-1- ΚΟΠΩΣΗ. - η μέση τιμή της τάσεως m της εναλλασσόμενης φόρτισης,

Transcript

1 -1- ΚΟΠΩΣΗ Γενικά Σε πολλές περιπτώσεις στοιχεία κατασκευών ή και ολόκληρες κατασκευές (μηχανές, μηχανισμοί) υποβάλλονται σε φορτίσεις μεταβαλλόμενες συναρτήσει του χρόνου. Αυτές οι φορτίσεις προκαλούν μεταβαλλόμενες τάσεις στο εσωτερικό των υλικών που καλούνται τάσεις κοπώσεως. Όπως αποδεικνύεται, το 90% περίπου των αστοχιών που παρουσιάζονται στην πράξη στα κινητά τμήματα των κατασκευών, οφείλονται σε τάσεις κοπώσεως, καίτοι αυτές μπορεί να είναι μικρότερες των αντίστοιχων ορίων διαρροής ή θραύσης ή ακόμα και ελαστικότητας, των χρησιμοποιούμενων υλικών υπό στατικές φορτίσεις. Το φαινόμενο της αστοχίας από τάσεις κοπώσεως καλείται κόπωση. Η σύγχρονη δε τάση για μηχανές υψηλών ταχυτήτων σε συνδυασμό και με την οικονομία του υλικού, αυξάνει το μέγεθος των εναλλασσόμενων τάσεων λειτουργίας και άρα την πιθανότητα αστοχίας, κάνοντας ακόμα πιο επιτακτική την ανάγκη μελέτης της συμπεριφοράς των υλικών σε κόπωση. Βασικό αντικείμενο των δοκιμών κοπώσεως είναι ο υπολογισμός των εναλλασσόμενων τάσεων ασφαλείας (όριο κοπώσεως ) για τις οποίες το υλικό μπορεί να λειτουργεί με ασφάλεια για άπειρο θεωρητικά αριθμό επαναλήψεων της φόρτισης. Γενικά οι τάσεις κοπώσεως εξαρτώνται από: - τον τρόπο φορτίσεως κοπώσεως (κυμαινόμενη, επαναλαμβανόμενη, αντιστρεφόμενη), - τη σταθερότητα τη σχέσης τάσεων-παραμορφώσεων λόγω αύξησης των τελευταίων και λόγω μεταβολής των διαστάσεων του δοκιμίου. Ωστόσο, για συνήθεις δοκιμές, υπό θερμοκρασίες περιβάλλοντος και για μικρές ταχύτητες παραμόρφωσης, οι τάσεις κοπώσεως θα θεωρούνται ότι εξαρτώνται μόνο από τον τρόπο φόρτισης. Με τη σειρά του ο τρόπος φορτίσεως επιδρά σημαντικά στην αντοχή των υλικών σε κόπωση. Άλλοι παράγοντες που επίσης επιδρούν στην αντοχή των υλικών σε κόπωση είναι: - η μέση τιμή της τάσεως m της εναλλασσόμενης φόρτισης, - η συχνότητα της εναλλαγής φόρτισης, - η θερμοκρασία και το περιβάλλον της δοκιμής, - οι φυσικές, θερμικές και χημικές κατεργασίες του υλικού, - το μέγεθος του δοκιμίου, οι ηλεκτρικές κατεργασίες και ηλεκτροχημικές επικαλύψεις και η μηχανική κατάσταση της επιφάνειάς του, αλλά και το σχήμα του, που σχετίζονται με το πλήθος εγγενών ατελειών και την παρουσία γεωμετρικών ασυνεχειών, που και τα δύο δημιουργούν συγκέντρωση τάσεων.

2 -2- Ιδιαίτερα ο τελευταίος παράγοντας, δηλ. οι περιοχές συγκέντρωσης τάσεων, επηρεάζει ιδιαίτερα την αστοχία των υλικών σε κόπωση και θα αποτελέσει ένα από τα αντικείμενα της παρούσας ενότητας. Σε αντίθεση δηλαδή με τη ρεολογική συμπεριφορά των υλικών, που σχετίζεται με τη συνολική συμπεριφορά του υλικού σε μακροχρόνια επιβολή τάσεων ή παραμορφώσεων, η αστοχία στην κόπωση οφείλεται κυρίως στη δημιουργία και επέκταση ρωγμών στις περιοχές συγκεντρώσεων τάσεων, που με την επαναλαμβανόμενη φόρτιση οδηγούν τελικά σε εκτεταμένη ολίσθηση κατά κρυσταλλικά επίπεδα και την αστοχία του υλικού. Το πλήθος των παραγόντων που επιδρούν στην αστοχία των υλικών λόγω κόπωσης είναι και ο λόγος που κάνει τη μελέτη της σε θεωρητικό επίπεδο πολύ δύσκολη έως αδύνατη καίτοι η συστηματική μελέτη της συμπεριφοράς των υλικών σε κόπωση ξεκινά από τον Wöhler ήδη από το Έτσι η μελέτη της συμπεριφοράς των υλικών σε κόπωση γίνεται βασικά σε πειραματικό επίπεδο όπου και εκεί λόγω των πολλών παραγόντων που επηρεάζουν την αντοχή του υλικού λαμβάνεται μέριμνα ελέγχου αυτών των παραγόντων, π.χ. με την εκτέλεση των δοκιμών σε συνθήκες περιβάλλοντος, για συχνότητες εναλλαγής φόρτισης μέχρι 100 Hz (για μεγαλύτερες συχνότητες αύξηση θερμοκρασίας και μεταβολή μηχανικών ιδιοτήτων υλικών) και χρήση μικρών και κατά το δυνατό χωρίς ατέλειες δοκιμίων. Παρόλα αυτά και πάλι η διασπορά των αποτελεσμάτων κατά την επανάληψη όμοιων πειραμάτων είναι μεγάλη, οδηγώντας κατ ανάγκη στη στατιστικού χαρακτήρα παρουσίαση των αποτελεσμάτων.

3 -3- Τρόποι φόρτισης Γενικά, η εναλλασσόμενη φόρτιση (ή επιβαλλόμενη παραμόρφωση) στην κόπωση, και άρα και η εναλλασσόμενη τάση σ(t) έχει τη μορφή της κατανομής του σχήματος (για ευκολία, στη συνέχεια θα γίνεται αναφορά μόνο στην τάση και όχι στην παραμόρφωση). Δεδομένου ότι η παραπάνω κατανομή μπορεί να αναλυθεί με τη βοήθεια σειρών και ολοκληρωμάτων Fourier σε άπειρο αριθμό ημιτονοειδών καμπυλών διαφόρων ευρών, η μελέτη περιορίζεται στη θεώρηση μίας απλής ημιτονοειδούς εναλλασσόμενης τάσης κοπώσεως συναρτήσει του χρόνου σ(t), δηλαδή σταθερού εύρους, ως εξής: 2 (t) m sin t (1) όπου Τ η περίοδος της σ(t) και m και η μέση τάση και το εύρος της εναλλασσόμενης τάσης κοπώσεως, αντίστοιχα: max min m και 2 max 2 min (2) Αναλόγως δε του προσήμου της m, θετικό ή αρνητικό, διακρίνεται και η εναλλασσόμενη φόρτιση σε εφελκυσμό ή θλίψη, αντίστοιχα.

4 -4- Αναλόγως της τιμής της α) αν m, η κυμαινόμενη φόρτιση m, διακρίνονται οι εξής τρεις βασικοί τρόποι φόρτισης: β) αν m, η επαναλαμβανόμενη φόρτιση γ) αν m 0, η αντιστρεφόμενη φόρτιση Οι παραπάνω, αλλά και οι ακόλουθοι, ορισμοί, θα ισχύουν κατ επέκταση και στις περιπτώσεις της καμπτικής ή/και της στρεπτικής κοπώσεως.

5 -5- Ορισμοί Όριο κοπώσεως σ κ. Το σημαντικότερο μέγεθος που υπολογίζεται στο εργαστήριο και αναφέρεται στην ασφαλή λειτουργία του υλικού σε κόπωση. Όριο κοπώσεως, καλείται η μέγιστη τιμή του εύρους της εναλλασσόμενης τάσης, που, για, μπορεί να επιβληθεί για άπειρο αριθμό δεδομένη τιμή της μέσης τάσης m εναλλαγών Ν στο υλικό, χωρίς να προκαλέσει την αστοχία του ( ( m ) ). Ο αριθμός Ν ορίζεται κατά τους Γερμανικούς κανονισμούς σε 10 8 εναλλαγές για το αλουμίνιο, και σε 10 7 εναλλαγές για το χάλυβα. Για τον προσδιορισμό του, εκτελείται σειρά πειραμάτων με σταθερή τιμή m και μεταβάλλοντας την τιμή του εύρους της εναλλασσόμενης τάσης. Αντοχή κοπώσεως σ α, καλείται η τιμή του εύρους της εναλλασσόμενης τάσης, που για δεδομένη τιμή της μέσης τάσης m, προκαλεί την αστοχία του υλικού μετά από συγκεκριμένο πεπερασμένο αριθμό εναλλαγών φόρτισης Ν Θ Θ ( σ σ (,N) ). α α m

6 -6- Καμπύλη κοπώσεως και καμπύλη Wöhler Ο προσδιορισμός της αντοχής των υλικών σε κόπωση γίνεται με τη δοκιμή κοπώσεως. Όμοια δοκίμια υποβάλλονται σε επαναλαμβανόμενη φόρτιση με σταθερή τη μέση τάση m, και μεταβαλλόμενη την εναλλασσόμενη τάση, οπότε προσδιορίζεται ο αριθμός Ν των εναλλαγών της φόρτισης μέχρι τη θραύση Θ τους (τότε σ σ ). Με τα ζεύγη των πειραματικών τιμών ( σ, Ν) κατασκευάζεται α α η καμπύλη κοπώσεως (σ α ) του υλικού, που συνήθως αναφέρεται σε αντιστρεφόμενη φόρτιση ( m 0). Θ α Για καλύτερη εποπτεία, χρησιμοποιείται λογαριθμικός άξονας των Ν, οπότε στην περίπτωση αυτή η καμπύλη κοπώσεως ονομάζεται καμπύλη Wöhler (σα log 10 ). Για, η καμπύλη κοπώσεως τείνει ασυμπτωτικά στο όριο κοπώσεως σ κ. Κάτω από την καμπύλη βρίσκεται η ασφαλής περιοχή ενώ πάνω, η περιοχή αστοχίας. Στην καμπύλη Wöhler διακρίνονται τρία διακεκριμένα μέρη: το αρχικό Ι, σχεδόν ευθεία κεκλιμένη, το ενδιάμεσο (γόνυ) ΙΙ και το τρίτο ΙΙΙ, σχεδόν ευθεία παράλληλη στον άξονα Ν. Αναφέρεται επίσης και τέταρτη περιοχή ΙV, αυτή της ολιγοκυκλικής φόρτισης, όπου η παίρνει μεγάλες τιμές, πλησίον του ορίου διαρροής του υλικού, που προκαλούν πλαστικές παραμορφώσεις στο δοκίμιο.

7 -7- Στο όριο, η τάση κοπώσεως σ(t) μπορεί, για m 0, να λάβει τη μέγιστη τιμή (t) : m Τότε από την ημιτονοειδή μορφή της σ(t), προκύπτει ότι η τιμή αυτή επιτυγχάνεται για Ν=1/4. Ομοίως, αν m 0, τότε στο όριο θα μπορεί να είναι (t), προφανώς πάλι για Ν=1/4, οπότε η καμπύλη Wöhler, για αντιστρεφόμενη φόρτιση, μπορεί, στο όριο, να αρχίζει από το σημείο (, Ν = 1 4 ). Σε αυτήν την περίπτωση η καμπύλη Wöhler μπορεί και να δίδεται σε διάγραμμα με τεταγμένες τις ανηγμένες τιμές του εύρους εναλλασσόμενων τάσεων ως προς την στατική τάση θραύσης του υλικού ( log 10 ) :

8 -8- Στατιστικός χαρακτήρας αποτελεσμάτων Τα αποτελέσματα των πειραμάτων κοπώσεως παρουσιάζουν μεγάλη διασπορά, δηλ. επανάληψη ομοίων σειρών πειραμάτων δίνει διαφορετικές καμπύλες κοπώσεως (οικογένεια καμπυλών για την ίδια m για συγκεκριμένο υλικό). Κάθε καμπύλη έχει μία πιθανότητα εμφανίσεως p. Αυτή που επιλέγεται είναι εκείνη με την πιθανότητα εμφάνισης p=0.5 (50%) ως εξής: Δεδομένου του ίδιου m ή 0, εκτελούνται ν-δοκιμές για κάθε, και βρίσκονται ν-τιμές εναλλαγών i (i=1,2,,ν) που οδηγούν σε αστοχία. Αν μία τιμή εκ των i εμφανίζεται k(i) -φορές στο πλήθος των ν-τιμών, τότε το k(i) είναι η συχνότητα εμφάνισης της πιθανότητα εμφάνισης της μεταξύ των ν-τιμών, και pi lim k(i) i i. η αντίστοιχη Θ Για κάθε σ α, αυξανομένου του Ν αυξάνεται η πιθανότητα θραύσης του δοκιμίου. Άρα τα μεγαλύτερα εκ των θα εμφανίζονται περισσότερες φορές στα επαναλαμβανόμενα πειράματα, θα έχουν δηλ. περισσότερες πιθανότητες εμφάνισης όπως φαίνεται στο σχήμα. i Θ Σε κάθε ένα από τα σ α αντιστοιχεί μια αντίστοιχη κατανομή πιθανοτήτων των εναλλαγών Ν που οδηγούν σε αστοχία, και όλα αυτά τα σημεία σε ένα διάγραμμα ( log 10 ) καθορίζουν τις καμπύλες Wöhler της ίδιας οικογένειας (ίδιο m ) με την αντίστοιχη πιθανότητα εμφάνισής τους. Από όλες αυτές τις καμπύλες, κρατείται η μέση καμπύλη Wöhler (p=0.5).

9 -9- Τα σημεία τομής μιας ευθείας p με την οικογένεια καμπυλών Wöhler, δίνουν την διανομή των συγκεκριμένη p. Θ α σ για τη Θ Και τότε η καμπύλη ( p σ α ) είναι η λεγόμενη καμπύλη ανταποκρίσεως, και δηλώνει την πιθανότητα p αστοχίας του δοκιμίου υπό την Θ συγκεκριμένη επαναληπτική σα σα, για το συγκεκριμένο αριθμό εναλλαγών. p Θ Αναλόγως, τα σημεία τομής μιας Θ Θ ευθείας σα σα σα,p με την οικογένεια καμπυλών Wöhler, δίνουν την διανομή των N για τη Θ Θ συγκεκριμένη σα σα,p. Και τότε η καμπύλη (p log 10 ) δηλώνει την πιθανότητα p αστοχίας του δοκιμίου για κάθε συγκεκριμένο αριθμό εναλλαγών για τη Θ p Θ συγκεκριμένη σα σα σα,p (από όπου φαίνεται ότι όσο μεγαλύτερο το Ν τόσο πιο αυξημένη είναι η πιθανότητα εμφάνισής του στις ν- δοκιμές).

10 -10- Διάγραμμα Goodman (1914)-Smith (1942) Προηγουμένως χαράχθηκε η καμπύλη (κοπώσεως) Wöhler, που παρείχε τους ασφαλείς συνδυασμούς εναλλασσόμενης τάσης και εναλλαγών φόρτισης Ν (κάτω από την καμπύλη log10 ), και εντέλει το όριο κοπώσεως, αλλά για συγκεκριμένη τιμή της μέσης τάσης m. Είναι όμως δυνατόν να κατασκευασθεί διάγραμμα, που θα παράσχει το όριο κοπώσεως, για κάθε m (για άπειρο προφανώς αριθμό εναλλαγών φόρτισης Ν). Το διάγραμμα αυτό καλείται διάγραμμα Goodman-Smith. Για τη χάραξη του διαγράμματος Goodman-Smith, γίνονται οι κάτωθι πειραματικά αποδειχθείσες παραδοχές (από πειράματα του Wöhler): α) το όριο κοπώσεως στην αντιστρεφόμενη φόρτιση ( m 0) είναι 3, με την τάση θραύση σε στατικό εφελκυσμό, β) το όριο κοπώσεως στην επαναλαμβανόμενη φόρτιση ( m ) είναι 4, γ) για m, ισχύει προφανώς ότι 0. Χάραξη διαγράμματος: 1) Άξονας τετμημένων m : 3 m. 2) Άξονας τεταγμένων m : 3 m. 3) Φέρεται η ευθεία ΑΟΒ, διερχόμενη από την αρχή των αξόνων Ο, υπό γωνία 45 ο με τον άξονα των τετμημένων, ώστε ( m σ Θ, m σ Θ ). 4) Ορίζεται το τμήμα 3 στον άξονα των τετμημένων. 5) Ορίζεται το τμήμα 2 στον άξονα των τεταγμένων, έτσι ώστε 4. 6) Φέρεται η ευθεία ΔΓΒ, ( m σθ 3, m σ Θ 3), και σχηματίζεται το τρίγωνο ΑΔΒ. 7) Φέρεται η ευθεία ΕΚΒ, που είναι διάμεσος για το τρίγωνο ΑΒΔ.

11 -11- Οι συνδυασμοί τιμών ( m, ) εντός του τριγώνου ΑΔΒ είναι ασφαλείς, ενώ εκείνοι εκτός του τριγώνου ΑΔΒ οδηγούν σε αστοχία του υλικού από κόπωση. Έτσι για τον προσδιορισμό του, για τυχαίο m, προσδιορίζεται το Λ στον άξονα των τετμημένων, έτσι ώστε m. Από το Λ φέρεται παράλληλη στον άξονα των τεταγμένων, που τέμνει την ΑΟΒ στο Ζ. Από το Ζ φέρεται παράλληλη στον άξονα των τετμημένων, που τέμνει την ΕΚΒ στο Η. Από το Η φέρεται παράλληλη στον άξονα των τεταγμένων, που τέμνει τις ΑΟΒ και ΕΚΒ στα Ι και Θ, αντίστοιχα έτσι ώστε, το ζητούμενο όριο κοπώσεως για τη συγκεκριμένη m.

12 -12- Ένας άλλος τρόπος παραστάσεως της περιοχή των ασφαλών συνδυασμών των τιμών ( m, ) ώστε το υλικό να μην αστοχεί από κόπωση, είναι η χάραξη διαγράμματος ( m ). Το διάγραμμα αυτό φαίνεται στο σχήμα για τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις, κατά Goodman, Soderberg και Gerber. Ευθεία Goodman, που ενώνει το όριο κοπώσεως την τάση θραύσης στατικής φόρτισης: σε αντιστρεφόμενη φόρτιση, με c m 1 m c 2 1 (3) Ευθεία Soderberg, που ενώνει το όριο κοπώσεως το όριο ελαστικότητας στατικής φόρτισης: σε αντιστρεφόμενη φόρτιση, με c m 3 m c 4 1 (4) Παραβολή Gerber, που ενώνει το όριο κοπώσεως την τάση θραύσης στατικής φόρτισης: σε αντιστρεφόμενη φόρτιση, με c6 c m 5 m 1 2 (5) Σε όλες τις περιπτώσεις, οι εντός των γραμμοσκιασμένων σχημάτων περιοχές είναι οι ασφαλείς, έναντι κοπώσεως. Το διάγραμμα Goodman-Smith, τροποποιείται προσεγγίζοντας περισσότερο την πραγματικότητα, αν ληφθούν υπόψη οι πειραματικές τιμές του ορίου κοπώσεως σε αντιστρεφόμενη φόρτιση, που εν γένει βρίσκονται διαφοροποιημένες σε σχέση με

13 -13- εκείνες που χρησιμοποίησε ο Wöhler, και επίσης αν αντί της τάσης θραύσεως στατικής φόρτισης, θεωρηθεί το όριο ελαστικότητας. Η αντικατάσταση της από το δικαιολογείται εκ του γεγονότος ότι για μεγάλες τιμές της m (ή της αν m 0) και πριν την τιμή m, δηλ. στην περιοχή IV της ολιγοκυκλικής φόρτισης (λίγοι κύκλοι λόγω μεγάλης τιμής της τάσης), στο υλικό δημιουργούνται και πλαστικές παραμορφώσεις, οπότε από την (για γραμμικά ελαστικό-απολύτως πλαστικό υλικό) και πέρα δεν υπάρχει περαιτέρω αύξηση της τάσης. Στο παρακάτω τροποποιημένο διάγραμμα Goodman-Smith, έχουν χαραχθεί επίσης η ευθεία Goodman και η παραβολή Gerber. Το παραπάνω διάγραμμα αναφέρεται σε όλκιμα υλικά, όπου και ίδια κατ απόλυτο τιμή σε εφελκυσμό και θλίψη. Στην περίπτωση ψαθυρών υλικών, όπου και σε θλίψη μεγαλύτερα κατ απόλυτο τιμή από τα αντίστοιχα όρια σε εφελκυσμό το τροποποιημένο διάγραμμα Goodman-Smith είναι τη μορφής:

14 -14- Γενικά κριτήρια αστοχίας στην κόπωση Στις περιπτώσεις που το σώμα υπόκειται σε κόπωση υπό σύνθετη καταπόνηση, τότε τα γνωστά κριτήρια αστοχίας βρίσκουν, με κατάλληλη επέκταση, εφαρμογή και στην κόπωση. Ένας τρόπος να εφαρμόσουμε τα κριτήρια αστοχίας είναι να θεωρήσουμε μόνο τις εναλλασσόμενες τάσεις ( m 0 ), και δη τις κύριες. Αυτές θα πρέπει στην περίπτωση της κόπωσης να μην υπερβαίνουν όχι το όριο διαρροής σε καθαρό εφελκυσμό, αλλά το αντίστοιχο όριο κοπώσεως. Επίσης, καθώς η αστοχία λόγω κοπώσεως ξεκινά από ρωγμές κοπώσεως που δημιουργούνται στην επιφάνεια του δοκιμίου, είναι δυνατόν τα κριτήρια αστοχίας στην κόπωση να περιοριστούν στο δισδιάστατο εντατικό πρόβλημα (στην επιφάνεια του δοκιμίου). Έτσι, για ένα δοκίμιο από χυτοσίδηρο, που υπό στατική σύνθετη καταπόνηση, το κριτήριο μέγιστης διατμητικής τάσης Tresca-Saint Venant, διατυπώνονταν ως: ( 1 2) ( 2 3) ( 1 3) 0 (6) το αντίστοιχο κριτήριο συναρτήσει των εναλλασσόμενων κύριων τάσεων κοπώσεως, και του ορίου κοπώσεως, γίνεται για το ίδιο δοκίμιο υπό σύνθετη καταπόνηση κόπωσης: ( 1 2) ( 2 3) ( 1 3) 0 (7) όπου το όριο κοπώσεως λαμβάνεται από το διάγραμμα Goodman-Smith. Αν δε οι κύριες εναλλασσόμενες τάσεις είναι διατεταγμένες (δηλ. με μέγιστο κύκλο Mohr 1, 3), η (7) απλοποιείται στην: 13 (8) Ανάλογα, για ένα δοκίμιο από κράμα χάλυβα, που υπό στατική σύνθετη καταπόνηση, το κριτήριο (πυκνότητας) στροφικής ενέργειας Mises-Hencky διατυπώνονταν ως: ( 1 2) ( 2 3) ( 3 1) 2, (9) τώρα, το αντίστοιχο κριτήριο συναρτήσει των εναλλασσόμενων κύριων τάσεων κοπώσεως, και του ορίου κοπώσεως, γίνεται για το ίδιο δοκίμιο υπό σύνθετη καταπόνηση κόπωσης: ( 1 2) ( 2 3) ( 3 1) 2 (10) με το να λαμβάνεται πάλι από το διάγραμμα Goodman-Smith. Για δισδιάστατη εντατική κατάσταση, π.χ. 3 0, η (10) μεταπίπτει στην: (11)

15 -15- Ειδικά στην περίπτωση δοκιμίων υπό στρεπτο-καμπτική κόπωση (ενδιαφέρον σε περιπτώσεις ατράκτων), η ασφαλής περιοχή συνδυασμών εναλλασσόμενων ορθών τάσεων σ λόγω κάμψης και διατμητικών εναλλασσόμενων τάσεων τ λόγω διάτμησης, βρίσκεται εντός της ελλείψεως: (12) όπου ο μεγάλος a, και ο μικρός b ημιάξονας της ελλείψεως είναι τα όρια κοπώσεως του υλικού σε κάμψη και στρέψη, αντίστοιχα, για αντιστρεφόμενη φόρτιση (δηλ. για m 0). Παράγοντες που επηρεάζουν της αντοχή των υλικών σε κόπωση περιοχές συγκεντρώσεως τάσεων Όπως ήδη αναφέρθηκε στα γενικά στοιχεία, ένας εκ των σημαντικότερων παραγόντων που επηρεάζουν την αντοχή των υλικών σε κόπωση είναι οι περιοχές συγκέντρωσης τάσεων. Ο συγκεκριμένος παράγοντας ερευνάται με τη μελέτη της συμπεριφοράς δοκιμίου με εγκοπή σχήματος και διαστάσεων βάσει προδιαγραφών, υπό εναλλασσόμενη φόρτιση, σε σχέση με το αντίστοιχο ομογενές δοκίμιο. Οπωσδήποτε ακόμη και στην περίπτωση της μοναδικής προδιαγραφόμενης ασυνέχειας, η πολυπλοκότητα του προβλήματος, που συνδέεται με τις σημαντικές αλλαγές της τρισδιάστατης εντατικής κατάστασης στην εγκοπή κατά την εναλλασσόμενη φόρτιση, τη δημιουργία και επέκταση πλαστικής ζώνης γύρω από το άκρο της εγκοπής, την ανακατανομή των τάσεων και την ως εκ τούτου μετατόπιση του σημείου συγκέντρωσης τάσεων, την προφανή αδυναμία χρησιμοποίησης του γενικ. νόμου Hooke, κλπ., καθιστούν πολύ δύσκολη τη μελέτη της μηχανικής συμπεριφοράς σε μία τέτοια δοκιμή κόπωσης. Στην περίπτωση αυτή, οι κρίσιμοι συνδυασμοί m (μέση στατική τάση), σα (εύρος εναλλασσόμενης τάσης στην περίπτωση δοκιμίου με εγκοπή), καθορίζονται από εξίσωση οριακής ευθείας σε διάγραμμα m σα, βασιζόμενη στη συνθήκη Goodman (3). Προς τούτο, ορίζονται: Ο Κ f, ως ο συντελεστής μειώσεως εναλλασσόμενης αντοχής ή συντελεστής αναγωγής εξ εγκοπών, ίσος με το λόγο της αντοχής κοπώσεως δοκιμίου άνευ ασυνεχειών προς την αντοχή κοπώσεως δοκιμίου μετ εγκοπής, υπό την προϋπόθεση ότι και για δύο δοκίμια θεωρείται ο ίδιος αριθμός εναλλαγών Ν και η ίδια μέση τάση

16 -16- m. Δηλαδή κανονίζεται και τα δύο δοκίμια να αστοχούν στον ίδιο αριθμό εναλλαγών Ν και υπό την ίδια μέση τάση m, οπότε προφανώς, σ α > σα και άρα Κf 1. To Κ nf, ως η συμβατική τιμή του Κ f, για πεπερασμένο αριθμό Ν. Ο Κ t, ως ο συντελεστής συγκέντρωσης τάσεων στην ελαστική περιοχή (εκτός πλαστικής ζώνης) για στατική φόρτιση. To Κ, ως η τιμή του Κ t στην πλαστική περιοχή λόγω της στατικής φόρτισης ( m ). Συνήθως Κ 1, αφού στην πλαστική περιοχή m const., οπότε δεν υπάρχει συγκέντρωση τάσης. Ο q, ως ο συντελεστής ευαισθησίας σε εγκοπές: Κ 1 q= f Κ 1 t (13) με 0<q<1. Πράγματι, έχει αποδειχθεί ότι η συγκέντρωση τάσεων λόγω ασυνεχειών υπό φορτία κοπώσεως είναι μικρότερη από την αντίστοιχη υπό στατικά φορτία, άρα Κ Κ. t f Επίσης με m τη μέση στατική τάση, το εύρος της εναλλασσόμενης τάσης για αντιστρεφόμενη φόρτιση ( m = 0) σε ομογενές δοκίμιο, το όριο διαρροής όλκιμου υλικού και την τάση θραύσης ψαθυρού υλικού, σε μονοαξονική στατική φόρτιση, η εξίσωση της οριακής ευθείας αστοχίας σα c1m c2, για συγκεκριμένο αριθμό εναλλαγών Ν, κάτω από την οποία είναι η ασφαλής περιοχή, γράφεται: Κn f σα ΚΔ m 1 σ Δ( ή σ Θ) (14) Σε σχέση με την (14), μπορούμε να πούμε ότι, λόγω του άνω ορίου του αθροίσματος m σα ( σδ ή σ Θ), όσο η m αυξάνεται τόσο το σα μειώνεται, οπότε στην περιοχή ΙV της ολιγοκυκλικής φόρτισης (πλαστικότητα: 1), όταν δηλ. m σδ ή σθ, το σα 0 και ο πρώτος όρος της (14) τείνει στο μηδέν. Τότε η (14) μεταπίπτει στην προφανή σχέση: 1 σ ( ή σ ) Δ Θ 0 1 σ ( ή σ ) Δ Θ (15) Διαφορετικά, διατυπώνοντας τα παραπάνω, μπορούμε να πούμε ότι μία διαδιδόμενη εγκοπή μειώνει την αντοχή κοπώσεως, οπότε, εκ του ορισμού του, το Κ αυξάνεται. Τότε για τη διατήρηση της συνθήκης (14) το σα μειώνεται και άρα η αυξάνεται (έτσι ώστε να ισχύει πάντα m σ α σ Δ ή σ Θ ). n f m μπορεί να

17 -17- Φαινομενολογία κοπώσεως - Εμφάνιση γραμμών ολίσθησης στην επιφάνεια του δοκιμίου. Όχι της μορφής όπως λόγω στατικής μονοτονικής φόρτισης, αλλά της μορφής. Και στις δύο περιπτώσεις πρόκειται για ολίσθηση ολόκληρων τμημάτων κρυστάλλων κατά πυκνά κρυσταλλογραφικά επίπεδα και διευθύνσεις. Στην περίπτωση της κοπώσεως ωστόσο, οι γραμμές ολίσθησης δημιουργούνται και όταν ακόμα (t) m. Η συνέχιση της επαναλαμβανόμενης φόρτισης έχει ως αποτέλεσμα τη συσσώρευση πολλών γραμμών ολίσθησης μέχρις ότου ελάχιστες από αυτές να δημιουργούνται. Τότε εμφανίζονται επιφανειακές ρωγμές στις εσοχές που φαίνονται στο σχήμα. Οι ρωγμές διαδίδονται κατά τις γραμμές ολίσθησης, ενδοκοκκικά (αφού οι γραμμές ολίσθησης διαπερνούν τον κρυσταλλικό κόκκο), προς το εσωτερικό του δοκιμίου από κόκκο σε κόκκο μέχρις τελικής θραύσεως, που στην περίπτωση της κόπωσης χαρακτηρίζεται ως ψαθυρή, ακόμα και όταν πρόκειται για όλκιμο υλικό. - Συνέπεια της ολίσθησης κατά τα κρυσταλλικά επίπεδα είναι η δημιουργία θερμότητας. Ιδιαίτερα έντονη είναι η αύξηση της θερμοκρασίας στα πρώτα στάδια της επαναλαμβανόμενης φόρτισης κατά τη φάση της δημιουργίας πολλών γραμμών ολίσθησης, ενώ στο τέλος η αύξηση της θερμοκρασίας γίνεται αμελητέα με το σταμάτημα δημιουργίας νέων γραμμών ολίσθησης. - Οι τροποποιήσεις στη δομή των μετάλλων λόγω κόπωσης, εξαρτώνται από την τιμή του εύρους της εναλλασσόμενης τάσης, σε σχέση με το όριο κοπώσεως : Αν, δημιουργία κλασματικών κόκκων, δημιουργία κενών μεταξύ των κλασματικών κόκκων, δημιουργία ρωγμών αρχομένων εκ των κενών. Αν, δημιουργία γραμμών ολίσθησης, δημιουργία επιφανειακών ρωγμών κατά τις γραμμές ολίσθησης. Ειδικά στα μέταλλα κυβικού εδροκεντρωμένου συστήματος, συγκέντρωση γραμμών ολίσθησης σε στενές λωρίδες ολίσθησης, όπου εμφανίζονται οι αρχικές μικρορωγμές κοπώσεως. - Επίσης το μέγεθος των κρυσταλλικών κόκκων παίζει ρόλο καθώς τα σύνορά τους είναι συνήθως ισχυρότερα των ίδιων των κόκκων, αποτελώντας εμπόδια στην κίνηση των μεταστάσεων (γραμμοαταξιών κλπ.) και άρα στη δημιουργία των γραμμών ολίσθησης, αλλά και τη διάδοση των ρωγμών από τη επιφάνεια μέσα και κατά τη μάζα του δοκιμίου υπό τάσεις κοπώσεως (αυτό ισχύει και για στατική φόρτιση). Οπότε μικρό μέγεθος κόκκων και άρα μεγαλύτερο πλήθος συνόρων συνεπάγεται μεγαλύτερο εμπόδιο στην διάδοση των ρωγμών εκ κοπώσεως.

18 Επίσης ο αριθμός και η έκταση των γραμμών ολίσθησης εξαρτώνται από το εύρος της εναλλασσόμενης τάσης, και τον αριθμό των εναλλαγών Ν, με την πρώτη εμφάνισή τους να εξαρτάται απ ευθείας από το μέγεθος της (μικρή τιμή, μεγάλο Ν, μεγάλος αριθμός και έκταση γραμμών ολίσθησης). - Πολύ πριν την έναρξη ελάττωσης της μηχανικής αντοχής του υλικού, ελάττωση ή και πλήρης παύση εμφάνισης γραμμών ολίσθησης. Σε αυτό τα στάδιο, εξέταση με ακτίνες Χ του δοκιμίου υπό τη μεταβαλλόμενη φόρτιση, δείχνει δημιουργία χαρακτηριστικών σχεδίων, ενδεικτικών της παραμόρφωσης του κρυσταλλικού πλέγματος. - Το τμήμα του μετάλλου πλησίον των γραμμών ολίσθησης διαχωρίζεται σε χαλαρά συνδεδεμένους μικρούς κρυσταλλικούς κόκκους, τους κρυσταλλίτες (δενδρίτες), μεταξύ των οποίων σχηματίζονται και διαδίδονται οι επιφανειακές ρωγμές, που με αργό ρυθμό κινούνται προς το κέντρο του δοκιμίου οδηγώντας στην τελική θραύση. - Οι επιφάνειες θραύσης παρουσιάζουν δύο περιοχές: Μία στιλπνή, προς το σύνορο της επιφάνειας θραύσης, που είναι η περιοχή εκκίνησης της ρωγμής και έχει αποκτήσει αυτή τη λεία μορφή λόγω της τριβής μεταξύ των παρειών των ρωγμών κατά την εναλλασσόμενη φόρτιση. Μία θαμβή, χονδρόκοκκη, στο κεντρικό τμήμα της επιφάνειας θραύσης, που είναι η περιοχή που θραύτηκε στο τέλος, απότομα και ψαθυρά (ακόμα και τα όλκιμα υλικά θραύονται λόγω κοπώσεως με ψαθυρό τρόπο). - Γενικά εκκίνηση της ρωγμής από περιοχές συγκέντρωσης τάσεων, και διάδοσή της κατά τις γραμμές ολίσθησης, ενδοκοκκικά, έστω και εάν κάποιες στιγμές παρεκκλίνει ή σταματάει στιγμιαία λόγω παρεμβολής των ισχυροτέρων συνόρων των κρυσταλλικών κόκκων. - Οι περιοχές συγκέντρωσης τάσεων είναι εγκλείσματα, εγκοπές, ατέλειες στην επιφάνεια του στοιχείου, έντονες γεωμετρικές ασυνέχειες του στοιχείου, διαβρωμένες περιοχές (π.χ. απανθρακωμένες, οξειδωμένες, κλπ.). - Εσωτερικά η διάδοση της ρωγμής γίνεται από κενό σε κενό, περικοκκικά ή ενδοκοκκικά. - Μετά τη δημιουργία των ρωγμών κοπώσεως, αύξηση της θερμοκρασίας του στοιχείου, όχι λόγω πλαστικής παραμόρφωσης (όπως κατά τη δημιουργία των γραμμών ολίσθησης στην αρχή της κόπωσης), αλλά λόγω τριβής από τη σχετικά μετακίνηση των παρειών των ρωγμών κοπώσεως κατά την εναλλασσόμενη φόρτιση. - Η διάδοση της ρωγμής κοπώσεως είναι βραδεία λόγω: Σκλήρυνσης του μετάλλου. Αύξησης ελατότητας στην περιοχή της ρωγμής κοπώσεως λόγω αύξησης θερμοκρασίας από την τριβή, και άρα αύξηση ικανότητας αντοχής σε ταχεία διάδοση της ρωγμής. Περαιτέρω ανακοπής της ήδη αργής ταχύτητας διάδοσης της ρωγμής στην περιοχή των συνόρων των κόκκων.

19 -19- Σύνοψη φάσεων κόπωσης α) Αρχική: δημιουργία γραμμών ολίσθησης, ανάπτυξη θερμότητας λόγω πλαστικής παραμόρφωσης, μεταβολή βρόχου υστερήσεως και αλλαγή μηχανικών ιδιοτήτων μετάλλου. β) Ενδιάμεση: μεταβολή στη δομή του μετάλλου-δημιουργία κρυσταλλιτών στην περιοχή των μικρορωγμών κατά τις γραμμές ολίσθησης, που προετοιμάζουν την τελική θραύση, καθώς οι διαχωριστικές επιφάνειες μεταξύ των κρυσταλλιτών είναι ασθενέστερες από αυτές μεταξύ των κρυστάλλων ευνοώντας τη διάδοση της ρωγμής. γ) Τελική: δημιουργία μίας ή περισσοτέρων σημαντικών ρωγμών, αύξηση του βρόχου υστερήσεως και της ποσότητας της σκεδαζόμενης θερμότητας λόγω της τριβής στις παρειές των ρωγμών και τελικά αστοχία του στοιχείου. Επίδραση της κόπωσης στις μηχανικές ιδιότητες του υλικού Ν Σκλήρυνση. Σε δοκίμιο χάλυβα περιεκτικότητας 0.49% σε C, παρατηρείται, μετά από Ν=10 7 εναλλαγές φόρτισης, με εύρος εναλλασσόμενης τάσης ( m 0 ), αύξηση του μέτρου ελαστικότητας, μείωση του λόγου Poisson (εγκάρσιας συστολής), αύξηση των ορίων ελαστικότητας, διαρροής και θραύσης, αλλά μείωση του ορίου αναλογίας. Ειδικότερα, το όριο ελαστικότητας αυξάνει ταχύτερα από το όριο θραύσεως, μέχρι τη σύμπτωση των δύο ορίων, όταν το υλικό έχει πλέον γίνει ψαθυρό, οπότε επέρχεται και η ψαθυρή θραύση του στοιχείου. Επίδραση της κόπωσης στο βρόχο πλαστικής υστερήσεως - Προκαταρκτικό στάδιο: αύξηση βρόχου. - Αρχικό στάδιο: ελάττωση βρόχου, σύγκλιση προς οριακή τιμή. - Ενδιάμεσο στάδιο: σταθερός βρόχος. - Τελικό στάδιο: (για αύξηση της ) αύξηση βρόχου μέχρις θραύσεως.

20 -20- Πειραματική διαδικασία Εφαρμοζόμενοι κανονισμοί: DIN και DIN για καμπτική εναλλασσόμενη φόρτιση. Η αρχή εκτέλεσης της δοκιμής κόπωσης για εφελκυσμό και θλίψη βασίζεται στην επιβολή σταθερής, στατικής μέσης τάσης m (με τη βοήθεια ελατηρίου κατά τον άξονα του δοκιμίου), και εναλλασσόμενης τάσης εύρους (με τη βοήθεια δεύτερου ομοαξονικού ελατηρίου το οποίο όντας συνδεδεμένο με εύκαμπτη περιστρεφόμενη άτρακτο με έκκεντρο βάρος, υπόκειται, λόγω ταλάντωσης της ατράκτου σε εναλλασσόμενη παραμόρφωση). Στα χρησιμοποιούμενα δοκίμια, που είναι κυλινδρικά (με κατάλληλες κεφαλές) μήκους 60 mm και διαμέτρου 15 mm, συγκολλούνται strain gauges, από τις μετρήσεις των οποίων, και με τη βοήθεια παλμογράφου, υπολογίζεται η εκάστοτε μορφή και το εύρος της εναλλασσόμενης τάσης. Στην περίπτωση της καμπτικής κοπώσεως, το δοκίμιο είναι κυλινδρική άτρακτος η οποία περιστρέφεται συνεχώς στην μηχανή δοκιμής, υποκείμενη ταυτοχρόνως σε σταθερές τέμνουσες δυνάμεις σε ίση απόσταση από τις περιστρεφόμενες στηρίξεις. Με αυτόν τον τρόπο οι ίνες της ατράκτου αλλάζουν συνεχώς και περιοδικά απόσταση από τον ουδέτερο άξονα της περιστρεφόμενης ατράκτου και κατ επέκταση αλλάζουν και οι αξονικές τάσεις αφού και αυτές είναι συναρτήσεις της απόστασης από τον ουδέτερο άξονα. Αυτές είναι ουσιαστικά οι εναλλασσόμενες τάσεις κοπώσεως που καταγράφονται από την πειραματική διαδικασία. Από τα πειραματικά δεδομένα κατασκευάζονται οι αντίστοιχες καμπύλες Wöhler.

21 -21- Εφαρμογή Δίδονται Τετραγωνική πλάκα πλευράς a m, βάρους W 1000, αναρτημένη από σταθερό σημείο με τέσσερα συρματόσχοινα κυκλικής διατομής d=3 mm, μήκους a 6 m, έκαστο. 2 Το διάγραμμα σ ε εφελκυσμού για το υλικό που είναι κατασκευασμένα τα συρματόσχοινα δίδεται στο σχετικό σχήμα. Επί της πλάκας πρόκειται να εδραστεί αντλία. Για την αντλία υπάρχουν δύο εναλλακτικά μοντέλα Α και Β με βάρη W1310 και W 2580 Τα μοτέρ των αντλιών λειτουργούν με γωνιακή ταχύτητα ω, που προκαλεί ταλάντωση και ως εκ τούτου εναλλασσόμενη φόρτιση που παραλαμβάνεται από τα συρματόσχοινα. Η εξάρτηση του εύρους της εναλλασσόμενης τάσης συναρτήσει της ω δίνεται σε σχετικό διάγραμμα. Ζητούνται Αν η απόδοση των αντλιών είναι ανάλογη της ω (δηλ. η βέλτιστη αντλία είναι αυτή με τη μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα λειτουργίας), ποια η βέλτιστη αντλία?

22 -22- Λύση Δ.Ε.Σ. 2 a cos a 2 1 arccos o Στατική ισορροπία d 4F W W 4 sin W W 4 m sin W W 4, W W, m 2 d sin 2, y, F,,, m ( ) N 3 2 (3 10 m) MPa, ( ) N 155 MPa, 3 2 (310 m) αντλία Α αντλία Β Από το διάγραμμα σ ε εφελκυσμού για το υλικό των συρματόσχοινων, και υπό τη θεώρηση ότι η εναλλασσόμενη φόρτιση δεν επηρεάζει τη σχέση σ ε, βρίσκω 300 MPa. Έχοντας τις m100 MPa, αντλία Α και m155 MPa, αντλίαβ και 300 MPa, κατασκευάζουμε το (απλό) διάγραμμα Goodman Smith. Από το διάγραμμα Goodman - Smith θα βρούμε τα εύρη, εναλλασσόμενης τάσης για τις δύο αντλίες Α και Β. της

23 -23- Πράγματι, από το διάγραμμα Goodman - Smith βρίσκουμε γραφικά: και MPa 2 95 MPa Έχοντας τις MPa και 2 95 MPa, πάμε στο διάγραμμα ( 2 ) για να υπολογίσουμε τις αντίστοιχες και. Πράγματι, βρίσκουμε: και , δηλαδή. Και αφού η βέλτιστη αντλία είναι αυτή με τη μεγαλύτερη απόδοση, και η απόδοση ανάλογη της ω, η αντλία με τη μεγαλύτερη ω, δηλαδή η αντλία Β, θα είναι η βέλτιστη.