Αμοιβαία Επαγωγή - Αυτεπαγωγή Ενέργεια Μαγνητικού Πεδίου. ΦΥΣ Διαλ.27 1

Transcript

1 Αμοιβαία Επαγωγή - Αυτεπαγωγή Ενέργεια Μαγνητικού Πεδίου ΦΥΣ Διαλ.27 1

2 Αμοιβαία Επαγωγή Θεωρούμε δύο πηνία που είναι τοποθετημένα το ένα κοντά στο άλλο. Το πηνίο 1 έχει N 1 σπείρες και διαρρέεται από ρεύμα I 1 το οποίο δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο B!. Εφόσον τα δύο πηνία είναι κοντά το ένα στο άλλο, κάποιες από τις μαγνητικές γραμμές από το πεδίο του πηνίου 1 θα περάσουν και από το δεύτερο πηνίο. Έστω Φ 21 η μαγνητική ροή που περνά από μια σπείρα του πηνίου 2 εξαιτίας του ρεύματος I 1. Αν το ρεύμα I 1 μεταβάλλεται με τον χρόνο, τότε μια ΗΕΔ θα επαχθεί στο πηνίο 2: ΦΥΣ Διαλ.27 2 Πηνίο 2 Πηνίο 1 E "! = N " dφ "! = d * #$%ί' " B! + d A " Ο ρυθμός μεταβολής της μαγνητικής ροής Φ 21 στο πηνίο 2, είναι ανάλογος της μεταβολής του ρεύματος στο πηνίο 1: N " dφ "! = M "! di! η σταθερά αναλογίας M "! = (!)!" * " καλείται η αμοιβαία επαγωγή Μονάδα μέτρησης της επαγωγής στο SI είναι το Henry (H) [ 1H = 1 Tm 2 /A ]

3 Αμοιβαία Επαγωγή ΦΥΣ Διαλ.27 3 Η σταθερά της αμοιβαίας επαγωγής εξαρτάται όπως θα δούμε παρακάτω από τις γεωμετρικές ιδιότητες των δύο πηνίων (ακτίνα σπειρών, αριθμός σπειρών) Θα μπορούσαμε να υποθέσουμε ότι το πηνίο 2 διαρρέεται από ρεύμα I 2 και αυτό το ρεύμα μεταβάλλεται με τον χρόνο. Επομένως επάγει ΗΕΔ στο πηνίο 1: E!" = N! dφ!" = d * #$%ί'! και ρεύμα επάγεται στο πηνίο 1: B " + d A! H αλλαγή στη μαγνητική ροή του πηνίου 1 είναι ανάλογη της αλλαγής τους ρεύματος που διαρρέει το πηνίο 2 Πηνίο 2 Πηνίο 1 N! dφ!" = M!" di " η σταθερά αναλογίας M!" = ( ") "! *! καλείται η αμοιβαία επαγωγή Οι δύο σταθερές αποδεικνύεται ότι είναι ίσες μεταξύ τους και άρα M!" = M "! = M

4 ΦΥΣ Διαλ.27 4 Παράδειγμα: Αμοιβαία επαγωγή μεταξύ δύο ομοεπίπεδων και ομόκεντρων βρόχων Έστω δύο κυκλικοί βρόχοι αποτελούμενοι από μια σπείρα ο καθένας, ακτίνων R " R! βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και τα κέντρα τους συμπίπτουν. Θα υπολογίσουμε την αμοιβαία επαγωγή τους Από τις εφαρμογές του νόμου Biot-Savard, είχαμε υπολογίσει το μαγνητικό πεδίο ενός κυκλικού αγωγού ακτίνας R, που διαρρέεται από ρεύμα Ι, σε σημεία του άξονα που περνά από το κέντρο του αγωγού και είναι κάθετος στο επίπεδο του και είχαμε βρει: μ + IR " B = 2 R " + z ",/" όπου z η απόσταση του σημείου από το επίπεδο του αγωγού Για z = 0 βρίσκουμε το πεδίο στο κέντρο του βρόχου: B! = μ " +I! R! B,! = μ +I! 2R! 2R! Εφόσον R " R!, προσεγγίζουμε το μαγνητικό πεδίο σε ολόκληρο τον εσωτερικό βρόχο με B 1 και επομένως η μαγνητική ροή στο εσωτερικό του εσωτερικού βρόχου είναι: Φ"! = B! A " = μ +I! πr " 2R " Φ "! = μ " +πi! R "! 2R! dφ "! di! Η αμοιβαία επαγωγή δίνεται από τη σχέση: = M!" M!" = M = Φ "! I! άρα: M = μ " +πι! R " M = μ " +πr " Η αμοιβαία επαγωγή εξαρτάται μόνο από 2R! I! 2R! γεωμετρικούς παράγοντες και όχι από το ρεύμα

5 Αυτεπαγωγή ΦΥΣ Διαλ.27 5 Θεωρούμε και πάλι ένα πηνίο το οποίο διαρρέεται από ρεύμα I με φορά αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού. Αν το ρεύμα είναι σταθερό, τότε η μαγνητική ροή που διαπερνά το πηνίο παραμένει σταθερή. Υποθέτουμε ότι το ρεύμα μεταβάλλεται με το χρόνο και άρα σύμφωνα με τον νόμο του Faraday επάγεται ΗΕΔ η οποία αντιτίθεται στην αλλαγή της ροής. Το ρεύμα που επάγεται έχει φορά αντίθετη με την αλλαγή του ρεύματος που προκαλεί την μεταβολή της μαγνητικής ροής. Συγκεκριμένα αν: Ø di/ > 0 τότε το επαγόμενο ρεύμα έχει τη φορά των δεικτών του ρολογιού Ø di/ < 0 τότε το επαγόμενο ρεύμα έχει φορά αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού H ιδιότητα του βρόχου σύμφωνα με την οποία το ίδιο μαγνητικό πεδίο του βρόχου αντιτίθεται σε οποιαδήποτε αλλαγή τους ρεύματος που το διαρρέει ονομάζεται αυτεπαγωγή και η ΗΕΔ που εμφανίζεται ονομάζεται τάση αυτεπαγωγής, E. H ιδιότητα αυτή εμφανίζεται σε όλα τα πηνία που διαρρέονται από ρεύμα.

6 ΦΥΣ Διαλ.27 6 Αυτεπαγωγή Μαθηματικά, η τάση αυτεπαγωγής μπορεί να γραφεί ως: E. = N dφ / = N d * #$%ί' " B + d A και σχετίζεται με τον συντελεστή αυτεπαγωγή L: E. = L di L = N Φ / I Ο συντελεστής αυτεπαγωγής L αποτελεί ιδιότητα του πηνίου και δείχνει την αντίσταση ενός πηνίου σε αλλαγές του ρεύματος. Μεγαλύτερος ο συντελεστής L μικρότερος ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής L εξαρτάται: Ø Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του πηνίου Ø Τις φυσικές ιδιότητες του κυκλώματος, όπως για παράδειγμα οι μαγνητικές ιδιότητες του μέσου και η εγγύτητα σε άλλα κυκλώματα

7 ΦΥΣ Διαλ.27 7 Παράδειγμα: Συντελεστής αυτεπαγωγής πηνίου Θα υπολογίσουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής ενός πηνίου που αποτελείται από Ν σπείρες ακτίνας R, έχει μήκος l, διαρρέεται από ρεύμα I Από τον νόμο του Ampere, έχουμε ότι το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό του πηνίου δίνεται από την σχέση: B = μ l H μαγνητική ροή που διαπερνά κάθε σπείρα είναι: Φ / = μ +NI πr " l Επομένως, o συντελεστής αυτεπαγωγής θα είναι: L = NΦ / I = N μ +NI li πr " L = NΦ / I = μ +πn " l R " L = μ + πn " lr " Ν σπείρες O συντελεστής αυτεπαγωγής εξαρτάται από όλους τους γεωμετρικούς παράγοντες και είναι ανεξάρτητος του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο.

8 ΦΥΣ Διαλ.27 8 Παράδειγμα: Συντελεστής αυτεπαγωγής τοροειδούς Θα υπολογίσουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής ενός τοροειδούς πηνίου που αποτελείται από Ν σπείρες, έχει το σχήμα ορθογωνίου, εσωτερική ακτίνα α, εξωτερική ακτίνα b και ύψος σπείρας h. Σύμφωνα με τον νόμο του Ampere, το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό του τοροειδούς δίνεται από τη σχέση: C B + d s = C B ds = B C ds = B2πr = μ + NI B = μ +NI 2πr H μαγνητική ροή που περνά μέσω μιας σπείρας είναι: Φ / = * B + d A όπου d A = hdr Φ / = G 0 1 μ+ NI 2πr hdr Φ /= μ +NI 2π hln b a Φ / '2 = NΦ / = μ +N " I 2π hln b a

9 ΦΥΣ Διαλ.27 9 Παράδειγμα: Συντελεστής αυτεπαγωγής τοροειδούς Επομένως ο συντελεστής αυτεπαγωγής είναι: L = Φ / '2. I = μ +N " h 2π ln b a Όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, ο συντελεστής αυτεπαγωγής είναι ανεξάρτητος του ρεύματος και εξαρτάται από γεωμετρικά χαρακτηριστικά. Εξετάζουμε την περίπτωση όπου a b a. Αναπτύσσουμε τον log οπότε: ln b b a b a = ln 1 + a a a και o συντελεστής της αυτεπαγωγής γίνεται: L = μ +N " h b a L μ +N " A 2π a 2πa όπου A = h b a το εμβαδό της σπείρας και l = 2πa το μήκος του τοροειδούς. Παρατηρούμε ότι στο όριο αυτό, ο συντελεστής αυτεπαγωγής για το τοροειδές και το πηνίο συμπίπτουν.

10 ΦΥΣ Διαλ Παράδειγμα: Συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής μεταξύ ενός βρόχου που περιβάλει σωληνοειδές Ένα μακρύ σωληνοειδές μήκους l και επιφάνειας διατομής Α, αποτελείτε από N 1 σπείρες. Ένας δεύτερος μονωμένος βρόχος είναι τυλιγμένος γύρω από το σωληνοειδές. (α) Θα βρεθεί η αμοιβαία επαγωγή μεταξύ των δύο πηνίων υποθέτοντας ότι ροή δεν χάνεται. (β) Θα βρεθεί η σχέση της αμοιβαίας επαγωγή Μ με τους συντελεστές αυτεπαγωγής L 1 και L 2 των δύο πηνίων. (α) Η μαγνητική ροή που περνά από κάθε σπείρα του εξωτερικού βρόχου εξαιτίας του σωληνοειδούς είναι:. Φ "! = BA = μ +N! I! A όπου B = μ + N! I! l το ομογενές μαγνητικό πεδίο του l σωληνοειδούς Επομένως ο συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής θα είναι: M = N 2Φ "! = μ +N! N " A I! l (β) Είδαμε ότι ο συντελεστής αυτεπαγωγής για ένα πηνίο είναι: L! = N!Φ!! = μ +N! I! l όπου Φ!! η μαγνητική ροή που περνά από μια σπείρα του σωληνοειδούς και προέρχεται από το πεδίο που δημιουργεί το ρεύμα I!. " A

11 ΦΥΣ Διαλ Παράδειγμα: Συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής μεταξύ ενός βρόχου που περιβάλει σωληνοειδές Παρόμοια θα πάρουμε για τον δεύτερο (εξωτερικό) βρόχο ότι ο συντελεστής αυτεπαγωγής θα είναι: L " = μ " +N " A l O συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής συναρτήσει των L 1 και L 2 είναι: M = L! L " Γενικά, ο συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής συναρτήσει των L 1 και L 2 είναι: M = k L! L " όπου 0 k 1 o συντελεστής σύζευξης Στις εξεταζόμενες περιπτώσεις υποθέτουμε ότι όλη η ροή που παράγει το σωληνοειδές περνά από το εξωτερικό βρόχο και το ανάποδο.

12 ΦΥΣ Διαλ Ενέργεια που αποθηκεύεται σε μαγνητικό πεδίο Είδαμε ότι ο συντελεστής αυτεπαγωγής υποδηλώνει την αντίσταση ενός πηνίου στην αλλαγή του ρεύματος που το διαρρέει. Επομένως η εξωτερική πηγή θα πρέπει να δαπανήσει έργο ώστε να αποκαταστήσει ένα ρεύμα διαμέσου του πηνίου. Από το θεώρημα έργου-κινητική ενέργειας συμπεραίνουμε ότι ενέργεια μπορεί να αποθηκευτεί σε ένα πηνίο. Ο ρόλος που παίζει ένα πηνίο στην περίπτωση του μαγνητισμού είναι ανάλογος του ρόλου που παίζει ο πυκνωτής στην περίπτωση της ηλεκτροστρατικής. Η ισχύς ή διαφορετικά ο ρυθμός που μια εξωτερική ΗΕΔ, E 56., δουλεύει για να αποκαταστήσει το ρεύμα που διαρρέει ένα πηνίο είναι ως ακολούθως: P. = dw 56. = IE 56. Αν στο κύκλωμα υπάρχει μόνο η εξωτερική πηγή και το πηνίο τότε: E 56. = E. Από αυτό συνεπάγεται ότι: P. = dw 56. = IE 56. = IE. P. = IL di

13 ΦΥΣ Διαλ Ενέργεια που αποθηκεύεται σε μαγνητικό πεδίο Αν το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο αυξάνει, di/ > 0, τότε P > 0 που σημαίνει ότι η εξωτερική πηγή καταναλώνει έργο στο κύκλωμα ώστε να μεταφέρει ενέργεια στο πηνίο και η εσωτερική ενέργεια του πηνίου. Αν το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο ελαττώνεται, di/ < 0, τότε P < 0 που σημαίνει ότι η εξωτερική πηγή παίρνει ενέργεια από το πηνίο ελαττώνοντας την ενέργεια. Το ολικό έργο που παράγει η εξωτερική πηγή για να φέρει το ρεύμα από την τιμή 0 στη τιμή I είναι: * W 56. = G dw 78. = G LI 9 di = 1 2 LI" + Αυτή ισούται με την μαγνητική ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο: U : = 1 2 LI" H τελευταία εξίσωση είναι ανάλογη της ενέργειας που αποθηκεύεται σε πυκνωτή στην ηλεκτροστατική: U;. = 1 2 QC = 1 2 Q " C Επομένως καθαρά ενεργειακά, υπάρχει σαφής διαχωρισμός μεταξύ αντιστάτη και πηνίου. Όταν ρεύμα Ι ρέει διαμέσου μιας αντίστασης, ενέργεια καταναλώνεται στην αντίσταση και την ζεσταίνει ανεξάρτητα αν το ρεύμα είναι σταθερό ή μεταβάλλεται. Στην περίπτωση του πηνίου, ενέργεια εισέρχεται στο πηνίο μόνο όταν di/ > 0 και αποθηκεύεται στο πηνίο. Καταναλώνεται αργότερα όταν di/ < 0. Όταν το ρεύμα που περνά από ένα πηνίο είναι σταθερό, τότε δεν υπάρχει αλλαγή στην ενέργεια εφόσον: P. = LIdI/

14 Ενέργεια αποθηκευμένη σε σωληνοειδές ΦΥΣ Διαλ Θεωρούμε ένα μακρύ σωληνοειδές, μήκους l, N σπειρών ακτίνας R που διαρρέεται από ρεύμα I. Πόση ενέργεια είναι αποθηκευμένη στο σωληνοειδές; Χρησιμοποιούμε την εξίσωση της ενέργειας: U : = 1 2 LI" Αλλά : L = μ +N " A l Αντικατάσταση της 2 ης στην 1 η δίνει: U : = 1 μ + AN " I " = 1 2 l 2 μ +πlr " n " I " Μπορούμε να εκφράσουμε το αποτέλεσμα συναρτήσει του πεδίου, B = μ + ni οπότε θα έχουμε: U : = 1 πlr " B " 2 μ + Αλλά πlr " είναι ο όγκος που καταλαμβάνει το πηνίο Ορίζουμε την πυκνότητα μαγνητικής ενέργειας: u : = U : V = B" 2μ + Η παραπάνω έκφραση ισχύει τόσο για ομογενές όσο και μη ομογενές πεδίο. Το αποτέλεσμα μπορεί να συγκριθεί με αυτό του ηλεκτρικού πεδίου: u ; = 1 2 ε +E "

15 Παράδειγμα: ΦΥΣ Διαλ Θα υπολογίσουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής ενός συστήματος ομοαξονικών κυλίνδρων με ακτίνες α και b. Θεωρούμε ότι το μήκος των κυλίνδρων l είναι πολύ μεγάλο και οι κύλινδροι διαρρέονται από αντίθετης φοράς ρεύματα, έντασης Ι. Το σύστημα αυτό αποτελεί προσέγγιση ενός ομοαξονικού καλωδίου. Όταν το σύστημα διαρρέεται από τα αντίθετα ρεύματα, δημιουργείται μαγνητικό πεδίο το οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε με τον νόμο του Ampere. Ø Για r < a: B! = 0 Ø Για a r b: θα πάροuμε: C C < < B " + d s = μ + I Bds = μ + I B2πr = μ + I B2πr = μ +I 2πr Ø Για b r: B, = 0 Από το γραμμοσκιασμένο ορθογώνιο του σχήματος με διαστάσεις b a l διέρχεται μαγνητική ροή Φ / που μπορούμε υπολογίσουμε θεωρώντας τα στοιχειώδη εμβαδά των έντονα γραμμοσκειασμένων ορθογωνίων: d A = lı dr ȷ d A = ldr@k

16 Παράδειγμα Θα έχουμε επομένως: dφ / = B " ldr = μ +I 2πr ldr Ολοκληρώνοντας, παίρνουμε: Φ / = G dφ / = G Φ / = μ +li 2π ln b a 0 1 μ+ I ΦΥΣ Διαλ πr ldr = μ 1 +I dr 2π l G r 0 Από τον ορισμό της επαγώγιμης τάσης θα έχουμε: E = dφ / Από τον ορισμό της τάσης αυτεπαγωγής έχουμε: E = L di = μ +l 2π ln b a Επομένως καταλήγουμε ότι ο συντελεστής αυτεπαγωγής είναι: L = μ +l 2π ln b a di

17 ΦΥΣ Διαλ Παράδειγμα Θεωρούμε ένα πλατύ χάλκινο έλασμα πλάτους w, το οποίο τυλίγεται σε κύλινδρο ακτίνας R, όπως στο σχήμα. Το έλασμα διαρρέεται από ρεύμα Ι το οποίο είναι κατανεμημένο ομοιόμορφα κατά το πλάτος της επιφάνειας του ελάσματος. Με τον τρόπο αυτό σχηματίζεται ένα σωληνοειδές μια σπείρας. (α) Ποιο το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου Β μέσα στο σωληνωτό τμήμα. Υποθέτουμε ότι το μαγνητικό πεδίο έξω από το σωληνοειδές αυτό τμήμα είναι αμελητέο. (β) Ποιος είναι ο συντελεστής αυτεπαγωγής του σωληνοειδούς αυτού, αγνοώντας τις επίπεδες B C προεκτάσεις. Θεωρούμε μια κλειστή καμπύλη που να περνά από το έλασμα, όπως στο σχήμα, και εφαρμόζουμε το νόμο του Ampere: C =><?= Bds = μ + I G Bd + G BW + G Bd + G BW = μ + I Από τις σχέσεις: = > > < E = dφ / E = L di <?? = LI = Φ / L = Φ / I A = πr" B I BW = μ + I B = μ +I W = πr" μ + I WI D L = μ +πr " W