Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Transcript

1 Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί, καθώς και οµάδες µικρής τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq Εστω G µία οµάδα τάξης p 2, όπου p είναι πρώτος ϕυσικός αριθµός. Από το Πόρισµα γνωρίζουµε ότι η G είναι αβελιανή και από τα Θεωρήµατα και προκύπτει ότι οι µη ισόµορφες οµάδες τάξης p 2 είναι οι : Z p 2 και Z p Z p. Προκειµένου να εξετάσουµε τις οµάδες τάξης pq, αρκεί να περιοριστούµε στην περίπτωση που p και q είναι διακεκριµένοι πρώτοι. Εστω, λοιπόν, G = pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι ϕυσικοί αριθµοί. Χωρίς περιορισµό της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι p > q. Σύµφωνα µε τα Θεωρήµατα Sylow υπάρχει στοιχείο α G µε ord(α) = q και στοιχείο β G µε ord(β) = p. Η οµάδα β είναι µία Sylow p-υποοµάδα και οι συζυγείς της είναι πλήθους N p = (1 + kp) q µε k 0. Οµως p > q, άρα k = 0 και υπάρχει µία µόνον υποοµάδα της G τάξης p. Από το Πόρισµα προκύπτει ότι αυτή οφείλει να είναι κανονική, εποµένως β G. Οµοια υπάρχουν 1 + λq πλήθους συζυγείς υποοµάδες της α, για κάποιον λ N. Ακόµη (1 + λq) p. Επειδή ο p είναι πρώτος διακρίνουµε δύο περιπτώσεις : i. 1 + λq = 1 ii. 1 + λq = p. 201

2 202 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων i. Αν 1 + λq = 1, τότε λ = 0 και υπάρχει µοναδική Sylow p-υποοµάδα της G και εποµένως α G. Τότε για τις κανονικές υποοµάδες α και β της G ισχύει α β G (ϐλ. Πρόταση ). Ακόµη α β = {e}, αφού α = q, β = p, p q και η α β διαιρεί το p και το q. Εποµένως α β α β (ϐλ. Πρόταση 4.2.5), δηλ. α β = G, και συνεπώς G = α β α β = (α, β), αφού ( α, β ) = (p, q) = 1, (ϐλ. Πρόταση 2.2.7). Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι στην περίπτωση i) η οµάδα G είναι κυκλική. ii. Εστω, τώρα, ότι ισχύει 1 + λq = p, για λ > 0 ισοδύναµα p 1modq. Τότε η α δεν είναι κανονική υποοµάδα της G. Αφού β G, έπεται ότι α 1 βα β. Επίσης ord(α 1 βα) = ord(β) = p (ϐλ. Πρόταση 2.2.4). Άρα α 1 βα = β r, για 1 r p 1, διότι όλα τα µη τετριµµένα στοιχεία της β έχουν τάξη p (ϐλ. Πρόταση 2.2.5,i). Αν r = 1, τότε α 1 βα = β, δηλ αβ = βα και η οµάδα G είναι αβελιανή. Τότε, όπως προηγουµένως, συµπεραίνουµε ότι G α β και η G είναι κυκλική, δηλ. ϐρίσκουµε την περίπτωση i). Άρα οφείλουµε να εξετάσουµε τις περιπτώσεις που r 1, δηλ. r / 1modp. Είναι εύκολο ο αναγνώστης να αποδείξει επαγωγικά ως προς k ότι Τότε για k = q, έχουµε ότι (ϐλ. Πρόταση ii). Καταλήγουµε έτσι στο επόµενο. α k βα k = β rk, k N. β = β rq r q 1modp Θεώρηµα Εστω p, q διακεκριµένοι πρώτοι ϕυσικοί αριθµοί µε p > q. Τότε υπάρχουν ακριβώς δύο µη ισόµορφες οµάδες τάξης pq. i. Η κυκλική οµάδα αν p / 1modq. Z pq Z p Z q

3 Κεφάλαιο 9 Εδάφιο 9.2 Οµάδες τάξης ii. Η οµάδα α, β α q = e = β p, α 1 βα = β r, r / 1modp, r q 1modp αν p 1modp. Ειδικές περιπτώσεις i. Οµάδες τάξης 6 Σύµφωνα µε το Θεώρηµα υπάρχουν δύο µη ισόµορφες οµάδες τάξης 6: α) η Z 6 Z 2 Z 3 µε αναλλοίωτο παράγοντα το 6. ϐ) α, β α 2 = e = β 3, αβα = β 2 S 3 D 2 3 (ϐλ. άσκηση ) ii. Οµάδες τάξης 10 Σύµφωνα µε το Θεώρηµα υπάρχουν δύο ακριβώς οµάδες τάξης 10: α) η κυκλική Z 10 Z 2 Z 5 ϐ) η διεδρική D 2 5 iii. Οµάδες τάξης 14 Σύµφωνα µε το Θεώρηµα υπάρχουν δύο ακριβώς οµάδες τάξης 14: α) η κυκλική Z 14 Z 2 Z 7 ϐ) η διεδρική D 2 7 iv. Οµάδες τάξης 15 Επειδή 5 / 1mos3 έπεται από το Θεώρηµα ότι υπάρχει ακριβώς µία µόνον οµάδα τάξης 15 µε προσέγγιση ισοµορφίας η κυκλική Z 15 Z 3 Z Οµάδες τάξης 8 Ας ξενικήσουµε µε τις αβελιανές οµάδες τάξης 8. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα οι αβελιανές οµάδες τάξης 8 είναι τρεις όσες οι προσθετικές αναλύσεις του 3: Z 8, Z 2 Z 2 Z 2, Z 2 Z 4. Στη συνέχεια υπολογίζουµε τις µη ισόµορφες µη αβελιανές οµάδες τάξης 8. Οι δυνατές τάξεις στοιχείων µίας οµάδας G τάξης 8 είναι : 1,2,3 και 8. Αν

4 204 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων υπάρχει στοιχείο τάξης 8 στην G, τότε αυτή είναι κυκλική, δηλ. αντιµεταθετική. Επίσης αν όλα τα στοιχεία α e της G έχουν τάξη 2, τότε η G είναι αβελιανή. Άρα προκειµένου να ϐρούµε τις µη αβελιανές οµάδες τάξης 8, αρκεί να περιοριστούµε στην περίπτωση που υπάρχει στοιχείο τάξης 4. Εστω, λοιπόν, α G και ord(α) = 4. Τότε [G α ] = 2 και α G (ϐλ. Πρόταση 3.2.5). Ακόµη G = α α β και G/ α = { α, α β}, για κάποιο στοιχείο β α (ϐλ. Πρόταση 3.1.4). Παρατηρούµε ότι, αφού η G/ α έχει τάξη δύο, τότε β 2 α. Επειδή α = {e, α, α 2, α 3 } = α 3, έπεται ότι ord(β 2 ) = 2 ή 4. Αν ord(β 2 ) = 4, δηλ. β 2 = α ή β 2 = α 3, τότε ord(β) = 8 και G = β. Αυτό αποκλείεται αφού η περίπτωση των αβελιανών οµάδων έχει αντιµετωπιστεί. Εποµένως ord(β 2 ) = 2 και αφού β 2 α έπεται ότι β 2 = e ή β 2 = α 2. (9.2.1) Το γεγονός ότι α G µας οδηγεί στη σχέση β 1 αβ α και, επειδή ord(α) = ord(β 1 αβ) (ϐλ. Πρόταση 2.2.4), έπεται ότι β 1 αβ = α ή β 1 αβ = α 3. Αν β 1 αβ = α, τότε αβ = βα, οπότε η G είναι αβελιανή οµάδα. Ετσι η µόνη σχέση που αφορά τις µη αβελιανές οµάδες είναι η β 1 αβ = α 3 (9.2.2) Από τις σχέσεις και προκύπτουν οι δυνατές παραστάσεις των µη αβελιανών οµάδων τάξης 8: i. α, β α 4 = e = β 2, β 1 αβ = α 3 D 2 4 και ii. α, β α 4 = e, α 2 = β 2, β 1 αβ = α 3 Q (ϐλ. εδάφιο 3.4). Οι ισοµορφισµοί αυτοί, όπως είδαµε, προκύπτουν ότι από τον τρόπο που πολλαπλασιάζονται τα στοιχεία των οµάδων. Ετσι δηµιουργούµε τον πίνακα Cayley της D 2 4 και της Q. Ετσι καταλήγουµε στο επόµενο συµπέρασµα. Θεώρηµα Οι οµάδες τάξης 8 µε προσέγγιση ισοµορφίας είναι οι : i. οι αβελιανές οµάδες : Z 8, Z 2 Z 4, Z 2 Z 2 Z 2, ii. οι µη αβελιανές : D 2 4, Q 8.

5 Κεφάλαιο 9 Εδάφιο 9.3 Οµάδες τάξης Οµάδες τάξης 12 Από το Θεώρηµα γνωρίζουµε ότι οι αβελιανές οµάδες τάξης 12 είναι οι : Z 3 Z 4 Z 12, Z 2 Z 2 Z 3 Z 2 Z 6. Θα ασχοληθούµε στη συνέχεια µε τις µη αβελιανές οµάδες τάξης 12. Εστω G µίας τέτοια οµάδα, Η µία 2-Sylow υποοµάδα της G και Κ µία 3-Sylow υποοµάδα της G. Από το Παράδειγµα γνωρίζουµε ότι ή H G ή K G. Η περίπτωση και οι δύο οµάδες Η και Κ να είναι κανονικές µας οδηγούν σε αβελιανές οµάδες (ϐλ. Θεώρηµα και Πρόταση 4.1.3). Αν H G, τότε i. HK < G (ϐλ. Πρόταση 3.1.2) ii. H K = {e} λόγω του Θεωρήµατος Lagrange iii. HK = G άρα η G = H K (ϐλ. Ορισµός 7.2.3) Οµοια αν K G, τότε G = K H. Εποµένως σε κάθε περίπτωση η G είναι ηµιευθύ γινόµενο υποοµάδων της. Συγκεκριµένα της Z 2 µέσω της Κ και της Κ µεσω της Z 2 όπου K Z 2 Z 2. Θα αποδείξουµε δύο χρήσιµες προτάσεις. Πρόταση Η οµάδα A 4 είναι η µοναδική υποοµάδα της S 4 µε τάξη 12. Απόδειξη Εστω H < S 4 µε H = 12, τότε [S 4 H] = 2 και εποµένως H S 4. Επειδή H = η οµάδα Η έχει στοιχείο τάξης 3 και στοιχείο τάξης 2. Από το Παράδειγµα κάθε στοιχείο της S 4 τάξης 3 είναι 3-κύκλος και ακόµη αν η Η περιέχει έναν 3-κύκλο ϑα περιέχει, ως κανονική υποοµάδα, όλα τα συζυγή του δηλ. όλους τους 3-κύκλους (ϐλ. Πρόταση ), πλήθους 8. Συνεπώς η Η έχει τουλάχιστον 9 στοιχεία. Ανάλογα να η Η περιέχει ένα στοιχείο δύο µε δοµή ( ), τότε ϑα περιέχει όλους τους 2-κύκλους που είναι πλήθους 6. Ετσι, όµως, η Η ϑα έχει τουλάχιστον 15 στοιχεία που είναι αδύνατον. Άρα η Η περιέχει ένα στοιχείο τάξης 2 µε δοµή ( )( ) και ϐέβαια όλα τα στοιχεία της ίδιας δοµής, που είναι πλήθους 3. Τότε η Η περιέχει 12 στοιχεία και ακριβώς όλες τις άρτιες µεταθέσεις της S 4, εποµένως H = A 4. Πρόταση Αν µία οµάδα τάξης 12 δεν είναι ισόµορφη µε την A 4, τότε έχει ένα στοιχείο τάξης 6.

6 206 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Απόδειξη Εστω G µία οµάδα τάξης 12 τέτοια ώστε G / A 4 και K = {e, α, α 2 } µία 3-Sylow υποοµάδα της. Εστω X = {xk x G}, αφού [G K] = 4, έπεται ότι X = 4. Θεωρούµε τη δράση G K X, (g, xk) gxk και την παράσταση στη G µε µετασχηµατισµούς (ϐλ. άσκηση 5.1.8). Τότε π G S X S 4 Kerπ = gkg 1 K. (9.3.1) g G Άρα Kerπ = 1 ή 3. Αν Kerπ = 1, τότε η π είναι µονοµορφισµός και G S 4. Αυτό είναι αδύνατον από την υπόθεση για την G. Άρα Kerπ = 3 και συνεπώς Kerπ = K, λόγω της Τότε η K ως πυρήνας οµοµορφισµού είναι κανονική υποοµάδα της G, δηλ. η K είναι η µοναδική 3-Sylow υποοµάδα της G και συνεπώς τα α και α 2 είναι τα µόνα στοιχεία της G µε τάξη 3. Εστω, τώρα, C G (α) ο κεντροποιητής του α στην G, τότε [G C G (α)] είναι το πλήθος των συζυγών του α (ϐλ. Θεώρηµα ) που αναγκαστικά ανήκουν στην K γιατί K G. Άρα [G C G (α)] = 1 ή 2, αφού K = 3, συνεπώς C G (α) = 12 ή 6. Στην υποοµάδα C G (α), από τα Θεωρήµατα του Sylow, υπάρχει στοιχείο, έστω β, τάξης 2 και ακόµα αβ = βα. Από την Πρόταση έπεται ότι ord(αβ) = 6, άρα η G έχει στοιχείο τάξης 6. Από τη Απόδειξη της Πρότασης προκύπτουν τα ακόλουθα. Πόρισµα Αν G είναι µία οµάδα τάξης 12 και G A 4, τότε η G έχει µία κανονική Sylow 3-υποοµάδα. Πόρισµα Εστω G µία οµάδα τάξης 12. Αν έχει µία κανονική Sylow 2-υποοµάδα Η, τότε είναι ισόµορφη µε την A 4 και αναγκαστικά H Z 2 Z 2. Θα εξετάσουµε, τώρα, τις µη ισόµορφες µε την A 4 οµάδες τάξης 12. Εστω G µία τέτοια οµάδα. Τότε η G έχει µία κανονική Sylow 3-υποοµάδα K = < y y 3 = e >= {e, y, y 2 }. Εστω ακόµη Η µία Sylow 2-υποοµάδα της G. Η οµάδα Η δρα στην Κ ως εξής : και ορίζεται ο οµοµορφισµός οµάδων H K K, (h, k) hkh 1 ϕ H Aut(K), h ϕ h, (9.3.2)

7 Κεφάλαιο 9 Εδάφιο 9.3 Οµάδες τάξης όπου ϕ h (k) = hkh 1. Οµως, η οµάδα Aut(K) έχει δύο στοιχεία, αφού K = 3, την ταυτότητα ϕ h K K, k k και την απεικόνιση ϕ h K K, k k2, όπου k K, ϐλ. Πρόταση 2.3.5, ii) και Ασκήσεις και 17. Αν ϕ h (k) = k, k K, τότε hkh 1 = k, δηλ. hk = kh και η G είναι αναγκαστικά αβελιανή. Οπότε η µόνη δυνατή περίπτωση που µένει είναι η δηλ. ϕ h (y) = y 2, hyh 1 = y 2, e h H. (9.3.3) Η οµάδα Η µπορεί να είναι κυκλική ή µη κυκλική. περίπτωση που η Η είναι κυκλική, δηλ. Εξετάζουµε την H = < x x 4 = e >= {e, x, x 2, x 3 }. (9.3.4) τότε από τις σχέσεις (9.3.3) και (9.3.4) τα στοιχεία της G ικανοποιούν τις σχέσεις x 4 = e, y 3 = e, xyx 1 = y 2. Είναι εύκολο να δούµε ότι η είναι οµάδα και εποµένως < x, y x 4 = e = y 3, xyx 1 = y 2 > G =< x, y x 4 = e = y 3, xyx 1 = y 2 > (9.3.5) είναι η οµάδα τάξης 12 που είναι ηµιευθύ γινόµενο K H, για την κυκλική οµάδα Η. Εστω, τώρα, ότι η Η είναι µη κυκλική, οµάδα τάξης 4, δηλ. H =< z, w z 2 = w 2 = (zw) 2 = e >= {e, z, w, zw}. Τότε η συνάρτηση ϕ στη σχέση (9.3.2) έχει πυρήνα µία υποοµάδα τάξης 2, αφού η G είναι µία µη αβελιανή οµάδα και H = 4, ενώ Aut(K) = 2. Εστω Kerϕ =< w >, τότε ϕ w (y) = y, ενώ ϕ z (y) = y 2. Άρα τα στοιχεία των οµάδων Η,Κ ικανοποιούν τις σχέσεις z 2 = w 2 = e, zw = wz, wyw 1 = y, και zyz 1 = y 2.

8 208 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Οπότε ord(wy) = 6 και zxz 1 = zwyz 1 = wy 2 = y 2 w = (wy) 1. Άρα τα στοιχεία της G ικανοποιούν τις σχέσεις (wy) 6 = e, z 2 = e. z(wy)z 1 = (wz) 1 ϑέτουµε wz = α και έχουµε τις σχέσεις Άρα η α 6 = e, z 2 = e, zαz = α 1. G =< α, z α 6 = e = z 2, zαz [ 1] = α 5 >, οπότε η G D 2 6. Καταλήγουµε έτσι στο ακόλουθο. Θεώρηµα Οι µη ισόµορφες οµάδες τάξης 12 είναι οι ακόλουθες : i. οι αβελιανές : Z 12, Z 2 Z 6, ii. οι µη αβελιανές : A 12, D 2 6, και < x, y x 4 = e = y 3, xyx 1 = y 2 >.