Επιχειρησιακή Έρευνα

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #1: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Να γίνει κατανοητός ο Χρονικός και Οικονομικός Προγραμματισμός Έργων σε μια επιχείρηση, ποιες είναι οι κρίσιμες δραστηριότητες και πως γίνεται η λήψη αποφάσεων σε ένα έργο. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα Τεχνική SIMPLEX Οικονομική Ερμηνεία του τελικού Πίνακα SIMPLEX Ανάλυση Ευαισθησίας Επίλυση με τον SOLVER Προβλήματα Ελαχιστοποίησης 5

6 Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα 6

7 1. Να λυθεί το παρακάτω πρόβλημα: μ.π: Max (4X 1 +3X 2 ) X 1 9 X 2 6 X 1 + 2X X 1 + X 2 16 X 1 0 X 2 0 Ασκήσεις Προβλήματα 2. Ένα οινοποιείο παράγει δύο τύπους κρασιών Ροζέ και Λευκό και χρησιμοποιεί δυο ποικιλίες Σταφυλιών Ρομπόλα και Σαββατιανό. Για την παρασκευή ενός τόνου λευκού απαιτούνται 2 τόνοι Σαββατιανού και ένας τόνος Ρομπόλας ενώ για την Παρασκευή 2 τόνων ροζέ απαιτούνται 3 τόνοι Ρομπόλας και 1 τόνος Σαββατιανού. Το κέδρος ανά τόνο είναι Ευρώ για το λευκό και 1200 Ευρώ για το ροζέ. Η παραγωγή φέτος σε σταφύλια αναμένεται σε 20 τόνους Σαββατιανού και 24 τόνους Ρομπόλας. (Με Γραφική Μέθοδο) Να κατασκευασθεί το γραμμικό πρόβλημα (μοντελοποίηση) και να λυθεί γραφικά έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος του οινοποιείου. 7

8 Τεχνική SIMPLEX

9 Ασκήσεις - Προβλήματα 1. Να λυθεί το Γραμμικό Πρόβλημα. max z = -2X1 - X2 + X3 μ.π X1 + X2 + X3 3 X2 + Χ3 2 X1 + X3 1 X1, X2, X3 0 (Με τη μέθοδο SIMPLEX) 2. Να λυθεί το Γραμμικό Πρόβλημα. max z = 3X1 + X2-2X3+Χ4 μ.π X1 - X2 + X3 + Χ4 5 2Χ1+ X2 +2Χ3 1 4X1-Χ2+4X3 +2Χ4 11 X1, X2, X3, Χ4 0 (Με τη μέθοδο SIMPLEX) 9

10 Ασκήσεις Προβλήματα (1) 3. Μια αεροπορική εταιρία έχει δύο τύπους αεροσκαφών, τύπου Α και τύπου Β. Τα αεροσκάφη τύπου Α έχουν μεταφορική ικανότητα 40 επιβατών και 30 τόνων φορτίου. Τα αεροσκάφη τύπου Β έχουν μεταφορική ικανότητα 60 επιβατών και 15 τόνων φορτίου. Η εταιρία μπορεί να αναλάβει την μεταφορά το πολύ 480 επιβατών και 180 τόνων φορτίου κάθε ημέρα. Αν το συνολικό κέρδος μεταφοράς με αεροσκάφος τύπου Α είναι 500 χρηματικές μονάδες και με αεροσκάφος τύπου Β είναι 600 χρηματικές μονάδες, ποιος συνδυασμός αεροσκαφών των δύο τύπων μεγιστοποιεί το κέρδος της εταιρίας; 10

11 Ασκήσεις Προβλήματα (2) 4. Η εταιρεία DogFood παράγει δυο προϊόντα σκυλοτροφής. Α) Το προϊόν Α είναι ένα μείγμα από ένα κιλό δημητριακά και 1,5 κιλό κρέας και χρησιμοποιείται συγκεκριμένη μονάδα συσκευασίας. Το κέρδος για το προϊόν Α είναι 0,56 Ευρώ ανά συσκευασία. Το προϊόν Β είναι ένα μείγμα από 2 κιλά δημητριακά και 1 κιλό κρέας και το κέρδος ανά συσκευασία είναι 0,42 Ευρώ. Στις αποθήκες της εταιρείας βρίσκονται διαθέσιμα κιλά δημητριακά και κιλά κρέας για τον επόμενο μήνα. Η δυναμικότητα του εξοπλισμού συσκευασίας εργοστασίου για το προϊόν Α είναι για συσκευασίες το μήνα. Να κατασκευάστε το γραμμικό μοντέλο έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της Εταιρείας προσδιορίζοντας τη ποσότητα που πρέπει να παράγει για κάθε προϊόν η Εταιρεία. Να λύσετε το πρόβλημα (γραφικά ή αλγεβρικά). 11

12 Ασκήσεις Προβλήματα (3) 5. Μία εταιρία κατασκευάζει τέσσερα προϊόντα (Α,Β,Γ,Δ) χρησιμοποιώντας 2 μηχανές (Χ και Υ). Ο χρόνος (σε λεπτά) που απαιτείται για την επεξεργασία μιας μονάδας από κάθε προϊόν σε κάθε μηχανή είναι: Για το προϊόν Α, 8 λεπτά με τη Χ και 24 με τη Υ, Για το προϊόν Β, 14 λεπτά με τη Χ και 23 με τη Υ, Για το προϊόν Γ, 15 λεπτά με τη Χ και 36 με τη Υ και Για το προϊόν Δ, 10 λεπτά με τη Χ και 27 με τη Υ, Το κέρδος ανά μονάδα των προϊόντων Α, Β, Γ,Δ είναι αντίστοιχα 30, 42, 60 και 28 αντίστοιχα. 12

13 Ασκήσεις Προβλήματα (4) Το προϊόν Α πρέπει να παραχθεί χρησιμοποιώντας και τις δύο μηχανές, ενώ τα προϊόντα Β, Γ και Δ μπορούν να παραχθούν από οποιαδήποτε από τις δύο μηχανές. Η εταιρία διαθέτει περιορισμένο χώρο για αποθήκευση των προϊόντων. Η παραγωγή μιας εβδομάδος αποθηκεύεται σε χώρο εμβαδού 50 τ.μ. με τα προϊόντα Α, Β, Γ και Δ να καταλαμβάνουν ανά μονάδα 0.12, 0.16, 0.4 και 0.08 τ.μ. αντίστοιχα. Σύμφωνα με τις απαιτήσεις των πελατών της εταιρίας, η εβδομαδιαία παραγωγή του προϊόντος 2 πρέπει να είναι περίπου διπλάσια της παραγωγής του προϊόντος 3. 13

14 Ασκήσεις Προβλήματα (5) Οι μηχανές Χ και Υ βρίσκονται εκτός λειτουργίας (για συντήρηση ή λόγω βλάβης) για το 5% και το 7% του χρόνου λειτουργίας τους αντίστοιχα. Υποθέτοντας μία εβδομάδα 40 εργασίμων ωρών, η εταιρία ενδιαφέρεται για ένα πρόγραμμα παραγωγής των τεσσάρων προϊόντων που να μεγιστοποιεί το κέρδος της. 14

15 Οικονομική Ερμηνεία του τελικού Πίνακα SIMPLEX 15

16 Ασκήσεις - Προβλήματα 6. Να γίνει η οικονομική ερμηνεία του τελικού Πίνακα των προβλημάτων 3 και 4 (προηγούμενη ενότητα) 16

17 Ανάλυση Ευαισθησίας 17

18 Ασκήσεις Προβλήματα (1) Μια εταιρεία παράγει δυο τύπους Η/Υ (desktop και laptop). Το πρόβλημα μίξης παραγωγής μοντελοποιείται ως ακολούθως: Μεγιστοποίηση του κέρδους max(9000x+7000c) Με περιορισμούς 2X+1Y<= 40 (ώρες στο τμήμα συναρμολόγησης) 1X+3C<=40 (ώρες στο τμήμα ελέγχου) Η Λύση του προβλήματος μας δίνει τον παρακάτω τελικό πίνακα SIMPLEX. Ci Ci X Y S1 S2 Bi 9000 Χ 1 0 3/5-1/ ψ 0 1-1/5 2/5 4 Zi Ci-Zi Ερωτήματα Ποια είναι η βέλτιστη λύση του προβλήματος; Ποιό είναι το κέρδος που προκύπτει; Είναι περισσότερο κεδροφόρο να χρησιμοποιηθεί δεύτερη γραμμή συναρμολόγησης με κόστος 2500 ανά ώρα; Είναι περισσότερο κερδοφόρο να προσληφθεί ένα επιπλέον άτομο στον έλεγχο με κόστος 1750 την ώρα; Εξετάστε την ευαισθησία της λύσης σε διακυμάνσεις των συντελεστών κέρδους κατά 20%. 18

19 Ασκήσεις Προβλήματα (2) 8. Δίδεται ο παρακάτω τελικός πίνακας SIMPLEX Ci Ci X Y S1 S2 Bi 1000 Χ ψ Zi Ci-Zi Ποιες είναι οι τιμές των συντελεστών κέρδους για τις οποίες η βέλτιστη λύση παραμένει αμετάβλητη; Πόσο μπορούν να αυξηθούν ή μειωθούν οι αρχικές ποσότητες των περιορισμών, έτσι ώστε να ισχύει ο παραπάνω τελικός πίνακας SIMPLEX. 19

20 Επίλυση με τον SOLVER του EXCEL (1) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Οι άγνωστοι Χ και Υ (C2, C3) Πόρτες χ Παράθυρα ψ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Τα Δεδομένα του Προβλήματος ΠΟΡΤΕΣ ΠΑΡΑΘΥΡΑ ΜΕΓΙΣΤΗ ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΑ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ ΩΡΩΝ Ώρες στο Σιδηρουργείο Ώρες στο Βαφείο ΚΕΡΔΟΣ/ΠΡΟΪΟΝ ΣΥΝΘΗΚΗ 1 0 <= 600 ΣΥΝΘΗΚΗ 2 0 <= 480 ΣΥΝΘΗΚΗ 3 0 >= 0 Οι Συνθήκες, Στο δεξί μέρος καταχωρούνται οι αλγ. Παραστάσεις σε συνάρτηση με τα κελιά =B6*C2+C6*C3, =B7*C2+C7*C3, =C2 =C3 ΣΥΝΘΗΚΗ 4 0 >= 0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 0 Η Αντικειμενική Συνάρτηση =B8*C2+C8*C3 20

21 Επίλυση με τον SOLVER του EXCEL (2) Πόρτες Παράθυρα ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ ψ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΠΟΡΤ ΕΣ ΠΑΡΑΘ ΥΡΑ ΜΕΓΙΣΤΗ ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙ Α ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤ ΗΤΑ ΩΡΩΝ Ώρες στο Σιδηρουργείο Ώρες στο Βαφείο ΚΕΡΔΟΣ/ΠΡΟΪ ΟΝ Καλούμε τον solver (Εργαλεία Επίλυσης. Καταχωρούμε: Κελί Προορισμού Κελί Αντ. Συνάρτησης Επιλέγουμε κατηγορία Προβλήματος: Μέγιστο, Ελάχιστο Με αλλαγή των Κελιών: Τα κελιά με τους Αγνώστους Τις Συνθήκες (Περιορισμοί): Διαχείριση με την Προσθήκη, Αλλαγή, Διαγραφή και εμφάνιση ειδικού διαλόγου ΣΥΝΘΗΚΗ 1 0 <= 600 ΣΥΝΘΗΚΗ 2 0 <= 480 ΣΥΝΘΗΚΗ 3 0 >= 0 ΣΥΝΘΗΚΗ 4 0 >= 0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 0 21

22 ΑΓΝΩΣΤΟΙ Η Λύση (3) Πόρτες χ 60 Παράθυρα ψ 180 ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΠΟΡΤΕΣ ΠΑΡΑΘΥΡΑ ΜΕΓΙΣΤΗ ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΑ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ ΩΡΩΝ Ώρες στο Σιδηρουργείο Ώρες στο Βαφείο ΚΕΡΔΟΣ/ΠΡΟΪΟΝ ΣΥΝΘΗΚΗ <= 600 ΣΥΝΘΗΚΗ <= 480 ΣΥΝΘΗΚΗ 3 60 >= 0 ΣΥΝΘΗΚΗ >= 0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

23 Ασκήσεις 9. Να χρησιμοποιήσετε τον SOLVER προκειμένου να λύσετε τις ασκήσεις 1,2,3,4 και 5 23

24 Προβλήματα Ελαχιστοποίησης 24

25 Άσκηση 1 η 10. Μια εταιρία παρασκευάζει ένα αναψυκτικό με γεύση πορτοκαλί συνδυάζοντας σόδα πορτοκαλιού και χυμό πορτοκαλιού. Κάθε γραμμάριο σόδας πορτοκαλιού περιέχει 0,5 mg ζάχαρη και 1 mg βιταμίνης C. Κάθε γραμμάριο χυμού πορτοκαλιού περιέχει 0,25 mg ζάχαρη και 3 mg βιταμίνης C. To κόστος παραγωγής ενός γραμμαρίου σόδας πορτοκαλιού είναι 2 ενώ ενός γραμμαρίου χυμού πορτοκαλιού είναι 3. Το τμήμα μάρκετινγκ της εταιρίας αποφάσισε ότι κάθε μπουκάλι του αναψυκτικού πρέπει να περιέχει το πολύ 36 mg βιταμίνης C και το πολύ 4 mg ζάχαρης. Λύστε το πρόβλημα με γραμμικό προγραμματισμό ώστε να ικανοποιηθούν οι ανάγκες της εταιρίας με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Αν κάθε μπουκάλι αναψυκτικού περιέχει το πολύ 20 mg βιταμίνης C, πως μεταβάλλονται οι επιλογές της εταιρίας; A) Να λυθεί με τη μέθοδο SIMPLEX. B) Να πραγματοποιήσετε την ανάλυση ευαισθησίας 25

26 Άσκηση 2 η 11. Μια βιομηχανία κατασκευάζει δύο τύπου καναπέδων (κανονικό και μεγάλο) στα εργοστάσιά της στην Αθήνα και Λάρισα. Στην Αθήνα το εργοστάσιο μπορεί να παράγει καθημερινά 300 καναπέδες οποιαδήποτε μεγέθους με προϋπολογισμό κόστους Γνωρίζουμε ότι στο εργοστάσιο της Αθήνας κοστίζει 150 ο κανονικός καναπές και 200 ο μεγάλος. Στο εργοστάσιο της Λάρισας ο προβλεπόμενος ημερήσιος προϋπολογισμός είναι και μπορεί να παράγει το πολύ 250 καναπέδες οποιαδήποτε μεγέθους. Η ζήτηση της αγοράς απαιτεί ότι η παραγωγή σε κανονικούς καναπέδες δεν θα πρέπει να ξεπερνά τους 250 και σε μεγάλους τους 350. Το κέρδος ανά καναπέ είναι 50 για τους κανονικούς και 70 για τους μεγάλους. Πόσους καναπέδες πρέπει να παράγει ημερησίως ώστε να μεγιστοποιήσει το κέρδος. 26

27 Βιβλιογραφία Π. Υψηλάντη, Επιχειρησιακή Έρευνα: Λήψη Επιχειρηματικών Αποφάσεων, Εκδόσεις ΕΛΛΗΝ, Γ. Πραστάκος. Μαθηματικός Προγραμματισμός για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων, Εκδόσεις Σταμούλης, Δ. Ξηρόκωστας, Επιχειρησιακή Έρευνα Αντικείμενο και μεθοδολογία, Συμμετρία, Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, F.S. Hillier και G.L. Lieberman, Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Παπαζήση,

28 Τέλος Ενότητας