Φροντιστιριο Η Παιδεία ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ. Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί...

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ Εξισώσεις- υστήματα Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών ύνθετη μέθοδος των τριών Μερισμός Ποσοστά Σόκος Εμβαδά επιπέδων σχημάτων χέδιο υπό κλίμακα τοιχεία Σριγωνομετρίας τερεομετρία Προβλήματα κινήσεως τοιχεία τατιστικής υνδυαστική Πιθανότητες Συπολόγιο...69 Θέματα Εξετάσεων

2 Α. (α) Μέτρα και σταθμά, μονάδες μέτρησης ΤΛΗ ΕΞΕΣΑΕΩΝ (β) τοιχεία αριθμητικής: Διαιρετότητα. Δυνάμεις ακεραίων, κλασματικών και δεκαδικών αριθμών. Μέγιστος κοινός διαιρέτης, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Κλασματικοί αριθμοί, ιδιότητες και πράξεις. Σροπή κλασμάτων σε δεκαδικούς και αντιστρόφως. Προβλήματα επί των ακεραίων, δεκαδικών και κλασματικών αριθμών. Λόγοι και αναλογίες. Ποσά ευθέως ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα. χέδιο υπό κλίμακα και σχετικά προβλήματα. Απλή και σύνθετη μέθοδος των τριών. Προβλήματα κινήσεως. ημείωση: Σα προβλήματα λύνονται είτε με πρακτική αριθμητική είτε με άλγεβρα (εξισώσεις ή συστήματα). Β. τοιχεία Γεωμετρίας: Πυθαγόρειο θεώρημα. Περίμετρος και εμβαδόν των ευθυγράμμων σχημάτων (τρίγωνο, τετράγωνο, παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο). Εμβαδόν και περίμετρος κύκλου. Εμβαδά και όγκοι του κύβου, του ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου και του κυλίνδρου. Γ. τοιχεία Σριγωνομετρίας: Σριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου. Χρήση τριγωνομετρικών αριθμών για επίλυση προβλημάτων. (Οι τιμές των τριγωνομετρικών αριθμών θα δίνονται). Δ. τοιχεία υνδυαστικής: Ορισμός του ν! Εφαρμογή της Αρχής της Απαρίθμησης στη λύση προβλημάτων. Τπολογισμός και εφαρμογή σε προβλήματα του αριθμού: των διατάξεων ν διαφορετικών αντικειμένων ανά κ και των συνδυασμών ν διαφορετικών αντικειμένων ανά κ. Ε. τοιχεία Πιθανοτήτων: Πείραμα τύχης, δυνατά αποτελέσματα πειράματος, ενδεχόμενο, πράξεις με ενδεχόμενα, βέβαιο ενδεχόμενο, αδύνατο ενδεχόμενο, συμπληρωματικά ενδεχόμενα, ασυμβίβαστα ενδεχόμενα. Τπολογισμός της πιθανότητας ενδεχομένου. Χρήση των ιδιοτήτων 0P(A)1, P(Ω)=1, P()=0, P(A )=1-P(A), P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB), και P(A- B)=P(A) - P(AB). Σ. τοιχεία τατιστικής: (α) Βασικές έννοιες: Πληθυσμός, άτομο, δείγμα, στατιστικά δεδομένα, ποσοτική και ποιοτική μεταβλητή, (β) Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων, πίνακας κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων, (γ) Ομαδοποίηση παρατηρήσεων, (δ) Ερμηνεία γραφικών παραστάσεων συχνοτήτων: Ραβδόγραμμα, κυκλικό διάγραμμα, διάγραμμα συχνοτήτων, πολύγωνο συχνοτήτων και ιστόγραμμα. (ε) Χαρακτηριστικές τιμές μιας κατανομής: Αριθμητικός μέσος, διάμεσος, επικρατούσα τιμή, τυπική απόκλιση.

3 1. ΚΛΑΜΑΣΑ Γενικά: Σο κλάσμα είναι μέρος του όλου ( όπου α = αριθμητής και β = παρονομαστής, β ) π.χ. 1 ευρώ έχει 100 σεντς. Σα 20 σεντς είναι τα του ευρώ. 1 κιλό έχει 1000 γραμμάρια. Σα 18 γραμμάρια είναι τα του κιλού. Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. π.χ 3 5 7,, Ετερώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή. π.χ 3 4 1,, Μεικτός αριθμός ονομάζεται ο αριθμός που αποτελείται από ένα ακέραιο και ένα κλάσμα το οποίο είναι μικρότερο από την μονάδα π. χ 3 ½ = 3 + ½ (αποτελείται από 3 ακέραιους και από το κλάσμα ½) Οι μεικτοί αριθμοί γίνονται κλασματικοί όταν πολλαπλασιάσω τον ακέραιο επί τον παρονομαστή, προσθέσω και τον αριθμητή και τον γράψω ως αριθμητή, ο παρονομαστής μένει ο ίδιος. π.χ 2 ¾ = , 5 ½ = Όταν το κλάσμα έχει αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή τότε το κλάσμα περιέχει ακέραιες μονάδες. Για να βρω τις ακέραιες μονάδες διαιρώ τον αριθμητή δια τον παρονομαστή, το πηλίκο της διαίρεσης είναι οι ακέραιες μονάδες και το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής του κλάσματος. π.χ 35 9 = 35 : 9 = 3, 28 8 = 3

4 Προτεραιότητα Πράξεων : 1. Αγκύλες / Παρενθέσεις 2. Πολλαπλασιασμός / Διαίρεση 3. Πρόσθεση / Αφαίρεση Πρόσθεση/ Αφαίρεση Ομώνυμων Κλασμάτων : Προσθέτω/ Αφαιρώ τους αριθμητές και ο παρονομαστής μένει ο ίδιος. π.χ α) , β) ε) =1, γ) , δ) , Πρόσθεση/ Αφαίρεση Ετερώνυμων Κλασμάτων : Πρέπει πρώτα να μετατρέψω τα κλάσματα σε ομώνυμα. Για να μετατρέψω τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα πρέπει να βρω το Ε.Κ.Π(Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) των παρονομαστών. Εύρεση Ε.Κ.Π : α) Όταν οι παρονομαστές δεν διαιρούνται μεταξύ τους, τότε το Ε.Κ.Π των κλασμάτων είναι το γινόμενο των παρονομαστών π. χ Να μετατραπούν σε ομώνυμα τα κλάσματα και και ½. Ε. Κ.Π = 5.2 = 10 β) Όταν ο ένας παρονομαστής διαιρείται από τον άλλο τότε το Ε. Κ. Π είναι ο μεγαλύτερος παρονομαστής π.χ Να μετατραπούν σε ομώνυμα τα κλάσματα 3/4 και 1/8. Ε.Κ.Π =

5 γ) Όταν οι παρονομαστές διαιρούν και οι δύο τον ίδιο αριθμό τότε το Ε. Κ.Π είναι ο αριθμός αυτός. π.χ Να μετατραπούν σε ομώνυμα τα κλάσματα 3/4 και 5/6. Ε.Κ.Π = και Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων : Δεν γίνονται ομώνυμα!! Πολλαπλασιάζω αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή. π.χ α) , β) , γ) , δ) Διαίρεση Κλασμάτων : Δεν γίνονται ομώνυμα!! Αντιστρέφω το δεύτερο κλάσμα και κάνω πολλαπλασιασμό (πολλαπλασιάζω αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή) π.χ α) : και β) :1 : ύνθετα κλάσματα: Η διαίρεση μπορεί να γραφτεί και με την μορφή κλάσματος.. π.χ

6 Άσκηση 1.1 Α. Να γίνουν απλά τα σύνθετα κλάσματα Β. Να γίνουν οι πράξεις :

7 Απαντήσεις: 1. 1, 2., 3., 4., 5., 6. 29, 7. 8., 9., 10., 11. 1, 12. 5, 13. 1, , 16., 17. 7, , 19., 20., , 23. 6

8 18. ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΣΑΝΟΜΗ ΤΦΝΟΣΗΣΩΝ Πληθυσμός είναι το σύνολο των στοιχείων για τα οποία γίνεται μια έρευνα στην τατιστική. (π.χ οι οικογένειες μιας πολυκατοικίας) Άτομο είναι κάθε στοιχείο του πληθυσμού. (π.χ κάθε οικογένεια της πολυκατοικίας) Μεταβλητή ή ιδιότητα ενός πληθυσμού είναι το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζεται ο πληθυσμός. Ποσοτική είναι μια ιδιότητα που μπορεί να μετρηθεί με αριθμό. (π.χ βάρος, ύψος, μισθός, βαθμολογία) Ποιοτική είναι η ιδιότητα που δεν μπορεί να μετρηθεί με αριθμό. (π.χ επάγγελμα, οικογενειακή κατάσταση, χρώμα ματιών, φύλο) υχνότητα (f) μιας παρατήρησης είναι ο αριθμός που δηλώνει πόσα άτομα του πληθυσμού έχουν παρατήρηση ίση με αυτή. Πίνακας Κατανομής υχνοτήτων είναι ο πίνακας στον οποίο αντιστοιχούμε κάθε παρατήρηση με την συχνότητα της (κατασκευάζουμε δύο στήλες xi, fi) Σο άθροισμα των συχνοτήτων (fi) όλων των τιμών είναι ίσο με το σύνολο του πληθυσμού της έρευνας. Aθροιστική συχνότητα () μιας τιμής είναι το άθροισμα της συχνότητας μιας τιμής μαζί με τις συχνότητες των προηγούμενων τιμών. fi χετική συχνότητα είναι ο λόγος της συχνότητας μιας τιμής δια του πλήθους των fi ατόμων του πληθυσμού. Σο άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων όλων των τιμών είναι ίσο με 1. fi Εκατοστιαία σχετική συχνότητα 100%. fi συχνότητας της τιμής επί 100. μιας τιμής είναι το γινόμενο της σχετικής

9 ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΗ ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΩΝ Γίνεται μόνο σε ποσοτικές μεταβλητές. Για να γίνει ένας πίνακας με πολλές παρατηρήσεις πιο πρακτικός χωρίζουμε τις παρατηρήσεις μας σε ομάδες. Η διαφορά της μεγαλύτερης τιμής μιας ομάδας από την μικρότερη λέγεται πλάτος ομάδας. π.χ [20,25), [25,30),... Ομάδες με πλάτος 5 : = =...=5 Ο πρώτος αριθμός του διαστήματος ανήκει στην ομάδα ενώ ο δεύτερος ανήκει στην επόμενη ομάδα Δηλ. [20,25) 20,21,22,23,24 [25,30) 25,26,27,28,29 Για να κατασκευάσω πίνακα κατανομής συχνοτήτων όταν οι παρατηρήσεις είναι ομαδοποιημένες, παίρνω ως τιμές της μεταβλητής την μέση τιμή διαστήματος κάθε ομάδας Μέση τιμή διαστήματος είναι το ημιάθροισμα των άκρων τιμών του διαστήματος π.χ [35,40) ΓΡΑΥΙΚΕ ΠΑΡΑΣΑΕΙ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ (α) Σο Ραβδόγραμμα περιέχει ορθογώνια ίσου πλάτους τοποθετημένα σε ίσες αποστάσεις. Σο ύψος τους αντιστοιχεί στην αντίστοιχη συχνότητα. π.χ (χi =είδος μουσικής, fi = αριθμός μαθητών)

10 (β) Σο Ιστόγραμμα το χρησιμοποιώ για να αναπαραστήσω ομαδοποιημένες παρατηρήσεις. Περιέχει συνεχόμενα ορθογώνια ίσου πλάτους. Σο ύψος τους αντιστοιχεί στην αντίστοιχη συχνότητα. π.χ (γ) Σο πολύγωνο συχνοτήτων προκύπτει αν ενώσω τα μέσα των άνω πλευρών των ορθογωνίων του ιστογράμματος ή του ραβδογράμματος (δ) Σο διάγραμμα συχνοτήτων αποτελείται απο ευθύγραμμα τμήματα. π.χ

11 (ε)το Κυκλικό Διάγραμμα ολόκληρος ο κύκλος (=360 ο ) αντιστοιχεί σε ολόκληρο τον πληθυσμό της κατανομής π.χ Πώς υπολογίζουμε τη γωνία κάθε κυκλικού τομέα; Επειδή έλαβαν μέρος στην έρευνα 200 άτομα και ο κύκλος έχει 360, τα 200 άτομα αντιστοιχούν στις 360. Σα 60 άτομα δήλωσαν ότι προτιμούν το λαϊκό τραγούδι, επομένως θα πρέπει να αντιστοιχούν σε μία γωνία θ, τέτοια ώστε : Επομένως έχουμε: Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε και τις υπόλοιπες γωνίες του κυκλικού διαγράμματος. ΜΕΗ ΣΙΜΗ (ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΟ ΜΕΟ) ( X ) X ά ό ή x i ή ή π.χ Η ηλικία 10 εργαζομένων σε μια εταιρεία είναι : 32, 28, 24, 32, 30, 38, 30, 25, 27, 34 X =

12 Αν οι μετρήσεις ταξινομηθούν σε πίνακα πολλαπλασιάζουμε τις τιμές χi επί την αντίστοιχη συχνότητα fi, προσθέτουμε όλα τα γινόμενα και διαιρούμε δια του πλήθους. π.χ Ηλικία(xi) Αριθμός εργαζομένων (fi) X Αν έχω ομαδοποιημένες παρατηρήσεις πολλαπλασιάζω την αντίστοιχη συχνότητα fi επί την αντίστοιχη μέση τιμή διαστήματος, προσθέτουμε όλα τα γινόμενα και διαιρούμε δια του πλήθους. π.χ Τψος (cm) Μέση τιμή διαστήματος Αριθμός μαθητών [ ) [ ) [ ) [ ) fi= X 170,3 cm 30

13 ΔΙΑΜΕΟ ΕΠΙΚΡΑΣΟΤΑ ΣΙΜΗ Διάμεσος (Φδ) π.χ (1) Ρίχνω ένα ζάρι 7 φορές και έχω τις εξής ενδείξεις : 2, 1, 5, 3, 2, 6, 1 Σοποθετώ τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά: 1, 1, 2, 2, 3, 5, 6 ν = 7 (περιττός αριθμός) 1 71 Σότε = 4 διάμεσος είναι η παρατήρηση που βρίσκεται στην 4 η θέση, 2 2 δηλ. χδ = 2 π.χ (2) Ρίχνω ένα ζάρι 8 φορές και έχω τις εξής ενδείξεις : 2, 1, 5, 3, 2, 6, 1,3 Σοποθετώ τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 6 ν = 8 (άρτιος αριθμός) χδ = = Η διάμεσος είναι τοημιάθροισμα των παρατηρήσεων που βρίσκονται στην 4 η και 5 η θέση, δηλ. χδ = Σοποθετώ τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά 2. α) Αν ν = περιττός αριθμός τότε η κεντρική τιμή είναι η διάμεσος ή η τιμή που βρίσκεται στην θέση ν+ β) Αν ν = άρτιος αριθμός τότε υπάρχουν δύο κεντρικές τιμές και βρίσκω το ημιάθροισμα τους ή το ημιάθροισμα των κεντρικών τιμών που βρίσκονται στις θέσεις ν και ν είναι η διάμεσος

14 Επικρατούσα τιμή (Φε) είναι η τιμή με την μεγαλύτερη συχνότητα (Μπορεί να έχω και περισσότερες απο μία επικρατούσες) π.χ Η ηλικία 12 εργαζομένων σε μια εταιρεία είναι : 32, 28, 24, 32, 30, 38, 30, 32, 27, 34, 32, 40 Η επικρατούσα τιμή είναι το 32 διότι έχει την μεγαλύτερη συχνότητα Φε = 32 (fi = 4) ΣΤΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΗ (σ) Η έννοια της Συπικής Απόκλισης χρησιμοποιείται ευρέως στις Πιθανότητες και στη τατιστική και δείχνει την απόκλιση ή αν θέλετε τη διασπορά - που έχει μια ομάδα τιμών από το μέσο όρο τους. Ένα απλό παράδειγμα θα κάνει πιο ξεκάθαρα τα πράγματα. Ας πάρουμε δυο ομάδες αριθμών: Η πρώτη ομάδα αριθμών είναι (8,9,10,11,12) και η δεύτερη ομάδα είναι (4,7,10,13,16). Και οι δυο ομάδες αριθμών έχουν τον ίδιο μέσο όρο: Μέσος όρος 1ης ομάδας: ( )/5 = 50/5 = 10 Μέσος όρος 1ης ομάδας: ( )/5 = 50/5 = 10 Παρατηρούμε ότι, αν και οι δυο ομάδες έχουν τον ίδιο μέσο όρο, οι τιμές της δεύτερης ομάδας έχουν μεγαλύτερη απόκλιση, ή διασπορά, απέχουν δηλαδή περισσότερο, από το μέσο όρο. Η Συπική Απόκλιση είναι ένας τρόπος να εκφράσουμε αριθμητικά αυτή τη διασπορά. Για παράδειγμα, η Συπική Απόκλιση της 1ης Ομάδας είναι 1,41, ενώ της 2ης Ομάδας είναι 4,24 χi fi fiχi (xi- X ) 2 fi(xi- X ) 2... fi = fiχi =... X = fixi fi και σ = fi( xi X ) fi 2, i = ν

15 Άσκηση το πιο κάτω διάγραμμα, φαίνονται τα χρήματα σε σεντ που έδωσαν οι μαθητές ενός Λυκείου σε ένα έρανο που έγινε στο σχολείο τους. (α)να γίνει πίνακας κατανομής συχνοτήτων. (β)να υπολογιστούν : (i) Πόσοι ήταν όλοι οι μαθητές; (320) (ii) Πόσοι μαθητές έδωσαν μέχρι 170σεντ; (240) 2. Οι υπάλληλοι μιας εταιρείας κατανέμονται ανάλογα με τα έτη υπηρεσίας τους ως εξής: Έτη υπηρεσίας Αριθ. υπαλλήλων Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα και το διάγραμμα συχνοτήτων των παρατηρήσεων 3. Η μέγιστη θερμοκρασία (σε βαθμούς κελσίου) στη Λευκωσία τις πρώτες δέκα μέρες του Μαίου ήταν: 24, 17, 29, 20, 21, 24, 22, 27, 20, 24 α) Να βρείτε τη διάμεσο χδ (23) β) την επικρατούσα τιμή χε (24) γ) να υπολογίσετε τη μέση τιμή (22,8) 4. Tα ατομικά έξοδα μίας ομάδας ποδοσφαίρου (μίας συγκεκριμένης μέρας) ήταν τα πιο κάτω: 7, 8, 13, 17, 0, 9, 0, 13, 18, 13, 7, 17, 4, 1, 4, 10, 12, 19 Να ομαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε ομάδες με πλάτος 5. τη συνεχεία να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα των παρατηρήσεων.

16 5. το παρακάτω ιστόγραμμα δίνεται η κατανομή της ηλικίας των ατόμων μιας πόλης. Να κάνετε το πολύγωνο συχνοτήτων. Αφού συμπληρώσετε τον πίνακα συχνοτήτων να υπολογίσετε τη μέση τιμή της ηλικίας των κατοίκων της πόλης.(43,3 ) ΤΦΝΟΣΗΣΑ (χιλιάδες) [0-20) [20-40) [40-60) [60-80) [80-100) ΗΛΙΚΙΑ 6. Σο κυκλικό διάγραμμα παρουσιάζει τις πωλήσεις μηχανοκίνητων οχημάτων στη Κύπρο το Αν τα μηχανοκίνητα οχήματα που πουλήθηκαν ήταν 14400, να βρείτε: (α) Πόσα μηχανοκίνητα οχήματα πουλήθηκαν από την κάθε κατηγορία ξεχωριστά; (800, 3600, 6000, 4000) (β) Πόσο τοις εκατό ήταν οι πωλήσεις των αυτοκινήτων; (41,7) Τρακτζρ Φορτθγά Αυτοκίνθτα Λεωφορεία 7. Ο πίνακας παρουσιάζει τις πωλήσεις 80 κομματιών ρούχων ενός καταστήματος μιας ορισμένης ημέρας. Γυναικεία Αντρικά Παιδικά Βρεφικά Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα και να βρείτε το ποσοστό των αντρικών ρούχων που πούλησε. (20)

17 8. Σο κυκλικό διάγραμμά συχνοτήτων παρουσιάζει το μεταφορικό μέσο που χρησιμοποιούν οι 540 μαθητές ενός σχολείου, για να προσέλθουν στο σχολείο. Να βρείτε πόσοι μαθητές έρχονται με το κάθε μέσο και πόσο τοις εκατόν των μαθητών έρχονται με το αυτοκίνητο. ( 165, 225, 30, 120, 22,2 ) Πεηοί Μοτοσυκλζτα Ποδιλατο Αυτοκίνθτο τον πιο κάτω πίνακα φαίνεται ο αριθμός των τερμάτων που πέτυχαν 16 βασικοί ποδοσφαιριστές μιας ομάδας. Σέρματα Αριθμός ποδοσφαιριστών α) Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του αριθμού των τερμάτων που πέτυχαν οι 16 βασικοί ποδοσφαιριστές της ομάδας. β) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή και την διάμεσο των παρατηρήσεων. (Απαντήσεις: α) 2, 3 β) 2, 2) 10. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των παιδιών 25 εργαζομένων ενός εργοστασίου. Τπερωρίες Εργαζόμενοι Να βρείτε: (α) τη διάμεσο (2) (β) την επικρατούσα τιμη (1) (γ) τη μέση τιμη (2) (δ) την τυπική απόκλιση (4)

18 11. Ο πίνακας παρουσιάζει τις μέγιστες θερμοκρασίες που παρατηρήθηκαν σε μία πόλη για ένα μήνα. Θερμοκρασίες Hμέρες fi Να βρείτε: α) την επικρατούσα (15) β) την διάμεσο(15) γ) τον αριθμητικό μέσο ( x ) (14) 12. Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει τις απουσίες 50 μαθητών μέσα σε ένα χρόνο. Απουσίες Συχνότητα [0,20) 15 [20,40) 18 [40,60) 8 [60,80) 7 [80,100) 2 Να βρείτε: α) τη μέση τιμή (35,2) β) την διάμεσο (30) γ)την επικρατούσα τιμή. (30) 13. Η μέση τιμή του βάρους 15 μαθητών μαζί με τον καθηγητή τους είναι 70 κιλά. Αν η μέση τιμή του βάρους των 15 μαθητών είναι 68 κιλά, να υπολογίσετε το βάρος του καθηγητή τους. (100) 14. Η μέση τιμή του ημερομίσθιου των απλών υπαλλήλων μιας επιχείρησης είναι 60. Η μέση τιμή του ημερομίσθιου των 4 διευθυντικών στελεχών είναι 80.Η μέση τιμή του ημερομίσθιου όλων των εργαζομένων στη επιχείρηση είναι 65. α) Πόσοι είναι οι απλοί υπάλληλοι; (12) β) Η επιχείρηση αποφάσισε να μειώσει κατά 10% το ημερομίσθιο των απλών υπαλλήλων και κατά 20% των διευθυντικών στελεχών. Να βρεθεί η καινούρια μέση τιμή του ημερομισθίου όλων των εργαζομένων. (56,5)

19 15. Ο μέσος όρος των ηλικιών πέντε παιδιών είναι 10. Αν οι ηλικίες αυτές είναι: 3, x, 5, 12, y Να υπολογιστούν οι ηλικίες x,y αν η y είναι πενταπλάσια της x. (x = 5, ψ = 25) τη συνέχεια να βρείτε τη διάμεσο και την τυπική απόκλιση. (5, 8.10) 16. Ο μέσος μισθός των 15 υπαλλήλων μιας εταιρίας είναι 650. Αν ένας υπάλληλος με μισθό 850 αφυπηρέτησε και στη θέση του προσλήφθηκε νέος υπάλληλος με μισθό 400, ποιος ο νέος μέσος μισθός των 15 υπαλλήλων. (620) 17. Σο μέσο βάρος 4 αντρών που βρίσκονται σε ένα ανελκυστήρα είναι 82kg. τον 1ο όροφο ανέβηκαν 2 γυναίκες με μέσο βάρος 53kg. τον 2ο όροφο κατέβηκε ένας άντρας και το νέο μέσο βάρος έγινε 69kg. Να βρείτε πόσα κιλά ζύγιζε αυτός που κατέβηκε. (89) 18. Σο μέσο ημερομίσθιο 24 υπάλληλων ενός εργοστάσιου είναι 14. Οι 16 άνδρες από αυτούς έχουν μέσο ημερομίσθιο 15. Να βρεθεί το μέσο ημερομίσθιο των γυναικών. (12) 19. Na βρείτε 8 διαδοχικούς άρτιους αριθμούς που έχουν αριθμητικό μέσο το 17.(10) 20. Ο Γιάννης πήγε για διακοπές 18 μέρες, και τα έξοδα του ήταν κατά μέσο όρο 12 ευρώ την ημέρα. Αν στις πρώτες 15 μέρες ξόδευε 10 ευρώ την ημέρα, ποιά ήταν κατά μέσο όρο τα καθημερινά του έξοδα τις άλλες τρείς μέρες; (22) 21. Η μέση τιμή των ηλικιών δύο αγοριών και τριών κοριτσιών είναι 15 χρόνια και 8 μήνες. Αν η μέση τιμή των ηλικιών των κοριτσιών είναι 15 χρόνια και 10 μήνες, να βρείτε την μέση τιμή των ηλικιών των αγοριών; (15 χρόνια και 5 μήνες) 22. Ο μέσος μισθός των υπαλλήλων μιας εταιρείας είναι 900. Αν στην εταιρεία προσληφθεί ένας ακόμη υπάλληλος με μηνιαίο μισθό 1000, τότε ο μέσος μισθός όλων των υπαλλήλων γίνεται 902. α)να βρείτε το πλήθος των υπαλλήλων της εταιρείας πρίν προσληφθεί ο νέος υπάλληλος. (49) β)επειδή ο υπάλληλος με μισθό 1000 παραιτήθηκε, η εταιρεία πήρε στη θέση του έναν άλλο υπάλληλο με μισθό Να βρείτε το νέο μισθό όλων των υπαλλήλων της εταιρείας. (903) (Αστυνομικές, 09/04/2011)