Οι Κοινωνικές Επιστήµες Μετά τον John F. Nash Jr Μια αποτίµηση

Transcript

1 Οι Κοινωνικές Επιστήµες Μετά τον John F. Nash Jr Μια αποτίµηση του Γιάνη Βαρουφάκη Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών A. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Το όνειρο της ενοποίησης των κοινωνικών επιστηµών Κατά µια ροµαντική άποψη, 1 οι επιστήµονες αντλούν την «ενέργειά» τους από την ανάγκη να κατανοήσουν την ουσία των φαινοµένων να διεισδύσουν κάτω από την επιφανειακή τους διάσταση και έτσι να ανακαλύψουν την κρυφή τους δοµή καθώς και τη σχέση µεταξύ φαινοµένων τα οποία ο κοινός νους εσφαλµένα θεωρεί ασύνδετα. Οι µελετητές της φύσης, από την αρχαιότητα κιόλας, βιώνουν έντονα ένα τέτοιο όνειρο: Πως να ενοποιήσουν στο πλαίσιο µιας γενικής θετικής επιστήµης τις επί µέρους γνώσεις που έχουµε για τη φύση και τα µυστικά της. Στις αρχές του πολυτάραχου 20 ο αιώνα η θεωρία της σχετικότητας φούντωσε αυτές τις ελπίδες αποδεικνύοντας ότι δύο βασικές έννοιες της φύσης, που έως τότε θεωρούνταν ανεξάρτητες η µια από την άλλη (η ενέργεια και η ύλη), τελικά δεν είναι παρά διαφορετικές όψεις του (οντολογικά) ίδιου νοµίσµατος. Σε συνδυασµό µε τις εξελίξεις στη θεωρία του φωτός, οι φυσικοί άρχισαν να ελπίζουν ότι σύντοµα θα κατάφερναν να ενοποιήσουν τις θετικές επιστήµες να τις εντάξουν όλες σε µια κοινή, γενική θεωρία τόσο των σωµατιδίων που απαρτίζουν τον κόσµο µας όσο και των δυνάµεων της φύσης που ασκούνται πάνω τους και τα οδηγούν στη δυναµική ισορροπία που διέπει το σύµπαν. Ο 20 ος αιώνας παρήλθε και η ελπίδα για την ολοκληρωµένη, ενοποιηµένη Θεωρία των Πάντων παραµένει ελπίδα: Παρόλες τις τεράστιες προόδους των θετικών και βιολογικών επιστηµών σε όλους τους τοµείς, το όνειρο µιας ενοποιηµένης θεωρίας, η οποία θα εξηγεί ταυτόχρονα τη βαρύτητα, τις πυρηνικές/ηλεκτροµαγνητικές δυνάµεις του σύµπαντος και τα µυστικά της ζωής, δεν έχει γίνει πραγµατικότητα (βλέπε Green, 2000). Την ίδια περίπου εποχή που η θεωρία της σχετικότητας ενέπνεε τους φυσικούς και τους γέµιζε ελπίδες για µια Θεωρία των Πάντων, µια αντίστοιχη φιλοδοξία έκανε την εµφάνισή της στις κοινωνικές επιστήµες. Προερχόµενος από τους κόλπους της µαρξιστικής Αριστεράς, ο ιστορικός υλισµός θεωρήθηκε από τους θιασώτες του ως ο εν δυνάµει ενοποιητής όλων των κοινωνικών, ανθρωπολογικών, οικονοµικών, φιλοσοφικών (και ψυχολογικών ακόµα) θεωριών. Με γενναίες δόσεις αισιοδοξίας, θεώρησαν ότι η µελέτη των διαρκών συγκρούσεων µεταξύ (α) της αέναης τεχνολογικής εξέλιξης και (β) των σχετικά αποστεωµένων κοινωνικών σχέσεων, θα οδηγούσε στη συνολική, ολοκληρωµένη (και συνεπώς πραγµατικά επιστηµονική) µελέτη της Ιστορίας. 1 Υπάρχει βέβαια και η κυνική, η µετα-µοντέρνα, άποψη σύµφωνα µε την οποία οι επιστήµονες αντλούν την ενέργειά τους από τη δίψα να δηµιουργήσουν την ελίτ των «σοφών» η οποία θα ασκεί εξουσία πάνω στους αδαείς. Βλέπε Lyotard (1984). Σελίδα 1 σε σύνολο 1 σελίδων

2 Με την εκπνοή του 20 ου αιώνα, και την ήττα της Αριστεράς, «ηττήθηκε» και αυτό το όνειρο καθώς οι ίδιοι οι αριστεροί (µε λίγες εξαιρέσεις) απώλεσαν την αισιοδοξία τους όσον αφορά τόσο τη σοσιαλιστική υπέρβαση όσο και την ενοποίηση των κοινωνικών επιστηµών. εν είναι τυχαίο άλλωστε ότι οι πρωτεργάτες της σηµερινής µεταµοντέρνας γενικευµένης στροφής εναντίον της Θεωρίας, προήλθαν σχεδόν όλοι από τους κόλπους της (απογοητευµένης) Αριστεράς (π.χ. Foucault, Lyotard, Derida βλέπε Varoufakis 1998, 2002). Καθώς λοιπόν ο 20 ος αιώνας µας εγκατέλειπε, άφηνε ανεκπλήρωτες τις δύο µεγάλες ελπίδες που αυτός γέννησε περί ενοποίησης των επιστηµών, θετικών και κοινωνικών. Αυτά είναι λίγο πολύ γνωστά σε όλους όσους ασχολούνται µε την ιστορία της διανόησης και των ιδεών. Αυτό που δεν έχει ίσως γίνει ακόµα ευρέως γνωστό είναι ότι στο πρώτο τέταρτο του 20 ου αιώνα, υπήρξε και µια τρίτη «εξέλιξη» η οποία πυροδότησε και εκείνη ένα άλλο κύµα προσδοκιών περί ενοποίησης των (κοινωνικών) επιστηµών. Σε σχέση µε τις άλλες δύο εξελίξεις (τη µετα-νευτωνιανή φυσική και τον ιστορικό υλισµό), η «τρίτη εξέλιξη» ήταν χαµηλών τόνων και «βραδυφλεγής». Άγνωστη στους περισσότερους, απασχόλησε ελάχιστους στοχαστές από τη δεκαετία του 1920 έως τις αρχές της µεταπολεµικής περιόδου. Στη δεκαετία του 1950 ενθουσίασε περί τα διακόσια άτοµα παγκοσµίως πριν πέσει σε σχετικό µαρασµό στη δεκαετία του Η «χρυσή» περίοδος της «τρίτης εξέλιξης» άρχισε το 1970, έφτασε στο αποκορύφωµά της πριν από δέκα περίπου χρόνια και συνεχίζεται και σήµερα χαρακτηριζόµενη από σηµαντικούς διανοητές ως η µοναδική ελπίδα να θεµελιωθούν οι κοινωνικές επιστήµες σε µια κοινή, πραγµατικά επιστηµονική βάση. Πρόκειται για τη Θεωρία Παιγνίων που ουσιαστικά ξεκίνησε µε ένα αθώο άρθρο του John von Νeumann το οποίο δηµοσιεύτηκε το 1928 στα γερµανικά και αγνοήθηκε σχεδόν πλήρως για τουλάχιστον είκοσι χρόνια. Ο αναγνώστης του άρθρου αυτού, την εποχή που δηµοσιεύτηκε, θα έπρεπε να ήταν ιδιαίτερα οξυδερκής για να προβλέψει πως γεννιόταν µια νέα Θεωρία της Κοινωνίας. Το άρθρο διαπραγµατευόταν τη στρατηγική που θα πρέπει να ενστερνίζονται οι συµµετέχοντες σε κάποια ανώριµα «παιχνιδάκια» έτσι ώστε να νικήσουν τους αντιπάλους τους. Από που κι ως που θα µπορούσε µια τέτοια µελέτη να αποτελέσει τη βάση µιας Κοινωνικής Θεωρίας των Πάντων; Ή για να είµαι πιο ακριβής, µιας Θεωρίας του Κοινωνικού Γίγνεσθαι; Ο ίδιος ο von Νeumann πάντως ούτε που φανταζόταν ότι το άρθρο του ήταν η απαρχή της «τρίτης εξέλιξης». Και όµως. Πριν προλάβει να πέσει η αυλαία του 20 ου αιώνα, αξιόλογοι διανοούµενοι 2 υποστήριξαν την «εξωφρενική» άποψη ότι η Θεωρία Παιγνίων είναι η εκπλήρωση του Μεγάλου Ονείρου στον χώρο των κοινωνικών επιστηµών ότι πρόκειται για µια γενική θεωρία στο πλαίσιο της οποίας είναι δυνατόν να ενοποιηθούν όλες οι «επί µέρους» θεωρίες (οικονοµική, κοινωνιολογία, ανθρωπολογία, πολιτική επιστήµη κλπ) και να εξηγηθούν όλα τα κοινωνικά και οικονοµικά φαινόµενα, οι κοινωνικοί θεσµοί, η ιστορική διαδικασία, οι κοινωνιολογικές και ανθρωπολογικές πτυχές των κοινωνιών, οι πολιτικές ισορροπίες κ.ο.κ. Ανεξάρτητα από το εάν αληθεύει αυτός ο «εξωφρενικός» ισχυρισµός, η Θεωρία Παιγνίων πρέπει να απασχολήσει σοβαρά τον µελετητή (ιδίως τον ιστορικό) των κοινωνικών επιστηµών. Τι ήταν αυτό που µετέτρεψε ένα αθώο άρθρο περί παιδικών παιχνιδιών στην «τρίτη εξέλιξη» που, καλώς ή κακώς, ξαναζωντάνεψε το όνειρο της ενοποίησης των κοινωνικών επιστηµών; Η σύντοµη απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι: ύο υπέροχες ιδέες του John F. Nash Jr. 2 Π.χ ο παγνιοθεωρητικός Myerson (1999) αλλά και γνωστοί µη-παιγνιοθεωρητικοί διανοούµενοι όπως ο Elster (1982) Σελίδα 2 σε σύνολο 2 σελίδων

3 Τι είναι ένα παίγνιο; Πρόκειται για µια κατάσταση όπου (α) Ν(>1) άτοµα, επιχειρήσεις κλπ (οι αποκαλούµενοι «παίκτες») κάνουν κάποιες επιλογές µε στόχο ο καθένας την ικανοποίηση του συµφέροντός του, και (β) το αποτέλεσµα για τον κάθε παίκτη δεν εξαρτάται µόνο από τη δική του επιλογή αλλά και από τις επιλογές των υπόλοιπων Ν-1 παικτών. Π.χ. το σκάκι, η επιλογή τιµών που χρεώνουν ανταγωνιστικές επιχειρήσεις, η επίπτωση στο περιβάλλον που έχει η απόφασή του καθενός µας να συντηρήσει τον κινητήρα του αυτοκινήτου, οι εκλογές κτλ. Β. ΟΙ ΥΟ ΥΠΕΡΩΧΕΣ Ι ΕΕΣ ΤΟΥ JOHN F. NASH JR 2. Πριν τον John F. Nash Jr Γονιός της Θεωρίας Παιγνίων µπορεί να ήταν ο John von Neumann, αρχικά µε το άρθρο του 1928 στο Mathematische Annalen και δέκα έξι χρόνια αργότερα µε το µνηµειώδες βιβλίo του (σε συνεργασία µε τον Oskar Morgenstern) Η Θεωρία των Παιγνίων και η Οικονοµική Συµπεριφορά (Theory of Games and Economic Behavior, 1944, δεύτερη έκδοση 1947). Όµως η θεωρία αυτή θα είχε, δίχως αµφιβολία, ξεχαστεί χωρίς τη συνεισφορά του John Nash και συγκεκριµένα δύο εµπνευσµένες ιδέες οι οποίες εµφανίστηκαν εξ αρχής υπό τη µορφή µαθηµατικών θεωρηµάτων. Ας δούµε πως αυτές οι δύο ιδέες έσωσαν τη Θεωρία Παιγνίων από τη λήθη και την κατέστησαν τη µοναδική πηγή ελπίδας για µια ενοποιηµένη κοινωνική επιστήµη η οποία επιβίωσε και µετά το πέρας του 20 ου αιώνα. Όπως προανέφερα, ο John von Neumann, δεν προέβαλε το δηµιούργηµά του ως τη βάση µιας µελλοντικής κοινωνικής Θεωρίας των Πάντων. Την παρουσίασε απλώς ως µια θεωρία χρήσιµη σε ανταγωνιστικές καταστάσεις όπου το «κέρδος» του ενός είναι η «ζηµία» του άλλου αυτό που ονοµάζουµε παίγνια µηδενικού αθροίσµατος (δεδοµένου ότι εάν αθροίσουµε τα κέρδη του κερδισµένου και τις ζηµίες του χαµένου το άθροισµα είναι µηδενικό), π.χ. στο σκάκι ή το τάβλι ή κάποιο χαρτοπαίγνιο (όπου η νίκη του ενός ισοδυναµεί µε την ήττα του αντιπάλου). Ο von Neumann αντιµετώπισε αυτές τις «συγκρούσεις», µεταξύ δύο παικτών µηδενικού αθροίσµατος, ως γρίφους ως προβλήµατα που έπρεπε να «επιλυθούν». Αυτό και έκανε: Βρήκε τη «λύση» τους. Τι σηµαίνει όµως η φράση «λύση του παιγνίου»; Μπορούµε να τη θεωρήσουµε ως µια πρόβλεψη για το πως θα συµπεριφερθούν οι παίκτες εφόσον η συµπεριφορά τους είναι «έξυπνη» εφόσον δηλαδή πράττουν µε τρόπο που να µεγιστοποιεί τις πιθανότητές τους να κερδίσουν (ή, αντίστοιχα, ελαχιστοποιεί τις πιθανότητες να χάσουν). Η µεγαλοφυΐα του von Neumann φαίνεται από το θεώρηµα (γνωστό ως θεώρηµα minimax) µε το οποίο απέδειξε τη γενικότητα της προτεινόµενης «λύσης». Ας πάρουµε ένα απλούστατο παίγνιο µηδενικού αθροίσµατος όπου δύο παίκτες (Α και Β) επιλέγουν ταυτόχρονα (και χωρίς να επικοινωνήσουν µεταξύ τους) µεταξύ του αριθµού 1 και του αριθµού 2. Αν επιλέξουν διαφορετικό αριθµό, κανείς τους δεν κερδίζει, ούτε χάνει, τίποτα. Αν όµως επιλέξουν τον ίδιο αριθµό τότε, σε περίπτωση που επέλεξαν το 1, ο Β δίνει 1 ευρώ στην Α. Στην αντίθετη περίπτωση (που οι Α&Β επιλέγουν τον αριθµό 2) η Α δίνει 2 ευρώ στον Β. Τι συνιστά ο von Neumann στους παίκτες µας; Απάντηση: Στην Α συνιστά να επιλέξει το 1 και στον Β το 2. Προφανώς, αν ακολουθήσουν τη συµβουλή του, τα κέρδη (οι ζηµίες) και των δύο θα είναι µηδενικά. Ας δούµε πως κατέληξε σε αυτή τη «λύση» ο von Neumann: Σελίδα 3 σε σύνολο 3 σελίδων

4 Η Α πρέπει να σκεφτεί ότι εάν επιλέξει τον αριθµό 1, τότε είτε θα κερδίσει 1 ευρώ (στην περίπτωση που ο Β επιλέξει και αυτός τον αριθµό 1) είτε δεν θα κερδίσει (ούτε και θα χάσει) τίποτα (στην περίπτωση που ο Β επιλέξει το 2). Εάν λοιπόν η Α επιλέξει το 1, στη χειρότερη περίπτωση τα κέρδη της θα είναι µηδενικά. Αν όµως επιλέξει τον αριθµό 2, τότε είτε θα έχει µηδενικά κέρδη (στην περίπτωση που ο Β επιλέξει το 1) είτε θα χάσει 2 ευρώ (στην περίπτωση που και ο Β επιλέξει το 2). Άρα εφόσον επιλέξει το 2, στη χειρότερη περίπτωση η Α θα χάσει 2 ευρώ. Μεταξύ των δύο χειρότερων περιπτώσεων, είναι προφανές ότι η βέλτιστη είναι η πρώτη (η περίπτωση να επιλέξει η Α το 1 και ο Β να κάνει το ίδιο) ενώ η χείριστη είναι η δεύτερη (η περίπτωση να επιλέξει η Α το 2 και ο Β να κάνει το ίδιο). Η σώφρων επιλογή της Α, συνεπώς, είναι ο αριθµός 1 η στρατηγική δηλαδή η οποία µεγιστοποιεί το ελάχιστο κέρδος της (maximises the minimum gain ή maximin) ή ελαχιστοποιεί τη µέγιστη ζηµιά της (minimises the maximum loss ή minimax). Από τη σκοπιά του Β, έχουµε τα εξής: Η επιλογή 1 θα του αποφέρει είτε ζηµία ενός ευρώ (στην περίπτωση που και η Α επιλέξει το 1) είτε µηδενικό κέρδος/ζηµία (στην περίπτωση που και η Α επιλέξει το 2). Το χειρότερο αποτέλεσµα για τον Β από την επιλογή 1 είναι, συνεπώς, ζηµία ενός ευρώ. Αν όµως επιλέξει το 2, στη χειρότερη περίπτωση θα έχει µηδενικό κέρδος/ζηµία (στην περίπτωση που η Α επιλέξει το 1 ενώ εάν και η Α επιλέξει το 2, τότε ο Β θα κερδίσει δύο ευρώ). Από τις δύο χειρότερες πιθανές καταστάσεις η χείριστη αντιστοιχεί στην στρατηγική επιλογή του αριθµού 1. Για αυτό ο von Neumann συµβουλεύει τον Β να επιλέξει τον αριθµό 2 (µια συµβουλή που αντιστοιχεί, όπως και στην περίπτωση της Α) στην έννοια των minimax ζηµιών ή maximin κερδών. Αν και οι δύο παίκτες ακολουθήσουν τη συµβουλή του von Neumann (επιλέγοντας 1 η Α και 2 ο Β), τότε θα έχουν επιλέξει διαφορετικό αριθµό και κανείς τους δεν θα αναγκαστεί να δώσει χρήµατα στον άλλο. Ας αποτυπώσουµε το παίγνιο µε τον συνηθισµένο τρόπο των παιγνιοθεωρητικών. Στον παρακάτω πίνακα, η Α επιλέγει µεταξύ των αριθµών 1 και 2 οι οποίοι αντιστοιχούν στις σειρές Α1 και Α2. Ταυτόχρονα ο Β επιλέγει µεταξύ των δικών του 1 και 2 που στον πίνακα παίρνουν τη µορφή των στηλών Β1 και Β2. Τα κέρδη τους εκφράζονται σε ευρώ µε το κέρδος της Α να αναγράφεται πρώτο και του Β δεύτερο (οι ζηµίες δίδονται ως αρνητικά κέρδη). Β1 Β2 Min A Α1 1,-1 0,0 0 Α2 0,0-2,2-2 Min B -1 0 Παίγνιο 1 Απλό παιχνίδι µηδενικού αθροίσµατος Η ανάγνωση του πίνακα είναι εύκολη. Έστω ότι η Α επιλέγει τον αριθµό 2, δηλ. τη στρατηγική Α2, και ο Β τον 1 (δηλαδή τη στήλη Β1). Από αυτές τις επιλογές προκύπτει το αποτέλεσµα της δεύτερης σειράς και της πρώτης στήλης (µιας και η Α επιλέγει σειρές και ο Β στήλες). Πράγµατι, κανείς δεν χάνει και κανείς δεν κερδίζει (0,0), από τη στιγµή που οι κανόνες του παιχνιδιού λένε ότι, όταν επιλέγουν διαφορετικούς αριθµούς, τα κέρδη και των δύο είναι µηδενικά. Αν όµως για παράδειγµα η Α επιλέξει τον αριθµό 2 (τη σειρά Α2) και ο Β τον αριθµό 2 (στήλη Β2), τότε έχουµε το αποτέλεσµα (-2,2) το οποίο σηµαίνει ότι η Α εξαναγκάζεται να δώσει 2 ευρώ στον Β. Τέλος, για να γίνει εµφανές το σκεπτικό του von Neumann, ο πίνακας έχει µια τρίτη σειρά και µια τρίτη στήλη. Η τρίτη στήλη καταγράφει τα ελάχιστα κέρδη της Α για κάθε µια στρατηγική που έχει στη διάθεσή της. Π.χ. εάν επιλέξει τον αριθµό 1 ουσιαστικά επιλέγει την Σελίδα 4 σε σύνολο 4 σελίδων

5 πρώτη σειρά (Α1). Ποιο είναι το χειρότερο δυνατό κέρδος της σε αυτή τη σειρά; Το 0, το οποίο θα προκύψει εάν ο Β επιλέξει τη στήλη Β2 (δηλαδή τον αριθµό 2). Σηµειώνουµε αυτό το χειρότερο κέρδος της Α το οποίο αντιστοιχεί στη επιλογή της Α1 ως ένα 0 στη στήλη Min A. Το ίδιο κάνουµε και µε το χειρότερο κέρδος της Α2: βάζουµε ένα 2 στην τρίτη στήλη (την Min A) που αντιστοιχεί στη στρατηγική Α2 της Α. Ποιο από τα δύο αυτά «χειρότερα» των στρατηγικών της Α είναι το καλύτερο; Το 0 βέβαια. Για αυτό και το υπογραµµίσαµε, σηµατοδοτώντας τη συµβουλή του von Neumann προς στην Α: Παίξε Α1! Με τον ίδιο τρόπο συµπληρώνουµε και την τρίτη σειρά, την Min Β η οποία δίνει τα χειρότερα κέρδη του Β από τις στρατηγικές Β1 και Β2: -1 και 0 αντίστοιχα. Ποια από τα δύο είναι το καλύτερο; Το 0 βέβαια. Το υπογραµµίζουµε και έτσι έχουµε τη συµβουλή του von Neumann προς τον Β: Παίξε Β2! Όταν η Α και ο Β ακολουθούν τις συµβουλές του von Neumann, τότε το αποτέλεσµα είναι το (0,0) που προκύπτει από το συνδυασµό στρατηγικών (Α1,Β2). Αυτή είναι και η «λύση» του παιχνιδιού που πρότεινε ο von Neumann. Με σκοπό να δούµε τη γενικότητα της «λύσης» του von Neumann, αξίζει να µελετήσουµε άλλο ένα παιχνίδι. Το Παίγνιο 2 είναι πολυπλοκότερο (µιας και ο κάθε παίκτης επιλέγει µεταξύ τριών στρατηγικών) αλλά η διαδικασία «επίλυσής» του είναι η ίδια. Η στήλη Min A µας πληροφορεί ότι η στρατηγική Α2 µεγιστοποιεί το ελάχιστο κέρδος της Α, ενώ η στήλη Β1 µεγιστοποιεί το ελάχιστο κέρδος του Β. Άρα, αυτές τις στρατηγικές συνιστά ο von Neumann επιλογές που οδηγούν στη «λύση» (Α2,Β1) και κέρδη µείον ένα ευρώ για την Α και ένα ευρώ για τον Β. Β1 Β2 Β3 Min A Α1-2,2 1,-1 10,-10-2 Α2-1,1 2,-2 0,0-1 Α3-8,8 0,0-15,15-15 Min B Παίγνιο 2 Ο αναγνώστης καλείται να προσέξει µια πραγµατικότητα η οποία δεν είναι εµφανής: Και στα παραπάνω δύο παίγνια το άθροισµα των maximin κερδών της Α και του Β ισούται µε το µηδέν. Για να το δούµε αυτό, ας επανεξετάσουµε τις στρατηγικές που προτείνει ο von Neumann στους Α και Β για το Παίγνιο 2: Α2 και Β1. Σηµειώνουµε ότι το ελάχιστο κέρδος της Α από την προτεινόµενη στρατηγική Α2 είναι 1 (βλ. την τρίτη στήλη). Ο λόγος βέβαια που προτείνει ο von Neumann τη συγκεκριµένη στρατηγική είναι ότι αποδίδει το µέγιστο ελάχιστο πρόκειται δηλαδή για τη maximin στρατηγική της Α, όπου το maximin της Α στη συγκεκριµένη περίπτωση ισούται µε 1. Την ίδια στιγµή το ελάχιστο κέρδος του Β από την προτεινόµενη maximin στρατηγική Β1 ισούται µε 1 (βλέπε την τρίτη σειρά). Εάν αθροίσουµε τα maximin της Α και του Β (-1+1) βρίσκουµε το µηδέν. Το ίδιο ισχύει όµως και στο Παίγνιο 1. Και εκεί το άθροισµα των υπογραµµισµένων maximin κερδών των Α και Β είναι 0+0=0. Μήπως προέκυψε αυτό το «φαινόµενο» τυχαία; Έτυχε το άθροισµα των υπογραµµισµένων maximin κερδών των Α και Β να είναι µηδενικό; Τυχαία φτάσαµε στο συµπέρασµα ότι η µικρότερη από τις µέγιστες ζηµίες της Α ισούνται µε το µέγιστο µεταξύ των ελάχιστων κερδών του Β; Καθόλου τυχαία. Ο von Neumann απέδειξε µε αριστουργηµατικό τρόπο ότι για όλα τα παίγνια δύο παικτών και µηδενικού αθροίσµατος υπάρχουν maximin στρατηγικές (µια για κάθε παίκτη) που οδηγούν σε αυτή την ισότητα. Το θεώρηµα αυτό είναι γνωστό ως το Θεώρηµα Minimax. Σελίδα 5 σε σύνολο 5 σελίδων

6 Ποια η σηµασία του; Πως το ερµηνεύουµε; Πριν ακόµα προσπαθήσουµε να το ερµηνεύσουµε, δεν είναι δύσκολο για τον αναγνώστη να κατανοήσει την «αισθητική» αξία του θεωρήµατος αυτού. Πρόκειται για το πρώτο θεώρηµα το οποίο ανακάλυψε µια κοινή ιδιότητα ανάµεσα σε µια τεράστια κατηγορία παιγνίων ή αντιπαραθέσεων (τα παίγνια µηδενικού αθροίσµατος µεταξύ δύο παικτών). Τίποτα δεν ενθουσιάζει το νου του θεωρητικού περισσότερο από την ανακάλυψη ότι µια σειρά καταστάσεων που µπορούν να πάρουν άπειρες µορφές, διέπονται τελικά από κάποια πολύ συγκεκριµένα, κοινά δοµικά χαρακτηριστικά. Το θεώρηµα του von Neumann, καταδεικνύοντας την κοινή δοµή µιας µεγάλης οµάδας «συγκρούσεων» µεταξύ δύο ατόµων, αποτέλεσε τη θεµέλιο λίθο της Θεωρίας Παιγνίων. Πέραν όµως από την αισθητική αξία του θεωρήµατος αυτού, ο von Neumann έπρεπε να εξηγήσει στους αναγνώστες του γιατί η προτεινόµενη «λύση» αποτελεί ταυτόχρονα (α) έναν καλό οδηγό προς «παίκτες», και (β) µια καλή πρόβλεψη για το αποτέλεσµα της «σύγκρουσης». Κατ αρχήν, πρέπει να παρατηρήσουµε ότι η συµβουλή του von Neumann (που στηρίζεται στην αρχή maximin) είναι ιδιαίτερα συντηρητική: «Υπολόγισε την ελάχιστη απόδοση (ή το ελάχιστο κέρδος) που θα σου αποφέρει η κάθε µια από τις Ν διαθέσιµες στρατηγικές. Κατόπιν να επιλέξεις τη στρατηγική που θα σου επιφέρει τη µέγιστη από αυτές τις ελάχιστες αποδόσεις.» Προφανώς, ο von Neumann σου προτείνει να βασιστείς στη µέγιστη αποστροφή στο ρίσκο και την αβεβαιότητα. Για να το δούµε αυτό, έστω ότι έχεις να επιλέξεις µεταξύ δύο επενδύσεων. Η πρώτη θα σου αποφέρει είτε 1 εκ. ευρώ είτε ευρώ. Η δεύτερη θα σου αποφέρει είτε ευρώ είτε ευρώ. Άτοµα που εφαρµόζουν τη µέθοδο maximin θα επιλέξουν τη δεύτερη επένδυση εστιάζοντας αποκλειστικά στις ελάχιστες αποδόσεις των δύο επενδύσεων. Βλέπουµε λοιπόν ότι η µέθοδος maximin θα προσελκύσει τους απαισιόδοξους οι οποίοι πιστεύουν στο λεγόµενο «νόµο» του Murphy: «αν µπορεί κάτι να πάει στραβά, θα πάει στραβά». Σε καµία όµως περίπτωση δεν µπορεί κάποιος, γενικά και αόριστα, να υποστηρίξει ότι η επιλογή της δεύτερης επένδυσης είναι λογικότερη από την πρώτη. Η συµβουλή του von Neumann δεν είναι όµως γενική και αόριστη µιας και αφορά αποκλειστικά τα παίγνια µηδενικού αθροίσµατος στα οποία, όπως απέδειξε µε το θεώρηµά του, η µικρότερη από τις µέγιστες ζηµίες του ενός ισούνται µε το µέγιστο µεταξύ των ελάχιστων κερδών του άλλου. Συνεπώς, το να είσαι απαισιόδοξος, και να βασίζεις τις επιλογές σου στη µέγιστη αποστροφή προς το ρίσκο, δεν σηµαίνει ότι φοβάσαι και τη σκιά σου και παραλύεις µπροστά στην αβεβαιότητα. Απλώς σηµαίνει ότι, στο πλαίσιο της «βαναυσότητας» ενός παιγνίου µηδενικού αθροίσµατος, κατανοείς ότι ο αντίπαλός σου (λόγω της δοµής της αντιπαράθεσης) προσπαθεί να σου κάνει όσο µεγαλύτερο κακό γίνεται. Σε αυτές τις περιπτώσεις η µεγιστοποίηση των κερδών σου πάντοτε ισοδυναµεί µε την ελαχιστοποίηση των ζηµιών σου. Όταν και οι δύο παίκτες το συνειδητοποιήσουν αυτό, έχουµε τη «λύση» (minimax ή maximin) του von Neumann. Περαιτέρω, ο von Neumann απέδειξε ότι υπάρχει µια τέτοια λύση για όλα τα παίγνια του τύπου που µελετήσαµε προηγουµένως (δύο παικτών, µηδενικού αθροίσµατος). εν υπάρχει αµφιβολία για την αξία της συνεισφοράς του µεγάλου διανοητή von Neumann. Όπως δεν υπάρχει αµφιβολία ότι η Θεωρία Παιγνίων του von Neumann δεν θα είχε µέλλον χωρίς τις δύο µεγαλοφυείς ιδέες του John Nash ιδέες που την άλλαξαν ριζικά και πάνω στις οποίες χτίστηκε η σηµερινή Θεωρία Παιγνίων. Το πρόβληµα µε τη θεωρία που κληροδότησε ο von Neumann ήταν ότι τα παίγνια που διαπραγµατευόταν δεν είχαν σηµαντική απήχηση ούτε στους κοινωνικούς επιστήµονες ούτε στα κέντρα εξουσίας της εποχής. Το βιβλίο των von Neumann και Morgenstern δηµοσιεύτηκε την εποχή (1944 και1947) που η σκόνη του Β Παγκόσµιου Πόλεµου δεν είχε ακόµα καταλαγιάσει. Ήταν τότε Σελίδα 6 σε σύνολο 6 σελίδων

7 που ο κόσµος πέρναγε από τον εφιάλτη της µεγαλύτερης σφαγής του 20 ου αιώνα σε έναν άλλο εφιάλτη: εκείνο της συνεχούς και κλιµακούµενης απειλής ενός πυρηνικού ολοκαυτώµατος. Τα µεγάλα ζητήµατα ήταν, από τη µια µεριά, η ειρηνική συνύπαρξη και συνεργασία µεταξύ ατόµων και λαών, έτσι ώστε να επουλωθούν οι πληγές της οικουµένης, ενώ από την άλλη τα «γεράκια» του Πενταγώνου σχεδίαζαν τον επικείµενο πυρηνικό πόλεµο. 3 Το θεώρηµα του von Neumann δεν ενδιέφερε ούτε τους µεν ούτε τους δε! Ο λόγος είναι απλός: Ούτε η συνεργασία λαών και ατόµων αλλά ούτε και η πυρηνική αντιπαράθεση θυµίζουν «παίγνια» µηδενικού αθροίσµατος την µοναδική κατηγορία παιγνίων που επέλυσε ο von Neumann. Είναι απλό να δούµε το γιατί. Εάν δύο ή περισσότερα άτοµα καταφέρουν να συνεργαστούν, ξεπερνώντας τις µεταξύ τους αντιπαραθέσεις, τότε µπορούµε να φανταστούµε ένα αποτέλεσµα το οποίο ωφελεί όλους. ηλαδή, πρόκειται για ένα παίγνιο εν δυνάµει θετικού αθροίσµατος µιας και υπάρχει δυνατότητα το άθροισµα των «κερδών» να είναι θετικό (αντί µηδενικό). Το αντίθετο ίσχυε για τα γεράκια του Πενταγώνου: Ένας πυρηνικός πόλεµος θα µας σκότωνε όλους κάτι το οποίο, προφανώς, µπορεί να χαρακτηριστεί ως παίγνιο ιδιαίτερα αρνητικού αθροίσµατος! Βλέπουµε λοιπόν ότι πριν καλά-καλά «γεννηθεί» η Θεωρία Παιγνίων, αντιµετώπισε πρόβληµα βιωσιµότητας. Τα γεράκια του Πενταγώνου µπορεί να ήθελαν διακαώς µια θεωρία που να τους βοηθήσει στο να καταστρώνουν τα ψυχροπολεµικά, πυρηνικά τους σχέδια, όµως ο von Neumann δεν µπορούσε να τους την παρέχει µιας και τα µόνα παίγνια που «έλυσε» ήταν εκείνα που το κέρδος του ενός είναι η ζηµία του άλλου. Παράλληλα, κανείς κοινωνικός επιστήµονας δεν θα µπορούσε να χρησιµοποιήσει µια θεωρία η οποία δεν έχει τίποτα να πει για κοινωνικές καταστάσεις όπου τα ανταγωνιστικά κίνητρα συµβιώνουν µε την ανάγκη της συνεργασίας. Για αυτούς τους βασικούς λόγους, η κατά von Neumann Θεωρία Παιγνίων έπνεε τα λοίσθια προτού καν εδραιωθεί στη συνείδηση των θεωρητικών της κοινωνίας. Έως ότου ένας νεότατος µεταπτυχιακός φοιτητής στο Princeton «ξερίζωσε» τη βάση της Θεωρίας Παιγνίων, δηµιούργησε µια νέα, και απέδειξε δύο θεωρήµατα τα οποία έδωσαν τη δυνατότητα σε αυτόν και τους συνεχιστές του έργου του να υποστηρίξουν ότι δεν υπάρχει κοινωνικό φαινόµενο το οποίο να µην µπορεί να το αναλύσει διεξοδικά η Θεωρία Παιγνίων. Ουσιαστικά, ο John Nash µε τρία άρθρα του µεταξύ του 1950 και του 1953 υποστήριξε ότι «επέλυσε» όλα τα παίγνια που απαρτίζουν το κοινωνικό γίγνεσθαι! εν νοµίζω ο 20 ος αιώνας να γνώρισε µεγαλύτερη «αυθάδεια» από εκείνη του νεαρού Nash. Ποιες ήταν οι δύο αυτές µεγαλεπήβολες, υπέροχες ιδέες που έδωσαν νέα πνοή στη Θεωρία Παιγνίων; Η πρώτη ιδέα βοήθησε τον Nash να απεγκλωβίσει τη θεωρία από τα παίγνια µηδενικού αθροίσµατος στα οποία είχε αποτελµατωθεί η προσέγγιση του von Neumann. Η δεύτερη ιδέα τον οδήγησε στην επέκταση της προσέγγισής του στον τοµέα των διαπραγµατεύσεων. Έκτοτε η Θεωρία Παιγνίων δύναται να αναλύει καταστάσεις όπου τα εµπλεκόµενα µέρη έχουν την ευχέρεια να κάθονται γύρω από το τραπέζι και να καταλήγουν σε αµοιβαία επικερδείς συµφωνίες. Αυτές οι δύο ιδέες µαζί ενέπνευσαν τον κύκλο των παιγνιοθεωρητικών που ακολούθησαν τον Nash να ασχοληθούν συστηµατικά (α) µε «συγκρούσεις» µη-µηδενικού αθροίσµατος (από προβλήµατα ψυχροπολεµικής στρατηγικής, αντιπαραθέσεων µεταξύ ανταγωνιστικών εταιρειών, τις στρατηγικές επιλογές αντιµαχόµενων πλευρών στα δικαστήρια, µέχρι και εκλογικής στρατηγικής κοµµατικών σχηµατισµών), και 3. Στην αντι-πολεµική ταινία του Stanley Kubrick Dr Strangelove εικάζεται ότι ο µανιακός επιστήµονας µε τη γερµανική προφορά και το αναπηρικό καροτσάκι, το, οποίο υποδύεται ο Peter Sellers, είναι ένα αµάγαλµα του John von Neumann και του von Braun. Πράγµατι ο von Neumann, προς το τέλος της ζωής του, έπασχε από καρκίνο και ήταν καθηλωµένος σε αναπηρική καρέκλα. Παρόλα αυτά συµµετείχε σε συναντήσεις στο Πεντάγωνο των ΗΠΑ µε θέµα τον πυρηινκό σχεδιασµό. Ήταν µάλιστα θιασώτης της πρώτης χρήσης πυρηινκών όπλων. Σελίδα 7 σε σύνολο 7 σελίδων

8 (β) µε διαπραγµατευτικά προβλήµατα επιλύσιµα στο πλαίσιο συµφωνιών όπου τα συµβαλλόµενα µέρη δέχονται την επιβολή και επιτήρηση των συµφωνηµένων από το Κράτος, τα δικαστήρια, το ιεθνές ίκαιο κτλ (π.χ. συλλογικές συµβάσεις µεταξύ συνδικάτων και εργοδοτών, διακρατικές συµφωνίες). Ξάφνου, οι δύο µεγαλοφυείς ιδέες του Nash µετέτρεψαν τη Θεωρία Παιγνίων από µια περιθωριακή «θεωριούλα» σε µια γενική προσέγγιση όλων των κοινωνικών καταστάσεων, στο βαθµό που µια «κοινωνική κατάσταση» προκύπτει ως προϊόν αλληλεπίδρασης των ορθολογικών επιλογών και συµπεριφορών (ατόµων, εταιρειών αλλά και κρατών ή θεσµών) που στόχο έχουν την εξυπηρέτηση δεδοµένων συµφερόντων. Εάν πράγµατι έτσι έχουν τα πράγµατα, καταλαβαίνει κανείς γιατί παιγνιοθεωρητικοί όπως ο Roger Myerson (βλ. συνέντευξή του στο παρόν βιβλίο) πρεσβεύουν την αισιόδοξη άποψη ότι η Θεωρία Παιγνίων µετά τον Nash είναι (ή θα έπρεπε να είναι) η κοινή βάση της επιστηµονικής µελέτης όλων των κοινωνικών φαινοµένων. Προτού αποτιµήσουµε αυτή την «εξωφρενική», όπως την χαρακτήρισα προηγουµένως, άποψη, ας δούµε πιο αναλυτικά τις δύο ιδέες του Nash. 3. Η πρώτη υπέροχη ιδέα: Η ισορροπία Nash Γιατί ένας τόσο ιδιοφυής διανοητής όπως ο John von Neumann απέτυχε στο να «επιλύσει» παίγνια µη-µηδενικού αθροίσµατος; Και πως το κατάφερε ο νεαρός Nash; Εν συντοµία ο λόγος είναι ο εξής: Ο von Neumann προσπάθησε να πετύχει το ακατόρθωτο να συµβουλεύσει τους παίκτες για το πως τους συµφέρει να συµπεριφερθούν ανεξάρτητα από οποιεσδήποτε υποκειµενικές προσδοκίες για το τι θα κάνουν οι αντίπαλοι. εν είναι περίεργο ότι απέτυχε. Είναι δυνατόν να ξέρεις πάντοτε πως πρέπει να πράξεις ανεξάρτητα του τι νοµίζεις ότι θα κάνει ο αντίπαλος; Όπως λοιπόν ο Γόρδιος εσµός δεν ήταν δυνατόν να λυθεί µε συµβατικό τρόπο, έτσι και το κουβάρι που προσπάθησε να «ξεµπλέξει» ο von Neumann κανένας ανθρώπινος νους, καµία διάνοια, δεν µπορούσε να το λύσει συµβατικά. Ο Nash πέτυχε εκεί που ο von Neumann απέτυχε επειδή ακριβώς δεν προσπάθησε να λύσει το πρόβληµα συµβατικά. Βρήκε την άκρη του νήµατος µε ριζοσπαστικό και αυθάδη τρόπο: αγνόησε την πεπατηµένη, έκοψε το κουβάρι στα δύο και έφτασε κατευθείαν στη λύση του Γόρδιου αυτού εσµού. Ο Γόρδιος εσµός Προσδοκιών (ή Το Πρόβληµα της Απροσδιοριστίας): Σε ένα παίγνιο το αποτέλεσµα, εξ ορισµού, δεν εξαρτάται µόνο από τη δική σου επιλογή (ή πράξη) αλλά και από το σύνολο των επιλογών και των υπόλοιπων Ν-1 παικτών (συµπαικτών ή αντιπάλων). Άρα (τις περισσότερες φορές) δεν είναι δυνατόν να ξέρεις ποια είναι εκείνη η επιλογή που εξυπηρετεί το συµφέρον σου καλύτερα εφόσον δεν γνωρίζεις τις επιλογές των άλλων. Όµως και οι άλλοι βρίσκονται στην ίδια θέση: ούτε εκείνοι γνωρίζουν την βέλτιστή τους επιλογή επειδή αγνοούν τι να περιµένουν από τους υπόλοιπους. Συνεπώς, σου είναι δύσκολο να αποφασίσεις τι πρέπει να πράξεις δεδοµένου ότι δεν ξέρεις τι προσδοκούν οι άλλοι ότι προσδοκάς εσύ για αυτούς. Εν τέλει, παγιδεύεσαι (όπως και οι άλλοι παίκτες) σε ένα Γόρδιο εσµό Προσδοκιών (Γ Π) όπου η επιλογή σου βασίζεται στην προσδοκία σου για τις προσδοκίες των άλλων όσον αφορά τις δικές σου προσδοκίες για τις δικές τους προσδοκίες για τις δικές σου προσδοκίες... επ άπειρον. Έτσι, στα περισσότερα κοινωνικά, οικονοµικά, πολιτικά, πολεµικά παίγνια προκύπτει το πρόβληµα της απροσδιοριστίας. Αυτό είναι το κουβάρι που πρώτος έλυσε ο John Nash βασιζόµενος στην πρώτη από τις δύο υπέροχες ιδέες του. Σελίδα 8 σε σύνολο 8 σελίδων

9 Θα ήταν άδικο βέβαια να υποτιµήσουµε το κατόρθωµα του von Neumann. Το ότι η µέθοδος maximin πέτυχε το στόχο της σε µια κατηγορία παιγνίων (τα µηδενικού αθροίσµατος) ήταν ένα µικρό «θαύµα». Θυµήσου ότι η µέθοδος maximin συµβουλεύει τους «παίκτες» να µην προσπαθήσουν να προβλέψουν ούτε την «κίνηση» του αντίπαλου ούτε τις προσδοκίες του αλλά, αντίθετα, να περιµένουν τα χειρότερα από κάθε µια τους στρατηγική και να επιλέξουν εκείνη που ελαχιστοποιεί τις χειρότερες ζηµίες (ή µεγιστοποιεί τα ελάχιστα κέρδη). Με αυτό τον τρόπο ο von Neumann πέτυχε να καταλήξει σε «λύση» ανεξάρτητη των προσδοκιών. Όµως το µικρό αυτό «θαύµα» δεν µπορούσε να επαναληφθεί αλλού (δηλ. σε άλλες µορφές στρατηγικών αντιπαραθέσεων). Το πρόβληµα είναι ότι, σε γενικές γραµµές, δεν µπορείς να αγνοήσεις τον Γ Π να συµβουλεύσεις δηλαδή κάποιον για το τι πρέπει να κάνει σε ένα παίγνιο ανεξάρτητα από προσδοκίες για το τι θα κάνουν οι άλλοι. Μόνο στα παίγνια µηδενικού αθροίσµατος έχει νόηµα κάτι τέτοιο. Π.χ. ας πάρουµε το εξής απλό παίγνιο µη-µηδενικού αθροίσµατος. Έστω ότι κατεβαίνεις από το αεροπλάνο σε µια άγνωστη χώρα και νοικιάζεις αυτοκίνητο. Μπορεί κανείς να σε συµβουλεύσει για το αν πρέπει να οδηγήσεις στην αριστερή ή τη δεξιά µεριά του δρόµου ανεξάρτητα πληροφόρησης για τις προσδοκίες των άλλων οδηγών; Όχι βέβαια. Αν η χώρα αυτή είναι η Γαλλία, οι άλλοι «παίκτες» σε αυτό το «παίγνιο» προσδοκούν ότι θα οδηγήσεις στο δεξιό µέρος του δρόµου, οπότε το καλύτερο που έχεις να κάνεις είναι ακριβώς αυτό: να οδηγήσεις στο δεξιό µέρος του δρόµου. Αν όµως η εν λόγω χώρα είναι η Κύπρος, τότε οι προσδοκίες των «άλλων» είναι διαφορετικές οπότε και η βέλτιστη στρατηγική σου επιλογή είναι και αυτή διαφορετική. Η προσέγγιση maximin δεν είναι καλός σύµβουλος σε αυτή την περίπτωση γιατί το παίγνιο είναι µη-µηδενικού αθροίσµατος µιας και όλοι θα βγουν κερδισµένοι αν καταφέρουν να «συντονιστούν» (οδηγώντας στο ίδιο µέρος του δρόµου), ενώ θα βγουν χαµένοι (και πιθανώς) νεκροί αν αποτύχουν. Συνεπώς, στα µη-µηδενικού αθροίσµατος παίγνια, οι σώφρονες συµβουλές είναι εκείνες που λαµβάνουν σοβαρά τις προσδοκίες των άλλων. Όµως σε αυτή την περίπτωση προκύπτει το πρόβληµα της απροσδιοριστίας λόγω του Γ Π που ορίσαµε στο παραπάνω πλαίσιο. Η επιτυχία του Nash ήταν ότι ανακάλυψε µια νέα µορφή «λύσης» των παιγνίων η οποία αφορά και στα µηδενικού αλλά και στα µη-µηδενικού αθροίσµατος παίγνια µια «λύση» η οποία αναγνωρίζει τη σηµασία των προσδοκιών των «άλλων». Βέβαια θα ήταν λάθος να θεωρήσουµε ότι ο Nash ανακάλυψε τη σηµασία των προσδοκιών στη διαµόρφωση της βέλτιστης στρατηγικής επιλογής. Η αρχαία τραγωδία είναι γεµάτη αναφορές στην ισχύ της προφητείας και το πρόβληµα που προκύπτει λόγω της ατελείωτης αλληλεπίδρασης µεταξύ προσδοκιών και πράξεων (τον Γ Π δηλαδή). Αν ο βασιλιάς Λάιος δεν είχε λάβει σοβαρά υπ όψη του την προφητεία ότι θα δολοφονείτο από τον γιο του, η προφητεία δεν θα είχε βγει αληθινή σε εκείνο το µοιραίο σταυροδρόµι και ο Οιδίποδας δεν θα είχε παντρευτεί τη µητέρα του. Στην Tosca του Puccini το δραµατικό φινάλε έρχεται όταν η ηρωΐδα πιάνεται σε µια καθαρά παιγνιοθεωρητική παγίδα, έρµαιο των προσδοκιών της. 4 Πέραν των τραγωδών, ούτε οι πολιτικοί φιλόσοφοι χρειάζονταν τον Nash να τους διδάξει περί της στρατηγικής σηµασίας των προσδοκιών. Ο Αριστοτέλης (1935) πρότεινε 4 Όταν ο εραστής της Tosca συλλαµβάνεται και καταδικάζεται σε θάνατο, ο αρχηγός της αστυνοµίας Scarpia της υπόσχεται ότι θα αντικαταστήσει τις σφαίρες του εκτελεστικού αποσπάσµατος µε άσφαιρα φυσίγγια εφόσον εκείνη συµφωνήσει να πλαγιάσει µαζί του. Εκείνη συµφωνεί αλλά, τη στιγµή που αγκαλιάζονται, τον µαχαιρώνει. Σαν να το είχε προβλέψει, ούτε ο Scarpia τήρησε τη συµφωνία του και έτσι οι σφαίρες του εκτελεστικού αποσπάσµατος ήταν πραγµατικές. Όταν τα γεγονότα µερικώς επιβεβαίωσαν και µερικώς ανέτρεψαν τις προσδοκίες της Tosca, εκείνη πέφτει να σκοτωθεί και η αυλαία κατεβαίνει. Σελίδα 9 σε σύνολο 9 σελίδων

10 στους δουλοκτήτες συγκεκριµένες στρατηγικές διαχείρισης των δούλων οι οποίες βασίζονταν στη σχέση των προσδοκιών και της παραγωγικότητάς τους. 5 Πιο κοντά στην εποχή µας, Ο Πρίγκιπας, το αριστουργηµατικό εγχειρίδιο του Niccolo Machiavelli (1985), ανέλυε συστηµατικά τον τρόπο µε τον οποίο οι κατέχοντες την πολιτική εξουσία πρέπει να διαχειρίζονται τις προσδοκίες των υποτακτικών τους ώστε να ελαχιστοποιούνται οι φυγόκεντρες δυνάµεις που οδηγούν τις πολιτείες στην αναποτελεσµατικότητα, την παρακµή και το χάος. Αργότερα, τόσο ο Αγγλοσαξονικός όσο και ο «ηπειρωτικός» ιαφωτισµός ανέπτυσσαν φιλελεύθερα επιχειρήµατα για το πως, και κάτω από ποιες συνθήκες, νοµιµοποιείται η κρατική εξουσία. Από τη µια ο Thomas Hobbes (1651), στον Leviathan, εκλογικεύει την στρατηγική εκχώρηση ατοµικών δικαιωµάτων προς τους «άρχοντες», κρούοντας τον κώδωνα του κινδύνου για το χάος που θα επικρατήσει διαφορετικά (εάν π.χ. τα άτοµα διατηρήσουν το δικαίωµα της χρήσης βίας). Από την άλλη, ο J.-J. Rousseau (1762) προσέγγισε το ίδιο περίπου πρόβληµα από τη σκοπιά του κοινωνικού προβλήµατος που δηµιουργείται όταν το κάθε άτοµο καλείται να αφοσιωθεί στους κοινούς στόχους, στο Γενικό Αγαθό, εις βάρος του στενά προσωπικού συµφέροντος. Ο Rousseau, όπως και οι σύγχρονοι παιγνιοθεωρητικοί, έδινε ιδιαίτερη έµφαση στις προσδοκίες, φοβούµενος ότι το Κοινωνικό Αγαθό δεν θα «εξυπηρετηθεί» σε κλίµα απαισιοδοξίας. Για τον Rousseau η τύχη των συλλογικών στόχων εξαρτιόταν από τις προσδοκίες των πολιτών όσο αφορά τη συµπεριφορά των συµπολιτών τους, και ιδίως εκείνων που είναι λιγότερο αφοσιωµένοι στα Κοινά. Στο µεταξύ ο (φιλοσοφικά άσπονδος) φίλος του Rousseau, ο σκοτσέζος David Hume (1740), αγωνιούσε για το εάν η συνεργασία θα επικρατούσε των κοινωνικών συγκρούσεων όταν οι άνθρωποι έχουν µεν κοινά συµφέροντα αλλά ταυτόχρονα τους χωρίζει η προσδοκία ότι ο «άλλος» δεν θα τους «σταθεί» όταν τον έχουν ανάγκη. Ο µαθητής του, ο Adam Smith (1776), καθώς και όλοι οι µεγάλοι οικονοµολόγοι που τον διαδέχθηκαν (Ricardo, Malthus, Mill, Marx, Walras, Keynes) συνέλαβαν την ιδέα µιας αυτο-ρυθµιζόµενης οικονοµίας της αγοράς ως µια ισορροπία όχι µόνο µεταξύ των τιµών και των ποσοτήτων των αγαθών αλλά ως µια ισορροπία προσδοκιών (η οποία είτε είναι σταθερή, π.χ. η αισιόδοξη άποψη του Smith, είτε είναι επιρρεπής στην αστάθεια και συνεπώς κυοφορεί «κρίσεις», π.χ. η άποψη του Marx). Ίσως η πιο εµπεριστατωµένη µελέτη για τη σηµασία των προσδοκιών σε στρατηγικού χαρακτήρα καταστάσεις (που κάλλιστα µπορούν να συγκριθούν µε τα παίγνια που απασχόλησαν τον von Neumann αρχικά και τον Nash αργότερα) ήταν η ανάλυση του Antoine Augustin Cournot, ο οποίος το 1838 δηµοσίευσε πραγµατεία για τη µαθηµατική ανάλυση του ανταγωνισµού µεταξύ δύο επιχειρήσεων. Έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον ότι η «λύση» σε αυτό το παίγνιο µεταξύ των δύο επιχειρήσεων είναι, από µαθηµατικής πλευράς πανοµοιότυπη µε εκείνη που ανακάλυψε ο Nash (βασιζόµενος στη πρώτη από τις δύο µεγαλοφυείς του ιδέες) πάνω από 112 χρόνια αργότερα. Βέβαια ο Cournot δεν είχε τη δυνατότητα να καταλάβει τι θησαυρό είχε ανακαλύψει γιατί δεν είχε σκεφτεί το πρόβληµα ως παίγνιο του οποίου η λύση µπορεί να βρεθεί όταν οι «παίκτες»-επιχειρήσεις πράττουν ορθολογικά. Απλώς τυχαία κατέληξε σε αυτή τη «λύση» αφού υπέθεσε ότι οι επιχειρήσεις θα κάνουν τις επιλογές τους µηχανικά, µυωπικά και χωρίς ιδιαίτερη σκέψη. Η ειρωνεία είναι ότι ούτε ο Nash γνώριζε ότι µε τη πρώτη του υπέροχη ιδέα είχε λύσει το πρόβληµα το οποίο είχε οριστεί από τον Cournot τόσες δεκαετίες πριν απλά, ο Nash (ο οποίος, όπως λέγεται δεν διάβαζε τα γραπτά άλλων παρά µόνο σε ειδικές περιπτώσεις) δεν είχε ιδέα ούτε ποιος ήταν ο Cournot ούτε για την ανάλυση του τελευταίου σχετικά µε τα ανταγωνιστικά παίγνια µεταξύ 5 Βλ. όµως Meikle (1995) για κάποιες σοβαρές ενστάσεις όσον αφορά την αυθεντικότητα των συγκεκριµένων κειµένων. (Ευχαριστώ τον Νίκο Θεοχαράκη για την τελευταία επισήµανση.) Σελίδα 10 σε σύνολο 10 σελίδων

11 επιχειρήσεων. Χρειάστηκε ο Martin Shubik (ένας συµφοιτητής του Nash που διάβαζε το έργο ακόµα και νεκρών γάλλων) να επισηµάνει στον Nash ότι η πρώτη ιδέα του έλυνε το πρόβληµα του ανταγωνισµού µε τρόπο που, από µαθηµατικής τουλάχιστον πλευρά, ήταν ίδια µε εκείνη του Cournot. Η ουσία αρκετών από τις προηγούµενες παραγράφους είναι ότι η αλληλεπίδραση µεταξύ προσδοκιών, πράξεων και κοινωνικών θεσµών ήταν ανέκαθεν στις σκέψεις των φιλοσόφων, των οικονοµολόγων, των πολιτικών επιστηµόνων, αλλά και των ποιητών, των συγγραφέων κλπ. εν πρόκειται για ανακάλυψη του Nash. Γνώριζαν καλά το πρόβληµα όσοι ασχολήθηκαν σοβαρά είτε µε κάποιο παιχνίδι (π.χ. σκάκι, ποδόσφαιρο) είτε µε την πολιτική, τη ρητορική, την αγορά ακόµα και µε τη µόδα (γιατί τι άλλο είναι η µόδα από ένα παίγνιο προσδοκιών, και µια συνεχής αγωνία για το πως θα ανατρέψουµε τις προσδοκίες των άλλων, π.χ. όταν πηγαίνουµε σε ένα πάρτυ, χωρίς όµως να ξεπεράσουµε κάποια «όρια»;). Μάλιστα όχι µόνο γνώριζαν το πρόβληµα, αλλά και συνειδητοποιούσαν ότι είναι τόσο πολύπλοκο που είναι αδύνατον να αναλυθεί «επιστηµονικά». Με άλλα λόγια, ο Γ Π ήταν γνωστός όπως και η σηµασία του. Η διαφορά µεταξύ του Nash και των υπόλοιπων διανοητών ήταν ότι, ενώ εκείνοι είχαν σηκώσει τα χέρια ψηλά και παραδέχονταν ότι ο Γ Π (και το Πρόβληµα της Απροσδιοριστίας που αυτός δηµιουργεί) δεν «λύνεται», ο Nash τον έλυσε. Γιατί είναι σηµαντικό αυτό; Ο λόγος βέβαια είναι ότι τα ενδιαφέροντα παίγνια, αυτά τα οποία ενθουσίαζαν ανέκαθεν τους ποιητές, τους φιλόσοφους, τους προύχοντες, τους οικονοµολόγους (αλλά και τα γεράκια του πενταγώνου ή τους διοικητές πολυεθνικών επιχειρήσεων) ξάφνου βρήκαν «λύση». Και πάνω σε αυτή τη «λύση» χτίστηκαν τα όνειρα για την ενοποίηση όλων των κοινωνικών θεωριών υπό τη σκέπη της Θεωρίας Παιγνίων. Να γιατί η πρώτη ιδέα του Nash ήταν υπέροχη. Ας δούµε άλλη µια φορά το πρόβληµα που µόνος ο Nash πίστεψε ότι µπορεί να λυθεί. Στο σκάκι για παράδειγµα, ο συνδυασµός κινήσεων που θα επιλέξει ο «λευκός» παίκτης στην αρχή του παιχνιδιού εξαρτάται από τις επόµενες κινήσεις που περιµένει από τον «µαύρο» παίκτη. Ναι, αλλά τι είναι λογικό να περιµένει ο «λευκός» παίκτης ότι θα πράξει ο «µαύρος» παίκτης; Αν ο «λευκός» πιστεύει ότι ο «µαύρος» παίκτης είναι και αυτός ορθολογικός, τότε ο «λευκός» περιµένει ότι ο «µαύρος» παίκτης θα πράξει ανάλογα µε τις προσδοκίες του για το τι θα κάνει ο «λευκός». Κ.ο.κ. Σε τελική ανάλυση, η κίνηση του «λευκού» παίκτη εξαρτάται από τι προσδοκά ο «λευκός» ότι προσδοκά ο «µαύρος» ότι προσδοκά ο «λευκός» ότι προσδοκά ο «µαύρος»...επ άπειρον! Όταν λοιπόν έχουµε ορθολογικά άτοµα εγκλωβισµένα σε µια στρατηγική αντιπαράθεση, καταλήγουµε στον γνωστό µας Γόρδιο εσµό Προσδοκιών (Γ Π) τον οποίο αν δεν λύσουµε δεν έχουµε καµµία πιθανότητα να αποφανθούµε για το τι πρέπει να κάνει ο κάθε παίκτης αν θέλει να µεγιστοποιήσει το όφελός του. Είναι φανερό ότι ο Γ Π δεν λύνεται εύκολα. Πολλοί τον σεβάστηκαν και προσπάθησαν να τον λύσουν σταδιακά, χωρίς όµως επιτυχία. Όπως και ο Γόρδιος εσµός που αντιµετώπισε ο Μέγας Αλέξανδρος, ο Γ Π χρειαζόταν µια απότοµη, βίαιη, απροσδόκητη θα έλεγε κανείς κίνηση µια κίνηση που δεν τον σέβεται. Αυτό ακριβώς έκανε ο Nash. Ούτε τον σεβάστηκε, ούτε όµως και τον αγνόησε. 6 6 Αντίθετα, δηλαδή, από την τακτική των Cournot και von Neumann οι οποίοι προσπάθησαν να λύσουν το πρόβληµα αγνοώντας τον Γ Π. Ο Cournot τον αγνόησε διαλέγοντας µια κίνηση «τακτικής υποχώρησης»: υπέθεσε ότι οι παίκτες (δηλ. στην περίπτωση του ανταγωνιστικού παιγνίου µεταξύ δύο επιχειρήσεων) πράττουν µηχανιστικά, µυωπικά, ανορθολογικά. Συνεπώς, δεν υφίσταται ο Γ Π µιας και ο Γ Π προκύπτει µόνο όταν οι παίκτές είναι ορθολογικοί και σέβονται ο ένας την ορθολογικότητα (και συνεπώς τις προσδοκίες) του άλλου. Όσο για τον von Neumann, τα κατάφερε να αγνοήσει τον Γ Π επιλέγοντας να µελετήσει αποκλειστικά µια κατηγορία παιγνίων (τα µηδενικού αθροίσµατος) όπου ο Γ Π δεν κάνει την εµφάνισή του. εν την κάνει επειδή στα µηδενικού αθροίσµατος παίγνια η λύση maximin βρίσκεται ανεξάρτητα προσδοκιών. Σελίδα 11 σε σύνολο 11 σελίδων

12 Η πρώτη υπέροχη ιδέα του Nash ιανοήθηκε τη «λύση» των παιγνίων ως µια ισορροπία µεταξύ (α) των πράξεων (ή στρατηγικών επιλογών) των παικτών, και (β) των προσδοκιών οι οποίες τους ώθησαν σε αυτές τις πράξεις. ΠΑΙΓΝΙΟ 3: Έστω το εξής παίγνιο µεταξύ Ν ατόµων (τα οποία είτε είναι συγκεντρωµένα σε µια αίθουσα είτε παίζουν µέσα από το ιαδίκτυο). Ο κάθε παίκτης καλείται να επιλέξει µια φορά (χωρίς να συνεργάζεται µε τους υπόλοιπους Ν-1 παίκτες) έναν αριθµό µεταξύ του 0 και του 100. Ο διαιτητής του παιχνιδιού σηµειώνει τις επιλογές των Ν παικτών και παρατηρεί τη µέγιστη επιλογή (ΜΑΧ). Κατόπιν βρίσκει τον παίκτη η επιλογή του οποίου ήρθε πιο κοντά στη µέγιστη επιλογή δια του δύο (δηλαδή στο ΜΑΧ/2). Αυτός ο παίκτης κερδίζει την επιλογή του σε εκατοµµύρια ευρώ! Π.χ. εάν η µέγιστη επιλογή σε αυτή την οµάδα των Ν παικτών ήταν το 100, τότε ο παίκτης που επέλεξε 50 κερδίζει 50 εκ. ευρώ. [Σε περίπτωση ισοπαλίας µεταξύ δύο ή τριών παικτών (π.χ. δύο ή τρεις παίκτες επέλεξαν το 50), τα κέρδη διαιρούνται µεταξύ των νικητών.] Ανάλυση του παιγνίου: Η σωστή στρατηγική είναι να µαντέψεις τον µεγαλύτερο αριθµό µεταξύ του 0 και του 100 που θα επιλέξει κάποιος από τους αντίπαλους (τον αριθµό ΜΑΧ δηλαδή), να τον διαιρέσεις δια του 2 και να επιλέξεις τον αριθµό που βρήκες. Όµως τι είναι σώφρον να περιµένεις ότι θα επιλέξουν οι υπόλοιποι; Εδώ κάνει την εµφάνισή του ο Γ Π και απειλεί να εµποδίσει την ανάλυσή µας. Πράγµατι, εάν συµµετέχεις σε αυτό το παίγνιο, είναι προφανές ότι η επιλογή σου βασίζεται στην προσδοκία σου για τις επιλογές των άλλων. Και οι επιλογές των άλλων θα βασίζονται στις δικές τους προσδοκίες για τη δική σου επιλογή. Άρα, πως είναι δυνατόν να γνωρίζεις τι θα κάνουν οι άλλοι και, κατ επέκταση, ποια επιλογή είναι η καλύτερη για σένα; Ας δούµε πως ο Nash σε βοηθά να ξεπεράσεις αυτό το εµπόδιο κατακερµατίζοντας µε µιας τον Γ Π. Η ισορροπία Nash του παιγνίου αυτού: Ο Nash βρήκε ότι το παίγνιο αυτό έχει µια και µοναδική λύση εφόσον οι παίκτες σέβονται ο ένας την ορθολογικότητα του άλλου. Σύµφωνα µε αυτή την «λύση» του παιγνίου, ο κάθε παίκτης επιλέγει τον αριθµό 0 και κανείς τους δεν κερδίζει τίποτα! Είναι σαν τα έξυπνα πουλιά που πιάνονται από τη µύτη. Το σκεπτικό του Nash: Ο Nash αποφάσισε να µην ασχοληθεί µε το τι σκέφτονται οι παίκτες, ο ένας για τον άλλον. Αντίθετα, ασχολήθηκε µε ένα απλό ερώτηµα. Υπάρχουν στρατηγικές επιλογές (µια για κάθε παίκτη) τέτοιες που, αν επιλεχθούν από τους παίκτες, να µην µετανιώσει κανείς τους για τη στρατηγική επιλογή που έκανε (να µην έχει δηλαδή λόγο να επιλέξει µια άλλη στρατηγική); Ναι, απαντά ο Nash. Σε αυτό το παίγνιο υπάρχει µια και µοναδική τέτοια επιλογή για τον κάθε παίκτη: Ο αριθµός µηδέν! Ας δούµε γιατί. Απόδειξη: Έστω ότι ο κάθε παίκτης επέλεγε τον αριθµό Χ>0. Από τη στιγµή που όλοι επέλεξαν τον ίδιο αριθµό Χ, η µέγιστη επιλογή (ΜΑΧ) ισούται µε Χ και όλοι βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το ΜΑΧ/2. Οπότε και οι Ν παίκτες µοιράζονται το έπαθλο των Χ εκ. ευρώ. Με άλλα λόγια, ο κάθε ένας εισπράττει Χ/Ν εκ. ευρώ. Όµως, κατόπιν εορτής, όλοι τους θα µετάνιωναν την επιλογή τους. Ο λόγος είναι η συνειδητοποίηση ότι εάν, αντί για τον αριθµό Χ είχες επιλέξει έναν κατά λίγο µικρότερο αριθµό (Χ-ε) όπου ε>0 αλλά πολύ κοντά στο µηδέν, τότε θα ήσουν ο µοναδικός νικητής και το έπαθλό σου θα ήταν πολύ µεγαλύτερο (δηλαδή, Χ-ε εκ. ευρώ αντί για Χ/Ν εκ. ευρώ). Αυτό ισχύει ανεξάρτητα της τιµής του Χ. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι για οποιαδήποτε επιλογή Χ>0, οι παίκτες µετανιώνουν την επιλογή τους. Άρα η ταυτόχρονη επιλογή του αριθµού Χ>0 από τους Ν παίκτες δεν αποτελεί ισορροπία Nash. Σελίδα 12 σε σύνολο 12 σελίδων

13 Αντίθετα η επιλογή του µηδενός (Χ=0) είναι ισορροπία Nash. Ας δούµε γιατί: Όταν όλοι τους επιλέγουν το µηδέν, παρόλο που κανείς δεν κερδίζει τίποτα, κανείς δεν µετανιώνει για την επιλογή του. Ο λόγος είναι ότι εάν οι αντίπαλοί σου επιλέξουν το µηδέν, δεν θα κερδίσεις τίποτα εάν εσύ επιλέξεις Χ>0 (από τη στιγµή που νικητές θα αναδειχθούν οι υπόλοιποι µιας και η δική τους, µηδενική επιλογή, είναι πιο κοντά στο δικό σου Χ δια του 2). Αν τώρα επιλέξεις Χ=100, τότε µπορεί µεν τόσο η δική σου επιλογή να βρίσκεται στην ίδια απόσταση από το µέγιστο δια του 2 (100/2 = 50) σε σχέση µε το δικό τους µηδέν αλλά, σε αυτή την περίπτωση, θα µετανιώσουν εκείνοι την επιλογή τους (από τη στιγµή που θα συνειδητοποιήσουν ότι θα κέρδιζαν περισσότερα αν επέλεγαν τον αριθµό 50 αντί του µηδενός). Άρα, καταλήγουµε, ότι µόνο η επιλογή του µηδενός από όλους του παίκτες αποτελεί ισορροπία Nash. 7 Πως γίνεται η «λύση» του Παιγνίου 3 (α) να αφήνει όλους τους παίκτες µε µηδέν κέρδη, και (β) να µην µετανιώνουν για αυτό; Η απάντηση του Nash είναι πως η δοµή του συγκεκριµένου παιγνίου είναι τέτοια που τους ωθεί στην παγίδα του ανταγωνισµού: Ο κάθε ένας, στην προσπάθειά του να «ρίξει» τους αντίπαλούς του, προσπαθεί να επιλέξει µικρότερο αριθµό από τους άλλους. Όµως όλοι τους κάνουν το ίδιο και έτσι «ισορροπούν» στο µηδέν. Και, δεδοµένου ότι τα κέρδη του νικητή ισούνται µε τον αριθµό που αυτός επέλεξε, κανείς τους δεν κερδίζει τίποτα. Αυτό µπορεί να τους δυσαρεστεί αλλά δεν µετανιώνουν την επιλογή τους αφού (α) γνωρίζουν ότι οι αντίπαλοι επιλέγουν ορθολογικά, και (β) η καλύτερή τους απάντηση στις ορθολογικές επιλογές των άλλων είναι το µηδέν. εν πρέπει να µας φαίνεται παράξενο αυτό. Ποια ήταν άλλωστε η βασική ιδέα του Adam Smith (1776) για τον αγοραίο ανταγωνισµό; εν ήταν ότι οι έµποροι, οι παραγωγοί, οι επιχειρήσεις κλπ καταλήγουν στα µηδενικά οικονοµικά κέρδη ακριβώς επειδή προσπαθούν να τα µεγιστοποιήσουν (µε το να χρεώνουν τιµές χαµηλότερες από εκείνες των ανταγωνιστών τους); Η οµορφιά της ισορροπίας Nash είναι ότι εφαρµόζεται σε όλα τα παίγνια και όχι µόνο στα παίγνια που αφορούν επιχειρήσεις και τιµές. Ας πάρουµε άλλο ένα παράδειγµα: Β1 Β2 Β3 Β1 Β2 Β3 Α ,99 0,0 99,100 - Α1 + 2,1 0,0 1,2 - Α2 0,0 + 1,1-0,0 Α2 0, ,1000-0,0 Α3 99,100-0, ,99 Α3 1,2-0,0 + 2,1 Παίγνιο 4α Παίγνιο 4β Το παραπάνω παίγνιο (Παίγνιο 4) παρουσιάζεται σε δύο µορφές. Σύµφωνα όµως µε τον Nash η µορφή 4α είναι αναλυτικά όµοια µε τη µορφή 4β. Ας ξεκινήσουµε µε τη µορφή 4α. ύο παίκτες καλούνται να επιλέξουν µεταξύ τριών στρατηγικών. Στο µενού της η Α έχει τις Α1,Α2 και Α3 ενώ ο Β τις στρατηγικές Β1,Β2 και Β3. Αρχικά παρατηρούµε ότι πρόκειται περί µη-µηδενικού παιγνίου. (Έλεγξε ότι το Θεώρηµα Μaximin του von Neumann δεν ισχύει.) Σε αυτό το παίγνιο υπάρχει µια ισορροπία Nash: Η Α επιλέγει τη στρατηγική Α2 και ο Β την στρατηγική Β2 (για αυτό το αποτέλεσµα (Α2,Β2) έχει σκιαγραφηθεί). Ας δούµε γιατί ο συνδυασµός στρατηγικών (Α2,Β2) είναι ισορροπία Nash ενώ οι υπόλοιποι δεν είναι παρόλο που µερικοί από αυτούς 8 είναι προτιµότεροι και για τους δύο παίκτες. Ας πάρουµε το αποτέλεσµα (Α1,Β1). Μπορεί να θεωρηθεί ισορροπία του παιγνίου; 7 Για µια πειραµατική προσέγγιση σε αντίστοιχα παίγνια βλ. Nagel (1995). 8 ηλ. τα αποτελέσµατα (Α1,Β1), (Α1,Β3), (Α3,Β1) και (Α3,Β3) Σελίδα 13 σε σύνολο 13 σελίδων

14 Όχι λέει ο Nash επειδή τουλάχιστον ένας παίκτης θα µετάνιωνε την επιλογή του κατόπιν εορτής. Ποιος από τους δύο; Όχι η Α. Εάν επέλεγαν Α1 και Β1, η Α δεν θα είχε πρόβληµα µε την επιλογή της µιας και η στρατηγική Α1 είναι πράγµατι η καλύτερη απάντηση στην στρατηγική Β1 του Β. (Παρατηρούµε ότι, εφόσον ο Β επιλέγει την Β1, η Α λαµβάνει 100 εάν επιλέξει την Α1, 0 εάν επιλέξει την Α2 και 99 εάν επιλέξει την Α3. Άρα η βέλτιστη στρατηγική της επιλογή όταν ο Β επιλέγει την Β1 είναι πράγµατι η Α1.) Ο Β όµως θα µετάνιωνε την επιλογή του (Β1) εάν παρατηρούσε ότι η Α επέλεξε την Α1. Γιατί; Επειδή η καλύτερη απάντηση στην Α1 της Α είναι η Β3. (Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση που η Α επιλέξει την Α1, ο Β δύναται να λάβει 99 εάν επιλέξει την Β1, 0 εάν επιλέξει την Β2 και 100 εάν επιλέξει την Α3. Συνεπώς η βέλτιστη στρατηγική του επιλογή όταν η Α επιλέγει την Α1 είναι όχι η Β1 αλλά η Β3!) Άρα, από τη στιγµή που ο Β θα µετάνιωνε την Β1 όταν η Α επιλέγει την Α1, ο συνδυασµός στρατηγικών (Α1,Β1) δεν µπορεί να είναι ισορροπία Nash. Το ίδιο ισχύει για κάθε ένα συνδυασµό (ή σύνολο) στρατηγικών µε µια µόνο εξαίρεση: τις στρατηγικές (Α2,Β2). Ας το δούµε. Εάν επιλέξουν αυτό το συνδυασµό, θα µετανιώσει κάποιος από τους δύο παίκτες την επιλογή του; Η Α δεν θα µετανιώσει µιας και η Α2 είναι η καλύτερη απάντηση στην Β2. (Παρατηρούµε ότι, εφόσον ο Β επιλέγει την Β2, η Α λαµβάνει 0 εάν επιλέξει την Α1, 1 εάν επιλέξει την Α2 και 0 εάν επιλέξει την Α3. Η βέλτιστη στρατηγική της επιλογή όταν ο Β επιλέγει την Β2 είναι συνεπώς η Α2.) Όµως το ίδιο ισχύει σε αυτή την περίπτωση και για τον Β! Εφόσον επέλεξε η Α την Α2, η καλύτερη απάντηση του Β είναι η Β2. (Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση που η Α επιλέξει την Α2, ο Β λαµβάνει 0 εάν επιλέξει την Β1, 1 εάν επιλέξει την Β2 και 0 εάν επιλέξει την Α3. Άρα η βέλτιστη στρατηγική του επιλογή όταν η Α επιλέγει την Α2 είναι η Β2.) Πιο αναλυτικά, έχουµε τις εξής πιθανές προσδοκίες της Α µε τις αντίστοιχες καλύτερες απαντήσεις της (δηλ. τις βέλτιστες στρατηγικές της επιλογές): (1) Η Α προσδοκά ότι ο Β θα επιλέξει Β1. Τότε η βέλτιστη επιλογή της είναι η Α1 (2) Η Α προσδοκά ότι ο Β θα επιλέξει Β2. Τότε η βέλτιστη επιλογή της είναι η Α2 (3) Η Α προσδοκά ότι ο Β θα επιλέξει Β3. Τότε η βέλτιστη επιλογή της είναι η Α3 Οι αντίστοιχες προσδοκίες και βέλτιστες επιλογές του Β έχουν ως εξής: (4) Ο Β προσδοκά ότι η Α θα επιλέξει Α1. Τότε η βέλτιστη επιλογή του είναι η Β3 (5) Ο Β προσδοκά ότι η Α θα επιλέξει Α2. Τότε η βέλτιστη επιλογή του είναι η Β2 (6) Ο Β προσδοκά ότι η Α θα επιλέξει Α3. Τότε η βέλτιστη επιλογή του είναι η Β1 εν είναι δύσκολο να διακρίνουµε ότι οι µοναδικές επιλογές που επιβεβαιώνουν τις προσδοκίες και των δύο είναι ο συνδυασµός (Α2,Β2) η προσδοκία (2) της Α και η (5) του Β. Ίσως ο αναγνώστης διακρίνει αυτή την ισορροπία προσδοκιών και επιλογών καλύτερα εάν οι παραπάνω προσδοκίες (1) µε (6) αποτυπωθούν απλά στον πίνακα του Παιγνίου 4α. Στον πίνακα (του Παιγνίου 4α) σηµειώσαµε την (1) προσθέτοντας ένα θετικό πρόσηµο ( + )στο αποτέλεσµα (Α1,Β1), υποδηλώνοντας µε αυτό ότι η Α1 είναι η καλύτερη απάντηση της Α στην Β1 του Β. Το ίδιο θετικό πρόσηµο ( + ) στο αποτέλεσµα (Α2,Β2) µας θυµίζει ότι η βέλτιστη απάντηση της Α στην Β2 είναι η Α2. Τέλος, προσθέσαµε άλλο ένα τέτοιο θετικό πρόσηµο στο αποτέλεσµα (Α3,Β3) καταδεικνύοντας έτσι ότι η Α3 είναι η βέλτιστη απάντηση της Α στην Β3 του Β. Με αυτό τον τρόπο, µε µια µατιά, διακρίνουµε τις βέλτιστες απαντήσεις της Α σε κάθε µια από τις στρατηγικές επιλογές του Β: Πρόκειται για τις σειρές µε τα θετικά πρόσηµα ( + ) σε κάθε µια από τις στήλες (δηλ. τις στρατηγικές του Β). Το ίδιο κάναµε και µε τις βέλτιστες επιλογές του Β µόνο που χρησιµοποιήσαµε αρνητικά πρόσηµα ( - ). Έτσι, το αποτέλεσµα (Α1,Β3) περιέχει ένα αρνητικό πρόσηµο ( - ) Σελίδα 14 σε σύνολο 14 σελίδων

15 επειδή η Β3 αποτελεί την καλύτερη απάντηση του Β στην στρατηγική Α1 της Α το ίδιο ισχύει για το αποτέλεσµα (Α2,Β2) δεδοµένου ότι η Β2 είναι η καλύτερη απάντηση του Β στην Α2 της Α και, τέλος, θέτουµε ένα αρνητικό πρόσηµο ( - ) στο αποτέλεσµα (Α3,Β1) επειδή η καλύτερη απάντηση του Β στην Α3 της Α είναι η στρατηγική (ή η στήλη) Β1. Ποιος ο λόγος που σηµειώσαµε αυτά τα πρόσηµα στον πίνακα του παιγνίου υπό µελέτη; Με αυτό τον τρόπο καταστήσαµε την ισορροπία Nash του παιγνίου ορατή «δια γυµνού οφθαλµού». Πρόκειται για το αποτέλεσµα (δηλ. τον συνδυασµό στρατηγικών, µια για τον κάθε παίκτη) όπου συµπίπτουν ένα αρνητικό ( - ) και ένα θετικό πρόσηµο ( + ). 9 Στο Παίγνιο 4α βλέπουµε ότι, πράγµατι, έχουµε σύµπτωση αρνητικού και θετικού πρόσηµου µόνο στο αποτέλεσµα (Α2,Β2) τη µοναδική ισορροπία Nash. Το ίδιο όµως συµβαίνει και στην περίπτωση του Παιγνίου 4β και σε αυτό η µοναδική ισορροπία Nash είναι το αποτέλεσµα των στρατηγικών επιλογών (Α2,Β2). Συνοπτικά, η πρώτη υπέροχη ιδέα του Nash, µε την οποία καταπιαστήκαµε παραπάνω, είναι γνωστή ως ισορροπία Nash και παρουσιάστηκε σε δύο άρθρα που άφησαν εποχή (Nash 1950 και 1951), τα οποία και δηµοσιεύονται σε τούτο το βιβλίο για πρώτη φορά στην ελληνική. Τρία είναι τα βασικά χαρακτηριστικά αυτής της τόσο σηµαντικής έννοιας: (α) (β) (γ) Η ισορροπία Nash δεν περιορίζεται σε µια µόνο κατηγορία παιγνίων αλλά αφορά όλα τα παίγνια µεταξύ Ν ατόµων (εφόσον ο κάθε παίκτης διαλέγει µεταξύ ενός πεπερασµένου συνόλου στρατηγικών). Είναι µια γενική λύση και αυτή της η γενικότητα την καθιστά σηµαντική. Ο αναγνώστης µπορεί, π.χ., να ελέγξει ότι η λύση του von Neumann στα παίγνια µηδενικού αθροίσµατος (βλ. Παίγνια 1 και 2) είναι ισορροπίες Nash µε άλλα λόγια, η µέθοδος minimax (ή maximin) του von Neumann απέδωσε µια λύση επειδή αποτελεί υπο-περίπτωση της πολύ γενικότερης ισορροπίας Nash. Η ισορροπία Nash αναδεικνύει τη µεγάλη διαφορά µεταξύ ιδιωτικού και συλλογικού συµφέροντος. Π.χ. στα Παίγνια 3 και 4α ο Nash αποκαλύπτει πως η ισορροπία των παιγνίων αυτών είναι καταστροφική για τους παίκτες. Στο Παίγνιο 3 καταλήγουν να µην κερδίσουν τίποτα επειδή πράττουν ορθολογικά και µε γνώµονα το ιδιωτικό τους συµφέρον. Το ίδιο και στο Παίγνιο 4α όπου καταλήγουν στο αποτέλεσµα (Α2,Β2) το οποίο τους αποφέρει µια µονάδα οφέλους στον κάθε ένα ενώ κάλλιστα το όφελος τους θα µπορούσε να ήταν πολλαπλάσιο (π.χ. εάν είχαν επιλέξει τις στρατηγικές Α1 και Β1). Πρόκειται για ένα καίριο πλεονέκτηµα της θεωρίας Nash (από τη σκοπιά της κοινωνικής θεωρίας γενικότερα) µιας και µε αυτό το αποτέλεσµα αναδεικνύεται το πόσο επισφαλές είναι το συλλογικό συµφέρον καθώς και πόσο ιδιαίτερα παρακινδυνευµένο είναι να υποθέτουµε, δίχως ιδιαίτερη µελέτη, την ταύτιση του ιδιωτικού και του συλλογικού συµφέροντος. Ο Nash µας απέδειξε ότι µια ισορροπία µεταξύ ιδιωτικών προσδοκιών και πράξεων µπορεί να αποβεί µοιραία για όλους κάτι που το ζούµε καθηµερινά καθώς, π.χ., πράξεις που αποβλέπουν αποκλειστικά στο ιδιωτικό συµφέρον καταστρέφουν µέρα µε τη µέρα το περιβάλλον. Ο Nash δεν άφησε την πρώτη του µεγάλη ιδέα να αναλωθεί µόνο και µόνο στον ορισµό της ισορροπίας. Το µεγάλο του επίτευγµα ήταν ένα θεώρηµα το οποίο 9 Θυµήσου ότι τα θετικά πρόσιµα «σηµαδεύουν» τις βέλτιστες απαντήσεις της Α στην κάθε στρατηγική του Β. Και τα αρνητικά τις βέλτιστες απαντήσεις του Β στην κάθε στρατηγική του Α. Έτσι, όταν ένα θετικό συµπίπτει µε ένα αρνητικό πρόσιµο στο ίδιο αποτέλεσµα, αυτό σηµαίνει ότι το αποτέλεσµα αυτό προκύπτει από στρατηγικές που είναι η µια η βέλτιστη απάντηση στην άλλη. Άρα, εάν οι παίκτες τις επιλέξουν, τότε δεν θα µετανιώσει ούτε ο ένας ούτε ο άλλος για την επιλογή του, δεδοµένης της επιλογής του αντιπάλου τους. Πρόκειται, συνεπώς, για ισορροπία Nash. Σελίδα 15 σε σύνολο 15 σελίδων