Προφανώς, λόγω των ίσων προβόλων, ο ανά μέτρο μήκους. 4 Ηδη από αυτό καταλαβαίνουμε ότι δεν έχει νόημα ο έλεγχος. σε διάτρηση.

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Δύσκαμπτο πέδιλο χωρίς ροπή. Δύσκαμπτο πέδιλο με ροπή 3. Εύκαμπτο πέδιλο χωρίς ροπή 3.Α Με οπλισμό διάτρησης 3.Β Χωρίς οπλισμό διάτρησης 1. Δύσκαμπτο κεντρικό πέδιλο (χωρίς ροπή) Ζητείται: Να σχεδιασθεί το πέδιλο του υποστυλώματος. Υλικά: C5/30, Β500C Υποστύλωμα 70x40 G=800kN, Q=700kN σ εδ,επ =00kPa (συνολική τάση υπό τα φορτία λειτουργίας γ εδ =0kN/m Προσδιορισμός διαστάσεων πεδίλου Προσδιορίζονται στην κατάσταση λειτουργικότητας. Ν=G+Q=1500kN Για να μην υπερβαίνεται η επιτρεπόμενη τάση εδάφους το απαιτούμενο εμβαδόν του πεδίλου πρέπει να είναι: σ εδ,επ =Ν/Α c + γ εδ *f 1 A=N/ (σ εδ,επ -γ εδ *f)= =1500/(0.*10 3-0*1.)=8.5m Πρέπει lx*ly=8.5m (1) Επειδή θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των ίσων προβόλων, πρέπει ταυτόχρονα να ισχύει (l x -b x )/=(l y -b y )/ () Από (1) και () προκύπτει l x =3.10m, l y =.80m(A c =8.68m ) Το ύψος h, προκειμένου να χαρακτηρισθεί το πέδιλο ως «άκαμπτο», πρέπει να ικανοποιεί την σχέση: h>(l x -b x )/4= ( )/4=0.6m εκλέγεται h=70cm (c=5cm) και u>h/3=3.3m u=30cm 1..Έλεγχος σε κάμψη O έλεγχος γίνεται στην φάση αστοχίας. Ν d =1.35G+1.5Q=1.35* *700=130kN (εδώ δεν λαμβάνεται υπόψη το ι.β. του πεδίλου ή το βάρος των γαιών μιας και αυτά δεν δίνουν ένταση στο πέδιλο) σ εδ,d =Ν d /Α=130/8.68=45.39kN/m Εφαρμόζοντας την μέθοδο των προβόλων θα έχουμε: -M x,d =M Εd =0.5*σ εδ,d *l y *[(l x -b x )/] = =0.5*45.39*.8*[( )/] =494.71kNm Εκτιμώντας ότι θα χρησιμοποιήσουμε Φ1 θα έχουμε d 1 = =0.644m και d = =0.63m Η διατομή που κάμπτεται έχει την παρακάτω μορφή, όπου η θλιβόμενη ζώνη είναι τραπεζοειδούς μορφής και άρα δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πίνακες ορθογωνικών διατομών. Επειδή δεν είναι υπέρ της ασφαλείας να επιλέξουμε ένα γεωμετρικό μέσο πλάτος, κάνουμε την δυσμενέστατη 1 Μιας και δεν είναι ακόμη γνωστό το ύψος του πεδίλου χρησιμοποιείται ένα αυξημένο ειδικό βάρος των γαιών ως μια μέση τιμή σκυροδέματος και γαιών. Η μέθοδος εφαρμόζεται καταχρηστικά, μιας και οι «πρόβολοι» αυτοί δεν είναι γραμμικά στοιχεία και άρα δεν ισχύει η παραδοχή της επιπεδότητας των διατομών. Ωστόσο τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι ασφαλή. ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΑΠΟ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ 8 ο Εξάμηνο, 31/3/016 Ασκήσεις πεδίλων παραδοχή ότι έχουμε ορθογωνική διατομή με b=b y =0.4m (του στύλου δηλαδή) και d=0.644m. Ο κίνδυνος από μια τέτοια παραδοχή είναι να μην μπορεί το σκυρόδεμα να αναπτύξει την επιθυμητή θλίψη και άρα να απαιτηθεί θλιβόμενος οπλισμός (να προκύψει μ>μ lim ). Στην σπάνια αυτή περίπτωση θα πρέπει κανείς να υπολογίσει με ακρίβεια το ολοκλήρωμα των θλιπτικών τάσεων καθύψος της διατομής μ sd =Μ Εd /[bd f cd ]=(494.71)/[0.4*0.644 *(0.85*5000/1.5)]= =0.1<μ lim ω=0.38 Α s1 =0.38*40*64.4*(0.85*5/1.5)/(500/1.15)= 0.0cm o οπλισμός αυτός κατανέμεται σε πλάτος l y =.8m και τοποθετούνται 18Φ1 (0.34cm ),.8/18=0.155 (Φ1/15.5) -M y,d =M Ed =0.5*σ εδ,d *l x *[(l y -b y )/] = =0.5*45.39*3.1*[(.8-0.4)/] =547.71kNm Ομοίως θεωρούμε ορθογωνική διατομή με b=b x =0.7m (του στύλου δηλαδή) και d=0.63m μ sd =Μ Εd /[bd f cd ]=(547.71)/(0.7*0.63 *(0.85*5000/1.5)] =0.138<μ lim ω=0.149 Α s1 =0.149*70*63.*(0.85*5/1.5)/(500/1.15)= =1.50cm o οπλισμός αυτός κατανέμεται πλάτος l x =3.1m και τοποθετούνται 0Φ1(.6cm ) 3.1/0=0.155(Φ1/15.5) Έλεγχος σε διάτμηση Τα δύσκαμπτα πέδιλα δεν κινδυνεύουν από διάτμηση και έτσι ο έλεγχος αμελείται Έλεγχος σε διάτρηση (EC, 6.4) Ομοίως τα δύσκαμπτα πέδιλα δεν κινδυνεύουν από διάτρηση, αλλά εδώ παρουσιάζεται ο έλεγχος για διδακτικούς λόγους. Σε πέδιλα μεταβλητού πάχους, ως στατικό ύψος μπορεί να ληφθεί το ύψος στην περίμετρο της φορτιζόμενης επιφάνειας (EC, 6.4.(6)) d eff =0.5[d x +d y ]=0.5[ ]=0.638m Περίμετρος φορτίου: u 0 =*0.4+*0.7=.m Επειδή d=1.76m>(.8-0.4)/=1.m 4 θα θεωρήσουμε βασική περίμετρο ελέγχου αυτή με r 1 =1.m=1.88d Κρίσιμη περίμετρος: u 1 =π[1.88*0.638]=7.53m 5 Έλεγχος μέγιστης αντοχής σε διάτρηση στην περίμετρο της φόρτισης. V Ed =Ν d -σ εδ,d *b x *b y = *0.7*0.4=061.3 kn v Ed =061.3/(.*0.638)= kN/m =1.47MPa v=0.6(1-f ck /50)=0.6(1-5/50)=0.54 v Rd,max =0.5vf cd =0.5*0.54*0.85*5/1.5= =4.50MPa>v Ed =1.47MPa 3 Προφανώς, λόγω των ίσων προβόλων, ο ανά μέτρο μήκους οπλισμός των δύο διευθύνσεων είναι ο ίδιος. 4 Ηδη από αυτό καταλαβαίνουμε ότι δεν έχει νόημα ο έλεγχος σε διάτρηση. 5 Οπου έχουμε αγνοήσει τα τμήματα της περιμέτρου τα οποία δεν «στηρίζονται» Κ. Τρέζος, 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος , Ασκήσεις πεδίλων, 31/3/016. 1/

2 Έλεγχος αντοχής έναντι διάτρησης στην κρίσιμη περίμετρο (αφαίρεση της δύναμης που αντιστοιχεί στο διαγραμμισμένο εμβαδό). V Ed =Ν d -σ εδ,d [b x *b y +*1.88d(b x +b y )+π(1.88d) ]= = [0.7*0.4+*1.( )+π*(1.88*0.638) ]= =304.95kN v Ed =304.95/(7.53*0.638)=63.46kN/m =0.064MPa ρ l = [ ρ lx *ρ ly ]= (1/d)* [ (A sx *A sy )/(l x *l y )]= =(1/63.8)* [ (0.34*.6)/(80*310)]= <0.0 k = 1+(00/d) 1/ = 1+(00/638) 1/ =1.6 < k=1.6 v Rd,c =C Rd,c k(100ρ l f ck ) 1/3 +k 1 σ cp = =[0.1*1.6*(100* *5) 1/3 =0.7MPa Η παραπάνω τιμή πρέπει να είναι μεγαλύτερη από: V Rd,c,min = (v min + k 1 cp ) όπου v min =0.035 k 3/ f ck 1/ =0.035*1.6 3/ *5 1/ =0.35MPa V Rd,c,min = 0.35MPa> v Rd,c =0.7MPa Άρα συγκρίνουμε v Rd,c,min >v Ed 0.35MPa>0.064MPa άρα δεν απαιτείται οπλισμός διάτρησης. άνω στρώση κάτω στρώση Κ. Τρέζος, 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος , Ασκήσεις πεδίλων, 31/3/016. /7

3 . Δύσκαμπτο έκκεντρο πέδιλο (με ροπή) Δίδονται: Υποστύλωμα 70x40 με G=800kN, Q=700kN, M G =160kNm, M Q =560kNm. Επιτρεπόμενη τάση εδάφους στην στάθμη θεμελίωσης (f=1.m) υπό τον χαρακτηριστικό συνδυασμό λειτουργίας (ψ=0.8) και τα ίδια βάρη γαιών και πεδίλου: σ εδ,επ =0.5MPa. Ζητείται ο σχεδιασμός του πεδίλου με την επιπλέον απαίτηση: υπό τα οιονεί μόνιμα φορτία (ψ =0.) οι τάσεις κάτω από το πέδιλο να είναι σταθερές ώστε να μην προκαλείται στροφή του πεδίλου. Υλικά: C5/30, Β500C. Το ίδιον βάρος των γαιών να ληφθεί αυξημένο ώστε να συμπεριληφθεί και το ίδιο βάρος του πεδίλου: γ εδ =kn/m 3.1. Υπολογισμός κατασκευαστικής εκκεντρότητας Προκειμένου να είναι σταθερές οι τάσεις υπό τα οιονεί μόνιμα φορτία θα πρέπει να δώσουμε μια κατασκευαστική εκκεντρότητα, e k, τέτοια ώστε: Μ τελ =[Μ G +M Q ]-[G+ψ Q]e κ =0 Άρα με ψ =0. θα έχουμε: Ν=G+0.*Q=800+0.*700=940 kn M= M G +0.*M Q =160+0.*560=7 knm Μ τελ =Μ-Ν*e κ =0 e κ =M/N=7/940=0.9m e κ =0.9m σ= Ν/Α c +γ εδ *f=940/ l x *l y +*1. f=1. έδαφος G,Q lx MG,MQ eκ= lx/ 0.30 ly=.70 h=0.90 σ min =0.14MPa σ max = Ν/Α c +γ εδ *f+6*μ τελ /l x *l y = 1360/3*.7+*1.+6*13.6/ 3 *.7=47.04kN/m σ max =0.47MPa Σημειώνεται ότι: για τις διαστάσεις αυτές, οι τάσεις υπό τα οιονεί μόνιμα φορτία G+ψ *Q είναι: σ= 940/ 3*.7+*1.=14.44kN/m σ=0.14mpa Επιλογή ύψους: Για να είναι δύσκαμπτο το πέδιλο θα πρέπει το ύψος h να ικανοποιεί την σχέση: h>(l x -b x )/4= (3-0.7)/4=0.575m h>(l y -b y )/4=(.7-0.4)/4=0.575m εκλέγεται h=90cm (c=5cm) και u>h/3=30cm u=30cm.3.έλεγχος σε κάμψη O έλεγχος γίνεται στην φάση αστοχίας για τον συνδυασμό 1.35G+1.5Q. Ν d =1.35G+1.5Q=1.35* *700=130kN Μ d =1.35M G +1.5M Q =1.35* *560=1056kNm Μ τελ =Μ-Ν*e κ = *130=438.3kNm Παρατήρηση: Αν μας είχαν πει ότι οι τάσεις του εδάφους δεν θα έπρεπε να υπερβαίνουν μια ορισμένη τιμή, σ εδ,επ,ult και για τον συνδυασμό αστοχίας (1.35G+1.50Q) (εκτός από τον συνδυασμό λειτουργίας) θα υπολογίζαμε τις τάσεις λαμβάνοντας υπόψη και την συμβολή του ιδίου βάρους των γαιών/πεδίλου: σ min,max = Ν/Α c +1.35*γ εδ *f±6*μ τελ /l x *l y σ min = Ν/Α c +1.35γ εδ *f-6*μ τελ /l x *l y = 130/3* **1.-6*438.6/ 3 *.7=190.3kN/m σ min =0.190MPa σ max = Ν/Α c +1.35γ εδ *f+6*μ τελ /l x *l y = 130/3* **1.+6*438.6/ 3 *.7=406.89kN/m σ max =0.407MPa Ροπή σχεδιασμού Για τον υπολογισμό των οπλισμών κάμψης, θα υπολογίσουμε την ροπή από τις τάσεις χωρίς να λάβουμε υπόψη την συμβολή του ιδίου βάρους των γαιών/πεδίλου (επειδή αναιρούνται από τις ίσες και αντίθετες τάσεις του εδάφους που προκαλεί το ι.β.). Αρα ο υπολογισμός θα γίνει με τις τάσεις: σ min = Ν/Α c -6*Μ τελ /l x *l y = 130/3*.7-6*438.6/ 3 *.7=154.67kN/m σ max = Ν/Α c +6*Μ τελ /l x *l y = 130/3*.7+6*438.6/ 3 *.7=371.5kN/m 1.44 lx= Προσδιορισμός διαστάσεων πεδίλου Προσδιορίζονται για συνδυασμό φόρτισης G+ψ*Q Άρα με ψ=0.8 θα έχουμε: Ν=G+0.8*Q= *700=1360 kn M= M G +0.8*M Q = *560=608 knm Μ τελ =Μ-Ν*e κ = *1360=13.6kNm σ min,max = Ν/Α c +γ εδ *f±6*μ τελ /l x *l y Για να μην υπερβαίνεται η επιτρεπόμενη τάση εδάφους το απαιτούμενο εμβαδόν του πεδίλου πρέπει να είναι: σ εδ,επ =Ν/Α c +γ εδ *f+6*μ τελ /l x *l y 0.5*10 3 =1360/ l x *l y +*1.+6*13.6/ l x *l y Επιλέγοντας l x =3.0m 3.6=453.33/ l y +14.4/ l y l y =( )/3.6 l y =.66 l y =.7m Για τις διαστάσεις αυτές και για τον συνδυασμό G+ψQ οι τάσεις κάτω από το θεμέλιο είναι: σ min = Ν/Α c +γ εδ *f-6*μ τελ /l x *l y = 1360/3*.7+*1.-6*13.6/ 3 *.7=141.56kN/m 0,14MPa 0,155MPa 0,190MPa Τάσεις εδάφους υπό τον οιονεί μόνιμο συνδυασμό λειτουργίας 0,67MPa Τάσεις εδάφουςυπό τον συνδυασμό αστοχίας G+Ψ*Q G+Ψ*Q 1,35G+1,5Q Τάσεις εδάφουςυπό τον χαρακτηριστικό συνδυασμό λειτουργίας 0,14MPa Τάσεις εδάφους υπό τον συνδυασμό αστοχίας για τον υπολογισμό των 0,47MPa οπλισμών 0,371MPa 0,407MPa Εφαρμόζοντας λοιπόν την μέθοδο των προβόλων θα έχουμε: Κατά την διεύθυνση x-x Υπολογίζουμε την ροπή στην παρειά του υποστυλώματος υπό την τραπεζοειδή φόρτιση (67kN/m -371kN/m ) M x,d =M Εd =0.5*67*.70*1.44 +(371-67)*.70*1.44 /3= = =941kNm Εκτιμώντας ότι θα χρησιμοποιήσουμε Φ1 θα έχουμε d 1 = =0.844m και d = =0.83m Έχουμε ορθογωνική διατομή με b=b y =0.4m (του στύλου δηλαδή) και d=0.844m M Εd =941kNm Κ. Τρέζος, 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος , Ασκήσεις πεδίλων, 31/3/016. 3/7

4 μ sd =Μ Εd /[bd f cd ]=(941)/(0.4*0.844 *(0.85*5000/1.5))=0.33 <μ lim ω=0.69 Α s1 =0.69*40*84.4*(0.85*5/1.5)/(500/1.15)=9.5cm o οπλισμός αυτός κατανέμεται σε πλάτος l y =.7m και τοποθετούνται 6Φ1 ή 70/6=10 (Φ1/10) Κατά την διεύθυνση y-y Υπολογίζουμε την ροπή στην παρειά του υποστυλώματος υπό την μέση τάση [( )/=63kN/m ] M y,d =M Εd =0.5*σ d *l x *[(l y -b y )/] = =0.5*63*3*[(.7-0.4)/] =51.65kNm Έχουμε ορθογωνική διατομή με b=b x =0.7m (του στύλου δηλαδή) και d=0.83m. μ sd =Μ Εd /[bd f cd ]=(51.65)/(0.7*0.83 *(0.85*5000/1.5))= =0.076<μ lim ω=0.079 Α s1 =0.079*70*83.*(0.85*5/1.5)/(500/1.15)= =15.08cm o οπλισμός αυτός κατανέμεται στο l x =3m και τοποθετούνται 15Φ1(16.95cm ) 300/15=0cm>s max =15cm, άρα Τοποθετείται ο ελάχιστος Φ1/15 (ή 0Φ1).4.Έλεγχος σε διάτμηση Τα δύσκαμπτα πέδιλα δεν κινδυνεύουν σε διάτμηση και έτσι ο έλεγχος αμελείται..5. Έλεγχος σε διάτρηση(ec, 6.4) Ομοίως και ο έλεγχος διάτρησης δεν απαιτείται αλλά παρουσιάζεται στην συνέχεια για διδακτικούς λόγους. Έλεγχος επάρκειας διατομής Σε πέδιλα μεταβλητού πάχους, ως στατικό ύψος μπορεί να ληφθεί το ύψος στην περίμετρο της φορτιζόμενης επιφάνειας (EC, 6.4.(6)) d eff =0.5[d x +d y ]=0.5[ ]=0.838m Περίμετρος επιφάνειας επιβολής του φορτίου: u 0 =*0.4+*0.7=.m στην περίμετρο της φόρτισης (λαμβάνεται υπόψη η μέση τάση). V Ed =Ν d -σ d *b x *b y =130-63*0.7*0.4=056.37kN v Ed =056.37/(.*0.838)= kN/m =1.1MPa ν=0.6(1-f ck /50)=0.6(1-5/50)=0.54 v Rd,max =0.5vf cd =0.5*0.54*5/1.5=4.50MPa> v Ed =1.1MPa άρα επαρκούν οι διαστάσεις Έλεγχος οπλισμού διάτρησης Επειδή d=1.676m>0.86m δηλαδή η βασική περίμετρος ελέγχου βγαίνει εκτός του θεμελίου, θα θεωρήσουμε κρίσιμη περίμετρο αυτή με r=0.86m 1.0d Περίμετρος ελέγχου: u=1*0.4+*0.7+π[0.86]+*0.86=6.m λαμβάνεται υπόψη η μέση τάση που επικρατεί στον άξονα του υποστυλώματος). V Ed =Ν d -σ εδ,d Α διαγραμ = =130-63[0.7*0.4+*0.86*( )+π*(0.86) ]=948kN Όταν η αντίδραση σε μια στήριξη δρα έκκεντρα ως προς την περίμετρο ελέγχου, η μέγιστη διατμητική τάση πρέπει να λαμβάνεται ίση με (EC, 6.4.3(3)): v Ed =β*v Ed /(u*d) όπου u είναι η θεωρούμενη περίμετρος ελέγχου σε απόσταση λd από το υποστύλωμα (συνήθως λ=, εδώ όμως λd=0.86m) β=1+k(m Ed /V Ed )*(u/w) (1) W 6 =c 1 /+c 1 c +λc d+4λ d +πλdc 1 Όπου c 1 είναι η διάσταση η παράλληλη προς την διεύθυνση της εκκεντρότητας και c η διάσταση η κάθετη στην διεύθυνση της εκκεντρότητας c 1 =0.7, c =0.4 W=c 1 /+c 1 c +λc d+4λ d +πλdc 1 = =0.7 /+0.7*0.4+*0.4*0.86+4*0.86 +*π*0.86*0.7=6.06m Το k εξαρτάται από τον λόγο c 1 /c και δίνεται στον παρακάτω πίνακα: c 1 /c 0,5 1,0,0 3,0 k 0,45 0,60 0,70 0,80 c 1 /c =0.7/0.4=1.75 με γραμμική παρεμβολή k=0.675 β=1+k(m Ed /V Ed )*(u/w)= (1056/948)*(7.6/6.06)= =1.94 Εναλλακτικώς προς την σχέση (1), ο Ευρωκώδικας προτείνει την παρακάτω προσεγγιστική σχέση για εσωτερικά ορθογωνικά 7 υποστυλώματα υπό διαξονική κάμψη (η οποία, όχι μόνο ισχύει και για διαξονική κάμψη, αλλά είναι και απλούστερη στην εφαρμογή-της από την (1)): e y e z b () z b y Όπου e y και e z οι εκκεντρότητες M Ed /V Ed κατά μήκος των αξόνων y και z αντίστοιχα b y και b z οι εξώτερες διαστάσεις της περιμέτρου ελέγχου (του περιγράψιμου ορθογωνίου, βλ. και τις σχετικές σημειώσεις του μαθήματος) 1056 Εδώ θα είχαμε: v Ed =β*v Ed /(u*d)=1.94*948/(6.*0.838)=89kn/m = =0.35MPa ρ l = [ ρ lx *ρ ly ]= (1/d)* [ (A sx *A sy )/(l x *l y )]= =(1/83.8)* [ (9.38*.6)/(70*300)]= <0.0 k = 1+(00/d) 1/ = 1+(00/838) 1/ =1.48 < k=1.48 v Rd,c =C Rd,c k(100ρ l f ck ) 1/3 +k 1 σ cp = =[0.1*1.48*(100* *5) 1/3 =0.47MPa Η παραπάνω τιμή πρέπει να είναι μεγαλύτερη από: v Rd,c,min = (v min + k 1 cp ) = v min όπου v min =0.035 k 3/ f ck 1/ =0.035*1.48 3/ *5 1/ =0.315MPa V Rd,c,min = 0.315MPa> v Rd,c =0.47MPa Άρα συγκρίνουμε v Rd,c,min >v Ed 0.315*[d/a]MPa=0.63>0.35MPa άρα δεν απαιτείται οπλισμός διάτρησης στην κρίσιμη περίμετρο (αφαίρεση διαγραμμισμένου εμβαδού, 6 Στον Ευρωκώδικα δίνεται η σχέση για κρίσιμη περίμετρο σε απόσταση d. Εδώ γενικεύεται η σχέση για κρίσιμη περίμετρο σε απόσταση λd. 7 Για κυκλικό υποστύλωμα, διαμέτρου D, η σχέση () γράφεται: e D 4d Κ. Τρέζος, 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος , Ασκήσεις πεδίλων, 31/3/016. 4/7

5 3. Εύκαμπτο κεντρικό πέδιλο (χωρίς ροπή) Ζητείται: Να οπλιστεί το παρακάτω πέδιλο. Υλικά: C5/30, Β500C, Υποστύλωμα 40x40 G=650kN, Q=500kN Επιτρεπόμενη τάση εδάφους που προέρχεται από τα φορτία της ανωδομής μόνο (δηλαδή μη λαμβανομένων υπόψη των τάσεων από το ίδιο βάρους των γαιών και καταχρηστικά και του πεδίλου): σ εδ,επ =0.15 MPa 3.Α.1. Προσδιορισμός διαστάσεων πεδίλου : Προσδιορίζονται στην κατάσταση λειτουργικότητας. Ν=G+Q=1150kN Για να μην υπερβαίνεται η επιτρεπόμενη τάση εδάφους το απαιτούμενο εμβαδόν του πεδίλου πρέπει να είναι: A=N/ σ εδ,επ =1150*10-3 /0.15=7.67m Άρα εκλέγεται lx=ly=.8m A=7.84m Επίσης εκλέγεται h=40cm 8 (c=5cm) 3.Α..Έλεγχος σε κάμψη : O έλεγχος γίνεται στην φάση αστοχίας. Ν d =1.35G+1.5Q=1.35* *500=167.5kN σ εδ,d =Ν/Α=167.5/7.84=07.6kN/m Εκτιμώντας ότι θα χρησιμοποιήσουμε Φ1 θα έχουμε d 1 = =0.344m και d = =0.33m και θα χρησιμοποιήσουμε το μικρότερο d =0.33m Εφαρμόζοντας την μέθοδο των προβόλων θα έχουμε: Ροπή ως προς τον άξονα του υποστυλώματος 9 : M x,d =M Ed =0.5*σ εδ,d *l y *[l x /] = =0.5*07.6*.8*[.8/] =569.65kNm Έχουμε ορθογωνική διατομή με b=l y =.8m και d=0.33m M Ed = knm μ sd =Μ Εd /[bd f cd ]=(569.65)/(.8*0.33 *(0.85*5000/1.5))= =0.131<μ lim ω=0.141 Α s1 =0.141*80*33.*(0.85*5/1.5)/(500/1.15)=4.7cm Ο οπλισμός αυτός κατανέμεται στο πλάτος l y =.8m και τοποθετούνται 38Φ1(4.77cm ).8/38=0.073 (Φ1/7) Ομοίως και για την διεύθυνση y. Ισοδυνάμως θα μπορούσαμε να τοποθετήσουμε Φ14/10 3.Α.3. Έλεγχος σε διάτρηση (EC, 6.4) d eff =0.5[d x +d y ]=0.5[ ]=0.338m Περίμετρος επιφάνειας επιβολής του φορτίου: u 0 =4*0.4=1.6m Κρίσιμη περίμετρος (απόσταση d=0.676m από παρειά υποστυλώματος ): u 1 =4* *[4*0.338]=5.85m 8 Παρόλο που το ελάχιστο πάχος μεμονωμένου πεδίλου είναι 50cm, θα κάνουμε τους υπολογισμούς με h=40cm για να φανεί πώς γίνονται οι έλεγχοι διατρήσεως. 9 Λαμβάνουμε ροπές ως προς τον άξονα του υποστυλώματος (και όχι ως προς την παρειά), επειδή το αυξημένο στατικό ύψος που έχουμε στην περιοχή του υποστυλώματος δεν διατίθεται σε όλο το πλάτος του πεδίλου. Έλεγχος μέγιστης αντοχής σε διάτρηση στην περίμετρο της φόρτισης. V Ed =Ν d -σ εδ,d *b x *b y = *0.4*0.4=1594.8kN v Ed =1594.8/(1.6*0.338)=948kN/m =.94MPa ν=0.6(1-f ck /50)=0.6(1-5/50)=0.54 v Rd,max =0.5νf cd =0.5*0.54*5/1.5=4.50MPa> v Ed =.94MPa άρα επαρκούν οι διαστάσεις. Έλεγχος και υπολογισμός οπλισμού διάτρησης Κανονικά ο έλεγχος σε διάτρηση γίνεται στην κρίσιμη διατομή που απέχει απόσταση d από το υποστύλωμα. Ωστόσο, επειδή στα θεμέλια αφαιρούμε τις ευνοϊκές δράσεις που βρίσκονται μέσα στην κρίσιμη περίμετρο, είναι πιθανό σε μια μικρότερη απόσταση λd (λ<) η μείωση της συνολικής δρώσας τέμνουσας δύναμης να είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη μείωση της κρίσιμης περιμέτρου. Πολύ δε περισσότερο που η μείωση του φορτίου είναι ανάλογη του λ ενώ η μείωση του μήκους είναι ανάλογη του λ. Βέβαια, από την άλλη πλευρά, αν κάνουμε έλεγχο σε απόσταση λd<d, τότε η αντοχή αυξάνει κατά τον λόγο /λ (σχέση 6.50 του Ευρωκώδικα ). Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι δεν είναι σαφές ποια είναι η δυσμενέστερη θέση της κρίσιμης διατομής. Για τον λόγο αυτό, θα εκφράσουμε όλα τα μεγέθη συναρτήσει της παραμέτρου λ και θα αναζητήσουμε την δυσμενέστερη θέση. στην επιφάνεια της κρίσιμης περιμέτρου. V Ed =Ν d -σ εδ,d [b x *b y +λd(b x +b y )+λ πd ]= = [0.4 +*λ*0.338( )+λ *3.14*0.338 ] u=(b x +b y )+λπd=1.6+.1λ v Ed =V Ed /[ud] -στις διευθύνσεις x,y έχουμε τοποθετήσει 4.7cm ρ lx = ρ ly =(4.7)/(80*33.8)= ρ l = [ ρ lx *ρ ly ]=0.0045<0.0 k = 1+(00/d) 1/ = 1+(00/338) 1/ =1.77 < k=1.77 v Rd,c =C Rd,c k(100ρ l f ck ) 1/3 (/λ)= =[0.1*1.77*(100*0.0045*5) 1/3 (/λ)=0.48*(/λ)mpa Η παραπάνω τιμή πρέπει να είναι μεγαλύτερη από: v min =0.035 k 3/ f ck 1/ (/λ)=0.035*1.77 3/ *5 1/ =0.41(/λ) v Rd,c,min = 0.41MPa<v Rd,c =0.48MPa Άρα συγκρίνουμε την τιμή 0.48(/λ)MPa με την τιμή v Ed MPa. Στον παρακάτω πίνακα υπολογίζονται τα παραπάνω μεγέθη για διάφορες τιμές του λ από όπου προκύπτει η δυσμενέστερη θέση: λ V Ed U 5,85 5,4 4,57 4,00 3,7 3,30 v Ed v Rd,c v Rd,c - v Ed v Ed v Rdc Η δυσμενέστερη θέση είναι για λ=1.13d όπου μεγιστοποιείται η διαφορά μεταξύ αντοχής και δράσης (εδώ βέβαια όποια τιμή λ και αν είχαμε πάρει θα προέκυπτε ότι απαιτείται οπλισμός διατρήσεως. Διαμόρφωση οπλισμού διάτρησης (ΕC, 9.4.3, 6.4) Ο οπλισμός διάτρησης πρέπει να τοποθετείται μεταξύ της φορτιζόμενης επιφάνειας (περίμετρος υποστυλώματος) και της περιμέτρου σε απόσταση 1.5d εσώτερα της περιμέτρου ελέγχου στην οποία ο οπλισμός διάτμησης δεν είναι απαραίτητος. Πρέπει να τοποθετούνται σκέλη συνδετήρων σε δύο τουλάχιστον περιμέτρους. Η ακτινική απόσταση μεταξύ των περιμέτρων δεν θα πρέπει να ξεπερνά το s max =0.75d. Περίμετρος πέρα από την οποία δεν απαιτείται οπλισμός διάτρησης: για το θέμα αυτό δεν είναι σαφές στον ευρωκώδικα αν ο υπολογισμός θα πρέπει να γίνει με την V Ed Κ. Τρέζος, 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος , Ασκήσεις πεδίλων, 31/3/016. 5/7

6 και v Rdc που αντιστοιχούν στην απόσταση d ή στην δυσμενέστερη απόσταση που βρήκαμε (1.13d). Ισως το πιο λογικό είναι το δεύτερο έτσι ώστε να έχουν συνέπεια οι υπολογισμοί. Στην συνέχεια παρουσιάζονται και οι δύο εκδοχές: V Ed και v Rdc σε απόσταση d: u out,1 = V Ed / (v Rdc d eff ) =107/(476*0.338) = 6.61m Οπότε η απόσταση της περιμέτρου αυτής από την παρειά του υποστυλώματος είναι : u out,1 = b x + b y + π(r outef ) = *0.4 + *0.4 + π r outef r out,1 = 0.80m V Ed και v Rdc σε απόσταση 1.13d: u out, = V Ed / (v Rdc d eff ) =1373/(844*0.338) = 4.81m Η απόσταση της περιμέτρου αυτής από την παρειά του υποστυλώματος είναι : u out, = b x + b y + π(r outef ) = *0.4 + *0.4 + π r outef r out, = 0.51m -Η πρώτη σειρά οπλισμών δεν επιτρέπεται να απέχει απόσταση μικρότερη από 0.30d = 0.30*0.338=0.1014m από την περίμετρο του υποστυλώματος και μικρότερη από 0.5d. Επιλέγεται η πρώτη σειρά οπλισμών να τοποθετηθεί σε απόσταση r a =0.15m - Η επόμενες σειρές δεν πρέπει να απέχουν απόσταση περισσότερο από 0.75d 0.5m. Δηλαδή η δεύτερη σειρά θα βρίσκεται σε απόσταση =0.40m από το υποστύλωμα. -Εξ άλλου, η τελευταία σειρά οπλισμών δεν επιτρέπεται να απέχει απόσταση μεγαλύτερη του 1.5d =1.5*0.338=0.51m από την εξώτατη περίμετρο u out δηλαδή θα πρέπει να εκτείνεται πέρα από =0.9 (ή στην δεύτερη εκδοχή =0m) από την παρειά του υποστυλώματος Αρα, ούτως ή άλλως, θα τοποθετήσουμε δύο σειρές συνδετήρων που είναι το ελάχιστο επιτρεπόμενο πλήθος σειρών. Τα αντίστοιχα μήκη των περιμέτρων είναι: Το μήκος της 1 ης περιμέτρου ισούται με u a = b x + b y + π(r f ) = *0.4 + *0.4 + π(0.15)=.54m Το μήκος της ης περιμέτρου ισούται με u b = b x + b y + π(r s ) = *0.4 + *0.4 + π(0.40)= 4.11m Υπολογισμός οπλισμού διάτρησης V Ed =1373kN Περίμετρος ελέγχου (απόσταση 1.13d=0.38m από παρειά υποστυλώματος ): u=4*0.4+*π*[1.13d]=3.998m=4m v Rd,cs = 0.75v Rd,c +1.5(d/s r )A sw *f ywd,ef (1/(u*d))sinα με f ywd,ef = d eff =50+0.5*338=334.5MPa f ywd = MPa α=90 ο s r = s r,max =0.75d = 0.5m προκύπτει : = 0.75* *(0.338/0.5)* A sw * * (1/(4*0.338) 1.017= * A sw 0.384=501.75* A sw A sw =7.65*10-4 m =7.6cm ο οποίος είναι ο οπλισμός που τοποθετείται σε κάθε περίμετρο Θα υπολογιστεί η μέγιστη απόσταση, s t, μεταξύ των οπλισμών σε μια περίμετρο, θεωρώντας ότι θα χρησιμοποιηθούν οπλισμοί Φ10, ώστε να ικανοποιείται ο έλεγχος της ελάχιστης διατομής σκέλους. A sw,min *(1.5 sinα + cosα)/(s r s t ) 0.08 (f ck ) 1/ /f yk Όπου f yk = 500MPa f ck = 5MPa s r είναι η απόσταση μεταξύ των περιμέτρων οπλισμού και ισούται με 0.5m A sw,min *1.5/(s r *s t ) 0.08*(f ck ) 1/ /f yk 0.79*10-4 *1.5/(0.5* s t ) 0.08*(5) 1/ / * * s t s t,max 0.59m Ταυτόχρονα, επειδή και οι δύο σειρές βρίσκονται σε αποστάσεις εντός της βασικής περιμέτρου r 1 =d, (παρ (1)) η απόσταση των οπλισμών δεν πρέπει να ξεπερνάει το 1.5d=1.5*0.338=0.507m< s t,max =0.59m Στην 1 η περίμετρο θα μπορούσαμε να τοποθετήσουμε 10 «κατακόρυφα σκέλη» Φ10 (A s =7.79cm ) ανά.8/10=0.8m, αλλά τελικά για να έχουμε συμμετρική διάταξη τοποθετούμε 1Φ10 (A s =9.48cm ) ανά.54/1=1 Φ10/1 Στην η περίμετρο ομοίως τοποθετούμε 1 «κατακόρυφα σκέλη» Φ10 (1Φ10 A s =9.48cm ) ανά 4.11/1=0.343m < s t,max =0.59m. Τα «κατακόρυφα σκέλη» πρέπει να είναι αγκυρωμένα στα άκρα-τους. Η αγκύρωση αυτή μπορεί να επιτευχθεί: Είτε με ειδικούς βιομηχανικούς οπλισμούς μορφής «ήλου με δύο πεπλατυσμένες κεφαλές» Είτε με σιγμοειδείς συνδετήρες Είτε με κλειστούς συνδετήρες (ανά δύο σκέλη σχηματίζουν έναν συνδετήρα) Είτε με έναν συνεχή μαίανδρο ο οποίος καμπτόμενος παίρνει την μορφή της καμπύλης της κάθε σειράς. Ως γενική αρχή, οι διατεμνόμενοι συνδετήρες πρέπει να περιβάλλουν τα διαμήκη σίδερα. Η ομοιόθετη ακτινική διάταξη (Σχήμα 1) δεν ικανοποιεί εύκολα αυτή την απαίτηση. Εναλλακτικός τρόπος όπλισης (σε δύο κάθετες διευθύνσεις: Σχήμα ) (βλ. Σχ.6. Β του EC). Ισχύουν όλες οι προηγούμενες απαιτήσεις για τις αποστάσεις κατά την διάταξη των οπλισμών, όμως επιπλέον πρέπει η κεκλιμένη απόσταση των ακραίων ράβδων της τελευταίας σειράς οπλισμών να είναι μεγαλύτερη από d, κάτι το οποίο οδηγεί, στην περίπτωση μας, στην ανάγκη τοποθέτησης και τρίτης σειράς οπλισμών (βλ. Σχ. ). Με την διάταξη αυτή οι συνδετήρες είναι εύκολο να περιβάλουν τα διαμήκη σίδερα. Σε κάθε περίπτωση (είτε ακτινική διάταξη είτε σε δύο κάθετες διευθύνσεις) θα πρέπει να τοποθετηθεί και μια εσχάρα (montage) στο πάνω μέρος του πεδίλου για την συγκράτηση των συνδετήρων. Κ. Τρέζος, 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος , Ασκήσεις πεδίλων, 31/3/016. 6/7

7 0.40<1.5d=0.51 ua ub d= Φ περίμετρος ελέγχου u Φ10 u,1 uout, uout,1.80 Ν d =1.35G+1.5Q=1.35* *500=167.5kN σ εδ,d =Ν/Α=167.5/7.84=07.6kN/m Εκτιμώντας ότι θα χρησιμοποιήσουμε Φ1 θα έχουμε d 1 = =0.444m και d = =0.43m και θα χρησιμοποιήσουμε το μικρότερο d =0.43m Εφαρμόζοντας την μέθοδο των προβόλων θα έχουμε: Ροπή ως προς το κέντρο του υποστυλώματος M x,yd =M Ed =0.5*σ εδ,d *l x,y *[l x,y -/] = =0.5*07.6*.8*[.8/] =569.65kNm Έχουμε ορθογωνική διατομή με b=l x,y =.8m και d=0.43m M sd = knm μ sd =Μ Εd /[bd f cd ]=(569.65)/(.8*0.43 *(0.85*5000/1.5))= =0.078<μ lim ω= Α s1 =0.081*80*43.*(0.85*5/1.5)/(500/1.15)=3cm o οπλισμός αυτός κατανέμεται στο l y =.8m και τοποθετούνται 9Φ1(3.77cm ).8/9= (Φ1/9.5) Σχήμα 1: Ομοιόθετη-ακτινική διάταξη οπλισμού διατρήσεως u,c 1.06>d= <d= Φ1 1Φ1 1Φ1 u,a u,b u,out Σχήμα : Διάταξη οπλισμού διατρήσεως σε δύο κάθετες διευθύνσεις 3.Α.4.Έλεγχος σε διάτμηση : Ο έλεγχος σε διάτρηση δεν είναι απαραίτητος μιας και γίνεται έλεγχος σε διάτρηση (αν και αυτό δεν αναφέρεται ευθέως στον ευρωκώδικα). u, Β. Έλεγχος σε διάτμηση : Ο έλεγχος σε διάτμηση δεν είναι απαραίτητος μιας και γίνεται έλεγχος σε διάτρηση (αν και αυτό δεν αναφέρεται ευθέως στον ευρωκώδικα). 3.Β.3. Έλεγχος σε διάτρηση (EC, 6.4) d eff =0.5[d x +d y ]=0.5[ ]=0.438m Περίμετρος φορτίου: u 0 =4*0.4=1.6m Κρίσιμη περίμετρος: u 1 =4* *[4*0.438]=7.1m Έλεγχος μέγιστης αντοχής σε διάτρηση στην περίμετρο της φόρτισης. V Ed =Ν d -σ εδ,d *b x *b y = *0.4*0.4= kn v Ed =1594.8/(1.6*0.438)=74.94kN/m =.7MPa ν=0.6(1-fck/50)=0.6(1-5/50)=0.54 v Rd,max =0.5νf cd =0.5*0.54*5/1.5=4.50MPa> v Ed =.7MPa άρα επαρκούν οι διαστάσεις Έλεγχος αντοχής πλάκας έναντι διάτρησης Οπως και προηγουμένως οι υπολογισμοί συνοψίζονται στον επόμενο πίνακα: λ V Ed U 7,10 6,55 5,45 4,87 4,35 3,80 v Ed v Rd,c v Rd,c - v Ed Η δυσμενέστερη θέση είναι για λ=1.19d όπου ελαχιστοποιείται η διαφορά μεταξύ αντοχής και δράσης. Όμως για την θέση αυτή δεν απαιτείται οπλισμός διατρήσεως. 3.Β. Αλλαγή ύψους ώστε να μην απαιτείται οπλισμός διατρήσεως h=50cm Η παραπάνω επίλυση, με h=0.40m, έγινε για να φανεί ο τρόπος όπλισης σε διάτρηση. Στην πράξη όμως, συνήθως φροντίζουμε να αυξήσουμε το ύψος του πεδίλου ώστε να μην απαιτείται οπλισμός διάτρησης ή διάτμησης. Αν επιλέξουμε λοιπόν ως h=50cm (που είναι άλλωστε και το ελάχιστο ύψος μεμονωμένου πεδίλου) θα έχουμε: 3.Β.1.Έλεγχος σε κάμψη : O έλεγχος γίνεται στην φάση αστοχίας. Κ. Τρέζος, 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος , Ασκήσεις πεδίλων, 31/3/016. 7/7