Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións

Transcript

1 Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Fotografía. Ponte Coalbrookdale (Gran Bretaña, 779). Van principal: 30.5 m.

2 Contido. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións nos medios elásticos. Modelos de comportamento dos materiais. 2. Ecuacións constitutivas da elasticidade lineal. 3. Módulo de elasticidade transversal. 4. Módulo de deformación volumétrico. 5. Formulación inversa das ecuacións constitutivas. 6. Superposición de estados tensionais. 7. Deformacións e tensións producidas por variacións térmicas. 8. Enerxía de deformación. Fotografía. Ponte Wanxian (China, 997). Van principal: 420 m. 2

3 5.. Modelos de comportamento dos materiais Nos temas precedentes: Tema 3 Cargas exteriores Tensor de tensións Ecuacións de equilibrio Tema 4 Movementos Deformacións Ecuacións cinemáticas Temos que relacionar as cargas cos movementos Temos que relacionar as tensións coas deformacións As ecuacións que definen o modelo chámanse ecuacións constitutivas e dependen do material. Algúns modelos de comportamento interesantes para a análise estrutural:. Material ríxido. 2. Material plástico. 3. Material elástico lineal. 4. Material elástico non lineal. 5. Material lineal elastoplástico. 6. Material elastoplástico con endurecemento por deformación. 7. Material viscoelástico. 8. Material termoelástico. Hai que definir o comportamento do material carga descarga carga descarga t ºT 3

4 Contido. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións nos medios elásticos. Modelos de comportamento dos materiais. 2. Ecuacións constitutivas da elasticidade lineal. 3. Módulo de elasticidade transversal. 4. Módulo de deformación volumétrico. 5. Formulación inversa das ecuacións constitutivas. 6. Superposición de estados tensionais. 7. Deformacións e tensións producidas por variacións térmicas. 8. Enerxía de deformación. Fotografía. Ponte Caiyuanba (China, 2007). Van principal: 420 m. 4

5 5.2. Ecuacións constitutivas da elasticidade lineal Nos corpos elásticos, homoxéneos e isótropos sometidos a tensión unidireccional aparece unha variación de lonxitude na dirección da carga exterior proporcional ao módulo da solicitación (Hooke, 678). L = = L E O coeficiente E recibe o nome de módulo de elasticidade de Young. Ademais, nas dimensións transversais aparecen unhas deformacións de signo contrario ás anteriores, que son proporcionais a : b-δb L+ ΔL b h 2 = = υ 3 = = υ b E h E h h-δh b L O coeficiente ν recibe o nome de módulo de Poisson (ν < 0.5). Cando existen cargas exteriores en tres direccións ortogonais resultan as leis de Hooke xeneralizadas, que son as ecuacións constitutivas da elasticidade lineal: 2 3 = υ υ = υ ( 2 + 3) E E E E 2 = 2 υ ( + 3) E 3 = 3 υ ( + 2) E 5

6 Contido. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións nos medios elásticos. Modelos de comportamento dos materiais. 2. Ecuacións constitutivas da elasticidade lineal. 3. Módulo de elasticidade transversal. 4. Módulo de deformación volumétrico. 5. Formulación inversa das ecuacións constitutivas. 6. Superposición de estados tensionais. 7. Deformacións e tensións producidas por variacións térmicas. 8. Enerxía de deformación. Fotografía. Ponte Daninghe (China, 200). Van principal: 400 m. 6

7 5.3. Módulo de elasticidade transversal O anterior supón que o tensor de deformacións en eixos principais é: ( 2 3) 0 0 E υ E = = 0 2 υ ( + 3) 0 E υ ( 2) E + Para uns eixos calquera x, y, z obtense: + υ + υ x γ xy γ xz x υ ( y ) z xy xz 2 2 E + τ τ E E + υ + υ E = γ xy y γ yz = τxy y υ ( x + z ) τ yz 2 2 E E E + υ + υ γ xz γ yz z τxz τ yz z υ ( x + y ) 2 2 E E E Definindo G, módulo de elasticidade transversal, como: E G = 2 ( +υ ) obsérvase que en elasticidade lineal tamén existe proporcionalidade entre tensións tanxencias e deformacións tanxenciais: τxy τ τ xz yz γ xy = γ xz = γ yz = G G G 7

8 Contido. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións nos medios elásticos. Modelos de comportamento dos materiais. 2. Ecuacións constitutivas da elasticidade lineal. 3. Módulo de elasticidade transversal. 4. Módulo de deformación volumétrico. 5. Formulación inversa das ecuacións constitutivas. 6. Superposición de estados tensionais. 7. Deformacións e tensións producidas por variacións térmicas. 8. Enerxía de deformación. Fotografía. Ponte Lianxiang (China, 2007). Van principal: 400 m. 8

9 5.4. Módulo de deformación volumétrico Defínese e, módulo de deformación volumétrico, como: e = x + y + z O módulo de deformación volumétrico e coincide co invariante lineal de deformacións J e é independente do triedro de coordenadas elixido. Igualmente, e pódese expresar en función do invariante lineal de tensións I como: I ( ) e= 2 υ E V V 9

10 Contido. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións nos medios elásticos. Modelos de comportamento dos materiais. 2. Ecuacións constitutivas da elasticidade lineal. 3. Módulo de elasticidade transversal. 4. Módulo de deformación volumétrico. 5. Formulación inversa das ecuacións constitutivas. 6. Superposición de estados tensionais. 7. Deformacións e tensións producidas por variacións térmicas. 8. Enerxía de deformación. Fotografía. Ponte Krk (Croacia, 980). Van principal: 390 m. 0

11 5.5. Formulación inversa das ecuacións constitutivas Se se formulan de forma inversa as leis de Hooke xeneralizadas obtéñense as tensións en función das deformacións. As ecuacións resultantes son coñecidas como ecuacións de Lamé. x = 2 G x + λ e y = 2 G y + λ e z = 2 G z + λ e τxy = G γ xy τxz = G γ xz τ = G γ Onde e é o módulo de deformación volumétrica e λ é o módulo de elasticidade de Lamé: λ = yz υ E yz ( + υ) ( 2 υ)

12 Contido. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións nos medios elásticos. Modelos de comportamento dos materiais. 2. Ecuacións constitutivas da elasticidade lineal. 3. Módulo de elasticidade transversal. 4. Módulo de deformación volumétrico. 5. Formulación inversa das ecuacións constitutivas. 6. Superposición de estados tensionais. 7. Deformacións e tensións producidas por variacións térmicas. 8. Enerxía de deformación. Fotografía. Ponte Jinshajiang (China, 990). Van principal: 388 m. 2

13 5.6. Superposición de estados tensionais No modelo elástico e lineal dos medios continuos as ecuacións constitutivas teñen forma lineal, polo que o estado tensional dunha estrutura pode descompoñerse en varios estados máis simples, que posteriormente se poden sumar na orde que se desexe para volver a obter o estado tensional orixinal: ( ) ( ) = E = E = + = E + = E + I I II II I II I II II I II I I I II II I II I II II I A análise de estruturas en réxime elástico e lineal, é dicir, a obtención dos estados de tensións, deformacións e movementos pode realizarse mediante descomposición en estados simples e proceder despois á súa suma de forma arbitraria. Nos corpos elásticos non lineais a superposición de estados tensionais non é posible. 3

14 Contido. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións nos medios elásticos. Modelos de comportamento dos materiais. 2. Ecuacións constitutivas da elasticidade lineal. 3. Módulo de elasticidade transversal. 4. Módulo de deformación volumétrico. 5. Formulación inversa das ecuacións constitutivas. 6. Superposición de estados tensionais. 7. Deformacións e tensións producidas por variacións térmicas. 8. Enerxía de deformación. Fotografía. Ponte Fremont (EEUU, 973). Van principal: 382 m. 4

15 5.7. Deformacións e tensións por variacións térmicas No que segue, consideraremos que os cambios de temperatura se producen de forma lenta e que o rango de incremento non altera os parámetros das ecuacións constitutivas. Toda estrutura ao longo da súa vida de servizo sofre cambios de temperatura que poden ser: - uniformes: afectan a todos os puntos da estrutura por igual, - distribuídos: hai partes da estrutura con diferentes temperaturas. Se o incremento de temperatura é uniforme e de valor ΔT, as deformacións en réxime elástico dun corpo homoxéneo e isótropo son as mesmas en calquera dirección. Denominando α T ao coeficiente de dilatación térmica do material, as deformacións serán: = 2 = 3 = x = y = z = αt T Os incrementos non uniformes poden ter variación lineal (por exemplo en estruturas de instalacións deportivas con climatización) ou non lineal (por exemplo nas presas). A aparición de deformacións debidas a variacións térmicas non produce necesariamente tensións. Se o corpo pode deformarse libremente, o estado tensional será nulo, pero aparecerán tensións cando existan impedimentos aos cambios de xeometría do corpo. Pode establecerse de modo xeral que os cambios de temperatura non producen tensións en estruturas isostáticas e si o fan nas que son hiperestáticas. 5

16 Contido. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións nos medios elásticos. Modelos de comportamento dos materiais 2. Ecuacións constitutivas da elasticidade lineal. 3. Módulo de elasticidade transversal. 4. Módulo de deformación volumétrico. 5. Formulación inversa das ecuacións constitutivas. 6. Superposición de estados tensionais. 7. Deformacións e tensións producidas por variacións térmicas. 8. Enerxía de deformación. Fotografía. Ponte Maocaojie (China, 2007). Van principal: 368 m. 6

17 5.8. Enerxía de deformación A enerxía de deformación U é a enerxía que un sólido acumula no seu interior ao deformarse. Nun sólido homoxéneo e isótropo en réxime elástico e lineal solicitado por unhas cargas exteriores que lle producen unha tensión normal e unha deformación lonxitudinal, pode demostrarse que a enerxía de deformación é igual á área por debaixo da curva -: U = 2 A enerxía de deformación U nun volume unitario do medio elástico en eixos das direccións principais: U = U = υ ( ) 2 E Nuns eixos cartesianos calquera a enerxía de deformación será: U = x x y y z z xy xy xz xz yz yz τ γ + τ γ + τ γ U = x + y + z 2 υ ( x y + x z + y z ) + τxy + τxz + τ yz 2 E 2 G Expresando a enerxía de deformación en función das deformacións principais resulta: G υ 2 U = 2 ( 2 3) ( 2 3) υ G υ U = 2 ( x y z ) ( x y z ) γ xy γ xz γ yz υ 7