Γεωμετρία της Εφαπτόμενης Δέσμης και Εφαρμογές στη Βαρύτητα

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ» ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΝΑΝΟΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Φυσική και Τεχνολογικές Εφαρμογές» Γεωμετρία της Εφαπτόμενης Δέσμης και Εφαρμογές στη Βαρύτητα ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Βίκτωρα-Γ. Γάκη Ερευνητικός Επιβλέπων: Παναγιώτης Σταυρινός Τμήμα Μαθηματικών Ε.Κ.Π.Α. Ακαδημαϊκός Επιβλέπων: Κώστας Αναγνωστόπουλος Τομέας Φυσικής, ΣΕΜΦΕ, Ε.Μ.Π. Αθήνα, Ιούνιος, 2017

2

3 Γεωμετρία της Εφαπτόμενης Δέσμης και εφαρμογές στη Βαρύτητα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών, Τμήμα Φυσικής Βίκτωρας-Γ.Γάκης 1 ΑΜ: victor.g.gakis@gmail.com

4

5 Ευχαριστίες Θα ήθελα να απευθύνω θερμές ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Παναγιώτη Σταυρινό, Αναπληρωτή Καθηγητή του τμήματος Μαθηματικών Ε.Κ.Π.Α για την καθοδήγηση και βοήθεια που μου παρείχε κατά τη διάρκεια της εκπόνησης αυτής της μεταπτυχιακής εργασίας.

6

7 Περιεχόμενα I Εισαγωγή 1 1 Πολλαπλότητες Τοπολογικές Πολλαπλότητες Διαφορίσιμες Πολλαπλότητες Λείες Απεικονίσεις σε Πολλαπλότητες Μερικές Παράγωγοι Εφαπτόμενος χώρος Το διαφορικό λείας απεικόνισης Καμπύλες σε πολλαπλότητα Συνεφαπτόμενος χώρος Το διαφορικό μιας απεικόνισης Διανυσματικές δέσμες Βασικοί ορισμοί και κατασκευές Δημιουργία χάρτη στην Ε Απεικονίσεις Δέσμης Λείες Τομές Λεία Πλαίσια Εφαπτόμενη Δέσμη Τοπολογία της Εφαπτόμενης Δέσμης Η δομή λείας πολλαπλότητας στην ΤΜ Συνεφαπτόμενη Δέσμη Ανάκληση μορφών Η κ-οστή εξωτερική δύναμη Ανάκληση κ-μορφών Το σφηνοειδές γινόμενο Τανυστική Δέσμη i

8 II Γεωμετρία της Εφαπτόμενης Δέσμης 29 4 Κάθετη υποδέσμη Κάθετη και πλήρης ανύψωση Ομογένεια Μη γραμμικές συνοχές Μη γραμμικές συνοχές στην Μ Αναπαράσταση συνοχής σε χάρτη Μη γραμμικές συνοχές στη δέσμη Χαρακτηρισμοί των μη γραμμικών συνοχών Διακεκριμένα τανυστικά πεδία Καμπυλότητα και στρέψη της Ν Δυναμική Συναλλοίωτη παράγωγος Αυτοπαράλληλες καμπύλες Συμμετρίες μιας μη γραμμικής συνοχής Ν Ομογενείς και γραμμικές συνοχές Ν-Γραμμικές συνοχές d-συνοχές Συνοχή Berwald Οριζόντια και κάθετη συναλλοίωτη παράγωγος Στρέψη μιας Ν-γραμμικής συνοχής Καμπυλότητα μιας Ν-γραμμικής συνοχής Πλήρης παραλληλισμός Εξισώσεις Δομής για μη γραμμική συνοχή Ν Γεωδαισιακές μιας Ν-γραμμικής συνοχής Ομογενής μη γραμμική συνοχή Διαφορικές εξισώσεις Μη γραμμικές συνοχές και semispray Συνοχή Berwald ενός semispray ii

9 7.3 Εξισώσεις Jacobi ενός semispray Συμμετρίες ενός semispray Γεωμετρικά αναλλοίωτα μιας ΣΔΕΔ Χώροι Finsler Η ιδέα της μετρικής Γεωμετρικά αντικείμενα σε ένα χώρο Finsler Θεωρία μεταβολών και γεωδαισιακές Συνοχή Cartan Συνοχές Finsler Γεωδαισιακή Απόκλιση III Εφαρμογές στη Βαρύτητα Γιατί γεωμετρία Finsler Αδυναμία των μετρικών Finsler Παρατηρούμενα μεγέθη στην GR Βαρύτητα Finsler Βασικές έννοιες στο χωροχρόνο Finsler Αιτιακή Δομή στο χώρο Finsler Γεωδαισιακές και Συνοχή Cartan Διαδικασία Μέτρησης στο χωρόχρονο Finsler Δράση και Θεωρία Πεδίου Βαρύτητα IV Ανακεφαλαίωση και συμπεράσματα 147 V Αναφορές 149 iii

10 iv

11 Περίληψη Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα μελετηθούν θέματα της Γεωμετρίας της Ε- φαπτόμενης Δέσμης και ιδιαιτέρως τη γεωμετρία της F insler βαρύτητας. Αρχικά θα δοθούν θεμελιώδεις έννοιες από τη θεωρία των πολλαπλοτήτων και τη μοντέρνα διαφορική γεωμετρία. Θα εξεταστούν αναλυτικά οι συνοχές, οι μη γραμμικές συνοχές, η έννοια της παράλληλης μετατόπισης και οι εξισώσεις των γεωδαισιακών. Τέλος θα γίνει εφαρμογή των παραπάνω στη θεμελίωση ενός μοντέλου Βαρύτητας σε χωροχρόνοf insler. v

12 Abstract In this dissertation we will study and apply the Geometry of the Tangent Bundle and especially the Finsler Geometry in Gravity. Fist we will present some basic elements of manifold theory and modern dierential geometry. In the second part we will deal with the concept of nonlinear connections, N-linear connections, the notion of parallel transportation the autoparallel and geodecics of the preceding connections. In the last part we will apply the previous theory in Gravity and specically we will construct a Finsler spacetime. Our approach will be from the ground up, generalizing basics concepts from General Relativity(GR). vi

13 vii

14 viii

15 1 Μέρος I Εισαγωγή Συμβολίζουμε με M, N τις πολλαπλότητες διάστασης dimm = m, dimn = n και με (U, ϕ = (x i )), (V, ψ = (y i )) χάρτες των αντίστοιχα. 1 Πολλαπλότητες Γενικά Μια πολλαπλότητα είναι διαισθητικά η γενίκευση των καμπυλών και επιφανειών. Είναι τοπικά ομοιομορφική με τον ευκλείδειο χώρο και οι απεικονίσεις που παρέχουν αυτόν τον ομοιομορφισμό λέγονται χάρτες. Τους χάρτες στην ουσία μπορούμε να τους δούμε ως μια γέφυρα που μας επιτρέπει να μεταφέρουμε τα προβλήματα λογισμού από τις πολλαπλότητες στον ευκλείδειο χώρο. Στο μέρος αυτό θα ακολουθήσουμε κατά κύριο λόγο το [9, 6],. 1.1 Τοπολογικές Πολλαπλότητες Ορισμός 1.1. Ενας τοπολογικός χώρος Μ είναι τοπικά ευκλείδειος διάστασης n εάν p Μ μια γειτονιά U του p η απεικόνιση ϕ : U ϕ(u) R n να είναι ομοιομορφισμός. Η δυάδα (U, ϕ) ονομάζεται χάρτης. Μια τοπολογική πολλαπλότητα Μ είναι ένας Hausdorff, second countable και τοπικά ευκλείδειος χώρος, ο οποίος έχει διάσταση n αν είναι τοπικά R n. Παρατήρηση 1.1. Το γεγονός ότι ένα ανοικτό υποσύνολο του R n δεν είναι ομοιομορφικό με ένα άλλο ανοικτό υποσύνολο του R m οφείλεται στην Τοπολογική Αναλλοιώτητα της Διάστασης που λέει ότι: Μια μη κενή n-διάστατη τοπολογική πολλαπλότητα δεν μπορεί να είναι ομοιομορφική με μια m-διάστατη τοπολογική πολλαπλότητα. Υπάρχει ένα ανάλογο αποτέλεσμα για Διαφορίσιμες Πολλαπλότητες όπως θα δούμε παρακάτω. Ορισμός 1.2. Εστω οι χάρτες (U, ϕ), (V, ψ) μιας τοπολογικής πολλαπλότητας Μ. Λέμε ότι οι δύο αυτοί χάρτες είναι C συμβατοί αν οι απεικονίσεις ϕ ψ 1 : ψ (U V ) ϕ (U V )

16 2 1.1 Τοπολογικές Πολλαπλότητες και ψ ϕ 1 : ϕ (U V ) ψ (U V ) είναι C. Οι παραπάνω απεικονίσεις ονομάζονται συναρτήσεις μετάβασης. Παρατήρηση 1.2. Προφανώς ως C εννοούμε με την έννοια της διαφορισιμότητας στον R m καθώς ακόμα δεν έχουμε ορίσει την έννοια της διαφορισιμότητας σε τοπολογικές πολλαπλότητες. Ορισμός 1.3. Ενας C -άτλας Α σε ένα τοπικά ευκλείδειο χώρο Μ είναι μια συλλογή από χάρτες {(U a, ϕ α )} οι οποίοι είναι ανά ζευγάρι C -συμβατοί και ισχύει ότι Μ = a U a. Παρατήρηση 1.3. Στον ορισμό αυτόν λέμε ότι οι χάρτες είναι συμβατοί ανά ζευγάρι διότι αν έχουμε τρεις χάρτες (U 1, ϕ 1 ),(U 2, ϕ 2 ), (U 3, ϕ 3 ) με συμβατότητα χαρτών ως 1 με 2 και 2 με 3 τότε για τη συνάρτηση μετάβασης μεταξύ 1 και 3 έχουμε ϕ 3 ϕ 1 1 = ( ) ( ) ϕ 3 ϕ 1 2 ϕ2 ϕ 1 1. Προφανώς ως σύνθεση λείων συναρτήσεων μετάβασης η συνάρτηση μετάβασης ϕ 3 ϕ 1 1 είναι λεία αλλά μόνο στην περιοχή ϕ 1 (U 1 U 2 U 3 ). Ωστόσο στις περιοχές ϕ 1 (U 1 U 3 ), ϕ 1 (U 1 U 3 U 1 U 2 U 3 ) δεν έχουμε κάποια παραπάνω πληροφορία για το τι συμβαίνει. Επομένως δεν μπορούμε να πούμε ότι οι χάρτες (U 1, ϕ 1 ), (U 3, ϕ 3 ) είναι C -συμβατοί. Λέμε ότι ένας χάρτης (U, ϕ) είναι συμβατός με ένα άτλαντα Α={(U a, ϕ α )} αν είναι συμβατός με κάθε χάρτη (U a, ϕ α ) του άτλαντα. Λήμμα 1.1. Εστω άτλας Α={(U a, ϕ a )} σε ένα τοπικά ευκλείδειο χώρο Μ. Αν δύο χάρτες (U, ϕ), (V, ψ) είναι συμβατοί με τον άτλα Α τότε είναι και συμβατοί μεταξύ τους. Απόδειξη. Πρέπει να δείξουμε ότι η συνάρτηση μετάβασης ϕ ψ 1 : ψ (U V ) ϕ (U V ) είναι C σε κάθε σημείο ψ(p) όπου p U V. Εστω λοιπόν (U a, ϕ α ) τυχαίος χάρτης του Α, έχουμε ότι ϕ ψ 1 = (ϕ ϕ 1 α ) (ϕ α ψ 1 ) δηλαδή ότι η συνάρτηση μετάβασης είναι C σε κάθε σημείο της περιοχής ψ(u U α V ). Εφόσον το αποτέλεσμα ισχύει για τυχαίο χάρτη (U a, ϕ α ), ισχύει για κάθε χάρτη και επειδή αυτή η οικογένεια χαρτών ανήκει στο Α βλέπουμε ότι η περιοχή που είναι C η συνάρτηση μετάβασης ϕ ψ 1 μπορεί κάλλιστα να είναι όλο το ψ(u V ). Επομένως οι χάρτες (U, ϕ), (V, ψ) είναι συμβατοί μεταξύ τους. Αντίστοιχα ακριβώς αποδεικνύεται και για την αντίστροφη συνάρτηση ψ ϕ 1.

17 1.2 Διαφορίσιμες Πολλαπλότητες Διαφορίσιμες Πολλαπλότητες Ενας άτλας Α σε μια τοπολογική πολλαπλότητα Μ λέγεται μέγιστος αν δεν μπορεί να ε- μπεριέχεται σε κάποιο μεγαλύτερο άτλα. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει άτλας Α ο οποίος εμπεριέχει τον Α τότε αναγκαστικά έχουμε ότι Α =Α. Ορισμός 1.4. Μια λεία/διαφορίσιμη/c πολλαπλότητα ονομάζεται μια τοπολογική πολλαπλότητα στην οποία υπάρχει ένας μέγιστος C -άτλας. Η δομή του C -άτλα λέγεται αλλιώς και διαφορική δομή. Λήμμα 1.2. Κάθε πιθανός άτλας Α={(U a, ϕ α )} σε έναν τοπικά ευκλείδειο χώρο εμπεριέχεται σε ένα μέγιστο άτλα. Απόδειξη. Εφόσον έχουμε δομή μέγιστου άτλα τότε σε αυτόν εμπεριέχονται χάρτες που είναι συμβατοί με κάθε πιθανή επιλογή άτλα. Εστω λοιπόν ότι για τον άτλα Α={(U a, ϕ α )} αυτοί οι συμβατοί χάρτες είναι η οικογένεια {(U β, ϕ β )}. Η συλλογή Α ={(U a, ϕ α ), (U β, ϕ β )} είναι πάλι ένας άτλας, οπότε οποιοσδήποτε χάρτης είναι συμβατός με τον άτλα Α είναι συμβατός και με τον άτλα Α αλλά και ανήκει στον Α. Επομένως ο Α είναι μέγιστος άτλας κατασκευασμένος από τον Α. Εστω τώρα ότι Α* είναι μέγιστος άτλας που εμπεριέχει τον Α. Τότε όλοι οι χάρτες του Α*είναι συμβατοί με αυτούς του Α και εκ κατασκευής πρέπει να ανήκουν στον Α. Τελικά Α* Α και επειδή είναι και οι δύο μέγιστοι έχουμε ότι Α*=Α. Παρατήρηση 1.4. Γενικά για να δείξουμε ότι έχουμε δομή διαφορίσιμης πολλαπλότητας αρκεί να δείξουμε ότι ο χώρος είναι Hausdorff και ότι ο χώρος δέχεται δομή C -άτλαντα ο οποίος δεν είναι απαραίτητα μέγιστος. Με r i : R n R θα συμβολίζουμε τις συνήθεις καρτεσιανές συντεταγμένες του R n και τις επαγόμενες συντεταγμένες από τον εκάστοτε χάρτη ως x i = r i ϕ. Πρόταση 1.1. Αν Α={(U a, ϕ α )} και Β={(V β, ψ β )} είναι άτλαντες των λείων πολ/των Μ, Ν αντίστοιχα τότε η συλλογή ΑΒ={(U α V β, ϕ α ψ β )} με ϕ α ψ β : U α V β R n R m αποτελεί άτλα του καρτεσιανού γινομένου M N. Απόδειξη. Αρχικά το γινόμενο M N είναι Hausdorff και second countable με την τοπολογία γινομένου ως υπόχωρος του R m n. Για να δείξουμε ότι η συλλογή

18 4 1.3 Λείες Απεικονίσεις σε Πολλαπλότητες ΑΒ={(U α V β, ϕ α ψ β )} είναι άτλας πρέπει πρώτα να δείξουμε ότι οι δυάδες της μορφής (U α V β, ϕ α ψ β ) είναι χάρτες. Εστω ένα σημείο p = (p M, p N ) M N, ένας χάρτης σε μια γειτονιά του p με έχει τη μορφή (U V, ϕ ψ). Παρατηρούμε ότι ϕ ψ : U V ϕ (U) ψ (V ) R m R n είναι ομοιομορφισμός στην εικόνα του και ως την τοπολογία γινομένου. Μέχρι στιγμής αποδείξαμε ότι ο χώρος M N είναι τοπολογική πολλαπλότητα ως προς την τοπολογία γινομένου με άτλα της μορφής ΑΒ={(U α V β, ϕ α ψ β )}. Μας μένει να δείξουμε ότι ο άτλας ΑΒ έχει C -δομή, έστω λοιπόν δύο χάρτες (U α V β, ϕ α ψ β ) και ( U α V β, ϕ α ψ β) τότε ϕα ψ β ( ϕ α ψ β) 1 = ϕα ψ β (ϕ α) 1 ( ψ β) 1 = ϕ α (ϕ α) 1 ψ β ( ψ β) 1 όπου βλέπουμε ότι είναι όντως C η συνάρτηση μετάβασης. Ακριβώς με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι είναι C και η αντίστροφη συνάρτηση μετάβασης. Πόρισμα 1.1. Εστω Α={(U a, ϕ α )} μεγιστικός άτλας στην πολλαπλότητα Μ. Τότε για κάθε ανοικτό σύνολο U M και ένα σημείο p U υπάρχει συντεταγμένη γειτονιά U a τέτοια ώστε p U a U. Απόδειξη. Εφόσον ο Α είναι μέγιστος άτλας ισχύει ότι Μ = U a και εφόσον p M a a : p U a. Το σύνολο U a = U a U είναι ανοικτό και U a U a, άρα η δυάδα (U a, ) ϕ a U a ) A. Επομένως ο χάρτης (U a = U a U, ϕ a U είναι μια συντεταγμένη γειτονιά γύρω από το a p. Παρατήρηση 1.5. Το σημείο p ήταν αυθαίρετο στην παραπάνω απόδειξη οπότε πάντα όταν έχουμε ένα μέγιστο άτλα έχουμε και μια συντεταγμένη γειτονιά p M. 1.3 Λείες Απεικονίσεις σε Πολλαπλότητες Μια βασική χρήση των χαρτών είναι η μεταφορά εννοιών όπως της συνέχειας και της διαφόρισης των απεικονίσεων από τον ευκλείδειο χώρο σε πολλαπλότητα. Θα δούμε τώρα πώς να κάνουμε τη μεταφορά της έννοιας της διαφόρισης και έπειτα την έννοια της μερικής παραγώγου. Η έννοια της διαφόρισης όπως θα αποδείξουμε είναι μια καλώς ορισμένη έννοια διότι δεν εξαρτάται από την επιλογή χάρτη.

19 1.3 Λείες Απεικονίσεις σε Πολλαπλότητες 5 Ορισμός 1.5. Εστω f : M R μια απεικόνιση και M πολλαπλότητα. Η f είναι λεία απεικόνιση σε κάποιο σημείο p M αν υπάρχει συντεταγμένη γειτονιά (U, ϕ) έτσι ώστε f ϕ 1 : ϕ (U) R να είναι λεία στο σημείο ϕ(p) με την έννοια του ευκλείδειου χώρου. Η απεικόνιση f λέμε ότι είναι λεία στο M αν είναι λεία p M. Παρατήρηση 1.6. Η έννοια της διαφορισιμότητας είναι ανεξάρτητη χάρτη διότι για δύο διαφορετικούς χάρτες (U, ϕ), (V, ψ) και f λεία έχουμε ότι f ψ 1 = f ϕ 1 ϕ ψ 1 η οποία είναι πάλι λεία στο σύνολο U V όμως. Στον ορισμό δεν αναφέρθηκε τίποτα για την συνέχεια της απεικόνισης f διότι είναι πλεονασμός, δηλαδή αν f λεία τότε f = f ϕ 1 ϕ που είναι σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Ορισμός 1.6. Εστω οι απεικονίσεις F : N M και h : M R. Η ανάκληση(pull back) της απεικόνισης h από την F συμβολίζεται ως F h := h F. Παρατήρηση 1.7. Μπορούμε να πούμε ότι μια απεικόνιση f : M R είναι λεία αν και μόνο αν η ανάκλησή της (ϕ 1 ) f από ένα χάρτη (U, ϕ) είναι λεία. Ορισμός 1.7. Εστω η συνεχής απεικόνιση F : N M. Λέμε ότι η F είναι λεία στο p N αν χάρτες (V p, ψ), (U F (p), ϕ) ϕ F ψ 1 : ψ (F 1 (U) V ) R n R m είναι λεία στο ψ(p). Η F λέμε ότι είναι λεία σε όλο το N αν είναι λεία p N. Παρατήρηση 1.8. Βάλαμε τον περιορισμό της συνέχειας στην απεικόνιση F έτσι ώστε να διασφαλίσουμε ότι F 1 (U) είναι ανοικτό, κάτι το οποίο δε χρειάστηκε να γίνει στον ορισμό 1.5 Πρόταση 1.2. Εστω F : N M, G : M K λείες απεικονίσεις και N, M, K λείες πολλαπλότητες, τότε η σύνθεση G F : N K είναι λεία απεικόνιση. Απόδειξη. Εστω χάρτες (V p, ψ), (U F (p), ϕ) και (W G(F (P )), ζ) τότε η σύνθεση ϕ F ψ 1 είναι λεία στο ψ(p) και η σύνθεση ζ G ϕ 1 είναι λεία στο ϕ(ψ(p)). Επομένως η σύνθεση ζ G F ψ 1 = ζ G ϕ 1 ϕ F ψ 1 είναι λεία ως σύνθεση λείων στο ψ(p). Πρόταση 1.3. Εστω (U, ϕ) χάρτης της πολλαπλότητας M, τότε η απεικόνιση ϕ είναι αμφιδιαφόριση.

20 6 1.3 Λείες Απεικονίσεις σε Πολλαπλότητες Για την απεικόνιση ϕ ξέρουμε ότι είναι ομοιομορφισμός στην εικόνα της επομένως μας μένει μόνο ο έλεγχος του αν είναι λεία μαζί με την αντίστροφή της. Εστω χάρτες (U, ϕ), ( ϕ(u), idϕ(u) ) τότε σύμφωνα με τον ορισμό 1.4 για να είναι η ϕ λεία θα πρέπει η σύνθεση id ϕ(u) ϕ ϕ 1 να είναι λεία, που είναι διότι id ϕ(u) ϕ ϕ 1 = id ϕ(u). Αντίστοιχα για την ϕ 1 θα πρέπει ϕ ϕ 1 id ϕ(u) = id ϕ(u) οπότε η ϕ είναι αμφιδιαφόριση. Πρόταση 1.4. Εστω F : M U F (U) R m όπου U ανοικτό και F αμφιδιαφόριση. Η δυάδα (U, F ) είναι χάρτης. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι η δυάδα (U, F ) είναι συμβατή με κάποιο τυχαίο χάρτη που ανήκει σε μια μεγιστική διαφορική δομή A του M. Εστω (U a, ϕ α ) A πρέπει να δούμε εάν οι συναρτήσεις μετάβασης F ϕ 1 α, ϕ α F 1 μεταξύ των χαρτών (U, F ) και (U a, ϕ α ) είναι λείες. Από την πρόταση 1.3 και από υπόθεση έχουμε ότι ϕ α, F είναι αμφιδιαφορίσεις επομένως οι συναρτήσεις μετάβασης F ϕ 1 α, ϕ α F 1 είναι λείες και άρα η δυάδα (U, F ) είναι συμβατή με τη μεγιστική διαφορική δομή A. Λόγω όμως του ότι ο A είναι μεγιστική διαφορική δομή, η δυάδα (U, F ) αναγκαστικά εμπεριέχεται εντός του A. Επομένως η δυάδα (U, F ) είναι χάρτης. Παράδειγμα 1.1. Η απεικόνιση προβολής π : M N M είναι λεία. Εστω (U V, ϕ ψ) χάρτης της πολλαπλότητας M N γύρω από κάποιο σημείο (p, q) M N. Για να είναι λεία πρέπει ϕ π (ϕ ψ) 1 να είναι λεία στο σημείο (ϕ(p), ψ(p)). Εχουμε λοιπόν ϕ π (ϕ ψ) 1 (ϕ(p), ψ(p)) = ϕ(π(p, q)) = ϕ(p) που είναι λεία και επειδή το σημείο p ήταν τυχαίο είναι λεία σε όλο το U V. Παράδειγμα 1.2. Η απεικόνιση εγκλεισμού i q0 : M M N με q 0 N είναι λεία. Εστω οι χάρτες (V q0, ψ = (y i )), (U p, ϕ = (x i )) γύρω από τα p M και q 0 N α- ντίστοιχα. Πρέπει η απεικόνιση ϕ ψ i q0 ϕ 1 να είναι λεία στο ϕ(p). Εχουμε λοιπόν ϕ ψ i q0 ϕ 1 (ϕ(p)) = (ϕ(p), ψ(q 0 )) που είναι λεία στο p M.

21 1.4 Μερικές Παράγωγοι Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1.8. Ορίζουμε τη μερική παράγωγο μιας λείας απεικόνισης f : M R στο χάρτη (U, ϕ = (x i )) γύρω από το σημείο p M ως: x i f := f p x (p) := (f ϕ 1 ) (ϕ(p)) := (f ϕ 1 ) i r i r i (1.1) ϕ(p) f f Παρατήρηση 1.9. Από τον παραπάνω ορισμό παίρνουμε ότι (p) = xi x i (ϕ 1 (ϕ(p)) = (f ϕ 1 ) (ϕ(p)) και χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα έχουμε ότι η απεικόνιση r i f x : M R είναι λεία διότι i (ϕ 1 ) f x = f i x i ϕ 1 = (f ϕ 1 ) είναι λεία. r i Ορισμός 1.9. Εστω F : N M λεία απεικόνιση και οι χάρτες (V p, ψ = (y i )), ( UF (p), ϕ = (x i ) ). Οι απεικονίσεις F i = y i F : N V R καλούνται συνιστώσες της F [ ] F j ως προς το χάρτη (V p, ψ = (y i )) και ο πίνακας ονομάζεται Ιακωμβιανός πίνακας της x i F ως προς τους χάρτες (V p, ψ = (y i )), ( U F (p), ϕ = (x i ) ). Αν dimn = dimm τότε ορίζεται ( ) F j η Ιακωμβιανή ορίζουσα det = (F 1,.., F m ) x i (x 1,..x n ). Πρόταση 1.5. Ο Ιακωμβιανός πίνακας της συνάρτησης μετάβασης μεταξύ δύο χαρτών (V, ψ = (y i )), (U, ϕ = (x i )) γύρω από ένα σημείο p M δίνεται από τον τύπο yj x i (p). Θεώρημα 1.1. (Αντίστροφης Συνάρτησης στον R n ) Εστω F : W R n λεία απεικόνιση και W R m ανοικτό. ( Για κάθε p W η απεικόνιση F είναι τοπικά αντιστρέψιμη στο p αν ) F j και μόνο αν det x i 0. p (Αντίστροφης Συνάρτησης σε Πολλαπλότητα) Εστω F : N M λεία απεικόνιση, dimm = dimn και p N. Υποθέτουμε πως για τους χάρτες (V, ψ = (y i )), (U, ϕ = (x i )) γύρω από το p και το F (p) ισχύει ότι F (V ) U. Τότε η F ( είναι τοπικά αντιστρέψιμη γύρω ) F j από το σημείο p αν και μόνο αν η Ιακωμβιανή ορίζουσα det 0. y i Απόδειξη. Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα 1.1. Εχουμε ότι p

22 8 1.4 Μερικές Παράγωγοι F j y i = (xj F ) p y i = (xj F ψ 1 ) p r i που είναι ο Ιακωμβιανός πίνακας της απεικόνισης ψ(p) ( x j F ψ 1. Εφαρμόζουμε το θεώρημα 1.1 στην παραπάνω απεικόνιση και έχουμε ) (x j F ψ 1 ) ότι det r i 0 αν και μόνο αν η x j F ψ 1 είναι τοπικά αντιστρέψιμη ψ(p) στο ψ(p). Εφόσον οι ϕ, ψ είναι αμφιδιαφορίσεις από την παραπάνω ισότητα παίρνουμε ότι η F είναι τοπικά αντιστρέψιμη.

23 9 2 Εφαπτόμενος χώρος Ο εφαπτόμενος χώρος είναι μια καλή προσέγγιση της πολλαπλότητας τοπικά. Θα ακολουθήσουμε την ενδογενή περιγραφή του εφαπτόμενου χώρου ως το διανυσματικό χώρο των παραγωγίσεων κατά σημείο. Ως παραγώγιση κατά σημείο λέμε την γραμμική απεικόνιση D p : C (M) R τέτοια ώστε D p (fg) = D p (f)g + f(p)(d p g). Ενα εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα σημείο p M είναι μια παραγώγιση στο σημείο αυτό. Το σύνολο των εφαπτόμενων διανυσμάτων κατά σημείο με την πράξη της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού αποκτά δομή διανυσματικού χώρου που τον συμβολίζουμε ως T p M. Η μερική παράγωγος όπως την ορίσαμε για τις πολλαπλότητες x i : Cp (M) R p είναι παραγώγιση κατά σημείο και άρα τη θεωρούμε ως εφαπτόμενο διάνυσμα. 2.1 Το διαφορικό λείας απεικόνισης Ορισμός 2.1. Εστω F : N M λεία απεικόνιση. Καλούμε ως το διαφορικό της F στο σημείο p M την απεικόνιση F,p : T p N T F (p) M X p F,p (X p ) : C F (p)(m) R με F,p (X p ) (f) := X p (f F ) (2.1) όπου f CF (p) (M). Παρατήρηση 2.1. Το διαφορικό είναι μια παραγώγιση στο F (p) και επίσης είναι μια γραμμική απεικόνιση. Αν M = U R m και N = V R n το διαφορικό δίνεται από τον τύπο [F,p ] = F i x j ως προς του χάρτες (V p, ψ = (y i )), ( U F (p), ϕ = (x i ) ) { } που ορίζουν τις βάσεις p y i { p } και. x i F (p)

24 Το διαφορικό λείας απεικόνισης (Το Διαφορικό Αμφιδιαφόρισης είναι ισομορφισμός)αν F : N M είναι αμφιδιαφόριση τότε για p M το διαφορικό F,p : T p N T F (p) M είναι γραμμικός ισομορφισμός. Πόρισμα 2.1. (Διαφορομορφική Αναλλοιώτητα διάστασης)αν U R m είναι διαφορομορφικό με κάποιο V R n τότε n = m. Απόδειξη. Εφόσον είναι διαφορομορφικά υπάρχει αμφιδιαφόριση F : U V τέτοια ώστε το διαφορικό της σε ένα τυχαίο σημείο p U να είναι ισομορφισμός. Γνωρίζουμε επίσης ότι T p R n R n έχουμε λοιπόν ότι R n T p R n T p R n R n άρα m = n. Πρόταση ( 2.1. Εστω χάρτης (U, ϕ = (x i )) γύρω από ένα σημείο p M. Τότε ) ϕ = { } x i r i όπου T ϕ(p) R n = span R. ϕ(p) r i p ϕ(p) Απόδειξη. Για g C p (M) έχουμε ότι ( ) ( ) ϕ (g) = (g ϕ) = x i x i r i (g ϕ ϕ 1 ) = ϕ(p) p p r i (g) ϕ(p) Παρατήρηση 2.2. Εφόσον το ( διαφορικό της ϕ είναι ισομορφισμός, οι βάσεις πάνε σε βάσεις ) και επομένως T p M = span R x i p Πρόταση 2.2. (Πίνακας αλλαγής βάσης) Εστω οι χάρτες (V, ψ = (y i )), (U, ϕ = (x i )) γύρω από ένα σημείο p M. Τότε x i = yk p x i y k. p p ( ) ( ) Απόδειξη. Εχουμε ότι p U V και T p (U V ) = T p M = span R x i = span R p y i p επομένως υπάρχει πίνακας [ A i j(p) ] με A i j(p) R τέτοιος ώστε x j = A i j(p) p y i εφαρ- p μόζοντας την παραπάνω σχέση σε y k παίρνουμε ότι A i j(p) = yk x i. p

25 2.2 Καμπύλες σε πολλαπλότητα 11 Πρόταση 2.3. (Διαφορικό απεικόνισης F : N M) Εστω F : N M λεία απεικόνιση και οι χάρτες (V p, ψ = (y i )), ( U F (p), ϕ = (x i ) ) {. Το διαφορικό F ως προς τις βάσεις } n { } m [ ] και F i έχει αναπαράσταση πίνακα x i y i x (p) όπου F i = y i F. j p i=1 p i=1 Εφόσον το διαφορικό είναι γραμμική ( απεικόνιση για να το προσδιορίσουμε αρκεί να ξέρου- ) με τη δράση του σε μια βάση. F,p x i = (F,p ) j i p y j εφαρμόζουμε την παραπάνω p σχέση στο y k και παίρνουμε ότι (F,p ) k i = yk F x i. p 2.2 Καμπύλες σε πολλαπλότητα Ορισμός 2.2. Μια καμπύλη σε μια πολλαπλότητα είναι μια λεία απεικόνιση γ :]a, b[ M. Καλούμε τα ταχύτητα της καμπύλης γ στο σημείο t ]a, b[ το εφαπτόμενο διάνυσμα ( ) d γ (t ) = γ T γ(t dt )M (2.2) t Πρόταση 2.4. (Ταχύτητα καμπύλης σε χάρτη) Εστω γ :]a, b[ M λεία καμπύλη και ένας χάρτης γύρω από το γ(t ). Τότε γ (t ) = γ(t ) όπου γ i (t ) = x i γ και x i γ i (t ) := dγi dt (t ). Κάθε καμπύλη ορίζει ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο γ(0) = p M ως γ (0). Αντίστοιχα έχουμε ότι κάθε εφαπτόμενο διάνυσμα X T p M είναι το διάνυσμα ταχύτητας μιας καμπύλης που περνάει από το p. Πρόταση 2.5. ( Υπαρξη καμπύλης δεδομένης αρχικής ταχύτητας)για κάθε σημείο p M και X T p M υπάρχει a > 0 και μια λεία καμπύλη γ :] a, a[ M τέτοια ώστε γ(0) = p και γ (0) = X. γ(t ) Χρησιμοποιώντας τις καμπύλες μπορούμε να τώρα να ερμηνεύσουμε τα εφαπτόμενα διανύσματα, που είναι παραγωγίσεις κατά σημείο, ως κατευθύνουσες παραγώγους.

26 Συνεφαπτόμενος χώρος Πρόταση 2.6. Εστω X T p M και f Cp (M). Αν γ :] a, α[ M είναι μια λεία καμπύλη με γ (0) = X και γ(0) = p τότε X(f) = d dt (f γ) (2.3) 0 (Το διαφορικό χρησιμοποιώντας καμπύλες) Εστω F : N M λεία απεικόνιση p N και X T p N. Αν γ : N M λεία καμπύλη με γ (0) = X και γ(0) = p τότε F,p (X) = d dt (F γ) Συνεφαπτόμενος χώρος Σε αντιστοιχία με τον εφαπτόμενο χώρο έχουμε και τον αλγεβρικά δυικό του Tp M := (T p M) = Hom(T p M, R) τα στοιχεία του οποίου λέγονται μορφές και είναι γραμμικές α- πεικονίσεις της μορφής ω p : T p M R. Οπως έχουμε τα διανυσματικά πεδία, έχουμε και τα πεδία των μορφών τα οποία είναι απεικονίσεις που αναθέτουν σε κάθε σημείο p M μια μορφή ω p Tp M. Η πιο σημαντική διαφορά μεταξύ των πεδίων των μορφών και των διανυσματικών πεδίων είναι ότι τα πρώτα μπορούν πάντα να ανακληθούν πίσω ενώ τα δεύτερα δεν μπορούν εν γένει να ωθηθούν προς τα εμπρός. 2.4 Το διαφορικό μιας απεικόνισης Ορισμός 2.3. Αν f C (M) το διαφορικό της f ορίζεται ως η ένα-μορφή df df : T p M R X p df p (X p ) = X p f Πρόταση 2.7. Αν f C (M) τότε F (X p ) = df p (X p ) d dt 2 Η παραπάνω πρόταση είναι σημαντική γιατί μας υποδεικνύει ότι μπορούμε να κάνουμε την κανονική ταυτοποίηση k d dt k και έτσι το f είναι το ίδιο με το df και έτσι πλέον τα αποκαλούμε και τα δύο f(p) διαφορικά της f. p 2

27 2.4 Το διαφορικό μιας απεικόνισης 13 Απόδειξη. Εφόσον f (X p ) T f(p) M υπάρχει αριθμός k τέτοιος ώστε f (X p ) = k d dt f(p) το οποίο εφαρμόζουμε πάνω στο t και έχουμε ότι k = f (X p )(t) = X p (t f) = X p (f) = (df) p (X p ) οπότε f (X p ) = (df) p (X p ) d dt. f(p) Είμαστε σε θέση πλέον να ορίσουμε βάση στο Tp M με τη βοήθεια αυτής του T p M. Εστω χάρτης (U, ϕ = (x i )) γύρω από το p M, τα διαφορικά dx 1 p,.., dx m p είναι ένα-μορφές στο U. { } Πρόταση 2.8. Σε κάθε σημείο p U ισχύει ότι Tp U = span R dx i p και ( ) dx i p = δ x j ij κοινώς η βάση { { } } dx i p είναι δϋική της βάσης. x j p Βασική συνέπεια της παραπάνω πρότασης είναι ότι κάθε ένα-μορφή μπορεί να γραφεί ως ω = ω i dx i p με ω i : U R, έτσι και το διαφορικό μπορεί να γραφεί ως df p = f x i dx i p. p p

28

29 15 3 Διανυσματικές δέσμες Μια Διανυσματική Δέσμη είναι μια συλλογή από διανυσματικούς χώρους, ένας σε κάθε σημείο μιας πολλαπλότητας M, κολλημένοι μεταξύ τους έτσι ώστε τοπικά να φαίνονται σαν καρτεσιανό γινόμενο M R n ενώ ολικά εν γένει δε συμβαίνει αυτό. Βασική εφαρμογή αυτής της δομής είναι η Εφαπτόμενη και Συνεφαπτόμενη Δέσμη. 3.1 Βασικοί ορισμοί και κατασκευές Ορισμός 3.1. Καλούμε ίνα ενός σημείου p M την αντίστροφη εικόνα π 1 (p) := π 1 ({p}) := E p της απεικόνισης π : E M. Καλούμε ως απεικόνιση που διατηρεί τις ίνες κάθε απεικόνιση f : E E τέτοια ώστε, για π : E M και π : E M, f(e p ) E p p M. Πρόταση 3.1. (Απεικονίσεις που διατηρούν τις ίνες) Εστω π : E M και π : E M απεικονίσεις προβολής. Η απεικόνιση f : E E διατηρεί τις ίνες αν και μόνο αν το παρακάτω διάγραμμα μετατίθεται E f π M π E Απόδειξη. = Υποθέτουμε ότι η f διατηρεί τις ίνες. Εστω x E p τότε από υπόθεση f(x) E p και άρα π (f(x)) = p εξ ορισμού της π. Επίσης π(x) = p εξ ορισμού της π. Επομένως π (f(x)) = π(x) = (π f)(x) = π(x) x E p άρα π f = π. = Υποθέτουμε ότι το διάγραμμα μετατίθεται. Εστω x E p από υπόθεση π (f(x)) = π(x) = p = π (f(x)) = p = f(x) E p εξ ορισμού ίνας. Εφόσον ισχύει x E p έχουμε ότι f(e p ) E p. Ορισμός 3.2. Μια επί και λεία απεικόνιση π : E M λέγεται λέγεται τοπικά τετριμμένη και τάξης m αν 1. E p = π 1 (p) έχει τη δομή διανυσματικού χώρου διάστασης m. 2. p M ανοικτή γειτονιά U και μια αμφιδιαφόριση Φ : π 1 (p) {p} R m τέτοια ώστε q U, Φ π 1 (q) : π 1 (q) {q} R m είναι ισομορφισμός διανυσματικών

30 Βασικοί ορισμοί και κατασκευές χώρων. Η δυάδα (U, Φ) ονομάζεται τετριμμενοποίηση του E από το U. Το σύνολο {(U, Φ)} p M, με {U} p M ανοικτό κάλυμμα της M, ονομάζεται τοπική τετριμμενοποίηση για το E. Ορισμός 3.3. Μια λεία διανυσματική δέσμη τάξης m είναι η τριάδα (E, M, π) όπου E, M είναι λείες πολλαπλότητες, π : E M είναι λεία και επί απεικόνιση η οποία είναι και τοπική τετριμμενοποίηση τάξης m. Η πολλαπλότητα E ονομάζεται ολικός χώρος ενώ η M ονομάζεται βάση Δημιουργία χάρτη στην Ε Εστω (E, M, π) λεία διανυσματική δέσμη, (U, ϕ) χάρτης του M και μια τετριμμενοποίηση Φ : E U U R m a Φ(a) = ( π(a), y 1 (a),..., y m (a) ) τότε η απεικόνιση (ϕ id) Φ : E U ϕ(u) R m είναι αμφιδιαφόριση οπότε (E U, (ϕ id) Φ = {x i, y j }) είναι χάρτης με {x i } συντεταγμένες βάσης και {y j } συντεταγμένες ίνας, οι τελευταίες εξαρτώνται μόνο από την τετριμμενοποίηση Φ στο E U και όχι από την τετριμμενοποίηση ϕ στο U Απεικονίσεις Δέσμης Εστω (E, M, π) και (E, M, π ) Διανυσματικές Δέσμες τάξεων n, n. Μια απεικόνιση δέσμης από την E στην E είναι η δυάδα (f, F ) όπου f : M M και F : E E τέτοιες ώστε 1. Το παρακάτω διάγραμμα να μετατίθεται E F π E π M f M

31 3.1 Βασικοί ορισμοί και κατασκευές Η F είναι γραμμική σε κάθε ίνα δηλαδή p M F p : E p E f(p) είναι γραμμική απεικόνιση μεταξύ διανυσματικών χώρων. Παράδειγμα 3.1. Μια λεία απεικόνιση f : N M επάγει μια απεικόνιση δέσμης F : T N T M (p, X) F (p, X) = (f(p), f (X)) {f(p)} T f(p) M (3.1) Παρατήρηση 3.1. Αν M = M τότε μια απεικόνιση δέσμης μπορεί να έχει ως f = id M Ορισμός 3.4. Κάθε Διανυσματική Δέσμη του M που είναι ισομορφική με τη δέσμη γινομένου M R m λέγεται τετριμμένη δέσμη Λείες Τομές Ορισμός 3.5. Μια τομή σε μια Διανυσματική Δέσμη (E, M, π) είναι μια απεικόνιση s : M E π s = id M. E π s M Ενα διανυσματικό πεδίο X στην M είναι μια απεικόνιση η οποία αναθέτει σε κάθε σημείο p M αναθέτει ένα εφαπτόμενο διάνυσμα X p T p M. Σε όρους δέσμης (T M, M, π) ένα διανυσματικό πεδίο είναι μια τομή X : M T M p X(p) = X p T p M (3.2) τέτοια ώστε π X = id M T M π X M Παρατήρηση 3.2. Το σύνολο Γ(E) := {s : M E s λείες} είναι διανυσματικός χώρος επί του R και πρότυπο επί του δακτυλίου C (M).

32 Βασικοί ορισμοί και κατασκευές Λεία Πλαίσια Ορισμός 3.6. Μια συλλογή από τομές s 1,.., s m επί μιας διανυσματικής δέσμης (E, M, π) επί του συνόλου U τέτοια ώστε σε κάθε p U έχουμε ότι E p = span R {s i } m i=1 = π 1 (p) λέγεται πλαίσιο. Η τομή s i είναι λεία, αν είναι λεία ως απεικόνιση s i : U E. Παράδειγμα 3.2. (Συνήθη πλαίσια στον R m ) Εστω M και e 1,.., e m η συνήθης βάση του R m, ορίζοντας την απεικόνιση E i : M M R m p E i (p) = (p, e i (p)) (3.3) έχουμε ότι η συλλογή E 1,.., E m αποτελεί ένα λείο πλαίσιο για τη διανυσματική δέσμη M R m. (Πλαίσιο τετριμμενοποίησης ) Εστω (E, M, π) διανυσματική δέσμη τάξης m. Αν Φ : E U U R m είναι μια τετριμμενοποίηση του E επί του ανοικτού συνόλου U τότε η απεικόνιση Φ 1 : U R m E U E i Φ 1 (E i ) = Φ 1 (p, e i (p)) := t i (p), p U M (3.4) μεταφέρει το λείο πλαίσιο E 1,.., E m της διανυσματικής δέσμης M R m στο νέο λείο πλαίσιο t 1,.., t m της διανυσματικής δέσμης E επί του U. Το πλαίσιο t 1,.., t m καλείται πλαίσιο της τετριμμενοποίησης Φ. Λήμμα 3.1. (Κριτήριο διαφορισιμότητας των τομών) Εστω (E, M, π) διανυσματική δέσμη τάξης n, μια τετριμμενοποίηση Φ : E U U R m και το λείο πλαίσιο αυτής t 1,.., t m. Μια τομή s = s i t i του E U είναι λεία αν και μόνο αν οι απεικονίσεις s i : M R είναι λείες ως προς το πλαίσιο t 1,.., t m. Απόδειξη. Εφόσον t 1,.., t m είναι λείο πλαίσιο και θέλουμε τελικά s Γ(Ε) θα πρέπει s = s i t i και απαραίτητα s i να είναι λείες διότι το Γ(E) αποτελεί πρότυπο επί του C (M). Εστω s = s i t i λεία. Ξέρουμε ότι το πλαίσιο t 1,.., t m είναι λείο άρα και το Φ s είναι

33 3.2 Εφαπτόμενη Δέσμη 19 λείο. E U Φ U R m s Φ s U (Φ s) (p) = Φ s i (p)t i (p) = Φ s i (p)t i (p) = Φ s i (p)t i (p) = s i (p)φ t i (p) = s i (p)φ (t i (p)) = s i (p)φ ( Φ 1 (p, e i (p)) ) = ( p, s i (p)e i (p) ) Παρατήρηση 3.3. Οι απεικονίσεις s i (p) λέγονται και συντεταγμένες ίνας της τομής s(p) ως προς την τετριμμενοποίηση Φ. 3.2 Εφαπτόμενη Δέσμη Η Εφαπτόμενη Δέσμη είναι μια δομή η οποία μας επιτρέπει να παραμετρήσουμε όλους τους εφαπτόμενους χώρους T p M από την ίδια την πολλαπλότητα M. Επίσης είναι μια διανυσματική δέσμη (T M, π, M), η οποία είναι τοπικά τετριμμένη τάξης n, γεγονός που θα δούμε σταδιακά Τοπολογία της Εφαπτόμενης Δέσμης Ορισμός 3.7. (T M ως σύνολο)η Εφαπτόμενη Δέσμη T M της M είναι η διακριτή ένωση όλων των εφαπτόμενων χώρων της M. T M := T p M = {p} T p M (3.5) p M p M Εστω (U, ϕ = (x i )) χάρτης γύρω από το p M τότε T U = p U T pu. Θα φτιάξουμε μια τετριμμενοποίηση Φ από τον προαναφερθέντα χάρτη. Ορίζουμε λοιπόν ως Φ : T U U R m X Φ(X) := ( x i (p), X i (p) ) = (x i π, ϕ ) (X)

34 Εφαπτόμενη Δέσμη και έχει αντίστροφη την Φ 1 : U R m T U (p, X p ) Φ 1 (p, X p ) = X i (p) x i p επομένως η Φ είναι αντιστρέψιμη και έτσι μπορεί να μεταφέρει την τοπολογία από το U R m στο T U. Ενα σύνολο B T U είναι ανοικτό αν και μόνο αν το Φ(Β) είναι ανοικτό στο ϕ(u) R m το οποίο έχει τη συνήθη τοπολογία του R 2m, οπότε με την τοπολογία από την Φ έχουμε ότι T U ϕ(u) R m ομοιομορφικά. Λήμμα 3.2. (Βάση για την τοπολογία του T U)Ορίζουμε ως B := {B B ανοικτό στο T U a, όπου (U a, ϕ α ), χάρτης στην M} i) M, T M = {B B ανοικτό στο T U a, όπου (U a, ϕ α ), χάρτης στην M} ii) Εστω U, U συντεταγμένες περιοχές στην M. Αν C ανοικτό στο T U και C ανοικτό στο T U τότε C C ανοικτό στο T (U U ). Απόδειξη. i) Εστω A = (U a, ϕ α ) μεγιστικός άτλας στην M. T M = a T U a B B B M = T M = B B B ii)επάγουμε στο T (U U ) τοπολογία και έχουμε ότι C T (U U ), C T (U U ) είναι ανοικτά. Ωστόσο C C T U T U = T (U U ). Άρα C C = C C T (U U ) = (C T (U U )) (C T (U U )) δηλαδή το C C είναι ανοικτό. Επομένως το σύνολο B ικανοποιεί τις συνθήκες για να είναι βάση μιας τοπολογίας. Δίνουμε λοιπόν στο T M την τοπολογία που παρέχει η βάση B. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε αν αυτή η βάση είναι μετρήσιμη και αν μας παρέχει την ιδιότητα Hausdorff για την τοπολογία που επάγει στο T M. Λήμμα 3.3. Μια πολλαπλότητα M έχει μετρήσιμη βάση η οποία αποτελείται από συντεταγμένα ανοικτά σύνολα.

35 3.2 Εφαπτόμενη Δέσμη 21 Απόδειξη. Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε τη βάση τοπολογίας B και ένα μεγιστικό άτλα A. Εστω λοιπόν A = (U a, ϕ α ) μεγιστικός άτλας και B = {B i } μια μετρήσιμη βάση για την M. Για p U a υπάρχει B p,a B τέτοιο ώστε p B p,a U a οπότε η συλλογή B p = {B p,a } είναι υποσυλλογή της βάσης B και μετρήσιμη. Συνδυάζοντας τα παραπάνω για ένα τυχαίο ανοικτό σύνολο U M και για p U έχουμε ότι υπάρχει U a τέτοιο ώστε p U a και επομένως p B p,a U γεγονός το οποίο δείχνει ότι B p είναι μια βάση για την M και εξ υποθέσεως μετρήσιμη. Χρησιμοποιώντας το παραπάνω λήμμα θα δείξουμε τώρα ότι η T M έχει μετρήσιμη βάση. Πρόταση 3.2. Η T M έχει μετρήσιμη βάση. Απόδειξη. Εστω {U a } a=1 μια μετρήσιμη βάση της M όπου U a είναι συντεταγμένη περιοχή. Είδαμε ότι T U a U R m R 2m και ξέρουμε ότι κάθε ανοικτό υποσύνολο του R m έχει μετρήσιμη βάση άρα και το T U a έχει μετρήσιμη βάση. Οπότε a επιλέγουμε μια μετρήσιμη βάση {B a.b } b=1 για το T U a. Επομένως το σύνολο {B a.b } a,b=1 είναι μια μετρήσιμη βάση της T M. Πρόταση 3.3. Η T M είναι Hausdorff. Απόδειξη. Για να δείξουμε την διαχωρισιμότητα της T M θα χρειαστεί να δούμε δύο περιπτώσεις διότι τα στοιχεία της X T M είναι τοπικά της μορφής (p, X p ). Εστω λοιπόν X, X T M. i)p = p. Εφόσον ξέρουμε ότι η M είναι Hausdorff τα p, p μπορούν να διαχωριστούν από ξένες μεταξύ τους γειτονιές U, U οπότε και T U T U =. ii)p p. Τα X, X είναι διακριτά σημεία κάποιου T U όπου p, p U με (U, ϕ) κάποιο χάρτη. Εφόσον T U a U R m R 2m και ο R 2m είναι Hausdorff τότε και το T U είναι Hausdorff Η δομή λείας πολλαπλότητας στην ΤΜ Θα δείξουμε πώς μπορούμε να δημιουργήσουμε δομή λείας πολλαπλότητας στην T M από την M. Εστω (T U a, Φ α ) χάρτης επαγόμενος από τον χάρτη (U a, Φ a = (x i )), προφανώς

36 Συνεφαπτόμενη Δέσμη T M = a T U a. Στην ουσία πρέπει να δούμε αν η συνάρτηση μετάβασης είναι λεία στο επίπεδο της δέσμης. Αν λοιπόν ένας άλλος χάρτης (U b, Φ b = (y i )) και (T U b, Φ b ) τότε Φ b Φ 1 a : ϕ a (U a U b ) R m ϕ b (U a U b ) R m (3.6) ( ϕa (p), Xa(p), i.., Xa m (p) ) ( Φ b Φ 1 a ϕa (p), Xa(p), i.., Xa m (p) ) = ( ϕ b (p), Xb(p), i.., Xb m (p) ) όπου X = Xa(p) i x i = Xb i(p) p y i. Λόγω αλλαγής βάσης έχουμε ότι p Xb(p) i = Xa(p) j yi x j = (ϕ b ϕ 1 a p r j ) i ϕa(p) (3.7) ενώ έχουμε ότι ϕ b ϕ 1 a είναι λεία εξ ορισμού. Προκύπτει λοιπόν ότι και η συνάρτηση μετάβασης Φ b Φ 1 a είναι λεία, έτσι το σύνολο A := {(T U a, Φ α )} αποτελεί άτλα της T M. 3.3 Συνεφαπτόμενη Δέσμη Σε αντιστοιχία με την εφαπτόμενη δέσμη ορίζουμε την συνεφαπτομένη δέσμη ως T M := Tp M = {p} Tp M με απεικόνιση προβολής p M p M π : T M M a π(a) = p, a Tp M Δίνουμε τοπολογία όπως στην περίπτωση της εφαπτόμενης δέσμης. Εστω χάρτης (U, ϕ = (x i )) του M γύρω από το p M τότε κάθε a Tp M μπορεί να γραφεί μοναδικά ως γραμμικός συνδυασμός a = a i (a)dx i p. Επομένως έχουμε την 1-1 και επί απεικόνιση Φ : T U ϕ(u) R m a Φ(a) = (ϕ(p), a 1 (a),.., a m (a)) = (ϕ π, a 1,.., a m )(a)

37 3.3 Συνεφαπτόμενη Δέσμη 23 με την οποία μπορούμε να μεταφέρουμε την τοπολογία του ϕ(u) R m στο T U. Για κάθε U κάποιου χάρτη (U, ϕ = (x i )) ορίζουμε το B U ως τη συλλογή των ανοικτών συνόλων του T U και ως B = B U. Το B ορίζει μια βάση τοπολογίας την οποία χρησιμοποιούμε για να ορίσουμε τοπολογία στην T M και μαζί με τις απεικονίσεις Φ ως απεικονίσεις συντεταγμένων η τριάδα (T M, M, π) αποκτά δομή διανυσματικού δέσμης τάξης m επί του M. Αν x i είναι συντεταγμένες στο U M τότε οι π x ι = x ι π είναι συντεταγμένες στο π 1 (U) T M. Οπως τα διανυσματικά πεδία είναι τομές της εφαπτόμενης δέσμης, έτσι και τα πεδία έναμορφών είναι τομές της συνεφαπτόμενης δέσμης δηλαδή για ένα πεδίο ένα-μορφών ισχύει ότι ω : M T M και π ω = id M T M π ω M Σε ένα χάρτη (U, ϕ = (x i )) η τιμή του ω στο p δίνεται ως ω p = a i (p)dx i p, ωστόσο αν το p αρχίσει να μεταβάλλεται οι συντελεστές ( a i (p) γίνονται συναρτήσεις a i U R. Ο χάρτης (U, ϕ = (x i )) επάγει τώρα το χάρτη T U, Φ ) = (x i π, c i ) όπου c i είναι τέτοια ώστε ω = c i (ω)dx i p με ω T p M. Συγκρίνοντας τους συντελεστές έχουμε ότι ω p = a i (p)dx i p = c i (ω)dx i p άρα a i (p) = c i (ω) = c i ω. Τα c i ως απεικονίσεις συντεταγμένων είναι λεία στο T U. Επομένως αν το ω είναι λείο τότε οι συντελεστές a i ως προς το πλαίσιο {dx i } είναι λείοι Ανάκληση μορφών Εστω F : N M λεία απεικόνιση με F,p : T p N T F (p) M, διαφορικό Fp = (F,p ) : TF (p) MT p N Tp N και πεδίο ένα-μορφών ω : N T N. Η ανάκληση του ω μέσο της F είναι ( ( )) F p ωf (p) (Xp ) = ( (F,p ) ( )) ω F (p) (Xp ) = ω F (p) (F,p (X p )) (3.8) με ω F (p) = TF (p) M και X ( ) p T p N. Το Fp ωf (p) ονομάζεται ανάκληση του ω μέσω της F. Παρατήρηση 3.4. Σε αντίθεση με τα διανυσματικά πεδία, τα οποία δεν μπορούμε να τα ω- θήσουμε από οποιαδήποτε λεία απεικόνιση, κάθε πεδίο ένα-μορφών μπορεί να τραβηχτεί πίσω από μια λεία απεικόνιση. Το πρόβλημα βρίσκεται στο ότι το F X είναι καλώς ορισμένο πάντα αν η F Diff(M) και πιο συγκεκριμένα στην ασυμμετρία του ορισμού της συνάρτησης,

38 Η κ-οστή εξωτερική δύναμη για την οποία ένα σημείο του πεδίου ορισμού έχει μοναδική εικόνα ενώ ένα σημείο του πεδίου τιμών δεν έχει εν γένει μοναδική προεικόνα. Ιδιότητες Ανάκλησης: 1. F (dh) = d(f h) 2. F (ω + σ) = F ω + F σ με ω,σ Ω 1 (M) 3. F (gω) = F gf ω με g C (M) Πρόταση 3.4. Η ανάκληση, υπό μια λεία απεικόνιση, ενός πεδίου ένα-μορφών είναι ένα λείο πεδίο μορφών. Εστω F : N M λεία και ω Ω 1. Απόδειξη. Για p N διαλέγουμε χάρτη (U, ϕ = (x i )) γύρω από το F (p). Λόγω συνέχειας της F υπάρχει χάρτης (V, ψ = (y i )) γύρω από το p τέτοιος ώστε F (V ) U. Στο U τώρα έχουμε ότι ω = ω i dx i για κάποια ω i C (U) και F ω = F (ω i dx i ) = (F ω i )(F dx i ) = (ω i F )d(f x i ) = (ω i F ) d(x i F ) = (ω i F ) (xi F ) dy j y j (x i F ) ωστόσο τα ω i F και είναι λεία στο p, επομένως το F ω είναι λείο στο p και y j εφόσον το p είναι αυθαίρετο είναι λείο παντού. 3.4 Η κ-οστή εξωτερική δύναμη Με την εισαγωγή της συνεφαπτόμενης δέσμης μπορούμε να μελετήσουμε μέχρι και έναμορφές, κάτι το οποίο δε μας δίνει την γενική εικόνα. Κατασκευάζοντας την k-οστή εξωτερική δύναμη της συνεφαπτόμενης δέσμης μπορούμε να μελετήσουμε τις κ-μορφές οι οποίες είναι αντισυμμετρικές πολυγραμμικές απεικονίσεις.

39 3.4 Η κ-οστή εξωτερική δύναμη 25 Εστω M πολλαπλότητα διάστασης m, ορίζουμε ως την k-οστή εξωτερική δύναμη της συνεφαπτόμενης δέσμης ως Λ k (T M) := p M Λ k (T p M) = p M A k (T p M) (3.9) με απεικόνιση προβολής π : Λ k (T M) M a π(a) = p, a Λ k (T p M) (3.10) Σε πλήρη αναλογία με τις κατασκευές χάρτη στις ήδη γνωστές δέσμες, κατασκευάζουμε και εδώ χάρτη στο ανοικτό υποσύνολο U M. Εστω χάρτης (U, ϕ) τότε υπάρχει αντιστρέψιμη απεικόνιση Φ : Λ k (T U) ϕ(u) R (m k) (ϕ(p), {c I (a)} I ) όπου a = c I (a)dx I p Λ k (T p U) και I = {1 i 1 <... < i k m}. Με την απεικόνιση Φ μπορούμε να δώσουμε τοπολογία στο Λ k (T M) και τελικά έχουμε ότι ( Λ k (T M), π, M ) είναι μια C διανυσματική δέσμη τάξεως ( m k ). Οι διαφορικές κ-μορφές ορίζονται ως τομές αυτής της διανυσματικής δέσμης και για να είναι λείες πρέπει να είναι λείες ως τομές. Ορίζουμε το Ω κ (M) = Γ(Λ k (T M)) ως το διανυσματικό χώρο των λείων τομών της διανυσματικής δέσμης Λ k (T M) Ανάκληση κ-μορφών Μια γραμμική απεικόνιση L : V W όπου V, W διανυσματικοί χώροι, επάγει την απεικόνιση ανάκλησης L : A k (W ) A k (V ) ως (L a)(v 1,.., v k ) = a(l(v 1 ),.., L(v k )) με A k (V ), A k (W ) χώρος των κ-γραμμικών εναλλασσόμενων συναρτησιακών των διανυσματικών χώρων V, W αντίστοιχα, a A k (W ) και v i V. Για L = (F,p ) = F με F : N M λεία και ( F ω F (p) ) (v1,.., v k ) = ω F (p) (F,p (v 1 ),.., F,p (v k )) με v i T p N το οποίο είναι η κ-μορφή στο

40 Τανυστική Δέσμη N. Την ανάκληση μπορούμε να τη δούμε και ως T p N.. T p N F.. F TF (p) N.. T F (p) N ω F (p) R (3.11) Παρατήρηση 3.5. Η απεικόνιση ανάκλησης για τις κ-μορφές, όπως και για τις 1-μορφές, είναι γραμμική F (ω + ατ) = F ω + αf τ με ω,τ Ω κ (M) και α R Το σφηνοειδές γινόμενο Το γινόμενο σφήνα είναι μια απεικόνιση : Λ k (T M) Λ k (T M) Λ k+k (T M) που ορίζεται ως (ω τ) (v 1,..v k+k ) = (sgnσ) ω(v σ(1),..v σ(k) )τ(v σ(k+1),..v σ(k+k )) (3.12) με ω Λ k (T M) και τ Λ k (T M). γινόμενο σφήνας και ισχύει F (ω τ) = F ω F τ. Η απεικόνιση ανάκλησης είναι συμβατή με το Ορίζουμε ως το διανυσματικό χώρο όλων των λείων διαφορικών μορφών σε μια πολλαπλότητα M διάστασης m ως Ω (M) := m k=0 Ωk (M), το οποίο σημαίνει ότι κάθε ω Ω (M) μπορεί να γραφεί μοναδικά ως ω = m k=0 ω k με ω k Ω k (M). Ο χώρος (Ω (M), ) γίνεται μια βαθμωτή άλγεβρα με βαθμό αυτόν των διαφορικών μορφών. 3.5 Τανυστική Δέσμη Η τανυστική δέσμη είναι η πιο γενική κατασκευή που μπορεί να προκύψει από ένα διανυσματικό χώρο, τον αλγεβρικά δυικό του και τα γινόμενα του. Με τη δέσμη αυτή είμαστε σε θέση να γενικεύσουμε την έννοια του κ-διανυσματικού πεδίου και των πεδίων των κ-μορφών. Ορίζουμε ως τανυστική δέσμη το σύνολο Ts r (M) := Ts r (T M) = (T M) r (T M) s. Ορισμός 3.8. Ενα τανυστικό πεδίο τύπου (r, s) στο ανοικτό σύνολο U M είναι μια τομή του Ts r (U). Παρατήρηση 3.6. Συσχετίζοντας τα ήδη γνωστά μας αντικείμενα με την έννοια του τανυστικού πεδίου έχουμε ότι 1) Ενα πεδίο μιας s-μορφής είναι τανυστικό πεδίο τύπου (0,s)

41 3.5 Τανυστική Δέσμη 27 2) Ενα r-διανυσματικό πεδίο είναι τανυστικό πεδίο τύπου (r,0) 3) Ενας μετρικός τανυστής είναι ένα τανυστικό πεδίο τύπου (0,2) Η έκφραση ενός τανυστικού πεδίου { (r, s) σε χάρτη (U, ϕ = (x i )) είναι με τη βοήθεια της επαγώμενης από το χάρτη βάσης x.. } i 1 x dxj 1.. dx js με ir 1 i 1..i r m και 1 j 1..j s m όπου m = dimm. Επομένως κάθε τανυστικό πεδίο T τύπου (r, s) μπορεί να γραφεί ως T = T i 1..i r j 1..j s x.. i 1 x dxj 1.. dx js (3.13) ir ( ) με T i 1..i r j 1..j s = T x,.., j 1 x, dxi 1,.., dx ir. js Ενα συναλλοίωτο τανυστικό πεδίο (0,s) ορίζει φυσικά μια λεία πολυγραμμική απεικόνιση T : s 1T M C (M) και ισχύει και το αντίστροφο. Ενα πεδίο r-μορφής μπορεί να ταυτιστεί με μια λεία αντισυμμετρική πολυγραμμική απεικόνιση ω : r 1T M C (M). Κάθε διαφορομορφισμός f : M N επάγει ένα ισομορφισμό δέσμης f : T N T M οπότε ένας διαφορομορφισμός επάγει μια γραμμική απεικόνιση f : Ts r (M) Ts r (N) την οποία ονομάζουμε κατά τα γνωστά απεικόνιση ώθησης. Γενικότερα η ομάδα Dif f(m) δρα φυσικά και γραμμικά στο T r s (M). Αντίστοιχα έχουμε και την απεικόνιση ανάκλησης f : T r s (N) T r s (M). Ειδικότερα αν f Diff(M) τότε f = (f 1 ). Τέλος υπάρχει και ο τελεστής ίχνους tr : T r+1 s+1 (M) T r s (M) που ορίζεται ως tr [(X 0.. X r ) (ω 0.. ω s )] = ω 0 (X 0 )(X 1.. X r ω 1.. ω s ) (3.14) με X i T M, ω i Ω 1 (M) και σε χάρτη έχει τη μορφή tr ( T i 0,..,i r j 0,..,j s ) = T i 1,..,i r j 1,..,j s.

42

43 29 Μέρος II Γεωμετρία της Εφαπτόμενης Δέσμης Για τη μελέτη της γεωμετρίας της δέσμης (T M, π, M) χρειαζόμαστε τη λεγόμενη κάθετη υποδέσμη V T M και την υπό-ανάκληση δέσμη π (T M). Για την ακρίβεια χρειαζόμαστε μια από τις παραπάνω υποδέσμες διότι, όπως αποδεικνύεται είναι ισόμορφες και έτσι επιλέγουμε την V T M. Σε αυτό το μέρος θα παρουσιάσουμε όλα τα εργαλεία που χρειαζόμαστε για να μελετήσουμε τις πτυχές της γεωμετρίας στην εφαπτόμενη δέσμη όπως παρουσιάζεται από το [2]. 4 Κάθετη υποδέσμη Σε ό,τι κάνουμε σχετικό με τις συνοχές αργότερα θα χρειαστούμε την έννοια του εφαπτόμενου χώρου σε σημείο της εφαπτόμενης δέσμης. Αν u T M τότε ως T u T M ορίζουμε τον ε- φαπτόμενο χώρο της εφαπτόμενης δέσμης στο σημείο u και dimt u T M = 2dimM = 2m. { } Ενας χάρτης (T U, Φ = (x i, y i )) επάγει τη βάση x i, u y i u κατόπιν αλλαγής χάρτη σε (T U, Φ = (x i, y i )) γίνεται { x j x i ( ) x j και rank x i = m. u u x j + y j u x i u y j, x j u x i y i i=1,..,m } u i=1,..,m στην T u T M η οποία (4.1)

44 30 Αν X u T u T M τότε το X u έχει την εξής αναπαράσταση σε χάρτη X u = X i (u) x i + Y i (u) u y i (4.2) u Το οποίο υπό αλλαγή χάρτη παίρνει τη μορφή ( ) x X u j = x i X i u x j ( ) y j + u x i X i + x j u x i Y i y i (4.3) u Το T T M είναι εφοδιασμένο με δύο απεικονίσεις προβολών, η μια είναι η φυσική προβολή t : T T M T M και η άλλη είναι η γραμμική απεικόνιση (x, y, X, Y ) t(x, y, X, Y ) = (x, y) π : T T M T M (x, y, X, Y ) π (x, y, X, Y ) = (x, X) Η βασική χρήση αυτών τον προβολών θα φανεί αργότερα, όταν έχουμε μια τομή της δέσμης (T M, π, M) η οποία είναι ταυτόχρονα τομή των (T T M, π, M) και (T T M, t, M) τότε η τομή αυτή είναι ένα διανυσματικό πεδίο δευτέρας τάξεως που ονομάζεται semispray, το οποίο θα παίξει σημαντικό ρόλο στη γεωμετρική μοντελοποίηση των διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξεως. Η δυο-μορφή N K := 1 [K, K] ονομάζεται τανυστικό πεδίο Nijenhuis και έχει τιμή για το 2 τανυστικό πεδίο Κ τύπου (1,1) 1 2 [K, K](X, Y ) = [K(X), K(Y )] + K2 [X, Y ] K[X, K(Y )] K[K(X), Y ] (4.4) Το τανυστικό πεδίο N K είναι τύπου (1,2) και αντισυμμετρικό. Αν N k = 0 τότε το τανυστικό πεδίο Κ είναι ολοκληρώσιμο.

45 31 Η προβολή π : T M M επάγει μια φύλλωση στην T M με φύλλα τις ίνες T p M = π 1 (p) με dimπ 1 (p) = m. Αν (x i, y i ) συντεταγμένες της δέσμης T M τότε τα y i είναι οι συντεταγμένες πάνω στο εκάστοτε φύλλο ενώ οι x i είναι οι κάθετες συντεταγμένες. Με τη βοήθεια αυτής της φύλλωσης επάγεται μια ολοκληρώσιμη κατανομή V : T M V u T M με u T M όπου V u T M είναι εφαπτόμενοι χώροι στα φύλλα π 1 (p). Ο χώρος V u T M ονομάζεται κάθετη κατανομή της εφαπτόμενης δέσμης. Αποδεικνύεται ότι V u T M = ker(π,u ) διότι ο πυρήνας της γραμμικής απεικόνισης είναι ένας κάθετος υ- πόχωρος π,u : T u T M T π(u) M. Επομένως ο χώρος V u T M = u T M V u T M είναι υποδέσμη της (T T M, τ, T M) ( την οποία ) αποκαλούμε κάθετη υποδέσμη. Η δέσμη V T M έχει ίνες τις V u T M = span R y i με dimv u T M = m. Τα γεωμετρικά αντικείμενα u που ορίζονται στην κάθετη υποδέσμη θα τα ονομάζουμε διακεκριμένα γεωμετρικά αντικείμενα ( d geometric objects ). Το σύνολο όλων των κάθετων διανυσματικών πεδίων X = X i (x, y) θα το συμβολίζουμε ως χ u (T M). Ισχύει ότι το χ u (T M) είναι μια πραγματική Lie Άλγεβρα, διότι αν X, X χ u (T M) τότε [X, X ] χ u (T M) και είναι y i υποάλγεβρα της άλγεβρας (χ(t M), [, ]). Το πιο σημαντικό κάθετο διανυσματικό πεδίο είναι το C = y i το οποίο ονομάζεται διανυσματικό πεδίο Liouville και ορίζεται καθολικά. yi Αντίστοιχα ορίζουμε και τη δϋική της T u T M ως TuT M με βάση {dx i u, dy i u } i=1,..,m η { } οποία είναι και δϋική της x i, u y i. Σε αλλαγή χάρτη έχουμε ότι u i=1,..,m } {d x i = xi x j dxj, dỹ i = xi x j dyj + ỹi x j dxj i=1,..,m (4.5) Σε κάθε σημείο u T M, span(dx i u ) = V u T M T T M και έτσι μπορούμε να καθορίσουμε μια ομαλή m-διάστατη ολοκληρώσιμη κατανομή V : T M V u T M. Ορισμός 4.1. Το διανυσματικό πεδίο Y χ(t M) είναι συμμετρία της κάθετης κατανομής V T M αν [X, Y ] χ u (T M) X χ u (T M) Πρόταση 4.1. Ενα διανυσματικό πεδίο Y = Y i (x, y) x + Ỹ i (x, y) είναι συμμετρία i y i της κάθετης κατανομής αν και μόνο αν Y i = Y i (x) δηλαδή το Y προβάλλεται στο M, π Y = Y i (x) x. i

46 32 Ορίζουμε ως J την εφαπτόμενη δομή της εφαπτόμενης δέσμης ή οποία κάνει την ακολουθία 0 V T M i T T M J V T M 0 (4.6) ακριβή και kerj = Imi = V T M. Σε χάρτη η δομή J έχει τη μορφή J = y J ( ) i dxi x = ( i ) J = 0 y i y i (4.7) Ιδιότητες : 1. J 2 = 0 2. kerj = Imi = V T M 3. Δρα γραμμικά στα διανυσματικά πεδία X T M Ο τανυστής Nijehuis για το J είναι N J (X, Y ) = [JX, JY ] J[X, JY ] J[JX, Y ] X, Y χ(t M) το οποίο προφανώς είναι N J (X, Y ) = 0 που σημαίνει ότι το J είναι ολοκληρώσιμο. Αντίστοιχα μπορούμε να ορίσουμε την συνεφαπτόμενη δομή J η οποία δρα στις έναμορφές ως εξής J = dx i y i Για την J ισχύει επίσης ότι N J J (dy i ) = dx i J (dx i ) = 0 (4.8) = 0 συνεπώς είναι και αυτή ολοκληρώσιμη. Οι δομές J, J ορίζονται καθολικά και συνδέονται μέσω της σχέσης J df(x) = J(X)(f) με f C (T M). Για τυχαίο X χ(t M) ο μεταθέτης F rolicker-nijehuis των X, J συνδέονται ως [X, J ] = [X, J]. Τέλος το J μπορεί να επεκταθεί σε μια F(T M) γραμμική απεικόνιση στο Λ k (M) ως με ω Λ k (Μ). (J (ω)) (X 1, X 2,.., X k ) = ω (J(X 1 ),.., J(X k )) (4.9)

47 4.1 Κάθετη και πλήρης ανύψωση Κάθετη και πλήρης ανύψωση Για τη μελέτη της γεωμετρίας της T M χρειάζεται να μεταφέρουμε κάπως πολλά γεωμετρικά αντικείμενα από την M στην T M. Η μεταφορά αυτή επιτυγχάνεται με τη τις φυσικές απεικονίσεις κάθετης(vertical) και πλήρους(complete) ανύψωσης(lif t). Ως κάθετη ανύψωση ορίζουμε την γραμμική απεικόνιση l v,u : T π(u) M V u T M X i (π(u)) x i X i (π(u)) u y i u η οποία είναι και ισομορφισμός. Αν X χ(t M) τότε θα συμβολίζουμε την κάθετη άρση του ως X v χ v (T M) και σε χάρτη τα παραπάνω παίρνουν τη μορφή X = X i, X v = (X i ) v (4.10) x i y i Για μια συνάρτηση f F(M) ορίζουμε την κάθετη ανύψωση της ως f v := f π. Υπάρχει μια συγκεκριμένη κατηγορία συναρτήσεων οι οποίες παίρνουν σταθερή τιμή πάνω στα φύλλα της κάθετης κατανομής και λέγονται βασικές συναρτήσεις. Αυτές ορίζονται ως f := f v όπου f F(M), δηλαδή μια βασική συνάρτηση είναι η κάθετη ανύψωση μιας τυχαίας συνάρτησης της M. Η πλήρης ανύψωση μιας συνάρτησης f F(M) ορίζεται σε χάρτη ως f c := y i f x. i Αντίστοιχα η πλήρης ανύψωση ενός διανυσματικού πεδίου X χ(m) ορίζεται σε χάρτη ως X c = (X i ) c x + i (Xi ) v.με ανάλογο τρόπο ορίζουμε την κάθετη και πλήρη ανύψωση yi μιας ένα-μορφής ω = ω i dx i Λ 1 (M) ως ω v := (ω i ) v dy i και ω c := (ω i ) c dx i + (ω i ) v dy i. Η εφαπτόμενη και συνεφαπτόμενη δομή συνδέονται με τις ανυψώσεις μέσω της παρακάτω πρότασης. Πρόταση 4.2. Εστω μια συνάρτηση f F(M) και ένα διανυσματικό πεδίο X χ(t M) τότε 1)Η f είναι η κάθετη ανύψωση κάποιας συνάρτησης αν και μόνο αν J (df) = 0