«ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ ΑΓΟΡΑΣ ΜΕΤΟΧΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ ΑΓΟΡΑΣ ΜΕΤΟΧΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΠΑΤΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΤΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗΣ Εκτίμηση του Μέσου Όρου και της Αστάθειας του ποσού 10 επιστροφής των μετοχών 1.2 Βρίσκοντας τον μέσο όρο και τη διαφορά μιας τυχαίας 12 λογαριθμοκανονικής μεταβλητής 1.3 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για μια Τυχαία Λογαριθμοκανονική Μεταβλητή 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΕΙΔΗ ΓΝΗΣΙΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ (REAL OPTION) ΜΕΤΟΧΩΝ Ορισμοί Δικαιωμάτων Το Δικαίωμα Αγοράς Αεροπλάνου Το Δικαίωμα της Εγκατάλειψης Άλλες Ευκαιρίες Γνήσιων Δικαιωμάτων Δικαίωμα Επέκτασης Δικαίωμα Συστολής Δικαίωμα Αναβολής Πρωτοποριακό Δικαίωμα Ευέλικτο Δικαίωμα Εξουσιοδοτημένο Δικαίωμα 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ (ARBITRAGE PRICING) Παράδειγμα arbitrage 17 2

3 3.2 Δημιουργώντας μία Μηχανή Παραγωγής Χρήματος Εάν το δικαίωμα αγοράς μετοχής Είναι Λάθος Διατιμημένο Γιατί το Ποσοστό Ανάπτυξης της Μετοχής δεν Επηρεάζει την Τιμή του Δικαιώματος 25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΤΟΝ ΤΥΠΟ ΤΩΝ BLACK SCHOLES Συγκριτικά Στατιστικά Αποτελέσματα 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΑΣΤΑΘΕΙΑΣ (ESTIMATING VOLATILITY) Η υπονοούμενη εκτίμηση αστάθειας 33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΟΥΔΕΤΕΡΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ (RISK NEUTRAL) Η λογική πίσω από τη μέθοδο του ουδετέρου κινδύνου Παράδειγμα τιμολόγησης ουδέτερου κινδύνου 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΤΟ ΔΥΩΝΙΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗΣ 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο Η ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ ΤΟΥ ΔΥΩΝΙΜΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΣΕ 45 ΧΡΟΝΟ ΔΥΟ ΚΑΙ ΣΕ ΧΡΟΝΟ Ν Παράδειγμα Η τιμολόγηση κέρδους του δυωνιμικού μοντέλου σε χρόνο n 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Η ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥ ΔΥΩΝΙΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ 74 3

4 9.1 Χρησιμοποιώντας προσομοίωση για να δείξουμε πως λειτουργεί 75 η Δυωνυμική Προσέγγιση 9.2 Μια προσέγγιση για την προσέγγιση 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ο ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟΥ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΔΥΩΝΙΜΙΚΑ 80 ΔΕΝΤΡΑ 10.1 Η Δενδρική Τιμολόγηση Τιμών Η Βέλτιστη Στρατηγική Απόφαση Χρησιμοποιώντας την Υπό Όρους Μορφοποίηση για την 84 Περιγραφή της Βέλτιστης Πολιτικής Άσκησης του Δικαιώματος 10.4 Ανάλυση Ευαισθησίας Σχέση με το Δικαίωμα της Εγκαταλείψεις Υπολογίζοντας το Όριο της Πρώιμης Άσκησης του Δικαιώματος 87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ο ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΑΓΟΡΑΣ ΚΑΙ 91 ΠΩΛΗΣΗΣ 11.1 Τιμολόγηση Δικαιώματος Πώλησης Knockout 94 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Βιβλιογραφικές Αναφορές 99 Αναφορές στο Διαδίκτυο 100 4

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι τεχνολογικές εξελίξεις των τελευταίων δεκαετιών έχουν επηρεάσει σημαντικά το περιβάλλον των οικονομικών μονάδων και το έχουν καταστήσει περισσότερο ανταγωνιστικό. Η σημερινή παγκοσμιοποίηση των αγορών δημιουργεί ακόμα οξύτερο ανταγωνισμό στις επιχειρήσεις και τους οργανισμούς, είτε δραστηριοποιούνται διεθνώς είτε όχι. Η πρόκληση που αντιμετωπίζουν τα διοικητικά στελέχη σχετίζεται με την ικανότητά τους να αφομοιώνουν και να εφαρμόζουν όλες εκείνες τις τεχνικές, που μπορούν να υποστηρίζουν αποτελεσματικά τη διαδικασία λήψης των αποφάσεων. Σε μια εποχή αβεβαιότητας, όπου κάθε επιχείρηση επιθυμεί να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της ή να ελαχιστοποιήσει το λειτουργικό κόστος της, οι managers καλούνται να πάρουν αποφάσεις ώστε να πετύχουν το καλύτερο δυνατό. Η ανάπτυξη σεναρίων είναι καθημερινή λειτουργία μιας επιχείρησης, όμως τα πιθανά αποτελέσματά τους είναι καθημερινός προβληματισμός. Η θεωρία των αποφάσεων είναι ένα σύνολο τεχνικών που μας βοηθούν να κατανοήσουμε καλύτερα περίπλοκα προβλήματα, να αναλύσουμε διάφορες εναλλακτικές αποφάσεις και στρατηγικές και να καταλήξουμε σε αυτήν ή ακόμα σε και σε αυτές που είναι καλύτερες. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η θεωρία των αποφάσεων μας βοηθά να παίρνουμε καλές αποφάσεις, χωρίς όμως να προσφέρει και τις ανάλογες εγγυήσεις για καλά αποτελέσματα. Αυτό συμβαίνει διότι σε ένα πρόβλημα υπό καθεστώς αβεβαιότητας κάθε σενάριο εξέλιξης του εσωτερικού περιβάλλοντος το οποίο σενάριο τελικά θα υλοποιηθεί εξαρτάται σε κάποιο βαθμό και από τα λεγόμενα τυχαία (που δεν προβλέπονται) γεγονότα. Ακολουθώντας όμως μια δομημένη και αναλυτική διαδικασία, έχουμε τα πλεονεκτήματα να αποκτήσουμε μεγαλύτερη και καλύτερη αντίληψη για τα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε και άρα είναι λογικό να αναμένουμε καλύτερα αποτελέσματα ή τουλάχιστον να έχουμε περισσότερες πιθανότητες να συμβαίνουν συχνότερα. 5

6 Με γνώμονα την θεωρία αποφάσεων έγινε η συγγραφή αυτής της εργασίας που σκοπό έχει να βοηθήσει τους αναγνώστες, μέσω της λεπτομερούς ανάπτυξης της μεθοδολογίας των δένδρων αποφάσεων και ενός μεγάλου πλήθους παραδειγμάτων, στην κατανόηση της αναγκαιότητας και της χρησιμότητας των δένδρων αποφάσεων, ως βοήθημα στην αντιμετώπιση επιχειρησιακών προβλημάτων. Η εργασία αυτή αποτελείται από έντεκα κεφάλαια: Στο πρώτο κεφάλαιο, θα δούμε το λογαριθμοκανονικό μοντέλο τιμολόγησης, εργαζόμενοι τον μέσο όρο και τη διαφορά λογαριθμοκανονικών μεταβλητών. Στο δεύτερο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με κάθε παράγοντα των γνησίων δικαιωμάτων (real option) μετοχών. Στο τρίτο κεφάλαιο, θα αναπτύξουμε τη βασική έννοια της τιμολόγησης κέρδους (arbitrage pricing). Στο τέταρτο κεφάλαιο, θα γνωρίσουμε πως αναλύεται και πως χρησιμοποιείται ο τύπος τιμολόγησης με την μέθοδο των Black - Scholes Στο πέμπτο κεφάλαιο στην αξιολόγηση της ανάλυσης ενός γνησίου δικαιώματος θα εκτιμήσουμε την αστάθεια του τελευταίου (Estimating Volatility). Στο έκτο κεφάλαιο, θα κατανοήσουμε πως αναλύεται και πως χρησιμοποιείται ο τύπος τιμολόγησης με την μέθοδο του ουδετέρου κινδύνου (risk neutral). Στο έβδομο κεφάλαιο θα γνωρίσουμε εκτενώς το δυωνιμικό μοντέλο τιμολόγησης κάνοντας χρήση δενδρικών αναπαραστάσεων. Στα κεφάλαιο οχτώ θα λύσουμε προβλήματα τιμολόγησης κέρδους του δυωνιμικού μοντέλου σε χρόνο δύο και χρόνο ν, χρησιμοποιώντας πολλαπλές στρατηγικές. Στο κεφάλαιο εννιά παρατηρούμε τη σχέση μεταξύ του δυωνιμικού και λογαριθμοκανονικού μοντέλου με τη χρήση προσομοιώσεων. Στο κεφάλαιο δέκα πράττουμε τιμολόγηση στις τιμές των μετοχών μας με το Αμερικανικό δικαίωμα κάνοντας χρήση δυωνυμικών δέντρων. Τέλος στο ενδέκατο κεφάλαιο τιμολογούμε σύμφωνα με το Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς και πώλησης τις μετοχές μας. 6

7 Ένα από τα βασικά προβλήματα στα χρηματοοικονομικά είναι η τιμολόγηση ενός δικαιώματος αγοράς ή πώλησης μιας μετοχής. Η αρχή των μεθοδολογιών έγινε από τους Cox,Ross and Rubinstein, Journal of Financial Economics 7.Θα εργαστούμε σε χρόνο διακριτό που θα είναι μια προσέγγιση του αντίστοιχου προβλήματος σε χρόνο συνεχή. Επίσης θα εισαγάγουμε τις βασικές ιδέες της τιμολόγησης ενός δικαιώματος αγοράς μιας μετοχής,με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιείται η βασική φιλοσοφία της ισορροπίας μιας οικονομίας. Θα εφαρμόσουμε μελέτη του προβλήματος της τιμολόγησης του δικαιώματος αγοράς μιας μετοχής, με το απλό μοντέλο που είναι το δυωνιμικό μοντέλο τιμολόγησης. Αυτό προκύπτει από την απλοϊκή υπόθεση ότι ορίζουμε ως αρχή του χρόνου το μηδέν, την τιμή μιας μετοχής τη συμβολίζουμε με S0. Ο χρόνος ένα μπορεί να πάρει δύο τιμές, μια προς τα πάνω οπότε έχουμε «επιτυχία»και μία προς τα κάτω οπότε έχουμε «αποτυχία». Παρόλο που η υπόθεση αυτή είναι φανερά μη ρεαλιστική θα εξυπηρετήσει το σκοπό μας, που είναι ν αναλύσουμε την έννοια της τιμολόγησης χωρίς την ύπαρξη σίγουρου κέρδους.επιπλέον με αυτό το απλό μοντέλο θα είναι ευκολότερο να γίνουν αντιληπτές η θεωρίες και οι τεχνικές των martigales,που είναι στενά συνδεδεμένες με την έννοια της υπό συνθήκη μέσης τιμής. Η θεωρία των martigales παίζει βασικό ρόλο και στη συνεχή περίπτωση. Για να μπείτε ευκολότερα στο νόημα του προβλήματος βάλτε τον εαυτό σας στην θέση ενός πράκτορα πώλησης δικαιωμάτων μετοχών. Οι εισπράξεις σας έρχονται από την πώληση των δικαιωμάτων αγοράς της μετοχής. Φυσικά διαθέτεται τη δυνατότητα να αγοράσετε και ο ίδιος τη μετοχή και τη δυνατότητα ανά πάσα στιγμή να δανεισθείτε μετρητά από τράπεζα με ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο. Στο χρόνο μηδέν επομένως πουλάμε δικαιώματα αγοράς μετοχής και αγοράζουμε οι ίδιοι μετοχές. Το ζητούμενο είναι όταν στο χρόνο ένα έχει προκύψει η νέα τιμή της μετοχής, στην τιμολόγηση του δικαιώματος αγοράς της μετοχής να έχουμε τέτοια τιμή ώστε να ικανοποιείται η «αρχή του μη σίγουρου κέρδους». 7

8 Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει όριο στα δικαιώματα αγοράς μετοχών που μπορείτε να πωλήσετε. Υπάρχει απεριόριστη αξιοπιστία στο ποσό των χρημάτων που μπορούμε να δανεισθούμε και δεν υπάρχει κόστος εγγραφής των μετοχών. 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΤΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗΣ Το λογαριθμοκανονικό μοντέλο για την τιμή των μετοχών υποθέτει ότι για ένα μικρό χρονικό διάστημα Δ t, η τιμή των μετοχών αλλάζει για ένα ποσό που κατανέμεται κανονικά από : Standard deviation = S t Mean = μsδ t Όπου S = η τωρινή τιμή της μετοχής, μ = το στιγμιαίο ποσοστό επιστροφής της μετοχής. Αυτό το μοντέλο οδηγεί σε "νευρικές" αλλαγές στις τιμές μετοχών, όπως στην πραγματικότητα. Στη διάρκεια μιας μικρής περιόδου η σταθερή απόκλιση της κίνησης των μετοχών θα υπερβεί πολύ το μέσο όρο της κίνησής τους. Σε ένα μικρό χρονικό διάστημα Δ t ο φυσικός λογάριθμος ln(s) της τιμής των μετοχών θα αλλάξει σε ένα ποσό που κατανέμεται από : Mean = (μ -.5σ 2 )Δ t Standard deviation = t Θέτουμε S t = η αξία της μετοχής στο χρόνο t όπου έχουμε κανονική κατανομή: Mean = ln S 0 + (μ - 0.5σ 2 ) t Standard deviation = t Αναφερόμαστε στο (μ - 0.5σ 2 ) ως το συνεχώς συντεθειμένο ποσοστό επιστροφής της μετοχής. Σημειώνουμε ότι το συνεχώς συντεθειμένο ποσοστό επιστροφής στο S είναι μικρότερο από το στιγμιαίο ποσοστό επιστροφής. Από τη στιγμή που το ln S t παίρνει την τιμή μιας κανονικής τυχαίας μεταβλητής,λέμε ότι το S t είναι μία λογαριθμοκανονική τυχαία μεταβλητή. 9

10 -1.1- Εκτίμηση του Μέσου Όρου και της Αστάθειας του ποσού επιστροφής των μετοχών Εάν υπολογίζουμε κατά μέσο όρο τις τιμές : ln s t st 1 Λαμβάνουμε μια εκτίμηση (μ - 0.5σ 2 ). Εάν πάρουμε την σταθερή απόκλιση : ln s t st 1 λαμβάνουμε μια εκτίμηση του σ. Χρησιμοποιώντας τις μηνιαίες επιστροφές του αρχείου Dell.xls για την περίοδο ,εκτιμούμε το μ και το σ. Ξεκινάμε εκτιμώντας το μ και το σ σε μια λογαριθμοκανονική διαδικασία. H εκτίμηση μας για το σ για μία ετήσια λογαριθμοκανονική διαδικασία είναι 12 (μηνιαία εκτίμηση του σ). H εκτίμηση μας για το μ για μία ετήσια λογαριθμοκανονική διαδικασία είναι 12( μηνιαία εκτίμηση του μ). Βήμα 1 Σημειώνουμε ότι για κάθε μήνα = s s t1 t (1+ μήνας t επιστροφή). Στα κελιά C6:C36 υπολογίζουμε για κάθε μήνα το ln αντιγράφοντας από το κελί C6 στα C7:C36 τον τύπο : = LN (1 + B6) Βήμα 2 Στο κελί C2 υπολογίζουμε το μ -.5σ 2 από τον τύπο : = AVERAGE (C6:C36) Βήμα 3 Στο κελί C3 υπολογίζουμε το σ από τον τύπο : = STDEV (C6:C36) s s t1 t 10

11 Βήμα 4 Στο κελί F7 υπολογίζουμε το μ από τον τύπο : = C F6 ^ A B C D E F Μηνιαία Εκτίμηση μ -.5σ^2 0,03457 DELL.XLS σ 0,16093 Ημ/νία Dell Ln(1 + Dell) Μηνιαία 30/6/1988 Εκτίμηση 29/7/1988 0, ,10135 σ 0, /8/1988-0, ,26 μ 0,04752 Ετήσια 30/9/1988 0, ,24784 Εκτίμηση 31/10/1988 0, ,14716 σ 0, /11/1988-0, ,088 μ 0, /12/1988-0, , /1/1989 0,05-0, /2/1989-0, , /3/1989-0, , /4/1989 0, , /5/1989 0, , /6/1989-0, , /7/1989-0, , /8/1989 0, , /9/1989 0, , /10/1989-0,1579-0, /11/1989-0, , /12/1989-0, , /1/1990-0, , /2/1990 0, , /3/1990 0,22 0, /4/1990 0, , /4/1996 0, , /5/1996 0, , /6/1996-0, , /7/1996 0, , /8/1996 0, , /9/1996 0, , /10/1996 0, , /11/1996 0, , /12/1996 0, ,

12 Βήμα 5 Στα κελιά F9 και F10 υπολογίζουμε τα ετήσια μ και σ από τους τύπους : = 12 F7 για το μ = SQRT(12) F6 για το σ Οι ετήσιοι υπολογισμοί είναι : μ = 57.0% και σ = 55,7% Βρίσκοντας τον μέσο όρο και τη διαφορά μιας τυχαίας λογαριθμοκανονικής μεταβλητής Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι το μ δεν είναι ακριβώς ο μέσος όρος μιας τυχαίας λογαριθμοκανονικής μεταβλητής και το σ δεν είναι ακριβώς η σταθερή απόκλιση. Υποθέτουμε ότι μια μετοχή ακολουθεί μια τυχαία λογαριθμοκανονική μεταβλητή με παραμέτρους μ και σ. Όπου S = η τωρινή τιμή της μετοχής (που είναι γνωστή) και S t = η αξία της μετοχής στο χρόνο t (άγνωστη). Έπειτα ο μέσος όρος και διαφορά του S t γίνονται: Μέσος όρος : S t = Se μt Διαφορά : S t = S 2 e 2μt (e σ^2t - 1 ) Το αρχείο Lognormal.xls περιλαμβάνει ένα πίνακα προσδιορίζοντας τον μέσο όρο και τη διαφορά της αξίας της μετοχής ανά πάσα μελλοντική χρονική στιγμή. Για παράδειγμα εξετάζουμε μία μετοχή που πωλείτε αυτήν την περίοδο για 20, ακολουθώντας την τυχαία λογαριθμοκανονική μεταβλητή με μ = 0.2 και σ = 0.4. Ο μέσος όρος της τιμής της μετοχής σε ένα χρόνο από τώρα θα είναι 24,43 με σταθερή απόκλιση 10,18. 12

13 -1.3- Διαστήματα Εμπιστοσύνης για μια Τυχαία Λογαριθμοκανονική Μεταβλητή Το αρχείο Lognormal.xls υπολογίζει ένα διάστημα εμπιστοσύνης για μια μελλοντική τιμή. Για 95% διάστημα εμπιστοσύνης πληκτρολογούμε 0.95 στο Lognormal.xls. Βρίσκουμε ότι μία μετοχή που πωλείτε αυτήν την περίοδο για 20 με μ = 0.2 και σ = 0.4, είμαστε 95% σίγουροι ότι η τιμή της μετοχής σε ένα έτος θα είναι μεταξύ 10,30 και 49,39. 1 H I J K L M N LOGNORMAL.XLS S= τωρινή τιμή 20 t = χρόνος 1 μ 0,2 σ 0,4 α 0,95 Μέσος όρος του lns(t) 3, Μέσος όρος του S(T) 24,4281 σ του lns(t) 0,4 Διαφορά S(T) 103,539 σ του S(T) 10,1754 CI Χαμηλότερα ( για το ln S(T)) 2, Υψηλότερα ( για το ln S(T)) 3, Χαμηλότερα ( για το S(T)) 10,29592 Υψηλότερα ( για το S(T)) 49,

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΕΙΔΗ ΓΝΗΣΙΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ (REAL OPTION) ΜΕΤΟΧΩΝ Ορισμοί Δικαιωμάτων Ξεκινάμε τη μελέτη μας για τα δικαιώματα μετοχών με κάποιους ορισμούς : Το δικαίωμα call option δίνει στον «παίχτη» τη δυνατότητα αγοράς ενός πακέτου μετοχικών δικαιωμάτων σε μια τιμή που καλείτε exercise price. Το δικαίωμα put option δίνει στον «παίχτη» τη δυνατότητα πώλησης ενός πακέτου μετοχικών δικαιωμάτων σε μια τιμή που καλείτε exercise price. Στο Αμερικανικό δικαίωμα μετοχής το πακέτο μετοχών μπορεί να εξαργυρωθεί αμέσως ή πριν από την ημερομηνία exercise date. Στο Ευρωπαϊκό δικαίωμα μετοχής το πακέτο μετοχών μπορεί να εξαργυρωθεί μόνο στην ημερομηνία exercise date Το Δικαίωμα Αγοράς Αεροπλάνου Υποθέτουμε ότι έχουμε τη δυνατότητα αγοράς ενός αεροπλάνου σε 3 χρόνια από τώρα, αξίας 20 εκατομμυρίων. Θέτουμε Ρ = η αξία του αεροπλάνου σε 3 χρόνια. Το Ρ είναι αβέβαιο. Εξαρτάται από τον οικονομικό κύκλο, τις τιμές των καυσίμων κ.τ. λ. Οι χρηματικές ροές σε 3 χρόνια θα ισούνται με max( P 20, 0). Αυτή είναι η ίδια εξίσωση που καθορίζει τις χρηματικές ροές ενός δικαιώματος αγοράς με ανώτατη τιμή 20 εκατομμύρια. Αυτό υπονοεί ότι η αγορά αεροπλάνου είναι αντίστοιχη του δικαιώματος ζήτησης - αγοράς. Αν μπορούμε να υπολογίσουμε το δικαίωμα αγοράς,μπορούμε να υπολογίσουμε το ύψος της τιμής της αγοράς αεροπλάνου Το Δικαίωμα της Εγκατάλειψης Υποθέτουμε ότι διαθέτουμε την R&D εταιρεία. Σε πέντε χρόνια από τώρα μπορούμε να πουλήσουμε ότι έχουμε επιτύχει για 80 εκατομμύρια. Εάν 14

15 θέσουμε Ρ = η αξία των ιδεών μας σε 5 χρόνια. Η αξία του εγκαταλελειμμένου δικαιώματος θα ισούται με την εξίσωση max(80 P, 0). Αυτή είναι η ίδια εξίσωση που καθορίζει τις χρηματικές ροές ενός δικαιώματος πώλησης με ανώτατη τιμή 80 εκατομμύρια. Αυτό υπονοεί ότι το δικαίωμα της Εγκατάλειψης είναι αντίστοιχο του δικαιώματος πώλησης. Αν μπορούμε να υπολογίσουμε το δικαίωμα προσφοράς - πώλησης, μπορούμε να υπολογίσουμε το δικαίωμα της Εγκατάλειψης Άλλες Ευκαιρίες Γνήσιων Δικαιωμάτων Πολλές πραγματικές επενδυτικές ευκαιρίες μπορούν να εκπροσωπηθούν (με κάποια προσπάθεια) από συνδυασμούς των δικαιωμάτων put και call. Ας μελετήσουμε κάποιους Δικαίωμα Επέκτασης Υποθέτουμε ότι σε τρία χρόνια από σήμερα έχουμε τη δυνατότητα να διπλασιάσουμε το μέγεθος της εταιρίας μας Δικαίωμα Συστολής Υποθέτουμε ότι σε τρία χρόνια από σήμερα φτάνουμε το μέγεθος της εταιρίας μας στο μισό! Δικαίωμα Αναβολής Επεξεργαζόμαστε την ανάπτυξη ενός μοντέλου αυτοκινήτου SUV. Σε δύο χρόνια θα γνωρίζουμε περισσότερα για το μέγεθος της αγοράς του συγκεκριμένου είδους. Έχουμε τη δυνατότητα να περιμένουμε δύο χρόνια πριν αποφασίσουμε για την ανάπτυξη του μοντέλου Πρωτοποριακό Δικαίωμα 15

16 Η Microsoft αποφάσισε να αγοράσει ένα Web TV αν και η συμφωνία επέφερε αρνητικό NPV για την ίδια. Ίσως αυτό να πραγματοποιήθηκε διότι το Web TV αποτελούσε μια πρωτοποριακή ιδέα που έδωσε στη Microsoft τη δυνατότητα να εισέρθει σε νέες αγορές που είναι ή θα είναι κερδοφόρες. Μη έχοντας αγοράσει το Web TV η Microsoft δε θα είχε την ευκαιρία να «εισβάλει» σε καινούργιες αγορές. Εάν το αντίτιμο της εισόδου στις νέες αγορές υπερβεί το αρνητικό NPV του Web TV,τότε η αγορά θα αποτελούσε σωστή κίνηση Ευέλικτο Δικαίωμα Μια αυτοκινητοβιομηχανία επεξεργάζεται την ιδέα μιας εγκατάστασης παραγωγής τριών τύπων αυτοκινήτων. Το κόστος ανά μονάδα της εγκατάστασης είναι κατά πολύ μικρότερο από το κόστος ανά μονάδα εγκαταστάσεων παραγωγής ενός τύπου αυτοκινήτου Εξουσιοδοτημένο Δικαίωμα Υποθέτουμε ότι στη διάρκεια κάθε έτους στο οποίο το κέρδος ενός φαρμάκου ξεπερνά τα 50 εκατομμύρια,πληρώνουμε 20% των κερδών στους παραγωγούς του φαρμάκου. 16

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ (ARBITRAGE PRICING) Η τιμολόγηση Black - Scholes είναι βασισμένη στον τύπο πρόκρισης οικονομικών συναλλαγών (arbitrage method). Η τιμολόγηση arbitrage (για τους σκοπούς μας ) σημαίνει ότι εάν μια επένδυση δεν εμπεριέχει κίνδυνο, υπολογίζουμε το ποσοστό της επιστροφής χωρίς τον επενδυτικό κίνδυνο. Εάν αυτό δεν αποτελεί ζήτημά μας, μπορούμε να δημιουργήσουμε μια μηχανή παραγωγής χρήματος ή μια arbitrage ευκαιρία. Μια κατάσταση στην οποία θα ξοδεύουμε 0 σήμερα,χωρίς καθόλου ρίσκο να χάσουμε τα λεφτά μας και πολλές πιθανότητες να «φτιάξουμε» χρήματα Παράδειγμα arbitrage Μία μετοχή πουλιέται 40. Σε μία χρονική περίοδο από σήμερα η μετοχή θα έχει αυξηθεί στα 50 ή θα έχει μειωθεί στα 32. Το ποσοστό ενδιαφέροντος της μετοχής χωρίς οικονομικό κίνδυνο ανέρχεται στο 11 1/9 %. Ποια είναι η κατάλληλη τιμή για ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς με ανώτατη τιμή τα 40 ; Δημιουργούμε ένα portofolio περιέχοντας χ πακέτα μετοχών και τον τύπο τιμολόγησης μετοχών με δικαίωμα αγοράς. Για κάποιες τιμές του χ το portofolio δεν θα εμπεριέχει επενδυτικό κίνδυνο. Αυτό γίνεται διότι μία αύξηση της τιμής της μετοχής δίνει πλεονεκτήματα στον κάτοχο του πακέτου αλλά βλάπτει την αξία του shorted call. Ενώ μία μείωση της τιμής της μετοχής επιφέρει μειονέκτημα στον κάτοχο του πακέτου αλλά βοηθάει το short call. Το portofolio πρέπει να «κερδίσει» το ποσοστό που υπάρχει από την μη ύπαρξη κινδύνου, όπως παρατηρούμε στο Arbvalue.xls. Κάθε μοντέλο στο οποίο η τιμή της μετοχής μόνο αυξάνεται ή μειώνεται για ένα συγκεκριμένο ποσό σε μια περίοδο, ονομάζεται δυωνιμικό μοντέλο 17

18 18

19 A B C D E F G H I J K L Τιμή με τη μέθοδο της Οίκονομικής Πρόκρισης Ενός Δικαιώματος Αγοράς ARBVALUE.XLS Βήμα 1 χ πακέτα μετοχών Δικαίωμα Αγοράς rιsk- free εάν 50χ - 10 = 32χ χ = 5/9 Βήμα 2 rιsk- free portofolio c = σημερινή τιμή call Πρέπει να κερδίσουμε το ποσοστό risk-free Τιμή μιας περιόδου = 32(5/9) = 160/9 Σημερινή τιμή= (1/(1 + r)* τιμή μιάς περιόδου (5/9)*40-c = (1/(1+(1/9))*(160/9) 200/9-c = 16 c = 56/9 Χρησιμοποιώντας την Arbitrage Μέθοδο να Υπολογίσουμε ένα Δικαίωμα Αγοράς με ανώτατη τιμή /9% risk free rate 1 περίοδο μετά Τιμή ΜετοχήςΤιμή Call Σήμερα up down

20 Ξεκινάμε υπολογίζοντας την τιμή του πορτοφολίου με την τιμή της μετοχής να αυξάνεται ή να μειώνεται : Τιμή μετοχής Τιμή portofolio 50 50x x - 0 Για να δημιουργήσουμε πορτοφόλιο χωρίς κίνδυνο, απλώς εξισώνουμε την τιμή του πορτοφολίου με τις δύο τιμές της μετοχής : 50χ 10 = 32χ 18χ = 10 χ = 5/9 Έτσι το πορτοφόλιο αποτελείτε από 5/9 πακέτα μετοχών και το υπόλοιπο χωρίς επενδυτικό κίνδυνο. Αυτό το πορτοφόλιο πρέπει να παράγει το ποσοστό. Αυτό σημαίνει ότι : Τιμη του prtofolio σε μια περιοδο 1+r = Αρχική τιμή portofolio όπου r = το χωρίς - κίνδυνο ποσοστό. Οπότε : 5/9 (40) c = c = 16 c = 56/9 20

21 -3.2-Δημιουργώντας μία Μηχανή Παραγωγής Χρήματος Εάν το δικαίωμα αγοράς μετοχής Είναι Λάθος Διατιμημένο Για να κατανοήσουμε το λόγο που στο παραπάνω παράδειγμα η τιμή αγοράς είναι ίση με 56/9, θα αποδειχθεί ότι οποιαδήποτε διαφορετική τιμή πάρει το μέγεθος αγοράς, μπορούμε να παράγουμε εγγυημένα κέρδη σε διάστημα 1 επενδύοντας σήμερα 0. Στην πραγματικότητα τέτοια οικονομική πρόκριση συναλλαγής δεν υπάρχει. Εάν η τιμή της μετοχής είναι μικρότερη από 56/9 το δικαίωμα υποτιμάται και το portofolio παράγει μία ευκαιρία οικονομικής πρόκρισης συναλλαγής (arbitrage). Θα δειχθεί ότι εάν αγοράσουμε ένα δικαίωμα 5/9 πακέτου μετοχών και δανειστούμε 200/9 c euros, έχουμε 0 δαπάνη σήμερα και εγγυημένο μετρητό σε χρόνο 1. Αυτές οι επενδύσεις επιφέρουν τις χρηματικές ροές του πίνακα 1. Το χρόνο 0 οι χρηματικές μας εκροές είναι 0. Επιλέγουμε το μέγεθος του δανείου για να συνεχίσουμε. Εάν η μετοχή ανέβει στα 50, στο χρόνο 1 οι χρηματικές μας εισροές είναι θετικές μόνο εάν : c 9 > c 9 > 0 c < 56/9 21

22 ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Ενέργεια Χρόνος 0 Εκροές Χρόνος 1 Εισροές στην Άνοδο Χρόνος 1 Εισροές στην Κάθοδο Αγορά δικαιώματος c 10 0 Μέρισμα μετοχής - 200/9 = - (5/9) (40) - (5/9) (50) = - 250/9 (- 5/9) (32) = - 160/9 Δανείζω χρήματα 200/9 - c (10/9) (200/9 c) 10/9 (260/9 c) ΠΙΝΑΚΑΣ 2 Ενέργεια Χρόνος 0 Εκροές Χρόνος 1 Εισροές στην Άνοδο Χρόνος 1 Εισροές στην Κάθοδο Μέρισμα δικαιώματος -c Αγορά μετοχής 200/9 = (5/9) (40) (5/9) (50) = 250/9 ( 5/9) (32) = 160/9 Δανείζομαι χρήματα c - 200/9 -(10/9) (200/9 c) -10/9 (260/9 c) 22

23 23

24 Εάν η τιμή της μετοχής πέσει, στο χρόνο 1 οι χρηματικές εισροές θα είναι θετικές εάν και μόνο : c 9 > c 9 > 0 c < 56/9 Επομένως αν το δικαίωμα υποτιμηθεί,έχουμε δημιουργήσει μια μηχανή παραγωγής χρήματος! Τώρα υποθέτουμε ότι το δικαίωμα υπερτιμάτε (c > 56/9).Στο χρόνο 0, αποτιμάμε το δικαίωμα, αγοράζουμε 5/9 μερίδια μετοχών και δανειζόμαστε 200/9 c euros. Αυτή η επενδυτική στρατηγική παράγει τις χρηματικές ροές στον Πίνακα 2. Σε χρόνο 0 οι εκροές είναι 0. Διαλέγουμε ένα ποσό από το δάνειο για να φτιάξουμε τη δουλειά μας. Αν η μετοχή ανέβει στα 50, στο χρόνο 1 οι χρηματικές εισροές θα είναι θετικές εάν και μόνο : c 9 > c + 9 > 0 c > 56/9 24

25 Υποθέτουμε ότι η μετοχή πέφτει, στο χρόνο 1 οι χρηματικές εισροές θα είναι θετικές εάν και μόνο : c 9 > c 9 > 0 c > 56/9 Έτσι αν το δικαίωμα υπερτιμηθεί θα έχουμε δημιουργήσει μια μηχανή παραγωγής χρήματος! Γιατί το Ποσοστό Ανάπτυξης της Μετοχής δεν Επηρεάζει την Τιμή του Δικαιώματος ; Από την ανάλυση μας, το γεγονός που επιδρά στην τιμή δικαιώματος είναι οι δύο τιμές της μετοχής. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόκλιση των τιμών, τόσο μεγαλύτερη αξία έχει το δικαίωμα. Η πιθανότητα η μετοχή να ανέβει ή να κατέβει δεν επηρεάζει την τιμή δικαιώματος. Ο μέσος όρος του ποσοστού ανάπτυξης της μετοχής δεν επηρεάζει την τιμή δικαιώματος. Εκ πρώτης όψεως δε βγαίνει νόημα. Εάν η μετοχή είχε μεγαλύτερες πιθανότητες αύξησης, δε θα έπρεπε το δικαίωμα να πουλά περισσότερο αφού το δικαίωμα που πληρώνεται είναι για υψηλότιμες μετοχές ; Απάντηση στο ερώτημα αυτό αποτελεί το γεγονός ότι η τιμή της μετοχής ενσωματώνει πληροφορίες σχετικά με το ποσοστό ανάπτυξής της. Οι πιθανότητες αύξησης ή μείωσης της τιμής της μετοχής συμπεριλαμβάνονται στη σημερινή τιμή, οπότε δεν επηρεάζουν την τιμή αγοράς 25

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΤΟΝ ΤΥΠΟ ΤΩΝ (BLACK SCHOLES) Το 1973, το ευφυές τρίο Fisher Black, Robert Merton και Myron Scholes ανέπτυξε τον τύπο Black Scholes για την τιμολόγηση μετοχών. Ο οποίος (τύπος) χάρισε στους Merton και Scholes το Νόμπελ οικονομικών το 1997.Υποθέτοντας ότι η αξία της χρηματιστηριακής μετοχής ακολουθεί μια τυχαία λογαριθμοκανονική μεταβλητή, βρήκαν μια λύση κλειστού τύπου για την τιμή ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς και πώλησης. Ουσιαστικά η μέθοδος επεκτείνει τη μέθοδο τιμολόγησης arbitrage, που αναπτύχθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο, θέτοντας το πλάτος της περιόδου του δυωνιμικού μοντέλου στο μηδέν. Οπότε έχουμε : S = σημερινή τιμή μετοχής t = διάρκεια του δικαιώματος X = δοκιμαστική τιμή σ = ποσοστό χωρίς επενδυτικό κίνδυνο r = ετήσια αστάθεια μετοχής y = ποσοστό των τιμών των μετοχών καταβαλλόμενο σε ετήσια μερίσματα Το ποσοστό χωρίς επενδυτικό κίνδυνο υποθέτουμε ότι είναι συνδεμένο διαρκώς. Έτσι, εάν r = 0.05 σε ένα χρόνο, 1 θα γίνει e.05 euros. Για παράδειγμα ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς υπολογίζεται : d 1 = ln 2 s r y t x 2 t d 2 = d 1 - σ t 26

27 Έπειτα η τιμή δικαιώματος C δίνεται από : C = Se yt N(d 1 ) Xe rt N(d 2 ) Όπου N(χ) η συσσωρευτική κανονική πιθανότητα για μια τυχαία κανονική μεταβλητή με μέσο όρο 0 και σ = 1. Για παράδειγμα, N(- 1) = 0.16,N(0) = 0.5, N(1) = 0.84, N(1.96) = Η συσσωρευτική κανονική πιθανότητα υπολογίζεται από το Ecxel με τη συνάρτηση : NORMDIST().Η τιμή ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος πώλησης μετοχής μπορεί να γραφτεί : Ρ = Se yt (N(d 1 ) 1) - Xe rt (N(d 2 ) 1) Τα αμερικανικά δικαιώματα συνήθως μοντελοποιούνται με τη χρήση δυωνιμικών δέντρων. Στο αρχείο Bstemp.xls, έχουμε εγκαταστήσει ένα πρότυπο στο οποίο θέτουμε S, X, r, t, σ, y και παίρνουμε τις τιμές αγοράς και πώλησης των μετοχών του Ευρωπαϊκού δικαιώματος. Για παράδειγμα, υποτίθεται ότι η τωρινή τιμή της μετοχής Microsoft είναι 100. Χρωστάμε ένα 7-χρονο Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς με τιμή exercise 95. Υποθέτουμε r = 0.05 και σ = 47%. Από το αρχείο το excel βλέπουμε ότι το δικαίωμα αγοράς αξίζει 57,15. Εάν η Microsoft μας έδινε 1000 από αυτά τα δικαιώματα, η αξία τους θα ήταν περίπου Σημειώνουμε ότι ένα Αμερικανικό δικαίωμα μετοχής που δεν πληρώνει μερίσματα πρέπει να ασκηθεί νωρίς, αυτό είναι επίσης η τιμή ενός Αμερικανικού δικαιώματος αγοράς. Το αρχείο Bstemp.xls φανερώνει ότι ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης με τιμή άσκησης του δικαιώματος 95 θα αξίζει 24,10. Μια Αμερικανική πώληση μπορεί να ασκηθεί νωρίτερα, άρα μπορεί να αξίζει 24,10. 27

28 -4.1- Συγκριτικά Στατιστικά Αποτελέσματα Είναι φυσιολογικό να αναρωτηθούμε πως οι αλλαγές στα σημαντικότερα δεδομένα επηρεάζουν την τιμή ενός δικαιώματος. Για παράδειγμα στο πινακάκι του αρχείου Bstemp.xls αποδεικνύεται πως η διάρκεια του Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς μετοχής από 1 μέχρι 10 χρόνια αλλάζει τις τιμές του δικαιώματος. Για να κατανοήσουμε τα προηγούμενα ενεργούμε ως εξής : Βήμα 1 Βήμα 2 Θέτουμε πιθανές διάρκειες J10 : J19 Στο κελί Κ9 τοποθετούμε τον τύπο για τον υπολογισμό της τιμής αγοράς για διαφορετικές διάρκειες : = D13 Βήμα 3 Βήμα 4 Διαλέγουμε τη σειρά του πίνακα J9 : K19 Από το μενού Δεδομένα επιλέγουμε Πίνακας. Έπειτα επιλέγουμε το κελί Β7 ως το κύριο κελί της στήλης. Αυτό θα επιβεβαιώσει ότι οι πιθανές διάρκειες J10 : J19 θα εισαχθούν στο κελί Β7. Παρατηρούμε ότι μακραίνοντας τη διάρκεια του δικαιώματος αγοράς μεγαλώνει η τιμή. Εάν το δικαίωμα «πληρώνει» μερίσματα,αυτό δεν είναι το θέμα (γιατί;). Στο Bstemp.xls κατασκευάζουμε μια άλλη βάση δεδομένων δείχνοντας την αλλαγή της μετοχικής αστάθειας από 10% μέχρι 100% που επηρεάζει την τιμή του δικαιώματος αγοράς. Συμπερασματικά τα συγκριτικά στατιστικά αποτελέσματα για προσφορά και ζήτηση (ceteris paribus) εμφανίζονται στον Πίνακα 4 28

29 A B C D E I J K L N O Δικαίωμα με μερίσματα BSTEMP.XLS Δεδομένα Τιμή μετοχής 100 Τιμή άσκησης δικαιώματος 95 Διάρκεια 7 Επιτόκιο 5,00% Διάρκεια Αστάθεια Επιτόκιο μερίσματος 0 57,15 57,15 Αστάθεια 47% 1 22,9021 0,1 33, ,8295 0,2 38,5396 Προβλεπόμενα 3 38,6599 0,3 45,2884 Τιμή αγοράς = 57, ,3102 0,4 52,3325 0,47 57,1498 Τιμή πώλησης = 24, ,1538 0,5 59, ,3919 0,6 65, ,1498 0,7 71,3378 Άλλες ποσότητες για την τιμή του δικαιώματος 8 60,513 0,8 76,5093 d1 0,94446 Ν(d1) 0, ,5439 0,9 81,0267 d2-0,299 Ν(d2) 0, , ,

30 ΠΙΝΑΚΑΣ 4 Παράμετρος Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Προσφοράς Αμερικανικό Δικαίωμα Ζήτησης Αμερικανικό Δικαίωμα Προσφοράς Ζήτησης Τιμή μετοχής Τιμή άσκησης δικαιώματος Τιμή λήξης?? + + Αστάθεια Επιτόκιο άνευ κινδύνου Μερίσματα

31 Μια αύξηση στην τιμή των μετοχών πάντα αυξάνει την τιμή της ζήτησης και μειώνει την τιμή της προσφοράς Μια αύξηση στην τιμή άσκησης του δικαιώματος επιφέρει αύξηση στην τιμή της ζήτησης και μείωση στην τιμή της προσφοράς Μια αύξηση στη διάρκεια ενός δικαιώματος επιφέρει αύξηση στην τιμή του Αμερικανικού δικαιώματος. Στην παρουσία του μερισμάτων, μια αύξηση της διάρκειας ενός δικαιώματος μπορεί να αυξήσει ή να μειώσει την τιμή ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος. Αύξηση της αστάθειας σημαίνει αύξηση της τιμής δικαιώματος μετοχής. Η αύξηση του επιτοκίου επιφέρει αύξηση της τιμής δικαιώματος αγοράς της μετοχής. Αυτό γίνεται επειδή υψηλά επιτόκια τείνουν να αυξάνουν το επιτόκιο της τιμής μετοχής, που είναι καλό για την αγορά. Αυτό ακυρώνει περισσότερο το γεγονός ότι η εξόφληση του δικαιώματος αξίζει λιγότερο λόγο υψηλών ποσοστών επιτοκίων. Η αύξηση του επιτοκίου επιφέρει μείωση της τιμής δικαιώματος πώλησης της μετοχής. Αυτό γίνεται επειδή υψηλά επιτόκια τείνουν να βλάπτουν την τιμή πώλησης της μετοχής, όπως το γεγονός ότι μελλοντικές εξοφλήσεις στις πωλήσεις κοστίζουν λιγότερο. Από τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι τα ποσοστά των επιτοκίων δεν επηρεάζουν τις τιμές των μετοχών. Τα μερίσματα τείνουν να μειώνουν την αύξηση των επιτοκίων των τιμών των μετοχών. Έτσι αυξάνοντας τα μερίσματα μειώνουμε την τιμή του δικαιώματος αγοράς και μειώνοντας αυξάνουμε την τιμή του δικαιώματος πώλησης 31

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΑΣΤΑΘΕΙΑΣ (ESTIMATING VOLATILITY) Σε μια αξιολόγηση της ανάλυσης ενός γνησίου δικαιώματος ενός συνηθισμένου οικονομικού δικαιώματος η τιμή του δικαιώματος εξαρτάται σημαντικά από την αστάθεια του ελλοχεύον προγράμματος ή προτερήματος. Υπό την προϋπόθεση ότι η μετοχή ακολουθεί μοντέλο με λογαριθμοκανονική τυχαία μεταβλητή, η αστάθεια (σ) διαμορφώνει την τιμή της λογαριθμοκανονικής τυχαίας μεταβλητής. Πολλοί ειδικοί πιστεύουν ότι ο καλύτερος τρόπος υπολογισμού της αστάθειας, π.χ. μιας διαδικτυακής εγκατάστασης ή ενός βιοχημικού φαρμάκου, είναι να μελετήσουμε την αστάθεια του αντίστοιχου κλάδου των εταιρειών. Είναι σημαντικό το γεγονός να κατανοήσουμε την εκτίμηση της αστάθειας μιας μετοχής. Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι προσέγγισης στην εκτίμηση της αστάθειας : Εκτίμηση της αστάθειας βασιζόμενοι σε ιστορικά δεδομένα, όπως περιγράφτηκε στο κεφ. 1 Μελετούμε το εμπορικό δικαίωμα μετοχής και εκτιμούμε την αστάθεια ως την τιμή σ η οποία πραγματοποιεί την τιμή του δικαιώματος πιο προβλέψιμη από την τιμή Black Scholes. Αυτή η προσέγγιση καλείται υπονοούμενη εκτίμηση αστάθειας. Οι περισσότεροι επιστήμονες προτιμούν τη χρήση της υπονοούμενης εκτίμησης αστάθειας επειδή βασίζεται σε μελλοντικές καταστάσεις, αντίθετα με την ιστορική προσέγγιση που επικεντρώνεται σε παρελθοντικά στοιχεία. 32