1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES

Transcript

1 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 Eames e Tetos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atriución Compartir igual.0 Internacional. A INTEGRAL INDEFINIDA.. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA Sean f : A ℝ e F : A ℝ duas funcións definidas nun conunto A ℝ ; di-se que F é unha primitiva de f : A F ' ( )f ( ). Se a función F é unha primitiva de f, entón calquer outra función resultado de sumar-lle a F unha constante é tamén unha primitiva de f. Isto permite definir o conceito de integral indefinida dunha función, que se representa da forma f ( ) d, como segue. Se F é unha primitiva da función f, entón define-se a integral indefinida de f como o conunto de todas as primitivas de f, é dicer f ( ) d :F ( ) / C ℝ}. Esta epresión toma, por simplicidade, a forma f ( ) df ( ), onde C é calquer número real, e di-se que a función f é integráel no domínio correspondente. Nesta última epresión, a función f ( ) recee o nome de integrando, F ( ) é unha primitiva de f e C é a constante de integración. A epresión d é o elemento diferencial e o papel que oga no proceso será eposto no seu momento. E Comproar se a función F ( ) é unha primitiva de f ( ) e oter a integral indefinida da función f. A derivada da función F ( ) é F ' ( ), que coincide coa función f ; polo tanto F é unha primitiva de f. En realidade, calquer función que se oteña a partir de F sumando unha constante ten tamén por derivada a función f ; polo tanto todas as funcións do tipo F ( ), onde C ℝ, son primitivas de f. O conunto de todas estas primitivas de f chama-se integral indefinida de f, e epresa-se da forma: d, C ℝ... PROPRIEDADES Dunha forma imediata pode demostrar-se que a integral indefinida ten un comportamento linear, é dicer, conserva a suma de funcións e o produto de funcións por escalares: i. Se f e g son duas funcións integráeis nun mesmo domínio, entón a suma de f e g é unha función integráel e f g f g. Esta propriedade pode etender-se desde logo á diferenza: f g f g. Se f é unha función integráel e k ℝ, entón a función k f é integráel e k f k f. E Oter a integral indefinida das funcións f ( )cos e g ( ) Saemos que a derivada do seno é o coseno, asi que A función ln ten derivada, polo tanto ( cos ) d cos d d sen. d Nota: A función ln pode ser epresada como. d ln. ln se >0 e a sua derivada será ln( ) se <0 se >0, que coincide se <0. Como o domínio da función é ℝ 0 }, a sua integral deerá ter o mesmo domínio, e por iso faremos dln. Se facemos d ln, otemos unha integral con domínio (0, ) diferente do domínio da función integrando. coa función

2 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.. CÁLCULO DE INTEGRAIS IMEDIATAS Pola definición da integral indefinida, se f é a derivada de F, entón a función F é unha primitiva de f e polo tanto f () df ( ) C. Asi, as fórmulas do cálculo de derivadas proporcionan as correspondentes fórmulas para o cálculo de integrais indefinidas, tal como aparece no aneo de integrais imediatas. E Oter a integral indefinida de f ( )sen sec. Utilizando as fórmulas de derivación e as propriedades da integral indefinida resulta: (sen sec ) d sen d d d sec d cos Logo calquer primitiva de f será da forma F ( ) cos que F 'f : tg tg ; a comproación consiste en verificar F ' ( ) ( sen ) 0 sec sen sec ; logo F 'f, asi que a integral é correcta... MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES A fórmula de Leiniz permite oter a derivada do produto de duas funcións. Se u e v son duas funcións, a diferencial do produto u v é d (u v )du v u dv, e integrando esta epresión otén-se: d (u v )du v u dv d (u v ) du v u dv u v du v u dv u dv u v du v ; esta última epresión coñece-se como fórmula da integración por partes. Nesta fórmula, du e dv denotan as funcións diferenciais de u e v, respectivamente: duu ' d e dv v ' d. O método de integración por partes utiliza-se normalmente para calcular a integral de funcións que veñen epresadas como un produto de funcións elementares de tipo potencial, eponencial, logarítmico, trigonométrico e trigonométrico inverso. O método consiste en identificar cada un destes factores cos elementos u e dv da fórmula. Unha vez realizada esta identificación procede-se a aplicar a fórmula, de maneira que o resultado que se otén no segundo memro contén unha integral que há de ser mais fácil de calcular que a integral oriinal. Para que tal identificación produza realmente unha diminución da dificuldade da integración utiliza-se normalmente o critério que segue. O elemento u da fórmula de integración por partes identificará-se co factor da función integrando segundo a seguinte orde de preferéncia: factor de tipo logarítmico, factor de tipo trigonométrico inverso e factor de tipo potencial ou irracional. No caso de non eistir nengún factor de algún dos trés tipos anteriores, a escolla é, en princípio, indiferente. En todo caso, sempre que ao aplicar a fórmula se produza unha integral mais complicada que a inicial, é posíel realizar a escolla contrária e oservar o resultado. En ocasións será necesário aplicar a fórmula várias veces consecutivas para lograr reaiar o nível da integral a un tipo mais acesíel.

3 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 E Oter as integrais indefinidas i. ln d e sen d. du d u ln i. Identificando, e aplicando a fórmula otemos: dv d v ln d ln d ln d ln 9 ln ( ) d, e aplicando a fórmula otemos: udvsen d du v sen d cos Identificando sen d cos cos d cos cos d Se repetimos o proceso na integral cos d, identificando [] dud u dv cos d v cos d sen resulta: cos d sen sen d sen cos E volvendo á epresión [] otemos: sen d cos cos d cos ( sen cos ) cos sen cos.. INTEGRACIÓN POR CÁMBIO DE VARIÁBEL Este método consiste en mudar a variáel independente da función por outra, de forma que a función resultante na nova variáel resulte mais cómoda que a inicial. É de uso frecuente na integración de epresións nas que aparecen composicións de funcións, ainda que o maior partido otén-se en integracións de tipo non imediato. Asi, para utilizar este método hai que escoller de forma apropriada unha epresión dentro do integrando que pasará a ser a nova variáel independente, asignando-lle un nome a tal epresión. Unha vez identificada esta nova variáel coa epresión que representa, realizan-se os cámios oportunos no integrando (incluíndo o elemento diferencial d ) para que pase a vir epresado en función da nova variáel. O oectivo que se persegue é o de lograr unha integral na nova variáel que sea mais fácil de oter. Calculada por fin a integral da función a respeito da nova variáel, a función otida há de ser epresada en termos da variáel oriinal; este último proceso chama-se "desfacer o cámio". O fundamento do método é que se a función F é unha primitiva da función (f u) u ', entón a función F u é unha primitiva de f. E Oter as integrais indefinidas i. e d e d. cos i. Facendo o cámio t e diferenciando, otemos dt d d dt, e asi: e d et dt et e Neste é menos evidente: t tg. Polas fórmulas trigonométricas sec tg cos, e como t tg, otemos cos. tg tg t caso o cámio sae-se que Ademais diferenciando otemos dt sec d ( tg ) d (t )d d dt. t dt d t dt t atg Sustituíndo na epresión inicial resulta: cos t t d t tg atg atg. Devolvendo finalmente a epresión á variáel oriinal resulta: cos ( )

4 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07.. INTEGRACIÓN DE FUNCIÓNS RACIONAIS Para a integración de funcións racionais que non son imediatas utiliza-se o seguinte método. En primeiro lugar, se a función a integrar ten numerador de grau maior ou igual que o denominador, por médio da división euclidiana, otemos unha nova epresión equivalente á inicial, en forma de suma dun polinómio mais unha función racional na que o numerador é agora de grau inferior ao denominador. Realizado este proceso prévio, se fose necesário, o oectivo é epresar a fración resultante como suma de várias fracións, de eito que cada unha delas teña como denominador unha poténcia dun polinómio irreducíel de primeiro ou segundo grau. Consegue-se asi transformar a integral inicial en suma de várias integrais de tipo logarítmico, potencial e arco-tanente. E 6 Oter as integrais indefinidas i. d, d e i d. i. Como o grau do numerador é menor que o do denominador, procedemos directamente a factorizar o denominador, co que otemos, ( )( ) e, por ser dous factores de grau e multiplicidade, faremos: A ( )B ( ) A B A ( )B ( ) ℝ ( ) ( ) Para : B B e para : A A Logo d d d ln ln ln Como o grau do numerador é maior que o do denominador, procedemos á división euclidiana: d ( ) d d d [] ( ) ( ), e asi: d faremos a descomposición factorial do denominador, que resulta ( ), Para calcular e ao ser un factor de grau e multiplicidade, a fración descomporá-se en: A ( )B A B A ( )B ℝ ( ) ( ) Para otemos: B Para 0 otemos: AB A B Logo esta integral será d d. d ln ( ) Volvendo á epresión [] otemos: d d ln. i O grau do numerador é menor que o do denominador, logo omitimos a división euclidiana dos polinómios. Factorizando o denominador resulta: ( ) ( ). Ao resultar dous factores irreducíeis de grau e, amos con multiplicidade, descomporemos a fración en: A M N A ( )(M N ) ( ) A ( )(M N ) ( ) ℝ ( ) ( ) Para otemos: A A Para 0 otemos: 0A N N A Para otemos: AN AM N M 8

5 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL Logo esta integral será MATEMÁTICA II 07 [] d d d d d A primeira integral desta suma é do tipo logarítmico: A segunda é do tipo neperiano-arcotanente: d d ln d. Para resolvé-la imos transformar o numerador de eito que se poda epresar a fración en suma de duas: nunha delas o numerador será a derivada do denominador (tipo neperiano) e na segunda o numerador será unha constante (tipo arcotanente): d ( ) 8 d d ( d 8 d ) [] Operando dentro da paréntese, a primeira integral é imediata (tipo neperiano): E a segunda é tamén imediata do tipo arcotanente: d ln ( ) [] 8 d8 d8 atg atg [] Incorporando as integrais [] e [] na epresión [], otemos: d ( d 8 d ) (ln ( ) atg ) ln( ) atg E volvendo á epresión [] otemos finalmente a integral pedida: d d d ln ln( ) atg 0

6 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07. A INTEGRAL DEFINIDA.. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA Sea f unha función definida positiva nun intervalo [a, ], é dicer, f ( ) 0 [a, ]. Nestas circunstáncias é posíel referir-nos ao recinto delimitado pola gráfica de f, o eio OX e as ascisas a e. A área deste recinto denomina-se integral definida da función f no intervalo [a, ], e representa-se por f ( ) d. Nesta epresión os a valores a e chaman-se límites de integración. De forma análoga, se f é unha función definida negativa, define-se a integral definida de f no intervalo [a, ] como a área (con signo negativo) delimitada pola gráfica de f, o eio OX e os etremos a e do intervalo. Por último, se f é unha función que toma valores de signo oposto no intervalo [a, ], entende-se por integral definida de f no intervalo [a, ] a suma das integrais definidas de f (cada unha co seu signo correspondente) nos suintervalos nos que a función f é definida positiva ou definida negativa. En todos os casos a epresión coa que se representa esta área é E 7 Oter as integrais definidas 0 ( ) d, ( ) d e a f ( ) d. ( ) d. A función f ( ) é unha recta de pendente m e ordenada na orie. As integrais pedidas son as áreas sinaladas mais aaio. Ao seren polígonos, esas áreas poden calcular-se utilizando as fórmulas da eometria plana. Nos dous primeiros casos son trapécios, polo que a área será a o produto da ase pola semisuma dos segmentos laterais: ( ) d ( 6 ) 8 u ( ) d ( 8 ) u 0 No terceiro caso hai dous triángulos e deemos considerar a área de cada un deles co signo correspondente, positivo se o recinto está no semiplano y 0 e negativo se está no semiplano y 0. O primeiro triángulo ten área A ( 8 ) 6 e o segundo A 6 9, logo: ( ) d A A u 6

7 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 A otención da integral definida é un proceso compleo, que comeza coa definición de partición dun intervalo e culmina na definición da Integral de Riemann. Tal proceso deseña-se inicialmente para unha función contínua e positiva no intervalo [a, ], e finalmente etende-se de forma natural a funcións non positivas e incluso non contínuas. Chama-se partición dun intervalo [a, ] a todo conunto finito P 0,,,, n } ℝ tal que a 0 < < < < n. Asi, unha partición representa unha división dun intervalo nunha cantidade finita de suintervalos. Dada unha función contínua e positiva en [a, ], polo Teorema de Weierstrass, a función alcanza un máimo e un mínimo en cada suintervalo determinado pola partición P. Se identificamos estes etremos da forma M k para os máimos en cada suintervalo e m k para os mínimos, definen-se as sumas inferior e superior de Riemann da función f no intervalo [a, ] da seguinte forma: n i. suma inferior de Riemann: L(f,P): m k ( k k ) ; k n suma superior de Riemann: U (f,p ): M k ( k k ). k Pode demostrar-se que estas duas sumas de Riemann representan cotas inferior e superior, respectivamente, da área que estamos a calcular, é dicer, da integral definida a f ( ) d : L(f, P) a f ( ) d U (f, P ). Di-se que unha función f, contínua e positiva no intervalo [a, ] é Riemann-integráel : sup L(f,P)}inf U (f,p)}. Neste caso, define-se a integral de Riemann de f no intervalo [a, ] como sup L(f, P)}, ou en, inf U (f, P)}, tendo en consideración que estas duas cantidades coinciden para unha función Riemann-integráel. Por fin, o prolema oriinal da otención da área a f ( ) d para funcións contínuas e positivas no intervalo [a, ] reduce-se á otención da integral de Riemann, que en diante chamaremos simplesmente integral definida de f en [a, ]. Como á se dio anteriormente, este proceso etende-se sen dificuldade ao caso de funcións non positivas e incluso a funcións non contínuas. E 8 As sumas inferior e superior de Riemann converen á integral definida cando a partición se fai etremadamente fina. O intervalo [a, ] ten unha partición P formada por seis suintervalos. A área en cor rosa representa a suma inferior L (f, P ). Esta área recure parcialmente a área a f ( ) d, representada en azul, e esta última recure á sua vez á área en cor salmón, que se corresponde coa suma superior U (f, P). Resulta evidente que L (f, P ) a f ( ) d U (f, P), e que cando se afina a partición P, estas trés áreas tenden a coincidir no valor da integral a f ( ) d. No caso dunha partición etremadamente fina, os rectángulos teñen ase d e altura f ( ) ; logo a área de cada un deles será f ( ) d. Asi a integral a f ( ) d representa a suma das áreas dos infinitos rectángulos que recuren a reión. 7

8 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07.. PROPRIEDADES IMEDIATAS DA INTEGRAL DEFINIDA As seguintes propriedades derivan-se da definición e son válidas nos intervalos en que as funcións son integráeis: i. c a f a f c f (Nota: no caso de que a<c < é evidente, aínda que tamén é válida a propriedade no caso de que c (a, ).) a a f 0 i a permuta dos límites de integración alterna signo da integral definida: iv. se f e g son funcións integráeis no intervalo [a, ], entón v. se k ℝ, entón a f a f a f ±g a f ±a g a k f k a f Nota: referimo-nos a estas duas últimas propriedades como propriedades lineares da integral definida, que tamén se cumpren no caso das derivadas e da integral indefinida... TEOREMA DO VALOR MÉDIO DO CÁLCULO INTEGRAL Teorema do Valor Médio do Cálculo Integral Sea f unha función contínua en [a, ], entón c [a, ] / a f ( ) d( a) f (c). Demostración Se f é unha función contínua en [a, ], o Teorema de Weierstrass asegura que f alcanza neste intervalo un valor máimo e un valor mínimo. Chamaremos M e m, respectivamente, a estes etremos asolutos de f no intervalo [a, ]. É imediato que se cumpre a seguinte desigualdade: ( a) m a f ( ) d ( a) M. Dividindo os trés termos desta desigualdade entre a epresión m a f ( ) d M. a ( a) resulta Ademais, polo Teorema de Darou, por ser unha función contínua, f alcanza todos os M m, valores entre o máimo e o mínimo polo tanto: c [a, ] / f (c) a f ( ) d, o que implica que f ( ) df (c ) ( a) q.e.d. a a Interpretación eométrica A integral definida no intervalo [a, ] fechado é a área delimitada pola curva nese intervalo. É posíel determinar un rectángulo que teña como ase o mesmo intervalo [a, ] e área igual ao valor da integral definida. É evidente que tal rectángulo deerá ter unha altura comprendida entre os valores mínimo e máimo que alcanza a función nese intervalo. 8

9 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 E 9 Calcular o ponto ao que se refire o TVMCI para a función f ( ) no intervalo [, ]. A integral é [ ] ( ) d [ ] ( )( ) [] O proceso para oter esta integral require da Regra de Barrow, que se epón mais adiante (ver o eemplo ). O teorema afirma que c [,] / f ( ) df (c) ( ) f (c ), logo será: f (c) f (c ) 6 O valor de c oteremo-lo resolvendo a ecuación: 9 6 ± 6 ( 9) 6 ± 6 6 ± 68 ± Dos dous valores posíeis admitimos a solución c 67,9 [, ], á que a outra posiilidade fica fóra do intervalo... TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL Teorema Fundamental do Cálculo Integral Sea f unha función contínua no intervalo [a, ], sea [a, ] ; entón a función (chamada función F ( ):a f (t ) dt integral de f no intervalo [a, ] ) é unha función deriváel en [a, ] e ademais a sua f : derivada é a función F ' ( )f () [a, ]. Antes de pasar á demostración do teorema convén destacar que a función integral definida no enunciado representa a área determinada pola gráfica de f no intervalo [a, ]. É polo tanto unha función que toma valor 0 para a, e para toma o valor da integral definida a f ( ) d. Á vista disto, o teorema afirma que esta función é unha primitiva de f, ou equivalentemente, que a derivada da función integral F é a función f. Este teorema dá solución ao prolema de oter a integral definida (o cálculo de áreas) poñendo-o en relación coa técnica do cálculo de primitivas (integral indefinida). Demostración Define-se a función integral como F ( ):a f (t ) dt, e utilizando a definición de derivada h otén-se: F ' ( )lim F ( h) F () lim a h h 0 h 0 f (t )dt a f (t )dt h h lim h 0 f (t )dt h. Polo Teorema do Valor Médio do Cálculo Integral para a función f no intervalo [, h ] saemos que c [, h] / h Logo F ' ( )lim h 0 f (t )dt h h lim h 0 f ( t) dtf (c) ( h )f (c ) h. f (c) h lim f (c)f ( ) q.e.d. h h 0 9

10 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 E 0 Dada a función F ( ) (t ) dt, calcular F (), F ' () e F ' ( ). F ( ) (t ) dt A función é a función integral de f ( ), logo polo Teorema Fundamental, F ' ( )f ( ). Asi temos F () (t ) dt 0, pola própria definición da integral definida, e F ' ( ) polo teorema. En particular F ' ().. REGRA DE BARROW Como consecuéncia da relación estaelecida polo Teorema Fundamental entre a integral definida e a integral indefinida, a Regra de Barrow proporciona a fórmula para o cálculo da integral definida (área) a partir da integral indefinida (cálculo da primitiva): Regra de Barrow Sea f unha función contínua no intervalo [a, ], e sea G unha primitiva calquer de f no intervalo [a, ] ; entón f ( ) dg( ) G (a). a Demostración Polo Teorema Fundamental sae-se que a función integral F ( )a f (t ) dt é unha primitiva de f no intervalo [a, ]. Xá que a función G é tamén unha primitiva de f, as funcións F e G distinguen-se nunha constante: F ( )G ( ), con C ℝ. Para a temos que F ( a)g (a)0 C G(a). E para temos que F ( )a f (t) dt, que é o valor da integral definida no intervalo [a, ]. E asi resulta que F ( )G()G() G (a) e polo tanto finalmente E Calcular a f ( ) dg() G(a) q.e.d. 0 ( sen ) d. A integral pedida calcula-se a partir da Regra de Barrow otendo en primeiro lugar unha primitiva calquer da función f ( ) sen : ( sen ) d cos Como podemos traallar con calquer primitiva, escollemos por comodidade a que ten G () cos. C0, que é Esta primitiva é a que nos dá a área pedida (integral definida) a través da fórmula de Barrow: 0 ( sen ) d G( ) G(0 )( cos ) cos 0 0 ( )( ) ( ) u Na prática, este cálculo fai-se de eito rápido como segue: [] 0 cos cos 0 ( ) u, 0 representa a otención da primitiva e o paso [] corresponde ao cálculo de Barrow. 0 ( sen ) d [] 0 [ cos ] ( )( )( ) onde o paso []

11 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07. CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES.. CÁLCULO DE ÁREAS DE RECINTOS PLANOS Unha das principais aplicacións, que está ademais na orie do cálculo integral, consiste na medición de áreas de recintos delimitados por curvas, que non é outra cousa que o cálculo da integral definida, ainda que haerá que ter en conta vários casos. Para unha función f positiva no intervalo [a, ], a área da reión delimitada pola función neste intervalo é eactamente a definición de integral definida, e polo tanto esta área será Sa f ( ) d. Mas no caso de que a función sea negativa nese intervalo, a integral daria como resultado unha cantidade asimesmo negativa, polo que neste caso a área será o valor asoluto desta integral S a f ( ) d, que tamén se pode epresar, utilizando as propriedades ásicas da integral definida, como S a f () d ou incluso a S f ( ) d. Finalmente, no caso de que a función tome valores de distinto signo, distinguirán-se os intervalos nos que a función é positiva e aqueles nos que é negativa, para calcular por separado as áreas correspondentes a uns e a outros, en valor asoluto, e sumar finalmente. Para isto dividiremos o intervalo inicial tendo en conta os pontos de corte co eio OX e as posíeis discontinuidades que se produzan no intervalo. E Calcular a área do recinto delimitado pola gráfica da función f ( ) e o eio OX. Procede-se en primeiro lugar a estudar os pontos de corte co eio OX para estudar o signo da función: 0 0 ( ) ( )0, e como a función é contínua teremos que determinar o signo nos intervalos (, 0 ), (0, ), (,) e (, ). >0, f ( ) <0 e f ( ) >0, f ( ) 8 <0, f 8 asi que f ( )<0 en (, 0 ) (, ) e f ( )>0 en (0, ) (, ). () Logo o recinto a medir é o determinado pola función nos intervalos [0, ] e [, ] e calcula-se: A A A0 ( )d ( )d [ ] [ u ( ) ( 8 08 ) ( ) 0 ]

12 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 E Calcular a área do recinto plano delimitado polas gráficas das funcións f ( ) e g( ). Igualando as duas epresións oteñen-se os pontos de corte de amas gráficas: 0 ( ) ( ) ( )0 Asi que os intervalos de integración son [,] e [,]. No intervalo [,] temos 0 (,), f (0 ) g (0 )0, logo pola continuidade das funcións resulta f (0 )>g (0 ) f ( )>g () (,) e E no intervalo [,], (, ), f ( ) e g ( )8, asi que: f ( )<g ( ) f ( )<g () (,) Asi, no intervalo calcularemos [,] e A ( f ( ) g ( )) d no intervalo [, ] A ( g ( ) f () ) d, polo que á área será entón: AA A [ f ( ) g ( ) ] d [ g ( ) f () ] d ( ) d ( ) d [ ] [ ( [ ] [ ] ) ] [ ( 6 6 8) ( 6 6 8)( ) ( 6 6 8) ] [ 9 ( )60 ( 9) ] (9 609 ) u.. CÁLCULO DE SUPERFÍCIES E VOLUMES DE CORPOS DE REVOLUCIÓN Outra das aplicacións do cálculo integral é a de medir as superfícies laterais e os volumes de corpos otidos por iro dunha curva arredor dun eio. De eito resumido, unha función f definida nun intervalo [a, ] é unha curva finita que ao irar arredor do eio OX descree un corpo, chamado corpo de revolución. A forma de oter a superfície lateral e o volume deste corpo consiste en cortá-lo ao longo do eio OX en infinitos discos de espesor infinitesimal, igual que facemos con un chourizo ao pasá-lo pola cortadora de fiamre. Cada un destes discos infinitesimais ten as seguintes dimensións: o raio é f ( ) e a sección é d. Asi, o volume de cada disco é e a sua superfície lateral é dv [f ( )] d ds f ( ) [f ' ( )] d. O corpo reconstrue-se "pegando" todos os discos, polo que o volume e a área lateral oteñen-se integrando as epresións anteriores no intervalo [a, ] : volume: V a [f ( )] d área lateral: Sa f ( ) [f ' ( )] d

13 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07. ANEXO: FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN IMEDIATA Nesta relación aparecen as primitivas das principais funcións elementares clasificadas por tipos (ª coluna) e as fórmulas correspondentes á composición de calquer función u coas funcións elementares (ª coluna). a a u a u d u a a i. Tipo potencial [ a ]: a d Tipo logarítmico: dln u i Tipo eponencial [ a>0 ]: e d e eu u ' de u u' iv. Tipo seno: v. Tipo coseno: vi. Tipo tanente: u a a d lna au u ' d lna a cos dsen sen d cos sec d tg C ( tg ) dtg cos u u ' dsen u sen u u ' d cos u C sec u u ' dtg u ( tg u) u ' d tg u cos dtg v Tipo cotanente: dacos. Tipo arco tanente: datg a d a atg a neperiano arcotanente: u' sen u d ctg u C dasen i. Tipo arco coseno: i. Tipo u' cos u dtg u csc d ctg csc u u ' d ctg u (ctg )d ctg C (ctg u ) u ' d ctg u sen d ctg vi Tipo arco-seno: d ln u u' u u ' u dasen u dacos u u' u datg u u' u u a d a atg a M N a c dneperiano arco tanente sempre que M 0 e que a c sea un polinómio de º grau irreducíel.

14 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL. EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS A INTEGRAL INDEFINIDA. Calcular as seguintes integrais de tipo imediato: i. d v. d e d vi. i d v iv. d i. 6 d d. e e e d i. (e e )d ( ) d 6 d vi d. Calcular polo método de sustitución: i. cos ( )d d i iv. e d d d v. d vi. ( ) v 6 d vi i.. i. sen cos d sen ( ) d sen cos d e ² d vi. v vi cos ( ) d i. i sen( ) d e sen(e ) d. v. d sen d ( ) d iv. asen ln d d cos sen d e atg d i.. Calcular polo método de integración por partes: i. i iv. e d ln d ln d sen d v. e cos d vi. cos d v vi. e sen d sen d ln d e d i. i. asen d

15 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS. Calcular as seguintes integrais de tipo racional: i. d 6 i d iv. 6 d v. d d vi d vi. 7 v 6 d 8 i. d. d ( ) ( ) d. Calcular as seguintes integrais polo método mais conveniente: i. ee d vi d ln d i. d i ln d. tg d i. e d e e ² d i iv. v. ( ) cos d (ln ) d cos vi. sen d v d iv. v. d 9 d ( cos sen sen cos ) d 6. Oter unha primitiva F da función f ( ) tal que F ( )0. 7. Oter unha primitiva F da función f ( ). tal que F ( ). 6 A INTEGRAL DEFINIDA 8. Calcular o valor das seguintes integrais definidas: i. d 0 sen d 0 cos esen d i iv. v. d. d i. 0 d sen d i sen d 0 sen cos d 0 sen d 9. Calcular a integral 6 vi. v vi i. ln sen d d ln e d. (e ) sen d 0

16 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS 0. Calcular o valor da integral sen d sen utilizar a Regra de Barrow.. Pode aplicar-se o Teorema do Valor Médio do Cálculo Integral á función f ( ) no intervalo [0, ]? No caso afirmativo, comproá-lo.. Comproar que a función f ( )sen está nas hipóteses do Teorema do Valor Médio do Cálculo Integral no intervalo [0, ] e oter o valor de previsto na tese deste teorema.. Comproar que a función f ( ) está nas hipóteses do Teorema do Valor Médio do Cálculo Integral no intervalo [0, ] e oter o valor de previsto na tese deste teorema.. Dada a función F ( ) sen t dt, calcular F ' () e F ' ' (). t. Calcular a derivada da función G( ) dt. t 6 6. Calcular a derivada da función H ( ) (t sen t ) dt. 7. Calcular a derivada da función F ( ) 8. Calcular a H () derivada das funcións dt. t F ( ) ln t dt. t 9. Calcular de duas formas diferentes a integral dt, t G( ) e t ² dt e d. 0. Representar a gráfica de f ( ) no intervalo [, ] e calcular a sua integral nese intervalo.. Calcular o valor do elemento c do Teorema do Valor Médio do Cálculo Integral, para a función y no intervalo [, ].. Sea f() unha función contínua en [0, ] e deriváel en (0,), tal que f ()0 e 0 f ' () d. Calcular 0 f () d.. Sea f :[, ] ℝ, contínua no seu domínio, tal que f (t) dt f (t ) dt. Podese asegurar que eisten e c pertencentes ao intervalo [, ], de maneira que, c e f ( )f (c)?. Calcular, sen utilizar a integral indefinida, o valor de ( sen ) d. sen se. Determinar a e para que a función f ( ) a se (,0 ] sea contínua se >0 en todo o seu domínio e calcular a sua integral definida entre os valores e. 7

17 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS a se 6. Determinar a e para que a función f ( ) a se (,0 ] sea contínua se >0 en todo o seu domínio e calcular a sua integral definida no intervalo [, ] ( sen ) d. 7. Calcular o valor da integral definida 8. Calcular un polinómio p( ) de terceiro grau que teña un máimo relativo en, un ponto de infleión en P (0,) e tal que 0 p ( ) d.. CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES 9. Calcular a área delimitada pola gráfica de y 9 e o eio de ascisas OX. 0. Calcular a área delimitada pola gráfica de y e o eio de ascisas OX.. Calcular a área da reión delimitada por y e e cos eios de coordenadas.. Calcular a área da reión delimitada pola gráfica da función f ( )ln, o eio OX e a recta de ecuación e.. Determinar a área da reión limitada pola gráfica da función f ( ), o eio OX e as rectas e y 6.. A área do recinto limitado pola gráfica de y ( )t co eio de ascisas é 6 unidades de superfície. Calcular o valor de t.. Calcular o valor de k para que a área delimitada polas gráficas de y ( )k e a recta y 0 sea de unidades de superfície. 6. Calcular o valor de m >0 tal que a área comprendida entre y e y m sea de unha unidade. 7. Saendo que a área da reión comprendida entre a curva y e a recta y é, calcular o valor de. 8. Calcular a área do recinto plano delimitado pola gráfica da función f ( ) eio OX e a recta.,o 9. Calcular a área dos recintos cerrados delimitados polas gráficas de: i. y ² y i y y iv. y y v. y y y y. Calcular a integral ( ) ( ) definida entre os valores 0 e e oservar se esta integral definida coincide coa área. 0. Representar gráficamente a función 8 f ( )

18 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS. Calcular a integral definida 6 entre os valores e e oservar se esta integral definida coincide coa área.. Representar gráficamente a función f ( ). Calcular a área do recinto determinado polas intersecións das paráolas y e y.. Calcular a área do recinto limitado pola isectriz do primeiro cuadrante e a gráfica de y 7.. Calcular a área do recinto limitado polo eio de ascisas e a gráfica de f ( ).. Calcular a área do recinto limitado polo eio de ascisas e a gráfica de f ( ). 6. Calcular a área do triángulo determinado polos eios coordenados e a recta tanente á hipérole de ecuación y en calquer ponto da gráfica. 7. Calcular o número α> 0 tal que o valor da área da reión limitada pola recta y α e a paráola y ( ) sea 6 u. 8. Calcular o valor de n ℕ saendo que a área comprendida entre as curvas n. y n e y é 9. Calcular o volume do corpo de revolución determinado pola curva de ecuación y e, o eio OY e a recta ao irar arredor do eio OX. 0. Calcular o volume do corpo de revolución delimitado pola elipse unha volta completa arredor do eio OY. y ao dar. Calcular o volume do elipsoide de revolución enerado por revolución da elipse y ao irar sore o eio OX.. Calcular a superfície lateral dos corpos sólidos enerados nos trés prolemas anteriores.. Oter a fórmula que epresa o volume dun casquete esférico en función da altura do casquete e do raio da esfera.. Oter a fórmula que epresa o volume dun casquete esférico en función da altura do casquete e do raio da sua ase. λ f ( ) d como o límite de f ( ) d cando λ. Á a d e d. vista desta definición, calcular 0. Define-se a integral a 6. Oservando a definición anterior, dar a definición de f ( ) d. Calcular o valor das integrais definidas a f ( ) d e a definición de 0 d. e e d 9

19 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL. EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS SOLUCIÓNS.i. ln v e 6 vi ln i i. 6 6 iv. ln C v.. e atg i. e e ln ln vi..i. i sen( ) vi sen ln i. e. cos ² e i. v. ln v ln ² 6 6.i. e ( ) ( ln ) i ( ln ) iv. sen cos v. cos cos ( ) iv. ( ) 9 vi. vi. asen v 8 vi ln ( ) i. tg( ). C i cos ( ) i. eatg iv. cos (e ) e v. (sen cos ) vi. tg ln cos C v ( ln ) C 9 e i. (sen cos ). ( sen cos ) i. asen vi e ( ).i. ln i iv. ln 8 ln ln v. 0 ln ln vi. ln 7 atg v ln ln vi ln( ) ( ) i. 8 9 ln ln atg. ln ln ln ( )

20 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS.i. ln e 7 ln ln i. ( ln ). ln cos i ln ln i. atg (e ) iv. sen cos C e ² v. ln ln vi. sen v ln i asen vi ln F ( ) 7. F ( ) v. vi. i 0 iv ( ) 9 v. sen cos ln 6 ln 8.i. 0 ln iv ln v ln i. vi 0 i. ln ln (. ) 0 i e d (e ) sen d 0. A función cumpre as hipóteses, polo tanto si que é de aplicación o Teorema.. casen 0,69 [0,]. c 0, [0, ]. F ' ()0 e F ' ' (). G' () 6. H ' ( ) sen 7. F ' ( ) 8. F ' () ln ². e ² ; H ' () 6 ; G' ( ) e 9. d ( )

21 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS 6 0. d. c 7,66 [, ]. 0 f ( ) d. A eisténcia de e c nestas condicións é consecuéncia directa do Teorema do Valor Médio do Cálculo Integral.. ( sen ) d 0. a e 6. a ( sen ) d0 8. p( ) f () d e ; 8,0 f ( ) d, A área é 6 u. 0. A área é u.. A área é u.. A área é u.. A área é. t. k 9 6. m u. 0,. 8. A área é ln 9. As áreas son respectivamente: u, 6 u, 9 u, u, u. 0. A área e a integral definida coinciden: 0 f () dln 0,88 u.. A área e a integral definida coinciden: f ( ) d ln 0,0 u.. A área é u.. A área é u. 0

22 TEMA / CÁLCULO INTEGRAL. A área é EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS u.. A área é u. 6. A área é u independentemente do ponto escollido. 7. α9 8. n 9. O volume é,67 u. e6 0. O volume é 6 6,7 u.. O volume é,9 u.. As son áreas ( ) respectivamente: (,97 u, e ) 9,78 u e 6,978 u.. A fórmula é V (r,h) h ( r h), onde r representa o raio da esfera e h a altura do casquete.. A fórmula é V (R, h) altura do casquete d e e d e h (h R ), onde R representa o raio da ase e h a 6 d. d.