P x = X k 2 (2) = = p = 78% (5)

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 08-9 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Εξέταση Προόδου - Λύσεις Θέµα - Βαθµός : 5 Ενα πραγµατικό περιοδικό σήµα όταν αναπτυχθεί σε εκθετική σειρά Fourier έχει συντελεστές (αʹ) (5 µ.) Πόση είναι η ισχύς P x του σήµατος ; [ X, X, X 3, X 4, X 5 ] = [ 4e jπ/5, e jπ/, e jπ/6, 3e jπ/3, e jπ/9 ] () (ϐʹ) (0 µ.) Τι ποσοστό της συνολικής ισχύος του σήµατος οφείλεται αθροιστικά στους δυο πρώτους όρους της τριγωνοµετρικής αναπαράστασής του σε Σειρά Fourier (δηλ. στο πρώτο και δεύτερο ηµίτονο - k = και k = ); (αʹ) Η ισχύς του σήµατος µπορεί να ϐρεθεί από το ϑεώρηµα του Prsevl ως P x = + και αφού το σήµα είναι πραγµατικό, έχουµε X k = X k και X k = X k = X k. Ετσι X k () P x = (4 + ( ) + + ( 3) + ) = 3 = 46 (3) (ϐʹ) Το πρώτο και το δεύτερο ηµίτονο σχηµατίζουν το πλάτος τους από τους όρους X, X και X, X, έχουµε P, = X + X + X + X = = 36 (4) κι έτσι p = P, = = p = 78% (5) P x 46 Θέµα - Βαθµός : 5 Ενα πολύ καλό και διάσηµο ξενόγλωσσο σύγγραµµα επεξεργασίας σήµατος αναφέρει ότι το περιοδικό σήµα του Σχήµατος έχει τους πολύ περίπλοκους συντελεστές Fourier που αναγράφονται στη ϕωτοτυπία στο πλαίσιο. είξτε ότι αν γνωρίζετε το Παράδειγµα 4.8 των σηµειώσεών σας, δηλ. ότι το περιοδικό σήµα που περιγράφεται σε µια περίοδό του ως y T0 (t) = A t, T 0 T 0 < t < T 0 (6) έχει συντελεστές Y 0 = 0, Y k = A πk ( )k e jπ/ (7) τότε µπορείτε να εξάγετε την κοµψότερη έκφραση των συντελεστών του σήµατος του Σχήµατος ως X 0 = 4, X k = 3 ( ) 4 πk ( )k e j π πk 3 Μπορούµε να µετατρέψουµε το δοθέν σήµα στο Ϲητούµενο ως x(t) = ( 4 + y t ) 4 (8) (9) δηλ. κάνοντας τα εξής : Αρχικά, ϑέτοντας A = 3 4 και T 0 = 3, δηλ. y T0 (t) = 3 4 t, 3 4 < t < 3 4 Y k = 0, Y k = 3 4 πk ( )k e jπ/ () (0)

2 Σχήµα : Περιοδικό Σήµα Θέµατος. Μετατοπίζοντας προς τα δεξιά το παραπάνω σήµα y T0 (t) κατά t 0 = 4, οι συντελεστές γίνονται Y k e jπk/t0 3 4 = 4 πk ( )k e jπ/ e jπk/t0 3 4 = 4 πk ( )k e jπ/ e j4πk/3 4 () = 3 4 πk ( )k e jπ/ e jπk/3 = 3 4 πk ( )k e j(π/ πk/3) (3) = X k (4) Προσθέτουµε τη σταθερά /4, δηλ. Y 0 4 = X 0. Η ακολουθία µετατροπής ϕαίνεται στο Σχήµα. Θέµα 3 - Βαθµός : 30 (αʹ) (0 µ.) είξτε ότι ο µετασχ. Fourier του σήµατος x(t) = e t u(t) e t u( t), > 0 είναι (ϐʹ) (5 µ.) είξτε ότι µε F {sgn(t)} το µετασχ. Fourier της συνάρτησης προσήµου sgn(t). (γʹ) (5 µ.) Γνωρίζετε ότι είξτε ότι 4πf X(f) = j + 4π f (5) X(f) = F {sgn(t)} (6) y(t) = e t u(t), > 0 Y (f) = µε F {u(t)} το µετασχ. Fourier της ϐηµατικής συνάρτησης. + jπf (7) Y (f) = F {u(t)} (8) (αʹ) Ξέρουµε ότι e t u(t), > 0 + jπf (9)

3 Σχήµα : Λύση Θέµατος. και (ϐʹ) Είναι e t u( t), > 0 jπf x(t) = e t u(t) e t u( t) X(f) = + jπf jπf = j 4πf + 4π f () ( X(f) = 4πf ) j + 4π f = j 4πf 4π f = jπf (0) = F {sgn(t)} () (γʹ) Είναι Εδώ Y (f) = + jπf = jπf + jπf (3) ( = + 4π f + j πf ) + 4π f = + 4π f + j πf + 4π f (4) ενώ για f = 0, το όριο αυτό απειρίζεται. Επιπλέον, έστω + 4π = 0, f 0 (5) f Z(f) = + 4π f (6) και z(t) το σήµα που αντιστοιχεί ο παραπάνω µετασχηµατισµός. Από πίνακες Ϲευγών ξέρουµε ότι e t + 4π f (7) 3

4 z(t) = e t Z(f) = + 4π f (8) Ετσι, Προφανώς + 4π f df = Z(f)df = Αυτό σηµαίνει ότι το εµβαδό κάτω από τη γραφική παράσταση z(0) = +4π f Z(f)e jπft df = z(0) (9) t=0 είναι. Τα παραπάνω δυο στοιχεία, δηλ. (30) + 4π = 0, f 0 (3) f + 4π f df = συνιστούν ότι η συνάρτηση αυτή, όταν 0, συµπεριφέρεται όπως η συνάρτηση έλτα µε επιφάνεια /, κι έτσι (3) + 4π f = δ(f) (33) Οσο για το δεύτερο όριο, απλά πf + 4π f = jπf Y (f) = δ(f) + jπf (34) = F {u(t)} (35) Θέµα 4 - Βαθµός : 30 Εστω το περιοδικό σήµα που ϕαίνεται στο Σχήµα 3. είξτε ότι ο µετασχ. Fourier του περιοδικού σήµατος δίνεται ως Σχήµα 3: Περιοδικό Σήµα Θέµατος 4. X(f) = ( ( k ) sinc e jπk πk j ) ( δ f k ) (36) Θα υπολογίσουµε το µετασχ. Fourier του περιοδικού σήµατος x(t) µέσω του µετασχ. Fourier µιας περιόδου του σήµατος, x T0 (t). Η περίοδος είναι T 0 =, και επιλέγουµε ως µια περίοδο x T0 (t) το τµήµα από 0 ως δευτερόλεπτα, το οποίο και είναι σήµα ενέργειας πλέον, έχει µετασχ. Fourier. Παραγωγίζοντάς το, παίρνουµε όπως στο Σχήµα 4 το οποίο έχει µετασχ. Fourier d ( dt x T 0 (t) = δ(t) rect t ) jπfx T0 (f) = sinc(f)e jπf (38) Γνωστό στη διεθνή ϐιβλιογραφία και ως πτερύγιο σµήνους µικρών καρχαριών που κολυµπούν προς τα δεξιά... (37) 4

5 Σχήµα 4: Σήµα ενέργειας και παράγωγός του. από την ιδιότητα της παραγώγισης στο χρόνο. Οπότε X T0 (f) = jπf ( sinc(f)e jπf ) (39) Σύµφωνα µε τη σχέση µετασχηµατισµού και σειράς Fourier, µπορούµε να ϐρούµε τους συντελεστές X k ως X k = X T0 (f) = ( ( k ) ) T 0 f=k/t0 jπ k sinc e jπ k = ( ( k ) ) sinc e jπ k jπk (40) Ο συντελεστής X 0 πρέπει να υπολογιστεί ξεχωριστά και εύκολα δίνεται ότι ισούται µε /4. Οπότε ο µετασχ. Fourier του περιοδικού σήµατος δίνεται ως X(f) = X X k δ (f k ) = + T ( ( k ) ) ( sinc e jπ k δ f k ) jπk (4) Θέµα 5 - Βαθµός : 0 Εστω το ΓΧΑ σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση Υπολογίστε d dt y(t) + 4 d dt y(t) + 3y(t) = d x(t) + x(t) (4) dt (αʹ) (5 µ.) την απόκριση σε συχνότητα του συστήµατος, H(f) (ϐʹ) (5 µ.) την κρουστική απόκριση του συστήµατος, h(t) (αʹ) Εφαρµόζοντας την ιδιότητα της παραγώγισης στο χρόνο, έχουµε d dt y(t) + 4 d dt y(t) + 3y(t) = d dt x(t) + x(t) (jπf) Y (f) + 4(jπf)Y (f) + 3Y (f) = jπfx(f) + X(f) (43) ((jπf) + 4(jπf) + 3)Y (f) = (jπf + )X(f) (44) Y (f) X(f) = H(f) = (jπf + ) (jπf) + 4(jπf) + 3 (45) Οπότε η απόκριση σε συχνότητα είναι H(f) = (jπf + ) (jπf) + 4(jπf) + 3 (46) (ϐʹ) Θέτουµε u = jπf και εφαρµόζουµε ανάπτυγµα σε µερικά κλάσµατα, µε (u + ) u + 4u + 3 = A u + + A = u + = u + 3 u= B = u + = u + u= 3 B u + 3 (47) (48) (49) 5

6 H(f) = + jπf jπf Από γνωστά Ϲεύγη µετασχηµατισµού Fourier έχουµε (50) h(t) = e t u(t) + e 3t u(t) (5) Θέµα 6 - Βαθµός : 0 Υπολογίστε τα παρακάτω (αʹ) (.5 µ.) cos(t)δ(t π)dt (ϐʹ) (.5 µ.) sin(τ)u(τ)dτ (γʹ) (.5 µ.) sin(τ)δ(τ)dτ 3 (δʹ) (.5 µ.) cos(πt)δ(t 4)dt 3 (αʹ) Είναι (ϐʹ) Αφού είναι για t > 0, δηλ. (γʹ) Αφού τότε γιατί sin(0) = 0. sin(τ)u(τ)dτ = 0 cos(t)δ(t π)dt = cos(t) = cos(π) = (5) t=π u(τ) =, τ > 0 (53) sin(τ)dτ = cos(τ) t = (cos(t) ) = cos(t) (54) 0 sin(τ)u(τ)dτ = ( cos(t))u(t) (55) f(t)δ(t) = f(0)δ(t) (56) sin(τ)δ(τ)dτ = sin(0)δ(τ)dτ = 0 (57) (δʹ) Είναι 3 cos(πt)δ(t 4)dt = 0 (58) 3 αφού ολοκληρώνουµε σε διάστηµα που δεν περιέχει τη συνάρτηση έλτα (η οποία ϐρίσκεται στο t = 4). Μονάδες : 30 Άριστα : 0 6