Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο
|
|
- Παρθενορή Ζυγομαλάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 8 Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα Σε αυτό το κεφάλαιο αρχικά αποδεικνύουµε ότι υπάρχει επέκταση σωµάτων µε οµάδα Galois την S n. Για το σκοπό αυτό εξετάζουµε τα συµµετρικά πολυώνυµα. Τέλος αναφε- ϱόµαστε στο αντίστροφο πρόβληµα της ϑεωρίας Galois. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο Ας ϑεωρήσουµε ένα πολυώνυµο f(x) Q[x] και L το σώµα ανάλυσης του f(x) πάνω από το Q. Επειδή char Q = 0, το f(x) είναι διαχωρίσιµο και συνεπώς η επέκταση L/Q είναι επέκταση του Galois. Η οµάδα Galois του f(x) (Galois group of f(x)) είναι η οµάδα G = Gal(L/Q). Είδαµε ότι η οµάδα G εκφράζεται ως οµάδα µεταθέσεων των n αντικειµένων, όπου n είναι το πλήθος των διακεκριµένων ϱιζών του f(x), δηλ. η οµάδα G εµφυτεύεται στην οµάδα S n (ϐλ. Θεώρηµα 3.1.1). Εποµένως η τάξη της G διαιρεί το n!. Είναι λογικό να αναρωτηθούµε αν υπάρχει πολυώνυµο f(x) Q[x] τέτοιο ώστε η οµάδα Galois του f(x) να είναι ισόµορφη µε την S n. Στην ενότητα αυτή ϑα ασχοληθούµε µε αυτό το ερώτηµα. Για την αντιµετώπισή του µας χρειάζεται η επόµενη έννοια. Ορισµός Εστω E/F µία επέκταση σωµάτων και a 1,..., a n E. Τα στοιχεία a 1,..., a n λέγονται αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το F (algebraically independent over F ) αν δεν υπάρχει µη µηδενικό πολυώνυµο f(x 1,..., x n ) F [x 1,..., x n ] έτσι ώστε f(a 1,..., a n ) = 0. Με άλλα λόγια, τα στοιχεία a 1,..., a n E είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το F αν δεν υπάρχει µία (µη µηδενική) αλγεβρική σχέση µε συντελεστές από το F, που να ικανοποιείται από τα στοιχεία a 1,..., a n. Για να κατανοήσουµε καλύτερα αυτήν την έννοια, ϑα ακολουθήσουµε τη διαδικασία ορισµού των αλγεβρικών και υπερβατικών στοιχείων πάνω από το σώµα F, µε char F = 0. Θεωρούµε τον πολυωνυµικό δακτύλιο F [x 1,..., x n ]. Ο F [x 1,..., x n ] είναι µία ακέραια περιοχή µε σώµα κλασµάτων το σώµα F (x 1,..., x n ) (ϐλ. III.4.1). Εστω η επέκταση E/F και a 1,..., a n E. Η συνάρτηση h : F [x 1,..., x n ] E, f(x 1,..., x n ) f(a 1,..., a n ) είναι ένας οµοµορφισµός δακτυλίων και ker h = {f(x 1,..., x n ) : f(a 1,..., a n ) = 0}. 121
2 122 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάµπους Θεωρία Galois Φυσικά η συνάρτηση h εξαρτάται από τα στοιχεία a 1,..., a n και ως γνωστόν ο ker h είναι ένα ιδεώδες του F [x 1,..., x n ]. Αν ο ker h = {0} τότε τα στοιχεία a 1,..., a n είναι αλγε- ϐρικά ανεξάρτητα πάνω από το F. Αν ο ker h {0}, τότε τα στοιχεία a 1,..., a n λέγονται αλγεβρικά εξαρτηµένα (algebraically dependent). Από τα παραπάνω, προκύπτει το εξής : Πρόταση Εστω E/F µία επέκταση σωµάτων και a 1,..., a n E αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το F. Τότε F [x 1,..., x n ] = F [a 1,..., a n ]. Είναι ϕανερό ότι αν τα στοιχεία a 1,..., a n είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το F, τότε κανένα από τα a i δεν είναι αλγεβρικό πάνω από το F, για i = 1,..., n. Σηµειώνουµε ότι η έννοια της αλγεβρικής ανεξαρτησίας είναι γενικότερη της έννοιας της γραµµικής ανεξαρτησίας. Η αλγεβρική ανεξαρτησία συνεπάγεται τη γραµµική ανεξαρτησία, χωρίς να ισχύει το αντίστροφο (ϐλ. άσκηση 7.3.1). Σηµειώνουµε επίσης την παρακάτω γενίκευση της Πρότασης III.5. Πρόταση Εστω E/F επέκταση σωµάτων και έστω a 1,..., a n E γραµµικά ανεξάρτητα πάνω από το F. Αν t : {a 1,..., a n } {a 1,..., a n } είναι µία συνάρτηση, τότε υπάρχουν µοναδικοί αυτοµοµορφισµοί t και t, όπου t : F [a 1,..., a n ] F [a 1,..., a n ], µε f(a 1,..., a n ) f(t(a 1 ),..., t(a n )) και t : F (a 1,..., a n ) F (a 1,..., a n ), µε f 1(a 1,..., a n ) f 2 (a 1,..., a n ) f 1(t(a 1 ),..., t(a n )) f 2 (t(a 1 ),..., t(a n )). Στη συνέχεια ϑα οδηγηθούµε σε ένα παράδειγµα αλγεβρικά ανεξάρτητων στοιχείων, που είναι χρήσιµο για το σκοπό µας. Ορισµός Εστω n ένας ϑετικός ακέραιος και F ένα σώµα µε char F = 0. πολυώνυµο f(x 1,..., x n ) F [x 1,..., x n ] λέγεται συµµετρικό (symmetric) αν Ενα Τα πολυώνυµα f(x 1,..., x n ) = f(x σ(1),..., x σ(n) ), για κάθε σ S n. e s (x 1,..., x n ) = T {1,...,n} T =s x i, i T 0 s n λέγονται στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα (elementary symmetric polynomials). Ετσι τα στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα στον F [x 1,..., x n ] είναι τα : e 0 (x 1,..., x n ) = 1 e 1 (x 1,..., x n ) = x x n e 2 (x 1,..., x n ) = x i x j 1 i<j n. e n (x 1,..., x n ) = x 1 x n. Οι επόµενες προτάσεις αναφέρονται στη δοµή των συµµετρικών πολυωνύµων και δίνονται χωρίς απόδειξη, αφού ξεφεύγουν από τον κύριο σκοπό µας. Για την απόδειξη του Θεωρήµατος ο αναγνώστης µπορεί να συµβουλευθεί το [4, Theorem 3.1.2].
3 Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα 123 Θεώρηµα (Θεµελιώδες Θεώρηµα των Συµµετρικών Πολυωνύµων). i) Τα µη σταθερά στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα e 1 (x 1,..., x n ),..., e n (x 1,..., x n ) του F [x 1,..., x n ] είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το σώµα F. ii) Το σύνολο των συµµετρικών πολυωνύµων του F [x 1,..., x n ] αποτελεί έναν υποδακτύλιο του F [x 1,..., x n ], που παράγεται ακριβώς από τα e 1 (x 1,..., x n ),..., e n (x 1,..., x n ). Η απόδειξη της επόµενης πρότασης γίνεται επαγωγικά ως προς το n και αφήνεται για τον αναγνώστη (ϐλ.άσκηση 7.3.2). Πρόταση Εστω a 1,..., a n E. Τότε n (x a i ) = i=1 n ( 1) n k e n k (a 1,..., a n )x k, όπου e s (x 1,..., x n ) E[x 1,..., x n ], 0 s n, τα στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα του E[x 1,..., x n ]. Εστω τώρα n ένας ϑετικός ακέραιος και a 1,..., a n E αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία πάνω από το F, όπου E/F επέκταση σωµάτων µε char F = 0. Τότε το πολυώνυµο f(x) = n (x a i ) E[x 1,..., x n ] ( ) i=1 γράφεται ως n 1 f(x) = x n + c k x k, ( ) όπου c i = e n i (a 1,..., a n ) για i = 0,..., n 1, σύµφωνα µε την Πρόταση Το πολυώνυµο που αναφέρεται στις σχέσεις ( ) και ( ) λέγεται γενικό πολυώνυµο ϐαθµού n (general polynomial of degree n) και η εξίσωση f(x) = 0 λέγεται γενική εξίσωση ϐαθµού n (general equation of degree n). Η παρακάτω παρατήρηση είναι σηµαντική. Παρατήρηση Με τους παραπάνω συµβολισµούς, αν a 1,..., a n είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία πάνω από το F, τότε τα στοιχεία c 0, c 1,..., c n 1 είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το F. Απόδειξη. Εστω ότι τα c 0, c 1,..., c n 1 είναι αλγεβρικά εξαρτηµένα πάνω από το F. Τότε υπάρχει h(y 0,..., y n 1 ) F [y 0,..., y n 1 ] έτσι ώστε h(c 0,..., c n 1 ) = 0. Τότε, όµως, g(x 1,..., x n ) := h (e n (x 1,..., x n ),..., e 1 (x 1,..., x n )) F [x 1,..., x n ] και g(a 1,..., a n ) = 0. Αυτό αντιφάσκει µε την υπόθεση ότι τα a 1,..., a n είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα πάνω από το F. Θεωρούµε, τώρα, το σώµα L = F (a 1,..., a n ) και το σώµα K = F (c 0,..., c n 1 ) για τα αλγε- ϐρικά ανεξάρτητα στοιχεία a 1,..., a n E, όπου c i = e n i (a 1,..., a n ), για i = 0,..., n 1. Σηµειώνουµε ότι f(x) K[x] και ότι K L. Αφού a 1,..., a n είναι ϱίζες του f(x), συ- µπεραίνουµε επίσης ότι το L είναι σώµα ανάλυσης του f(x) πάνω από το K. Ακόµη το πολυώνυµο f(x) είναι διαχωρίσιµο, αφού τα a 1,..., a n είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα και συνεπώς διακεκριµένα στοιχεία του E. Ετσι καταλήγουµε στην επόµενη πρόταση.
4 124 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάµπους Θεωρία Galois Πρόταση Αν τα a 1,..., a n είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία πάνω από το F, τότε η L = F (a 1,..., a n ) είναι επέκταση του Galois πάνω από K = F (c 0,..., c n 1 ), όπου c i = e n i (a 1,..., a n ) για i = 0,..., n 1. Ερχόµαστε, τώρα, στο κύριο συµπέρασµα αυτού του εδαφίου, που απαντά στο ερώτηµα που τέθηκε στην αρχή του. Θεώρηµα Εστω a 1,..., a n αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία πάνω από το σώµα Q για έναν ϑετικό ακέραιο n και n 1 f(x) = x n + c k x k το γενικό πολυώνυµο ϐαθµού n, όπου c i = e n i (a 1,..., a n ) για i = 0,..., n 1. Η οµάδα Galois της επέκτασης Q(a 1,..., a n )/Q(c 0,..., c n 1 ) είναι ισόµορφη µε την S n. Απόδειξη. Αφού deg f(x) = n και Q(a 1,..., a n )/Q(c 0,..., c n 1 ) είναι επέκταση του Galois, συµπεραίνουµε ότι G = Gal (Q(a 1,..., a n )/Q(c 0,..., c n 1 )) εµφυτεύεται στην S n (ϐλ. Θεώρηµα 3.1.1). Εστω σ S n. Θεωρούµε την αντιστοιχία g σ : Q(a 1,..., a n ) Q(a 1,..., a n ), f 1 (a 1,..., a n ) f 2 (a 1,..., a n ) f 1(a σ(1),..., a σ(n) ) f 2 (a σ(1),..., a σ(n) ). Είναι ϕανερό ότι η g σ είναι αυτοµορφισµός του Q(a 1,..., a n ) (ϐλ. Πρόταση 8.1.3) που κρατά σταθερά τα στοιχεία του Q(c 0,..., c n 1 ). Εποµένως H = {g σ : σ S n } G S n. Οµως H = n! και άρα H = S n, µε g σ σ. Εποµένως S n = Gal (Q(a1,..., a n )/Q(c 0,..., c n 1 )). Αποδείξαµε λοιπόν ότι η οµάδα Galois της επέκτασης Q(a 1,..., a n )/Q(c 0,..., c n 1 ) είναι ισόµορφη µε την S n. 8.2 Το αντίστροφο πρόβληµα Οπως είδαµε στην προηγούµενη ενότητα, για κάθε ϕυσικό αριθµό n, υπάρχουν κατάλληλες επεκτάσεις σωµάτων L/K, όπου K επέκταση του Q, έτσι ώστε Gal(L/K) = S n, (ϐλ. Θεώρηµα 8.1.9). Από το Θεώρηµα του Cayley (ϐλ. Θεώρηµα I.17) κάθε πεπερασµένη οµάδα τάξης n εµφυτεύεται στην S n. Εποµένως, σύµφωνα µε το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Θεωρίας Galois, αν G είναι υποοµάδα της S n, τότε υπάρχει ενδιάµεσο υπόσωµα M του L ώστε Gal(L/M) = G. Αφού M/K είναι επέκταση του Q, έπεται ότι το M είναι επίσης επέκταση του Q. Καταλήγουµε έτσι στο συµπέρασµα : Πρόταση Αν G είναι µία πεπερασµένη οµάδα, τότε υπάρχει επέκταση L/M, όπου το M είναι επέκταση του Q, τέτοια ώστε Gal(L/M) = G. Με χρήση του σηµαντικού Θεωρήµατος Αναγωγιµότητας του Hilbert αποδεικνύεται το επόµενο ϑεώρηµα, που παρουσιάζουµε χωρίς απόδειξη.
5 Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα 125 Θεώρηµα Για κάθε ϑετικό ακέραιο n υπάρχει επέκταση L/Q έτσι ώστε Gal(L/Q) = S n. Για την απόδειξη και την εκφώνηση του Θεωρήµατος του Hilbert παραπέµπουµε στο [4, Chapter 3] και [3, Theorem 4.3]. Ακόµη και µετά τα Θεωρήµατα και παραµένει το ερώτηµα, αν ισχύει το αντίστοιχο µε το Θεώρηµα 8.2.2, µε G στη ϑέση της S n, όπου G είναι µία πεπερασµένη οµάδα. Το ερώτηµα αυτό είναι γνωστό, ως το Αντίστροφο Πρόβληµα της Θεωρίας Galois (Inverse Problem of Galois Theory). Ερώτηµα (Αντίστροφο πρόβληµα της Θεωρίας Galois). Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα. Υπάρχει επέκταση L/Q, έτσι ώστε Gal(L/Q) = G; Οπως είδαµε στην Ενότητα 5.2, από το Θεώρηµα των Kronecker-Weber προκύπτει ότι αν K/Q είναι µία πεπερασµένη επέκταση του Galois έτσι ώστε η Gal(K/Q) να είναι αβελιανή, τότε υπάρχει µία ϱίζα της µονάδας ω ώστε K Q(ω) (ϐλ. Θεώρηµα 5.2.8). Από το Θεώρηµα των Kronecker-Weber, το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Θεωρίας Galois και τη Θεωρία των κυκλοτοµικών σωµάτων που αναπτύξαµε στην Ενότητα 5.2, προκύπτει ότι αν δοθεί µία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα G, τότε υπάρχει επέκταση M/Q, ώστε Gal(M/Q) = G (ϐλ. άσκηση 7.3.3). Εχουµε εποµένως µία µερική απάντηση του ερωτήµατος Η πλήρης όµως απάντηση στο Αντίστροφο Πρόβληµα της Θεωρίας Galois δεν έχει δοθεί ακόµη και το ερώτηµα παραµένει αναπάντητο. Αξίζει να επισηµάνουµε το ακόλουθο σηµαντικό σχετικό συπέρασµα που αποδείχθηκε από το I. Shafarevich το 1954 στην εργασία : Construction of fields of algebraic numbers with given solvable Galois groups, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. ( ). Θεώρηµα (Shafarevich). Για κάθε πεπερασµένη επιλύσιµη οµάδα G, υπάρχει επέκταση L/Q έτσι ώστε Gal(L/Q) = G. 8.3 Ασκήσεις 1. Να δώσετε ένα παράδειγµα γραµµικά ανεξάρτητων στοιχείων πάνω από το Q που δεν είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα. 2. Εστω a 1,..., a n E και e s (x 1,..., x n ) E[x 1,..., x n ], 0 s n τα στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα του E[x 1,..., x n ]. Να αποδείξετε ότι n (x a i ) = i=1 n ( 1) n k e n k (a 1,..., a n )x k. 3. Να αποδείξετε ότι αν δοθεί µία πεπερασµένη αβελιανή οµάδα G, τότε υπάρχει επέκταση M/Q, ώστε Gal(M/Q) = G. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 8 [1] Bastida, J. R. Field Extensions and Galois Theory, Vol. 22. Addison-Wesley, [2] Escofier, J.P. Galois Theory. Springer, 2001.
6 126 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάµπους Θεωρία Galois [3] Hadlock, C. R Field Theory and its Classical Problems. MAA, [4] Prasolov, V. Polynomials. Springer, [5] Ribenhoim, P. Algebraic Numbers. Wiley-Interscience, New York, [6] Rotman, J. Θεωρία Galois. Leader Books, [7] Serre, J. P. Topics in Galois Theory. Jones and Bartlett Boston, [8] Volklein, H. Groups as Galois Groups: An Introduction. Cambridge Studies in Advnaced Mathematics 53, 1996.
Κεφάλαιο 5. Κυκλοτοµικά πολυώνυµα. 5.1 Ρίζες της µονάδας. char F = p και ο p δεν διαιρεί τον n.
Κεφάλαιο 5 Κυκλοτοµικά πολυώνυµα Σε αυτό το κεφάλαιο εφαρµόζουµε τη ϑεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στο Κεφάλαιο 3, για τα πολυώνυµα x n 1 και x n a. Επίσης εξετάζουµε τις κυκλοτοµικές, τις κυκλικές
Διαβάστε περισσότεραΑπλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες
Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΣτο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.
Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Εφαρµογές. 6.1 Επιλυσιµότητα µε ϱιζικά. F = F 0 F 1 F i F i+1 F s = E, ( ) F i+1 = F i ( n i ai ), a i F i [x].
Κεφάλαιο 6 Εφαρµογές Στο Κεφάλαιο αυτό ϑα χρησιµοποιήσουµε τα εργαλεία της Θεωρίας Galois, για να απαντήσουµε σε ερωτήµατα που ϑέσαµε στην αρχή του συγγράµµατος. Ετσι, δοθέντος ενός πολυωνύµου, ϑα ϐρούµε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους
Διαβάστε περισσότεραirr Q,b (x) = x 3 2, irr Q,ω (x) = x 2 + x + 1 irr (Q(ω),b) (x) = irr (Q,b) (x) = x 3 2,
Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 13 Δεκεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 3 Μεταθέσεις και ομάδες Galois 41 3.1 Οι ρίζες
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).
Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Σώµατα και ϐαθµοί επεκτάσεων. 2.1 Αλγεβρικά στοιχεία πάνω από ένα σώµα.
Κεφάλαιο 2 Σώµατα και ϐαθµοί επεκτάσεων Στο κεφάλαιο αυτό µελετούµε τις επεκτάσεις σωµάτων. Ιδιαίτερα σηµαντικό εργαλείο για τη µελέτη µας αυτή είναι τα πολυώνυµα, έτσι ϑα εφαρµόσουµε το περιεχόµενο του
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη
Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη
Διαβάστε περισσότεραΠοιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί
Διαβάστε περισσότεραΤελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.
Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη
Διαβάστε περισσότεραa pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0,
Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 14 Ιανουαρίου 2015 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 60
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)
Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε
Διαβάστε περισσότεραΘεµελιώδες Θεώρηµα της Θεωρίας Galois
Κεφάλαιο 3 Θεµελιώδες Θεώρηµα της Θεωρίας Galois Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε λεπτοµερέστερα τις οµάδες Galois και µελετάµε τις επεκτάσεις ισοµορφισµών σωµάτων. Στη συνέχεια ορίζουµε τις επεκτάσεις Galois
Διαβάστε περισσότεραΔώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας
Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικες οµες ΙΙ ιδάσκουσα : Θέµατα προηγουµένων ετών 1 Θέµατα Πολλαπλής Επιλογής Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, εάν
Διαβάστε περισσότεραL = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε
ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο
Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2
Διαβάστε περισσότεραΥπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville
Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Χρήστος Κονταράτος 14 Νοεµβρίου 2014 1 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Το Θεώρηµα του Liouville 4 3 Η Υπερβατικότητα του ξ 6 4 Αριθµοί του Liouville 8 2 1 Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.
Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n
Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος
Περιεχόμενα Πρόλογος v 1 Σύνολα 1 1.1 Βασικές Εννοιες.... 1 1.2 Απεικονίσεις... 7 1.3 ΤοΣύνολοτωνΦυσικώνΑριθμών... 12 1.4 ΣχέσειςΔιάταξης.... 20 1.5 ΣχέσειςΙσοδυναμίας.... 22 1.6 Πράξεις.... 24 1.7 Ασκήσεις....
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.
Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1
Διαβάστε περισσότεραG 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}.
Αλγεβρα ΙΙ, Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Φροντιστήριο 1. 1. Δίνεται η ομάδα G = Z 4 Z 8, το στοιχείο a = (1, 2) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Εστω G 1 = G/H.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.
Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραSéminaire Grothendieck
Séminaire Grothendieck in memoriam 28 March 928 3 November 204 Αριστείδης Κοντογεώργης 7 Φεβρουαρίου 205 Συνιστώμενη βιβλιογραφία. J.S Milne, Étale Cohomology 2. P. Deligne, SGA 4 2 Cohomologie étale Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )
Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Ιουνίου ακαδηµαϊκού έτους 29-21 Παρασκευή, 1 Ιουνίου 21 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2
Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 11 Νοεμβρίου 2014 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2
Διαβάστε περισσότερα= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2
ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες. 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα
Κεφάλαιο 1 Βασικές Εννοιες 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα Συχνά στα µαθηµατικά µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε αν κάποια ϕαινόµενα που ισχύουν σε αριθµητικά συστήµατα ισχύουν σε ένα γενικότερο περιβάλλον,
Διαβάστε περισσότεραΤο Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING
Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n
Διαβάστε περισσότεραΔακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)
6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.
Διαβάστε περισσότεραΕ Μέχρι 18 Μαΐου 2015.
Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)
Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα. Στοιχεία από τη Θεωρία Οµάδων
Παράρτηµα I Στοιχεία από τη Θεωρία Οµάδων Ορισµός I.1. Ενα µη κενό σύνολο G λέγεται οµάδα (group) αν σε αυτό ορίζεται µία πράξη µε τις ακόλουθες ιδιότητες : : G G G, (a, b) ab α. Η πράξη είναι προσεταιριστική,
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΔακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.
Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραbca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}
Αλγεβρα Ι, Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Το [Α] συμβολίζει το φυλλάδιο ασκήσεων που θα βρείτε στην ιστοσελίδα του μαθήματος επιλέγοντας «Άλλες Ασκήσεις». 1. Πόσες
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Πρόγραμμα Langlands Γεώργιος Παπάς Μεταπτυχιακή Εργασία Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα, Αύγουστος 2016 Εισηγητής: Αριστείδης Κοντογεώργης Επιτροπή Ιωάννης
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010
Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι
Διαβάστε περισσότεραG = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n
236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην
Διαβάστε περισσότεραΗ ομάδα Galois τής F(t)/F και το Υπόσωμα σταθερών Στοιχείων τής F(t)/F
Η ομάδα Galois τής F(t)/F και το Υπόσωμα σταθερών Στοιχείων τής F(t)/F Νίκος Μαρμαρίδης 23 Ιανουαρίου 2017 Π Έστω ότι F είναι ένα σώμα, ότι F [t] είναι ο πολυωνυμικός δακτύλιος στη μεταβλητή t και ότι
Διαβάστε περισσότεραf(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )
302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραs G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha.
Αλγεβρα ΙΙ Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Ομάδες-Πηλίκο: Κρατήσαμε σταθερή μια ομάδα G με ταυτοτικό το ι και μια υποομάδα H της G. Συμβολίσαμε με G 1 το G/H (το σύνολο των αριστερών συμπλόκων
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα. Ενότητα: Βάσεις Groebner. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Βάσεις Groebner Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραto Modern Number Theory των Kenneth Ireland και Michael Rosen, GTM 84, Springer - Verlag, New York 1982.
Αθροισµατα Gauss και Jacobi και Εφαρµογες Κατερίνα Κούτα Πτυχιακή Εργασία Παρουσιάσθηκε στις 15-11-2004 Επιβλέπων Καθηγητής ΝΓ Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης Φθινοπωρινό εξάµηνο 2004
Διαβάστε περισσότεραΑριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης
Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους
Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου
Διαβάστε περισσότερα2
ήµητρα Χαµηλάκη ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΙΟΦΑΝΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Πτυχιακή Εργασία Παρουσιάσθηκε στις 22-6-2000 Επιβλέπων Καθηγητής ΝΓ Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση
Διαβάστε περισσότεραΣτο εδάφιο αυτό ϑα περιγράψουµε τα τρία ϐασικά ϑέµατα που ϑα µας απασχολήσουν σε αυτό το κείµενο :
Κεφάλαιο 1 Βασικές Εννοιες Στο Κεφάλαιο αυτό δίνουµε τις απαραίτητες προκαταρτικές γνώσεις από τη ϑεωρία πολυωνύµων και τη ϑεωρία σωµάτων που απαιτούνται για τα επόµενα κύρια κεφάλαια. Στο Εδάφιο 1.1 παρουσιάζουµε
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi06/asi06.html Πέµπτη Απριλίου 06 Ασκηση. Θεωρούµε τα
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ
ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα
Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 3 1.1 Μάθημα 1..................................... 3 1.1.1 Στοιχεία αλγεβρικής θεωρίας....................... 4 1.2 Μάθημα 2.....................................
Διαβάστε περισσότεραοµή οµάδας σε Ελλειπτικές Καµπύλες
οµή οµάδας σε Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 18 Νοεµβρίου 2014, 1/24 Ο προβολικός χώρος Εστω K ένα σώµα. Στον χώρο K n+1 {0,..., 0} ορίζουµε την σχέση
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3
Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,
Διαβάστε περισσότεραa = a a Z n. a = a mod n.
Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλυτέρου βαθμού 4.1 Εξίσωση τετάρτου
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. ράση οµάδας. 5.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες. i. g 1 (g 2 α) = (g 1 g 2 ) α, g 1, g 2 G, α A
Κεφάλαιο 5 ράση οµάδας Από τον ορισµό της οµάδας συµµετρίας, S(X), ενός συνόλου Χ και ιδιαίτερα όταν το Χ είναι ένα γεωµετρικό σχήµα στον διδιάστατο ή τριδιάστατο χώρο διαπιστώνουµε ότι η οµάδα S(X) «δρα»
Διαβάστε περισσότεραΔακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)
11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το
Διαβάστε περισσότερα,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου
Διαβάστε περισσότερα(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =
ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο
Διαβάστε περισσότεραΟµάδες Κοτσίδων και δράσεις της απόλυτης οµάδας Galois
Οµάδες Κοτσίδων και δράσεις της απόλυτης οµάδας Galois Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. Συνέδριο Αλγεβρας Θεσσαλονίκη 2-3 Μαΐου 2014 Η παρούσα έρευνα έχει συγχρηµατοδοτηθεί
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Διαβάστε περισσότερα