Στατική Υπερωθητική Ανάλυση με την Μέθοδο των Δυνάμεων Pushover Analysis by the Force Method

Transcript

1 3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 2008 Άρθρο 2104 Στατική Υπερωθητική Ανάλυση με την Μέθοδο των Δυνάμεων Pushover Analysis by the Force Method Κωνσταντίνος Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ 1, Θεόδωρος Ν. ΠΑΤΣΙΟΣ 2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Η στατική υπερωθητική (pushover) ανάλυση ελαστικών-ιδεωδώς πλαστικών ραβδωτών φορέων χρησιμοποιείται από τους μηχανικούς ώστε να λάβουν μια εκτίμηση του σεισμικού φορτίου, του μηχανισμού κατάρρευσης και της πλαστιμότητας των πλαισιωτών κατασκευών. Η μέχρι σήμερα υπολογιστική της διαδικασία βασίζεται στην μέθοδο των μετακινήσεων. Η αλληλουχία ενεργοποίησης/απενεργοποίησης των πλαστικών αρθρώσεων περιγράφεται βήμα προς βήμα με την διαδοχική τροποποίηση του μητρώου δυσκαμψίας του φορέα. Στην παρούσα εργασία προτείνεται μια νέα αριθμητική διαδικασία που βασίζεται στην μέθοδο των δυνάμεων. Η υπόθεση ελαστικού-ιδεωδώς πλαστικού υλικού σε συνδυασμό με την συνθήκη συμβιβαστότητας και τις συνθήκες ισορροπίας, οδηγούν σε ένα πρόβλημα τετραγωνικού προγραμματισμού, το οποίο περιγράφει την συμπεριφορά της κατασκευής μεταξύ διαδοχικών καταστάσεων διαρροής της. Χρησιμοποιώντας ένα πλασματικό, μικρού μεγέθους διάνυσμα μεταβολής των εξωτερικών φορτίων, βρίσκεται εύκολα κάθε φορά η κατεύθυνση πάνω στην οποία κείται η λύση. Στη συνέχεια, προσδιορίζεται η ακριβής τιμή του μέτρου της μεταβολής των εξωτερικών φορτίων, υπό την απαίτηση για την ενεργοποίηση τουλάχιστον μίας νέας πλαστικής άρθρωσης. Η εν λόγω διαδικασία δεν απαιτεί καμία τροποποίηση σε κανένα από τα μητρώα του προβλήματος, ενώ -ένεκα της φύσης της διατύπωσής της- μπορεί άμεσα να λαμβάνει υπόψη και πιθανή τοπική αποφόρτιση, γεγονός που την καθιστά εξαιρετικά αποτελεσματική από υπολογιστικής άποψης. Abstract: Pushover analysis is a nonlinear static procedure in which the magnitude of the structural loading is incrementally increased using a proportional load factor, in accordance with a certain predefined pattern. It is an attempt, by the structural engineering profession to evaluate the real strength of the structure, as well as an estimate of its ductility. This analysis is generally accomplished using the displacement method, following the successive evolution of the plastic hinges or local unloading, by re-building and re-decomposing the tangent stiffness matrix. In this work an approach based on the force method is presented. The formulation results to solving a quadratic programming (QP) problem between two successive plastic hinges. A novel numerical strategy is proposed to solve this problem using a fictitious proportional load factor. In this way a feasible direction on which the true solution lies may be established. This real solution is then found, simply on the demand of the formation of a new plastic hinge that is closest to open. No reformulation of any matrix and no provision for local unloading are needed, thus making the approach computationally efficient. An example of application is given. 1 Αναπληρωτής Καθηγητής, Τομέας Δομοστατικής, Σχολή Πολιτικών Μηχ/κών Ε.Μ.Π., kvspilio@central.ntua.gr 2 Διπλ. Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π., Απόφοιτος Δ.Π.Μ.Σ.-Δ.Σ.Α.Κ. Ε.Μ.Π., Αθήνα, tpatsios@otenet.gr

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο πιο διαδεδομένος τρόπος προσδιορισμού της φέρουσας ικανότητας μιας κατασκευής κάτω από σεισμικά φορτία είναι η στατική υπερωθητική (pushover) ανάλυση (ATC-40, 1996). Εφαρμόζεται μια κατανομή οριζόντιων φορτίων στους ακραίους κόμβους καθ ύψος της κατασκευής, η οποία επαυξάνεται σταδιακά μέχρι την κατάρρευση της κατασκευής ή μέχρι ενός προκαθορισμένου ορίου. Έτσι επιτυγχάνεται μια καλή εκτίμηση της αντοχής της κατασκευής, καθώς και της πλαστιμότητάς της. Η διαδικασία αυτή υπό την υπόθεση ελαστικής-ιδεωδώς πλαστικής συμπεριφοράς χρησιμοποιεί μια ακολουθία από ελαστικές αναλύσεις, οι οποίες επαλληλίζονται ώστε να προσεγγίσουν ένα διάγραμμα φέρουσας ικανότητας φορτίου-μετατόπισης (τέμνουσα βάσης μετακίνηση ακραίου κόμβου στην κορυφή του κτιρίου). Το μαθηματικό μοντέλο της κατασκευής τροποποιείται ώστε να μπορεί να λαμβάνει υπ όψιν την παραμένουσα αντοχή των στοιχείων που έχουν περάσει το όριο διαρροής τους. Όλα τα προγράμματα που πραγματοποιούν την εν λόγω πορεία ανάλυσης βασίζονται στην μέθοδο των μετακινήσεων, π.χ. (Prakash V. & Powel G.H., 1993). Μεταξύ διαδοχικών βημάτων υπολογισμού, προσδιορίζονται οι ενεργοποιούμενες/αποφορτιζόμενες πλαστικές αρθρώσεις με την συνεχή τροποποίηση και παραγοντοποίηση του μητρώου δυσκαμψίας. Κατά κανόνα, για τους μεταξύ διαδοχικών βημάτων υπολογισμούς, χρησιμοποιείται ένα προεπιλεγμένο βήμα επαύξησης των εξωτερικών φορτίων. Είναι γενικώς αποδεκτό ότι ο πιο φυσικός τρόπος για την διατύπωση του προβλήματος της ανάλυσης ελαστικών-ιδεωδώς πλαστικών πλαισίων είναι ο μαθηματικός προγραμματισμός (Maier, G., 1968). Παρέχει ένα ιδανικό μαθηματικό πλαίσιο ώστε να κωδικοποιήσει κανείς την συμπεριφορά της συγκεκριμένης κατηγορίας κατασκευών, να παρουσιάσει γνωστά θεωρήματα, καθώς και να διατυπώσει νέα. Επίσης, παρέχει αποτελεσματικά εργαλεία για τον υπολογισμό διαφόρων λύσεων. Είναι ορθώς αναγνωρισμένο ότι η μέθοδος των δυνάμεων είναι καταλληλότερη της μεθόδου των μετακινήσεων για τις εφαρμογές του μαθηματικού προγραμματισμού στην πλαστική ανάλυση των κατασκευών (Munro, J., 1979). Ωστόσο, η μέθοδος των μετακινήσεων έχει χρησιμοποιηθεί εκτενώς, λόγω της μεγάλης ευκολίας που παρουσιάζει η αυτοματοποίησή της. Το κυριότερο πρόβλημα με την αυτοματοποίηση της μεθόδου των δυνάμεων είναι ο τρόπος προ-επιλογής των υπερστατικών μεγεθών, τα οποία αποτελούν και τις ανεξάρτητες μεταβλητές του πρωτεύοντος προβλήματος. Η θεωρία των γράφων και η αναπαράσταση μιας κατασκευής μέσω ενός δικτύου βρόχων αποτελούν ένα μέσον προς την επίτευξη της αυτοματοποίησης. Αποδεικνύεται ότι, για έναν γράφο που κείται επί επιπέδου, υπάρχει ένας μοναδικός αριθμός ανεξάρτητων βρόχων. Ένας σχετικά εύκολος στον προγραμματισμό αλγόριθμος που σχηματίζει ένα σύνολο ανεξάρτητων μεταξύ τους βρόχων, χρησιμοποιώντας τεχνικές αναζήτησης της συντομότερης διαδρομής μεταξύ των άκρων του μέλους ενός δικτύου, παρουσιάζεται στην (Spiliopoulos, K.V., 1997). Αυτός ο αλγόριθμος έχει χρησιμοποιηθεί σε συνδυασμό με γραμμικό προγραμματισμό για τον βέλτιστο πλαστικό σχεδιασμό πλαισίων υπό σταθερής ή μεταβαλλόμενης φοράς εξωτερικά φορτία (βλ. Spiliopoulos, K.V., 1997 & Spiliopoulos, K.V., 1999). Στην παρούσα εργασία η υπερωθητική ανάλυση γίνεται με την εφαρμογή των αναλογικώς αυξανόμενων εξωτερικών φορτίων σε βήματα, τα οποία ορίζονται από τις διαδοχικές ενεργοποιήσεις/απενεργοποίησεις πλαστικών αρθρώσεων στην κατασκευή. Έτσι, σε κάθε βήμα ανάλυσης απαιτείται η επίλυση ενός προβλήματος τετραγωνικού προγραμματισμού. Προτείνεται μια αριθμητική στρατηγική, η οποία προσδιορίζει την κατεύθυνση επί της οποίας βρίσκεται η λύση για το εκάστοτε βήμα. Το μέτρο του διανύσματος της λύσης βρίσκεται στην συνέχεια, υπό την απαίτηση να σχηματίζεται κατ ελάχιστον μία νέα πλαστική άρθρωση. Είναι προφανές ότι σε σχέση με τη μέθοδο των μετακινήσεων υπάρχει μεγάλο υπολογιστικό όφελος, καθ ότι το βήμα επαύξησης της φόρτισης ποικίλλει, και δεν είναι σταθερό. Εξ άλλου 2

3 το μητρώο ευκαμψίας της κατασκευής προσδιορίζεται εφ άπαξ στην αρχή της διαδικασίας, και δεν απαιτείται καμία τροποποίησή του κατά της πορεία της ανάλυσης, ούτε στην περίπτωση ενεργοποίησης μιας νέας πλαστικής άρθρωσης, ούτε στην περίπτωση της αποφόρτισης μιας ήδη ενεργοποιημένης. Η διαδικασία τερματίζεται όταν ο αλγόριθμος του τετραγωνικού προγραμματισμού δεν συγκλίνει, γεγονός που σημαίνει ότι δεν δύναται να προσδιορισθεί στατικώς αποδεκτή λύση, και άρα έχουμε οδηγηθεί στο φορτίο και τον μηχανισμό κατάρρευσης. Ένα αριθμητικό παράδείγμα εφαρμογής θα παρουσιασθεί επίσης στο τέλος της παρούσας εργασίας. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Υποθέτουμε ότι ένα πλαίσιο που αποτελείται από ελαστικό-ιδεωδώς πλαστικό υλικό, υπόκειται σε ένα αναλογικά αυξανόμενο διάνυσμα εξωτερικών φορτίων, της μορφής: P in Pg = Pin γ P (1) όπου είναι μια κατάσταση αρχικής φόρτισης (π.χ. ίδια βάρη) και γ είναι μια αναλογικά αυξανόμενη παράμετρος φόρτισης που ελέγχει την περαιτέρω επαύξηση/μεταβολή των εξωτερικώς ασκούμενων φορτίων. Μετατρέποντας όλα τα φορτία σε συγκεντρωμένα και επικόμβια, κάθε μέλος της κατασκευής ορίζεται ως ένα ραβδωτό στοιχείο που δέχεται δύο ροπές κάμψης και μια αξονική δύναμη στα άκρα του. Σε μια απλοποιημένη πρώτη προσέγγιση, θα αμελήσουμε τις αξονικές δράσεις και τα αποτελέσματά τους (αξονικές παραμορφώσεις). Έτσι, η απόκριση του εκάστοτε ραβδωτού στοιχείου περιγράφεται από τις σχετικές ως προς την χορδή του στροφές που αναπτύσσονται στα άκρα του. Κάθε μια από τις σχετικές αυτές στροφές μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα μιας ελαστικής και μιας πλαστικής συνιστώσας (βλ. Σχήμα 1 ακολούθως): M 1 M L 2 θ 1,el θ 2,el θ 1,pl Σχήμα 1. Pοπές κάμψης και σχετικές στροφές στα άκρα ενός μέλους. Κάθε σχετική στροφή είναι το άθροισμα μιας ελαστικής και μιας πλαστικής συνιστώσας. θ 2,pl Έχοντας αμελήσει τις αξονικές παραμορφώσεις, το μητρώο ευκαμψίας για τις ελαστικές συνιστώσες των σχετικών (ως προς τον άξονα της χορδής αυτού) στροφών στα άκρα του μέλους, όταν πολλαπλασιαστεί επί το διάνυσμα των ροπών, αποδίδει: el θ L M1 = el θ (2) E I M 2 3

4 όπου «L» και «ΕΙ» είναι το μήκος του μέλους και η καμπτική δυσκαμψία του, αντίστοιχα. Αν ενώσουμε τα μητρώα ευκαμψίας όλων των μελών της κατασκευής σε ένα ενιαίο, διαγώνιας μορφής πίνακα F, μπορούμε να γράψουμε μια μητρωϊκή σχέση που συνδέει όλες τις ελαστικές στροφές και ροπές του ραβδωτού φορέα: θ el = F M (3) Ένεκα της μη-γραμμικής πλαστικής συμπεριφοράς, η λύση θα προκύψει σε διαδοχικά βήματα επαύξησης των εξωτερικών φορτίων. Στο τέλος κάθε τέτοιου βήματος, η επαύξηση των ασκούμενων (σεισμικών) φορτίων θα δημιουργεί μια μεταβολή των ροπών κάμψης, η οποία μπορεί να προσδιορισθεί χρησιμοποιώντας την περιγραφή μέσω της μεθόδου των δυνάμεων (ή αλλιώς της μεθόδου των βρόχων): Δ M= B XΔγ B Q (4) Ο πρώτος όρος της παραπάνω εξίσωσης περιγράφει τα εντατικά μεγέθη λόγω της υπερστατικότητας της κατασκευής. Με «Β» συμβολίζουμε έναν πίνακα που περιέχει τις τιμές εντατικών μεγεθών που προκαλούν τα μοναδιαία υπερστατικά μεγέθη στους βρόχους της κατασκευής (βλ. Spiliopoulos, K.V., 1997 & Spiliopoulos, K.V., 1999) και με «Χ» συμβολίζουμε το σύνολο υπερστατικών μεγεθών (τις ανεξάρτητες μεταβλητές του προβλήματος). Ο δεύτερος όρος εκφράζει την ισορροπία των εξωτερικών φορτίων σε ένα θεμελιώδη (στατικώς ορισμένο) φορέα, όπου με «Δγ» συμβολίζουμε την (επαυξητική) μεταβολή τους. Συγκεκριμένα, ο πίνακας «Β Ο» εκφράζει την κατανομή εντατικών μεγεθών που δημιουργείται στην κατασκευή από εξωτερικά φορτία μοναδιαίας τιμής, και «Q» είναι ένα μητρώο-στήλη μοναδιαίου μέτρου, το οποίο περιγράφει την κατεύθυνση μεταβολής των εξωτερικών φορτίων (βλ. Spiliopoulos, K.V., 1997 & Spiliopoulos, K.V., 1999). Οι μεταβολές στις σχετικές στροφές στα άκρα του κάθε μέλους θα δίνονται από την ακόλουθη σχέση: O el Δ θ=δ θ Δθ pl (5) Από την αρχή της στατικής-κινηματικής δυϊκότητας, οι ασυνέχειες Δθ της κατασκευής που αντιστοιχούν στα υπερστατικά μεγέθη συσχετίζονται με τον τρόπο που η υπερστατικότητα κατανέμει τις εντάσεις μέσα στο δόμημα (μητρώο Β), μέσω μιας συνθήκης συμπληρωματικότητας, της συνθήκης συμβιβαστού των παραμορφώσεων (η οποία διατυπώθηκε από τον James Clerk Maxwell): T B Δθ =0 (6) Η Εξίσωση 3 μπορεί να χρησιμοποιηθεί προκειμένου να υπολογίσουμε τις ελαστικές συνιστώσες της μεταβολής των σχετικών στροφών του κάθε μέλους. Συνδυάζοντας λοιπόν την Εξίσωση 3 με τις Εξίσωση 4, Εξίσωση 5, Εξίσωση 6, λαμβάνουμε: [ γ ] T T pl B F B XΔ B Q B Δθ =0 O (7) 4

5 Αναλόγως του αν η ροπή κάμψης που αναπτύσσεται σε μια πλήρως πλαστικοποιημένη κρίσιμη διατομή (Μ=Μ Ρ ) εφελκύει ή θλίβει το θετικό σύνορο του μέλους στο οποίο ανήκει, η σχετική πλαστική στροφή της εν λόγω διατομής θα λαμβάνεται θετική ή αρνητική, αντίστοιχα: pl Δθ pl pl pl Δ θ =Δθ Δ θ = I -I = N Δθ Δ θ [ ] ( * ) pl (8) pl pl όπου τα Δθ και Δθ είναι θετικοί αριθμοί και αποτελούν τα στοιχεία του Δθ *. Υποθέτοντας ότι οι διατομές της κατασκευής δεν αναπτύσσουν πλαστικές παραμορφώσεις παρά μόνο μετά την πλήρη πλαστικοποίησή τους, μπορεί κανείς να περιγράψει την ικανότητα των υλικών να διατηρούν τις όποιες πλαστικές παραμορφώσεις αναπτύσσονται σε αυτά, ακόμη και μετά την απομάκρυνση ή την αλλαγή κατεύθυνσης των φορτίων που τις προκάλεσαν (μη ολόνομη συμπεριφορά). Αυτή η καταστατική συμπεριφορά περιγράφεται με βάση την ακόλουθη συνθήκη συμπληρωματικότητας: pl y Δθ * T y * = * * * 0, y 0, Δ θ = Δ pl, θ, y* Δθ* = 0 (9) y Δ * θ όπου ο πίνακας y * περιέχει το πλαστικό δυναμικό της κάθε κρίσιμης διατομής, και Δθ * είναι οι μεταβολές των πλαστικών στροφών στις κρίσιμες διατομές της κατασκευής. Τα προηγούμενα καθίστανται σαφέστερα με βάση το Σχήμα 2 που ακολουθεί: M M P Α Β y * Δ Γ Γ Δθ PL > 0 Δθ PL = 0 θ PL - M O M O - θ PL θ PL y * - M P - Σχήμα 2. Ιδεωδώς πλαστική συμπεριφορά σε επίπεδο διατομής υπό μονοαξονική κάμψη, και φαινόμενο μη ολόνομης συμπεριφοράς. Έστω ότι η διατομή που εξετάζουμε ξεκινά να φορτίζεται, παραλαμβάνοντας μια ροπή Μ Ο, που την οδηγεί στο σημείο Α του διαγράμματος. Έστω νέα αύξηση των εξωτερικών φορτίων που οδηγεί την διατομή να παραλάβει ροπή Μ Ρ, δηλαδή στο σημείο Β, όπου γίνεται η (θεωρητικώς ακαριαία) έναρξη της πλαστικής συμπεριφοράς. Περαιτέρω αύξηση του φορτίου θα σημαίνει ανάπτυξη πλαστικής παραμόρφωσης, δηλαδή το θ PL θα αυξάνεται χωρίς να αναπτύσσεται πρόσθετη ροπή στην διατομή, και θα φθάσουμε για κάποια τιμή φορτίου στο 5

6 σημείο Γ. Από εκεί, δύο τινά μπορούν να συμβούν, αναλόγως του είδους της μεταβολής των εξωτερικών φορτίων. Αν τα φορτία μεταβληθούν έτσι ώστε η πλαστική παραμόρφωση να αυξάνεται συνεχώς, θα συνεχίσουμε να κινούμαστε στην οριζόντια διεύθυνση του κλάδου ΓΓ. Αν τα εξωτερικώς επιβαλλόμενα φορτία μεταβληθούν έτσι ώστε η διατομή να αποφορτισθεί, θα κινηθούμε προς την διεύθυνση ΓΔ. Αυτή η κίνηση Γ Δ, ονομάζεται μη ολόνομη πλαστική συμπεριφορά (αγγλ. «non-holonomic plastic behavior»), και είναι η συμπεριφορά που ακολουθούν όλα τα όλκιμα υλικά στην φύση, δηλαδή να διατηρούν την πλαστική παραμόρφωση που αναπτύχθηκε σε αυτά και μετά την αποφόρτισή τους. Έστω ότι μια διατομή που έχει παραλάβει ροπή Μ Ο <Μ Ρ ή Μ Ο - >Μ Ρ -. Η διαφορά y * = Μ Ρ - Μ Ο εκφράζει την υπολειπόμενη ροπή που μπορεί να παραλάβει η διατομή μέχρι την πλήρη πλαστικοποίησή της, την οποία και ονομάζουμε πλαστικό δυναμικό (αγγλ. «Plastic Potential»), και είναι πάντοτε μια θετικά ημιορισμένη ποσότητα. Αν συμβολίσουμε με Μ k-1 τις ροπές κάμψης που έχουν παραλάβει οι διατομές της κατασκευής κατά το προηγούμενο βήμα (k-1) της επαύξησης των φορτίων και με ΔΜ k την μεταβολή των εντατικών μεγεθών κατά το βήμα (k), αν λάβουμε υπ όψιν το γεγονός ότι το πλαστικό δυναμικό είναι πάντα μια θετικά ημιορισμένη ποσότητα, και αν χρησιμοποιήσουμε και το μητρώο Ν, είναι εφικτή η έκφραση της ακόλουθης συνθήκης περί των στατικώς αποδεκτών λύσεων κάθε κρίσιμης διατομής: ( ) T T y * N ΔM k M k-1 =M P, όπου M = P MP MP (10) Συνδυάζοντας την Εξίσωση 4 με τις Εξίσωση 7, Εξίσωση 8, Εξίσωση 9, Εξίσωση 10, παρατηρεί κανείς ότι αυτές αποτελούν τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες Karush-Kuhn- Tucker για την αναζήτηση δεσμευμένου ελαχίστου του ακόλουθου προβλήματος τετραγωνικού προγραμματισμού, το οποίο επιλύεται σε κάθε βήμα k της ανάλυσης: Εύρεση ελαχίστου της έτσι ώστε να ισχύουν : 1 (X) = X B F B XΔ B F B Q X T T T f ( ) γ k ( O ) 2 T T T ( N B) X ( MP N Mk-1) Δγ k ( N BO Q) (11) όπου το Δ γ k είναι ο συντελεστής επαύξησης των εξωτερικών φορτίων κατά το βήμα k της ανάλυσης. Ο τρόπος επίλυσης αυτού του προβλήματος τετραγωνικού προγραμματισμού θα συζητηθεί εκτενώς στην ενότητα με τίτλο «Αριθμητικώς Ευσταθής Επίλυση». Ωστόσο, σημειώνεται ότι οι πολλαπλασιαστές Lagrange της βέλτιστης λύσης αποτελούν τις μεταβολές των πλαστικών συνιστωσών της γενικευμένης παραμόρφωσης στα άκρα του κάθε μέλους. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΩΝ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ Η αυτοματοποίηση της διαδικασίας εξαρτάται από το ποια υπερστατικά μεγέθη επιλέγονται, το σύνολο των οποίων ονομάζεται στατική βάση. Υπάρχει ήδη ένας δημοσιευμένος αλγόριθμος (Spiliopoulos, K.V., 1997) ο οποίος βρίσκει μια στατική βάση προσδιορίζοντας ένα σύνολο ανεξάρτητων μεταξύ τους βρόχων το πλήθος των οποίων ισούται με τον αριθμό του Betti για γράφους που κείνται επί επιπέδου. Κάθε ραβδωτός φορέας μπορεί να περιγραφεί ως ένας γράφος επί επιπέδου (βλ. Σχήμα 3a). Ο αριθμός του Betti ισούται με Μ- 6

7 Ν1, όπου Μ, Ν είναι αντίστοιχα το πλήθος των μελών και των κόμβων που απαρτίζουν τον γράφο. Το έδαφος προσομοιώνεται ως ένας επιπλέον κόμβος στον γράφο που περιγράφει την κατασκευή, ενώ χρησιμοποιούνται επιπλέον μέλη («πλασματικά» μέλη ή μέλη «εδάφους») για να συνδέσουν τους συνοριακούς κόμβους στον κόμβο εδάφους. Σχήμα 3. (a) Μια τυπική στατική βάση και ένα σύνολο στατικώς ορισμένων φορέων για την περιγραφή της ισορροπίας. (b) Αυτοϊσορροπούν σύστημα δυνάμεων. Ο εν λόγω αλγόριθμος είναι εύκολο να προγραμματισθεί σε Η/Υ, διότι βασίζεται στην ιδέα να ορίζει αρχικά κανείς τις τιμές του μήκους των μελών του γράφου ίσες προς την μονάδα (όχι κατά την Ευκλείδεια έννοια του μήκους, αλλά κατά την έννοια της δυνατότητας μετάβασης από τον έναν κόμβο στον άλλο). Η διαδικασία αναζήτησης των βρόχων ξεκινά από εκείνον τον κόμβο που έχει το μέγιστο πλήθος συνδεόμενων σε αυτόν μελών, βρίσκοντας την συντομότερη διαδρομή μεταξύ των άκρων ενός μέλους, όχι όμως κινούμενοι κατά μήκος του, αλλά περιφερικά αυτού, εντός του βροχωτού δικτύου. Η διαδρομή με το ελάχιστο μήκος, μαζί με το μέλος-γεννήτρια, σχηματίζει έναν υποψήφιο προς επιλογή για την στατική βάση βρόχο. Η επιλογή του βρόχου αυτού ως ανεξάρτητου, και άρα η εισαγωγή του στην στατική βάση γίνεται υπό την προϋπόθεση ικανοποίησης του ακόλουθου κριτηρίου: «Το μήκος της προσδιοριζόμενης διαδρομής να είναι μικρότερο της ποσότητας 2*(πλήθος των κόμβων κατά μήκος της διαδρομής 1)» Εφ όσον ικανοποιείται το ανωτέρω κριτήριο, τότε ο προσδιορισθείς βρόχος είναι ανεξάρτητος και άρα εισάγεται στο σύνολο της στατικής βάσης, και όλα τα μέλη που τον απαρτίζουν λαμβάνουν μήκος ίσο προς 2. Ως παράδειγμα σχηματισμού στατικής βάσης, χρησιμοποιείται η προηγουμένως προταθείσα διαδικασία προκειμένου να σχηματισθεί μια στατική βάση στον ακόλουθο γράφο, ο οποίος αποτελεί μέρος ενός μεγαλύτερου δικτύου βρόχων και απεικονίζεται στο Σχήμα 4a. Με αφετηρία τον κόμβο «k» και επιλέγοντας ως μέλος-γεννήτρια το «k-m», προκύπτει ο βρόχος «k-l-m-k» (βλ. Σχήμα 4b) και όλα τα μέλη που ανήκουν σε αυτόν λαμβάνουν τιμή μήκους ίση προς 2. Με αυτόν τον τρόπο αποκλείεται η επανένταξη του εν λόγω βρόχου στην στατική βάση, διότι σε επόμενη επανάληψη της αναζήτησης βρόχων δεν θα ικανοποιείται το κριτήριο 7

8 που διατυπώσαμε παραπάνω. Επιλέγοντας ένα άλλο μέλος ως μέλος-γεννήτρια, π.χ. το «mn», μπορεί να σχηματισθεί ένας άλλος βρόχος και να εισαχθεί στο σύνολο της στατικής βάσης (βλ. Σχήμα 4c). Σχήμα 4. (a) Μια τυπική στατική βάση και ένα σύνολο στατικώς ορισμένων φορέων για την περιγραφή της ισορροπίας. (b) Αυτοϊσορροπούν σύστημα δυνάμεων. (c) Τελικώς προκύπτον σύνολο ανεξάρτητων βρόχων. Εισάγοντας μια ιδεατή τομή σε κάθε ανεξάρτητο βρόχο της στατικής βάσης, εγκαθιστούμε ένα ζεύγος ισορροπούντων δυνάμεων p s, f s, και ένα ζεύγος ισορροπούντων ροπών m s στο σημείο της τομής, το οποίο έχει συντεταγμένες (x s,y s ). Αυτά τα ζεύγη αυτοισορροπούμενων εντατικών μεγεθών είναι τα τρία υπερστατικά μεγέθη του βρόχου που εξετάζουμε (βλ. Σχήμα 3b). Η ροπή κάμψης σε μια οποιαδήποτε διατομή i η οποία έχει συντεταγμένες (x s,y s ) και ανήκει στον βρόχο που εξετάζουμε, δίνεται από τη σχέση: ps M = ( ± )[( ) ( ) i ys yi xi xs 1] f s m s (12) όπου το θετικό ή αρνητικό πρόσημο εξαρτάται από το αν η φορά διαγραφής του βρόχου είναι ίδια με την κατεύθυνση του μέλους στο οποίο ανήκει η εξεταζόμενη διατομή. Με βάση την Εξίσωση 12 προκύπτουν οι τιμές του μητρώου Β. Η χρήση των αυτο-ισορροπούμενων συστημάτων εξασφαλίζει την γραμμική ανεξαρτησία μεταξύ των στηλών του μητρώου Β. Ισορροπία των Εξωτερικών Φορτίων Η αυτόματη περιγραφή της ισορροπίας των εξωτερικώς επιβαλλόμενων φορτίων επιτυγχάνεται με την χρήση συνεχών (και ενδεχομένως ανεξάρτητων μεταξύ τους) προβόλων οι οποίοι αποτελούν τις συντομότερες διαδρομές ανάμεσα στα σημεία εφαρμογής των φορτίων και τους συνοριακούς κόμβους της κατασκευής (βλ. Σχήμα 3a). Για μια διατομή i που βρίσκεται κατά μήκος της διαδρομής αυτής, η ροπή κάμψης λόγω των εξωτερικών φορτίων δίνεται από την σχέση: Px Mi = ( ± )[( xa xi) ( ya yi) ] Py (13) 8

9 όπου το θετικό πρόσημο εντός της παρένθεσης ισχύει στην περίπτωση κατά την οποία η φορά διαγραφής της συντομότερης διαδρομής συμπίπτει με την φορά διαγραφής του μέλους. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ ΕΥΣΤΑΘΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗ Παρά το γεγονός ότι οι ανεξάρτητες μεταβλητές του προβλήματος τετραγωνικού προγραμματισμού (βλ. Εξίσωση 12 ) είναι τα υπερστατικά μεγέθη Χ, για τον προσδιορισμό της λύσης χρειάζεται και η ανεξάρτητη παράμετρος Δγ k. Η τελευταία μπορεί να υπολογισθεί αν απαιτήσουμε η μεταβολή επαύξησης των εξωτερικών φορτίων να είναι τέτοια ώστε να σχηματίζεται τουλάχιστον μία νέα πλαστική άρθρωση σε κάθε βήμα. Ο G.Maier (1968) παρουσίασε το πρόβλημα που διατυπώσαμε παραπάνω στην μορφή των συνθηκών Karush- Kuhn-Tucker του ( Εξίσωση 7, Εξίσωση 8, Εξίσωση 9, Εξίσωση 10 ) ως ένα ισοδύναμο πρόβλημα παραμετρικού γραμμικού προγραμματισμού. Ο Smith, D.L. (1978) χρησιμοποίησε τον αλγόριθμο των Wolfe-Markowitz και παρουσίασε μια λύση του ισοδύναμου προβλήματος με βάση ένα απλό παράδειγμα. Όμως, το ισοδύναμο πρόβλημα περιέχει τόσο τις στατικές όσο και τις κινηματικές μεταβλητές, άρα χρειάσθηκε να εκτελεσθούν πράξεις και στα δύο αυτά σύνολα. Στην παρούσα εργασία προτείνεται μια νέα αριθμητική στρατηγική για την απ ευθείας επίλυση του προβλήματος τετραγωνικού προγραμματισμού (βλ. Εξίσωση 11 ), η οποία συνοψίζεται στα ακόλουθα βήματα: 1. Επιλογή μιας «πλασματικής» μικρής αρχικής τιμής της παραμέτρου Δ γ k = ρ, όπου 0<ρ<1 (π.χ. ρ=0.01). 2. Επίλυση του προβλήματος που δίνεται από την Εξίσωση 11, από όπου λαμβάνουμε ένα σύνολο «πλασματικών» υπερστατικών μεγεθών X και ένα σύνολο «πλασματικών» μεταβολών στις συνιστώσες των γενικευμένων πλαστικών μετατοπίσεων, Δθ *. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοσδήποτε αλγόριθμος τετραγωνικού προγραμματισμού, π.χ. Goldfarb D., Idnani A. (1983). 3. Προσδιορισμός ενός «πλασματικού» διαγράμματος μεταβολής των εντατικών μεγεθών της κατασκευής, χρησιμοποιώντας την Εξίσωση 4 : Δ M = B X ρ B Q (14) O 4. Εισαγωγή μιας πρώτης διόρθωσης στα «πλασματικά» εντατικά και παραμορφωσιακά μεγέθη: 1 1 Δ = Δ Δ = Δ ρ ρ M M και θ* θ * (15) 5. Προσδιορισμός του κατάλληλου Δγ k ως το ελάχιστο από τα Δγ ik, για το οποίο σχηματίζεται τουλάχιστον μια νέα πλαστική άρθρωση (θετικής ή αρνητικής ροπής) στην κρίσιμη διατομή i της κατασκευής (για i = 1,2,..., n c, όπου n c είναι ο αριθμός κρίσιμων διατομών της κατασκευής): M ( Δγ ) Δ M = M ή M ( Δγ ) Δ M = M P i (16) ik, 1 k i P, i i, k 1 k i, 6. Προσδιορισμός των μεταβολών στα εντατικά μεγέθη και στις παραμορφώσεις της κατασκευής κατά το βήμα k: 9

10 Δ M = ( Δ ) ΔM και Δ θ = ( Δγ ) Δθ γ k * k * (17) 7. Ενημέρωση των διαφόρων στατικών και κινηματικών μεταβλητών του τρέχοντος βήματος της ανάλυσης: M = M Δ M θ = F M θ = θ Δ θ θ = θ θ el pl pl pl el pl k k 1 k k k k 1 k k k (18) Οι μετατοπίσεις στα σημεία εφαρμογής των (συγκεντρωμένων) φορτίων, βρίσκονται με την βοήθεια της Αρχής των Δυνατών Έργων: Δ = Β θ (19) k Τ Ο 8. Επιστρέφουμε στο βήμα 1, θέτουμε όπου k k 1, και επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία μέχρι ο αλγόριθμος τετραγωνικού προγραμματισμού που χρησιμοποιούμε να μην μπορεί να συγκλίνει σε κάποια λύση, γεγονός που σημαίνει ότι έχουμε προσδιορίσει το φορτίο και τον μηχανισμό κατάρρευσης. Η χρήση ενός «πλασματικού» συντελεστή φορτίσεως για την εκκίνηση της διαδικασίας, παρέχει την δυνατότητα να προσδιορίζουμε την εφικτή διεύθυνση επί της οποίας κείται η λύση για το εκάστοτε βήμα επαύξησης, ενώ το μήκος του διανύσματος βρίσκεται υπό την απαίτηση η επαύξηση να σχηματίζει τουλάχιστον μία νέα πλαστική άρθρωση. Αυτή η διαδικασία απεικονίζεται για δύο βήματα ανάλυσης σε ένα διάγραμμα φορτίων-μετατοπίσεων στο ακόλουθο Σχήμα 5: k Ρ Δγ Δγ 1 ρ ρ δ Σχήμα 5. Πλασματικός (ρ) και πραγματικός (Δγ i ) συντελεστής επαύξησης των εξωτερικών φορτίων, για δύο βήματα ανάλυσης. Η διαδικασία που περιγράφηκε ανωτέρω είναι ευσταθής, αποτελεσματική και ταχεία από υπολογιστικής απόψεως. Το μητρώο ευκαμψίας της κατασκευής υπολογίζεται και παραγοντοποιείται μόνο μία φορά, στους προκαταρτικούς της ανάλυσης υπολογισμούς. Κατά τον σχηματισμό μιας νέας πλαστικής άρθρωσης ή κατά την αποφόρτιση μιας ήδη υπάρχουσας, δεν υπάρχει ανάγκη να τροποποιηθεί ή/και να παραγοντοποιηθεί το μητρώο ευκαμψίας. Το πρόβλημα τετραγωνικού προγραμματισμού λύνεται μόνο μία φορά για κάθε βήμα επαύξησης των φορτίων και το μήκος του διανύσματος επαύξησης των φορτίων προσδιορίζεται αυτόματα υπό την απαίτηση για την δημιουργία μιας νέας πλαστικής άρθρωσης, χωρίς τα περιττά ενδιάμεσα βήματα ελαστικής επίλυσης με προκαθορισμένο 10

11 μήκος του διανύσματος μεταβολής, όπως κάνουν όλα τα υπάρχοντα λογισμικά που βασίζονται στην μέθοδο των μετακινήσεων, εμπορικά ή μη. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η διαδικασία που περιγράψαμε στην προηγούμενη ενότητα εφαρμόζεται σε ένα διώροφο πλαίσιο, το οποίο σχεδιάστηκε για να φέρει κατακόρυφα φορτία 10kN/m σε κάθε όροφο (βλ. Σχήμα 6). Υποτίθεται ότι η περιοχή κατασκευής είναι σεισμικώς ενεργή, και ότι οι απαιτήσεις αντισεισμικού σχεδιασμού ορίζουν μια τιμή φασματικής επιτάχυνσης α=0,16g. Επιπρόσθετα, υποθέτουμε κατηγορία σπουδαιότητας «Σ2» για την χρήση του κτιρίου (συνήθη κτίρια κατοικιών/γραφείων, βιομηχανικά κτίρια, ξενοδοχεία, κλπ, άρα θα είναι γ Ι =1.0), κατηγορία εδάφους Β (άρα οι τιμές των χαρακτηριστικών περιόδων του φάσματος θα είναι Τ 1 =0.15sec, Τ 2 =0.60sec, και ο συντελεστής θεμελίωσης θ=1). Υποθέτουμε ότι το προς ανάλυση κτίριο είναι κατασκευασμένο από παλαιό χάλυβα St37 (E=210GPa, σ y =240MPa), και ότι όλα τα φέροντα στοιχεία του (δοκοί,υποστυλώματα) συνδέονται μεταξύ τους με κοχλίες (και άρα η εκτιμώμενη απόσβεση θα είναι ζ=4%). Επιπλέον υποθέτουμε ότι το κτίριο έχει σχεδιασθεί για ελαστική συμπεριφορά, δηλαδή ο συντελεστής συμπεριφοράς θα ληφθεί q=1. 34,564 kn 10kN/m L 10kN/m 17,282 kn L Σχήμα 6. Γεωμετρία και φορτίσεις του διώροφου προς ανάλυση πλαισίου, με L=3m. L L Λόγω της γεωμετρίας της, η κατασκευής θεωρείται «κανονική». Συνεπώς, η ιδιοπερίοδός της μπορεί να προκύψει από την Εξίσωση 20 : T h sec 6m = 0, 09 = 0, 09 = 0, sec T = 0, 22sec l m 23 m (20) Επειδή ισχύει T1 < T < T 2, η φασματική επιτάχυνση σχεδιασμού κατά τον Ε.Α.Κ δίνεται από την Εξίσωση 21 : n θ β ( ) ( ) 4, / sec q 0 2 Φ d T = γ I A Φ d T = m (21) 11

12 όπου το αποτέλεσμα στην Εξίσωση 21 προέκυψε βάσει των ακόλουθων τιμών: γ I = 1, 0 θ = 1, 0 A= a g = 0,16 10 m/ sec = 1,6 m/ sec n = = = 1, ζ % 2 4 β 0 = 2,5 q = 1 Υπό την απλοποιητική παραδοχή ότι η μάζα των υποστυλωμάτων είναι αμελητέα ως προς τις μάζες των ορόφων του φορέα, η ταλαντευόμενη μάζα της κατασκευής μπορεί να εκτιμηθεί με ικανοποιητική ακρίβεια λαμβάνοντας υπ όψιν μόνο την μάζα των μόνιμων και κινητών φορτίων του κάθε ορόφου της: m ορόφου 10 kn / m 6m = = 6000kg (23) 2 10 m / sec Σύμφωνα με την απλοποιημένη φασματική μέθοδο, η τέμνουσα βάσης θα δίνεται από την σχέση: N V =Φ ( T) m V = 51,846kN (24) 0 d i 0 i= 1 όπου: Φ ( T d ) η φασματική επιτάχυνση σχεδιασμού (λαμβάνεται από την Εξίσωση 23 ) i ο αύξων αριθμός του εκάστοτε ορόφου (εν προκειμένω i = 1, 2 ) N είναι το πλήθος ορόφων (εν προκειμένω N = 2 ) mi είναι η μάζα του εκάστοτε ορόφου (εν προκειμένω m = 6000kg για όλους τους ορόφους) Επειδή η ιδιοπερίοδος της κατασκευής είναι T < 1, 0sec, δεν απαιτείται ο υπολογισμός πρόσθετης τέμνουσας V H στην κορυφή του κτιρίου, και άρα οι ισοδύναμες σεισμικές δράσεις στις στάθμες των ορόφων δίνονται από την ακόλουθη απλοποιημένη σχέση: F i = V 0 m z N j=1 i j i m z j (25) όπου: i ο αύξων αριθμός του εκάστοτε ορόφου (εν προκειμένω i = 1, 2 ) N είναι το πλήθος ορόφων (εν προκειμένω N = 2 ) mi είναι η μάζα του εκάστοτε ορόφου (εν προκειμένω m = 6000kg για όλους τους ορόφους) 12

13 z i είναι η κατακόρυφη απόσταση του κάθε ορόφου από το έδαφος (είναι z1 = 3m, z2 = 6m ) V 0 είναι η τέμνουσα βάσης (λαμβάνεται από την Εξίσωση 24 ) Τελικώς, προκύπτουν: F1 = 17,282kN και F2 = 34,564kN, για τον πρώτο και τον δεύτερο όροφο αντίστοιχα. Το σχήμα των φορτίσεων απεικονίζεται στο ανωτέρω Σχήμα 6. Στη συνέχεια επιλύουμε ελαστικά την παραπάνω κατασκευή υπό τα κατακόρυφα και τα σεισμικά φορτία, για κάποια -αρχικώς ενιαία- τυπική τιμή καμπτικής δυσκαμψίας (π.χ. ΕΙ=10000kNm 2 ). Οι μέγιστες τιμές ροπής κάμψης εμφανίζονται στα δεξιά άκρα των δοκών των δύο ορόφων, και είναι αντίστοιχα -72,069kNm για τον πρώτο, και -54,983kNm για τον δεύτερο όροφο. Αναζητώντας στις πρότυπες διατομές τύπου ΗΕΒ, βρίσκουμε ότι η ΗΕΒ 160 έχει ροπή πλήρους πλαστικοποίησης ίση προς Μ PL =85kNm, και επιλέγουμε αυτήν ως την διατομή για τις δοκούς της κατασκευής. Οι απαιτήσεις του ικανοτικού σχεδιασμού για την ροπή κάμψης, ορίζουν ότι σε έναν κόμβο οφείλει να ισχύει η ανίσωση: M PL, ΥΠΟΣΤΥΛΩΜΑΤΩΝ 1, 40 M PL, ΔΟΚΩΝ (26) Με βάση την παραπάνω σχέση, η ελάχιστη τιμή της ροπής κάμψης πλήρους πλαστικοποίησης που οφείλουν να έχουν τα υποστυλώματα, είναι Μ PL =119kNm. Αναζητώντας στις πρότυπες διατομές τύπου ΗΕΜ, βρίσκουμε την ΗΕΜ 140, με Μ PL =119kNm ακριβώς. Για κατασκευαστικούς λόγους όμως (επάρκεια επιφανειών για τις κοχλιωτές συνδέσεις), θα επιλέξουμε ΗΕΜ 160, με Μ PL =162kNm. Συνοψίζοντας, τα μηχανικά χαρακτηριστικά των στοιχείων της κατασκευής που προέκυψαν από την απλοποιημένη διαδικασία διαστασιολόγησης, είναι (για Ε= kn/m 2, σ Υ =239855,818 kn/m 2 ): Πίνακας 1. Ιδιότητες των διαφόρων μελών της κατασκευής. Διατομή Ροπή Αδρανείας (Χ-Χ) EI (knm²) Υποστυλώματα ΗΕ-Μ 160 0, m Δοκοί ΗΕ-Β 160 0, m Στη συνέχεια, θα αναλύσουμε την κατασκευή υπό αναλογικά αυξανόμενα σεισμικά φορτία μέχρι την κατάρρευσή της, χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα που συγγράφηκε στα πλαίσια της παρούσας ερευνητικής εργασίας. Στο πρώτο βήμα ανάλυσης, η κατασκευή φορτίζεται μόνο με τα κατακόρυφα φορτία. Στο δεύτερο βήμα, προστίθενται τα σεισμικά φορτία ελαστικού σχεδιασμού. Στην επόμενη φάση, τα σεισμικά φορτία αυξάνονται αναλογικά μέχρι να καταρρεύσει η κατασκευή. Για την προσομοίωση των ομοιόμορφων φορτίων, ορίσθηκαν εννέα κρίσιμες διατομές κατά μήκος των δοκών (πέραν από τις δύο κρίσιμες διατομές στα άκρα τους). Στο Σχήμα 7 παρουσιάζεται το διάγραμμα της τέμνουσας βάσης σε συνάρτηση με την μετατόπιση του σημείου εφαρμογής του σεισμικού φορτίου της οροφής του κτιρίου. Η πλαστιμότητα της κατασκευής προκύπτει: 0,22024 μ Δ U m = = = 3,67189 Δ 0,05998m Y (27) Οι τιμές των διαγραμμάτων ροπών κάμψης στα άκρα των υποστυλωμάτων καθώς και στα άκρα και το μέσον της κάθε δοκού της κατασκευής, φαίνονται στον Πίνακα 2. Η κατανομή των εντατικών μεγεθών (εν προκειμένω των ροπών κάμψης) κατά την κατάρρευση απεικονίζεται στο ακόλουθο Σχήμα 8a, μαζί με τις πλαστικές αρθρώσεις. Η αλληλουχία 13

14 δημιουργίας των πλαστικών αρθρώσεων, καθώς και ο μηχανισμός κατάρρευσης απεικονίζονται στο Σχήμα 8b. Είδος Στοιχείου Πίνακας 2. Εντατική κατάσταση της κατασκευής σε κάθε βήμα της ανάλυσης. α/α Κρίσιμης Διατομής #1 Ροπές Κάμψης σε κάθε Κρίσιμη Διατομή, για κάθε της Ανάλυσης #2 #3 #4 Αριστερό Υποστύλωμα (Ισόγειο) Αριστερό Υποστύλωμα (1 ος Όροφος) Δοκός (2 ος Όροφος) # Δεξί Υποστύλωμα (1 ος Όροφος) Δεξί Υποστύλωμα (Ισόγειο) #6 #7 #8 #9 #10 Δοκός (1 ος Όροφος) Καμπύλη V-Δ Τέμνουσα Βάσης V (kn) Μετατόπιση Οροφής Δ (m) Καμπύλη Φέρουσας Ικανότητας Σχήμα 7. Διάγραμμα φέρουσας ικανότητας του διώροφου κτιρίου. 14

15 85,0kNm -85,0kNm -85,0kNm 85,0kNm 45,0kNm -47,8 knm 37,2 knm -85,0kNm -37,2 knm 45,0kNm 47,8 knm -162,0 knm (a) 162,0 knm (b) Σχήμα 8. (a) Διάγραμμα ροπών κάμψης κατά την κατάρρευση. (b) Αλληλουχία πλαστικών αρθρώσεων και μηχανισμός κατάρρευσης. 3 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Αναπτύχθηκε μια νέα υπολογιστική διαδικασία για τη μη γραμμική στατική ανάλυση ελαστικών-ιδεωδώς πλαστικών ραβδωτών φορέων. Η διατύπωση του προβλήματος έγινε με την μέθοδο των δυνάμεων και όχι με την μέθοδο των μετακινήσεων στην οποία βασίζονται όλα τα εμπορικά λογισμικά. Παρουσιάσθηκε μια στρατηγική αριθμητικής επίλυσης που λύνει το εν λόγω πρόβλημα παραμετρικού τετραγωνικού προγραμματισμού με ιδιαιτέρως αποτελεσματικό τρόπο. Η μέθοδος είναι αριθμητικώς ευσταθής και αποδοτική, διαθέτει δε υπολογιστικά πλεονεκτήματα έναντι της μεθόδου των μετακινήσεων, διότι: 15

16 1. Τα μητρώα σχηματίζονται μόνο μία φορά στην αρχή και δεν απαιτείται καμία τροποποίησή τους. 2. Το μήκος του υπολογιστικού βήματος λαμβάνεται το μέγιστο δυνατό κάθε φορά έτσι ώστε να συμβεί η επόμενη πλαστικοποίηση, αντίθετα με την μέθοδο των μετακινήσεων όπως εφαρμόζεται σε γνωστά εμπορικά προγράμματα (π.χ. SAP2000 v.10, DRAIN-2DX), όπου το βήμα φόρτισης είναι σταθερό. 3. Σε περίπτωση ύπαρξης τοπικής αποφόρτισης, αυτή λαμβάνεται άμεσα υπ όψιν, χωρίς να απαιτείται και πάλι καμία τροποποίηση των εμπλεκόμενων μητρώων. Αν και η μέθοδος παρουσιάσθηκε σε ένα σχετικά απλό παράδειγμα διωρόφου κτιρίου, οποιοδήποτε πολύπλοκο σύστημα μπορεί να αναλυθεί με την ίδια ευκολία. Διάφορα τέτοια παραδείγματα πολύπλοκων συστημάτων θα παρουσιασθούν κατά την διάρκεια του συνεδρίου. Συνεπώς, και παρά το γεγονός ότι η εν λόγω μέθοδος παρουσιάσθηκε στα πλαίσια της στατικής υπερωθητικής ανάλυσης ελαστικών-ιδεωδώς πλαστικών ραβδωτών φορέων, μπορεί να εφαρμοσθεί και για οποιαδήποτε ραβδωτή κατασκευή με μη γραμμική συμπεριφορά, ακόμη και στην περίπτωση ανακυκλιζόμενης φόρτισης. ΑΝΑΦΟΡΕΣ ATC-40 (1996), Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings-volume 1, California. Prakash V., Powel G.H. (1993), DRAIN-2DX User s manual, California. Maier, G. (1968), Quadratic programming and theory of elastic-perfectly plastic structures, Meccanica, Vol. 3, pp Munro, J. (1979), Optimal plastic design of frames, Engineering Plasticity by Mathematical Programming, NATO-ASI, Cohn M.Z., Maier G. (Eds), Pergamon Press, New York, pp Spiliopoulos, K.V. (1997), On the automation of the force method in the optimal plastic design of frames, Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering, Vol. 141, pp Spiliopoulos K.V. (1999), A fully automatic force method for the optimal plastic design of frames, Journal of Computational Mechanics, Vol. 23, pp Smith, D.L. (1978), The Wolfe Markowitz algorithm for nonholonomic elastoplastic analysis, Engineering Structures, Vol. 1, pp Goldfarb D., Idnani A. (1983), A numerically stable dual method for solving strictly convex quadratic programs, Mathematical Programming, Vol. 27, pp SAP 2000, v10.01 (2005), Users Manual, C.S.I., California. 16