Reflexión e refracción. Coeficientes de Fresnel

Transcript

1 Tema 5 Reflexión e refracción Coeficientes de Fresnel 51 Introdución Cando a luz incide sobre a superficie de separación de dous medios transparentes de índice de refracción diferente, unha parte entra no segundo medio e outra parte reflíctese de novo cara ó medio de procedencia Neste tema deduciremos que proporción da luz incidente se transmite e cal se reflicte Estas proporcións denomínanse coeficientes de Fresnel, e dependen das direccións de vibración dos campos, do ángulo de incidencia e dos índices de refracción dos dous medios A clave da dedución consiste en impoñer que as compoñentes paralelas á superficie de separación dos campos E e H son continuas nesta superficie Esta condición conduce á lei de Snell e ós coeficientes de Fresnel 52 Superficie plana e sistema de coordenadas Consideremos dous medios de índices 1 e n separados por un plano, e unha onda electromagnética que viaxa dende o primeiro medio ó segundo nunha dirección arbitraria Teñamos en conta que: Escollemos a orixe de coordenadas no plano que separa os dous medios, co eixo Z perpendicular a este plano e apuntando ó segundo medio E dicir o plano é o XY, ou o que é equivalente z = 0; e no segundo medio se verifica z > 0 Escollemos a orientación do eixo X de xeito que a dirección de propagación quede contida no plano XZ Podemos escribir o campo eléctrico da onda incidente como suma dunha compoñente que vibra perpendicular ó plano de incidencia (tamén chamada onda transversal eléctrica ou TE) máis outra compoñente que vibra contida no plano de incidencia (denominada transversal magnética ou TM) 1

2 521 Campo eléctrico perpendicular ó plano de incidencia Denominamos E i ó campo incidente, e postulamos que existe unha onda plana reflectida e outra transmitida ó segundo medio, con campos que denominamos E r e E t respectivamente, todos perpendiculares ó plano de incidencia Entón temos: E i = E 0i ŷ e i(k i sen θ i x+k i cos θ i z ω i t) z < 0 E r = E 0r ŷ e i(kr sen θrx kr cos θrz ωrt) z < 0 E t = E 0t ŷ e i(kt sen θtx+kt cos θtz ωtt) z > 0 As condicións de contorno das Ecuacións de Maxwell nos aseguran que as compoñentes de E e H paralelas á fronteira dos dous medios (plano XY ) son continuas en tódolos puntos e en todo momento Imos impoñer estas condicións ás ondas anteriores e ver que concluímos Continuidade da compoñente de E paralela ó plano XY Obsérvese que no primeiro medio están presentes a onda incidente e a reflectida, mentres que no segundo medio só existe a transmitida: E = { Ei + E r se z 0 E t se z > 0 Como ningunha delas ten compoñente Z, as compoñentes paralelas ó plano XY coinciden cos propios campos: E i z=0 + E r z=0 = E t z=0 x, y, t E 0i ŷ e i(k i sen θ i x ω i t) + E 0r ŷ e i(kr sen θrx ωrt) i(kt sen θtx ωtt) = E 0t ŷ e A única posibilidade de satisfacer esta igualdade x, t é que se cumpran simultaneamente as tres condicións seguintes: 1 Que poidamos sacar factor común da parte temporal polo que ω i = ω r = ω t As tres ondas teñen a mesma frecuencia Como a frecuencia de cada onda está relacionada co seu vector de ondas a través de: ω i = ck i, ω r = ck r e ω t = c k n t, tamén obtemos que: k i = k r = k t n 2 Que poidamos sacar factor común da parte espacial polo que k i sen θ i = k r sen θ r = k t sen θ t Podemos simplificar estas ecuacións usando as relación anteriores entre k i,k r ek t, o que nos conduce ás leis de Snell!: θ i = θ r sen θ i = n sen θ t As leis de Snell son consecuencia da continuidade da compoñente paralela á superficie de cambio de medio do campo eléctrico 2

3 3 Que se anulen as sumas das amplitudes restantes tras eliminar os factores comúns: E 0i + E 0r = E 0t (51) A última ecuación establece unha ligadura entre as amplitudes das tres ondas, pero non abonda para deducir as amplitudes das ondas reflectida e transmitida en función da incidente Continuidade da compoñente de H paralela ó plano XY Para aplicar esta condición ás ondas, debemos calcular primeiro H, e para iso recorremos ás ecuacións de Maxwell En concreto: µ 0 H t = E Pero debemos facer o calculo por separado para cada lado da fronteira: No primeiro medio, E = E i + E r polo que para z 0: µ 0 H t = ( E i + E r ) = E i + E r Tomemos o penúltimo termo da expresión anterior e calculemos: ˆx ŷ ẑ E i = x y z 0 E 0i e i(k i sen θ i x+k i cos θ i z ω i t) 0 ( 0 = ˆx y (E ) 0ie i(ki sen θix+ki cos θiz ωit) ) z ( 0 ŷ x 0 ) z ( (E0i e i(k i sen θ i x+k i cos θ i z ω i t) ) + ẑ 0 ) x y = ˆx ik i cos θ i E 0i e i(k i sen θ i x+k i cos θ i z ω i t) + ẑ ik i sen θ i E 0i e i(k i sen θ i x+k i cos θ i z ω i t) =( ˆx cos θ i + ẑ sen θ i )ik i E 0i e i(k i sen θ i x+k i cos θ i z ω i t) Obsérvese que este vector vibra na dirección ( cos θ i, 0, sen θ i ) que é perpendicular tanto á dirección de vibración de E i : (0,1,0) como á dirección de propagación determinada por k i : (sen θ i, 0, cos θ i ) O cálculo para E r é moi semellante; ademais xa sabemos que ω i = ω r, k i = k r, etc Para obter H no primeiro medio só queda integrar no tempo (que en ondas harmónicas equivale a dividir entre 3

4 iω i ), o que da lugar a: 1 µ 0 H = 1 iω i ( ˆx cos θ i + ẑ sen θ i )ik i E 0i e i(k i sen θ i x+k i cos θ i z ω i t) + 1 iω i ( ˆx cos θ i + ẑ sen θ i )ik i E 0r e i(k i sen θ i x k i cos θ i z ω i t) Nótese o cambio de signo nos termos que conteñen cos θ i entre os dous sumandos (tanto na fase como no vector) Isto explícase porque o segundo sumando provén de E r o cal ten unha compoñente z na dirección de propagación de signo oposto a E i No segundo medio procedemos de xeito análogo para calcular H coas seguintes diferencias: só hai unha onda plana, esta ten un número de onda k t = nk i e aínda non relacionamos θ i e θ t, obtendo entón para z > 0: µ 0 H = 1 iω i ( ˆx cos θ t + ẑ sen θ t )ink i E 0t e i(k in sen θ tx+k i n cos θ tz ω i t) Para impoñer a continuidade das compoñentes de H paralelas á fronteira, avaliamos as dúas últimas expresións en z = 0 e igualamos as compoñentes en ˆx xa que non hai compoñentes en ŷ en ningún dos dous lados: cos θ i E 0i e ik i sen θ i x + cos θ i E 0r e ik i sen θ i x = cos θ t ne 0t e ik in sen θ tx onde xa se eliminaron factores comúns a tódolos termos Pero tamén podemos eliminar os termos exponenciais restantes tendo en conta a lei de Snell que deducimos anteriormente (sen θ i = n sen θ t ), quedando: cos θ i E 0i cos θ i E 0r = n cos θ t E 0t (52) Tras impoñer as condicións de contorno ós campos obtivemos as ecuacións (51) e (52) que relacionan as amplitudes das ondas co ángulo de incidencia, de refracción e o índice Dividíndoas entre E 0i e reordenando: E 0r + E 0t = 1, E 0i E 0i E 0r cos θ i + E 0t n cos θ t = cos θ i E 0i E 0i Se coñecemos o índice de refracción n e o ángulo de incidencia podemos calcular θ t e só quedan dúas incógnitas: as amplitudes relativas das ondas transmitida e reflectida respecto da incidente Estas fraccións se denominan coeficientes de reflexión e transmisión para a compoñente perpendicular (ó plano de incidencia) do campo eléctrico: r E 0r t E 0t E 0i E 0i Introducindo estas definicións no sistema de ecuacións anterior e despexando obtemos: r = cos θ i n cos θ t cos θ i + n cos θ t t = 2 cos θ i cos θ i + n cos θ t 1 Tras unha integración indefinida queda una constante (que non depende da variable de integración: t) aditiva indeterminada Neste caso a constante só dependería das variables espaciais, é dicir, sería un campo estático non asociado á onda, polo que escollemos esa constante igual a cero 4

5 53 Campo eléctrico contido no plano de incidencia Partimos igualmente de tres ondas: incidente, reflectida e transmitida, pero todas co seu campo eléctrico vibrando dentro do plano de incidencia Como a dirección de vibración de cada unha das ondas tamén é perpendicular á dirección de propagación respectiva, temos que: E i = E 0i ( ˆx cos θ i ẑ sen θ i ) e i(k i sen θ i x+k i cos θ i z ω i t) z < 0 E r = E 0r ( ˆx cos θ r ẑ sen θ r ) e i(kr sen θrx kr cos θrz ωrt) z < 0 E t = E 0t ( ˆx cos θ t ẑ sen θ t ) e i(kt sen θtx+kt cos θtz ωtt) z > 0 Para que a compoñente tanxencial á fronteira do campo eléctrico sexa continua debemos establecer unha relación entre as compoñentes na dirección ˆx dos campos en z = 0 As fases das ondas son iguais que cando o campo vibra perpendicularmente ó plano de incidencia, polo que volveremos a obter que as tres ondas teñen a mesma frecuencia e que se verifican igualmente as leis de Snell Sen embargo a condición para as amplitudes inclúen dependencias cos ángulos, polo que, no canto da ecuación (51), obtemos: E 0i cos θ i E 0r cos θ i = E 0t cos θ t Os campos H das tres ondas vibrarán na dirección ŷ, sendo proporcionais ós campos eléctricos respectivos e a k i /ω i os do primeiro medio e a k t /ω i = nk i /ω i o da onda transmitida Polo tanto en lugar da ecuación (52) obtemos: E 0i + E 0r = ne 0t É dicir simplemente desaparecen os factores angulares xa que a compoñente de H tanxencial á fronteira é o propio H Agora podemos definir uns coeficientes de reflexión e transmisión para a compoñente paralela ó plano de incidencia do campo eléctrico: r E 0r E 0i t E 0t E 0i E estes coeficientes tamén poden expresarse en función dos ángulos e o índice: r = n cos θ i cos θ t n cos θ i + cos θ t t = 2 cos θ i n cos θ i + cos θ t e son diferentes que no caso de vibración perpendicular En resume, as direccións de propagación das ondas reflectidas e transmitidas veñen dadas polas leis de Snell que só dependen do ángulo de incidencia e do índice Polo contrario, a amplitude destas ondas tamén depende da dirección de vibración do campo incidente 531 Situacións máis xerais Nos dous casos anteriores (campo perpendicular ou paralelo ó plano de incidencia) empregamos a mesma nomenclatura para as amplitudes dos campos por simplicidade na 5

6 notación Nunha situación na que o campo incidente teña tanto compoñente paralela como perpendicular é necesario darlles nomes diferentes Son comúns notacións do tipo: E 0i, E 0r e E 0t para as compoñentes perpendiculares e E 0i, E 0r e E 0t para as paralelas; ou simplemente E 0, r E 0 e t E 0 para unhas e E 0, r E 0 e t E 0 para as outras En toda a dedución anterior supuxemos que o primeiro medio ten índice de refracción 1 Pódese facer a mesma dedución supoñendo un índice arbitrario n i para o primeiro medio e un índice n t para o segundo Agora os coeficientes de reflexión e transmisión se denominan coeficientes de Fresnel e valen: r = n i cos θ i n t cos θ t n i cos θ i + n t cos θ t t = r = n t cos θ i n i cos θ t n t cos θ i + n i cos θ t t = 2n i cos θ i n i cos θ i + n t cos θ t 2n i cos θ i n t cos θ i + n i cos θ t Obviamente coinciden cos deducidos cando n i = 1 Nas expresións anteriores, os coeficientes quedan en función de catro parámetros que realmente non son independentes entre si, senón que están relacionados a través da lei de Snell para a refracción Se intentamos eliminar un dos índices, tamén desaparece o outro das expresións, que transforman en: r = sen(θ i θ t ) sen(θ i + θ t ) r = tan(θ i θ t ) tan(θ i + θ t ) t = t = 2 sen θ t cos θ i sen(θ i + θ t ) 2 sen θ t cos θ i sen(θ i + θ t ) cos(θ i θ t ) Estas son expresións alternativas dos coeficientes de Fresnel, útiles nalgunhas ocasións pero que se deben manexar con coidado en incidencia normal xa que aparecen indeterminacións do tipo 0/0 6