Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Transcript

1 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι απλά υνεκτικός τόπος και F : R R C διανυµατικό p q πεδίο, F = ( p, q ώτε = το τότε το Fείναι υντηρητικό ( υπάρχει f : R C υνάρτηη ώτε F = f Απόδειξη Ας ταθεροποιήουµε ένα τυχόν ηµείο ( a, ια κάθε µε αρχικό ηµείο το ( a, θεωρούµε µια πολυγωνική γραµµή και τελικό το y ( το είναι υνεκτικό και ανοικτό ύνολο, πρβλθεώρηµα 5 Ορίζουµε τώρα την υνάρτηη f : R ως ακολούθως: (, f x y = F ds= pdx+ qdy Ιχυριζόµατε ότι η f είναι καλά οριµένη, δηλαδή αν είναι µια άλλη πολυγωνική γραµµή µε που ξεκινά από το ( a, και καταλήγει το y τότε ( pdx+ qdy= pdx+ qdy ( x, ( x, y ια να δείξουµε την ( είναι αρκετό να δείξουµε την ( pdx+ qdy= pdx+ qdy pdx+ qdy = x, y x, y ( x, ( x, y Οι πολυγωνικές γραµµές και ξεκινούν από το ηµείο (, a και έτω ( a, το πρώτο ηµείο που υναντώνται µετά το (, γραµµή c που ξεκινά από το ( a, πηγαίνει το (, επιτρέφει το ( a, µέω της a Τότε η πολυγωνική a µέω της και είναι µια απλή κλειτή καµπύλη του απλά υνεκτικού τόπου και εποµένως είναι το ύνορο ενός ανοικτού απλά υνεκτικού

2 7 υνόλου G Από το θεώρηµα του Green q p pdx+ qdy= dxdy= G= c G Εποµένως c pdx+ qdy= και την υπόθεή µας έπεται ότι Οφείλουµε να παρατηρήουµε ότι, ενδέχεται οι δύο πολυγωνικές και να ταυτίζονται ε ένα αρχικό κοµµάτι τους Στην περίπτωη αυτή αν (, a είναι το πρώτο ηµείο το οποίο ξεχωρίζουν, τότε η πολυγωνική γραµµή που ξεκινά από το ( a, πηγαίνει το ( a, µέω της και επιτρέφει το ( a, µέω της - είναι βέβαια κλειτή, και λόγω αντιθέτων προήµων των επικαµπυλίων ολοκληρωµάτων ( αφού ολοκληρώνουµε ε αντίθετες καµπύλες ικανοποιεί προφανώς την χέη pdx+ qdy= c Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο, δηλαδή δουλεύοντας τώρα µε το ( a, την θέη του ( a,, µετά από πεπεραµένα βήµατα ( αφού αν είναι κλειτή πολυγωνική γραµµή του επιπέδου, το ανοικτό ύνολο R του R έχει πεπεραµένο πλήθος υνεκτικών υνιτωών καταλήγουµε το ότι, ( x, y = c + c + + c x y N όπου οι ck, k =,,, N είναι ( κλειτές πολυγωνικές γραµµές του τη χέη ( pdx+ qdy= για κάθε k =,,, N c k Η χέη ( έπεται την ( και άρα την ( x, y = p x, y Αποµένει να δείξουµε ότι: Σταθεροποιούµε ένα ηµείο (, (, (, και = q R που ικανοποιούν για κάθε x y και χηµατίζουµε τις διαφορές για h αρκετά µικρό ( f x + h y f x y = pdx+ qdy pdx+ qdy έτω ( x + h, y ( x, y h> ώτε το ευθύγραµµο τµήµα ( x, y,( x + h, y να περιέχεται το

3 7 Έπεται αµέως ότι υνεπώς (4 (, (, pdx+ qdy pdx+ qdy= pdx+ qdy και ( x + h, y x, y ( x, y, ( x+ h, y f x + h y f x y = pdx+ qdy ( x, y, ( x + h, y Παραµετρικοποιούµε το ευθύγραµµο τµήµα ( x, y,( x + h, y ( t = y + t( ( x + h, y ( x, y = ( x + th, y, [,] '( t =, t [,] ως t Συνεπώς Οπότε από την (4 υπολογίζουµε, ( +, (, = ( +, = ( +, f x h y f x y p x th y hdt h p x th y dt Έπεται ότι ( +, (, f x h y f x y lim = lim h h h +, p ( x, y dt = p ( x, y δηλαδή y = p y Σηµειώνουµε ότι αν n p x th y dt = f µε h, τότε η ακολουθία υναρτήεων n n [ ] fn t p x thn, y, n, t, ( x, y οµοιόµορφα την ταθερά (, = + υγκλίνει ( από την υνέχεια της p το ( + = lim p x th, y dt p x, y dt h p x y και αυτό δικαιολογεί την ιότητα Αναλόγως αποδεικνύεται ότι, ( x, y = q( x, y και η απόδειξη είναι πλήρης

4 7 Σηµειώνουµε ότι ( ε ένα ανοικτό και υνεκτικό R η πολυγωνική x, y του µπορεί να επιλεγεί ώτε να γραµµή που υνδέει τα ηµεία (, a και είναι απλή ( να µην τέµνει τον εαυτό της και επί πλέον τα ευθύγραµµα τµήµατά της να είναι παράλληλα είτε προς τον άξονα των x ή προς τον άξονα των y Περαιτέρω ηµειώνουµε ότι η απόδειξη απλοποιείται ε κάποιο βαθµό, υποθέτοντας ότι το είναι ατρόµορφο Πράγµατι αν το είναι ατρόµορφο ως προς το ηµείο ( a,, τότε ορίζουµε την f : R ( a,, y = ως εξής: (, f x y = pdx+ qdy, όπου το προανατολιµένο ευθύγραµµο τµήµα από το ( a, το 55 Παρατήρηη Το θεώρηµα που αποδείξαµε µας λέει ε διαφορετική αλλά ιοδύναµη διατύπωη ότι: Ένα C διανυµατικό πεδίο F : U R R, όπου U απλά υνεκτικός τόπος είναι υντηρητικό αν και µόνο αν είναι ατρόβιλο ( ες και την παρατήρηη 4 Σηµειώνουµε ότι ένας ανάλογος χαρακτηριµός ιχύει και για διανυµατικά πεδία F : U R R υποθέτοντας ότι το U είναι ανοικτό και απλά υνεκτικό υπούνολο του R Επειδή δεν θα δώουµε τον ακριβή οριµό της απλής υνεκτικότητας τον R, ηµειώνουµε απλώς ότι παραδείγµατα ανοικτών και απλά υνεκτικών υνόλων τον R είναι τα ανοικτά και κυρτά ύνολα, ( άρα οι ανοικτές φαίρες ο ίδιος ο R, και τα ανοικτά ορθογώνια το R Κ, όπου Κ πεπεραµένο ύνολο επίης τα ανοικτά και ατρόµορφα υπούνολα του R κτλ Αν L είναι ευθεία του R τότε το ανοικτό ύνολο R L είναι υνεκτικό αλλά όχι απλά υνεκτικό Έτι αποδεικνύεται ότι αν F : U R R είναι C διανυµατικό πεδίο και το U απλά υνεκτικό ύνολο, τότε το F είναι υντηρητικό ακριβώς τότε αν το F είναι ατρόβιλο Το θεώρηµα του Green την γλώα των διανυµατικών πεδίων έχει τις ακόλουθες µορφές ( διατυπώεις 56 Θεώρηµα ( ιανυµατική µορφή του θεωρήµατος του Green Έτω φραγµένος τόπος του R µε κατά τµήµατα οµαλό ύνορο και F : R, F = pi+ qj, ένα C διανυµατικό πεδίο οριµένο ε µια περιοχή του Τότε F ds= ( curlf kdα, ( όπου (,, k = Απόδειξη: Θέτοµε F : R R : F x, y, z = F x, y,, x, y, z R, τότε όπως γνωρίζουµε ορίζουµε ως curlf τον τροβιλιµό του πεδίου F, δηλαδή curlf = = curl F ορ Έχουµε υπολογίει ότι q p curl F = k όπου k = (,, R ( Παρατήρηη της ελίδας 9 Επειδή προφανώς q p curlf k = curl F k = µε αντικατάταη έχουµε το υµπέραµα

5 7 Σηµείωη Υπενθυµίζουµε ότι µε τον όρο τόπος εννοούµε ένα ανοικτό και υνεκτικό υπούνολο του R 57 Θεώρηµα ( της απόκλιης το επίπεδο Έτω απλά υνεκτικός τόπος : a, R για την το επίπεδο που φράεται από την απλή κλειτή καµπύλη [ ] οποία υποθέτοµε ότι '( t για κάθε t [ a, ] µοναδιαίο κάθετο διάνυµα το ύνορο = [ ] και F ( p, q διανυµατικό πεδίο ε µια περιοχή του τότε ( F nds= divfdα Αν n υµβολίζει το εξωτερικό = είναι ένα Όπου το αριτερό µέλος της ( υµβολίζει το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα πρώτου ( y '( t, x( t είδους της βαθµωτής υνάρτηης, t [ a, ] F( ( t, όπου ' t (,, [, ] t = x t y t t a Απόδειξη Το εφαπτόµενο διάνυµα το ( t είναι το '( t = x '( t, y '( t και η εφαπτόµενη ευθεία το έχει εξίωη l t = t + ' t t t, t R (, ' (, ' '( t p x t y t y t q x t y t x t '( t dt = a a (, ' (, ' p x t y t y t q x t y t x t dt = t C Το διάνυµα n είναι κάθετο την ευθεία l ( t το ηµείο ( t και το πρόηµό του επιλέγεται ώτε να αντιτοιχεί προς την εξωτερική κατεύθυνη Έτι το n το ηµείο του δίνεται από τον τύπο, n n ( t ( y '( t, x '( t = Το n ( t '( t '( t = Έπεται ότι pdy qdx ( Επίης p q divfdα= + dxdy ( Από το θεώρηµα του Green και τις ( και ( υµπεραίνουµε ότι F nds= divfdα l, αφού F nds= Παρατήρηη Το γεγονός ότι το πρόηµο του διανύµατος επελέγη ώτε να αντιτοιχεί την εξωτερική κατεύθυνη µπορεί να ερµηνευθεί ως εξής: Η γραµµική ϕ : x, y R y, x R, τρέφει κατά την αρνητική φορά το απεικόνιη

6 74 διάνυµα y κατά υµβολιµό, αφού τότε ( π, π είναι το π π Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρηιµοποιήουµε µιγαδικό ϕ z = iz ( z= x+ yi και το πρωτεύον όριµα του i το Έτι το εφαπτόµενο διάνυµα '( t x '( t, y '( t καµπύλης, τρέφεται κατά την αρνητική φορά κατά ( y '( t, x '( t Με κανονικοποίηη παίρνουµε το η Παραδείγµατα Έτω F ( xy, y x ( curlf = της π και υνεπώς γίνεται = + Υπολογίτε το ολοκλήρωµα kdα, πάνω το χωρίο του πρώτου τεταρτηµόριου που φράεται από τις y= x και y = x Λύη Πρώτα υπολογίζουµε τον τροβιλιµό του F x, y, z = xy, y+ x,, που είναι, curl F F F F curlf = curl F = xy k = =,, = (,, x = ( Άρα Έπεται ότι, xy k F, ιοδύναµα, του curlf k = xy Η υνάρτηη αυτή ολοκληρώνεται πάνω το που είναι χωρίο τύπου µε την χρήη ενός διαδοχικού ολοκληρώµατος x ( x dxdy= ( x dy dx x = y xy dx = x x 5 x x x + x dx= + = 4 6 (Εδώ θεωρούµε το ως χωρίο τύπου, {, : και } = x y x x y x Μπορούµε επίης να υπολογίουµε πρώτα το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα F ds, όπου είναι το ύνορο του χωρίου ( δες το χήµα και κατόπιν χρηιµοποιώντας την διανυµατική µορφή του θεωρήµατος του Green να έχουµε το ζητούµενο ολοκλήρωµα Το θετικά προανατολιµένο ύνορο του είναι το «άθροιµα» των καµπυλών και, ( t = t t t και ( t = ( t, t, t [,] Έτι έχουµε: F ds= F ds F ds, = +, όπου [ ],,, ( ' F ds= F t t dt =

7 75 F ( x ( t ' ', y ( t ( x ( t, y ( t dt 4 = (, (, = (, + (, 5 ( = t + t + t dt 4 = + + = 6 ' ( F t t t dt t t t t t dt ' ' F ds= F t t dt = F x ( t, y ( t x t, y t dt = ( t, t (, dt = ( t Εποµένως, ( = F ( t, t (, 5 + t dt = + = F ds= = και από την διανυµατική µορφή του θεωρήµατος 4 Green Έτω F ( y, x 5 curlf kdα= F ds= = Να υπολογιθεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ( πρώτου είδους F nds το ύνορο του µοναδιαίου τετραγώνου Επειδή, µηδέν Λύη Από το θεώρηµα της απόκλιης έχουµε: 5 ( y ( x F nds= divf dα divf = + =, άρα το ζητούµενο ολοκλήρωµα ιούται µε dt