Mηχανή Atwood µε κινούµενη τροχαλία

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.11 1 Mηχανή Atwood µε κινούµενη τροχαλία Θεωρείστε τη µηχανή Atwood του σχήµατος. (α) Να γραφούν οι τρεις εξισώσεις Fmα. Θεωρείστε θετική τη φορά προς τα πάνω. (β) Να βρεθεί η επιτάχυνση της µεσαίας µάζας (m) συναρτήσει των επιταχύνσεων των δύο άλλων µαζών. (γ) Να βρεθούν και οι τρεις επιταχύνσεις

2 ΦΥΣ Διαλ.11 Mηχανή Atwood µε κινούµενη τροχαλία (α) Να γραφούν οι τρεις εξισώσεις Fmα. Τ Τ Τ Τ α Τ Τ " α 1 F m1 1 T m1g α 3 " F m T + T mg F m3 3 T m3g " " m1 1 T m1g " m T mg " m3 3 T m3g Τρεις εξισώσεις αλλά με 4 αγνώστους: α 1,α,α 3,T 1 ακόμα εξίσωση

3 ΦΥΣ Διαλ.11 3 Μηχανή Atwood µε κινούµενη τροχαλία (β) Αρχή διατήρησης του νήµατος και η επιτάχυνση της µάζας m m 1 m m 3 ü Έστω η µάζα m 1 κινείται κατά y 1 προς τα πάνω και η µάζα m 3 κινείται κατά y 3 προς τα πάνω. Ø Το νήµα όµως δεν χάνεται, άρα µήκος νήµατος ίσο µε y 1 +y 3 πρέπει να εµφανιστεί στη µεσαία περιοχή. ü Αφού υπάρχουν τµήµατα νήµατος, το καθένα θα πρέπει να επιµηκυνθεί κατά (y 1 +y 3 )/. Η µάζα m πηγαίνει προς τα κάτω κατά το ίδιο διάστηµα y. Εποµένως µπορούµε να βρούµε την επιτάχυνσή της. # & dv dt d # dt " dy dt $ & % d d " y 1 + y 3 dt % $ dt [ ( ) ] ( + ) 1 ( 1 " $ ' # 3 (+) (+) m 1 y 1 d dt " $ # dy 1 dt m m 3 y 3 (-) ( y1 + y3) % ' + & d " $ dt # y dy 3 dt %% '' &&

4 ΦΥΣ Διαλ.11 4 Mηχανή Atwood µε κινούµενη τροχαλία (γ) Οι επιταχύνσεις των τριών µαζών και η τάση Τ του νήµατος Τώρα έχουµε 4 εξισώσεις µε 4 αγνώστους: 1 3 T mg (1) m 1 (5) T mg T mg () m m T 3mg (6) (3) 3m (4) T 3m( 31 ) + 3mg " T m(91 3g (7) " m(91 " 3g) " mg 1 10m1 mg 1 m Από τις (6) και (3) έχουµε: ) Από τις (1) και (7) έχουµε: g 5 Αντικαθιστώντας στις (5),(6) και (7) g 5 3 3g 5 T mg

5 Σχετική ταχύτητα ΦΥΣ Διαλ.11 5

6 ΦΥΣ Διαλ.11 6 Σχετική ταχύτητα Δύο παρατηρητές που κινούνται σχετικά ο ένας ως προς τον άλλο δεν συμφωνούν γενικά για το αποτέλεσμα ενός πειράματος Διαδρομή για παρατηρητή Α Διαδρομή για παρατηρητή Β Οι δύο παρατηρητές Α και Β βλέπουν διαφορετική διαδρομή για την μπάλα

7 ΦΥΣ Διαλ.11 7 Σκύλος-μπισκότο-βάρκα Aν κοιτάζατε από την στεριά τι θα βλέπατε? (ακίνητοι) v x Ο σκύλος ανεβαίνει στο κατάρτι και ρίχνει ένα µπισκότο. Για όλους που είναι στη βάρκα το µπισκότο δεν έχει καµιά κίνηση στην x-διεύθυνση Δηλαδή σα να υπήρχε µιά αρχική ταχύτητα στη x-διεύθυνση To µπισκότο ξεκινά µε v y 0 και καταλήγει µε v y v

8 Αδρανειακά συστήµατα ΦΥΣ Διαλ.11 8 x Έστω δύο συστήµατα αναφοράς S (αδρανειακό) και S (κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα v 0 ως προς το αδρανειακό σύστηµα) O S r z v 0 t Α r v 0 Α x r z r O S y, y Το σύστηµα S κινείται µε ταχύτητα -v 0 ως προς το S Τα διανύσµατα θέσης ενός σώµατος όπως µετρούνται από παρατηρητές στα συστήµατα είναι r και r Μπορούµε να περιγράψουµε τη θέση του σώµατος Α στο σύστηµα S συναρτήσει της θέσης του στο S: r A r A + v 0 t v d r A v" A + v A d r A " 0 dt dt + d ( v 0 t) dt

9 ΦΥΣ Διαλ.11 9 Σχετική ταχύτητα Παράδειγμα v Ως προς το τρένο Ως προς το έδαφος u Η ταχύτητα της µπάλας ως προς το έδαφος θα είναι u + v u Αν η ταχύτητα u είναι σταθερή τότε η επιτάχυνση ως προς το έδαφος είναι η ίδια ως προς το τρένο, επειδή "#$%& d( u + v) dt d u dt + d v dt 0 + d v dt '(")% Η επιτάχυνση που µετρούν παρατηρητές που κινούνται µε σταθερή σχετική ταχύτητα είναι η ίδια και για τους παρατηρητές Άρα µετρούν και την ίδια δύναµη πάνω στο σώµα F m F όπως θα έπρεπε για δύναµη v Υποθέσεις: Ίδιος χρόνος και για τους παρατηρητές Ίδια µονάδα µέτρησης αποστάσεων Ίδια µάζα

10 Σχετική ταχύτητα Παράδειγµα ΦΥΣ Διαλ Οδηγείτε βόρεια σε ένα δρόµο µε σταθερή ταχύτητα 88km/h και ένα φορτηγό κινείται µε σταθερή ταχύτητα 104km/h στο αντίθετο ρεύµα και σας πλησιάζει. (α) Ποια η ταχύτητα του φορτηγού ως προς εσάς. (β) Ποια η ταχύτητά σας ως προς το φορτηγό. (γ) Πως αλλάζουν οι σχετικές σας ταχύτητες αφού προσπεράσετε; Υποθέστε ότι το όχηµά σας συµβολίζεται µε Υ και το φορτηγό µε Τ. Σαν ακίνητο σύστηµα αναφοράς παίρνουµε τη γη και τη συµβολίζουµε µε Ε. Εποµένως η ταχύτητά σας σχετικά µε τη γη είναι # " / 88km / h α) Το φορτηγό σας πλησιάζει και εποµένως έχει ταχύτητα # T / " 104km / h Θέλουµε την ταχύτητα υ Τ/Υ Αλλά υ Τ/Ε υ Τ/Υ + υ Υ/Ε è υ Τ/Υ υ Τ/Ε - υ Υ/Ε km/h β) Η ταχύτητα Y / T " T / Y γ) Η σχετική ταχύτητα δεν αλλάζει όταν προσπεράσετε το φορτηγό. Οι σχετικές θέσεις των σωµάτων δεν παίζουν ρόλο. Η υ Τ/Ε εξακολουθεί να είναι -19km/h

11 ΦΥΣ Διαλ Σχετική ταχύτητα Παράδειγμα Είστε σε ένα τρένο το οποίο κινείται µε ταχύτητα 40km/h προς τα δυτικά. Περπατάτε µε ταχύτητα 5km κάθετα προς το µήκος του βαγονιού. Ποια η σχετική σας ταχύτητα ως προς το έδαφος; (A) 40 km/h (B) < 40 km/h (Γ) > 40 km/h 5 km/h V V " 41 > 40km / h 40 km/h Τρεις κολυµβήτριες, η Άντρη, η Βάσω και η Γεωργία είναι σε ένα αγώνα για να διασχύσουν ένα ποτάµι από τη µια όχθη στην απέναντι στο µικρότερο χρόνο. Οι τρεις κολυµβήτριες κολυµβούν µε την ίδια ταχύτητα ως προς τη ροή του ποταµού. Στον αγώνα, η Άντρη κολυµπά αντίθετα προς τη ροή του ποταµού, η Βάσω κάθετα και η Γεωργία κολυµπά προς τη ροή του ποταµού. d Ποια απο τις Αντρη ή Γεωργία φθάνει απέναντι στη δεύτερη θέση; A B Γ θ θ υ Ποτ (Α) Η Άντρη (Β) Μαζί (Γ) Η Γεωργία Άντρη: y V cos" Βάσω: Γεωργία: y V y V cos" t d y θ

12 ΦΥΣ Διαλ.11 1 Σχετική ταχύτητα Παράδειγµα Τρεις κολυµβήτριες, η Άντρη, η Βάσω και η Γεωργία είναι σε ένα αγώνα για να διασχύσουν ένα ποτάµι από τη µια όχθη στην απέναντι στο µικρότερο χρόνο. Οι τρεις κολυµβήτριες κολυµβούν µε την ίδια ταχύτητα 5km/h ως προς τη ροή του ποταµού τα νερά του οποίου κινούνται µε ταχύτητα 3km/h. Με ποια γωνία θα πρέπει να κολυµπά η Άντρη ώστε να φθάσει στο ακριβώς απέναντι σηµείο της απέναντι όχθης; V V + V x Α/π V A/" A/# #/" V θ Α/π Vy Α/π Για να φθάσει στο ακριβώς απέναντι σηµείο, θα πρέπει η ταχύτητα της Άντρης ως προς το έδαφος στη x-διεύθυνση να είναι µηδέν (x V x t) x-διεύθυνση V x A/" V x A/# + V x #/" 0 V x A/" + V x "/#$ 0 "5sin# + 3 5sin" 3 sin" 3 / 5 d A B Γ θ θ υ Ποτ

13 Σχετική ταχύτητα - Παράδειγµα ΦΥΣ Διαλ Ένας µεγάλος σκύλος περπατά κατά µήκος ενός βαγονιού µε ταχύτητα 5.0Km/h (ανατολικά ως προς το βαγόνι). Το βαγόνι έχει ταχύτητα 10Km/h ανατολικά. Μια ψείρα κινείται στην ράχη του σκυλιού µε φορά δυτικά ως προς το σκύλο και ταχύτητα 0.01Km/h. Να βρεθεί η ταχύτητα της ψείρας ως προς το έδαφος V D VD 0.01Km / h " δυτικά ψείρα ως V TE V DT V DT 5.0Km / h ανατολικά V TE 10.0Km / h ανατολικά προς σκύλο σκύλος ως προς τρένο τρένο ως προς έδαφος V E V D + V DT + V TE Όπως παρατηρούµε τα D και Τ απολοίφονται οπότε θα έχουµε: V E " Km / h (To - επειδή η ψείρα κινείται µε φορά προς δυτικά)