ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης (ΤΕΙ ΑΜΘ) Μάθημα 12: Δυναμικός Προγραμματισμός

Transcript

1 Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης (ΤΕΙ ΑΜΘ) ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Μάθημα 12: Δυναμικός Προγραμματισμός Εισηγήτρια: Δρ.Χρυσοχόου Ευαγγελία Επιχειρησιακή Ερευνήτρια Επιστήμονας Δεδομένων

2 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο υλοποίησης της Πράξης «Απόκτηση Ακαδημαϊκής Διδακτικής Εμπειρίας σε Νέους Επιστήμονες Κατόχους Διδακτορικού» του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Ανάπτυξη Ανθρώπινου Δυναμικού, Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» που συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3 Βιβλιογραφία Επιλογές Συγγραμμάτων: Βιβλίο [ ]: Επιχειρησιακή Έρευνα, Παντελής, Υψηλάντης Βιβλίο [ ]: Επιχειρησιακή Έρευνα, Κώστογλου Βασίλειος Ι. Βιβλίο [ ]: Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή έρευνα, Κολέτσος Ιωάννης, Στογιάννης Δημήτρης

4 Δυναμικός Προγραμματισμός Αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων που χαρακτηρίζονται από τη λήψη διαδοχικών αλληλένδετων αποφάσεων με αλληλεξαρτώμενα αποτελέσματα Σε προβλήματα με παρόμοια χαρακτηριστικά ο αλγόριθμος Δ.Π. είναι πιο αποτελεσματικός από άλλες προσεγγίσεις επίλυσης (π.χ. Γραμμικός Προγραμματισμός) Στον Δυναμικό Προγραμματισμό ισχύει η αρχή της βελτιστότητας, δηλαδή η βέλτιστη λύση σε ένα πρόβλημα περιέχει βέλτιστες λύσεις σε όλα τα υποπροβλήματα του. Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

5 Παράδειγμα Μια βιομηχανική μονάδα επιθυμεί να προγραμματίσει τις ποσότητες παραγωγής ενός προϊόντος για κάθε ένα μήνα του επόμενου τετράμηνου με δεδομένο ότι η ζήτηση, το κόστος παραγωγής και αποθεμάτων διαφοροποιούνται από μήνα σε μήνα 4 Στάδια Αποφάσεων: ποσότητα παραγωγής για κάθε μήνα Αλληλένδετες: η ποσότητα παραγωγής σε ένα μήνα εξαρτάται και από το απόθεμα που υπάρχει, το οποίο συνδέεται με την παραγωγή των προηγούμενων μηνών Απόθεμα μήνα 0 Παραγωγή μήνα 1 Απόθεμα μήνα 1 Παραγωγή μήνα 2 Απόθεμα μήνα 2 Παραγωγή μήνα 3 Απόθεμα μήνα 3 Παραγωγή μήνα 4 Ζήτηση μήνα 1 Ζήτηση μήνα 2 Ζήτηση μήνα 3 Ζήτηση μήνα 4 Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

6 Δομικά στοιχεία Δ.Π.(1/3) Στάδια αποφάσεων (stages) Διακριτό τμήμα του προβλήματος. Χαρακτηρίζεται από την ανάγκη λήψης απόφασης π.χ. κάθε μήνας του τετράμηνου προγραμματισμού Καταστάσεις (states) Σε κάθε στάδιο το σύστημα μπορεί να βρίσκεται σε διαφορετικές καταστάσεις, ανάλογα με τις αποφάσεις των προηγούμενων σταδίων Η δεδομένη κατάσταση επηρεάζει τη λήψη απόφασης στο συγκεκριμένο στάδιο π.χ. υπάρχον απόθεμα στην αρχή του μήνα Αποφάσεις Η βέλτιστη απόφαση για κάθε πιθανή κατάσταση σε ένα συγκεκριμένο στάδιο π.χ. βέλτιστη ποσότητα παραγωγής που αντιστοιχεί σε κάθε πιθανή ποσότητα αποθέματος Μετασχηματισμοί εισόδου εξόδου σε κάθε στάδιο (επόμενη διαφάνεια) Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

7 Δομικά στοιχεία Δ.Π.(2/3) Μετασχηματισμοί εισόδου εξόδου σε κάθε στάδιο Μηχανισμός σύνδεσης καταστάσεων μεταξύ διαδοχικών σταδίων π.χ. Στάδιο ν: Μήνας ν, με ζήτηση Ζ ν Κατάσταση στο στάδιο ν: Αρχικό απόθεμα μήνα ν, S ν Απόφαση στο στάδιο ν: Ποσότητα παραγωγής μήνα ν, D ν Κατάσταση στο στάδιο ν+1: S ν+1 = S ν + D ν Ζ ν ή γενικά S ν+1 = g(s ν, D ν ) Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

8 Δομικά στοιχεία Δ.Π.(3/3) Συνάρτηση αποτελεσμάτων Έστω f ν (S ν, D ν ) το μερικό αποτέλεσμα που αντιστοιχεί στα στάδια ν, ν+1, ν+2,,ν, δηλαδή από το τρέχον έως το τελικό στάδιο, όταν το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση S ν και λαμβάνεται η απόφαση D ν Μερική βελτιστοποίηση f * ν(s ν ) = max { f ν (S ν,d ν ) } ή min εάν πρόκειται για ελαχιστοποίηση, D ν* η απόφαση που βελτιστοποιεί το αποτέλεσμα που αντιστοιχεί στην κατάσταση S ν, δηλαδή: f * ν(s ν ) = f ν (S ν,d ν* ) Ολική βελτιστοποίηση f * 1(S 1 ) Κατάσταση S 1 Στάδιο 1 Κατάσταση 2, 3,..ν Απόφαση Dν Στάδιο ν Κατάσταση S ν+1 Στάδιο ν+1 Στάδιο Ν f * 1(S 1 ) Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση, f * ν(s ν )

9 Δ.Π. - Αρχή Βελτιστοποίησης Δ.Π. (Bellman, 1952) H απόφαση που βελτιστοποιεί το αποτέλεσμα σε οποιοδήποτε στάδιο ν είναι ανεξάρτητη των αποφάσεων που έχουν ληφθεί στα προηγούμενα στάδια και εξαρτάται μόνο από την κατάσταση στην οποία βρίσκεται το σύστημα στο στάδιο ν Συνέχεια στο παράδειγμα Έστω ότι στην αρχή του Ιουλίου το απόθεμα ανέρχεται σε τεμάχια. Η απόφαση για το ύψος της παραγωγής του Ιουλίου εξαρτάται από το αρχικό απόθεμα που υπάρχει τον Ιούλιο και όχι από τις όποιες αποφάσεις έχουν ληφθεί τους προηγούμενους μήνες με αποτέλεσμα να υπάρχει το δεδομένο απόθεμα Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

10 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (The travelling salesman problem) Εφαρμογή του αλγορίθμου Δ.Π. Ο πωλητής επιθυμεί να μεταβεί από την πόλη 1 στην πόλη 9 διανυκτερεύοντας κάθε ημέρα σε μία πόλη του επόμενου σταδίου Στάδια Στάδιο 1: Επιλογή από τον κόμβο 1 στον κόμβο 2 ή 3. Στάδιο 2: Ο επόμενος κόμβος θα είναι ο 4, 5 ή 6. Στάδιο 3: Ομοίως επιλογή μεταξύ κόμβων 7 και 8. Στάδιο 4: Υπάρχει μόνο μία απόφαση. Η μετάβαση στον κόμβο 9. Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

11 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (The travelling salesman problem) Εφαρμογή του αλγορίθμου Δ.Π. Ο πωλητής επιθυμεί να μεταβεί από την πόλη 1 στην πόλη 9 διανυκτερεύοντας κάθε ημέρα σε μία πόλη του επόμενου σταδίου Καταστάσεις: Η πόλη στην οποία βρίσκεται ο πωλητής πριν πάρει απόφαση για το που θα μεταβεί. Στάδιο 1: 1 Στάδιο 2: 2, 3 Στάδιο 3: 4, 5, 6 Στάδιο 4: 7, 8 Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

12 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (The travelling salesman problem) Εφαρμογή του αλγορίθμου Δ.Π. Ο πωλητής επιθυμεί να μεταβεί από την πόλη 1 στην πόλη 9 διανυκτερεύοντας κάθε ημέρα σε μία πόλη του επόμενου σταδίου Αποφάσεις: Η πόλη στην οποία επιλέγει να επισκεφθεί. Ανάλογα με το στάδιο οι εναλλακτικές επιλογές είναι: Στάδιο 1: 2, 3 Στάδιο 2: 4, 5, 6 Στάδιο 3: 7, 8 Στάδιο 4: 9 Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

13 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (The travelling salesman problem) Εφαρμογή του αλγορίθμου Δ.Π. Ο πωλητής επιθυμεί να μεταβεί από την πόλη 1 στην πόλη 9 διανυκτερεύοντας κάθε ημέρα σε μία πόλη του επόμενου σταδίου Συνάρτηση αποτελέσματος: f ν (S ν,d ν ) = απόσταση από τον κόμβο S ν έως το τέλος της διαδρομής, εφόσον ο επόμενος κόμβος (απόφαση) που θα επιλεγεί είναι ο D ν f 3 (4,7) = 6 + f 4 (7,9) = =11 f 3 (4,8) = 10 + f 4 (8,9) = =14 f * 3(4) = 11 D * 3= 7 Επαναληπτική σχέση: f ν (S ν,d ν ) = Α(S ν,d ν ) + f * ν+1(s ν+1 ) Α(S ν,d ν ): Απόσταση κόμβων S ν - D ν Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

14 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (The travelling salesman problem) Εφαρμογή του αλγορίθμου Δ.Π. Κατάσταση (Κόμβος) Πίνακας 6.1 Υπολογισμοί στο στάδιο 4 Απόφαση Επόμενος κόμβος Απόσταση από επόμενο κόμβο Ελάχιστη απόσταση από επόμενο κόμβο έως το τέλος Συνολική απόσταση S 4 D 4 S 5 A(S 4,D 4 ) f* 5 (S 5 ) f 4 (S 4,D 4 ) = A(S 4,D 4 ) + f* 5 (S 5 ) 7 [7,9] f * 4(7) 8 [8,9] f * 4(8) Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

15 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (The travelling salesman problem) Εφαρμογή του αλγορίθμου Δ.Π. Κατάσταση (Κόμβος) Πίνακας 6.3 Υπολογισμοί στο στάδιο 3 Απόφαση Επόμενος κόμβος Απόσταση από επόμενο κόμβο Ελάχιστη απόσταση από επόμενο κόμβο έως το τέλος Συνολική απόσταση S 3 D 3 S 4 A(S 3,D 3 ) f* 4 (S 4 ) f 3 (S 3,D 3 ) = A(S 3,D 3 ) + f* 4 (S 4 ) 4 [4,7] f* 3 (4) 4 [4,8] [5,7] [5,8] f* 3 (5) 6 [6,7] f* 3 (6) 6 [6,8] f* 3 (6) Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

16 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (The travelling salesman problem) Εφαρμογή του αλγορίθμου Δ.Π. Κατάσταση (Κόμβος) Πίνακας 6.4 Υπολογισμοί στο στάδιο 2 Απόφαση Επόμενος κόμβος Απόσταση από επόμενο κόμβο Ελάχιστη απόσταση από επόμενο κόμβο έως το τέλος Συνολική απόσταση S 2 D 2 S 3 A(S 2,D 2 ) f* 3 (S 3 ) f 2 (S 2,D 2 ) = A(S 2,D 2 ) + f* 3 (S 3 ) 2 [2,4] [2,5] f* 2 (2) 2 [2,6] [3,5] [3,6] f* 2 (3) Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

17 Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (The travelling salesman problem) Εφαρμογή του αλγορίθμου Δ.Π. Κατάσταση (Κόμβος) Πίνακας 6.5 Υπολογισμοί στο αρχικό στάδιο 2 Απόφαση Επόμενος κόμβος Απόσταση από επόμενο κόμβο Ελάχιστη απόσταση από επόμενο κόμβο έως το τέλος Συνολική απόσταση S 1 D 1 S 2 A(S 1,D 1 ) f* 2 (S 2 ) f 1 (S 1,D 1 ) = A(S 1,D 1 ) + f* 2 (S 2 ) 1 [1,2] f* 2 (3) 1 [1,3] Η λύση (πηγαίνοντας αντίστροφα) Στάδιο 1 (πίνακας 6.5) Κατάσταση : Κόμβος 1 / Βέλτιστη διαδρομή 1 2 Στάδιο 2 (πίνακας 6.4) Κατάσταση : Κόμβος 2 / Βέλτιστη διαδρομή 2 5 Στάδιο 3 (πίνακας 6.3) Κατάσταση : Κόμβος 5 / Βέλτιστη διαδρομή 5 8 Στάδιο 4 (πίνακας 6.1) Κατάσταση : Κόμβος 8 / Βέλτιστη διαδρομή 8 9 Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

18 Εφαρμογή: Αντικατάσταση εξοπλισμού μηχανήματος στην αρχή του έτους Χ συντήρησης ( ) στη διάρκεια του έτους Μ(Χ) Αξία μεταχειρισμ ένου ( ) στο τέλος του έτους R(X) Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

19 Εφαρμογή: Αντικατάσταση εξοπλισμού Πίνακας 6.14 Καταστάσεις-αποφάσεις και κόστος (στάδιο 6) Απόφαση Αντικατάσταση? στο τέλος 6ετίας αγοράς συντήρησης Τιμή πώλησης αντικαταστα θέντος έτους 6 Τιμή πώλησης στο τέλος της 6ετίας Συνολικό κόστος έτους 6 1 Ναι * Όχι Ναι Όχι Ναι Όχι Ναι Όχι Ναι Όχι Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

20 Εφαρμογή: Αντικατάσταση εξοπλισμού Πίνακας 6.15 Καταστάσεις-αποφάσεις και κόστος (στάδιο 5) Απόφαση Αντικατάσταση? στο τέλος 5ετίας αγοράς συντήρησης Τιμή πώλησης αντικαταστα θέντος έτους 5 Τιμή πώλησης στο τέλος της 5ετίας Συνολικό κόστος ετών Ναι Όχι Ναι Όχι Ναι Όχι Ναι Όχι Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

21 Εφαρμογή: Αντικατάσταση εξοπλισμού Πίνακας 6.16 Καταστάσεις-αποφάσεις και κόστος (στάδιο 4) Απόφαση Αντικατάσταση? στο τέλος 4ετίας αγοράς συντήρησης Τιμή πώλησης αντικαταστα θέντος έτους 4 Τιμή πώλησης στο τέλος της 4ετίας Συνολικό κόστος ετών Ναι Όχι Ναι Όχι Ναι Όχι Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

22 Εφαρμογή: Αντικατάσταση εξοπλισμού Πίνακας 6.17 Καταστάσεις-αποφάσεις και κόστος (στάδιο 3) Απόφαση Αντικατάσταση? στο τέλος 3ετίας αγοράς συντήρησης Τιμή πώλησης αντικαταστα θέντος έτους 3 Τιμή πώλησης στο τέλος της 3ετίας Συνολικό κόστος ετών Ναι Όχι Ναι Όχι Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

23 Εφαρμογή: Αντικατάσταση εξοπλισμού Πίνακας 6.18 Καταστάσεις-αποφάσεις και κόστος (στάδιο 2) Απόφαση Αντικατάσταση? στο τέλος 2ετίας αγοράς συντήρησης Τιμή πώλησης αντικαταστα θέντος έτους 3 Τιμή πώλησης στο τέλος της 2ετίας Συνολικό κόστος ετών Ναι Όχι Πίνακας 6.19 Καταστάσεις-αποφάσεις και κόστος (στάδιο 1) Απόφαση Αντικατάσταση? στο τέλος έτους αγοράς συντήρησης Τιμή πώλησης αντικαταστα θέντος έτους 3 Τιμή πώλησης στο τέλος της 6ετίας Συνολικό κόστος ετών Ναι Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

24 Εφαρμογή: Αντικατάσταση εξοπλισμού Αποτελέσματα Έτος 1 Αγορά νέου μηχανήματος το οποίο στην αρχή του έτους 2 είναι ηλικίας 1 έτους (Πίνακας 6.19) 2 Για μηχάνημα ηλικίας 1 έτους στην αρχή του έτους 2 η καλύτερη απόφαση είναι η διατήρηση του, επομένως στην αρχή του έτους 2 το μηχάνημα θα είναι ηλικίας 2 ετών (Πίνακας 6.18) 3 Για μηχάνημα ηλικίας 2 ετών στην αρχή του έτους 3 η καλύτερη απόφαση είναι η αντικατάστασή του, επομένως στην αρχή του έτους 4 το μηχάνημα θα είναι ηλικίας 1 έτους (Πίνακας 6.17) 4 Για μηχάνημα ηλικίας 1 έτους στην αρχή του έτους 4 η καλύτερη απόφαση είναι η διατήρηση του, επομένως στην αρχή του έτους 5 το μηχάνημα θα είναι ηλικίας 2 ετών (Πίνακας 6.16) 5 Για μηχάνημα ηλικίας 2 ετών στην αρχή του έτους 5 η καλύτερη απόφαση είναι η αντικατάστασή του, επομένως στην αρχή του έτους 6 το μηχάνημα θα είναι ηλικίας 1 έτους (Πίνακας 6.15) 6 Διατήρηση και πώληση στο τέλος του έτους (Πίνακας 6.14) Παντελής Υψηλάντης, Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Προπομπός, 5η έκδοση,

25 Δρ.Χρυσοχόου Ευαγγελία Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας