεις στους άκρους όρους Να προσθέσετε στους ηγούμενους τους επόμενους όρους της αναλογίας Να προσθέσετε τους ηγούμενους μεταξύ τους και τους επόμενους όρους μεταξύ τους Να γράψετε μια δική σας αναλογία 166

8 Μαθαίνω Ιδιότητες αναλογιών: i. Αν Το γινόμενο των άκρων όρων μιας αναλογίας είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων της. ii. Αν Αν αλλάξουμε τη θέση των μέσων όρων μιας αναλογίας προκύπτει αναλογία. iii. Αν Αν αλλάξουμε τη θέση των άκρων όρων μιας αναλογίας προκύπτει αναλογία. iv. Αν Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τους επόμενους όρους στους αντίστοιχους ηγούμενους όρους μιας αναλογίας προκύπτει αναλογία. v. Αν Αν προσθέσουμε όλους τους ηγούμενους όρους μιας αναλογίας μεταξύ τους και όλους τους επόμενους όρους μεταξύ τους, ο λόγος που προκύπτει είναι ίσος με τους προηγούμενους λόγους της αναλογίας. Παραδείγματα 1. Δίνεται η αναλογία. Να βρείτε την τιμή του. Λύση: Το γινόμενο των άκρων είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων (Ιδιότητα). Επιλύουμε την εξίσωση που προκύπτει. 167

9 2. Στη διπλανή φωτογραφία φαίνονται ένα εκπαιδευτικό αεροπλάνο και ένα μοντέλο που είναι πιστό αντίγραφό του. Το αεροπλάνο έχει μήκος, ενώ το μήκος του φτερού του είναι. Αν το μοντέλο κατασκευάστηκε με κλίμακα, να βρείτε τις αντίστοιχες διαστάσεις του μοντέλου. Λύση: Συμβολίζουμε με το μήκος του μοντέλου. Συμβολίζουμε με το μήκος του φτερού του μοντέλου. 3. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν λόγο και διαφορά Λύση: Έστω ότι ο ένας αριθμός είναι και ο άλλος. Άρα, και. Αλλάζω θέση στους μέσους, για να προκύψουν ως ηγούμενοι οι αριθμοί και. Εφαρμόζω την ιδιότητα των αναλογιών. Υπολογίζω τον αριθμό : Υπολογίζω τον αριθμό : 168

10 Δραστηριότητες 1. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις: (α) (β) (γ) (δ) 2. Δύο πόλεις απέχουν μεταξύ τους. Να βρείτε την απόστασή τους σε χάρτη με κλίμακα. 3. Οι διαστάσεις μιας φωτογραφίας είναι μήκος και πλάτος. Θέλουμε να μεγεθύνουμε τη φωτογραφία, διατηρώντας σταθερό το λόγο του μήκους προς το πλάτος. Να βρείτε το μήκος της μεγέθυνσης, αν το πλάτος θα είναι. 4. Δίνεται η αναλογία. Να βρείτε τους λόγους: (α) (β) (γ) (δ) 5. Δίνεται η αναλογία. Να προσδιορίσετε την τιμή του, ώστε να ισχύει. 6. Ένας βιολόγος μελετά μικροοργανισμούς στο μικροσκόπιό του, το οποίο προσφέρει μεγέθυνση. (α) Πόσα είναι το πραγματικό μήκος ενός μικροοργανισμού, που στο μικροσκόπιο φαίνεται ότι είναι ; (β) Πόσα θα είναι το μήκος ενός μικροοργανισμού στο μικροσκόπιο, όταν το πραγματικό του μήκος είναι ; 7. Τρεις ψαράδες αγόρασαν συνεταιρικά ένα καΐκι και τον εξοπλισμό του. Ο πρώτος έβαλε κεφάλαιο, ο δεύτερος και ο τρίτος. Μέσα σε ένα χρόνο, είχαν κέρδος. Να βρείτε το μερίδιο από τα κέρδη που θα έχει ο καθένας από τους τρεις ψαράδες. 8. Ένα χρηματικό έπαθλο μοιράστηκε στους πρώτους τρεις νικητές ενός διαγωνισμού σύμφωνα με τον αριθμό των σωστών απαντήσεων τους. Ο πρώτος απάντησε σωστά σε ερωτήσεις, ο δεύτερος σε και ο τρίτος σε. Να βρείτε πόσα χρήματα πήρε ο καθένας. 9. Τέσσερα άτομα, ο Δημήτρης, ο Άλκης, ο Βαγγέλης και ο Γιώργος, δούλεψαν σε μια εργολαβία και χρέωσαν. Να βρείτε πόσες ώρες δούλεψε ο Δημήτρης, αν γνωρίζετε ότι ο Άλκης δούλεψε ώρες, ο Βαγγέλης και ο Γιώργος από ώρες και ότι ο Δημήτρης πήρε. 169

11 10. Ένας εργάτης του δήμου για να υπολογίσει το ύψος ενός κυπαρισσιού, τοποθέτησε ένα κοντάρι στο έδαφος και μέτρησε τη σκιά του. Αν τη συγκεκριμένη στιγμή, η σκιά του κονταριού ήταν και η σκιά του δέντρου ήταν, να τον βοηθήσετε να υπολογίσει το ύψος του κυπαρισσιού. Ο αρχαίος Έλληνας ιστορικός Διογένης ο Λαέρτιος γράφει ότι ο Θαλής, κατά τη διάρκεια της παραμονής του στην Αίγυπτο, κατάφερε να μετρήσει το ύψος της τετραγωνικής Πυραμίδας του Χέοπα με τη βοήθεια της σκιάς της. Ο Θαλής πραγματοποίησε τη μέτρηση, παρατηρώντας το εξής: αν κάποια μέρα η σκιά του γινόταν ίση με το ύψος του, τότε το ίδιο θα συνέβαινε και με τη σκιά του ύψους της πυραμίδας. Άρα, το μεσημέρι μιας τέτοιας μέρας όπου η σκιά του Θαλή γινόταν ίση με το ύψος του, θα είχαμε, 𝜪𝜥 𝜝𝜞, Ύ𝝍𝝄𝝇 𝝅𝝊𝝆𝜶𝝁ί𝜹𝜶𝝇 𝜥𝜪 𝜪𝜥 𝜪𝜠 𝜠𝜥 𝜜𝜝 𝟐 𝜠𝜥, Την εποχή της κατασκευής της, το 2560 π. Χ., η πυραμίδα του Χέοπα είχε ύψος 146,6 μέτρα. Για 3800 χρόνια ήταν το ψηλότερο μνημείο στον κόσμο. Σήμερα γνωρίζουμε ότι το ύψος της είναι 138,8 μέτρα, περίπου, αφού εκτός από καθίζηση έχει υποστεί και φθορές. Στο βιβλίο μυθιστόρημα Το Θεώρημα του Παπαγάλου, του Γάλλου συγγραφέα Denis Guedj, θα βρείτε μια ωραιότατη περιγραφή του πιο πάνω γεγονότος. 170

12 Ποσοστά Εξερεύνηση Ένα από τα πιο δημοφιλή μηνύματα που κυκλοφορούν στο διαδίκτυο είναι ένα φιλμάκι που παρουσιάζει πώς θα ήταν η γη, αν ήταν ένα χωριό μόνο κατοίκων. Η αρχική ιδέα ήταν της δημοσιογράφου και καθηγήτριας του Πανεπιστημίου Donella Meadows, η οποία παρουσίασε τη μικρογραφία αυτή του κόσμου σε άρθρο της στο The Global Citizen, το. Από τότε οι αλλαγές που σημειώθηκαν κατά τα τελευταία χρόνια είναι αξιοσημείωτες. Ο παγκόσμιος πληθυσμός έχει ήδη ξεπεράσει τα. Τα δεδομένα τώρα έχουν ως εξής: Αν η γη ήταν ένα χωριό των κατοίκων: Εξήντα θα ήταν Ασιάτες ( θα κατάγονταν από την Ινδία και την Κίνα), θα ήταν Αφρικανοί, θα ήταν Ευρωπαίοι και από τη Βόρεια και Νότια Αμερική. Είκοσι έξι θα ήταν παιδιά και ενήλικες από τους οποίους οι 8 θα ήταν πάνω από χρονών. Ογδόντα τρεις μόνο θα μπορούσαν να γράφουν και να διαβάζουν ενώ θα ήταν αναλφάβητοι. Ένας θα πέθαινε από την πείνα και άλλοι θα υποσιτίζονταν, τη στιγμή που θα ήταν παχύσαρκοι. Δεκατρείς δεν θα είχαν πρόσβαση σε καθαρό νερό. Sources: Fritz Erickson, Provost and Vice President for Academic Affairs, Ferris State University (Formerly Dean of Professional and Graduate Studies, University of Wisconsin - Green Bay) and John A. Vonk, University of Northern Colorado, 2006; Returning Peace Corps Volunteers of Madison Wisconsin, Unheard Voices: Celebrating Cultures from the Developing World, 1992; Donella H. Meadows, The Global Citizen, May 31, Να σχολιάσετε γιατί το πιο πάνω άρθρο εντυπωσίασε και συνεχίζει να εντυπωσιάζει για τον τρόπο που επέλεξε η Meadows να παρουσιάσει τα δημογραφικά δεδομένα του πληθυσμού. Να εξηγήσετε πώς θα μπορούσατε να παρουσιάσετε τα δημογραφικά δεδομένα της Κύπρου που συλλέχτηκαν κατά την απογραφή πληθυσμού του (Στατιστική Υπηρεσία, με παρόμοιο τρόπο. Αν η Κύπρος ήταν ένα χωριό των 100 κατοίκων, τότε 171

13 Μαθαίνω Το σύμβολο ίσο με το λόγο. ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό και είναι Χρησιμοποιούμε επίσης το ποσοστό είναι ίσο με το. που διαβάζεται ποσοστό επί τοις χιλίοις και Παραδείγματα 1. Ο κύριος Ανδρέας αγόρασε ένα αυτοκίνητο και πλήρωσε. Πλήρωσε επιπρόσθετα της αξίας του αυτοκινήτου για διάφορες επιδιορθώσεις και ακόμα για τις άδειες κυκλοφορίας. Στη συνέχεια το πώλησε για. Να εξετάσετε αν ζήμιωσε ή αν κέρδισε και να υπολογίσετε το ποσοστό κέρδους / ζημίας; Λύση: Έξοδα για επιδιορθώσεις: Δηλαδή, του της αξίας του. Άρα, ο κύριος Ανδρέας έδωσε: = Ο κύριος Ανδρέας το πώλησε. Άρα ζήμιωσε: ευρώ To ποσοστό που ζήμιωσε ήταν: Α τρόπος Β τρόπος Άρα, ζήμιωσε τελικά Άρα, ζήμιωσε τελικά 172

14 2. Η κατανάλωση του ηλεκτρικού ρεύματος μιας οικίας χρεώνεται με βάση το διπλανό πίνακα. Επιπλέον ο καταναλωτής χρεώνεται με μια σταθερή επιβάρυνση και Φ.Π.Α. Να υπολογίσετε πόσα θα πληρώσει ένας καταναλωτής που είχε συνολική κατανάλωση. Κατανάλωση σε Χρέωση ανά προς προς προς προς Λύση: Υπολογίζουμε τη χρέωση ως εξής: Κατανάλωση Για τις πρώτες Για τις επόμενες Οι υπόλοιπες και άνω προς Χρέωση Α τρόπος: Σταθερή επιβάρυνση ΣΥΝΟΛΟ Στην χρέωση θα προστεθεί το Φ.Π.Α., δηλαδή το του Άρα το συνολικό ποσό που πρέπει να πληρώσει ο καταναλωτής είναι: Η χρέωση στρογγυλοποιείται σε δύο δεκαδικά ψηφία, άρα στον λογαριασμό θα αναγράφεται Β τρόπος: Στη χρέωση θα προστεθεί το Φ.Π.Α., δηλαδή σε μια χρέωση, θα προστεθεί άρα η συνολική χρέωση θα είναι. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της αναλογίας μπορούμε να υπολογίσουμε πόσο θα είναι η συνολική χρέωση για το ποσό των Άρα, Χρέωση (σε ) Φ.Π.Α. (σε ) Συνολική χρέωση (σε ) Η χρέωση στρογγυλοποιείται σε δύο δεκαδικά ψηφία, άρα στον λογαριασμό θα αναγράφεται 173

15 3. Κατέθεσε κάποιος στην τράπεζα το ποσόν των και μετά χρόνο έκανε ανάληψη των χρημάτων και πήρε. Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε το συγκεκριμένο κεφάλαιο; Λύση: Το ποσόν που κατατέθηκε στην τράπεζα: Το ποσόν έγινε μετά από χρόνο: Άρα Το Επιτόκιο της τράπεζας είναι. Δραστηριότητες 1. Σε ένα γυμνάσιο το των μαθητών είναι Α Γυμνασίου και το είναι Β Γυμνασίου. Πόσα είναι οι μαθητές της Γ τάξης, αν όλοι οι μαθητές είναι ; 2. Ένα κατάστημα προσφέρει έκπτωση στην αρχική τιμή σε όλα τα προϊόντα του. Να υπολογίσετε την τελική τιμή ενός προϊόντος αν η αρχική του τιμή είναι. 3. Σε έρευνα της τροχαίας στα αυτοκίνητα οι οδηγοί δε φορούσαν ζώνη και στις μηχανές το των οδηγών δεν φορούσε κράνος. (α) Να υπολογίσετε το ποσοστό των οδηγών των αυτοκινήτων που φορούσε ζώνη ασφαλείας (β) Να υπολογίσετε τον αριθμό των μοτοσικλετιστών που δεν φορούσαν κράνος. (γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό των οδηγών που παρανομούσαν επί του συνόλου των οδηγών. 174

16 4. Ο κύριος Μανώλης πήρε αύξηση στο μισθό του. Να υπολογίσετε το ποσοστό αύξησης του μισθού του αν από έγινε ; 5. Σ ένα σχολείο μαθητών είχαμε επιτυχόντες στα Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα (Α.Ε.Ι.) την χρονιά που πέρασε ενώ σ ένα άλλο σχολείο μαθητών είχαμε επιτυχόντες. Σε ποιο σχολείο είχαμε το μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας; 6. Μια οικογένεια έχει μηνιαία έξοδα, τα οποία ξοδεύει, όπως φαίνεται στο διπλανό κυκλικό διάγραμμα. (α) Να υπολογίσετε πόσα χρήματα ξοδεύει η οικογένεια για τις σπουδές των παιδιών της. (β) Να βρείτε τον λόγο των χρημάτων που ξοδεύει για ενοίκιο προς τα χρήματα που ξοδεύει για διασκέδαση. 7. Μια κτηματική εταιρεία αγόρασε ένα διατηρητέο σπίτι για. Πλήρωσε επιπλέον για την ανακαίνιση του. Το κράτος επιχορηγεί το συνολικό κόστος με. Πόσα χρήματα επέστρεψε το κράτος στην εταιρεία. 8. Σε μία πόλη οι γεννήσεις φέτος ανήλθαν στο του πληθυσμού, ενώ οι θάνατοι στο. Αν ο πληθυσμός στο τέλος της χρονιάς αυξήθηκε κατά άτομα, να βρείτε πόσους κατοίκους είχε η πόλη στην αρχή της χρονιάς. 9. Τον Απρίλιο διοργανώθηκε μία εκδρομή στην Αθήνα, της οποίας τα έσοδα δόθηκαν για ενίσχυση του ταμείου του Ραδιομαραθωνίου. Το κανονικό εισιτήριο ήταν, ενώ για τους συνταξιούχους ήταν και για τα παιδιά. (α) Να βρείτε τι ποσοστό έκπτωσης έγινε στο εισιτήριο των συνταξιούχων. (β) Συνολικά ταξίδεψαν άτομα, από τα οποία το ήταν συνταξιούχοι. Να βρείτε πόσοι συνταξιούχοι και πόσα παιδιά ταξίδεψαν, αν γνωρίζετε ότι εισπράχθηκε συνολικά από όλους τους επιβάτες το ποσό των. 10. Κατέθεσε κάποιος στην τράπεζα το ποσόν των και μετά από χρόνο έκανε ανάληψη των χρημάτων και πήρε. Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε το συγκεκριμένο κεφάλαιο; 175

17 Αριθμός τεμαχίων Αριθμός τεμαχίων Ευθέως Ανάλογα Ποσά Εξερεύνηση Μια ηλεκτρονική μηχανή συσκευάζει αεροστεγώς τα προϊόντα ενός τυροκομείου. Η απόδοση της μηχανής φαίνεται στη διπλανή γραφική παράσταση. Χρόνος σε ώρες Κατά τη διάρκεια της παραγωγής, η μηχανή βγήκε εκτός λειτουργίας. Ένας εργάτης συνέχιζε να συσκευάζει τα προϊόντα με τη χειροκίνητη μηχανή. Πιο κάτω φαίνεται η απόδοση του εργάτη. Χρόνος σε ώρες Να γράψετε τις παρατηρήσεις σας. 176

18 Διερεύνηση (1) Με βάση τη γραφική παράσταση, που παριστάνει την απόδοση της ηλεκτρονικής μηχανής, να συμπληρώσετε το διπλανό πίνακα: Χρόνος σε ώρες Απόδοση σε τεμάχια Αν η μηχανή συνέχιζε τη λειτουργία της για ακόμη μια ώρα, πόσα τεμάχια θα είχε συσκευάσει; Να γράψετε τη σχέση που συνδέει το χρόνο λειτουργίας με την απόδοση σε τεμάχια της ηλεκτρονικής μηχανής. Διερεύνηση (2) Η Μαρίλια σπουδάζει βρεφονηπιοκόμος. Στον ελεύθερο της χρόνο ενδιαφέρεται να προσέχει παιδιά. Μια μέρα διάβασε στην εφημερίδα την αγγελία που φαίνεται δίπλα και αποτάθηκε στην οικογένεια Κωνσταντινίδη για εργοδότηση. Να συμπληρώσετε τον πίνακα. Να εξετάσετε τον τρόπο που μεταβάλλονται τα ποσά χρόνος και αμοιβή. Χρόνος εργασίας σε ώρες Αμοιβή σε ευρώ Να γράψετε το λόγο δύο τιμών του χρόνου εργασίας και να τον συγκρίνετε με το λόγο των δύο αντίστοιχων τιμών της αμοιβής. Τι παρατηρείτε; 177

19 Να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα διατεταγμένα ζεύγη πίνακα, να κάνετε τη γραφική παράσταση και να γράψετε τις παρατηρήσεις σας. του Να κατασκευάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση, αν η αμοιβή της Μαρίλιας ήταν 8 ευρώ την ώρα. Να συγκρίνετε τις δύο γραφικές παραστάσεις. Μαθαίνω Δύο ποσά ονομάζονται ευθέως ανάλογα ή απλά ανάλογα όταν οι αντίστοιχες τιμές τους έχουν πάντα το ίδιο πηλίκο. Δηλαδή, και είναι ανάλογα, όπου α σταθερός αριθμός. Ο σταθερός αριθμός λέγεται συντελεστής της αναλογίας. Στα ανάλογα ποσά ισχύει ότι: πολλαπλασιάζοντας (ή διαιρώντας) τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, τότε και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού πολλαπλασιάζονται (ή διαιρούνται) αντίστοιχα με τον ίδιο αριθμό. Παράδειγμα: Ο διπλασιασμός, του ενός ποσού, επιφέρει τον διπλασιασμό του άλλου ποσού. ο λόγος δύο τιμών του ενός ποσού είναι ίσος με το λόγο των αντίστοιχων τιμών του άλλου ποσού. Αν ισχύει μια από τις πιο πάνω σχέσεις μεταξύ δύο ποσών, τότε τα ποσά είναι ανάλογα. Παράδειγματα 1. Να εξετάσετε κατά πόσο τα ποσά που δίνονται στον πιο κάτω πίνακα είναι ανάλογα. Αν είναι ανάλογα, να βρείτε το συντελεστή της αναλογίας. 178

20 Λύση: Εξετάζουμε τους λόγους : Παρατηρούμε ότι ο λόγος ανάλογα. Ο συντελεστής της αναλογίας είναι το. των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερός, άρα τα ποσά είναι 2. Ένας γεωργός, θέλει να ψεκάσει μια καλλιέργεια λαχανικών. Η δοσολογία για το φυτοφάρμακο που θα χρησιμοποιήσει είναι για κάθε φυτοφάρμακο νερό. Να βρείτε πόσα λίτρα νερό θα χρησιμοποιήσει, για να φτιάξει διάλυμα στο οποίο θα διαλύσει δύο συσκευασίες φυτοφαρμάκου των. Λύση: Τα ποσά είναι ευθέως ανάλογα, γιατί όταν οι τιμές του ενός ποσού (Ποσότητας φαρμάκου) πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό, οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού (Ποσότητας νερού) πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό. Άρα, οι αντίστοιχες τιμές που παίρνουν πρέπει να έχουν πάντα το ίδιο πηλίκο (Ποσότητα φυτοφαρμάκου : Ποσότητα νερού). Έστω ότι η άγνωστη ποσότητα του νερού είναι. Ποσότητα φυτοφαρμάκου Ποσότητα νερού Ευθέως ανάλογα ποσά Θα χρησιμοποιήσει λίτρα νερό. 179

21 3. Τον Αύγουστο ένα κατάστημα ηλεκτρικών ειδών προσφέρει στους πελάτες του έκπτωση. (α) Να γράψετε τη σχέση που συνδέει την αρχική τιμή πώλησης πριν τις εκπτώσεις με την αναγραφόμενη τιμή κατά τη διάρκεια των εκπτώσεων. (β) Να βρείτε την αρχική τιμή πώλησης μιας τηλεόρασης που πωλήθηκε κατά τη διάρκεια των εκπτώσεων. Λύση: (α) Αφού η έκπτωση είναι, τα διάφορα ηλεκτρικά είδη θα πωλούνται στο της αρχικής τους τιμής. Η αρχική τιμή πώλησης και η τιμή πώλησης κατά τη διάρκεια των εκπτώσεων είναι ποσά ανάλογα. Θέτουμε: την αρχική τιμή πώλησης την τιμή πώλησης κατά τη διάρκεια των εκπτώσεων (β). Άρα η αρχική τιμή πώλησης πριν τις εκπτώσεις ήταν. Δραστηριότητες 1. Δίνεται ο πιο κάτω πίνακας με τις τιμές δύο ποσών και. Να εξετάσετε κατά πόσο τα ποσά είναι ευθέως ανάλογα και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (α) (β) (γ) 180

22 2. Να εξετάσετε κατά πόσο τα ποσά και που δίνονται στους πιο κάτω πίνακες είναι ανάλογα: (α) (β) Αν τα ποσά είναι ανάλογα, να γράψετε τη σχέση που τα συνδέει. 3. Να εξετάσετε κατά πόσο τα πιο κάτω ζεύγη ποσών είναι ανάλογα: (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Η περίμετρος ενός τετραγώνου και το μήκος της πλευράς του. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου και το μήκος της πλευράς του. Η τιμή ενός υφάσματος και το μήκος του. Η παροχή νερού μίας βρύσης και ο χρόνος που χρειάζεται η βρύση για να γεμίσει μια δεξαμενή. Η αμοιβή ενός ωρομίσθιου εργάτη και ο χρόνος εργασίας του. Το ύψος ενός ανθρώπου και το βάρος του. 4. Αν γνωρίζουμε ότι γραμμάρια άσπρου ψωμιού περιέχουν θερμίδες, να υπολογίσετε πόσες θερμίδες πήρε ο Κωνσταντίνος από τα γραμμάρια ψωμιού που έφαγε με το φαγητό του; 5. Ο Αλέξης είναι σήμερα δύο χρονών και έχει ύψος Ο αδελφός του υπολόγισε ότι, όταν θα γίνει ο Αλέξης χρονών, θα έχει ύψος. Να ελέγξετε την ορθότητα της απάντησής του. 181

23 6. Μια κλωστοϋφαντουργική μηχανή παράγει νήμα σε ώρες. Σε πόσες ημέρες θα παραχθούν νήμα, αν η μηχανή θα λειτουργεί ώρες κάθε ημέρα; 7. Το κρασί που μας δίνει κάποια συγκεκριμένη ποικιλία σταφυλιού είναι το της μάζας τους. (α) Να γράψετε τη σχέση που συνδέει τη μάζα των σταφυλιών με τη ποσότητα του κρασιού σε κιλά. (β) Να υπολογίσετε πόσα κιλά κρασί θα πάρουμε από σταφύλια. (γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση. 8. Ο κύριος Ανδρέας θα ταξιδεύσει στις Η.Π.Α., για να επισκεφτεί μια έκθεση για μηχανήματα. Υπολόγισε ότι θα χρειαστεί για το ξενοδοχείο και τα διπλάσια λεφτά για τα προσωπικά του έξοδα. (α) Πόσο συνάλλαγμα σε δολάρια θα χρειαστεί να πάρει μαζί του; (β) Η κόρη του ζήτησε να της αγοράσει από τις Η.Π.Α. ένα βιντεοπαιχνίδι, το οποίο πωλείται στην Κύπρο προς. Σε ποια τιμή πρέπει να το βρει ο κ. Ανδρέας, για να συμφέρει να το αγοράσει; Τιμές Συναλλάγματος σε σχέση με το GBP Αγγλική Λίρα 0,85 USD Δολάριο Αμερικής 1,30 JPY Ιαπωνικό Γεν 100,30 CHF Φράγκο Ελβετίας 1,21 CAD Δολάριο Καναδά 1,34 AUD Δολάριο Αυστραλίας 1,42 RUB Ρωσικό Ρούβλι 45,15 CNY Κινέζικο Γιουάν 9,25 182

24 Χρόνος Χρόνος Χρόνος Αντιστρόφως Ανάλογα Ποσά Εξερεύνηση Ένα εργοστάσιο έχει στη γραμμή παραγωγής του ένα συγκεκριμένο αριθμό μηχανών της ίδιας δυναμικότητας, οι οποίες δουλεύουν ανεξάρτητα. Ο υπεύθυνος παραγωγής θέλει να προγραμματίσει την παραγωγή, ώστε να παραδώσει μια συγκεκριμένη παραγγελία στην ημερομηνία που προνοεί το συμβόλαιο παράδοσής της. Ο υπεύθυνος έχει τη δυνατότητα να θέτει σε λειτουργία διαφορετικό αριθμό μηχανών. Ποια από τις πιο κάτω γραφικές παραστάσεις παριστάνει το χρόνο ολοκλήρωσης της παραγγελίας σε σχέση με τον αριθμό των μηχανών που τίθενται σε λειτουργία; Αριθμός Μηχανών Αριθμός Μηχανών Αριθμός Μηχανών 183

25 Διερεύνηση (1) Στο εφαρμογίδιο «A_En9_Emvadon_orthogoniou.ggb» δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με σταθερό εμβαδόν. Η σταθερή κορυφή του είναι στο σημείο. Η κορυφή είναι απέναντι από το σταθερό σημείο. Να συμπληρώστε τον πίνακα: Μήκος ορθογωνίου Πλάτος ορθογωνίου Εμβαδόν ορθογωνίου Συντεταγμένες κορυφής Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τις συντεταγμένες της κορυφής. Να γράψετε το λόγο δύο τιμών του μήκους και να τον συγκρίνετε με το λόγο των δύο αντιστοιχών τιμών του πλάτους. Τι παρατηρείτε; Να μετακινήσετε το δρομέα κ παίρνει η κορυφή. Να επιλέξετε το εικονίδιο σχηματίζεται. και να παρατηρήσετε τις διάφορες θέσεις που και να παρατηρήσετε τη γραφική παράσταση που 184

26 Μαθαίνω Δύο ποσά ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα όταν το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους είναι πάντα σταθερό. Δηλαδή, και είναι αντιστρόφως ανάλογα, όπου α σταθερός αριθμός. Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά ισχύει ότι: όταν πολλαπλασιάζονται οι τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, τότε οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό. Παράδειγμα: Ο διπλασιασμός του ενός ποσού, επιφέρει τον υποδιπλασιασμό του άλλου ποσού. ο λόγος δύο τιμών του ενός ποσού είναι ίσος με τον αντίστροφο αντίστοιχων τιμών του άλλου ποσού. λόγο των Αν ισχύει μια από τις πιο πάνω σχέσεις μεταξύ δύο ποσών, τότε τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Παραδείγματα 1. Να εξετάσετε κατά πόσο τα ποσά που δίνονται στον πιο κάτω πίνακα είναι αντιστρόφως ανάλογα. Λύση: Υπολογίζουμε τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών: Παρατηρούμε ότι το γινόμενο είναι αντιστρόφως ανάλογα. των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερό. Άρα τα ποσά 185

27 2. Σε ένα εργοστάσιο μηχανές είναι σε λειτουργία ώρες για να ολοκληρώσουν την ημερήσια παραγωγή η οποία είναι σταθερή. Αν μια συγκεκριμένη ημέρα μηχανές θα είναι εκτός λειτουργίας για συντήρηση, πόσες ώρες πρέπει να δουλέψουν οι υπόλοιπες μηχανές, για να μην επηρεαστεί η ημερήσια παραγωγή του εργοστασίου; Λύση: Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί όταν οι τιμές του ενός ποσού (αριθμός μηχανών) πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό, οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού (ώρες) διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό. Άρα, οι αντίστοιχες τιμές που παίρνουν πρέπει να έχουν πάντα το ίδιο γινόμενο (Αριθμός Μηχανών Ώρες). Αριθμός Μηχανών Ώρες Αντιστρόφως ανάλογα ποσά Οι υπόλοιπες μηχανές πρέπει να δουλέψουν 18 ώρες. Δραστηριότητες 1. Δίνεται ο πιο κάτω πίνακας με τις τιμές δύο ποσών, και. Να εξετάσετε αν τα πιο κάτω ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας: (α) (β) (γ) 186

28 2. Κατά τη διάρκεια των υποβρύχιων ελέγχων σε ένα μέρος ενός ωκεανού, μια επιστημονική ομάδα παρατήρησε ότι η θερμοκρασία σε βαθμούς Κελσίου είναι αντιστρόφως ανάλογη του βάθους σε χιλιόμετρα. Όταν κατέγραψαν θερμοκρασία, οι δύτες βρίσκονταν σε βάθος κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. (α) Να βρείτε την θερμοκρασία αν θα καταδυθούν σε βάθος. (β) Σε ποιο βάθος θα πρέπει να καταδυθούν για να καταγράψουν θερμοκρασία ; 3. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα, ώστε τα ποσά να είναι αντιστρόφως ανάλογα. 4. Ο Απόστολος παρατήρησε ότι όσο πιο πολύ χρόνο αφιερώνει στην παρακολούθηση τηλεόρασης τόσο λιγότερο χρόνο αφιερώνει για την καθημερινή μελέτη των μαθημάτων του. Τη Δευτέρα είδε τηλεόραση για ώρα, και διάβασε για άλλη ώρα. Την Τρίτη είδε τηλεόραση ώρες και διάβασε μόνο ώρα και την Τετάρτη είδε μόνο μισή ώρα τηλεόραση και διάβασε ώρες. Με βάση τα δεδομένα αυτά, ο Απόστολος κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο χρόνος που βλέπει τηλεόραση και ο χρόνος που αφιερώνει για διάβασμα καθημερινά είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Έχει δίκιο ή όχι και γιατί; 5. Τέσσερα ίδια εμπορικά αυτοκίνητα διανομής κάνουν καθημερινά εννιά δρομολόγια το καθένα, για να μεταφέρουν κιβώτια με προϊόντα, από το εργοστάσιο στην αποθήκη. Πόσα τέτοια δρομολόγια θα κάνει το κάθε ένα από δώδεκα αυτοκίνητα του ίδιου τύπου, για να μεταφέρουν τον ίδιο αριθμό κιβωτίων σε μια μέρα; 187

29 Δραστηριότητες Ενότητας 1. Ένα αρχιτεκτονικό σχέδιο κατασκευάστηκε με κλίμακα. Αν οι διαστάσεις ενός ορθογώνιου δωματίου στο σχέδιο είναι πλάτος και μήκος, να βρείτε τις πραγματικές διαστάσεις του δωματίου. 2. Τι ποσοστό από τους αριθμούς είναι τετράγωνοι αριθμοί; 3. Να επιλέξετε τη θέση που θα τοποθετήσετε τα έπιπλα στο δωμάτιό σας και ακολούθως να τα σχεδιάσετε στο αρχιτεκτονικό σχέδιο του δωματίου, που είναι σχεδιασμένο με κλίμακα. Οι διαστάσεις των επίπλων είναι: Κρεβάτι Κομοδίνο Γραφείο 4. Δίνεται η αναλογία. Να βρείτε τους λόγους: (α) (β) (γ) (δ) 5. Το σωματείο της γειτονιάς έκδωσε και πώλησε λαχνούς των για την ανέγερση του οικήματος του. Οι λαχνοί συμμετέχουν σε κλήρωση με μεγάλο έπαθλο και άλλα πλούσια δώρα. Τρεις φίλοι έδωσαν το ποσό, και αντίστοιχα και αγόρασαν ένα λαχνό των. Να υπολογίσετε τι ποσό πρέπει να πάρει ο καθένας τους αν κερδίσουν το μεγάλο έπαθλο; 6. Οι υπάλληλοι που δουλεύουν σε μια υπεραγορά δικαιούνται έκπτωσή στις αγορές τους στα είδη του αρτοποιείου. Πόσα θα πληρώσει ένας υπάλληλος της υπεραγοράς, αν αγόρασε είδη αρτοποιείου αξίας ; 188

30 7. Ένας έμπορος αγόρασε στερεοφωνικά προς το ένα και πλήρωσε της συνολικής αξίας τους για έξοδα μεταφοράς. Θέλει να τα πουλήσει με κέρδος. Πόσα θα εισπράξει συνολικά; 8. Τρεις τεχνίτες πήραν από μια εργασία. Ο πρώτος ως εργοδηγός πήρε το του ποσού και τα υπόλοιπα μοιράστηκαν ανάλογα προς τις ημέρες εργασίας αυτών. Αν ο πρώτος εργάστηκε ημέρες ο δεύτερος ημέρες και ο τρίτος ημέρες. Πόσα χρήματα πήρε ο καθένας; 9. Μια χορηγία του Δήμου θα μοιραστεί στα σχολεία της περιφέρειας, ανάλογα με τον αριθμό των μαθητών τους. Το έχει, το και το παιδιά. Το μεγαλύτερο σχολείο αποφάσισε να δωρίσει το των χρημάτων που θα πάρει σε ένα σχολείο της Κένυας. Να υπολογίσετε τι ποσό θα κρατήσει το σχολείο. 10. Στις τελευταίες δημοτικές εκλογές από τα άτομα που ήταν γραμμένα στους εκλογικούς καταλόγους μιας κοινότητας, ψήφισαν το Να βρείτε πόσους ψήφους πήρε ο εκλεγμένος δήμαρχος, αν τον ψήφισε το των ατόμων που ψήφισαν. 11. Αν ένα ποσό είναι ανάλογο κάποιου άλλου ποσού, και διπλασιάσουμε το ένα ποσό, τότε το άλλο ποσό θα το: (α) πολλαπλασιάσουμε με (β) διαιρέσουμε με (γ) πολλαπλασιάσουμε με 12. Τα ποσά και είναι ανάλογα. (α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα: (β) Να βρείτε το συντελεστή αναλογίας και να γράψετε τη σχέση που συνδέει το το. (γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της πιο πάνω σχέσης συνάρτησης. με 189

31 13. Ο καφές χάνει το του βάρους του, όταν καβουρδιστεί. Πόσα κιλά καφέ χρειαζόμαστε για να πάρουμε καβουρδισμένου καφέ; 14. Ένα σύστημα αυτόματου ποτίσματος παίρνει νερό από μια δεξαμενή. Αν το σύστημα λειτουργεί ώρες την ημέρα, το νερό της δεξαμενής επαρκεί για ημέρες. Αν το σύστημα λειτουργεί για ώρες την ημέρα, για πόσες ημέρες επαρκεί το νερό της δεξαμενής; 15. Ένας μελισσοκόμος μπορεί να τοποθετήσει το μέλι του σε βάζα των το καθένα. (α) Αν χρησιμοποιήσει βάζα των το καθένα, πόσα βάζα θα χρειαστεί; (β) Αν κάθε βάζο των κοστίζει και κάθε βάζο των κοστίζει, ποια συσκευασία συμφέρει να χρησιμοποιήσει; 16. Ο Αλέξανδρος υποστηρίζει ότι η μάζα του ανθρώπου είναι ανάλογη του ύψους του. Κατέγραψε στον πιο κάτω πίνακα τη μάζα και το ύψος τεσσάρων συμμαθητών του. Να επιβεβαιώσετε ή να απορρίψετε τον ισχυρισμό του Αλέξανδρου. Να εξηγήσετε τον τρόπο που εργαστήκατε. Μάζα σε kg Ύψος σε m 17. H Ελένη διάβασε σε ένα άρθρο ότι ένα άτομο, πάνω από χρονών, χάνει περίπου από το ύψος του κάθε χρόνο. (α) Αν ο ογδοντάχρονος παππούς της Ελένης έχει ύψος, ποιο θα ήταν το ύψος του παππού, όταν ήταν χρονών. (β) Ο θείος της Εβελίνας, ο Νικόλας, είναι χρονών και έχει ύψος. Με βάση τα στοιχεία του άρθρου, να υπολογίσετε πόσο ύψος θα έχει, όταν θα γίνει χρόνων. 190

32 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Το Δημοτικό Συμβούλιο της πόλης, έχει εγκαταστήσει στην είσοδο της πόλης μια πινακίδα που καλωσορίζει τον επισκέπτη και δείχνει το ποσοστό των οδηγών που οδηγούν εντός του ορίου ταχύτητας. (α) Γιατί νομίζετε ότι το συμβούλιο χρησιμοποίησε αυτό τον τρόπο για να αναπτύξει την οδική συνείδηση; Γιατί επέλεξαν ο πίνακας να δείχνει το ποσοστό των οδηγών που τηρούν το όριο και όχι αυτών που παρανομούν; (β) Πώς θα μπορούσε να περιγραφεί, χρησιμοποιώντας μικρότερους αριθμούς, το πλήθος των οδηγών που τηρούν το όριο ταχύτητας σε σχέση με το συνολικό πλήθος των οδηγών που πέρασαν από το σημείο; (γ) Υποθέτουμε ότι το επόμενο αυτοκίνητο που περνά από την κάμερα τρέχει με μεγαλύτερη ταχύτητα από την επιτρεπόμενη. Το ποσοστό θα αυξηθεί ή θα μειωθεί; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 2. Η γραφική παράσταση της σχέσης που συνδέει τα ποσά και είναι μια ημιευθεία με αρχή το σημείο. Αν το σημείο είναι σημείο της πιο πάνω ημιευθείας: (α) Να εξηγήσετε γιατί τα ποσά και είναι ανάλογα και να βρείτε τον συντελεστή αναλογίας. (β) Να γράψετε τη σχέση που συνδέει τα ποσά και και να συμπληρώσετε τον πίνακα: (γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της σχέσης που συνδέει τα ποσά και. 3. Μια υπεραγορά πωλούσε το ψωμί προς. Τη συγκεκριμένη μέρα εισέπραξε από την πώληση των ψωμιών. Να βρείτε πόσα κιλά σιτάρι χρησιμοποιήθηκαν, για να παρασκευαστεί η ποσότητα της ημέρας αυτής, αν γνωρίζουμε ότι κιλά σιτάρι δίνουν αλεύρι και αλεύρι δίνουν ψωμιά. 4. Η Άννα είχε ψηφιακούς δίσκους στη συλλογή της και η Ραφαέλα. Η Άννα αγόρασε ψηφιακούς δίσκους και η Ραφαέλα. Να βρείτε δύο δυνατές τιμές για τα και, αν γνωρίζουμε ότι ο λόγος των ψηφιακών δίσκων της Άννας προς τους δίσκους της Ραφαέλας παρέμεινε σταθερός. Να εξηγήσετε τον τρόπο που εργαστήκατε. 5. Σε μια ισορροπημένη εφηβική διατροφή, η αναλογία υδατανθράκων προς πρωτεΐνες πρέπει να είναι, ενώ η αναλογία λιπών προς υδατάνθρακες πρέπει να είναι. Κάθε γραμμάριο λίπους είναι θερμίδες, κάθε γραμμάριο υδατανθράκων είναι θερμίδες και κάθε γραμμάριο πρωτεΐνης είναι θερμίδες. Αν ένας έφηβος θέλει να παίρνει θερμίδες την ημέρα, πως θα φτιάξει το διαιτολόγιο του; 191

33 6. Η συχνότητα του ήχου είναι αντιστρόφως ανάλογη του μήκους του κύματος. Ένας συγκεκριμένος ήχος έχει συχνότητα και μήκος κύματος. Να υπολογίσετε την συχνότητα, όταν η αριθμητική τιμή της συχνότητας είναι η ίδια με την αριθμητική τιμή του μήκους του κύματος. 7. Η καρέκλα κατασκευάστηκε το και θεωρείται ένα από τα σημαντικότερα αντικείμενα στην ιστορία των επίπλων. Η μινιατούρα της καρέκλας αυτής έχει ύψος, βάθος και πλάτος. Για την κατασκευή της χρησιμοποιήθηκε κλίμακα. (α) Να υπολογίσετε τις πραγματικές διαστάσεις της καρέκλας. (β) Μια άλλη μινιατούρα της ίδιας καρέκλας κατασκευάστηκε από άλλο εργοστάσιο αρχικά με κλίμακα. Στη συνέχεια το εργοστάσιο χρησιμοποίησε την ίδια κλίμακα, για να φτιάξει μοντέλο της πρώτης μινιατούρας. Η ίδια διαδικασία εφαρμόστηκε τρεις φορές. Να συγκρίνετε τις διαστάσεις του τελευταίου μοντέλου της καρέκλας που κατασκεύασε το εργοστάσιο αυτό με τη μινιατούρα που κατασκεύασε το πρώτο εργοστάσιο και να γράψετε τις παρατηρήσεις σας. (γ) Να βρείτε την κλίμακα με την οποία κατασκευάστηκε το τρίτο μοντέλο της καρέκλας. 8. Να μελετήσετε τη χρυσή τομή. ο Οι Αρχαίοι Έλληνες μελέτησαν τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώματος από τον αιώνα π.χ.. Ένας συγκεκριμένος λόγος, ο λόγος της χρυσής τομής, είναι η σχέση που συνδέει όλα σχεδόν τα μέλη του ιδανικού σώματος π.χ. Μ1:Μ2, Μ2:Μ3, Μ3:Μ4 κ.ο.κ. Οι αρχαίοι γλύπτες, έφτιαχναν τα αγάλματα τους τηρώντας τις αναλογίες της χρυσής τομής. Αργότερα με το θέμα των ιδανικών αναλογιών, ασχολήθηκε και ο Leonardo Da Vinci. Ο Δορυφόρος του Πολύκλειτου (ρωμαϊκό μαρμάρινο αντίγραφο του χάλκινου αυθεντικού έργου). Η χρυσή τομή φ ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών α β όταν ισχύει α β α β α που ισούται περίπου με 1,618. Πιστεύεται ότι ο Φειδίας ήταν ο πρώτος που την εφάρμοσε στα γλυπτά του. Γι αυτό, στον αριθμό που εκφράζει ου αυτή την αναλογία δόθηκε στις αρχές του αιώνα από τον Mark Barr, έναν Αμερικανό μαθηματικό, η ονομασία, από το πρώτο γράμμα του ονόματος του γλύπτη. Θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες και για το λόγο αυτό έχει χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά την αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση. 192