Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 6 η :Έλεγχοι Υποθέσεων V. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Transcript

1 Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 6 η :Έλεγχοι Υποθέσεων V Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

2 Έλεγχος υποθέσεων για τους μέσους εξαρτημένων δειγμάτων Επίδραση παρέμβασης: Όταν εξετάζουμε την επίδραση μίας παρέμβασης σε έναν πληθυσμό μπορεί να έχουμε ένα δείγμα ατόμων με τιμές για μία μεταβλητή πριν και μετά την παρέμβαση. Επομένως έχουμε μόνο ένα δείγμα με τιμές για τα ίδια άτομα πριν και μετά την παρακολούθηση ενός προγράμματος, την εφαρμογή μίας τεχνικής ή μίας θεραπείας.

3 Έλεγχος υποθέσεων για τους μέσους εξαρτημένων δειγμάτων Μπορεί να έχουμε δύο ομάδες ατόμων που είναι μεταξύ τους ακριβώς ίδιες σε μέσους όρους ως προς κάποιες συγκεκριμένες μεταβλητές. Στη μία ομάδα (ομάδα συμμετοχής) εφαρμόζεται η παρέμβαση ή η θεραπεία. Στην άλλη ομάδα (ομάδα ελέγχου) δεν εφαρμόζεται η παρέμβαση ή η θεραπεία. Μετά την εφαρμογή της παρέμβασης συγκρίνουμε τους μέσους όρους των δύο ομάδων και κάτω από κάποιες συγκεκριμένες στατιστικές προϋποθέσεις η διαφορά μεταξύ τους αποδίδεται στην εφαρμογή της παρέμβασης ή της θεραπείας.

4 Έλεγχος υποθέσεων για τους μέσους εξαρτημένων δειγμάτων Οι τεχνικές αυτές λέγονται πειράματα πεδίου και εφαρμόζονται σε επιστήμες όπως είναι η ιατρική, η βιολογία, η γεωπονία κ.λπ. Οι ομάδες συμμετοχής πρέπει να συγκροτούνται με τέτοιο τρόπο ώστε να μην υπάρχει μεροληπτική αντιμετώπιση ως προς κάποιο χαρακτηριστικό στη μία ή στην άλλη ομάδα. Οι παρατηρήσεις θεωρούνται ζευγαρωτές και ο έλεγχος για τη διαφορά στους μέσους όρους είναι ουσιαστικά ένας έλεγχος σαν να υπάρχει ένας πληθυσμός.

5 Έλεγχος υποθέσεων για τους μέσους εξαρτημένων δειγμάτων Συμβολίζουμε ως: i s z, τη διαφορά στην τιμή της μεταβλητής στο ζεύγος παρατηρήσεων I τη μέση διαφορά όλων των ζευγών τη μέση διαφορά των ζευγών στον πληθυσμό, η τιμή δηλαδή που μπαίνει στην υπόθεση Η 0 για να γίνει ο έλεγχος την τυπική απόκλιση των διαφορών όλων των ζευγών t τη στατιστική ελέγχου για τη μέση διαφορά

6 Έλεγχος υποθέσεων για τους μέσους εξαρτημένων δειγμάτων Υπολογίζουμε τη μέση διαφορά και την τυπική απόκλιση των διαφορών στο δείγμα: 1 n n i1 i s 1 n 1 n i1 2 i n 2

7 Έλεγχος υποθέσεων για τους μέσους εξαρτημένων δειγμάτων Παράδειγμα 1 ο Υπολογίστε τη μέση διαφορά και την τυπική απόκλιση των διαφορών στο δείγμα του διπλανού πίνακα. i πριν μετά διαφορά

8 Έλεγχος υποθέσεων για τους μέσους εξαρτημένων δειγμάτων Το τυπικό σφάλμα είναι s Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: n Στατιστική ελέγχου Για μεγάλο δείγμα (n 30) Για μικρό δείγμα (n<30) t z s n s n

9 Έλεγχος υποθέσεων για τους μέσους εξαρτημένων δειγμάτων (για μεγάλο δείγμα) : : 1 0 Απορρίπτεται η Η ο όταν 2 z a/ z ή : : 1 0 ή : : 1 0 Απορρίπτεται η Η ο όταν Απορρίπτεται η Η ο όταν z a z z a z

10 Κριτικές τιμές επίπεδα σημαντικότητας Επίπεδο σημαντικότητας α Εναλλακτική Τύπος ελέγχου Κριτικές τιμές υπόθεση Η 1 10% Δίπλευρος -1,645 και 1,645 ( 2) > Δεξιόπλευρος 1,28 < Αριστερόπλευρος -1,28 5% Δίπλευρος -1,96 και 1,96 > Δεξιόπλευρος 1,645 < Αριστερόπλευρος -1,645 1% Δίπλευρος -2,58 και 2,58 Z a / > Δεξιόπλευρος 2,33 < Αριστερόπλευρος -2,33 ( Z a ) ( Z a )

11 Έλεγχος υποθέσεων για τους μέσους εξαρτημένων δειγμάτων (για μικρό δείγμα) : : 1 0 Απορρίπτεται η Η ο όταν 1 2, / n t t a ή : : 1 0 ή : : 1 0 Απορρίπτεται η Η ο όταν Απορρίπτεται η Η ο όταν, 1 n t t a, 1 n t t a

12 Οι κριτικές τιμές υπολογίζονται από τον πίνακα της t.

13 Παράδειγμα 2 ο (4.19-τροποποιημένο) Έστω ότι θέλουμε να διαπιστώσουμε την επίδραση ενός προγράμματος υγιεινής διατροφής στο βάρος ενός πληθυσμού. Σε δείγμα 10 ατόμων μετράμε το βάρος πριν την έναρξη του προγράμματος και μετά τη λήξη του προγράμματος και καταγράφουμε τις διαφορές. Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας 5% η υπόθεση ότι το πρόγραμμα οδηγεί σε απώλεια βάρους το πολύ 3 κιλών (κατά μέσο όρο). 0 1 : : 3 3

14 Παράδειγμα 2 ο gretl Μηδενική υπόθεση: πληθυσμιακός μέσος = 3 Μέγεθος δείγματος: n = 10 Δειγμ. μέσος = 4,8, τυπ. απόκλ. = 2,78089 Στατ. ελέγχου: t(9) = (4,8-3)/0, = 2,04686 Δικατάληκτη p-τιμή = 0,07097 (μονοκατάληκτη = 0,03549)

15 Παράδειγμα 2 ο gretl 0,5 t(9) κατανομή δειγματοληψίας στατιστική ελέγχου 0,4 0,3 0,2 0, Τυπικά σφάλματα

16 Παράδειγμα 3 ο (4.20 τροποποιημένο) Η ενισχυτική διδασκαλία θεωρείται ότι προσφέρει στους αδύναμους μαθητές τη δυνατότητα να βελτιώσουν τη βαθμολογία τους. Ο διευθυντής εκπαίδευσης σε μία περιφέρεια ισχυρίζεται ότι τα προγράμματα εκπαίδευσης δίνουν τη δυνατότητα στους μαθητές να βελτιώσουν τη βαθμολογία τους στα μαθηματικά περισσότερο από μία μονάδα. Ένας ερευνητής πήρε τυχαίο δείγμα 20 μαθητών. Τους χώρισε σε ζεύγη ανάλογα με τους βαθμούς και τη γενικότερη επίδοση τους στο σχολείο και από κάθε ζεύγος μαθητών ένας εντάχθηκε σε πρόγραμμα ενισχυτικής διδασκαλίας και ένας δεν εντάχθηκε. Να ελεγχθεί ο ισχυρισμός του διευθυντή σε επίπεδο σημαντικότητας 1%.

17 Παράδειγμα 3 ο στο gretl 0 1 : : 1 1 Μηδενική υπόθεση: πληθυσμιακός μέσος = 1 Μέγεθος δείγματος: n = 10 Δειγμ. μέσος = 2,35, τυπ. απόκλ. = 1,37538 Στατ. ελέγχου: t(9) = (2,35-1)/0, = 3,10393 Δικατάληκτη p-τιμή = 0,01264 (μονοκατάληκτη = 0,006321)

18 Παράδειγμα 3 ο στο gretl 0,5 t(9) κατανομή δειγματοληψίας στατιστική ελέγχου 0,4 0,3 0,2 0, Τυπικά σφάλματα

19 Παράδειγμα 4 ο Επιθυμούμε να δοκιμάσουμε την επίδραση δύο φαρμάκων Α και Β σε 10 ασθενείς οι οποίοι πάσχουν από αϋπνία. Εάν με x i παραστήσουμε τις ώρες ύπνου που οφείλονται στην επίδραση του φαρμάκου Α και y i του Β (i=1,2,,10), τότε μετά τη δοκιμασία έχουμε τα εξής αποτελέσματα: Αρ. ασθενή x i 1,9 0,8 1,1 0,1-0,1 4,4 5,5 1,6 4,6 3,4 y i 0,7-1,6-0,2-1,2-0,1 3,4 3,7 0,8 0 2 Με επίπεδο σημαντικότητας 1% να ελεγχθεί ποιο από τα φάρμακα Α, Β είναι αποτελεσματικότερο.

20 Παράδειγμα 4 ο -επίλυση Αρ. ασθενή x i y i i =x i -y i i 2 1 1,9 0,7 2 0,8-1,6 3 1,1-0,2 4 0,1-1,2 5-0,1-0,1 6 4,4 3,4 7 5,5 3,7 8 1,6 0,8 9 4, ,4 2 Σύνολο

21 Παράδειγμα 4 ο -επίλυση i xi yi i=xi-yi i 2 1 1,9 0,7 1,2 1,44 2 0,8-1,6 2,4 5,76 3 1,1-0,2 1,3 1,69 4 0,1-1,2 1,3 1,69 5-0,1-0, ,4 3, ,5 3,7 1,8 3,24 8 1,6 0,8 0,8 0,64 9 4,6 0 4,6 21, ,4 2 1,4 1,96 Άθροισμα 15,8 38,58

22 Παράδειγμα 4 ο στο gretl Μηδενική υπόθεση: πληθυσμιακός μέσος = 0 Μέγεθος δείγματος: n = 10 Δειγμ. μέσος = 1,58, τυπ. απόκλ. = 1,23 Στατ. ελέγχου: t(9) = (1,58-0)/0, = 4,06213 Δικατάληκτη p-τιμή = 0, (μονοκατάληκτη = 0,001416)

23 Παράδειγμα 4 ο στο gretl 0,5 t(9) κατανομή δειγματοληψίας στατιστική ελέγχου 0,4 0,3 0,2 0, Τυπικά σφάλματα

24 Βιβλιογραφία Σαριαννίδης, Ν., Κοντέος, Γ., Λαζαρίδης, Θ. (2013). Στατιστική και Οικονομετρία, Εκδόσεις Αλέξανδρος. Ι.Κ.Ε. Παπαιωάννου, Τ., Φερεντίνος, Κ. (2000) Μαθηματική Στατιστική, Εκδόσεις Σταμούλης.