τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΘΕΜΑ o Α Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και f(α)f(β), τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f()=ξ Μονάδες 5 Μονάδες ΒΝα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Μια συνεχής συνάρτηση f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές της ρίζες χωρίζουν το πεδίο ορισμού της Μονάδες f g σε μία περιοχή του Μονάδες β Αν f g τότε γ Αν f e τότε f Μονάδες δ Αν για οποιαδήποτε, f :, είναι συνεχής f ισχύει f a f και η και μη σταθερή τότε το σύνολο τιμών της f είναι το, ε Αν f,τότε f f Μονάδες f Μονάδ ες Μονάδες ΘΕΜΑ ο Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της (Μονάδες ) β) Να βρείτε τα παρακάτω όρια (αν υπάρχουν) και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας i) f ii) f iii) f (Μονάδες 9)

2 Αν g η συνάρτηση του διπλανού σχήματος : γ) i) Να αποδείξετε ότι η g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο, ii) Να δείξετε ότι υπάρχει ώστε, τέτοιο g, τέτοιο 5 g g g g iii) Να δείξετε ότι υπάρχει ώστε (Μονάδες ++) h f g δ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ii) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς, ΘΕΜΑ ο τέτοιο ώστε (Μονάδες +) h Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει : f f,, α) Να δείξετε ότι f, (Μονάδες 5) β) Να βρεθούν τα όρια i) f f 4 ii) iii) f iv) f (Μονάδες +++) γ) i) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, ii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός τέτοιος ώστε f h e h f, Δίνεται η συνάρτηση h για την οποία ισχύει δ) i) Να βρείτε τους δυνατούς τύπους της h h f ii) Να βρείτε τον τύπο της h αν (Μονάδες +) (Μονάδες +)

3 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : για τις οποίες ισχύει: f f f f για κάθε a g g g * για κάθε το σύνολο τιμών της g είναι g A α) i) Να δείξετε ότι f f f ii) Να βρείτε το (Μονάδες 4+) β) Να δείξετε ότι η g είναι συνεχής στο (Μονάδες ) γ) Nα δείξετε ότι η g αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της g (Μονάδες ) δ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της 5 τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης g σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη, (Μονάδες )

4 ΘΕΜΑ o Α Θεωρία ΒΛΣΣΣΛ Λύσεις ΘΕΜΑ ο α),,, f f, β) i) f f άρα ii) f f f αφού αφού οπότε δεν υπάρχει το f και f f και f f iii) αφού f f γ) i) Η g είναι συνεχής στο,, g g οπότε ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος ενδιά μεσων τιμών στο, g g οπότε από το γ)i) υπάρχει, τέτοιο ώστε g g () ii) iii) g 4 4 g () 5 5 g g () 5 g g 5 g g g g g 5 g Ο αριθμός g, 5 g g g ώστε g A A,,, δ) i) h f g ii) Θεωρούμε το διάστημα, οπότε υπάρχει, τέτοιο Έστω,, με f f f (4)

5 g g g (5) 4 5 f g f g f g f g h h Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο,, h h A h h αφού h f g και h f g Το h A οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε h, τέτοιο Το ξ είναι μοναδικό αφού η h είναι γνησίως αύξουσα και - ΘΕΜΑ ο f f, α) () f f () ό f f f f f, f, f () f f Επειδή η f είναι συνεχής στο έχουμε Άρα f,, β) i) f f 4 ii) iii) f αφού f και 4 f f iv) f f f f f f f f f γ) i) Έστω,, με οπότε από κριτήριο παρεμβολής, 4 (5)

6 4 5 άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, ii) Θεωρούμε το διάστημα,,, f f A f f f f Το f A οπότε υπάρχει τέτοιος ώστε f f Το θ μοναδικό αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα και - δ) i) h e h f h e h e f e h e f e H συνάρτηση f e είναι συνεχής στο, σαν διαφορά συνεχών συναρτήσεων, είναι διάφορη του μηδενός άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο οπότε h e f e h f e e h e e ή h e f e h f e e h e e ii) h f,οπότε Οπότε h e e h αφού διατηρεί σταθερό πρόσημο ΘΕΜΑ 4ο α) i) f f f f f f f f f a a a a a ύ, 4 a a a οπότε από κριτήριο παρεμβολής f f f ii) f f f f

7 f f f οπότε αφού οπότε από κριτήριο παρεμβολής 8 ύ g g g g g g g g g β) g g g g g g g g g g g () οπότε από κριτήριο παρεμβολής, g g () γ) Έστω, με g g g g g g άρα η g είναι συνεχής στο g () g g g g g g 4 g g g g (5) 4 5 g g g g g g άρα η g είναι - οπότε αντιστρέφεται Θέτουμε g y g με * y y y g y y y y οπότε η αντίστροφη της g έχει τύπο δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g A g 5 εξετάζουμε ύπαρξη ρίζας της συνάρτησης στο διάστημα, σαν διαφορά συνεχών συναρτήσεων, οπότε, οπότε υπάρχει τέτοιος ώστε a g g a g Επειδή Η συνάρτηση β είναι συνεχής στο Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο, άρα οι γραφικές παραστάσεις των,, g και φ τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη