ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Transcript

1 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ. Μ. Παλαιστή. Επεξεργάστηκαν και συµπληρώθηκαν στη παρούσα µορή από την διδάσκουσα. Τανυστικο γινοµενο ΙΙ Στην προηγούµενη διάλεξη αναέραµε, ότι αν M, N είναι R-modules τότε ένα R-module M R N, δηλαδή ένα R-module που ικανοποιεί τη καθολική ιδιότητα του τανυστικού γινοµένου υπάρχει. Στη συνέχεια αποδεικνύουµε τη µοναδικότητα του τανυστικού γινοµένου. Θεώρηµα 1. Το R-module M R N είναι µοναδικό µε προσέγγιση ισοµορίας. Απόδειξη. Εστω ότι τα R-modules, ικανοποιούν την καθολική ιδιότητα απεικόνισης για το τανυστικό γινόµενο µαζί µε τις αντίστοιχες διγραµµικές συναρτήσεις :, :. Θα δείξουµε ότι υπάρχει ισοµορισµός R-modules. Από την υπόθεση προκύπτει ότι αν : είναι διγραµµική, τότε υπάρχουν R-οµοµορισµοί : και ψ : έτσι ώστε τα παρακάτω διαγράµµατα να είναι αντιµεταθετικά :! 1 M N!ψ 1. Προκύπτει λοιπόν η ύπαρξη µοναδικών οµοµορισµών : και ψ :, έτσι ώστε τα παρακάτω διαγράµµατα να είναι αντιµεταθετικά : 2 M N ψ 1 Η αντιµεταθετικότητα του αριστερού διαγρµάµµατος σηµαίνει ότι =, ενώ η αντιµεταθετικότητα του δεξιού διαγρµάµµατος σηµαίνει ότι ψ =. Θα δείξουµε ότι είναι ισοµορισµός αποδεικνύοντας ότι ψ = id και ψψ = id. Πράγµατι, προκύπτει εύκολα η αντιµεταθετικότητα του αριστερού διαγράµµατος, και άρα και του 1

2 2 Χ. ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ισοδύναµου δεξιού που παραπέµπει στη καθολική ιδιότητα του τανυστικού γινοµένου : ψ 2 ψ Οµως id 2 : είναι επίσης αντιµεταθετικό. Η µοναδικότητα του διαγώνιου οµοµορισµού αναγκάζει ψ = id. Οµοίως ψ = id. Από εδώ και στο εξής, ϑα συµβολίζουµε µε m n το στοιχείο (m, n) όπου : M R N είναι η διγραµµική συνάρτηση του τανυστικού γινοµένου. Θεώρηµα 2. Το R-module M R N παράγεται από τα στοιχεία m n : m M, n N. Ενα τυχαίο στοιχείο του M R N είναι της µορής m 1 n m l n l όπου m i M, n i N και l N. Απόδειξη. Εστω := m n : m M, n N. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι είναι υπο-module του M R N. Εστω :, (m, n) = m n. Είναι άµεσο ότι είναι διγραµµική. Είναι επίσης πολύ εύκολο να δει κανείς ότι αν : διγραµµική και : M R N είναι ο R-οµοµορισµός του τανυστικού γινοµένου, τότε το διάγραµµα 2 είναι αντιµεταθετικό. Οπως στο προηγούµενο ϑεώρηµα, έπεται ότι i : M R N, m n m n είναι ισοµορισµός. Εποµένως = M R N. Παράδειγµα 1. Θα δείξουµε ότι Z 2 Z Z 3 = 0. Πράγµατι, αρκεί να δείξουµε ότι κάθε διγραµµική : Z 2 Z 3 είναι η µηδενική συνάρτηση. Τότε το παρακάτω διάγραµµα πληρεί τις προυποθέσεις του ορισµού του τανυστικού γινοµένου : Z 2 Z 3 0 Η είναι όντως µηδενική, όπως προκύπτει εύκολα από τις ιδιότητες της διγραµµικής συνάρτησης : (1, a) = (3 1, a) = (1, 0) = 0. Θεώρηµα 3. Εστω I, J ιδεώδη του R. Τότε R/I R R/J R/(I + J). Απόδειξη. Εστω : R/I R/J R/(I + J) µε (r + I, s + J) rs + (I + J). Ελέγχουµε ότι είναι καλά ορισµένη : αν r 1 + I = r 2 + I r 1 r 2 I (r 1 r 2 )s I I + J r 1 s r 2 s I + J r 1 s + I + J = r 2 s + I + J. Ο έλεγχος ότι είναι διγραµµική είναι εύκολος. Εστω τώρα ότι : R/I R/J διγραµµική συνάρτηση. Θέτουµε

3 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 3 : R/(I + J), r + (I + J) r(1 + I, 1 + J). Είναι εύκολο να δούµε ότι είναι καλά ορισµένη συνάρτηση, οµοµορισµός R-modules και µάλιστα ο µοναδικός οµοµορισµός που ϑα κάνει το παρακάτω διάγραµµα αντιµεταθετικό : R/I R/J R/(I + J) (Για την µοναδικότητα παρατηρούµε ότι η αντιµεταθετικότητα του διαγράµµατος ορί- Ϲει ότι (1 + I, 1 + J) = (1 + I, 1 + J).) Παράδειγµα 2. Ως εαρµογή του ϑεωρήµατος, και αού 2Z + 3Z = Z προκύπτει ότι Z/2Z Z/3Z Z/(2Z + 3Z) = Z/Z = 0 Το επόµενο ϑεώρηµα είναι γενίκευση του προηγουµένου : Θεώρηµα 4. Εστω I ιδεώδες του R, M ένα R-module. Τότε M R R/J M/JM. Απόδειξη. (Σκίτσο) Εστω : M R/J M/JM, (m, r + J) rm + JM. Η είναι διγραµµική συνάρτηση. Αν : M R/J διγραµµική, τότε : M/JM, (m + JM) = (m, 1 + JM) είναι ο οµοµορισµός που απαιτείται στον ορισµό του τανυστικού γινοµένου. Παράδειγµα 3. Θα δείξουµε ότι το Θεώρηµα 3 είναι ειδική περίπτωση του προηγού- µενου ϑεωρήµατος, όταν M = R/I. Πράγµατι, αού J(R/I) = J +I/I, από το Θεώρηµα 4 προκύπτει ότι : R/I R/J (R/I)/(J(R/I)) = (R/I)/(I + J)/I R/(I + J). Παρατήρηση 1. Εστω ότι M, N 1, N 2 είναι R-modules και έστω N 1 N 2, R- οµοµορισµός. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι η συνάρτηση : 1 M N 2, (m, n) m (n) είναι διγραµµική. Σύµωνα µε τη καθολική ιδιότητα απεικόνισης έπεται ότι υπάρχει µοναδικός οµοµορισµός : M R N 1 M N 2 έτσι ώστε το παρακάτω διάγραµµα να είναι αντιµεταθετικό : 1 M N 1 M N 2 Η αντιµεταθετικότητα σηµαίνει ότι (m n) = m (n). Ο οµοµορισµός ϑα συµβολίζεται στο εξής µε id M. Στη γλώσσα της οµολογικής άλγεβρας, λέµε ότι M R είναι ένας τελεστής από την κατηγορία των R-modules στην κατηγορία των R-modules. Ασκηση 1. Αν ο : N 1 N 2 είναι ισοµορισµός R-modules, τότε να αποδείξετε ότι ο id M : M R N 1 M R N 2 είναι ισοµορισµός R-modules. Θεώρηµα 5. Εστω M, N 1, N 2, R-modules. Τότε M R (N 1 N 2 ) (M R N 1 ) (M R N 2 ). Απόδειξη. (Σκίτσο) Η συνάρτηση : M (N 1 N 2 ) M N 1 M N 2, (m, (n 1, n 2 )) (m n 1, m n 2 ) είναι διγραµµική. Εστω : M (N 1 N 2 ) διγραµµική συνάρτηση. Τότε υπάρχει οµοµορισµός : (M R N 1 ) (M R N 2 ), έτσι ώστε ((m n 1 ), (m n 2 )) (m, n 1 )+(m, n 2 ). Ο οµοµορισµός είναι ο οµοµορισµός που απαιτείται στον ορισµό του τανυστικού γινοµένου.

4 4 Χ. ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ Ασκηση 2. Εστω A κάποιο σύνολο δεικτών, N i : i A, R-modules. Θα συµβολίσουµε µε N i το ευθύ άθροισµα των N i και µε N i το ευθύ γινόµενο των N i. Εστω M ένα R-module. Να αποδείξετε ότι M R ( i A N i ) i A (M N i ). Εστω B το ευθύ γινόµενο των αβελιανών οµάδων Z/(2 n Z) όπου n Z +. Να δείξετε ότι Z Z/(2 n Z) Z Z/(2 n Z). i Z + i Z + Συµβολίζουµε µε R n το R module R } {{... R }. n φορές Θεώρηµα 6. Εστω ότι R n R l. Τότε n = l. Απόδειξη. Εστω m µέγιστο ιδεώδες του R. Παρατηρούµε ότι R n R R/m ( n i=1 R) R R/m n i=1(r R R/m) (R/m) n. Οµοίως R l R R/m (R/m) l. Εχουµε, λοιπόν, ότι ο διανυσµατικός χώρος (R/m) n διάστασης n και ο διανυσµατικός χώρος (R/m) l διάστασης l είναι ισόµοροι. Άρα n = l. Παρατηρήσεις 1. (1) Το παραπάνω ϑεώρηµα δεν ισχύει αν ο δακτύλιος δεν είναι αντιµεταθετικός. Πράγµατι αν A είναι ο δακτύλιος A = Hom Z ( N Z, N Z) τότε µπορεί να δείξει κανείς ότι A A 2. (2) Είναι χρήσιµο να αναρωτηθούµε γιατί η απόδειξη του παραπάνω ϑεωρήµατος ισχύει µόνο για αντιµεταθετικούς δακτυλίους και εάν η κατηγορία των δακτυλίων για τους οποίους ισχύει το ϑεώρηµα είναι ενδιαέρουσα. (3) Στην γλώσσα της οµολογικής άλγεβρας οι τελεστές Hom R (M, ) και M R είναι δυικοί. Στο επόµενο παράδειγµα, ϑα δείξουµε ότι ο δακτύλιος πάνω από τον οποίο παίρνουµε το τανυστικό γινόµενο, επηρεάζει δραµατικά το αποτέλεσµα. Παράδειγµα 4. Εστω k σώµα και R = k[x]. Αού : R R R R, r s rs είναι ισοµορισµός, είναι άµεσο ότι k[x] k[x] k[x] k[x], όπου (x) (x) (x)(x). Μπορούµε να σκετούµε το k[x] και ως k-module. Η συνάρτηση h : k[x] k[x] k[x], ( (x), (x)) (x)(x) παραµένει k-διγραµµική. Επίσης η συνάρτηση θ : k[x] k[x] k[x, y], ( (x), (x)) (x)(y) είναι και αυτή k-διγραµµική. Οµως δεν υπάρχει µοναδικός οµοµορισµός k[x] k[x, y] που να κάνει το παρακάτω διάγραµµα αντιµεταθετικό : h k[x] k[x] k[x] θ k[x, y] Επεται ότι k[x] k k[x] k[x]. Ασκηση 3. Να δείξετε ότι k[x] k k[x] k[x, y].

5 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 5 Ακριβεις Ακολουθιες Ορισµός 1. Εστω 0 A B C 0 µία ακολουθία από R-modules A, B, C και R-οµοµορισµούς,. Η ακολουθία αυτή λέγεται ϐραχεία ακριβής ακολουθία εάν είναι ακριβής σε κάθε σηµείο. Αυτό σηµαίνει ότι : Ker = 0, Im = Ker, Im = C. Παραδείγµατα 1. Η ακολουθία 0 Z Z Z/2Z 0, όπου (m) = 2m, (m) = m +2Z = m είναι ϐραχεία ακριβής ακολουθία. Εστω µονοµορισµός. Η ακολουθία 0 A B π B/ Im 0 όπου π ο κανονικός επιµορισµός (π(b) = b + Im ), είναι ϐραχεία ακριβής ακολουθία. Εστω : B C επιµορισµός. Η ακολουθία 0 Ker i B C 0 είναι ϐραχεία ακριβής ακολουθία. Είδαµε προηγουµένως ότι 0 Z 2 Z π Z 2 0 είναι ϐραχεία ακριβής ακολουθία. Θα µελετήσουµε την ακολουθία που προκύπτει παίρνοντας το τανυστικό γινόµενο σε κάθε ϐήµα µε το Z 2 : 2 id Z2 0 Z Z 2 π id Z2 Z Z2 Z2 Z 2 0 Η ακολουθία αυτή δεν είναι ϐραχεία ακριβής γιατί ο πρώτος οµοµορισµός 2 id Z2 δεν είναι µονοµορισµός : 2 id Z2 (m 1) = 2m 1 = m 0 = 0.