Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Transcript

1 Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. kkiritsis@vitali.gr 1

2 Κ. Κυρίτσης 2 Πίνακες Περιεχόµενα 1 Ορισµός 3 2 Άλγεβρα Πινάκων Πρόσθεση Πολλαπλασιασµός µε Βαθµωτό Πολλαπλασιασµός Πινάκων Κατηγορίες Πινάκων Ανάστροφος Τετραγωνικοί Ιχνος, Τριγωνικός, ιαγώνιος Πίνακας Μονάδα υνάµεις και Πολυώνυµα Πινάκων Αντίστροφος Ειδικοί Πραγµατικοί Πίνακες Συµµετρικοί Αντισυµµετρικοί Ορθογώνιοι Κανονικός Μιγαδικοί Πίνακες Μιγαδικός Συζυγής Ερµιτιανός Συζυγής Ερµιτιανός και Ανθερµιτιανός Πίνακας Μοναδιαίος Πίνακας Κανονικός Πίνακας Εύρεση Αντιστρόφου 7 5 Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα 8 6 Οµοιοι Πίνακες 8

3 Κ. Κυρίτσης 3 Πίνακες 1 Ορισµός Πίνακας A στο σώµα K ή απλά πίνακας ονοµάζεται µια διάταξη αριθµών γραµµένη ως εξής: a 11 a a 1n A = a 21 a a 2n (1) a m1 a m2... a mn Λέµε τότε ο πίνακας έχει m γραµµές και n στήλες και λέµε ότι είναι πίνακας m n. Συνοπτικά γράφουµε A = (a ij ) όπου i = 1, 2,..., m και j = 1, 2,..., n. Αν m = 1 ο A λέγεται πίνακας γραµµή, αν n = 1 λέγεται πίνακας στήλη. Τα στοιχεία του πίνακα είναι αριθµοί από το σώµα K, συνήθως πραγµατικοί ή µιγαδικοί. Ο πίνακας που όλα του τα στοιχεία είναι µηδέν λέγεται µηδενικός πίνακας. 2 Άλγεβρα Πινάκων 2.1 Πρόσθεση Ορίζεται για πίνακες ίδιας διάστασης και είναι για τους πίνακες A = (a ij ), B = (b ij ) a 11 + b 11 a 12 + b a 1n + b 1n A + B = a 21 + b 21 a 22 + b a 2n + b 2n (2) a m1 + b m1 a m2 + b m2... a mn + b mn Το αποτέλεσµα είναι πίνακας m n. 2.2 Πολλαπλασιασµός µε Βαθµωτό Το γινόµενο αριθµού λ K µε τον πίνακα A = (a ij ) ορίζεται να είναι λa 11 λa λa 1n λa = λa 21 λa λa 2n (3) λa m1 λa m2... λa mn Ο αντίθετος ενός πίνακα ορίζεται να είναι A := ( 1)A και η αφαίρεση πινάκων A B = A + ( 1)B.

4 Κ. Κυρίτσης 4 Πίνακες 2.3 Πολλαπλασιασµός Πινάκων Εστω ο πίνακας γραµµή A = ( a 1 a 2 )... a n και ο πίνακας στήλη Ορίζουµε το γινόµενο B = b (4) A B = AB = ( ) a 1 a 2... a n b 2... = a 1b 1 + a 2 b a n b n = b 1 b n b 1 b n = n a i b i. (5) Το αποτέλεσµα είναι ένα ϐαθµωτό (πίνακας 1 1). Το γινόµενο δεν ορίζεται όταν οι πίνακες A, B έχουν διαφορετικό αριθµό στοιχείων. Εστω τώρα οι πίνακες A = (a ij ) διάστασης m n και B = (b jk ) διάστασης n k. Ορίζεται το γινόµενο A B να είναι ο πίνακας C = AḂ µε στοιχεία C = (c ik ), διάστασης m k. Το στοιχείο c ik προκύπτει σαν το γινόµενο της i γραµµής του A (ειδωµένης σαν πίνακας γραµµή) µε την k στήλη του B (ειδοµένης σαν πίνακας στήλη). n c ik = a ij b jk. (6) j=1 Το γινόµενο πινάκων ορίζεται µόνο όταν οι στήλες του πρώτου είναι ίσες µε τις γραµµές του δευτέρου. Εν γένει AB BA. 3 Κατηγορίες Πινάκων 3.1 Ανάστροφος Συµβολίζεται A T και προκύπτει από τον A = (a ij ) µε εναλλαγή γραµµών µε στήλες, A T = (a ji ). Αν ο A είναι m n, ο ανάστροφος είναι n m. 3.2 Τετραγωνικοί i=1 Είναι οι πίνακες µε ίσο αριθµό γραµµών και στηλών. Τα στοιχεία a ii αποτελούν την κύρια διαγώνιο.

5 Κ. Κυρίτσης 5 Πίνακες Ιχνος, Τριγωνικός, ιαγώνιος Ορίζουµε το ίχνος του πίνακα tr(a) = Ισχύει ότι n a ii. (7) i=1 tr(a + B) = tr(a) + trb tr(λa) = λtr(a) tr(a T ) = tr(a) tr(ab) = tr(ba). Αν a ij = 0 i < j τότε ο πίνακας ϑα λέγεται άνω τριγωνικός ή απλά τριγωνικός. Αν a ij = 0 i > j ϑα λέγεται κάτω τριγωνικός. Αν a ij = 0, i j ο πίνακας ϑα λέγεται διαγώνιος και συνήθως γράφουµε D = diag ( d 11, d 22,... d nn ). (8) Για διαγώνιους πίνακες είναι πάντα AB = BA Πίνακας Μονάδα Η συνάρτηση δέλτα του Kronecker ορίζεται να είναι { δ ij = 0 i j, 1 i = j. (9) Ο πίνακας n n µε στοιχεία δ ij γράφεται I n και λέγεται πίνακας µονάδα. Ισχύει ότι AI n = I n A = A για κάθε πίνακα A, n n.

6 Κ. Κυρίτσης 6 Πίνακες υνάµεις και Πολυώνυµα Πινάκων Για τετραγωνικούς πίνακες n n ορίζεται να είναι A 2 = AA, A 3 = A 2 A και γενικώς A n = A n 1 A. Κατά σύµβαση, A 0 = I n. Εστω το πολυώνυµο P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a m x m. (10) Ορίζουµε το πολυώνυµο του πίνακα A να είναι Αντίστροφος P(A) = a 0 I n + a 1 A + a 2 A a m A m. (11) εδοµένου ενός πίνακα A, αν υπάρχει πίνακας B τέτοιος ώστε AB = BA = I n τότε ϑα λέµε ότι ο B είναι ο αντίστροφος του A και ϑα γράφουµε B = A 1. Σ αυτή την περίπτωση ϑα λέµε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος. Ο αντίστροφος, εφ όσων υπάρχει, είναι µοναδικός. 3.3 Ειδικοί Πραγµατικοί Πίνακες Συµµετρικοί Είναι τετραγωνικοί πίνακες για τους οποίους A = A T. Για τα στοιχεία τους έχουµε ότι a ij = a ji Αντισυµµετρικοί Είναι τετραγωνικοί πίνακες για τους οποίους A = A T. Για τα στοιχεία τους έχουµε ότι a ij = a ji. Ειδικά για την κύρια διαγώνιο, a ii = Ορθογώνιοι Ενας πραγµατικός πίνακας είναι ορθογώνιος εάν A 1 = A T. Ισοδύναµα AA T = A T A = I n Κανονικός Εάν ο A µετατίθεται µε τον ανάστροφό του, AA T = A T A, ϑα λέγε κανονικός. Αν ο A είναι συµµετρικός, αντισυµµετρικός ή ορθογώνιος, τότε είναι και κανονικός. εν ισχύει το αντίστροφο.

7 Κ. Κυρίτσης 7 Πίνακες 3.4 Μιγαδικοί Πίνακες Πρόκειται για πίνακες µε στοιχεία από το σώµα των µιγαδικών αριθµών C. Ο ορισµός του συµµετρικού και του αντισυµµετρικού παραµένουν ίδιοι Μιγαδικός Συζυγής Είναι A = (a ij ) Ερµιτιανός Συζυγής Είναι A = (A ) T = (A T ). Είναι συνδυασµός µιγαδικού συζυγούς και αναστροφής Ερµιτιανός και Ανθερµιτιανός Πίνακας Ερµιτιανός είναι ο πίνακας για τον οποίο Ανθερµιτιανός είναι ο πίνακας για τον οποίο Μοναδιαίος Πίνακας Είναι ο πίνακας για τον οποίο Ισοδύναµα AA = A A = I n Κανονικός Πίνακας A = A. (12) A = A. (13) A = A 1. (14) Για τους µιγαδικούς πίνακες, κανονικός ορίζεται να είναι ο πίνακας για τον οποίο AA = A A. (15) 4 Εύρεση Αντιστρόφου Ο αντίστροφος πίνακας µπορεί να ϐρεθεί είτε µε την µέθοδο Gauss-Jordan είτε µε την µέθοδο του προσαρτηµένου πίνακα.

8 Κ. Κυρίτσης 8 Πίνακες 5 Κλιµακωτή Μορφή Πίνακα Είναι η µορφή στην οποία σε κάθε γραµµή το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο είναι δεξιότερα από το αντίστοιχο της προηγούµενης γραµµής. Στην περίπτωση που το πρώτο µη µηδενικό στοιχείο κάθε γραµµής είναι η µονάδα, µιλάµε για κανονική κλιµακωτή µορφή. 6 Οµοιοι Πίνακες Θα λέµε ότι ο πίνακας B είναι όµοιος µε τον A αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P και ισχύει B = P 1 AP.

9 Κ. Κυρίτσης 9 Πίνακες ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

10 Κ. Κυρίτσης 10 Πίνακες Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

11 Κ. Κυρίτσης 11 Πίνακες Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ