Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (3)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (3)"

Μαία Καζαντζής
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Στοχαστικές Στρατηγικές 6 η ενότητα: Το γενικό πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής () Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο Μακεδονίας angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:

2 ) Η μέθοδος των μειώσεων H μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου έχει σημασία η διεύθυνση μετάβασης από κόμβο σε κόμβο και υπάρχει περιορισμός στο πλήθος των μεταβάσεων από μεγαλύτερους σε μικρότερους κόμβους (αλλιώς μπορώ να κάνω ατέρμονα κύκλους μεταξύ συγκεκριμένων κόμβων). Ορισμός Λέμε ότι έχουμε μια μείωση κατά την μετάβαση από τον κόμβο i στον κόμβο j (i j) αν i > j. π.χ. στην διαδρομή έχουμε μια μείωση αφού από τον κόμβο μεταβαίνουμε στον κόμβο. Το πρόβλημα Να βρεθεί η βέλτιστη διαδρομή από τον κόμβο στον κόμβο Ν με μια το πολύ μείωση (ή γενικά το πολύ i μειώσεις).

3 Βέλτιστη συνάρτηση g i k = {το μήκος της ελάχιστης διαδρομής από τον κόμβο στον κόμβο k, μεταξύ όλων των διαδρομών που έχουν i ή λιγότερες μειώσεις} Επαναληπτική σχέση g i k = min min j<k {g i j + a jk } min j>k {g i j + a jk } για i =,,,.., L, όπου L N, L: o μέγιστος αριθμός μειώσεων k =,,,.., N Το πολύ i μειώσεις j < k j k Το πολύ i j > k μειώσεις j k Στην τελευταία μετάβαση j k έχω μια μείωση - 6 Στην τελευταία μετάβαση j k δεν έχω μείωση

4 Για k = : (επιτρέπεται j = k) g i = min j k {g i j + a jk - 6 Οριακές συνθήκες g 0 k = 0, αν k =, αν k Οριακές συνθήκες: Ορίζονται για i = 0 όπου ουσιαστικά έχουμε μηδέν μεταβάσεις από τον κόμβο στον κόμβο k και επιτρέπονται το πολύ i = 0 = μειώσεις (δηλ. καμία μείωση)

5 Άσκηση Στο δικτυωτό του σχήματος, να βρεθεί η βέλτιστη διαδρομή από τον κόμβο στον κόμβο με μια το πολύ μείωση. Λύση Βέλτιστη συνάρτηση - 6 g i k = {το μήκος της ελάχιστης διαδρομής από τον κόμβο στον κόμβο k, μεταξύ όλων των διαδρομών που έχουν i ή λιγότερες μειώσεις} Μια το πολύ μείωση σημαίνει: i = i =

6 Οριακές συνθήκες Για i = 0 και j =,,, : g 0 = 0 g 0 = g 0 = g 0 = - 6 6

7 Για i = και j =,,, : g = min{g 0 + a, g 0 + a, g 0 + a, g 0 + a } = min 0 + 0, +, +, + = 0 g = min min{g 0 + a, g 0 + a } g + a = min min{, + } 0 + = g = min g 0 + a min{g + a, g + a } = min + min{0 +, + 6} = g = min g + a, g + a, g + a = min{0 +, +, + } = 7

8 Για i = και j =,,, : g = min{g + a, g + a, g + a, g + a } = min 0 + 0, +, +, + = 0 g = min min{g + a, g + a } g + a = min min{, + } 0 + = g = min g + a min{g + a, g + a } = min + min{0 +, + 6} = g = min g + a, g + a, g + a = min{0 +, +, + } = 8

9 Είναι: g = min g + a, g + a, g + a = min{0 +, +, + } = g = min min{g + a, g + a } g + a = g = min g 0 + a min{g + a, g + a } = Άρα η βέλτιστη διαδρομή με μια το πολύ μείωση είναι: με κόστος διαδρομής. 9

10 Άσκηση Στο δικτυωτό του σχήματος, να βρεθεί η βέλτιστη διαδρομή από τον κόμβο στον κόμβο με μια το πολύ μείωση. Λύση Βέλτιστη συνάρτηση g i k = {το μήκος της ελάχιστης διαδρομής από τον κόμβο στον κόμβο k, μεταξύ όλων των διαδρομών που έχουν i ή λιγότερες μειώσεις} Μια το πολύ μείωση σημαίνει: i = i = 0

11 Οριακές συνθήκες για i = 0 g 0 = 0 g 0 = g 0 = g 0 = g 0 = - - Για i = και j =,,,, : - g = min g 0 + a, g 0 + a, g 0 + a, g 0 + a, g 0 + a = min 0,,,, = 0 g = min min{g 0 + a, g 0 + a, g 0 + a } g + a = min min{,, } 0 + = g = min min{g 0 + a, g 0 + a } min{g + a, g + a } = min min{, } min{, 7} = 7

12 g = min g 0 + a min{g + a, g + a, g + a } = min min{,6, } = g = min g + a, g + a, g + a, g + a = min{,,,7} = Για i = και j =,,,, : g = min g + a, g + a, g + a, g + a, g + a = min 0,,,, = 0 g = min min{g + a, g + a, g + a } g + a = min min{,, } = - - -

13 g = min min{g + a, g + a } min{g + a, g + a } min{, 8} = min min{, } = g = min = min g + a min{g + a, g + a, g + a } min{, +, + } = g = min g + a, g + a, g + a, g + a = min,, +, + =

14 Είναι: g = min g + a, g + a, g + a, g + a g = min min{g + a, g + a } min{g + a, g + a } = = g = min min{g + a, g + a, g + a } g + a = g = min g 0 + a min{g + a, g + a, g + a } = Οπότε η βέλτιστη διαδρομή από τον κόμβο στον με μια το πολύ μείωση είναι: όπου έχουμε μια μείωση - - -

15 Άσκηση α) Στο δικτυωτό του σχήματος, να βρεθεί η βέλτιστη διαδρομή από τον κόμβο στον κόμβο με μια το πολύ μείωση αν δεν επιτρέπεται σε μια διαδρομή να υπάρχει το τόξο δύο φορές. β) Εξηγείστε σχετικά με τη λύση, αν λείπει η υπογραμμισμένη συνθήκη. Λύση α) Βέλτιστη συνάρτηση g i k = {το μήκος της ελάχιστης διαδρομής από τον κόμβο στον κόμβο k, μεταξύ όλων των διαδρομών που έχουν i ή λιγότερες μειώσεις} Μια το πολύ μείωση σημαίνει: i = i = - 7-6

16 Οριακές συνθήκες για i = 0 g 0 = 0 g 0 = g 0 = g 0 = g 0 6 = - 7 Για i = : g = min g 0 + a, g 0 + a, g 0 + a, g 0 + a, g a 6 = min 0 + 0, +, +, +, + = 0 g = min min{g 0 + a, g 0 + a, g a 6 } g + a min{ +, +, + ( )} = min = g = min min{g 0 + a, g a 6 } min{g + a, g + a } = min min{, } min{0 +, + ( )} = 6

17 g = min = min g a 6 min{g + a, g + a, g + a } + min{0 +, +, + 7} = 9 g 6 = min{g + a 6, g + a 6, g + a 6, g + a 6 } = min{0 +, +, +, 9 + } =

18 Για i = : g = min g + a, g + a, g + a, g + a, g 6 + a 6 = min 0 + 0, +, +, 9 +, 7 + = 0 g = min min{g + a, g + a, g 6 + a 6 } g + a min{ +,9 +,7 + ( )} = min = 0 + g = min min{g + a, g 6 + a 6 } min{g + a, g + a } min{9 +, 7 + } = min min{0 +, + ( )} =

19 g = min = min g 6 + a 6 min{g + a, g + a, g + a } 7 + min{0 +, +, + 7} = 8 : ελάχιστο κόστος Άρα οι βέλτιστες διαδρομές με μια το πολύ μείωση είναι: 6 6 (απορρίπτεται)

20 β) Αν στην άσκηση δεν αναφέρεται ο μέγιστος επιτρεπτός αριθμός μειώσεων, τότε το πρόβλημα δεν έχει φραγμένη λύση, αφού είναι δυνατόν να επαναλαμβάνουμε συνεχώς τον κύκλο 6 μειώνοντας διαρκώς το κόστος

21 Βιβλιογραφία ) Π.-Χ. Βασιλείου (00) Εφαρμοσμένος Μαθηματικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Ζήτη. ) Π.-Χ. Βασιλείου, Γ. Τσακλίδης, Ν. Τσάντας (998) Ασκήσεις στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Ζήτη.

Σχετικά έγγραφα

Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (2)

Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (2) Στοχαστικές Στρατηγικές 6 η ενότητα: Το γενικό πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής () Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 018-019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο