Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους.

Transcript

1 Άσκηση. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους. α) y, β) y, γ) y, δ) y, ε) y ( ) Να προσδιοριστούν γραφικά και µε υπολογισµό οι ασύµπτωτες που υπάρχουν. (Μονάδες 5) ΛΥΣΗ α ) Επειδή y, ο παρονοµαστής µηδενίζεται στο, ο άξονας των y είναι η κατακόρυφη ασύµπτωτη. Ακόµα, επειδή lim, ο άξονας των είναι η οριζόντια ασύµπτωτη. β). Έχουµε y. Συνεπώς υπάρχει κατακόρυφη ασύµπτωτη στο (σηµείο µηδενισµού του παρονοµαστή της συνάρτησης). Επειδή lim y ο άξονας των είναι η οριζόντια ασύµπτωτη.

2 γ) Οµοίως βρίσκουµε κατακόρυφη ασύµπτωτη στο και οριζόντια ασύµπτωτη από το lim lim lim στο σηµείο y δ) Ο παρονοµαστής µηδενίζεται στο εποµένως εκεί υπάρχει κατακόρυφη ασύµπτωτη. Επειδή και lim y ο άξονας των είναι οριζόντια ασύµπτωτη.

3 ε) Στο σηµείο όπου µηδενίζεται ο παρανοµαστής υπάρχει κατακόρυφη ασύµπτωτη. Όταν ο αριθµητής είναι πολυώνυµο βαθµού µεγαλύτερου του παρονοµαστή, υπάρχει και πλάγια ασύµπτωτη της µορφής y a+ bόπου τα a, b προσδιορίζονται από τα όρια: a lim y, b lim( y a) Εδώ έχουµε y και συνεπώς ( ) a lim y lim + b lim( y ) lim lim Άρα η ασύµπτωτη είναι η y + Άσκηση. α) Να οριστεί το λ έτσι ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο R : λ, < f( ) λ, β) Να εξεταστεί ως προς την συνέχεια η συνάρτηση f ( ) στο σηµείο, f( ) +, γ) Έστω η συνάρτηση + αe +, f α+ β < < βsin + αcos +, ( ),

4 Για ποιές τιµές των α, β η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R ; ΛΥΣΗ (Μονάδες ) α) Η f είναι συνεχής στο (-, ) και στο [, ) ως πολυωνυµική. Θα πρέπει να είναι και στο, δηλαδή: lim λ lim ( λ ) λ λ λ + β), < +, f( ) + f( ),,, > + 6 Άρα: lim f( ) lim lim Επίσης: lim f( ) lim Και f ( ) Οπότε: lim f( ) lim f( ) f( ) + Άρα η f είναι ασυνεχής στο σηµείο. γ) Η συνάρτηση f() είναι συνεχής στα διαστήµατα: (, ), (, ), (, + ). Για να είναι συνεχής στο R πρέπει να είναι συνεχής και στα σηµεία και. Ελέγχουµε την συνέχεια στο σηµείο. Πρέπει να ισχύει: lim f( ) lim f( ) f( ) + Αλλά + f( ) αe + ( ) αe α () Επίσης: lim f ( ) lim ( e + α + ) α () και lim f( ) lim ( α+ β) + α+ β () + + Από τις (), () και () έχουµε: α + α+ β α + β ()

5 Ελέγχουµε την συνέχεια στο σηµείο. Πρέπει να ισχύει: lim f ( ) lim f( ) f() + Αλλά f () βsin + αcos+ α+ (5) lim f( ) lim ( βsin + αcos + ) α+ (6) + + lim f ( ) lim ( α + β) β (7) Από τις (5), (6) και (7) έχουµε: α + β (8) 5 Λύνω το σύστηµα των () και (8) και προκύπτει: α, β Άρα για αυτές και µόνο τις τιµές η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. Άσκηση. Να υπολογιστούν τα κάτωθι όρια: α) β) γ) δ) + 6 li m lim li m, για ( + ) ( + ) lim, για ( + ) ε). li m cos a cosb στ) li m (Μονάδες ) 5

6 ΛΥΣΗ + 6 α) lim Εάν βάλουµε το στον αριθµητή και παρονοµαστή τότε + 8 καταλήγουµε σε απροσδιοριστία /. Κάνουµε αριθµητή και παρονοµαστή γινόµενο παραγόντων: + 6 ( + )( ) lim lim + 8 ( + )( ) και εάν τότε: + 6 ( + )( ) ( + ) 5 lim lim lim + 8 ( + )( ) ( + ) 6 β) Θέλουµε να υπολογίσουµε το όριο: + + lim + + Για καταλήγουµε σε απροσδιοριστία της µορφής /. Οπότε διαιρούµε αριθµητή και παρονοµαστή µε την µεγαλύτερη δύναµη του lim lim lim γ) li m lim + 9+ ( + 9) 9 lim lim lim ( 9 ) ( 9 ) lim( + 9) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) δ) lim lim ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + + ( + ) lim lim ( ) ( + ) + ( + ) ( + ) + ( ) 6

7 + lim lim ( )( ) ( )( ) lim ( )( ) (για ). ( + ) ε). li m ( ) lim lim lim( + + ) (για ). a+ b a b sin sin cos a cosb a b a b b a στ) m lim + li a b a b + Άσκηση. Α) Να αποδειχθεί ότι: Β) Να αποδειχθεί ότι: cos( θ φ) cos( θ+ φ) sin θsinφ θ sin θ ta n + cos θ ([ πa θ] λ) [ πasin θ] / λ sin sin / Γ) ίνεται η συνάρτηση: I( θ) I, < θ< π α) Για ποια τιµή του sin θ προκύπτει I( θ ) για πρώτη φορά; (η µικρότερη τιµή του sin θ ) β) Να βρείτε όλες τις τιµές της γωνίας θ> για τις οποίες Ι (θ). γ) Να επαληθεύσετε ότι Ι (θ) Ι όταν [ πa sin θ] / λτείνει στο µηδέν. Σηµείωση: Η ανωτέρω συνάρτηση είναι πολύ χρήσιµη στη Φυσική γιατί δίνει την ένταση µονοχρωµατικού φωτός µήκους κύµατος λ όταν περιθλάται µέσω σχισµής πλάτους α ενώ θ είναι η γωνία διάδοσης του φωτός µετά την διέλευσή του από τη σχισµή, σε σχέση µε την αρχική διεύθυνση διάδοσής του. (Μονάδες ) ΛΥΣΗ Α) Έχουµε: cos( θ φ) cos( θ+ φ) cosθcosφ+ sin θsinφ cosθcosφ+ sin θsinφ sinθsinφ sin θsin φ. 7

8 Β)Έχουµε: θ θ θ θ sin( + ) sin cos sin θ + cosθ θ θ θ θ + cos( + ) + cos sin θ θ θ θ θ sin cos sin cos sin θ tan. θ θ θ θ cos + cos cos cos Γ) πasinθ sin α) Πρέπει πa θ sin kπ+ λ λ πasinθ kπ λ πasinθ + π. Οπότε: λ πasinθ k+ π () λ λ a sin και ( k ) () και ( ) και επειδή <θ<π, η µικρότερη τιµή προκύπτει για k από την σχέση (): sin θ λ λ 6λ 8λ β) Για θ> και k,,,,... η () δίνει sin θ,,,,... ενώ η () a a a a λ λ 5λ 7λ sin θ,,,... δηλ. όλες οι τιµές της θ δίνονται από τη σχέση: a a a a λ λ λ λ 5λ 6λ sin θ,,,,,... a a a a a a πasinθ sin X γ) Πράγµατι, θέτοντας X έχουµε: I( θ) I λ X. sin X sin X lim I( θ) lim I Ilim I X X I Άσκηση 5. α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης: y sin( ) + sin β) Επίσης της : f( ) + + dy γ) Άν y f( )να υπολογίσετε την παράγωγο d αν y Ι) y y+ 5 και ΙΙ) e + yln cos δ) Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος της: y f( ) ( ) 8

9 ε) Να δείξετε ότι η y e είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης: y y 5y y. Υπόδειξη: Υπολογίστε την πρώτη, δεύτερη και τρίτη παράγωγο και αντικαταστήστε στην εξίσωση. (Μονάδες 5) ΛΥΣΗ α) y ( ) sin( ) sin ( sin( ) + ) + (sin ) cos ( ) + sin (sin ) cos( ) + cos sin β) f( ) ( + + ) d f ( ) ( + + ) ( + + ) d f ( ) ( + + ) (+ ) και γ) (Ι) d d d d ( y ) ( ) ( y) + (5) d d d d d d d( ) d dy y + ( y ) y+ d d d d d dy dy y + y 6 y+ d d dy dy y + 6 y ( y ) y + 6 y d d y (ΙΙ) d d d + d d d y y (e ) (yln ) (cos ) y e (y y) (ln)y sin y y sin + ye + y e y + ln δ). f() Αλλά ln f ( ) ( ) ln ln ln 9

10 ln f( ) ln y ln [ ln y] ln y ln ( ln ) + y y y ln Άρα y ln (ln ) y y y ln y Για τη δεύτερη παράγωγο έχουµε: ln ln y + ή y + ln ln ln ln ln y + ή y ( ln ) + ( ln) ( ln) ln++ ln ( ) ( ) y ln + ln+ + ή και τελικά: ε). y e ( ) e + e e + e e e e y e e + e e + e e e e e e e

11 y e e + e e Αντικαθιστούµε και επαληθεύεται. Άσκηση 6. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: α) sinsind β) d γ) d + δ) e cosd ε) π cos( ) d στ) sin cos d ζ) + ( ) d ΛΥΣΗ: α) sin sin d (cos ) sin d cos sin + (sin ) cos d cos sin + cos cos d cos sin + cos (sin ) d cos sin + cossin sin (cos ) d cos sin + cossin + 9 sin sin d (Μονάδες 5) Οπότε έχουµε: sin sin d cos sin + cossin + 9 sin sin d sin sin d 9 sin sin d cos sin + cossin 8 sinsind cossin+ cossin sin sin d ( cos sin cossin ) + c 8

12 η Λύση Στην άσκηση α έχουµε δείξει την ταυτότητα: sinϑsinφ cos θ φ cos θ +φ ( ) ( ) sin sin d cos( ) cos( ) d + d Για θ και φ έχουµε: cos( ) cos( ) d d sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) 8 8 Παρατήρηση: Οι δύο λύσεις είναι ταυτόσηµες αφού από τη µία µπορεί να προκύψει η άλλη. Και οι δύο µπορούν να απλοποιηθούν µε τους τύπους της διπλάσιας γωνίας οπότε καταλήγουν στην απλούστερη µορφή λύσης: sin cos. β) d Ο παρονοµαστής είναι τριώνυµο ου βαθµού και έχει πραγµατικές ρίζες τους αριθµούς και. Εποµένως: d d Αναλύουµε σε κλάσµατα την παράσταση: ( + )( ) Α Β + Α( ) +Β ( + ) ( + )( ) + Α Α+Β +Β ( Α+Β ) +Β Α ( Α+Β) Β Α Από την λύση του συστήµατος προκύπτει: 5 Α και Β Οπότε: 5/ / d d d + d ( + )( ) ln ln d + d c + γ) Οπότε + ( ) + A B + + ( ) ( ) απ όπου Α, Β

13 + Άρα: + + ( ) d d d d ( ) δ) + ln + C ' + ln + C' e cosd e cos d e d(sin ) e sin sind( e ) e sin e sin d Το ολοκλήρωµα: e sin d e d( cos ) e cos ( cos ) d( e ) e cos + e cos d Οπότε το αρχικό ολοκλήρωµα γίνεται: e cos d e sin e cos e cos d + e (sin + cos ) e cos d Οπότε: e cos d e (sin+ cos ) + C' e e cos d (sin + cos ) +C' ε) f ( ) f ( ) d παραγοντικής ολοκλήρωσης: f ( g ) ( d ) f( g ) ( ) g ( ) f ( d ) g( ) sin( ) g( ) cos( )d, και εφαρµόζοντας τον τύπο της π π cos( ) d cos( ) d π π π π π sin( ) sin( ) d sin cos( ) π +. 6.

14 στ) sin cos d Θέτω: sin t dt cos d. Οπότε: / / cos d tdt t t / / sin + + (sin ) + / dt c t c c ζ) + d d + d d + d / / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (/) d( ) / / ( ) d ( ) d ( ) d( ) / ( ) / d ( ) d( ) sin + c ( ) Θέτω t Οπότε: d( ). / /+ / / t sin + c ( ) d( ) sin c t dt sin c /+ / t t / sin + c + c sin + c + c sin + c+ t + c + / sin + + C Άσκηση 7. α) Εάν f( t) sinti ˆ+ costj ˆ+ tk ˆ, να βρείτε την f () t και την f () t. β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση : f () t Asinωtiˆ+ Bcosωtj ˆ, ικανοποιεί την εξίσωση: f () t + ω f() t γ) Βρείτε τη διανυσµατική συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f(t) + ˆi tj ˆ+ ( )kˆ και f() i ˆ ˆj+ kˆ + t (Μονάδες 5) ΛΥΣΗ α) f ( ) costiˆ sintj ˆ+ t kˆ ˆ ˆ f ( ) sinti costj t kˆ

15 β) f (t) ωa cosωti ˆ ωbsinωtj ˆ ˆ f (t) ω Asinωti ω Bcosωtj ˆ οπότε : f (t) +ω f (t) ω Asinωti ˆ ω Bcosω tj ˆ +ω Asinω ti ˆ+ Bcosω tj ˆ γ) Ολοκληρώνοντας έχουµε: f(t) ˆ ˆ ˆ f (t)dt f(t) [i+ t j + ( )k]dt + t ˆ t ˆ f(t) (t+ c ˆ )i + ( + c )j + (tan t+ c )k Για t έχουµε: f() ci ˆ+ c ˆj+ c kˆ i ˆ ˆj+ k ˆ Άρα: c, c -, c και t f(t) (t )i ( )j (tan ˆ ˆ t+ )kˆ Άσκηση 8. Να µελετηθεί πλήρως η συνάρτηση: f( ) 5. (Μονάδες 5) ΛΥΣΗ Πρέπει. Από την 5 f( ) προκύπτει: 5 ± 5. Η πρώτη παράγωγος είναι: 5 ( ) ( 5) f ( ). Συνεπώς από ( ) ( ) ( ) την f ( ) έχουµε: 6+ 5 ( 5)( ) 5 η. Οµοίως: ( ) ( 6)( ) ( )( 6+ 5) f ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ). Άρα f ( ) 5

16 Επειδή ο αριθµητής είναι µεγαλύτερου βαθµού από τον παρονοµαστή, εκτός από την κατακόρυφη ασύµπτωτη στο θα έχουµε και πλάγια ασύµπτωτη της µορφής: 6+ 5 y a+ b. Προσδιορίζουµε το α: a lim f ( ) lim. Άρα α. Οµοίως, b lim( f( ) ) lim lim lim. Συνεπώς b και η ασύµπτωτη είναι : y +. Για χ, y ενώ για y -. ηλαδή η πλάγια ασύµπτωτη τέµνει των άξονα των στο σηµείο (-,) και τον άξονα των y στο (,). Συνεπώς έχουµε τον ακόλουθο Πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση: f f - + 5/ f y + Άσκηση 9..) Να ευρεθεί το εµβαδόν των χωρίων που περικλείονται: α) Από την f() + και τις ευθείες και. β) Από τις f() και g( ). γ) Από την ευθεία y + και την καµπύλη y. 6

17 δ) Από την f() και g() στο διάστηµα [, ]. ) ίδεται η συνάρτηση f( ) α + β µε αβ, R. α) Να προσδιοριστούν τα α,β ώστε 7 f()d και f()d. β) Να υπολογιστεί το εµβαδόν του χωρίου, που ορίζεται από τον άξονα των, την καµπύλη f() και τις ευθείες και. Σε κάθε περίπτωση να κάνετε πρόχειρα τις γραφικές παραστάσεις. (Μονάδες 5) ΛΥΣΗ.) Υπολογίζουµε τα εµβαδά των χωρίων: α) E ( + ) d [ + ] τετρ. µονάδες. β) Το σύστηµα y και y έχει λύσεις - και. Άρα ( ) [ ] y έχει λύση και -. Οπότε: 8 E d τετρ. µονάδες. γ) Το σύστηµα y + και ( )d [ ] 7 E τετρ. µονάδες. δ) Το σύστηµα y και y έχει λύση και ±. Οπότε: Ε ( )d + ( )d [ ] [ ] + τετρ. µονάδες ) α) Υπολογίζω το ολοκλήρωµα : ( )d [ ] α α + β α + β +β () Οµοίως υπολογίζουµε το ολοκλήρωµα: ( )d [ ] 7α α + β α + β +β () α 7 + β Οπότε: 7α + β και λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε: α και β. Εποµένως η συνάρτηση είναι: f() + 7

18 8 β) Το ζητούµενο εµβαδόν είναι: Ε f()d ( + )d [ + ] τετρ. µονάδες. Γραφικές παραστάσεις Άσκησης 9 ) (β) (α) f() + f()- g() γ) y+, y (δ) f( ), g( ) (δ) f(), g() / ) (β) f() + 8

19 Άσκηση Α) Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου που έχει κέντρο το σηµείο Κ(,) και εφάπτεται της ευθείας +y-. Να υπολογιστούν οι συντεταγµένες του σηµείου επαφής. Β) ίδεται η έλλειψη: 9 +6y 576. Να βρεθούν τα µήκη του µεγάλου και µικρού ηµιάξονα, η εκκεντρότης, οι συντεταγµένες των εστιών. Γ) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής η οποία έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, µια κορυφή το σηµείο Α(6,) και της οποίας µια ασύµπτωτη έχει εξίσωση: y. Βρείτε επίσης την εστιακή απόσταση γ και την εκκεντρότητα της υπερβολής. Λύση Α) Η εξίσωση κύκλου δίδεται από την σχέση: (Μονάδες ) ( ) + ( y y) R όπου (,y ) είναι οι συντεταγµένες του κέντρου Κ και R η ακτίνα του. Εποµένως έχουµε: ( ) + ( y ) R Αρκεί να βρούµε την ακτίνα R του κύκλου που είναι η απόσταση του κέντρου Κ από την εφαπτοµένη ευθεία. Οπότε: Α + Βy + Γ + R R Α + Β + 5 Οπότε: ( ) + ( y ) Για τις συντεταγµένες του σηµείου επαφής πρέπει οι δύο εξισώσεις του κύκλου και της ευθείας βα συναληθεύουν. Άρα λύνω το σύστηµα: ( ) + ( y ) +y- Οι λύσεις προκύπτουν /5 και y/5. B) Η εξίσωση της έλλειψης γράφεται: y Άρα: α8 και β6 Οπότε: γ α β 7 Εποµένως οι συντεταγµένες των εστιών είναι: ( 7,) και (- 7,). 9

20 Η εκκεντρότης δίνεται από τη σχέση: γ 7 7 ε α 8 Γ) Η εξίσωση της υπερβολής είναι της µορφής: y α β Επειδή το σηµείο Α(6,) είναι κορυφή της υπερβολής έχουµε: y 6 6 α 6 α 6 α β α β α Επειδή η ασύµπτωτη έχει εξίσωση: y y έχουµε: β 6 β α β β 8 α Οπότε η εξίσωση της υπερβολής είναι : y. 6 6 Η εστιακή απόσταση γ βρίσκεται από την σχέση: + + β γ α β γ α γ β α γ β α γ 5 Οπότε η εκκεντρότητα είναι: ε. α 6