Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Transcript

1 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f b) f : R R f y, ( +, y ) με ( ) a+ b a+ d c) f : P M με f ( a + b + c + d ) d + ba d) f : R R f yz,, y+ z με ( ) e) f : R R με f y y Οι γραμμικές συναρτήσεις θα πρέπει να ικανοποιούν τις σχέσεις f( + y) f( ) + f( y) f ( a) af ( ) για κάθε διάνυσμα,y, και για κάθε πραγματικό αριθμό α. Επίσης μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι μία γραμμική συνάρτηση θα πρέπει να απεικονίζει υποχρεωτικά το μηδενικό στοιχείο του πρώτου χώρου στο μηδενικό στοιχείο του δεύτερου χώρου, για να δείξουμε με γρήγορο τρόπο ότι μία συνάρτηση, που δεν ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη, δεν είναι γραμμική. a) Αρχικά ελέγχουμε αν η f απεικονίζει το O του R, δηλ. το (,,), στο O του R, δηλ. στον εαυτό του. Όντως αυτό ισχύει καθώς: f Δεν μπορούμε ακόμη να αποφανθούμε για τη γραμμικότητα της f, οπότε καταφεύγουμε στον ορισμό. Είναι:

2 y + y + y y f( + y) f y f y y y y y + y f + f y y f( ) + f( y) και a a f ( a) f a f a a a af af ( ) a Επομένως η f είναι γραμμική b) Αρχικά ελέγχουμε αν η f απεικονίζει το O του R, δηλ. το (,,), στο O του R, δηλ. στον εαυτό του. + + Είναι f( ) +, επομένως μπορούμε να αποφανθούμε ότι η συνάρτηση f δεν είναι γραμμική. c) Αρχικά ελέγχουμε αν η f απεικονίζει το O του P, δηλ. το + + +, στο O του M, δηλ. στο Είναι f (, ) (, ) (, ), επομένως μπορούμε να αποφανθούμε ότι η συνάρτηση f δεν είναι γραμμική. d) Αρχικά ελέγχουμε αν η f απεικονίζει το O του δηλ. στο. Όντως αυτό ισχύει καθώς: f, ( ) R, δηλ. το (,,), στο O του R, Δεν μπορούμε ακόμη να αποφανθούμε για τη γραμμικότητα της f, οπότε καταφεύγουμε στον ορισμό. Είναι: y + y f( + y) f y f y + + ( + y) ( + y) + ( + y) y y + y ( + ) + ( y y + y) f f y + f( ) + f( y) y και

3 a f ( a) f a f a a a + a a + af af ( ) ( ) a Επομένως η f είναι γραμμική e) Αρχικά ελέγχουμε αν η f απεικονίζει το O του στο. Όντως αυτό ισχύει καθώς: f,, + ( ) R, δηλ. το (,), στο O του R, δηλ. Δεν μπορούμε ακόμη να αποφανθούμε για τη γραμμικότητα της f, οπότε καταφεύγουμε στον ορισμό. Είναι: y + y f( + y) f f ( y)( y) + y + + y + ενώ y f( ) + f( y) f f yy ( y)( y) y Επομένως η f δεν είναι γραμμική.. Βρείτε τον πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού f : R R με f + + Επειδή δεν αναφέρεται συγκεκριμένη βάση, εννοείται η κανονική και για τον R. Για τον R η κανονική βάση είναι η:,, Για τον R η κανονική βάση είναι η:,,, Βρίσκουμε τις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης του R R και για τον

4 C f C f C f Θα πρέπει στη συνέχεια να βρούμε τις συντεταγμένες των παραπάνω διανυσμάτων ως προς τη βάση του R. Επειδή όμως χρησιμοποιούμε την κανονική βάση του R οι συντεταγμένες ταυτίζονται με τις συνιστώσες των διανυσμάτων, επομένως: [ f] [ C C C]. Έστω ένας γραμμικός μετασχηματισμός T : R R. Δίνεται ότι T(,, ) (,, ), T(,,) (,, ), T(,,) (6,, ) Να υπολογίσετε τα T (,,) και T (,, ) Αρχικά ελέγχουμε με απαλοιφή Gauss αν τα διανύσματα (,,), (,,),(,,) είναι γραμμικά ανεξάρτητα: r r r r r + r Επειδή δεν προέκυψε μηδενική γραμμή στον τελικό πίνακα τα διανύσματα είναι πράγματι γραμμικά ανεξάρτητα. Επίσης επειδή επιπλέον το πλήθος τους είναι, αποτελούν βάση του χώρου R. Στη συνέχεια πρέπει να αναλύσουμε τα διανύσματα (,,) και (-,,) ως προς τη βάση αυτή. Γενικά ένα τυχαίο διάνυσμα ( yz,, ) R γράφεται ως προς τη συγκεκριμένη βάση ως: yz,, a,, + b,, + c,, yz,, a+ ca, + bb, + c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a+ c y a + b z b + c

5 5 για κάποια abc.,, Λύνουμε με απαλοιφή Gauss το σύστημα που προέκυψε, ως προς abc,, r r r r r r y y y z z z y+ Έτσι παίρνουμε το ισοδύναμο σύστημα: a+ c b c y c y+ z το οποίο δίνει με προς τα πίσω αντικατάσταση: + y z, + y + a b z, c y + z δηλ. + yz + y+ z y+ z ( yz,, ) (,, ) + (,,) + (,,) Έτσι θα είναι (,, ) (,, ) + (,,) + (,,) (,, ) + (,,) + (,,) Επίσης + ( ) (,, ) (,, ) + (,,) + (,,),, +,, +,, ( ) ( ) ( ) Τελικά θα έχουμε: T(,, ) T(,, ) + T(,,) + T(,,) (,, ) + (,, ) + ( 6,, ) 9 8,, και T,, T,, + T,,, 5,7 ( ) ( ) ( ) ( ). Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R M με a b+ c 5c T( ab,,c) a 7a 6b+ c Να υπολογιστεί η αντίστροφη εικόνα του πίνακα v 6, δηλ. το T () v

6 6 Ζητείται το υποσύνολο του Πρέπει να υπολογίσουμε τα u, u, u ώστε Tu (, u, u) v R του οποίου κάθε στοιχείο έχει εικόνα τον Έχουμε u u + u 5u u 7u 6u u 6 + u u + u 5u u 6 7u 6u + u Λύνουμε το σύστημα: r r r r r+ r r r r r+ r r r r Επομένως το σύστημα είναι αδύνατο, οπότε δεν υπάρχει στοιχείο του εικόνα να είναι ο πίνακας v 6 Άρα T () v u R: Tu () v { } 5. Να υπολογισθεί η σύνθεση T των Γραμμικών Μετασχηματισμών : P M με και c d + a ba Tab (, ) a b b ( a b ) ( a b ) ( a + b + c + d ) b d + c v 6 R του οποίου η T : R P και

7 7 T : R M u u ( T) T ( u+ u + u+ ( u+ u) + ( u u) ) u u ( ) ( u + u ) ( u u ) + u + u u u + u u ( u u) + ( u+ u) u+ 5u u+ u u u u + 6. Να βρεθεί ο πυρήνας του ακόλουθου Γραμμικού Μετασχηματισμού: T : R + T Tu ( ) u u + u u u + u+ u + u u+ u u u + u u + u u + u + u u+ u R με

8 8 5 5 r r+ r r r+ r r rr r r+ 5r r r r r r + r Δεν υπάρχει ελεύθερη μεταβλητή. Επομένως το ομογενές σύστημα έχει μοναδική λύση, τη μηδενική και η διάσταση του πυρήνα είναι: dim KerT Δηλαδή KerT 7. Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R με T(, y, z) ( y, y,7 y) a) Αφού δείξετε ότι το σύνολο { v (,, ), v (,, ), v (,, )} αποτελεί βάση του R, να βρεθεί ο πίνακας αναπαράστασης [ T ] ως προς τη βάση αυτή b) Δείξτε πως από τον πίνακα [ T ] προκύπτει ο αρχικός τύπος του μετασχηματισμού a) Επειδή το αποτελείται από διανύσματα του χώρου R, αρκεί να δείξουμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα για να αποτελούν βάση του R. Γράφουμε τα διανύσματα ως γραμμές ενός πίνακα και εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss: r r r r r r r r r Επειδή δεν προέκυψε μηδενική γραμμή, τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και άρα αποτελούν βάση του R. Στη συνέχεια βρίσκουμε τις συντεταγμένες του τυχαίου διανύσματος ( yz,, ) του R ως προς τη βάση { v, v, v } :

9 9 (, y, z) av + bv + cv (, y, z) a(,, ) + b(,, ) + c(,, ) a+ b+ c y a c z a + b + c Λύνουμε το σύστημα ως προς abc,, και παίρνουμε: a ( z) 5 b + y+ z c yz Άρα (, y, z) ( z) v y+ z v + ( yz) v για κάθε,y,z () Στη συνέχεια βρίσκουμε τις εικόνες των διανυσμάτων βάσης από τον τύπο του μετασχηματισμού: Tv ( ) T(,, ) (, 9,) Tv ( ) T(,, ) (,, 7) () Tv ( ) T(,, ) (,7,9) Εφαρμόζοντας στις σχέσεις () την (), γράφουμε τις εικόνες των v,v,v ως γραμμικό συνδυασμό της βάσης : 5 Tv ( ) v v + v 5 Tv ( ) v+ v 8v 5 7 Tv ( ) v+ v v Γράφουμε τις συντεταγμένες του κάθε διανύσματος ως στήλες του πίνακα αναπαράστασης και παίρνουμε: [ T ] 8 b) Γενικά ισχύει ότι Tv () [ T] B, B v [ ] [ ] B B Στην περίπτωσή μας B B οπότε είναι [ Tv] T [ v] () [ ] Για το τυχαίο v yz R (,, ) η () δίνει

10 ( z) 5 ρ() v ρ(, yz, ) + y+ z yz Πολλαπλασιάζοντας με τον πίνακα αναπαράστασης παίρνουμε: ( ) z 7 5 [ T] [ v] + y+ z 5y 8 yz 8+ y To αποτέλεσμα αυτό είναι το [ Tv ( )], δηλαδή οι συντεταγμένες του Tv () ως προς τη βάση Έτσι τελικά θα έχουμε: 5 Tv () T(, yz, ) ( v ) + 5y v + ( 8+ y) v 5 ( )(,, ) + 5 y (,, ) + ( 8+ y) (,, ) ( y, y,7 y) 8. Έστω η γραμμική συνάρτηση f : R R με f(, y, z) ( + yz, y+ 5 z, + z) και έστω οι βάσεις του {(,,),(,,),(,,) }, {(,,),(,, ),(,, ) } Να υπολογιστούν οι πίνακες μετάβασης a) P και b) P R : a) Βάση του ορισμού, αναλύουμε τα διανύσματα της ως προς τα διανύσματα της : a+ b c (,, ) a(,,) + b(,, ) + c(,, ) a b a, b 5, c a + b c

11 a+ b c (,,) a(,,) + b(,, ) + c(,, ) a b a, b, c a + b c a+ b c (,,) a(,,) + b(,, ) + c(,, ) a b a, b, c a + b c Έτσι P 5 b) Αντίστοιχα αναλύουμε τα διανύσματα της ως προς τα διανύσματα της : a+ b (,,) a(,, ) + b(,,) + c(,,) a+ c a, b, c b + c a+ b (,, ) a(,, ) + b(,,) + c(,,) a+ c a, b, c b + c a+ b (,, ) a(,, ) + b(,,) + c(,,) a+ c a, b, c b + c Έτσι 5 P 5 5 ή διαφορετικά P P 9. Έστω η γραμμική συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε να ισχύει f (,, ) (,, ), f (,,) (,,) και f (,, ) (,, ). Δίνονται δύο βάσεις του {(,, ),(,,),(,,)} και {(,, ), (,, ), (,, )} a) Να βρεθεί ο τύπος της f( yz,, ) R :

12 b) Να υπολογισθούν οι πίνακες αναπαράστασης [ f],[ f], [ f], [ f ],, c) Αν η f αντιστρέφεται να βρεθεί ο τύπος της a) Αρχικά ελέγχουμε αν τα διανύσματα (,,), (,,) και (,,) αποτελούν βάση του R. Επειδή το πλήθος τους είναι όσο και η διάσταση του χώρου, αρκεί να δείξουμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Τα γράφουμε ως γραμμές σε ένα πίνακα και εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss: r r r Επειδή δεν προέκυψε μηδενική γραμμή, τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως αποτελούν βάση του R Εκφράζουμε το τυχαίο διάνυσμα ( yz,, ) R ως προς αυτή τη βάση: a (, y, z) a(,, ) + b(,,) + c(,, ) y a+ b+ c z b + c Λύνουμε ως προς abc,, και παίρνουμε: a, b + y zc, y+ z δηλ. ( yz,, ) (,, ) + ( + y z) (,,) + ( y+ z) (,, ) Έχουμε λοιπόν f(, y, z) f(,, ) + ( + y z) f(,,) + ( y+ z) f(,, ) (,, ) + ( + yz) (,,) + ( y+ z) (,, ) f(, y, z) ( + yz,, y + y ) z () b) Για να πάρουμε τον πίνακα [ f ], αρχικά υπολογίζουμε από τη σχέση () τις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης : f (,,) (5,,) f (,, ) (8, 7,) () f (,,) (6, 8,) Έπειτα εκφράζουμε το τυχαίο διάνυσμα ( yz,, ) R ως προς τη βάση : a b+ c ( yz,, ) a(,, ) + b(,, ) + c(,, ) y a+ b+ c z a + b + c Λύνουμε ως προς abc,, και παίρνουμε: a ( 8y+ 5 z), b ( 5 + y+ z), c ( + y z) () Εφαρμόζουμε τις σχέσεις () στις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης παίρνουμε: f

13 9 8 (5,, ) α, b, c 96 (8, 7,) α, b, c (6, 8,) α, b, c Επομένως 9 5 [ f ], Για να πάρουμε στη συνέχεια τον πίνακα [ f ], αρχικά υπολογίζουμε από τη σχέση () τις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης : f (,, ) (,, ) f (,, ) (,, ) f (,,) (,, ) Εκφράζουμε το τυχαίο διάνυσμα () ( yz,, ) R ως προς τη βάση : abc (, y, z) a(,, ) + b(,, ) + c(,,) y a+ b+ c z a + c Λύνουμε ως προς abc,, και παίρνουμε: a ( + y+ z), b ( + 5y 7 z), c ( 6 y+ 5z) (5) Εφαρμόζουμε τις σχέσεις (5) στις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης παίρνουμε 65 8 (,, ) α, b, c 8 (,, ) α, b, c (,, ) α, b, c Επομένως [ f ], Για να πάρουμε στη συνέχεια τον πίνακα [ f ], ο οποίος γράφεται και ως αναλύουμε τις εικόνες της βάσης ως προς τα διανύσματα της. Εφαρμόζοντας τις σχέσεις (5) στις () παίρνουμε: [ f ],,

14 5 (5,, ) α, b, c 59 6 (8, 7,) α, b, c (6, 8,) α, b, c Επομένως 59 9 [ f ] Για να πάρουμε τέλος τον πίνακα [ f ], ο οποίος γράφεται και ως αναλύουμε τις εικόνες της βάσης ως προς τα διανύσματα της. Εφαρμόζοντας τις σχέσεις () στις () παίρνουμε: (,, ) α, b, c 8 (,, ) α, b, c (,, ) α, b, c Επομένως [ f ] 6 8 c) Έστω ότι δουλεύουμε με τη βάση. Τότε [ f ], 59 9 [ f] 5 7 det ([ f] ) 5 ([ f] ) f 6 5 Για τον υπολογισμό του τύπου της ( ) f () v [ f] [] v Γνωρίζουμε από τις σχέσεις (5) ότι ( + y+ z) [ v] ( + 5 y 7 z) ( 6 y+ 5z) Υπολογίζοντας τον αντίστροφο του f [ f ] θα είναι: παίρνουμε τελικά:,

15 [ ] ( f ) f Άρα οι συντεταγμένες ως προς την της θα είναι: 7 ( ) + y+ z yz 9 ([ f] ) [ v] 7 5 ( + 5y 7z) 9+ 65y+ z y z ( 6 y+ 5z) Και τελικά: f (, y, z) (y z)(,,) + (9+ 65y+ z)(,,) ( 7y z)(,,) ( 6+ 5y z,5 yz, y5z) Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R με Tyzw (,,, ) (+ y z+ w,+ y w,5 y+ z+ w) a) Να βρεθεί η διάσταση και μία βάση του Kerf b) Να βρεθεί η διάσταση και μία βάση του Imf α) Θέλουμε να βρούμε τα για τα οποία T() O T() O Tyzw (,,, ) (,,) + y z+ w + y w 5 y+ z+ w Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον πίνακα συντελεστών του ομογενούς συστήματος: 5 r r r r r r A 5 5 r r6r

16 6 Επομένως rank(a) Έτσι dimker T dim N( A) dim R rank( A) H ελεύθερη παράμετρος είναι η w. Το ομογενές σύστημα γράφεται: 9 w + y z+ w 6 8 y+ z w y w 6z 67w + 67 z w 6 Έτσι κάθε στοιχείο του πυρήνα γράφεται ως: t, t, tt, t,,,, t R Δηλαδή Ker T span,,, Επομένως το διάνυσμα,,, αποτελεί βάση του KerT 6 6 b) Επειδή πρέπει dimimt + dimker T dim R dimimt Για να βρούμε μία βάση του ImT εργαζόμαστε ως εξής: Διαλέγουμε ένα σύνολο διανυσμάτων που κάνει span τον χώρο μας R. Επειδή μία βάση σίγουρα κάνει span τον χώρο, επιλέγουμε για ευκολία την απλούστερη, δηλαδή την κανονική, οπότε οι εικόνες της σίγουρα κάνουν span το ImT. Επειδή στο προηγούμενο υποερώτημα βρήκαμε ότι dim ker( T ), θα πρέπει να ελέγξουμε το σύνολο των εικόνων της κανονικής βάσης για γραμμική ανεξαρτησία ώστε αν χρειαστεί να αφαιρέσουμε τα γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα από το τελικό σύνολο για να πάρουμε μια βάση του ImT. Έχουμε T(,,,) (,,5) v T(,,, ) (,, ) v T(,,, ) (,,) v Επειδή η διάσταση του ImT είναι, δεν χρειαζόμαστε άλλα διανύσματα. Ελέγχουμε αν οι v, v, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα:

17 Επειδή δεν προέκυψε μηδενική γραμμή τα v, v, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα και r r r r r+ r r r+ r επομένως αποτελούν βάση του ImT. (Σε διαφορετική περίπτωση θα κρατούσαμε ως βάση όλες τις μη μηδενικές γραμμές του τελικού πίνακα). Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R με Ty (, ) (+ y,+ 6 y) a) Είναι ο T μονομορφισμός; b) Βρείτε τον τύπο του αντίστροφου μετασχηματισμού T, αν υπάρχει c) Βρείτε το T (8,) d) Βρείτε το T (, ) e) Είναι ο Τ επιμορφισμός; a) Πρέπει να δείξουμε ότι ker( T ) {(, )} Ο πυρήνας του T προκύπτει ως οι λύσεις του ομογενούς συστήματος: T() O T() O Ty (, ) (,) + y + 6y Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον πίνακα συντελεστών του ομογενούς συστήματος: r r r A 6 Επομένως rank(a) Έτσι dimker T dim N( A) dim R rank( A) H ελεύθερη παράμετρος είναι η y. Το ομογενές σύστημα γράφεται: + y y Έτσι κάθε στοιχείο του πυρήνα γράφεται ως: tt, t,, t R ( ) ( ) Άρα ker( T ) {(, )} και επομένως το T δεν είναι μονομορφισμός c) Πρέπει να βούμε τα (,y) ώστε + y 8 Ty (, ) (8,) (+ y,+ 6 y) (8,) + 6y Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος:

18 8 8 r r r 8 6 H ελεύθερη παράμετρος είναι η y. Το σύστημα γράφεται: + y 8 y Έτσι T (8,) {( tt, ), t R} c) Πρέπει να βούμε τα (,y) ώστε + y Ty (, ) (, ) (+ y, + 6 y) (, ) + 6y Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος: 8 8 r r r 6 Λόγω της τελευταίας γραμμής το σύστημα είναι αδύνατο και επομένως δεν υπάρχει η αντίστροφη εικόνα του (,) d) Πρέπει να ισχύει rank[ T ] dim R Όμως [ T] A Επομένως rank ([T]) dimr. Δηλ. ο T δεν είναι επιμορφισμός.. Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R με T (, y) ( + y, k + 8 y) a) Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου k R για τις οποίες o T είναι αντιστρέψιμος b) Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός T για τις τιμές της παραμέτρου k που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο υποερώτημα. α) Πρέπει να δείξουμε ότι ker( T ) {(, )} Θέλουμε να βρούμε τα για τα οποία T() O T() O Ty (, ) (,) + y k + 8y Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον πίνακα συντελεστών του ομογενούς συστήματος: k r r r A k 8 8 k Πρέπει 8 6 k k για να είναι ker( T ) {(, )} (μονομορφισμός) καθώς και rank[ T ] dim R (επιμορφισμός) Επειδή [ T] A Άρα για k 6 o Τ είναι ισομορφισμός και επομένως έχει αντίστροφο b) Πρέπει να επιλύσουμε το σύστημα

19 9 a+ b T( ab, ) ( y, ) ka + 8b y ως προς ab, Τελικά παίρνουμε: y k y T ( y, ) +, k6 ( k6)