ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 Φωτεινή Κολυβά - Μαχαίρα Ευθυμία Μπόρα - Σέντα ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Παλινδρόμηη του y το x y x

2 Επιμέλεια: Φ. Κολυβά - Μαχαίρα Ε. Μπόρα - Σέντα Επιτρέπεται η χρήη του τυπολογίου αυτού από τους φοιτητές κατά τη διάρκεια των εξετάεων Φωτοτοιχειοθεία Eκτύπωη Βιβλιοδεία Π. ZHTH & Σια OE 8 ο χλμ Θεαλονίκης - Περαίας T.Θ. 47 Περαία Θεαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: ifo@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεαλονίκη Tηλ.: Fax ale@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO - AΠOΘHKH AΘHNΩN: Χαριλάου Τρικούπη - Τ.Κ , Aθήνα Tηλ.-Fax: athia@ziti.gr ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 3 Μέη τιμή Διαπορά τυχαίων μεταβλητών α) Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Eg( x)  g( x) p( x) όπου px ( ) η.π. της Χ. x  Varx ( x -μ) p( x) x β) Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Eg( x) Ú g( x) f ( x) dx όπου f ( x ) η.π.π. της Χ. R Ú ( ) R ( ). Varx x -μ f x dx Διωνυμική: B (, p ) Οι κυριότερες διακριτές κατανομές ( Ê ˆ ) x PX x Á p - Ë ( p x ) -x EX p VarX p( - p) ʈÊN - ˆ Á Ëx Á Ë ν- x Υπεργεωμετρική: PX ( x), x 0,,, ν ÊNˆ Á Ë ν ν N - N - EX VarX ν N N N Ν - - λ x, x 0,,, e λ Poio: Pλ ( ) PX ( x), x 0,, x! EX λ VarX λ Êx -ˆ ν x-ν Αρνητική διωνυμική: PX ( x) Á p( - p), x ν, ν, Ëν - ν ν( - p) ΕΧ VarX p p Γεωμετρική: x- PX ( x) p( - p) x,, - p EX VarX p p

4 4 Οι κυριότερες υνεχείς κατανομές Ομοιόμορφες: Uα (, β ) Ï Ô, α x β f( x) Ì β - α ÔÓ 0, αλλού Κανονική: α β ( β-α) ΕΧ VarΧ Νμ (, ) Êx-μˆ - Á Ë f( x) e, - < x < π EX μ VarΧ Γάμμα: Gα (, β ) α β α- -βx f( x) x e, x > 0 Γα ( ) α α EX, VarΧ β β Εκθετική: -λx f( x) λe, x > 0 EX VarX λ λ Δεμευμένες πιθανότητες Τύπος Baye: PAB ( ) PA ( / B) PB ( ) PAB ( ) PA ( ) PB ( / A) ( A / B) PB ( ) PA ( ) PB ( / A) PA ( ) PB ( / A) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Κ.Ο.Θ) X, X,, X ανεξάρτητες τ.μ. με EXi μ και VarΧi X Ê ˆ NÁμ, Ë ή Â Xi N( μ, ) για 30 Αν i, τότε:

5 5 Στατιτικά δείγματος α) Στατιτικά δείγματος για μη ομαδοποιημένα δεδομένα: i i Μέη τιμή: x  x Διαπορά: Διάμεος: Ê ˆ x x x x - - Ë x ( i ) i  - Á  - i i M όπου () () ( ) d Ï x για περιττό Ê ˆ Á Ë Ô Ì Ô ( x x ) για Ê ˆ Ê ˆ άρτιο Á Á Ë ÔÓ Ë x, x,, x οι παρατηρήεις κατ αύξουα ειρά μεγέθους. β) Στατιτικά δείγματος για ομαδοποιημένα δεδομένα: i i i Μέη τιμή: x  x Διαπορά: όπου το πλήθος των τάξεων, η υχνότητα της i-τάξης και i x το κέντρο της. i Ê ˆ x x x x - - Ë i( i ) i i  - Á  - i i w Ê p ˆ P-ποοτιαίο ημείο: Mp L Á -Nm- Ë m 00 όπου L το αριτερό άκρο του διατήματος το οποίο ανήκει το ποοτιαίο ημείο (διάτημα αναφοράς) Nm - η αθροιτική υχνότητα του διατήματος που προηγείται του διατήματος αναφοράς m η υχνότητα του διατήματος αναφοράς w το πλάτος των διατημάτων γ) Δειγματική υνδιαπορά δύο δειγμάτων: Ê ˆ S ( x -x)( y - y) Á x y -xy -  - Ë Â xy i i i i i i

6 6 Διατήματα εμπιτούνης Έλεγχοι υποθέεων Πίνακας 5.: Διατήματα εμπιτούνης Παράμετρος πληθυμού μ Προϋποθέεις Μέγεθος δείγματος 00( - a)% δε.. γνωτό οτιδήποτε x ± z a/ άγνωτο 30 x ± z a/ άγνωτο 30 x ± t ; a/ - Ê ˆ Á ( -) ( -), -; a/ -; -a/ ËХ Х p ˆ ˆ 30 ˆ p ( - p ) p± za/ όπου p ˆ < 30 άβακες x μ- μ, γνωτό οτιδήποτε x - y± za/ m, άγνωτο, m 30 x - y± za/ m

7 7 Παράμετρος πληθυμού μ- μ / p- p Πίνακας 5.: (υνέχεια) Προϋποθέεις Μέγεθος δείγματος 00( - a)% δε.. άγνωτο, m< 30 x - y± tv ; a/ όπου m ( - ) ( m-) m- και v m- π άγνωτο, m < 30 ζευγαρωτές παρατηρήεις < 30 x - y± tv; a/ και m ν Ê ˆ Á Ë m Ê ˆ Ê ˆ Á Ë Á Ë m - m- όταν π m ενώ ν ( - ) όταν m z z t και ± όπου z η μέη τιμή των x i - y i z ; a/ - η διαπορά των x i - y i Ê ˆ / F m, F m Á -, -; a/ -, -; a/ Ë ˆ ˆ ˆ ˆ, m 30 ˆ ˆ p ( - p) p( - p) p- p ± za/ m < 30 άβακες

8 8 Πίνακας 5.: Έλεγχοι υποθέεων που αναφέρονται ένα δείγμα H 0 H Προϋποθέεις Απορρ. περιοχή R Επεξηγήεις μ μ 0 μ> μ 0 γνωτό άγνωτο 30 άγνωτο < 30 μ< μ 0 γνωτό άγνωτο 30 άγνωτο < 30 μπ μ 0 γνωτό άγνωτο 30 άγνωτο < 30 R { z > z } a R { t > z } a R { t > t - ; a } R { z <- z } a R { t <- z } R { t <- t - ; a } a R { z > z } a/ R { t > z } a/ R { t > t - ; a/} όπου και ( x - μ0 ) z ( x - μ0 ) t 0 > 0 < 0 π 0 ; a R { Χ >Х - } ; a R { Χ <Х - - } { - ; a/ R Χ > Х όπου Χ ( -) 0 ή Χ < Х - ; - a/ } p p 0 p p > 0 p< p 0 pπ p 0 > 30 > 30 > 30 R { z > z } a R { z <- z } a R { z > z } a/ ( pˆ - p0 ) όπου z p ( - p ) 0 0 και ˆ x p (xαριθμός επιτυχιών)

9 9 Πίνακας 5.3: Έλεγχοι υποθέεων που αναφέρονται ε δύο δείγματα H 0 H Προϋποθέεις Απορρ. περιοχή R Επεξηγήεις μ- μ δ μ- μ > δ, R { z > z } γνωτά a, άγνωτα, m> 30 R { z > za } z z x - y-δ m x - y-δ m υνήθως δ 0 άγνωτο, m< 30 π άγνωτο, m< 30 R { t > t m - ; a } R { t > t v ; a } ζευγαρωτές Ïz παρατηρήεις R Ì > t - ; a ÔÓ z Ô t t x - y-δ m x - y-δ m όταν π m,, ( - ) ( m-) m-, όταν m, ( - ) ν Ê ˆ Á Ë m ( / ) ( / m) - m- όπου z και z η μέη τιμή και η τυπική απόκλιη των x i - y i

10 0 Πίνακας 5.3: (υνέχεια) H 0 H Προϋποθέεις Απορρ. περιοχή R Επεξηγήεις μ- μ δ μ- μ < δ, R { z <- z } γνωτά a, άγνωτα, m> 30 R { z <-z a } z z x - y-δ m x - y-δ m υνήθως δ 0 άγνωτο, m< 30 π άγνωτα, m< 30 R { t <- t m - ; a } R { t <- t v ; a } ζευγαρωτές Ïz παρατηρήεις R Ì <-t - ; a/ ÔÓ z Ô t t x - y-δ m x - y-δ m όταν π m, και ( - ) ( m-) m- όταν m, ν ( - ) ν Ê ˆ Á Ë m ( / ) ( / m) - m- όπου z και z η μέη τιμή και η τυπική απόκλιη των x i - y i

11 Πίνακας 5.3: (υνέχεια) H 0 H Προϋποθέεις Απορρ. περιοχή R Επεξηγήεις μ- μ δ μ-μ π δ, γνωτά a/, άγνωτα, m> 30 R { z > z } R { z > za/ } z z x - y-δ m x - y-δ m υνήθως δ 0 άγνωτο, m< 30 π άγνωτα, m< 30 ζευγαρωτές παρατηρήεις R { t > t m - ; a/ } R { t > t ν ; a/ } ÏÔ z Ô R Ì > t - ÔÓ ; a/ z Ô t t x - y-δ m x - y-δ m όταν π m, ν ( - ) ( m-) m- όταν m, ν ( - ) Ê ˆ Á Ë m ( / ) ( / m) - m- όπου z και z η μέη τιμή και η τυπική απόκλιη των x i - y i

12 Πίνακας 5.3: (υνέχεια) ή H 0 H Προϋποθέεις Απορρ. περιοχή R Επεξηγήεις > > < > π p- p δ p- p > δ, m 30 R { z za } R Ï Ô Ô Ì > F -, m-; a ÔÓ Ô R Ï Ô Ô Ì > F m-, -; a ÔÓ Ô R Ï Ô Ô Ì > F -, m-; a/ ÔÓ Ô R Ï Ô Ô Ì F m-, -; a/ ÔÓ Ô pˆ pˆ δ - - > z, p ˆ p- p < δ, m 30 R { z <-z a } όταν δ0, p- p π δ, 30 m a/ R { z > z } όταν δ π 0, x, p ˆ ˆ pqˆ Ê ˆ Ë Á m, p ˆ pq ˆ ˆ ˆ pq ˆ, m y m x y, qˆ - pˆ m - ˆ, qˆ - pˆ qˆ p

13 3 Τύπος Èza/ Í Î d z a/ È pqí Î d Èza/ 4 Í Î d ( a ) ( μ- μ0) z z β Πίνακας 5.4 Προϋποθέεις Ιχύει όταν η διαπορά του πληθυμού είναι γνωτή και το 00( a)% δ.ε. θέλουμε να έχει εύρος το πολύ d. Όταν άγνωτο χρηιμοποιούμε μια οποιαδήποτε εκτίμηή του. Ο τύπος χρηιμοποιείται όταν γνωρίζουμε το ˆp ή το p του πληθυμού και το δ.ε. θέλουμε να έχει εύρος το πολύ d. Ο τύπος δίνει ένα άνω φράγμα για το την περίπτωη που μας είναι τελείως άγνωτο το p. Αναφέρεται τον έλεγχο Η0 : μ μ0 Η : μ μ μ > μ 0 και a και β είναι τα μεγέθη των φαλμάτων τύπου Ι και ΙΙ. Το z a αντικαθίταται με το z a/ όταν Η: μπ μ και το με το όταν 30 και άγνωτο. Έλεγχος προαρμογής X H0 : p p0,, p p0 H p π p για κάποιο i : i i0 όπου X ( i - θi) i θ i i θ i i  Â, - Δοκιμαία X m ; a R { X >Х - - } i παρατηρούμενα μεγέθη θi p i θεωρητικά μεγέθη πλήθος κατηγοριών m πλήθος εκτιμώμενων παραμέτρων Περιοριμός: θi 5. Έλεγχος ανεξαρτηίας και ομοιογένειας H p p p για όλα τα (i, j) 0 : ij i j H p π p p για κάποια (i, j) : ij i j X

14 4 όπου X ij - ij ij ( θ ) Â - θ Â θ i, j ij i, j ( )( ); a R { X >Х - - } ij πλήθος γραμμών του πίνακα υνάφειας πλήθος τηλών»»» μέγεθος δείγματος ij παρατηρούμενο μέγεθος τη θέη (i, j) του πίνακα υνάφειας θ ij θεωρητικό μέγεθος τη θέη (i, j) του πίνακα υνάφειας (άθροιμα i γραμμής) (άθροιμα j τήλης) θij (γενικό άθροιμα) Περιοριμός: θij 5. Για το μοντέλο ŷ αˆ βx ˆ ιχύουν: ˆ xy β, αˆ y- βx ˆ Γραμμική Παλινδρόμηη Συχέτιη x -Ê ˆ xy - ˆ ˆ i - i Á y - y - x - Â - i x - Ë Ê x ˆ α Á Ë ( -) x, β ( -) x ( y y ) ( β ) 00( a)% δ.ε. για το α: ( αˆ ± α t - ; a/) 00( a)% δ.ε. για το β: ( βˆ ± β t - ; a/) 00( a)% δ.ε. για το ΕY ( ˆ): 00( a)% δ.ε. για τη διαφορά β β : όπου 0 x ( - ) x ( -) -4 Ê Áyˆ ± t Ë Ê ˆ ˆ ( x- x) -; a/ ( -) x ˆ - -ˆ - Áβ- β ± 0t -4; a/ Ë x x.

15 5 Για το γενικό γραμμικό μοντέλο Y X β e ιχύουν: YY - βχχ ˆ ˆ - β ( Χ Χ) Χ Y με - ( ) Cov( X, Y) xy Συντελετής υχέτιης: ρ, r VarX VarY x y H0 : ρ 0 fi Η : ρπ 0 Συντελετής μερικής υχέτιης: ÔÏ r - R Ìt > t ÔÓ - r r y, r y, r - r r y y -; a/ y r ( -r ) ( - ) r - r r y y y r ( -r ) ( - ) Ô Ô Ανάλυη Διαποράς Ανάλυη Διαποράς για έναν παράγοντα Θεωρητικό μοντέλο: yij μ αi eij όπου μ γενικός μέος α i η επίδραη του παράγοντα Α το i δείγμα τυχαία φάλματα από κανονική κατανομή e ij N(0, ) Πίνακας Ανάλυης Διαποράς για ύγκριη των μέων τιμών δειγμάτων Πηγή μεταβολής Μεταξύ δειγμάτων (παράγοντας Α) Άθροιμα τετραγώνων (SS) β.ε Â i( i ) - i SSA y - y Μέα τα δείγματα i (υπόλοιπο ή SSE ÂÂ( yij - y i ) - φάλμα) i j Ολική i ÂÂ ( ij ) - i j SST y - y Μέη μεταβολή (MS) SSA MSA F MSA - MSE SSE MSE - F

16 6 όπου: y ij είναι η j παρατήρηη του i δείγματος i είναι το πλήθος των παρατηρήεων του i δείγματος. y είναι η δειγματική μέη τιμή του i δείγματος, δηλαδή: y i i i  ij / i j y y είναι το πλήθος των δειγμάτων είναι ο γενικός δειγματικός μέος i y  y / και τέλος i j ij είναι το πλήθος όλων των παρατηρήεων δηλαδή Â i i Υποθέεις που ελέγχονται: H0 : μ μ μ ή α α α 0 H μ π μ για κάποια i και j ή α π 0 για κάποιο i. : i j i R { F > F } -, -; a Ανάλυη διαποράς για δύο παράγοντες και r Θεωρητικό μοντέλο: yij μ αi bj eij όπου μ γενικός μέος α i η επίδραη του παράγοντας Α την i-τάθμη b η επίδραη του παράγοντα Β την j-τάθμη j e ij τυχαία φάλματα από Υποθέεις που ελέγχονται: H : α α α 0 i) 0A H A : α i π 0 για κάποιο i ii) 0B H : β β βλ 0 H B : β j π 0 για κάποιο j N(0, ) κατανομή Απορριπτικές περιοχές: της H0A : R {F A > F -, ( - )( λ - );a} H : R {F > F } της 0B B λ-, ( -)( λ-);a

17 7 Πηγή Παράγοντας Α Παράγοντας Β Πίνακας Ανάλυης Διαποράς με δύο παράγοντες χωρίς αλληλεπίδραη Άθροιμα τετραγώνων β.ε Â( ii ii ) - i λ Â( ij ii) j SSA λ y - y Μέα τετράγωνα SSA MSA MSA FΑ - MSE SSB MSB SSB y - y λ - MSB FΒ λ - MSE Σφάλματα SSE SST -SSA - SSB ( -)( λ- ) Ολική μεταβολή όπου: λ ÂÂ( ij ii ) λ - i j SST y - y SSE MSE ( κ-)( λ-) y ij είναι η παρατήρηη την i γραμμή και j τήλη του πίνακα των δεδομένων είναι το πλήθος των γραμμών (τάθμες του παράγοντα Α) λ είναι το πλήθος των τηλών (τάθμες του παράγοντα Β) λ το ύνολο των παρατηρήεων λ yi i  yij / i,,, j y i j  yij / λ j,,, λ j Y ii είναι ο γενικός μέος: Y  yij / ii ij, Ανάλυη διαποράς για δύο παράγοντες και r> Θεωρητικό μοντέλο: yij μ αi βj γij eij όπου μ, αi, βj, e ij είναι ίδια με την προηγούμενη περίπτωη και γ ij είναι η αλληλεπίδραη της i τάθμης του παράγοντα Α και της j του παράγοντα Β. F

18 8 Πίνακας δεδομένων Παράγοντας Β Παράγοντας Α B B B λ Α Α y y y y λ y y λ y r y r y λr y y y y λ y y λ y r y r y λr Α y y y y λ y y λ y r r y y λr Πίνακας αθροιμάτων Β Β Α Β Β λ Σύνολο A T i T i λi A T i T i λi T T ii T T ii A T i T i λ T i Σύνολο T ii T i i T i λ i T ii T iii Yiii Tiii / λ, Yii j Tii j /, Yiji Tiji / r, Yiii Tiii / λr

19 9 Πίνακας Ανάλυης Διαποράς για α.δ. με δύο παράγοντες και αλληλεπίδραη Πηγή Παράγοντας Α Παράγοντας Β Αλληλεπίδραη Α Β Αθροίματα τετραγώνων Â( iii iii ) - i λ Â( ii j iii ) λ - j SSA λ y - y SSB r y - y SSΑΒ β.ε λ ÂÂ( iji iii iji iii ) ( -)( λ- ) i j r y - y - y y Μέη μεταβολή SSA MSA MSA FΑ - MSE SSB MSΒ MSB FΒ λ - MSE ΜSAB SSAB ( -)( λ-) F ΑΒ F MSAB MSE Σφάλμα Υπόλοιπο λ r ÂÂÂ( ijμ iji ) λ( r - ) i j μ SSΑΒ y - y λ r ÂÂÂ( ijμ iii ) i j μ SSGT y - y SSE MSE λ ( r -) Υποθέεις που ελέγχονται: i) H 0 A : α α α 0 (ο παράγοντας Α δεν επιδρά) H α π 0 για κάποιο i A : i ii) H 0 B : β β β λ 0 (ο παράγοντας Β δεν επιδρά) Η β π 0 για κάποιο j Β : j iii) Η 0 AΒ: γij 0 για κάθε i και j (δεν υπάρχει αλληλεπίδραη μεταξύ των παραγόντων Α και Β) Η AΒ: γij π 0 για κάποια i και j. Απορριπτικές περιοχές: της 0 A : της 0 Β : της 0 ΑB: H R {F A > F -, λ( r - ); a } H R {F B > Fλ -, λ( r - ); a } H ΑB > F ( -)( λ-), λ( r-); a R {F }

20 0 Μη παραμετρικές δοκιμαίες Τύπος μεταβλητής δείγμα ποιοτική ποοτική δείγματα ανεξάρτητα δείγματα εξαρτημένα δείγματα ανεξάρτητα δείγματα εξαρτημένα ποιοτική ποοτική ποιοτική ποοτική ποοτική ποιοτική ποοτική Κριτήρια X ροών Kolmogorov - Smirov X διαμέου, Ma-Whitey, Kolmogorov - Smirov, Wald - Wolfowitz, Mc Nemar προημικό, Wilcoxo διαμέου, Krual - Walli Cochra Friedma Κριτήριο ροών H 0 : το δείγμα είναι τυχαίο ή δύο δείγματα προέρχονται από την ίδια κατανομή H : όχι η H 0, 0 R { u: P( U ) P( U ) a/} Ï u- μu, > 0 R Ìu: > za/ Ó u, όπου: u το πλήθος των ροών το δείγμα και μ u, ( - -) u - ( ) ( ) Κριτήριο Kolmogorov - Smirov για ένα δείγμα H : F( x) F ( x) 0 0 H : F( x) π F ( x ) 0 R { D > D } ; a όπου D up F( xi) - F0 ( xi) xi

21 Κριτήριο Kolmogorov - Smirov για δύο δείγματα H 0 : H : π G( x ) R { D > D } όπου D, up F ( x ) - G ( x ) m i m i x i Κριτήριο Wilcoxo - Ma - Whitey H0: Fx F H : F π F x y y για < m W Â r i i, m, m; a ( ) U m - W, U m- U, U mi{ U, U} m 0 R { P( U) ) a/} ή R { P( U ) a/} από πίνακες ÏU - μu m m( m -) m > 0 R Ì za/ όπου μ U και U Ó U Προημικό κριτήριο H0: μx μy d 0 H: μx π μy d π0, H : μx > μy d > 0, H : μx < μy d < 0 όπου ή Για < 0 R z z { > a/}, R z za { > }, R { z <-z a } T - z, 5 και Τ το πλήθος των θετικών διαφορών, a { ( ) } ÏT - αν Τ > Ô z Ì Ô T -- αν Τ < ÔÓ, 0 < 5 R P T ή R { P( T ) a} όπου - T mi{ T, T }.

22 Κριτήριο Wilcoxo H : d 0 0 H : d π 0 ή d > 0 ή d < 0 - Τ mi{ T, T } 5 από πίνακες ÏT - μτ Ï ( T - μ Τ ) > 5 R Ì > za/, R Ì > z Ó Τ ÔÓ a Τ Ô όπου μ Τ ( ) ( )( ), Τ. 4 4, Ï - ( T - μ Τ ) R Ì <-z ÔÓ a Τ Ô Κριτήριο Krual - Walli H 0 : τα δείγματα προέρχονται από τον ίδιο πληθυμό H : όχι η H 0 όπου: όπου: { - ; a } R H > Х Ri - Â H 3( ) ( ) i i i το μέγεθος του i δείγματος, i,,, το πλήθος των δειγμάτων R το άθροιμα των βαθμών του i δείγματος το ενιαίο δείγμα i H Αν υπάρχουν δεμοί (πολλαπλές τιμές): R { H > - ; a } c - Â μ ( ) j μj - ( -) j ρ ρ το πλήθος των πολλαπλών τιμών μ j η πολλαπλότητα της τιμής j. Κριτήριο Friedma H 0 : τα δείγματα προέρχονται από τον ίδιο πληθυμό H : όχι η H 0 R { F > F } για 3 και,,, 9,, ; a 4 και, 3, 4 c Х όπου:

23 3 - ; a R { F > Х } για τις υπόλοιπες τιμές των και. όπου: F - ÂR 3 ( ) ( ) i μέγεθος των δειγμάτων πλήθος των δειγμάτων R i άθροιμα τάξεων του i δείγματος (η ταξινόμηη γίνεται ε καθεμιά από τις παρατηρήεις) Κριτήριο Q του Cochra H 0 : τα δείγματα προέρχονται από τον ίδιο πληθυμό H : όχι η H 0 Ï È Ê ˆ Ô Í ( -) Í ÂGj -Á Ô ÁÂGj Î j Ë j R ÌQ > Х Ô Ô ÂLi -ÂLi ÔÓ i i G j το πλήθος των επιτυχιών της j τήλης - ; a L i»»»»» i γραμμής Τα δεδομένα δίνονται ε μορφή πίνακα. Συντελετής υχέτιης του Spearma  i 6 d i r - όπου ( -) d r - r i xi yi H 0 : οι τ.μ. X και Y είναι ανεξάρτητες H : οι τ.μ. X και Y δεν είναι ανεξάρτητες 0 R { r } από πίνακες Ô Ô Ô Ô Ô > 0 R { t t -; a/} όπου t r - - r

24 4 Πίνακες Πίνακας: Πιθανοτήτων P(0 < Z < z ) για την κανονική κατανομή N (0, ) 0 z z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,00 0,060 0,099 0,039 0,079 0,039 0,0359 0, 0,0398 0,0438 0,0478 0,057 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,074 0,0753 0, 0,0793 0,083 0,087 0,090 0,0948 0,0987 0,06 0,064 0,03 0,4 0,3 0,79 0,7 0,55 0,93 0,33 0,368 0,406 0,443 0,480 0,57 0,4 0,554 0,59 0,68 0,664 0,700 0,736 0,77 0,808 0,844 0,879 0,5 0,95 0,950 0,985 0,09 0,054 0,088 0,3 0,57 0,90 0,4 0,6 0,57 0,9 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 0,57 0,549 0,7 0,580 0,6 0,64 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 0,83 0,85 0,8 0,88 0,90 0,939 0,967 0,995 0,303 0,305 0,3078 0,306 0,333 0,9 0,359 0,386 0,3 0,338 0,364 0,389 0,335 0,3340 0,3365 0,3389,0 0,343 0,3438 0,346 0,3485 0,3508 0,353 0,3554 0,3577 0,3599 0,36, 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749 0,3770 0,3790 0,380 0,3830, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,3980 0,3997 0,405,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,45 0,43 0,447 0,46 0,477,4 0,49 0,407 0,4 0,436 0,45 0,465 0,479 0,49 0,4306 0,439,5 0,433 0,4345 0,4357 0,4370 0,438 0,4394 0,4406 0,448 0,449 0,444,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,455 0,455 0,4535 0,4545,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,459 0,4599 0,4608 0,466 0,465 0,4633,8 0,464 0,4649 0,4656 0,4664 0,467 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706,9 0,473 0,479 0,476 0,473 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,476 0,4767,0 0,477 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,48 0,487, 0,48 0,486 0,4830 0,4834 0,4838 0,484 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857, 0,486 0,4864 0,4868 0,487 0,4875 0,4878 0,488 0,4884 0,4887 0,4890,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,490 0,4904 0,4906 0,4909 0,49 0,493 0,496,4 0,498 0,490 0,49 0,495 0,497 0,499 0,493 0,493 0,4934 0,4936,5 0,4938 0,4940 0,494 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,495 0,495,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,496 0,496 0,4963 0,4964,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,497 0,497 0,4973 0,4974,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,498,9 0,498 0,498 0,498 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

25 5 Πίνακας: Τιμών t ν; a της t ν -κατανομής ώτε Pt ( > t ) a ν ν; a t ν; a β.ε. a0,0 a0,05 a0,05 a0,00 a0,005 3,078 6,34,706 3,8 63,657,886,90 4,303 6,965 9,95 3,638,353 3,8 4,54 5,84 4,533,3,776 3,747 4,604 5,476,05,57 3,365 4,03 6,440,943,447 3,43 3,707 7,45,895,365,998 3,499 8,397,860,306,896 3,355 9,383,833,6,8 3,50 0,37,8,8,764 3,69,363,796,0,78 3,06,356,78,79,68 3,055 3,350,77,60,650 3,0 4,345,76,45,64,977 5,34,753,3,60,947 6,337,746,0,583,9 7,333,740,0,567,898 8,330,734,0,55,878 9,38,79,093,539,86 0,35,75,086,58,845,33,7,080,58,83,3,77,074,508,89 3,39,74,069,500,807 4,38,7,064,49,797 5,36,708,060,485,787 6,35,706,056,479,779 7,34,703,05,473,77 8,33,70,048,467,763 9,3,699,045,46,756,8,645,960,36,576

26 6 Πίνακας: Τιμών Х ν; a της ν ; a PX ( > Х ) a Х κατανομής για τις οποίες 0 X ν; a β.ε. a0,995 a0,990 a0,975 a0,950 a0,900 0, , , , , ,0005 0, , ,0587 0, ,077 0,483 0,5795 0, , , ,970 0, ,707, ,4740 0, ,83,45476, , ,87085,37347,63539, ,98965,39043,68987,6735,833 8,34449,64648,7973,7364 3, ,73496,0879, ,35 4,686 0,5585,558 3,4697 3, ,8658,603 3, ,8575 4,5748 5, ,0738 3, , ,603 6, , ,069 5, ,8986 7, , , ,687 6, , , ,935 6,64 7,6094 8, ,44 5,8 6, ,9664 9,33 7 5,6974 6, ,5648 8,6776 0, ,648 7,049 8,3075 9, , , ,6373 8, ,70, , ,6040 9, ,8508,446 8, ,8970 0,893,593 3,396 8,647 9,5449 0,983,3380 4, ,604 0,9567,6885 3,0905 4, ,8863 0,8564,40 3,8484 5, ,597,540 3,97 4,64 6,4734 6,603,98 3,8439 5,379 7,99 7,8076,8786 4,5733 6,53 8,38 8,463 3,5648 5,3079 6,979 8, , 4,565 6,047 7,7083 9, ,7867 4,9535 6,7908 8,496 0, ,7065,643 4,433 6,5093 9, ,9907 9,7067 3, ,764 37, , , ,487 43,879 46, ,75 45,448 48,7576 5, , ,70 53, ,53 60,395 64, ,963 6,754 65, ,60 73, ,376 70, ,9 77,995 8,358

27 7 Πίνακας (υνέχεια) a0,0 a0,05 a0,05 a0,00 a0,005 β.ε., ,8446 5,0389 6, , ,6057 5,9947 7, ,034 0,5966 6,539 7,8473 9,34840,3449, , ,48773,433 3,767 4, ,3635,0705,835 5,0863 6, ,6446,596 4,4494 6,89 8,5476 6,070 4,067 6,08 8,4753 0, ,366 5,5073 7,5346 0,090, ,6837 6,990 9,08,6660 3, ,987 8,3070 0,483 3,093 5,88 0 7,750 9,675,900 4,750 6,7569 8,5494,06 3,3367 6,70 8,995 9,89,36 4,7356 7,6883 9,894 3,064 3,6848 6,90 9,43 3,393 4,307 4,9958 7, ,5779 3, ,548 6,96 8,8454 3, ,67 6 4,7690 7,587 30,90 33, , ,9894 8,8693 3,564 34, , ,036 30,435 3,853 36,908 38,58 9 8,40 3,404 34,696 37,566 39, ,65 3, , ,93 4,400 30,833 33,944 36, ,894 4,7956 3, ,75 38,0757 4, , ,963 36,45 39,364 4, , ,386 37,655 40, ,34 46, ,563 38,885 4,93 45,647 48, ,74 40,33 43,944 46, , ,959 4,337 44, ,78 50, ,0875 4, ,7 49,5879 5, ,560 43,779 46,979 50,89 53, , , ,347 63, , ,67 67,5048 7,40 76,539 79, , ,089 83,976 88,3794 9, ,57 90,53 95,03 00,45 04, ,578 0,879 06,69,39 6, ,565 3,45 8,36 4,6 8, ,498 4,34 9,56 35,807 40,69 00 ν Х ν; a ( z ν-) Για > 00, a

28 8 Πίνακας: Των τιμών F της F -κατανομής για τις οποίες ν, ν; a PF ( > F ) a ν, ν; a 0 F ν, ν ; a a0,05 ν ν ,4 99,5 5,7 4,6 30, 34,0 36,8 38,9 40,5 8,5 9,00 9,6 9,5 9,30 9,33 9,35 9,37 9,38 3 0,3 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,8 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 6,00 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,77 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,0 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07 3,0 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,90 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,80 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,7 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,65 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,59 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,54 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,49 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,4 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,39 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,37 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,34 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,3 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,30 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,8 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,7 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,5 8 4,0 3,34,95,7,56,45,36,9,4 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8, 30 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7, 40 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8, 60 4,00 3,5,76,53,37,5,7,0,04 0 3,9 3,07,68,45,9,7,09,0,96 3,84 3,00,60,37,,0,0,94,88

29 9 Πίνακας (υνέχεια) ν 4,9 43,9 45,9 48,0 49, 50, 5, 5, 53,3 54,3 9,40 9,4 9,43 9,45 9,45 9,46 9,47 9,48 9,49 9,50 8,79 8,74 8,70 8,66 8,64 8,6 8,59 8,57 8,55 8,53 3 5,96 5,9 5,86 5,80 5,77 5,75 5,7 5,69 5,66 5,63 4 4,74 4,68 4,6 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,36 5 4,06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,8 3,77 3,74 3,70 3,67 6 3,64 3,57 3,5 3,44 3,4 3,38 3,34 3,30 3,7 3,3 7 3,35 3,8 3, 3,5 3, 3,08 3,04 3,0,97,93 8 3,4 3,07 3,0,94,90,86,83,79,75,7 9,98,9,85,77,74,70,66,6,58,54 0,85,79,7,65,6,57,53,49,45,40,75,69,6,54,5,47,43,38,34,30,67,60,53,46,4,38,34,30,5, 3,60,53,46,39,35,3,7,,8,3 4,54,48,40,33,9,5,0,6,,07 5,49,4,35,8,4,9,5,,06,0 6,45,38,3,3,9,5,0,06,0,96 7,4,34,7,9,5,,06,0,97,9 8,38,3,3,6,,07,03,98,93,88 9,35,8,0,,08,04,99,95,90,84 0,3,5,8,0,05,0,96,9,87,8,30,3,5,07,03,98,94,89,84,78,7,0,3,05,0,96,9,86,8,76 3,5,8,,03,98,94,89,84,79,73 4,4,6,09,0,96,9,87,8,77,7 5,,5,07,99,95,90,85,80,75,69 6,0,3,06,97,93,88,84,79,73,67 7,9,,04,96,9,87,8,77,7,65 8,8,0,03,94,90,85,8,75,70,64 9,6,09,0,93,89,84,79,74,68,6 30,08,00,9,84,79,74,69,64,58,5 40,99,9,84,75,70,65,59,53,47,39 60,9,83,75,66,6,55,50,43,35,5 0,83,75,67,57,5,46,39,3,,00 ν

30 30 Πίνακας: Κριτήριο Kolmogorov - Smirov (για ένα δείγμα). Τιμές του D ;a Μέγεθος Στάθμη ημαντικότητας a δείγματος 0,0 0,5 0,0 0,05 0,0 0,900 0,95 0,950 0,975 0,995 0,684 0,76 0,776 0,84 0,99 3 0,565 0,597 0,64 0,708 0,88 4 0,494 0,55 0,564 0,64 0, ,446 0,474 0,50 0,565 0, ,40 0,436 0,470 0,5 0,68 7 0,38 0,405 0,438 0,486 0, ,358 0,38 0,4 0,457 0, ,339 0,360 0,388 0,43 0,54 0 0,3 0,34 0,368 0,40 0,490 0,307 0,36 0,35 0,39 0,468 0,95 0,33 0,338 0,375 0, ,84 0,30 0,35 0,36 0, ,74 0,9 0,34 0,349 0,48 5 0,66 0,83 0,304 0,338 0, ,58 0,74 0,95 0,38 0,39 7 0,50 0,66 0,86 0,38 0,38 8 0,44 0,59 0,78 0,309 0,37 9 0,37 0,5 0,7 0,30 0, ,3 0,46 0,64 0,94 0, ,0 0,0 0,40 0,70 0, ,90 0,00 0,0 0,40 0, ,80 0,90 0,0 0,30 0, ,0 0, ,90 0, ,70 0,0 70 0,60 0, ,50 0, , ,40 Προεγγιτικοί, 07,4,, 36, 63 τύποι

31 3 Πίνακας: Κριτήριο Kolmogorov - Smirov (για δύο δείγματα) Τιμές του D, m; a /4 /5 6/0 4/5 4/5 5/6 9/ 0/ 0/30 5/30 4/6 5/6 m 8/ /8 4/8 5/35 30/35 9/4 35/4 5/7 5/7 7/8 8/4 6/8 7/8 7/40 3/40 6/4 8/4 35/56 4/56 5/8 6/8 6/8 7/9 8/9 7/36 3/36 3/45 36/45 /8 4/8 40/63 47/63 45/7 54/7 5/9 6/9 9/0 4/40 6/0 7/0 8/0 9/30 /30 43/70 53/70 3/40 8/40 5/90 6/90 6/0 7/0 9/ / 8/ 0/ 7/ 9/ 4/4 6/4 0/36 4/36 6/ 7/ 0/5 /5 5/30 9/30 30/60 35/60 7/5 8/5 Σημ. : Σημ. : Σημ. 3: Οι πάνω και κάτω τιμές των τετραγώνων αναφέρονται ε επίπεδα ημαντικότητας a0,05 και a0,0 αντίτοιχα. Ο (ατερίκος) ημαίνει αποδοχή της αρχικής υπόθεης, δηλαδή ότι τα δείγματα προέρχονται από την ίδια κατανομή. Για μεγάλα m και τα δύο a-ημεία δίνονται κατά προέγγιη από τους τύπους: m m D, m; 0,05, 36, D, m; 0,0, 63 m m

32 3