ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Στο κεφάλαιο αυτό θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 εκαδικοί αριθµοί Αριθµοί µε συνοδεία. Στο κεφάλαιο αυτό θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: Να θυµηθείς, πώς διαβάζουµε και γράφουµε δεκαδικούς αριθµούς. Να κατανοήσεις την αξία των ψηφίων ενός δεκαδικού αριθµού και να µάθεις να διακρίνεις αυτήν την αξία. Να θυµηθείς τις ιδιότητες των δεκαδικών αριθµών. Πρώτη απορία: Ποιοι είναι οι δεκαδικοί αριθµοί; Απάντηση: Οι δεκαδικοί αριθµοί είναι µια άλλη µορφή γραφής των δεκαδικών κλασµάτων. Για παράδειγµα: Το κλάσµα 1 10 γράφεται ως δεκαδικός: 0,1 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 43

2 Το κλάσµα Το κλάσµα κ.ο.κ. 1 γράφεται ως δεκαδικός: 0, γράφεται ως δεκαδικός: 0, Επίσης: Το κλάσµα 3 γράφεται ως δεκαδικός: 0,3 10 Το κλάσµα Το κλάσµα κ.ο.κ. 5 γράφεται ως δεκαδικός: 0, γράφεται ως δεκαδικός: 0, Υπάρχουν όµως και δεκαδικοί αριθµοί οι οποίοι έχουν και ακέραιο µέρος και δεκαδικό µέρος. Τα δύο αυτά µέρη χωρίζονται από την υποδιαστολή, για την οποία χρησιµοποιούµε τη λέξη «κόµµα» όταν διαβάζουµε έναν δεκαδικό αριθµό. Π.χ.: ο αριθµός 35,768 διαβάζεται: «τριάντα πέντε κόµµα επτακόσια εξήντα οκτώ». Αν όµως ο αριθµός 35,768 εκφράζει π.χ. κιλά, τότε µπορούµε να τον διαβάσουµε µε δύο τρόπους: α) «τριάντα πέντε κόµµα επτακόσια εξήντα οκτώ κιλά», ή β) «τριάντα πέντε κιλά και επτακόσια εξήντα οκτώ γραµµάρια» (χωρίς τη λέξη «κόµµα»). εύτερη απορία: Τα δεκαδικά κλάσµατα, ποια είναι; Απάντηση: τα δεκαδικά κλάσµατα είναι τα κλάσµατα στα οποία ο παρονοµαστής είναι το 10, το 100, το 1.000, το , κ.ο.κ. ηλαδή τα κλάσµατα: κλάσµατα. 1 10, 3 10, 35 10, , 18, κ.λπ. είναι όλα δεκαδικά Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

3 Τρίτη απορία: Γιατί ονοµάστηκαν δεκαδικοί αριθµοί; Απάντηση: Οι δεκαδικοί αριθµοί, όπως είπαµε προηγουµένως προέρχονται από τα κλάσµατα µε παρονοµαστή το 10, το 100, το 1.000, το κ.λ.π. Επειδή ένα τέτοιο κλάσµα λέγεται δεκαδικό, γι αυτό και οι αριθµοί αυτοί ονοµάστηκαν δεκαδικοί. Εξάλλου, το κλάσµα αριθµός 0,1. Επίσης, το κλάσµα και ο αριθµός 0, διαβάζεται «ένα δέκατο», ό,τι ακριβώς σηµαίνει και ο διαβάζεται «τριάντα πέντε εκατοστά», όπως ακριβώς Μην ξεχνάς ακόµα, ότι ο µεικτός αριθµός διαβάζεται «τρία και επτά δέκατα». γράφεται ως δεκαδικός: 3,7 και Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 45

4 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ραστηριιότητα 1η Οι µαθητές της Στ τάξης του 25ου ηµοτικού Σχολείου Τρικάλων θέλησαν να καταγράψουν το ύψος τους. Μετρήθηκαν λοιπόν και κατέγραψαν στον παρακάτω πίνακα τον αριθµό των παιδιών που αντιστοιχούν σε κάθε ύψος. ΥΨΟΣ ΣΕ ΜΕΤΡΑ 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΑΙ ΙΩΝ ΥΨΟΣ ΣΕ ΕΚΑΤΟΣΤΑ Τ ι αα ρρ ι θθ µµ οο ύύ ςς χχ ρρ ηη σσ ι µµ οο ππ οο ί ηη σσ αα νν γγ ι αα νν αα κκ αα ττ αα γγ ρρ άά ψψ οο υυ νν ττ ι ςς µµ εε ττ ρρ ήή σσ εε ι ςς ττ οο υυ ςς ;; Ε ππ αα ρρ κκ οο ύύ νν οο ι φφ υυ σσ ι κκ οο ί αα ρρ ι θθ µµ οο ί γγ ι αα νν αα εε κκ φφ ρρ άά σσ οο υυ µµ εε µµ εε ττ ρρ ήή σσ εε ι ςς ;; Μ ππ οο ρρ εε ί ςς νν αα σσ υυ µµ ππ λλ ηη ρρώ σσ εε ι ςς ττ ηη νν ττ εε λλ εε υυ ττ αα ί αα σσ εε ι ρρ άά ττ οο υυ ππ ί νν αα κκ αα ;; Τ ι αα ρρ ι θθ µµ οο ύύ ςς χχ ρρ ηη σσ ι µµ οο ππ οο ί ηη σσ εε ςς ;; ΓΓ ι αα ττ ί ;; Πώς θα αντιµετωπίσω αποτελεσµατικά τη δραστηριότητα αυτή; Στην αρχή, πρέπει να καταλάβεις καλά, τι περιέχει ο πίνακας που έχεις µπροστά σου. - Πόσες γραµµές έχει ο πίνακας; - Έχει τρεις γραµµές. 46 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

5 - Σε όλες τις γραµµές οι αριθµοί σηµαίνουν το ίδιο πράγµα; - Όχι. Στην πρώτη γραµµή έχουµε βάλει το ύψος των µαθητών της Στ τάξης, εκφρασµένο σε µέτρα. Στη δεύτερη γραµµή, κάτω από κάθε ύψος υπάρχει κι ένας αριθµός που απαντάει στο ερώτηµα: «Πόσοι µαθητές έχουν αυτό το ύψος;» Για παράδειγµα: Πόσοι µαθητές έχουν ύψος 1,50 µέτρα; Απάντηση: 1 µαθητής (κάτω από το 1,50) Πόσοι µαθητές έχουν ύψος 1,55 µέτρα; Απάντηση: 4 µαθητές (κάτω από το 1,55), κ.λπ. Η τρίτη γραµµή είναι κενή, και θα τη συµπληρώσουµε αργότερα. - Πόσοι µαθητές µετρήθηκαν; - Μετρήθηκαν 23 µαθητές και το βρίσκουµε αν προσθέσουµε όλους τους αριθµούς της δεύτερης σειράς. Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας Τ ι αα ρρ ι θθ µµ οο ύύ ςς χχ ρρ ηη σσ ι µµ οο ππ οο ί ηη σσ αα νν γγ ι αα νν αα κκ αα ττ αα γγ ρρ άά ψψ οο υυ νν ττ ι ςς µµ εε ττ ρρ ήή σσ εε ι ςς ττ οο υυ ςς ;; Απάντηση: Οι µαθητές χρησιµοποίησαν δεκαδικούς αριθµούς για να καταγράψουν τις µετρήσεις τους. Αυτό συνέβη, γιατί έτσι έχουµε µάθει να κάνουµε µέχρι τώρα. Το ύψος των ανθρώπων δεν µπορούµε να το εκφράσουµε µόνο µε φυσικούς αριθµούς. εν υπάρχουν άνθρωποι µε ύψος 3 µέτρα. Εποµένως για το ύψος, δεν µπορούµε να χρησιµοποιούµε µόνον τους φυσικούς αριθµούς 1 και 2. Χρειαζόµαστε και «ενδιάµεσους αριθµούς», τους δεκαδικούς. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 47

6 Ε ππ αα ρρ κκ οο ύύ νν οο ι φφ υυ σσ ι κκ οο ί αα ρρ ι θθ µµ οο ί γγ ι αα νν αα εε κκ φφ ρρ άά σσ οο υυ µµ εε µµ εε ττ ρρ ήή σσ εε ι ςς ;; Απάντηση: εν επαρκούν. Γιατί οι µονάδες που χρησιµοποιούµε για µετρήσεις, είναι άλλοτε πολύ µεγάλες (π.χ. χιλιόµετρα, τόνοι) κι άλλοτε µικρές (εκατοστά, γραµµάρια). Όπως µε το ύψος των ανθρώπων, έτσι και µε το βάρος των προϊόντων, χρειαζόµαστε δεκαδικούς αριθµούς για να το εκφράσουµε. Η µητέρα λέει: «Πήγα στη λαϊκή και αγόρασα 2,5 (δυόµισι) κιλά πατάτες». Επίσης και µε τα νοµίσµατα το ίδιο συµβαίνει. Λέµε ότι «ένα παγωτό κοστίζει 1,30 ευρώ, δηλαδή 1 ευρώ και 30 λεπτά». Και φυσικά, εκτός από το µήκος, το βάρος και τα νοµίσµατα, χρησιµοποιούµε δεκαδικούς αριθµούς και στις χρονοµετρήσεις των αγώνων. Μ ππ οο ρρ εε ί ςς νν αα σσ υυ µµ ππ λλ ηη ρρώ σσ εε ι ςς ττ ηη νν ττ εε λλ εε υυ ττ αα ί αα σσ εε ι ρρ άά ττ οο υυ ππ ί νν αα κκ αα ;; Απάντηση: Ξέρω ότι το 1 µέτρο έχει 100 εκατοστά. Εποµένως αν τον κάθε αριθµό της πρώτης σειράς τον πολλαπλασιάσουµε επί 100 θα πάρουµε: Το 1,48 µέτρα είναι ισοδύναµα µε 148 εκατοστά, Το 1,49 µέτρα είναι ισοδύναµα µε 149 εκατοστά, Το 1,50 µέτρα είναι ισοδύναµα µε 150 εκατοστά, Το 1,51 µέτρα είναι ισοδύναµα µε 151 εκατοστά, Το 1,52 µέτρα είναι ισοδύναµα µε 152 εκατοστά, κ.ο.κ. Έτσι λοιπόν, ο πίνακας συµπληρωµένος είναι: ΥΨΟΣ ΣΕ ΜΕΤΡΑ 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΑΙ ΙΩΝ ΥΨΟΣ ΣΕ ΕΚΑΤΟΣΤΑ Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

7 Τ ι αα ρρ ι θθ µµ οο ύύ ςς χχ ρρ ηη σσ ι µµ οο ππ οο ί ηη σσ εε ςς ;; ΓΓ ι αα ττ ί ;; Απάντηση: Χρησιµοποίησα ακέραιους αριθµούς. ιότι από τους δεκαδικούς αριθµούς που εκφράζουν το ύψος σε µέτρα, παίρνουµε ακεραίους 100. αριθµούς που το εκφράζουν σε εκατοστά, αν πολλαπλασιάσουµε επί ηλαδή, στις µετρήσεις µπορούµε να εκφραστούµε είτε µε δεκαδικό αριθµό είτε µε ακέραιο, ανάλογα µε τη µονάδα µέτρησης που χρησιµοποιούµε (π.χ. 1,48 µέτρα ή 148 εκατοστά). ραστηριιότητα 2η Πριν από τους αγώνες άρσης βαρών οι αθλητές της ίδιας κατηγορίας ζυγίζονται µε ακρίβεια γραµµαρίου, ώστε σε περίπτωση ισοπαλίας να κερδίζει ο ελαφρύτερος. Εκατοντάδες εκάδες Μονάδες, 8 4, Σ ττ οο ππ αα ρρ αα ππ άά ννω σσ χχ ήή µµ αα κκ αα ττ αα γγ ρρ άά φφ εε ττ αα ι ττ οο αα ππ οο ττ έέ λλ εε σσ µµ αα ττ ηη ςς ζζ ύύ γγ ι σσ ηη ςς ττ οο υυ αα θθ λλ ηη ττ ήή Π ύύ ρρ ρρ οο υυ ήή µµ αα σσ ττ οο υυ ςς Ο λλ υυ µµ ππ ι αα κκ οο ύύ ςς Α γγώ νν εε ςς ττ οο υυ Η υυ ππ οο δδ ι αα σσ ττ οο λλ ήή χχω ρρ ί ζζ εε ι ττ οο αα κκ έέ ρρ αα ι οο αα ππ όό ττ οο δδ εε κκ αα δδ ι κκ όό µµ έέ ρρ οο ςς.. Σ υυ µµ ππ λλ ήή ρρω σσ εε σσ ττ οο σσ χχ ήή µµ αα ττ ι δδ ηη λλώ νν οο υυ νν οο ι αα ρρ ι θθ µµ οο ί 00,, 66 κκ αα ι 55 σσ ττ οο δδ εε κκ αα δδ ι κκ όό µµ έέ ρρ οο ςς.. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 49

8 Π ρρ οο σσ ππ αα θθ ήή σσ ττ εε ττώ ρρ αα νν αα εε κκ φφ ρρ άά σσ εε ττ εε ττ οο αα ππ οο ττ έέ λλ εε σσ µµ αα ττ ηη ςς ζζ ύύ γγ ι σσ ηη ςς µµ εε λλ όό γγ ι αα.. Πώς θα αντιµετωπίσω αποτελεσµατικά τη δραστηριότητα αυτή; Έχουµε µάθει στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι: Σε κάθε φυσικό αριθµό, κάθε ψηφίο ανάλογα µε τη θέση του έχει και διαφορετική αξία. Το ίδιο συµβαίνει και µε τους δεκαδικούς αριθµούς. Στο ακέραιο µέρος έχουµε (από δεξιά προς τα αριστερά): Μονάδες, εκάδες, Εκατοντάδες, Χιλιάδες, εκάδες χιλιάδων, κ.λπ. Στο δεκαδικό µέρος έχουµε (από την υποδιαστολή και µετά): έκατα, Εκατοστά, Χιλιοστά, εκάκις χιλιοστά, Εκατοντάκις χιλιοστά, Εκατοµµυριοστά κ.λπ. Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας. Συµπληρώνουµε λοιπόν το σχήµα. Εκατοντάδες εκάδες Μονάδες, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 8 4, Προσοχή! Κάθε ψηφίο έχει τη δική του αξία, ανάλογα µε τη θέση που έχει στον αριθµό. Το 8 σηµαίνει 8 δεκάδες, το 4 σηµαίνει 4 µονάδες κ.ο.κ. 50 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

9 Αν ένα ψηφίο µετακινηθεί κατά µία θέση αριστερά, γίνεται 10 φορές µεγαλύτερο (και προβιβάζεται κατά µια τάξη). Αν µετακινηθεί κατά µία θέση δεξιά, γίνεται 10 φορές µικρότερο (και υποβιβάζεται κατά µια τάξη). Για παράδειγµα: Στον αριθµό 2,53, το 5 είναι «δέκατα» και το 3 είναι «εκατοστά». Το 5 έχει δεκαπλάσια αξία από το 3, η αξία του είναι 50 εκατοστά. Αν αλλάξουµε τη θέση του 5 και του 3, τότε στον αριθµό 2,35 που προκύπτει, το 3 έγινε 10 φορές µεγαλύτερο, αφού σηµαίνει 30 εκατοστά, ενώ το 5 έγινε 10 φορές µικρότερο αφού σηµαίνει, απλά, 5 µονάδες. Π ρρ οο σσ ππ αα θθ ήή σσ ττ εε ττώ ρρ αα νν αα εε κκ φφ ρρ άά σσ εε ττ εε ττ οο αα ππ οο ττ έέ λλ εε σσ µµ αα ττ ηη ςς ζζ ύύ γγ ι σσ ηη ςς µµ εε λλ όό γγ ι αα.. Απάντηση Ο αριθµός 84,065 όταν δηλώνει βάρος, διαβάζεται: Ογδόντα τέσσερα κόµµα εξήντα πέντε κιλά, ή Ογδόντα τέσσερα κιλά και εξήντα πέντε γραµµάρια. ηλαδή: Όταν διαβάζουµε έναν δεκαδικό αριθµό, τη λέξη «κόµµα» θα τη χρησιµοποιούµε µόνον όταν δεν εκφράζουµε την υποδιαίρεση της µονάδες µέτρησης που βρίσκεται µετά την υποδιαστολή (στην περίπτωσή µας τα γραµµάρια). Άλλα παραδείγµατα: α) Τον αριθµό 3,57 µέτρα τον διαβάζουµε: Τρία κόµµα πενήντα επτά µέτρα, ή τρία µέτρα και πενήντα επτά εκατοστά. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 51

10 β) Τον αριθµό 13,80 ευρώ τον διαβάζουµε: εκατρία κόµµα ογδόντα ευρώ, δεκατρία ευρώ και ογδόντα λεπτά. ή Προσοχή! Το µηδέν στο τέλος του δεκαδικού µέρους ενός αριθµού δεν παίζει κανένα ρόλο. Η αξία ενός δεκαδικού αριθµού δεν αλλάζει, όσα µηδενικά κι αν προσθέσουµε στο τέλος του δεκαδικού του µέρους. ηλαδή: 3,40 = 3,4 3,35 = 3,350 κ.λπ. 52 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

11 Τι µάθαµε µέχρι τώρα; Μέχρι τώρα µάθαµε ότι: εκαδικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που αποτελούνται από ένα ακέραιο µέρος και ένα δεκαδικό. Τα δύο αυτά µέρη χωρίζονται µεταξύ τους µε την υποδιαστολή. Για παράδειγµα, οι αριθµοί: 3,95 43, ,01 0,005 είναι δεκαδικοί. Στους δεκαδικούς αριθµούς, όπως και στους φυσικούς, κάθε ψηφίο έχει και διαφορετική αξία, ανάλογα µε τη θέση. Για παράδειγµα, στους προηγούµενος αριθµούς, το 5 έχει διαφορετική αξία, ανάλογα µε τη θέση του. Στον αριθµό 3,95 το 5 εκφράζει εκατοστά. Στον αριθµό 43,504 το 5 εκφράζει δέκατα Στον αριθµό 115,01 το 5 εκφράζει µονάδες Στον αριθµό 0,005 το 5 εκφράζει χιλιοστά Τόσο στο ακέραιο, όσο και στο δεκαδικό µέρος, κάθε τάξη ενός ψηφίου είναι 10 φορές µεγαλύτερη από την αµέσως επόµενη προς τα δεξιά του. 1 εκατοντάδα = 10 δεκάδες 1 δεκάδα = 10 µονάδες 1 µονάδα = 10 δέκατα 1 δέκατο = 10 εκατοστά 1 εκατοστό = 10 χιλιοστά κ.ο.κ. Αν προσθέσουµε ή διαγράψουµε µηδενικά από το τέλος του δεκαδικού µέρους ενός δεκαδικού αριθµού, η αξία του δεν αλλάζει. Για παράδειγµα: 0,1 = 0,10 0,01 = 0,010 30,5 = 30,50 4,500 = 4,5 κ.λπ. Κάθε ακέραιος αριθµός µπορεί να γραφεί ως δεκαδικός. Αρκεί να βάλουµε υποδιαστολή και όσα µηδενικά θέλουµε. Για παράδειγµα: 53 = 53,00 4 = 4,000 κ.λπ. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 53

12 Εφαρρµµοογγήή 1ηη Ν αα γγ ρρ αα φφ εε ί µµ εε ψψ ηη φφ ί αα οο αα ρρ ι θθ µµ όό ςς εε κκ αα ττ όό νν δδ ύύ οο κκ αα ι σσ αα ρρ άά νν ττ αα ππ έέ νν ττ εε χχ ι λλ ι οο σσ ττ άά.. Ο νν οο µµ άά σσ ττ εε κκ άά θθ εε ψψ ηη φφ ί οο αα νν άά λλ οο γγ αα µµ εε ττ ηη νν αα ξξ ί αα θθ έέ σσ ηη ςς ττ οο υυ σσ ττ οο νν αα ρρ ι θθ µµ όό.. Πώς θα σκεφτώ για να απαντήσω στην εφαρµογή; - Πώς µπορούµε να γράψουµε έναν τυχαίο δεκαδικό αριθµό; - Πολύ εύκολα. Πρέπει να προσέχουµε ώστε κάθε ψηφίο που θα γράψουµε να είναι στη θέση που δηλώνει η αξία του. - Και ποιες είναι οι αξίες των ψηφίων; Στο ακέραιο µέρος (πριν την υποδιαστολή και από δεξιά προς τα αριστερά) είναι οι µονάδες, οι δεκάδες, οι εκατοντάδες, οι χιλιάδες κ.λπ. Στο δεκαδικό µέρος (µετά την υποδιαστολή και από αριστερά προς τα δεξιά) είναι τα δέκατα, τα εκατοστά, τα χιλιοστά, κ.λπ. Έχουµε εξάλλου πει ότι: 1 εκατοντάδα = 10 δεκάδες 1 δεκάδα = 10 µονάδες 1 µονάδα = 10 δέκατα 1 δέκατο = 10 εκατοστά 1 εκατοστό = 10 χιλιοστά κ.ο.κ. Όµως όταν δεν χρησιµοποιούµε τη λέξη «κόµµα», το δεκαδικό µέρος διαβάζεται µε το όνοµα της αξίας του τελευταίου ψηφίου του. 54 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

13 Απαντώ στην εφαρµογή: Το τελευταίο ψηφίο, το πέντε, είναι χιλιοστά. Άρα, έχουµε από δεξιά προς αριστερά: 5 χιλιοστά (πέντε) Εκατοντάδες εκάδες Μονάδες, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 4 εκατοστά (σαράντα) 0 δέκατα 1 0 2, µονάδες (δύο) 0 δεκάδες 1 εκατοντάδα (εκατό) Απάντηση: Γράφουµε λοιπόν: 102,045 Εφαρρµµοογγήή 2ηη Μετρήσαµε το µήκος τριών τύπων µπαταριών και βρήκαµε τα εξής αποτελέσµατα: α) τύπος D: 6,2 εκατοστά. β) τύπος ΑΑΑ: 4,4 εκατοστά. γ) τύπος ΑΑ: 5,1 εκατοστά. Σ ηη µµ εε ιώι σσ ττ εε σσ ττ ηη νν αα ρρ ι θθ µµ οο γγ ρρ αα µµ µµ ήή ττ αα σσ ηη µµ εε ί αα αα,, ββ κκ αα ι γγ ππ οο υυ αα νν ττ ι σσ ττ οο ι χχ οο ύύ νν σσ ττ ι ςς µµ εε ττ ρρ ήή σσ εε ι ςς.. Πως θα σκεφτώ για να απαντήσω στην εφαρµογή Όπως είναι γνωστό, κάθε µπαταρία έχει και διαφορετικό µήκος και πάχος. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 55

14 Άλλο µήκος έχει η µπαταρία που βάζουµε στο φακό, άλλο µήκος έχει η µπαταρία που βάζουµε τηλεκοντρόλ της τηλεόρασης κι άλλο µήκος έχει η µπαταρία που βάζουµε στα ξυπνητήρια. Μετρήσαµε λοιπόν αυτές τις µπαταρίες και βρήκαµε το µήκος τους. Θέλουµε αυτό το µήκος να το δείξουµε στην αριθµογραµµή. Η αριθµογραµµή εδώ, είναι ο γνωστός µας χάρακας. Εποµένως: Το σηµείο α θα το σηµειώσουµε στα 6,2 εκατοστά. Το σηµείο β θα το σηµειώσουµε στα 4,4 εκατοστά. Το σηµείο γ θα το σηµειώσουµε στα 5,1 εκατοστά. Απαντώ στην εφαρµογή: α) Η µπαταρία τύπου D έχει µήκος 6,2 εκατοστά. Άρα, ξεκινώντας από το 0, µετράµε 6 εκατοστά και 2 γραµµές (που αντιστοιχούν στα 2 δέκατα του εκατοστού, δηλαδή στα χιλιοστά). β) Η µπαταρία τύπου ΑΑΑ έχει µήκος 4,4 εκατοστά. Άρα, ξεκινώντας από το 0, µετράµε 4 εκατοστά και 4 γραµµές (που αντιστοιχούν στα 4 δέκατα του εκατοστού, δηλαδή στα χιλιοστά). γ) Η µπαταρία τύπου ΑΑ έχει µήκος 5,1 εκατοστά. Άρα, ξεκινώντας από το 0, µετράµε 5 εκατοστά και 1 γραµµή. Έτσι, η αριθµογραµµή µαζί µε τα α, β και γ γίνεται: 56 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

15 Ερωτήσειις γιια αυτοέλεγχο καιι συζήτηση 1.. Σ ττ οο κκ εε φφ άά λλ αα ι οο αα υυ ττ όό σσ υυ νν αα νν ττ ήή σσ αα µµ εε ττ οο νν όό ρρ οο δδ εε κκ αα δδ ι κκ όό ςς αα ρρ ι θθ µµ όό ςς.. Μ ππ οο ρρ εε ί ςς νν αα ττ οο νν εε ξξ ηη γγ ήή σσ εε ι ςς µµ εε δδ ι κκ άά σσ οο υυ ππ αα ρρ αα δδ εε ί γγ µµ αα ττ αα ;; Απάντηση: Ο όρος «δεκαδικός αριθµός χρησιµοποιείται για κάθε αριθµό που έχει και ακέραιο µέρος και δεκαδικό. Τα δύο αυτά µέρη χωρίζονται µεταξύ τους µε µια υποδιαστολή. Για παράδειγµα, οι αριθµοί: 0,34 14, ,5 είναι δεκαδικοί αριθµοί. Ο δεκαδικός αριθµός 0,34 διαβάζεται ως εξής: «µηδέν κόµµα τριάντα τέσσερα», ή «τριάντα τέσσερα εκατοστά». Ο δεκαδικός αριθµός 14,001 διαβάζεται ως εξής: «δεκατέσσερα κόµµα µηδέν µηδέν ένα», ή «δεκατέσσερα και ένα χιλιοστό». Ο δεκαδικός αριθµός 317,5 διαβάζεται ως εξής: «τριακόσια δέκα επτά κόµµα πέντε», ή «τριακόσια δέκα επτά και πέντε δέκατα». Στο ακέραιο µέρος ενός δεκαδικού αριθµού έχουµε µονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, κ.λπ. Στο δεκαδικό του µέρος έχουµε δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά, δεκάκις χιλιοστά κ.λπ. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 57

16 2.. Σ ηη µµ εε ιώι σσ ττ εε αα νν εε ί νν αα ι σσω σσ ττ έέ ςς ήή λλ άά θθ οο ςς κκ αα ι σσ υυ ζζ ηη ττ ήή σσ ττ εε ττ ι ςς ππ αα ρρ αα κκ άά ττω εε κκ φφ ρρ άά σσ εε ι ςς :: Μετά την υποδιαστολή γράφεται το ακέραιο µέρος. Τα εκατοστά γράφονται στη δεύτερη θέση µετά την υποδιαστολή. Το 1 δέκατο της ακέραιης µονάδας είναι ίσο µε 10 χιλιοστά της ίδιας ακέραιης µονάδας Απάντηση: Η έκφραση «Μετά την υποδιαστολή γράφεται το ακέραιο µέρος» είναι ΛΑΘΟΣ. Έχουµε εξηγήσει πολλές φορές ότι σε έναν δεκαδικό αριθµό, πρώτα γράφουµε το ακέραιο µέρος, µετά βάζουµε την υποδιαστολή και στο τέλος, γράφουµε το δεκαδικό µέρος. ηλαδή: Ακέραιο µέρος, δεκαδικό µέρος Η έκφραση «Τα εκατοστά γράφονται στη δεύτερη θέση µετά την υποδιαστολή» είναι ΣΩΣΤΗ. εν έχεις παρά να θυµηθείς τον πίνακα που έχουµε σχηµατίσει στις εφαρµογές. Εκατοντάδες εκάδες Μονάδες, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 8 4, Η έκφραση «Το 1 δέκατο της ακέραιης µονάδας είναι ίσο µε 10 χιλιοστά της ίδιας ακέραιης µονάδας» είναι ΛΑΘΟΣ. Το σωστό είναι: «Το 1 δέκατο της ακέραιης µονάδας (0,1) είναι ίσο µε 10 εκατοστά (0,10) της ίδιας ακέραιης µονάδας». 58 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

17 ΤΕΤΡΑ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΑΣΚΗΣΗ 1ηη Ν αα γγ ρρ άά ψψ εε ι ςς µµ εε δδ εε κκ αα δδ ι κκ όό αα ρρ ι θθ µµ όό ττ αα ππ αα ρρ αα κκ άά ττω :: α) τέσσερα εκατοστά: δ) σαράντα κόµµα δύο: β) εξήντα πέντε χιλιοστά: ε) ένα κόµµα ογδόντα ένα:. γ) τριακόσια εβδοµήντα εννιά χιλιοστά: Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση Για να λύσεις την άσκηση αυτή θα εργαστείς όπως και στις εφαρµογές του κεφαλαίου αυτού, µε τις οποίες έχουµε ήδη ασχοληθεί. ηλαδή: Ξέρουµε ότι κάθε δεκαδικός αριθµός αποτελείται από ψηφία. Τα ψηφία αυτά χωρίζονται µε µια υποδιαστολή σε δύο µέρη: Στο ακέραιο µέρος και στο δεκαδικό µέρος. Τα ψηφία έχουν µια αξία, ανάλογα µε τη θέση στην οποία βρίσκονται. Στο ακέραιο µέρος, στην πρώτη από δεξιά θέση είναι οι µονάδες, στη δεύτερη θέση οι δεκάδες, στην τρίτη, από δεξιά, θέση είναι οι εκατοντάδες, κ.ο.κ. Αν δεν υπάρχουν µονάδες κάποιας τάξης (π.χ. δεκάδες, εκατοντάδες κ.λπ.) τότε στη θέση τους βάζουµε το µηδέν (0). Στο δεκαδικό µέρος στην πρώτη θέση µετά την υποδιαστολή είναι τα δέκατα, στη δεύτερη θέση είναι τα εκατοστά, στην τρίτη τα χιλιοστά κ.ο.κ. Αν δεν υπάρχουν µονάδες κάποιας τάξης (π.χ. δέκατα, εκατοστά κ.λπ.) τότε στη θέση τους βάζουµε το µηδέν (0). Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 59

18 Λύση α) Ο αριθµός «τέσσερα εκατοστά» έχει 4 εκατοστά. εν έχει δέκατα, ούτε και ακέραιο µέρος. Στη θέση τους γράφουµε το µηδέν. Γράφεται: 0,04 Εκατοντάδα εκάδα Μονάδα, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 0, 0 4 β) Ο αριθµός «εξήντα πέντε χιλιοστά» έχει 5 χιλιοστά και 6 εκατοστά. εν έχει δέκατα, ούτε και ακέραιο µέρος. Γράφεται: 0,065 Εκατοντάδα εκάδα Μονάδα, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 0, γ) Ο αριθµός «τριακόσια εβδοµήντα εννιά χιλιοστά» έχει 9 χιλιοστά, 7 εκατοστά και 3 δέκατα. εν έχει ακέραιο µέρος. Γράφεται: 0,379 Εκατοντάδα εκάδα Μονάδα, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 0, δ) Ο αριθµός «σαράντα κόµµα δύο» έχει 4 δεκάδες και 0 µονάδες ως ακέραιο µέρος και 2 δέκατα ως δεκαδικό. 60 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

19 Γράφεται: 40,2 Εκατοντάδα εκάδα Μονάδα, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 4 0, 2 ε) Ο αριθµός «ένα κόµµα ογδόντα ένα» έχει 1 µονάδα ως ακέραιο µέρος, 8 δέκατα και 1 εκατοστό. Γράφεται: 1,81 Εκατοντάδα εκάδα Μονάδα, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 1, 8 1 Συµπληρώνουµε λοιπόν: α) τέσσερα εκατοστά: 0,04 δ) σαράντα κόµµα δύο: 40,2 β) εξήντα πέντε χιλιοστά: 0,065 ε) ένα κόµµα ογδόντα ένα: 1,81 γ) τριακόσια εβδοµήντα εννιά χιλιοστά: 0,379 ΑΣΚΗΣΗ 2ηη Ν αα γγ ρρ άά ψψ εε ι ςς ττ ηη νν αα ξξ ί αα ττ οο υυ ψψ ηη φφ ί οο υυ 33 σσ ττ οο υυ ςς ππ αα ρρ αα κκ άά ττω αα ρρ ι θθ µµ οο ύύ ςς.. 123,041:.. 0,36: 169,93: ,09:. 18,293:. 20,3: Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 61

20 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση - Τι σου ζητάει η άσκηση; - Να γράψεις την αξία του ψηφίου 3. - Και πώς βρίσκουµε την αξία ενός ψηφίου σε έναν αριθµό; - Εξετάζουµε τη θέση του. Ανάλογα µε το ποια θέση έχει, έχει και άλλη αξία. - Θυµάσαι την αξία των ψηφίων; - Ναι, να την: Εκατοντάδα εκάδα Μονάδα, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά, Λύση Ο αριθµός 123,041 έχει το 3 στη θέση των µονάδων. Άρα το 3 εκφράζει µονάδες. Ο αριθµός 0,36 έχει το 3 στη θέση των δεκάτων. Άρα το 3 εκφράζει δέκατα. Ο αριθµός 169,93 έχει το 3 στη θέση των εκατοστών. Άρα το 3 εκφράζει εκατοστά. Ο αριθµός 3000,09 έχει το 3 στη θέση των χιλιάδων. Άρα το 3 εκφράζει χιλιάδες. Ο αριθµός 18,293 έχει το 3 στη θέση των χιλιοστών. Άρα το 3 εκφράζει χιλιοστά. Τέλος, ο αριθµός 20,3 έχει το 3 στη θέση των δεκάτων. Άρα το 3 εκφράζει δέκατα). Συµπληρώνουµε λοιπόν: 123,041: Μονάδες 3000,09: Χιλιάδες 0,36: έκατα 18,293: Χιλιοστά 169,93: Εκατοστά 20,3: έκατα 62 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

21 ΑΣΚΗΣΗ 3ηη Ν αα γγ ρρ άά ψψ εε ι ςς ττ οο υυ ςς ππ αα ρρ αα κκ άά ττω αα ρρ ι θθ µµ οο ύύ ςς κκ αα ττ αα ρρ γγώ νν ττ αα ςς ττ οο µµ ηη δδ έέ νν εε κκ εε ί ππ οο υυ δδ εε νν εε ππ ηη ρρ εε άά ζζ εε ι ττ ηη νν αα ξξ ί αα ττ οο υυ αα ρρ ι θθ µµ οο ύύ :: 1,650 µέτρα:. 2800,50 :. 18,300 : 06,900 κιλά:. 2,080 κιλά:.. 30,090 χιλιόµετρα: Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση - Πότε η αξία ενός αριθµού δεν µεταβάλλεται; - Η αξία ενός αριθµού δεν µεταβάλλεται όσα µηδενικά κι αν προσθέσουµε στην αρχή του. Ειδικότερα, αν ο αριθµός είναι δεκαδικός, η αξία του δεν µεταβάλλεται, όσα µηδενικά κι αν προσθέσουµε στο τέλος του δεκαδικού του µέρους. Αν εποµένως στο τέλος του δεκαδικού µέρους υπάρχουν µηδενικά, µπορούµε να τα παραλείψουµε. Λύση Ο αριθµός 1,650 µέτρα έχει µηδέν στο τέλος του δεκαδικού του µέρους και µπορούµε να το παραλείψουµε. Τώρα γράφεται: 1,65 µέτρα. Ο αριθµός 18,300 έχει 2 µηδενικά στο τέλος του δεκαδικού του µέρους και µπορούµε να τα παραλείψουµε. Τώρα γράφεται: 18,3. Ο αριθµός 2,080 κιλά έχει µηδέν στο τέλος του δεκαδικού του µέρους και µπορούµε να το παραλείψουµε. Τώρα γράφεται: 2,08 κιλά. Ο αριθµός 2800,50 έχει µηδέν στο τέλος του δεκαδικού του µέρους και µπορούµε να το παραλείψουµε. Τώρα γράφεται: 2.800,5. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 63

22 Ο αριθµός 06,900 κιλά έχει µηδέν και στην αρχή του αλλά και στο τέλος του δεκαδικού του µέρους και µπορούµε να τα παραλείψουµε. Τώρα γράφεται: 6,9 κιλά. Τέλος, ο αριθµός 30,090 χιλιόµετρα έχει µηδέν στο τέλος του δεκαδικού του µέρους και µπορούµε να το παραλείψουµε. Τώρα γράφεται: 30,09 χιλιόµετρα. Συµπληρώνουµε λοιπόν: 1,650 µέτρα: 1,65 µέτρα 2800,50 : 2.800,5 18,300 : 18,3 06,900 κιλά: 6,9 κιλά 2,080 κιλά: 2,08 κιλά 30,090 χιλιόµετρα: 30,09 χιλιόµετρα ΑΣΚΗΣΗ 4ηη Π αα ρρ αα ττ ηη ρρώ νν ττ αα ςς ττ ηη νν αα ρρ ι θθ µµ οο γγ ρρ αα µµ µµ ήή νν αα αα νν ττ ι σσ ττ οο ι χχ ί σσ εε ι ςς ττ οο νν κκ αα ττ άά λλ λλ ηη λλ οο αα ρρ ι θθ µµ όό σσ ττ οο κκ αα ττ άά λλ λλ ηη λλ οο γγ ρρ άά µµ µµ αα.. 0,88 2,02 4,003 6,008 0,8 2,22 4,33 6,08 0,008 2,002 4,3 6,8 Α Β Γ 0,08 2,2 4,03 6,88 64 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

23 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση - Τι παρατηρούµε να συµβαίνει στην αριθµογραµµή; - Στην αριθµογραµµή, έχουµε τους αριθµούς από το 0 ως το 7 κι ανάµεσά τους έχουµε τέσσερα γράµµατα, τα: Α, Β, Γ και. - Στον πίνακα, τι έχουµε; - Έχουµε τέσσερα γράµµατα, τα: Α, Β, Γ και, και δίπλα από το καθένα γράµµα έχουµε µια στήλη µε 4 δεκαδικούς αριθµούς. - Τι µας ζητάει η άσκηση; - Η άσκηση µας ζητάει να παρατηρήσουµε προσεκτικά τα τέσσερα γράµµατα στην αριθµογραµµή, να βρούµε πάνω από ποιον δεκαδικό αριθµό βρίσκονται και να τα αντιστοιχίσουµε. Λύση Το γράµµα Α: Βρίσκεται ανάµεσα στο 0 και το 1 και είναι στην 8η γραµµή µετά το 0. Άρα, το Α βρίσκεται στον αριθµό 0,8. Το γράµµα Β: Βρίσκεται ανάµεσα στο 2 και το 3 και είναι στην 2η γραµµή µετά το 2. Άρα, το Β βρίσκεται στον αριθµό 2,2. Το γράµµα Γ: Βρίσκεται ανάµεσα στο 4 και το 5 και είναι στην 3η γραµµή µετά το 4. Άρα, το Γ βρίσκεται στον αριθµό 4,3. Το γράµµα : Βρίσκεται ανάµεσα στο 6 και το 7 και είναι στην 8η γραµµή µετά το 6. Άρα, το βρίσκεται στον αριθµό 6,8. Εποµένως ο πίνακας, συµπληρωµένος, είναι ο εξής: 0,88 2,02 4,003 6,008 Α 0,8 2,22 4,33 6,08 Γ 0,008 2,002 4,3 6,8 Β 0,08 2,2 4,03 6,88 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 65

24 ΠΡΡΟΒΛΗΜΑ 1οο Ο Ά λλ κκ ηη ςς θθ έέ λλ ηη σσ εε νν αα µµ εε ττ ρρ ήή σσ εε ι ττ οο ύύ ψψ οο ςς ττ οο υυ.. εε νν εε ί χχ εε όό µµω ςς µµ έέ ττ ρρ οο,, ππ αα ρρ άά µµ όό νν οο έέ νν αα χχ άά ρρ αα κκ αα εε κκ αα ττ οο σσ ττώ νν.. Α ππ οο ττ ύύ ππω σσ εε ττ οο ύύ ψψ οο ςς ττ οο υυ σσ ττ οο νν ττ οο ί χχ οο κκ αα ι ττ οο µµ έέ ττ ρρ ηη σσ εε µµ εε ττ οο χχ άά ρρ αα κκ αα.. ΤΤ οο ύύ ψψ οο ςς ττ οο υυ ήή ττ αα νν 55 χχ άά ρρ αα κκ εε ςς κκ αα ι εε κκ αα ττ οο σσ ττ άά.. Π όό σσ οο εε ί νν αα ι ττ οο ύύ ψψ οο ςς ττ οο υυ αα νν ττ οο εε κκ φφ ρρ άά σσ οο υυ µµ εε µµ εε δδ εε κκ αα δδ ι κκ όό αα ρρ ι θθ µµ όό ;; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το πρόβληµα - Τι κάνουµε όταν έχουµε να λύσουµε ένα πρόβληµα; - Το διαβάζουµε καλά για να κατανοήσουµε καλά ποια είναι τα δεδοµένα και ποια τα ζητούµενα του προβλήµατος. - Ποια είναι τα δεδοµένα στο πρόβληµα αυτό; Τι µας δίνεται; Τι γνωρίζουµε; - Στο πρόβληµα αυτό ξέρουµε: - α) ότι Ο Άλκης µέτρησε το ύψος του µε έναν χάρακα, του οποίου ξέρουµε το µήκος: Είναι 30 εκατοστά. - β) ότι το ύψος του Άλκη ήταν 5 χάρακες και 11 εκατοστά. - Ποιο είναι το ζητούµενο; Τι µας ζητάει να βρούµε το πρόβληµα αυτό; - Το ζητούµενο είναι να βρούµε πόσο είναι το ύψος του Άλκη. - Πώς θα βρούµε το ύψος του; - Αφού µας λέει ότι είναι 5 χάρακες και 11 εκατοστά, θα πολλαπλασιάσουµε το 5 επί το 30 (κάθε χάρακας είναι 30 εκατοστά), και στο αποτέλεσµα θα προσθέσουµε και άλλα 11 εκατοστά. Ο αριθµός που θα βρούµε θα είναι το ύψος του Άλκη. Λύση Κάθε χάρακας έχει 30 εκατοστά. Οι 5 χάρακες θα έχουν: 5 30 = 150 εκατοστά. 66 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

25 Προσθέτουµε και τα 11 ακόµα εκατοστά: = 161 εκατοστά. Το ύψος του Άλκη είναι λοιπόν 161 εκατοστά. Απάντηση: Το ύψος του Άλκη είναι 1,61 µέτρα. ΠΡΡΟΒΛΗΜΑ 2οο Οι µµ αα θθ ηη ττ έέ ςς ττ ηη ςς Σ ττ ττ άά ξξ ηη ςς ττ οο υυ 44 οο υυ ηη µµ οο ττ ι κκ οο ύύ Σ χχ οο λλ εε ί οο υυ ΚΚ οο κκ κκ ι νν ι άά ςς,, γγ ι αα νν αα εε νν ι σσ χχ ύύ σσ οο υυ νν ττ οο ττ αα µµ εε ί οο ττ ηη ςς ττ άά ξξ ηη ςς ττ οο υυ ςς,, αα ππ οο φφ άά σσ ι σσ αα νν σσ ττ οο µµ άά θθ ηη µµ αα ττω νν ττ εε χχ νν ι κκώ νν νν αα κκ αα ττ αα σσ κκ εε υυ άά σσ οο υυ νν ηη µµ εε ρρ οο λλ όό γγ ι αα κκ αα ι νν αα ττ αα ππ οο υυ λλ ήή σσ οο υυ νν σσ ττ ηη γγ εε ι ττ οο νν ι άά κκ αα ι ττ οο υυ ςς σσ υυ γγ γγ εε νν εε ί ςς ττ οο υυ ςς.. ΤΤ αα ππ αα ι δδ ι άά κκ αα ττ αα σσ κκ εε ύύ αα σσ αα νν ηη µµ εε ρρ οο λλ όό γγ ι αα κκ αα ι ττ αα ππ οο ύύ λλ ηη σσ αα νν όό λλ αα ππ ρρ οο ςς 33,, ττ οο κκ αα θθ έέ νν αα.. Ο ττ αα µµ ί αα ςς ττ ηη ςς ττ άά ξξ ηη ςς,, κκ αα θθώ ςς σσ υυ γγ κκ έέ νν ττ ρρω νν εε ττ αα χχ ρρ ήή µµ αα ττ αα,, ππ ρρ όό σσ εε ξξ εε σσ ττ οο ττ έέ λλ οο ςς όό ττ ι εε ί χχ εε µµ όό νν οο χχ αα ρρ ττ οο νν οο µµ ί σσ µµ αα ττ αα χχω ρρ ί ςς νν αα έέ χχ εε ι κκ αα θθ όό λλ οο υυ κκ έέ ρρ µµ αα ττ αα.. Α νν ηη σσ ύύ χχ ηη σσ εε µµ ήή ππω ςς έέ χχ αα σσ εε ττ αα ψψ ι λλ άά.. ΕΕ σσ εε ί ςς ττ ι λλ έέ ττ εε ;; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το πρόβληµα - Ποια είναι τα δεδοµένα του προβλήµατος; - Ξέρουµε ότι τα παιδιά κατασκεύασαν 25 ηµερολόγια. Ξέρουµε ακόµα ότι τα πούλησαν προς 3,20 το καθένα. - Ξέρουµε πόσα χρήµατα εισέπραξαν; - Όχι, αυτό είναι το ζητούµενο. Αν βρούµε πόσα χρήµατα εισέπραξαν, θα µάθουµε και αν ο ταµίας έχασε τα ψιλά ή αν δεν είχαν καθόλου ψιλά οι εισπράξεις τους. - Και τι θα κάνουµε για να το βρούµε; - Θα πολλαπλασιάσουµε το 25 µε το 3,20. Λύση Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 67

26 Κάνουµε τον πολλαπλασιασµό: 25 3,20 = 80. Βρήκαµε ότι από τα ηµερολόγια, οι µαθητές εισέπραξαν 80. Άρα, θα µπορούσε να ήταν όλα τα χρήµατα σε χαρτονοµίσµατα. Π.χ. θα µπορούσε να ήταν 4 χαρτονοµίσµατα των 20. Ή, 1 χαρτονόµισµα των 50, 1 των 20 και 1 των 10. Τι άλλο, κατά τη γνώµη σου θα µπορούσε να ήταν; Απάντηση: Εφόσον ο ταµίας έχει 80 σε χαρτονοµίσµατα, δεν έχασε τα ψιλά. 68 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

27 ραστηριιότητα µε προεκτάσειις: «Μέγεθος καιι αξίία χαρτονοµιισµάτων» Τ αα ππ αα ι δδ ι άά ττ ηη ςς Σ ττ ττ άά ξξ ηη ςς ττ οο υυ 22 οο υυ ηη µµ οο ττ ι κκ οο ύύ Σ χχ οο λλ εε ί οο υυ Νί κκ αα ι αα ςς εε ππ ι σσ κκ έέ φφ ττ ηη κκ αα νν ττ οο Ν οο µµ ι σσ µµ αα ττ οο σσ κκ οο ππ εε ί οο.. ΕΕ κκ εε ί σσ υυ γγ κκ έέ νν ττ ρρω σσ αα νν ππ οο λλ λλ έέ ςς ππ λλ ηη ρρ οο φφ οο ρρ ί εε ςς γγ ι αα ττ αα χχ αα ρρ ττ οο νν οο µµ ί σσ µµ αα ττ αα κκ αα ι ττ ηη νν ππ ρρ οο σσ ττ αα σσ ί αα ππ οο υυ έέ χχ οο υυ νν αα ππ όό ττ ηη νν ππ αα ρρ αα χχ άά ρρ αα ξξ ηη.. Έ µµ αα θθ αα νν όό ττ ι ττ αα χχ αα ρρ ττ οο νν οο µµ ί σσ µµ αα ττ αα δδ εε νν έέ χχ οο υυ νν όό λλ αα ττ ι ςς ί δδ ι εε ςς δδ ι αα σσ ττ άά σσ εε ι ςς κκ αα ι σσ υυ γγ κκ εε κκ ρρ ι µµ έέ νν αα γγ ι αα ττ οο κκ άά θθ εε χχ αα ρρ ττ οο νν όό µµ ι σσ µµ αα οο ι δδ ι αα σσ ττ άά σσ εε ι ςς εε ί νν αα ι οο ι εε ξξ ήή ςς :: 5 : πλάτος 6,15 εκ., µήκος 12,1 εκ., 10 : πλάτος 6,7 εκ., µήκος 12,75 εκ., 20 : πλάτος 7,2 εκ., µήκος 13,3 εκ., 50 : πλάτος 7,7 εκ., µήκος 14,1 εκ. Στη συνέχεια έβαλαν δύο χάρακες και άρχισαν να σχεδιάζουν το µήκος και το πλάτος των χαρτονοµισµάτων στο χαρτί. Ξεκίνησαν µε το νόµισµα των 5. Σ υυ νν εε χχ ί σσ ττ εε σσ χχ εε δδ ι άά ζζ οο νν ττ αα ςς µµ εε οο δδ ηη γγ οο ύύ ςς ττ οο υυ ςς δδ ύύ οο χχ άά ρρ αα κκ εε ςς ττ αα άά λλ λλ αα δδ ύύ οο χχ αα ρρ ττ οο νν οο µµ ί σσ µµ αα ττ αα µµ εε ττ αα χχ ρρώ µµ αα ττ αα ττ οο υυ κκ αα θθ εε νν όό ςς.. ΥΥ ππ άά ρρ χχ εε ι σσ χχ έέ σσ ηη αα νν άά µµ εε σσ αα σσ ττ οο µµ έέ γγ εε θθ οο ςς κκ αα ι ττ ηη νν αα ξξ ί αα ττω νν χχ αα ρρ ττ οο νν οο µµ ι σσ µµ άά ττω νν ;; Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 69

28 Λύση Όπως βλέπουµε και στο σχήµα, το χαρτονόµισµα των 5 έχει ήδη σχεδιαστεί. Στον οριζόντιο χάρακα µετρήσαµε το µήκος: 12,1 εκ., ενώ στον κατακόρυφο χάρακα µετρήσαµε 6,15 εκ. (που είναι µε προσέγγιση 6,2 εκ.). Το ίδιο θα κάνουµε και για τα άλλα χαρτονοµίσµατα. Για το χαρτονόµισµα των 10, µετράµε στον οριζόντιο άξονα το µήκος 12,75 εκ. (που είναι µε προσέγγιση 12,8 εκ.). Στον κατακόρυφο άξονα µετράµε το πλάτος 6,7 εκ. Φέρουµε τις κάθετες γραµµές και έτσι σχηµατίζεται ένα άλλο ορθογώνιο που είναι «πίσω» από το ήδη ζωγραφισµένο χαρτονόµισµα των 5. Αυτό είναι το χαρτονόµισµα των 10. Το βάφουµε κόκκινο. Για το χαρτονόµισµα των 20, µετράµε στον οριζόντιο άξονα το µήκος 13,3 εκ. Στον κατακόρυφο άξονα µετράµε το πλάτος 7,7 εκ. Φέρουµε τις κάθετες γραµµές και έτσι σχηµατίζεται ένα άλλο ορθογώνιο που είναι «πίσω» από τα ήδη ζωγραφισµένα χαρτονοµίσµατα των 5 και 10. Αυτό είναι το χαρτονόµισµα των 20. Το βάφουµε µπλε. Για το χαρτονόµισµα των 50, µετράµε στον οριζόντιο άξονα το µήκος 14,1 εκ. (δυστυχώς, δεν υπάρχουν γραµµούλες µετά τα 14 εκ., αλλά εµείς βάζουµε µια γραµµούλα ακριβώς µετά το 14). Στον κατακόρυφο άξονα µετράµε το πλάτος 7,7 εκ. Φέρουµε τις κάθετες γραµµές και έτσι σχηµατίζεται ένα άλλο ορθογώνιο που είναι «πίσω» από τα ήδη ζωγραφισµένα χαρτονοµίσµατα των 5, 10 και 20. Αυτό είναι το χαρτονόµισµα των 50. Το βάφουµε πορτοκαλί. Έτσι, θα έχουµε το παρακάτω σχήµα. 70 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

29 Απάντηση Όπως βλέπεις και από το σχήµα, σαφώς και υπάρχει σχέση ανάµεσα στο µέγεθος και την αξία των χαρτονοµισµάτων. Όσο πιο µεγάλο είναι ένα χαρτονόµισµα, τόσο µεγαλύτερη αξία έχει. Το χαρτονόµισµα των 50 είναι το µεγαλύτερο απ όλα, ενώ αυτό των 5 είναι το µικρότερο. Θέµα γιια διιερεύνηση καιι συζήτηση Γ νν ήή σσ ι αα κκ αα ι ππ λλ αα σσ ττ άά ππ ρρ οο ϊ όό νν ττ αα σσ ττ ηη νν οο ι κκ οο νν οο µµ ί αα,, ττ ηη µµ οο υυ σσ ι κκ ήή,, ττ ι ςς κκ αα λλ έέ ςς ττ έέ χχ νν εε ςς.. Υ ππ ήή ρρ χχ αα νν σσ ττ ηη νν αα ρρ χχ αα ι όό ττ ηη ττ αα ππ λλ αα σσ ττ άά νν οο µµ ί σσ µµ αα ττ αα ;; ΓΓ ι αα ττ ί ;; Τ ι σσ ηη µµ αα ί νν εε ι ««ππ ρρ οο σσ ττ αα σσ ί αα ππ νν εε υυ µµ αα ττ ι κκώ νν δδ ι κκ αα ιω ι µµ άά ττω νν»» ;; ΤΤ ι δδ ηη λλώ νν εε ι ττ οο σσ ήή µµ αα ;; Απάντηση Α. Γνήσια και πλαστά προϊόντα στην οικονοµία, τη µουσική, τις καλές τέχνες. Έχεις ακούσει από το ραδιόφωνο, την τηλεόραση ή τους γονείς σου να µιλάνε για πλαστά χαρτονοµίσµατα; Αυτοί που κάνουν πλαστά, δηλαδή ψεύτικα, χαρτονοµίσµατα ονοµάζονται παραχαράκτες. Παραχαράσσουν λοιπόν τα γνήσια χαρτονοµίσµατα, κατασκευάζουν δικά τους ψεύτικα και, µε διάφορα εγκληµατικά κόλπα, τα δίνουν σε ανύποπτους ανθρώπους. Κερδίζουν έτσι πολλά χρήµατα. Αυτός όµως που συλλαµβάνεται µε πλαστά χαρτονοµίσµατα, θεωρείται το ίδιο εγκληµατίας κι ας µην ήταν αυτός που τα Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 71

30 κατασκεύασε. Έτσι λοιπόν χρειάζεται µεγάλη προσοχή και όλοι µας πρέπει να ενηµερωθούµε, πώς θα ξεχωρίζουµε ένα κανονικό από ένα πλαστό χαρτονόµισµα. Ζήτησε από τον πατέρα σου να σου δείξει. Έχεις ακούσει για πλαστά προϊόντα που κυκλοφορούν στην αγορά; Υπάρχουν πολλές παράνοµες βιοτεχνίες που κατασκευάζουν ρούχα «µαϊµού», όπως συνηθίζει να τα ονοµάζει ο κόσµος. Έτσι, αντιγράφουν επώνυµα ρούχα από πολύ γνωστές εταιρείες, όπως ADIDAS ή NIKE κ.λπ. και τα πουλούν σαν να ήταν αληθινά. Έχεις ακούσει για τα πλαστά CD µουσικής που διατίθενται κυρίως από οικονοµικούς µετανάστες από την Αφρική; Πρόσφατα µάλιστα άρχισαν να πωλούνται και DVD. Έχουµε όλοι δει να πωλούνται µε µεγάλη ευκολία πλαστά CD και DVD και έτσι να χάνει η ελληνική µουσική και οι συντελεστές της πολλά χρήµατα που τα δικαιούνται. Το κύκλωµα που ασχολείται µε την παραγωγή και τη διάθεση αυτών των πλαστών προϊόντων είναι παράνοµο και στερεί και από το ελληνικό κράτος, δηλαδή από εµάς, πολλά έσοδα (φόρους). Έχεις ακούσει για επιτήδειους «ζωγράφους» που αντιγράφουν πίνακες γνωστών και καταξιωµένων καλλιτεχνών και τους πωλούν ως αυθεντικούς; Μεγάλη µάστιγα για τις καλές τέχνες (ζωγραφική, γλυπτική) είναι η πλαστογράφηση έργων γνωστών καλλιτεχνών. Πολλοί πίνακες µεγάλων ζωγράφων όπως του Πικάσο και του Βαν Γκογκ, έχουν πωληθεί ως αυθεντικοί. Είναι λοιπόν επιτακτική ανάγκη να ενηµερωθούµε όλοι για τους κινδύνους που διατρέχουµε όταν δεν προσέχουµε αυτά που αγοράζουµε και κυρίως όταν αγοράζουµε εν γνώσει µας πλαστά προϊόντα γιατί απλά είναι φθηνότερα. Φθηνότερα µπορεί να είναι, αλλά ποτέ δεν θα φτάσουν τα αυθεντικά στην ποιότητα. Β. Υπήρχαν στην αρχαιότητα πλαστά νοµίσµατα; Γιατί; Από την αρχαιότητα ακόµα οι άνθρωποι προσπαθούσαν να κατασκευάσουν πλαστά νοµίσµατα. Όπως και σήµερα, έτσι και τότε, αυτό που ωθεί τους εγκληµατίες να κατασκευάζουν πλαστά νοµίσµατα, είναι το εύκολο και γρήγορο κέρδος. 72 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

31 Από την ιστοσελίδα: βρήκαµε ένα πολύ ενδιαφέρον άρθρο του καθηγητή κ. Τιβέριου που δηµοσιεύτηκε στην εφηµερίδα «Το Βήµα», λίγες µέρες πριν η χώρα µας υιοθετήσει το ευρώ, ως το νέο νόµισµα της χώρας. Παραθέτουµε εδώ µερικά αποσπάσµατα: Πλαστά νοµίσµατα στην αρχαιότητα Το κίβδηλο χρήµα είναι τόσο παλιό όσο και το γνήσιο. Από την αρχαιότητα διαθέτουµε πληθώρα πληροφοριών για την κυκλοφορία πλαστών νοµισµάτων Οι έλληνες καταναλωτές θα πρέπει τους πρώτους µήνες να είναι σε θέση, ανά πάσα στιγµή, να µετατρέπουν στο µυαλό τους τα ευρώ σε δραχµές και αντίστροφα, όπως θα πρέπει να είναι σε θέση και να ξεχωρίζουν τα γνήσια ευρωχαρτονοµίσµατα από τυχόν πλαστά. Η κατασκευή και προώθηση πλαστού νοµίσµατος δεν είναι εφεύρηµα των καιρών µας. Το κίβδηλο χρήµα είναι τόσο παλιό όσο και το γνήσιο. Από την αρχαιότητα συµβαίνει µάλιστα να διαθέτουµε πληθώρα πληροφοριών σχετικών µε την κυκλοφορία πλαστών ή νοθευµένων νοµισµάτων. Όπως και σήµερα έτσι και στην αρχαιότητα οι κρατικοί µηχανισµοί προσπαθούσαν µε διάφορα µέτρα να εξουδετερώσουν τη µάστιγα της παραχάραξης νοµισµάτων που έθετε σε κίνδυνο τις οικονοµίες τους. Ανάµεσα στα άλλα επέβαλλαν και αυστηρές κυρώσεις στους κιβδηλοποιούς, που σε ορισµένες περιπτώσεις ήταν βαρύτερες από τις αντίστοιχες ποινές της εποχής µας. Σε συµφωνίες π.χ. ανάµεσα σε πόλεις-κράτη για την παραγωγή και κυκλοφορία κοινού νοµίσµατος αυστηρότατες ήταν οι ποινές εναντίον των νοµισµατοκόπων εκείνων που θα διανοούνταν να κατασκευάσουν κίβδηλα ή λιποβαρή νοµίσµατα. Σε µια τέτοια συνθήκη του 5ου αι. π.χ. ανάµεσα στη ιωνική Φώκαια και τη Μυτιλήνη, που γνωρίζουµε από µια ενδιαφέρουσα επιγραφή, µε σαφήνεια ορίζεται ότι εάν κάποιος νοµισµατοκόπος αποδειχθεί ότι δολίως έκοψε νόµισµα βάρους µικρότερου του κανονικού, τότε τιµωρείται µε θάνατο. Αν όµως αποδειχθεί ότι το ατόπηµα αυτό έγινε ακούσια, τότε τιµωρείται µε φυλάκιση ή µε χρηµατικό πρόστιµο, ενώ η πόλη του απαλλασσόταν των σχετικών ευθυνών και δεν πλήρωνε χρηµατική αποζηµίωση. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 73

32 Μέτρα προστασίας του νοµίσµατός του είχε πάρει φυσικά και το αθηναϊκό κράτος. Τα νοµίσµατά του, οι περίφηµες «γλαύκες», είχαν ευρύτατη κυκλοφορία και, όπως το σηµερινό δολάριο, ήταν σε χρήση σε όλον τον τότε γνωστό κόσµο. Από τον ηµοσθένη π.χ. πληροφορούµαστε ότι στην Αθήνα από παλιά υπήρχε νόµος σύµφωνα µε τον οποίον «εάν τις το νόµισµα διαφθείρη θάνατον την ζηµίαν είναι». Με θάνατο τιµωρούνταν ακόµη και εκείνος ο οποίος χωρίς κρατική άδεια κατασκεύαζε κανονικό νόµισµα και ας πληρούσε αυτό όλες τις ιδιότητες των αυθεντικών αθηναϊκών νοµισµάτων.. Αλλά και στη Ρώµη οι νόµοι που προστάτευαν τα νοµίσµατά της ήταν αυστηρότατοι. Αν έπιαναν ρωµαίο πολίτη να κατασκευάζει και να προωθεί στις αγορές κίβδηλα νοµίσµατα, τον έριχναν στα θηρία, ενώ αν κάποιος δούλος κατέδιδε δράση κιβδηλοποιού, κέρδιζε την ελευθερία του και συγχρόνως αποκτούσε τα δικαιώµατα του ρωµαίου πολίτη... Ο κ. Μιχάλης Α. Τιβέριος είναι καθηγητής Κλασικής Αρχαιολογίας στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης. Το ΒΗΜΑ, 30/12/2001, Σελ.: A44 Γ. Τι σηµαίνει «προστασία πνευµατικών δικαιωµάτων»; Τι δηλώνει το σήµα ; Προστασία πνευµατικών δικαιωµάτων είναι µια έκφραση η οποία χρησιµοποιείται για να τονίσει ότι, τα πνευµατικά έργα των δηµιουργών προστατεύονται σε περίπτωση αντιγραφής ή κλοπής. Για παράδειγµα τα τραγούδια που γράφουν οι συνθέτες έχουν πνευµατικά δικαιώµατα. εν µπορεί κανείς να γράψει ίδιο ή παρόµοιο τραγούδι. Το ίδιο συµβαίνει και µε τα θεατρικά έργα, τα έργα ζωγραφικής ή γλυπτικής, τα προγράµµατα υπολογιστών κ.λπ. Επίσης, όταν κάποιος εφεύρει ένα καινούριο προϊόν και θέλει να το βγάλει στην αγορά, καταθέτει αίτηση για να πάρει «σήµα κατατεθέν» (Trademark Registration). Με αυτόν τον τρόπο προστατεύει τα δικαιώµατά του. Από τη στιγµή εκείνη, απαγορεύεται σε όλους να αντιγράψουν αυτό το προϊόν. Το σύµβολο µπαίνει σε κάθε προϊόν που έχει «σήµα κατατεθέν» και είναι το αρχικό γράµµα της λέξης Registration. 74 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

33 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΑΣΚΗΣΗ 1ηη Ν αα γγ ρρ άά ψψ εε ι ςς µµ εε ψψ ηη φφ ί αα ττ οο υυ ςς ππ αα ρρ αα κκ άά ττω αα ρρ ι θθ µµ οο ύύ ςς :: α) διακόσια κόµµα δέκα πέντε: δ) τρία κόµµα είκοσι τρία: β) τρεις χιλιάδες κόµµα τριάντα τρία: ε) εκατόν δώδεκα χιλιοστά:. γ) δώδεκα χιλιοστά:. στ) ένα και ένα εκατοστό: Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση Ξέρουµε ότι κάθε δεκαδικός αριθµός αποτελείται από ψηφία. Τα ψηφία αυτά χωρίζονται µε µια υποδιαστολή σε δύο µέρη: Στο ακέραιο µέρος και στο δεκαδικό µέρος. Τα ψηφία έχουν µια αξία, ανάλογα µε τη θέση στην οποία βρίσκονται. Στο ακέραιο µέρος, στην πρώτη από δεξιά θέση είναι οι µονάδες, στη δεύτερη θέση οι δεκάδες, στην τρίτη, από δεξιά, θέση είναι οι εκατοντάδες, κ.ο.κ. Αν δεν υπάρχουν µονάδες κάποιας τάξης (π.χ. δεκάδες, εκατοντάδες κ.λπ.) τότε στη θέση τους βάζουµε το µηδέν (0). Στο δεκαδικό µέρος στην πρώτη θέση µετά την υποδιαστολή είναι τα δέκατα, στη δεύτερη θέση είναι τα εκατοστά, στην τρίτη τα χιλιοστά κ.ο.κ. Αν δεν υπάρχουν µονάδες κάποιας τάξης (π.χ. δέκατα, εκατοστά κ.λπ.) τότε στη θέση τους βάζουµε το µηδέν (0). Λύση α) Ο αριθµός «διακόσια κόµµα δέκα πέντε» έχει 2 εκατοντάδες, 1 δέκατο και 5 εκατοστά. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 75

34 Γράφεται: 200,15 Εκατοντάδα εκάδα Μονάδα, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 2 0 0, 1 5 β) Ο αριθµός «τρεις χιλιάδες κόµµα τριάντα τρία» έχει 3 χιλιάδες, 3 εκατοστά και 3 χιλιοστά. Γράφεται: 3.000,033 Χιλιάδες Εκατοντάδα εκάδα Μονάδα, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά , γ) Ο αριθµός «δώδεκα χιλιοστά» έχει 1 εκατοστό και 2 χιλιοστά. Γράφεται: 0,012 Εκατοντάδα εκάδα Μονάδα, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 0, δ) Ο αριθµός «τρία κόµµα είκοσι τρία» έχει 3 µονάδες, 2 δέκατα και 3 εκατοστά. Γράφεται: 3,23 Εκατοντάδα εκάδα Μονάδα, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 2 0 0, Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

35 ε) Ο αριθµός «εκατόν δώδεκα χιλιοστά» έχει 1 δέκατο, ένα εκατοστό και 2 χιλιοστά. Γράφεται: 0,112 Εκατοντάδα εκάδα Μονάδα, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 0, στ) Ο αριθµός «ένα και ένα εκατοστό» έχει 1 µονάδα και 1 εκατοστό. Γράφεται: 1,01 Εκατοντάδα εκάδα Μονάδα, έκατα Εκατοστά Χιλιοστά 1, 0 1 Συµπληρώνουµε λοιπόν: α) διακόσια κόµµα δέκα πέντε: 200,15 δ) τρία κόµµα είκοσι τρία: 3,23 β) τρεις χιλιάδες κόµµα τριάντα τρία: 3.000,33 ε) εκατόν δώδεκα χιλιοστά: 0,112 γ) δώδεκα χιλιοστά: 0,012 στ) ένα και ένα εκατοστό: 1, 01 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 77

36 ΑΣΚΗΣΗ 2 η η Σ υυ µµ ππ λλ ήή ρρω σσ εε ττ οο νν ππ ί νν αα κκ αα :: εκαδικοί αριθµοί Θέση υπογραµµισµένου ψηφίου Αξία υπογραµµισµένου ψηφίου 4,567 χιλιοστά ,34 345, ,03 800,3 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση Τα ψηφία έχουν µια αξία, ανάλογα µε τη θέση στην οποία βρίσκονται. Στο ακέραιο µέρος, στην πρώτη από δεξιά θέση είναι οι µονάδες, στη δεύτερη θέση οι δεκάδες, στην τρίτη, από δεξιά, θέση είναι οι εκατοντάδες, κ.ο.κ. Αν δεν υπάρχουν µονάδες κάποιας τάξης (π.χ. δεκάδες, εκατοντάδες κ.λπ.) τότε στη θέση τους βάζουµε το µηδέν (0). Στο δεκαδικό µέρος στην πρώτη θέση µετά την υποδιαστολή είναι τα δέκατα, στη δεύτερη θέση είναι τα εκατοστά, στην τρίτη τα χιλιοστά κ.ο.κ. Αν δεν υπάρχουν µονάδες κάποιας τάξης (π.χ. δέκατα, εκατοστά κ.λπ.) τότε στη θέση τους βάζουµε το µηδέν (0). Έχουµε πει στη θεωρία ότι το 0,1 αντιστοιχεί στο κλάσµα Το 0,01 αντιστοιχεί στο Το 0,001 αντιστοιχεί στο κ.ο.κ. 78 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

37 Εποµένως, αν ελέγχουµε κάθε φορά σε ποια θέση θα βρίσκεται το υπογραµµισµένο ψηφίο, θα έχουµε: Στον αριθµό 18,34, το 3 είναι στη θέση των δεκάτων. Άρα έχει αξία Στον αριθµό 345,296 το 9 είναι στη θέση των εκατοστών. Άρα έχει αξία Στον αριθµό 141,03 το 4 είναι στη θέση των δεκάδων. Άρα έχει αξία 40. Στον αριθµό 825,3 το 8 είναι στη θέση των εκατοντάδων. Άρα έχει αξία 800. Λύση Συµπληρώνουµε λοιπόν: εκαδικοί αριθµοί Θέση υπογραµµισµένου ψηφίου Αξία του υπογραµµισµένου ψηφίου 4,567 χιλιοστά 18,34 δέκατα 345,296 εκατοστά ,03 δεκάδες ,3 εκατοντάδες 800 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 79

38 ΑΣΚΗΣΗ 3ηη Το «κυνήγι» των αριθµών Ν αα ββ ρρ εε ι ςς ττ αα ψψ ηη φφ ί αα ττ οο υυ ππ αα ρρ αα κκ άά ττω δδ εε κκ αα δδ ι κκ οο ύύ αα ρρ ι θθ µµ οο ύύ,, αα νν ξξ έέ ρρ εε ι ςς όό ττ ι :: , Το ψηφίο των χιλιοστών είναι ο αριθµός των παιδιών που έχουν ύψος 155 εκατοστά, της Στ τάξης του 25ου ηµοτικού Σχολείου Τρικάλων (δες δραστηριότητα 1). Το ψηφίο των εκατοστών είναι ίδιο µε το ψηφίο των χιλιοστών του βάρους του Πύρρου ήµα (δες δραστηριότητα 2). Το ψηφίο των δεκάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των ψηφίων των εκατοστών και των χιλιοστών µαζί. Το ψηφίο των µονάδων είναι κατά 5 µικρότερο από το ψηφίο των δεκάδων. Το ψηφίο των δεκάδων είναι διπλάσιο από το ψηφίο των χιλιοστών. Το ψηφίο των εκατοντάδων είναι κατά 2 µεγαλύτερο από το ψηφίο των εκατοστών. Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση - Τι ψάχνουµε να βρούµε εδώ; - Ψάχνουµε να βρούµε τα ψηφία του δεκαδικού αριθµού. - Πόσα ψηφία θέλουµε να βρούµε; - Όλα, δηλαδή 6. - Τι πληροφορίες έχουµε; - Στην αρχή έχουµε κάποιες πληροφορίες που αφορούν τις 2 δραστηριότητες που κάναµε στην αρχή του κεφαλαίου αυτού. Άρα λοιπόν θα ξαναδούµε προσεκτικά τις δραστηριότητες αυτές και θα προσπαθήσουµε να βρούµε τα ψηφία. - Στη συνέχεια; 80 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

39 - Στη συνέχεια, είναι εύκολο. Αφού βρούµε τα ψηφία των χιλιοστών και των εκατοστών εύκολα βρίσκουµε και τα υπόλοιπα. Λύση Το ψηφίο των χιλιοστών είναι ο αριθµός των παιδιών της δραστηριότητας 1 που έχουν ύψος 155 εκατοστά. Πόσα είναι; Είναι 4. Το ψηφίο των εκατοστών είναι ίδιο µε το ψηφίο των χιλιοστών του βάρους του Πύρρου ήµα της δραστηριότητας 2. Ποιος αριθµός είναι; Είναι το 5. Το ψηφίο των δεκάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των ψηφίων των εκατοστών και των χιλιοστών µαζί. πόσο είναι το άθροισµα αυτό; Είναι: = 9. Το ψηφίο των µονάδων είναι κατά 5 µικρότερο από το ψηφίο των δεκάδων. Ποιος αριθµός είναι; δεν τον ξέρουµε ακόµα. Πρέπει να βρούµε το ψηφίο των δεκάδων πρώτα. Το ψηφίο των δεκάδων είναι διπλάσιο από το ψηφίο των χιλιοστών. Το ψηφίο των χιλιοστών είναι το 4. Άρα είναι, 2 4 = 8 Τώρα θα βρούµε το ψηφίο των µονάδων που είναι κατά 5 µικρότερο από το ψηφίο των δεκάδων. Άρα, είναι: 8 5 = 3. Τέλος, το ψηφίο των εκατοντάδων είναι κατά 2 µεγαλύτερο από το ψηφίο των εκατοστών. Άρα είναι: = 7. Απάντηση Συµπληρώνουµε λοιπόν: _7 8 3_, _9 5 4_ Ο αριθµός είναι: 783,954 (επτακόσια ογδόντα τρία κόµµα εννιακόσια πενήντα τέσσερα). Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 81

40 ΑΣΚΗΣΗ 4ηη Π ρρ οο σσ ππ άά θθ ηη σσ εε νν αα υυ ππ οο λλ οο γγ ί σσ εε ι ςς µµ εε ττ οο νν οο υυ :: α) Αγόρασα µια σοκολάτα που κόστιζε 1,20. Έδωσα ένα κέρµα των 2. Τι ρέστα πήρα; β) Αγόρασα 2 κιλά πορτοκάλια που κόστιζαν 1,30 το κιλό. Πόσο κόστιζαν; Έδωσα ένα χαρτονόµισµα των 5. Τι ρέστα πήρα. γ) Αγόρασα 5 γοµολάστιχες και πλήρωσα 3. Πόσο κόστιζε η µία; δ) Αγόρασα 2 κουτάκια τσίχλες που κόστιζαν 1,50 το ένα. Αγόρασα και ένα παγωτό που κόστιζε 2,50. Έδωσα ένα χαρτονόµισµα των 10. Τι ρέστα πήρα; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση Είναι εύκολο να κάνεις υπολογισµούς µε το νου; Προσπάθησε, είναι εύκολο. Θα το χρειαστείς στην καθηµερινή σου ζωή. Όλοι µας, κάθε µέρα αναγκαζόµαστε να αγοράσουµε κάτι, να δώσουµε κέρµατα ή χαρτονοµίσµατα και αν πάρουµε ρέστα. Πρέπει να είµαστε πολύ προσεκτικοί λοιπόν. Λύση α) Αγόρασα µια σοκολάτα που κόστιζε 1,20. Έδωσα ένα κέρµα των 2. Τι ρέστα πήρα; Απάντηση: Εύκολα βρίσκεις ότι τα ρέστα είναι 80 λεπτά ή 0,80. β) Αγόρασα 2 κιλά πορτοκάλια που κόστιζαν 1,30 το κιλό. Πόσο κόστιζαν; Απάντηση: Υπολογίζεις: 2 φορές το 1,30 µας δίνει 2,60. Τόσο κόστιζαν. Έδωσα ένα χαρτονόµισµα των 5. Τι ρέστα πήρα. Απάντηση: Αφού κόστιζαν 2,60 θα πούµε: 5 2,60 = 2, Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς

41 γ) Αγόρασα 5 γοµολάστιχες και πλήρωσα 3. Πόσο κόστιζε η µία; Απάντηση: Και οι 5 κόστιζαν 3. Άρα η µία κοστίζει 0,60 ( 5 0,60 = 3). δ) Αγόρασα 2 κουτάκια τσίχλες που κόστιζαν 1,50 το ένα. Αγόρασα και ένα παγωτό που κόστιζε 2,50. Έδωσα ένα χαρτονόµισµα των 10. Τι ρέστα πήρα; Απάντηση: Και τα 2 κουτάκια µαζί κόστιζαν 1,50 + 1,50 = 3 Με το παγωτό κόστιζαν: 3 + 2,50 = 5,50 Έδωσα 10. Άρα πήρα ρέστα: 10 5,50 = 4,50. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 83